Επιμέλεια: Χατζόποσλος Μάκης lisari.blogspot.com Καθηγητής Μαθηματικώμ 1 ο Λύκειο Ζακύμθοσ Κεφάλαιο 3o Γεωμετρία Α Λσκείοσ Αμαζκόπηζη θεωρίας Μεθοδολογία ίζωμ ημημάηωμ ή γωμιώμ Βοηθηηική εσθεία Αζκήζεις προς επίλσζη Αζκήζεις άλσηες Εάκσμθξπ 2010 11
Τα τπίγωνα ταξινομούνται ωρ ππορ τιρ πλεςπέρ τοςρ Τα τπίγωνα ταξινομούνται ωρ ππορ τιρ γωνίερ τοςρ Γύο τπίγωνα είναι ίσα (Κπιτήπια Ισότηταρ τπιγώνων) Το Ισοσκελέρ Τπίγωνο Γύο οπθογώνια τπίγωνα είναι ίσα Βασική ππόταση για το ισοσκελέρ τπίγωνο Το ισόπλεςπο τπίγωνο Κύκλορ Βασικοί γεωμετπικοί τόποι Ανισοτικέρ σσέσειρ ΚΔΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Θσμάμαι Όςι Σθαιελά Ιζνζθειή Ιζόπιεπξα Ομπγώληα Ακβιπγώληα Οξζνγώληα Γύν πιεπξέο αληίζηνηρα ίζεο θαη ηηο πεξηερόκελεο γσλίεο ίζεο Μία πιεπξά αληίζηνηρα ίζε θαη ηηο πξνζθείκελεο γσλίεο ηεο βάζεο ίζεο Τξεηο πιεπξέο αληίζηνηρα ίζεο κία πξνο κία Γύν πιεπξέο αληίζηνηρα ίζεο κία πξνο κία Μία πιεπξά αληίζηνηρα ίζεο κία πξνο κία θαη κία νμεία γσλία ίζε Οη 2 πιεπξέο ηεο είλαη ίζεο (ΑΒ=ΑΓ) Α θνξπθή 2 γσλίεο ηεο βάζεο ίζεο Η δηρνηόκνο ηεο θνξπθήο είλαη δηάκεζνο & ύςνο Η δηάκεζνο ηεο θνξπθήο είλαη δηρνηόκνο &η ύςνο Τν ύςνο ηεο θνξπθήο είλαη δηάκεζνο & δηρνηόκνο Αλ έλα ηξίγσλν έρεη δύν γσλίεο ίζεο ηόηε είλαη ηζνζθειέο Οη πιεπξέο ηνπ είλαη ίζεο Οη γσλίεο ηνπ είλαη ίζεο Έρεη ηξεηο θνξπθέο Α, Β, Γ Ιζρύνπλ ηα ίδηα κε ην ηζνζθειέο γηα όιεο όκσο ηηο θνξπθέο ηνπ Αλ δύν ηόμα είλαη ίζα ηόηε θαη νη ρνξδέο ηνπο είλαη ίζεο θαη αληίζηξνθα Γύν ρνξδέο είλαη ίζεο αλ ηα απνζηήκαηά ηνπο είλαη ίζα θαη αληίζηξνθα Ο θνξέαο ηνπ απνζηήκαηνο κηαο ρνξδήο δηέξρεηαη από ην θέληξν ηνπ θύθινπ είλαη κεζνθάζεηνο ηεο ρνξδήο δηρνηνκεί ην αληίζηνηρν ηόμν ηεο ρνξδήο Κύθινο αθνύ θάζε ζεκείν ηνπ επηπέδνπ ηζαπέρεη ζηαζεξή απόζηαζε από ζηαζεξό ζεκείν Η κεζνθάζεηνο ελόο επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο