ΟΜΙΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013-14 Mathematics knows no races or geographic boundaries; for mathematics, the cultural world is one country. David Hilbert ΒΑΣΙΚΕΣ ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΙΘΜΩΝ Διαιρετότητα Για οποιουσδήποτε φυσικούς α,β υπάρχουν φυσικοί π, υ ώστε: β = α π + υ όπου π = πηλίκο, υ = υπόλοιπο με 0 υ < α. Αν υ = 0 τότε η διαίρεση είναι τέλεια και ο α διαιρεί τον β. π.χ 40 = 4 10 + 0 και ο 4 διαιρεί το 40 Αν ο α διαιρεί τους β και γ τότε διαιρεί και το β+γ π.χ 3 διαιρεί τους 6 και 21, άρα θα διαιρεί και το 6+21 = 27 Αν ο α διαιρεί το β τότε θα διαιρεί και κάθε πολλαπλάσιο του β. π.χ 5 διαιρεί το 15, άρα θα διαιρεί και κάθε πολλαπλάσιο του 15 όπως το 4 15 = 60. Ένας φυσικός ν λέγεται άρτιος (ζυγός) όταν διαιρείται ακριβώς με το 2 και γράφεται ως: ν = 2 κ, όπου κ φυσικός. Κάθε περιττός ν γράφεται στην μορφή: ν = 2 κ + 1, όπου κ φυσικός (γιατί;) Ένας αριθμός διαιρείται από το 3 όταν το άθροισμα των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 3. Αντίστοιχα διαιρείται από το 9 όταν το άθροισμα των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 9. Πολ/σια του 5: όσοι τελειώνουν σε 0 ή 5. Πολ/σια του 4: όσων τα δυο τελευταία ψηφία διαιρούνται από το 4. Πρώτοι αριθμοί Πρώτος αριθμός λέγεται ένας φυσικός (>1) που διαιρείται μόνο από τον εαυτό του και το 1. 1
Πρώτοι αριθμοί: 2, 3, 5, 7, 11, 13,... Οι πρώτοι αριθμοί είναι "τα ατομικά σωματίδια" από τα οποία συνθέτονται όλοι οι φυσικοί αριθμοί, γιατί: (Ευκλείδης) Κάθε φυσικός (>1) μπορεί να γραφεί ως γινόμενο δυο ή περισσότερων πρώτων. ΕΚΠ, ΜΚΔ Έστω α,β δυο φυσικοί (όχι μηδέν). Τότε, ΕΚΠ των α,β (συμβολίζεται ΕΚΠ(α,β)) λέγεται ο μικρότερος φυσικός που διαιρείται και από τους δυο. ΜΚΔ των α,β (συμβολίζεται ΜΚΔ(α,β)) λέγεται ο μεγαλύτερος φυσικός που τους διαιρεί ταυτόχρονα. Ιδιότητα: α β = ΜΚΔ(α,β) ΕΚΠ(α,β) π.χ ΜΚΔ (18, 10) = 2, ΕΚΠ (18, 10) = 90, οπότε 18 10 = 180 ΜΚΔ (18, 10) ΕΚΠ (18, 10) = 2 90 = 180 Σχετικά πρώτοι Δυο φυσικοί α,β λέγονται σχετικά πρώτοι μεταξύ τους αν ΜΚΔ(α,β) = 1. Παραδείγματα Οι 8 και 45 είναι σχετικά πρώτοι. Αν α, β είναι πρώτοι τότε είναι σχετικά πρώτοι. Ο 1 είναι σχετικά πρώτος με κάθε άλλο φυσικό. Παρατήρηση Αν οι α,β είναι σχετικά πρώτοι τότε δεν έχουν κανένα πρώτο ως κοινό παράγοντα στην ανάλυση τους (γιατί;) 2
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Έχουμε ένα τετράγωνο ABCD. Στην αρχή το στρέφουμε κατά 90 0 (οπότε γίνεται DABC) και στην συνέχεια το ανακλάμε γύρω από τον κατακόρυφο άξονα συμμετρίας οπότε γίνεται CBAD). Συνεχίζουμε με το ίδιο μοτίβο: στροφή κατά 90 0 και στην συνέχεια ανάκλαση γύρω από τον κατακόρυφο άξονα συμμετρίας και μετά πάλι στροφή κλπ. Σε ποια θέση θα βρίσκεται μετά από 2014 κινήσεις το τετράγωνο; 2. Έστω p,q δυο διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί. Να βρεθεί ο αριθμός των διαφορετικών διαιρετών των: α) p q β) p q 2 γ) p 2 q2 δ) p 2001 q 2014 3. Δείξτε ότι το γινόμενο τριών διαδοχικών αριθμών είναι διαιρετό πάντα με το 6. 