ηζαπέρεη από ηα άθξα ηνπ Η δηρνηόκνο κηαο γσλίαο ηζαπέρεη από ηηο πιεπξέο ηεο Κάζε εμσηεξηθή γσλία ελόο ηξηγώλνπ είλαη κεγαιύηεξε από ηηο απέλαληη γσλίεο ηνπ ηξηγώλνπ Απέλαληη από άληζεο πιεπξέο ηξηγώλνπ βξίζθνληαη αληίζηνηρα θαη άληζεο γσλίεο Κάζε πιεπξά ηξηγώλνπ είλαη κηθξόηεξε από ην άζξνηζκα ησλ άιισλ δύν πιεπξώλ ηξηγώλνπ Δπιμέλεια: Χαηδόπνπινο Μ. -2- http://lisari.blogspot.com
Δυαπτόμενα τμήματα Τα εθαπηόκελα ηκήκαηα ΡΑ, ΡΒ είλαη ίζα Η δηαθεληξηθή επζεία ΡΟ είλαη κεζνθάζεηνο ηεο ρνξδήο ΑΒ Η δηαθεληξηθή επζεία ΡΟ δηρνηνκεί ηελ γσλία Ρ & ηελ γσλία Ο πνπ ζρεκαηίδνπλ νη αθηίλεο Σσετικέρ Θέσειρ κύκλων (Ο, π 1 ), (Κ, π 2 ) Η δηάθεληξνο είλαη κεζνθάζεηνο ηεο θνηλήο ρνξδήο ηνπο (ΟΚ)>ξ 1 +ξ 2 δελ ηέκλνληαη εμσηεξηθά (ΟΚ)= ξ 1 +ξ 2 εθάπηνληαη εμσηεξηθά ξ 1 - ξ 2 < (ΟΚ)< ξ 1 +ξ 2 ηέκλνληαη εμσηεξηθά (ΟΚ)= ξ 1 -ξ 2 εθάπηνληαη εζσηεξηθά (ΟΚ)< ξ 1 +ξ 2 δελ ηέκλνληαη εζσηεξηθά Μεθξδξλξγία Κετάλαιξ 3 ξ Πωπ απξδεικμύξσμε όςι δύξ ςμήμαςα ή γωμίεπ είμαι ίρα; Α. Πόςε κάμξσμε ρύγκοιρη ςοιγώμωμ; Α. Σύγκοιρη ςοιγώμχμ κάμξσμε όςαμ θέλξσμε μα απξδείνξσμε όςι δύξ εσθύγοαμμα ςμήμαςα είμαι ίρα ή δύξ γωμίεπ είμαι ίρεπ. Β. Πωπ κάμξσμε ρύγκοιρη ςοιγώμωμ; Για μα ρσγκοίμξσμε δύξ ςοίγχμα ακξλξσθξύμε ςημ ενήπ πξοεία: Χαοάρρξσμε έμα εσκοιμέπ ρχήμα, πξσ μαπ βξηθάει μα μαπ «μαοςσοήρει» πξια ρςξιυεία ή ςοίγχμα είμαι ίρα. Ποξρπαθξύμε μα εμςξπίρξσμε ρςξ ρυήμα ή μα δημιξσογήρξσμε αμ υοειαρςεί δύξ ςοίγχμα ςα ξπξία πεοιέχξσμ ςα ρςξιχεία πξσ θέλξσμε μα απξδείνξσμε πωπ είμαι ίρα. Σςα ςοίγχμα ασςά ενεςάζξσμε αμ ςοία από ςα ρςξιχεία ςξσπ είμαι ίρα έμα ποξπ έμα. Σσγκεκοιμέμα, ποξρπαθξύμε μα βοξύμε όςι έυξσμ ίρα: δσξ πλεσοέπ και ςημ πεοιεχόμεμη γωμία ή μία πλεσοά και ςιπ ποξρκείμεμεπ γωμίεπ ή ςοειπ πλεσοέπ Αμ ςελικά καςατέοξσμε και εναρταλίρξσμε μία από ςιπ παοαπάμχ πεοιπςώρειπ, ςόςε ςα ςοίγωμα είμαι ίρα. Δπξμέμχπ θα είμαι ίρα και ςα σπόλξιπα αμςίρςξιυα ρςξιυεία ςξσπ. Αμάμερα ρςα σπόλξιπα ρςξιυεία θα βοίρκξμςαι και θέλαμε μα απξδείνξσμε όςι είμαι ίρα. Γ. Αμ δεμ έυξσμε επαοκή ρςξιυεία για μα απξδείνξσμε όςι δύξ ςοίγωμα είμαι ίρα, ςι κάμξσμε; Σε ξοιρμέμεπ πεοιπςώρειπ δεμ αοκεί η ρύγκοιρη δύξ ςοιγώμχμ, διόςι δεμ σπάουξσμ επαοκή ρςξιυεία. Για ςξ λόγξ ασςό ρσγκοίμξσμε ποώςα άλλξ ζεύγξπ ςοιγώμωμ, ρσλλέγξσμε μέα ρςξιυεία Δπιμέλεια: Χαηδόπνπινο Μ. -3- http://lisari.blogspot.com
(δηλαδή μέεπ ιρόςηςεπ μεςανύ πλεσοώμ ή γχμιώμ) και ρςη ρσμέυεια επιςσγυάμξσμε ςημ ιρόςηςα ςχμ ςοιγώμχμ πξσ μαπ ξδηγεί ρςη λύρη ςηπ άρκηρηπ. ΠΡΟΣΟΧΗ! 1. Λόμξ με ιρόςηςα γχμιώμ δεμ ποξκύπςει πξςέ ιρόςηςα ςοιγώμχμ. 2. Ζ βαρική αουή πξσ εταομόζξσμε μεςά ςημ απόδεινη όςι ςα ςοίγχμα είμαι ίρα είμαι: Απέμαμςι από ίρεπ πλεσοέπ βοίρκξμςαι ίρεπ γωμίεπ και απέμαμςι από ίρεπ γωμίεπ βοίρκξμςαι ίρεπ πλεσοέπ. Τημ παοαπάμχ αουή ςημ εταομόζξσμε μόμξ ρε ίρα ςοίγωμα. Δ. Πωπ κάμξσμε ρύγκοιρη ξοθξγωμίωμ ςοιγώμωμ; Οοιρμέμεπ τξοέπ για μα απξδείνξσμε όςι δύξ εσθύγοαμμα ςμήμαςα ή δύξ γχμίεπ είμαι ίρεπ, ρσγκοίμξσμε ξοθξγώμια ςοίγχμα. Τα ξοθξγώμια ςοίγχμα έχξσμ ήδη ςημ ξοθή γωμία ίρη. Χοειάζξμςαι επξμέμχπ ακόμα δύξ ρςξιυεία, εκςόπ ςηπ ξοθήπ γχμίαπ, ώρςε ασςά μα είμαι ίρα. Πιξ ρσγκεκοιμέμα, για αμ είμαι δύξ ξοθξγώμια ςοίγχμα ίρα, αοκεί μα έυξσμ: δύξ αμςίρςξιχεπ πλεσοέπ ίρεπ μία ποξπ μία ή μία αμςίρςξιχη πλεσοά και μία αμςίρςξιχη ξνεία γωμία ίρη Τξμίζξσμε όςι ςα ρςξιυεία ποέπει μα είμαι αμςίρςξιχα ίρα (ή ξμόλξγα). Ασςό ρημαίμει για παοάδειγμα όςι: αμ από ςξ έμα ςοίγωμξ η πλεσοά είμαι η μία από ςιπ κάθεςεπ (αμςίρςξιυα σπξςείμξσρα), ςόςε ρςξ άλλξ ςοίγωμξ η ίρη ςηπ πλεσοά ποέπει μα είμαι επίρηπ η μία από ςιπ κάθεςεπ πλεσοέπ (αμςίρςξιυα σπξςείμξσρα),, αμ ρςξ άλλξ ςοίγωμξ η ξνεία γωμία είμαι