4. 'Εστω p πρώτος αριθμός. Να βρεθεί το πλήθος των αριθμών που είναι: α) μικρότεροι του p και σχετικά πρώτοι με αυτόν (δηλαδή δεν έχουν κοινό διαιρέτη με το p) β) μικρότεροι του p 2 και σχετικά πρώτοι με αυτόν (δηλαδή δεν έχουν κοινό διαιρέτη με το p 2 ). 5. Να βρεθεί ο μικρότερος αριθμός ν ώστε το γινόμενο 1 2 3 4 ν να διαιρείται από το 990. (Υπόδ. αναλύστε το 990 ως γινόμενο παραγόντων ) 6. Να βρεθεί πόσα ψηφία μηδέν υπάρχουν στο τέλος του αριθμού 1 2 3 4 100 (π.χ αν ήταν ο αριθμός 3.045.600 θα λέγαμε ότι έχει δυο μηδέν στο τέλος. Υπόδ.: για να έχουμε 10 θα πρέπει να μετρήσουμε τα ζευγάρια 2 5 που εμφανίζονται. Αρκεί να μετράμε όμως μόνο τα 5, γιατί ) 7. Δείξτε ότι αν ένας αριθμός έχει περιττό πλήθος διαιρετών τότε π[ρέπει να είναι ίσος με το τετράγωνο κάποιου άλλου (Υπόδ. δοκιμάστε πρώτα με παραδείγματα. Πώς μπορούμε να χωρίσουμε τους διαιρέτες ενός φυσικού σε ζευγάρια;) 8. Ο μικρός Gauss είδε στον πίνακα γραμμένο τον πολλαπλασιασμό ΑΒ ΓΔ = ΕΕΖΖ όπου Α,Β,Γ,Δ,Ε,Ζ παριστάνουν διαφορετικούς αριθμούς. Αμέσως κατάλαβε ότι είναι λάθος. Γιατί; 9. α) 5 άνθρωποι συναντώνται σε ένα εστιατόριο. Κάποιοι από αυτούς χαιρετιούνται με χειραψία και κάποιοι όχι. Δείξτε ότι μεταξύ τους υπάρχουν τουλάχιστον δυο που έχουν χαιρετίσει με χειραψία τον ίδιο αριθμό ατόμων από αυτούς τους 5. β) Δείξτε 3
ότι σε μια συνάντηση 2014 ανθρώπων υπάρχουν τουλάχιστον δυο που έχουν χαιρετίσει με χειραψία τον ίδιο αριθμό ατόμων από αυτούς τους 2014. 10. Να βρείτε το ψηφίο των μονάδων των αριθμών α = 23119 500, β=2014 2014 11. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός A = 1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5 δεν είναι τέλειο τετράγωνο φυσικού αριθμού. 12. Να βρείτε το ψηφίο των μονάδων των μονάδων των αριθμών α = 597 101 β=723 8105 318 13. Να εξετάσετε αν ο αριθμός α = 7 1000 + 658 1000 διαιρείται α) από το 2 β) από το 5. 14. Να αποδείξετε ότι αν το τετράγωνο ενός θετικού αριθμού είναι άρτιος τότε και αυτός ο αριθμός είναι άρτιος. 15. Να εξετασθεί αν υπάρχει φυσικός ν ώστε 3ν 7 + 3ν 2014 = 500200. 16. Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι αριθμοί που μπορούν να γραφτούν ως άθροισμα και ως διαφορά δυο πρώτων. 17. Να βρείτε πόσοι από τους αριθμούς 1, 2, 3,..., 1999 δε διαιρούνται ούτε με το 5 ούτε με το 7. 18. α) Πόσα πολλαπλάσια του 3 είναι μεταξύ των αριθμών 100 και 1000; β) Πόσοι αριθμοί μικρότεροι του 1000 δεν διαιρούνται ούτε από το 3 ούτε από το 5; 19. (ΕΜΕ) Έστω α φυσικός τον οποίο διαιρούμε με 4. (i) Ποιες είναι οι δυνατές μορφές του παραπάνω θετικού ακέραιου α; (ii) Ποιες είναι οι δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει ο αριθμός α, αν είναι περιττός μεγαλύτερος από 39 και μικρότερος από 50, και διαιρούμενος με το 4 δίνει υπόλοιπο 1. 20. (ΕΜΕ) O φυσικός α είναι περιττός και όταν διαιρεθεί με το 5 δίνει υπόλοιπο 2. Να βρείτε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού α. 21. (ΕΜΕ) Ένα Γυμνάσιο συμμετέχει στην παρέλαση για την επέτειο μιας Εθνικής Εορτής με το 60% του αριθμού των αγοριών και το 80% του αριθμού των κοριτσιών του. Τα αγόρια που συμμετέχουν, αν παραταχθούν σε τριάδες, τότε δεν περισσεύει κανείς, ενώ, αν παραταχθούν σε πεντάδες ή επτάδες, τότε και στις δύο περιπτώσεις περισσεύουν από τρεις. Όλα τα αγόρια του Γυμνασίου είναι περισσότερα από 100 και λιγότερα από 200. Αν το 80% των κοριτσιών είναι αριθμός διπλάσιος από τον αριθμό που αντιστοιχεί στο 60% του αριθμού των αγοριών, να βρείτε το συνολικό αριθμό των κοριτσιών και αγοριών του Γυμνασίου. 4
22. Ο αριθμός 6 2014 + 11 444 είναι τέλειο τετράγωνο; 23. Ο αριθμός 111 2005 + 444 είναι πρώτος ή σύνθετος; 24. Να βρεθεί το τελευταίο ψηφίο του αριθμού: 1993 1993 + 1994 1994 + 1995 1995 + 1996 1996 25. Ποιος είναι ο μικρότερος φυσικός ν ώστε ο αριθμός ν! = 1 2 3 4. ν να είναι διαιρετός από το 990. 26. Δείξτε ότι αν ένας αριθμός έχει περιττό πλήθος διαιρετών τότε είναι τέλειο τετράγωνο. 27. Ο μικρός Gauss πολλαπλασίασε δυο διψήφιους αριθμούς στον πίνακα ΑΒ και ΓΔ και πήρε ως αποτέλεσμα ΑΒ ΓΔ=ΕΕΖΖ. Εξηγήστε ότι κάπου πρέπει να έχει κάνει λάθος. 28. 5
ΟΜΙΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2103-14 God used beautiful mathematics in creating the world. Paul Dirac ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΕΡΟΦΩΛΙΑΣ (pigeon hole principle ή αρχή του Dirichlet) Αρχή: Αν έχουμε ν + 1 περιστέρια που θέλουμε να τοποθετήσουμε σε ν περιστεροφωλιές τότε θα υπάρχει τουλάχιστον μια φωλιά που θα έχει τουλάχιστον 2 περιστέρια. Παραδείγματα 1. Σε μια συνάντηση 367 μαθητών υπάρχουν τουλάχιστον δυο που γεννήθηκαν την ίδια ημερομηνία. Λύση Για να την εφαρμόσουμε φανταζόμαστε ότι αυτό που μας ζητείται (δηλαδή οι ημερομηνίες ενός χρόνου, οι ημέρες ενός χρόνου) είναι "φωλιές" ή "κουτιά" στα οποία θα τοποθετήσουμε τους 367 μαθητές. Μοιράζουμε τους μαθητές στα κουτιά. Προφανώς αφού μπουν οι 365 (ή 366 αν είναι δίσεκτος ο χρόνος) ένας τουλάχιστον θα περισσέψει άρα θα μπει σε "κουτί" (ημερομηνία) μαζί με κάποιον άλλο. 2. Σε ένα πλυντήριο υπάρχουν 5 ζευγάρια καλτσών (συνολικά 10 κάλτσες) διαφορετικού χρώματος. Πόσες τουλάχιστον κάλτσες πρέπει να τραβήξω για να είμαι σίγουρος ότι θα έχω τουλάχιστον δυο ίδιου χρώματος; Λύση Έστω ότι κάθε κουτί αντιστοιχεί σε ένα χρώμα. Έχουμε 5 κουτιά. Αν αρχίσω και βάζω σε κουτιά από μια κάλτσα, η έκτη κάλτσα θα μπει σε ένα κουτί όπου υπάρχει ακόμη μια κάλτσα. Άρα 6 κάλτσες χρειάζεται να τραβήξω για να είμαι σίγουρος. 3. Μεταξύ 8 διαφορετικών αριθμών μικρότερων του 16 δείξτε ότι υπάρχουν τουλάχιστον τρια ζευγάρια με την ίδια θετική διαφορά. Γνωρίζουμε ότι όλα τα δυνατά ζευγάρια των 8 αριθμών είναι 28. Λύση Υπάρχουν 14 διαφορετικές δυνατές διαφορές: 1,2,3 έως 14. Άρα 14 κουτιά για να χωρέσουν 28 ζευγάρια. Όμως δεν μπορούμε να βάλουμε περισσότερα από ένα ζευγάρι στο κουτί 14, εφόσον το 14 γράφεται ως διαφορά μόνο με έναν τρόπο: 15-1. Άρα τα υπόλοιπα 13 κουτιά θα πάρουν τουλάχιστον 27 ζευγάρια οπότε ένα κουτί θα έχει τουλάχιστον τρία ζευγάρια. 6