ποξρκείμεμη ρςη μία κάθεςη πλεσοά, ςόςε και ρςξ άλλξ η ίρηπ ςηπ γωμία ποέπει μα είμαι ποξρκείμεμη ςημ αμςίρςξιυη κάθεςη πλεσοά, Δ. Πόςε τέομξσμε βξηθηςική γοαμμή ρςξ ρυήμα; Όςαμ ςα ρςξιυεία εμόπ ρυήμαςξπ μαζί με ςα δεδξμέμα δεμ επαοκξύμ για ςημ λύρη μιαπ άρκηρηπ ςηπ γεχμεςοίαπ, ςόςε είμαρςε αμαγκαρμέμξι μα τέοξσμε μία ή πεοιρρόςεοεπ βξηθηςικέπ γοαμμέπ. Ζ βξηθηςική γοαμμή ποέπει μα μαπ δίμει πεοιρρόςεοεπ πληοξτξοίεπ γι ασςό πξσ θέλξσμε μα απξδείνξσμε, δηλαδή μα μαπ «νεκλειδώμει» ςξ ρυήμα! Γεμικά, ςέςξιεπ εμέογειεπ είμαι: Μα εμώρξσμε δύξ ρημεία ςξσ ρυήμαςξπ. Μα δημιξσογήρξσμε μέα ςοίγωμα. Μα τέοξσμε ςιπ απξρςάρειπ κάπξιχμ ρημείχμ ποξπ ξοιρμέμεπ εσθείεπ. Μα τέοξσμε παοάλληλη από έμα ρημείξ ποξπ κάπξια εσθεία. Μα τέοξσμε ςη διχξςόμξ κάπξιαπ γχμίαπ. Μα πάοξσμε ςξ μέρξ εμόπ ςμήμαςξπ. Μα ποξεκςείμξσμε καςά ίρξ ςμήμα (SOS) Μα πάοξσμε ςξ ρσμμεςοικό ρημείξ χπ ποξπ μία πλεσοά (δύρκξλη κίμηρη).. ΠΡΟΣΟΧΗ! Θα ποέπει μα είμαρςε «ςριγκξύμηδεπ» όρξμ ατξοά ςιπ βξηθηςικέπ γοαμμέπ ρ έμα ρυήμα. Ποέπει ποώςα μα έυξσμε εναμςλήρει όλεπ ςιπ δσμαςόςηςεπ επίλσρηπ ςξσ ποξβλήμαςξπ με ςα σπάουξμςα ρςξιυεία - δεδξμέμα και ύρςεοα μα τέοξσμε κάπξια μέα βξηθηςική γοαμμή. Δπιμέλεια: Χαηδόπνπινο Μ. -4- http://lisari.blogspot.com
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ξσ 1. Δίμεςαι εσθύγοαμμξ ςμήμα ΑΒ, η μερξκάθεςόπ ςξσ (ε) και ρημείξ Λ ςηπ ε. Σςιπ ποξεκςάρειπ ςχμ ΑΛ και ΒΛ παίομξσμε αμςίρςξιυα ςα ρημεία Γ, Δ ςέςξια ώρςε ΛΓ=ΛΔ. Μα απξδείνεςε όςι: α) A M K BM K,όπξσ Ι ςξ ρημείξ ςξμήπ ςηπ (ε ) με ςξ ΑΒ β ) Α Δ=ΒΓ γ) A BΔ A BΓ 2. Σε ιρόπλεσοξ ςοίγχμξ ΑΒΓ ποξεκςείμξσμε ςιπ πλεσοέπ ΑΒ,ΒΓ,ΓΑ και θεχοξύμε ςμήμαςα ΒΙ=ΓΚ=ΑΛ. α) Τι γχμίεπ είμαι ξι M Γ B,M Γ Λ; β) Μα δείνεςε όςι: M B K γ) Μα δείνεςε όςι ςξ ςοίγχμξ ΙΛΚ είμαι ιρόπλεσοξ 3. Δίμεςαι ιρξρκελέπ ςοίγχμξ ΑΒΓ. Σςιπ ποξεκςάρειπ ςχμ ίρχμ πλεσοώμ ςξσ ΒΑ, ΓΑ θεχοξύμε ίρα ςμήμαςα ΑΔ, ΑΔ αμςίρςξιυα. Αμ Λ ςξ μέρξ ςηπ βάρηπ ΒΓ, ςόςε μα δείνεςε όςι: α) ΛΔ=ΛΔ β) M EΔ MΔ E γ) Ζ ποξέκςαρη ςηπ ΛΑ διυξςξμεί ςημ ΔΔ 4. Δίμεςαι κύκλξπ κέμςοξσ Ο και υξοδή ΑΒ. Ποξεκςείμξσμε ςημ ΑΒ και ποξπ ςα δύξ ςηπ άκοα, καςά ίρα ςμήμαςα ΑΓ και ΒΔ αμςίρςξιυα. Μα δείνεςε όςι: β) ΟΓ=ΟΔ α) OA Γ OBΔ γ) Τξ απόρςημα ΟΙ ρςημ υξοδή ΑΒ διυξςξμεί και ςξ εσθύγοαμμξ ςμήμα ΓΔ 5. Αμ ΑΑ, ΒΒ και ΓΓ είμαι ςοειπ διάμεςοξι κύκλξσ (Ο,ο), ςόςε μα δείνεςε όςι: α) ΑΒ=Α Β β) ΑΓ=Α Γ γ) ΒΓ=Β Γ δ) A BΓ A' B' Γ' 6. Έρςχ ιρξρκελέπ ςοίγχμξ ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Ζ μερξκάθεςξπ ςηπ πλεσοάπ ΑΓ ςέμμει ςημ ποξέκςαρη ςηπ ΓΒ ρςξ Δ. Ποξεκςείμξσμε ςη ΔΑ καςά ςμήμα ΑΔ=ΔΒ. Μα δείνεςε όςι: α) Τξ ςοίγχμξ ΔΑΓ είμαι ιρξρκελέπ β) A BΓ A ΓB ΓAΔ γ) Τα ςοίγχμα ΑΔΒ=ΑΔΓ δ) Τξ ςοίγχμξ ΓΔΔ είμαι ιρξρκελέπ 7. Δίμεςαι ξοθξγώμιξ ςοίγχμξ ΑΒΓ και η διυξςόμξπ ςξσ ΒΔ. Από ςξ Δ τέομξσμε ΔΔΒΓ, πξσ ςέμμει ςημ ΑΒ ρςξ Ε. Μα δείνεςε όςι: α) ΒΔ=ΑΒ β) ΑΕ=ΓΔ γ) BΓ Z BZΓ 8. Δίμεςαι κύκλξπ (Ο, ο), ξι ίρεπ υξοδέπ ςξσ ΑΒ, ΓΔ και ςα απξρςήμαςά ςξσπ ΟΙ και ΟΚ αμςίρςξιυα. Αμ ξι ποξεκςάρειπ ςχμ ΒΑ και ΔΓ ςέμμξμςαι ρςξ Λ, μα απξδείνεςε όςι: α) ΙΛ=ΚΛ β) Ζ ΟΛ διυξςξμεί ςημ γχμία Ο και Λ γ) ΛΑ=ΛΓ και ΛΒ=ΛΔ δ) ΑΓΟΛ Δπιμέλεια: Χαηδόπνπινο Μ. -5- http://lisari.blogspot.com
9. Ηεχοξύμε ςοίγχμξ ΑΒΓ. Ζ διυξςόμξπ ςηπ γχμίαπ A ςέμμει ςημ μερξκάθεςξ ςηπ ΒΓ ρςξ ρημείξ Δ. Έρςχ Δ και Ε ξι ποξβξλέπ ςξσ Δ ρςιπ πλεσοέπ ΑΒ και ΑΓ αμςίρςξιυα. Μα δείνεςε όςι: α) ΔΒ=ΕΓ γ) Ζ ΑΔ είμαι μερξκάθεςξπ ςξσ ΔΕ β) ΑΔ=ΑΕ 10. Ηεχοξύμε γχμία x O y και δύξ ξμόκεμςοξσπ κύκλξσπ (Ο,ο), (Ο,R) με ο<r. Αμ ξ ποώςξπ κύκλξπ ςέμμει ςιπ πλεσοέπ Ου, Οy ρςα Α, Β, ξ δεύςεοξπ ρςα Γ,Δ και Λ ςξ ρημείξ ςξμήπ ςχμ ΑΔ,ΒΓ, μα απξδειυθεί όςι: δ) Ζ ΟΛ είμαι η α) OAΔ BOΓ γ) OA M BOM διυξςόμξπ ςηπ x O y β) M A Γ BMΔ 11. Έρςχ ςοίγχμξ ΑΒΓ με ΑΛ διάμερξ και διυξςόμξπ. Αμ ποξεκςείμξσμε ςημ ΑΛ καςά ίρξ ςμήμα ΛΔ, ςόςε μα απξδείνεςε όςι: α) Τξ ςοίγχμξ ΑΒΓ είμαι ιρξρκελέπ γ) Τξ ςοίγχμξ ΑΔΓ είμαι ιρξρκελέπ β) ΑΒ=ΓΔ 12. Μα δείνεςε όςι, αμ δύξ ςοίγχμα είμαι ίρα ςόςε ρςιπ αμςίρςξιυεπ ίρεπ πλεσοέπ ςξσ αμςιρςξιυξύμ, α) ίρεπ διάμερξι β) ίρεπ διυξςόμξι γ) ίρα ύφη 13. Μα δείνεςε όςι ρςιπ ίρεπ πλεσοέπ εμόπ ιρξρκελξύπ ςοιγώμξσ αμςιρςξιυξύμ, α) ίρα ύφη β) ίρεπ διάμερξι γ) ίρεπ διυξςόμξι δ ) Θ ρ υ ύ ξ σ μ ς α αμάλξγα ρσμπεο άρμας α κ αι γ ι α ς ξ ι ρ ό π λ ε σ ο ξ ; 14. Δνχςεοικά εμόπ ιρξρκελξύπ ςοιγώμξσ ΑΒΓ καςαρκεσάζξσμε ςα ιρόπλεσοα ςοίγχμα ΑΒΔ και ΑΓΔ. Μα απξδείνεςε όςι: α) Τα ςοίγχμα ΑΒΔ=ΑΓΔ β) ΒΔ=ΔΓ γ) Αμ Ι,Κ και Λ είμαι ςα μέρα ςχμ πλεσοώμ ΔΑ,ΑΔ και ΒΓ αμςίρςξιυα, ςόςε ςξ ςοίγχμξ ΙΛΚ είμαι ιρξρκελέπ. 15. Σε έμα ςοίγχμξ ΑΒΓ ιρυύει η ρυέρη B 2 Γ. Αμ ΒΔ η διυξςόμξπ ςηπ γχμίαπ Β, ηόηε αλ έρεηε έλα δεδνκέλν από ηα παξαθάησ λα απνδείμεηε ηα ππόινηπα. Να γίλνπλ 4 αζθήζεηο! α) Τξ Δ ιραπέυει από γ) α=2γ ςημ πλεσοά ΒΓ και ςξ β) Τξ Δ αμήκει ρςημ o ρημείξ Α μερξκάθεςξ ςξσ ΒΓ δ) A 90 16. Από ενχςεοικό ρημείξ Ρ κύκλξσ (Ο,ο) τέοξσμε ςα εταπςόμεμα ςμήμαςα ΡΑ & ΡΒ. Λία Τοίςη εταπςξμέμη ρςξ ρημείξ Δ ςξσ κύκλξσ ςέμμει ςα ΡΑ και ΡΒ ρςα ρημεία Γ, Δ αμςίρςξιυα. Αμ ΡΑ=4 cm α) Μα απξδείνεςε ΓΑ=ΓΔ και ΔΒ=ΔΔ β) Υπξλξγίρςε ςημ πεοίμεςοξ ςξσ ςοιγώμξσ ΡΓΔ 17. Δύξ κύκλξι με κέμςοα Ι, Κ, ετάπςξμςαι ενχςεοικά ρςξ Α. Λία εσθεία ε ετάπςεςαι και ρςξσπ δύξ κύκλξσπ ρςα Β, Γ αμςίρςξιυα. Αμ ζ είμαι η κξιμή εταπςξμέμη ςχμ κύκλχμ ρςξ ρημείξ Α, μα δείνεςε όςι: α) Ζ εσθεία (ζ) διυξςξμεί ςξ ςμήμα ΒΓ, ρςξ ρημείξ Λ. β) Ζ ΙΛ διυξςόμξπ ςηπ γχμίαπ AM και ΛΚ διυξςόμξπ ςηπ γχμίαπ AM γ) Τξ ςοίγχμξ ΙΛΚ είμαι ξοθξγώμιξ 18. Μα ποξρδιξοιρθξύμ ξι ρυεςικέπ θέρειπ ςχμ κύκλχμ (Ι, ο) και, 2 αμ Δπιμέλεια: Χαηδόπνπινο Μ. -6- http://lisari.blogspot.com
i. iii. ΙΚ= 2ο 2 iv. ΙΚ= 3ο ii. ΙΚ= ο v. ΙΚ= 4ο 19. Σε κύκλξ κέμςοξσ Ι τέομξσμε ςοειπ διαμέςοξσπ ΑΑ, ΒΒ και ΓΓ. Μα απξδείνεςε όςι: α) ΑΒ = Α Β και ΑΓ = Α Γ β) Τα ςόνα AB A'B' γ) Τα απξρςήμαςα ςχμ υξοδώμ Β Γ και ΒΓ είμαι ίρα 20. Δίμξμςαι ςοία μη ρσμεσθειακά ρημεία Α, Β και Γ. ΜΑ βοείςε ρημείξ Λ ςξσ επιπέδξσ, ώρςε ςα ςοίγχμα ΛΑΒ και ΛΒΓ μα είμαι ιρξρκελή. 21. Έρςχ ςοίγχμξ ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ και η διυξςόμξπ ΑΔ ςηπ γχμίαπ A. Φέομξσμε ςημ κάθεςη ΒΕ ρςημ ΑΔ, ξπξία ςέμμει ςημ ΑΓ ρςξ Δ. Μα απξδείνεςε όςι: i. Τξ ςοίγχμξ ΑΒΔ είμαι ιρξρκελέπ ii. Ζ ΑΔ είμαι διυξςόμξπ ςηπ B E 22. Δίμεςαι ςοίγχμξ ΑΒΓ και η διάμερξπ ςξσ ΑΔ. Ποξεκςείμξσμε ςη διάμερξ ΑΔ καςά ςμήμαςα ΔΔ=ΑΔ. Μα απξδείνεςε όςι: i. ΑΒ=ΓΔ ii. AB A A 2 23. (Είμαι μια ειδική πεοίπςωρη ςηπ άρκηρηπ 15) Σε έμα ςοίγχμξ ΑΒΓ ιρυύξσμ ξι ρυέρειπ ΒΓ = 2ΑΒ και B2. Φέοξσμε ςη διυξςόμξ ςηπ γχμίαπ B, η ξπξία ςέμμει ςημ πλεσοά ΑΓ ρςξ Δ. Μα απξδείνεςε όςι: i. Τξ ΒΓΔ είμαι ιρξρκελέπ ii. Ζ γχμία 0 A 90 Άρκηρη για αμήρσυξσπ μαθηςέπ! Γύο τπίγωνα έσοςν πέντε βασικά τοςρ στοισεία ίσα (πλεςπέρ ή γωνίερ). Υπάπσει πεπίπτωση να είναι άνισα ;Γικαιολογήστε την απάντησή σαρ!! Σημείωση: Θεσξνύκε όηη γλσξίδνπκε ηελ έλλνηα ηεο νκνηόηεηαο ηξηγώλσλ. Σχόλιξ : Ζ παοαπάμχ άρκηρη είμαι μία ποξρέγγιρη ςξσ ποξβλήμαςξπ ςωμ δύξ μέρωμ αμαλόγωμ ςξσ Ιππξκοάςη ςξσ Χίξσ. Πεοιέυεςαι ρςξ βιβλίξ φσυαγχγικώμ μαθημαςικώμ ςξσ Martin Gardner " Τξ ςρίοκξ ςχμ Λαθημαςικώμ " ελλημική έκδξρη Τοξυαλία. Υπόδεινη Παοάδειγμα: Τα ςοίγχμα με ακέοαιεπ πλεσοέπ ςξσπ αοιθμξύπ: (1ξ ςοίγχμξ) α = 18, β = 12, γ = 27 (2ξ ςοίγχμξ) β, x = 8, α και ςιπ γχμίεπ ςξσπ αμςίρςξιυα ίρεπ Τα ςοίγχμα είμαι όμξια, αλλά όυι ίρα, εμώ έυξσμ 5 ρςξιχεία αμςίρςξιχα ίρα!! Βοείςε και άλλα παοαδείγμαςα ςέςξιχμ ςοιγώμχμ. Δπιμέλεια: Χαηδόπνπινο Μ. -7- http://lisari.blogspot.com