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Σε ένα κουτί υπάρχουν 10 άσπρες και 10 μαύρες μπάλες. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός σφαιρών που πρέπει να τραβήξω ώστε να είναι σίγουρα δυο του ίδιου χρώματος; 2. Αν πάρω τέσσερις τυχαίους φυσικούς αριθμούς δείξτε ότι θα υπάρχουν τουλάχιστον δυο ώστε η διαφορά τους να είναι πολλαπλάσιο του 3 (δηλαδή η διαφορά τους να διαιρείται από το 3). 3. Ένα μαγαζί έχει 16 κουτιά με σοκολάτα. Κάθε κουτί έχει σοκολατάκια ενός είδους μόνο (υπάρχουν τρία είδη σοκολάτας: λευκή, μαύρη και γάλακτος). Δείξτε ότι πάντα θα υπάρχουν 6 κουτιά του ίδιου είδους σοκολάτας. 4. α) Δείξτε ότι σε μια ομάδα 5 ατόμων θα υπάρχουν δυο τουλάχιστον άνθρωποι που θα έχουν τον ίδιο αριθμό φίλων ανάμεσα σε αυτούς τους 5 (αν ο Α είναι φίλος του Β τότε και ο Β είναι φίλος του Α). β) Δείξτε ότι σε μια ομάδα 2013 ατόμων θα υπάρχουν δυο τουλάχιστον άνθρωποι που θα έχουν τον ίδιο αριθμό φίλων ανάμεσα σε αυτούς τους 2013. 5. 11 φυσικοί αριθμοί επιλέγονται. Να δείξετε ότι δυο τουλάχιστον από αυτούς θα έχουν τον ίδιο αριθμό μονάδων. 6. Σε μια συνάντηση υπάρχουν 16 μαθηματικοί. Ο καθένας μιλάει μια μόνο από τις γλώσσες: Αγγλικά, Ισπανικά και Ρώσικα. Να δείξετε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 6 μαθηματικοί που μιλάνε όλοι την ίδια γλώσσα. 7. α) Από τους αριθμούς 1,2,3,,10 διαλέγουμε 6 διαφορετικούς. Να δείξετε ότι δυο από αυτούς θα είναι σίγουρα διαδοχικοί. β) Από τους αριθμούς 1,2,3,,100 διαλέγουμε 51 διαφορετικούς. Να δείξετε ότι δυο από αυτούς θα είναι σίγουρα διαδοχικοί. 8. Σε μια συνάντηση συμμετείχαν 113 παιδιά από 7 διαφορετικές χώρες. α) Δείξτε ότι υπάρχει μια τουλάχιστον χώρα με 17 μαθητές. β) Δείξτε ότι μια τουλάχιστον έχει 9 παιδιά του ίδιου φύλου. 9. Δίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Μπορούμε να καλύψουμε το επίπεδο με άπειρα τρίγωνα ΑΒΓ ώστε δυο κανένα από αυτά να μην αλληλεπικαλύπτεται με κανένα άλλο; (δηλαδή τα μόνα κοινά σημεία που μπορεί να έχουν είναι κοινές κορυφές ή πλευρές). 10. Πόσα ψηφία έχει ο αριθμός 16 10 5 40 ; 7
11. Επιλέγουμε 51 φυσικούς αριθμούς από το 1 έως και το 100. Να δείξετε ότι τουλάχιστον δυο από αυτούς θα είναι διαδοχικοί. Αν επιλέξουμε 50 φυσικούς, εξηγήστε γιατί δεν ισχύει το ίδιο. 12. Πετάμε 5 σημεία Α,Β,Γ,Δ,Ε μέσα σε ένα κύκλο ακτίνας 1 και κέντρου Ο. Να δείξετε ότι δυο τουλάχιστον από αυτά θα σχηματίζουν με το κορυφή το Ο οξεία γωνία (δηλαδή π.χ η γωνία ΑΟΒ θα είναι οξεία ή η γωνία ΒΟΓ οξεία κλπ). 13. Πετάμε 5 σημεία Α,Β,Γ,Δ,Ε μέσα σε ένα τετράγωνο πλευράς 2. Να δείξετε ότι δυο τουλάχιστον από αυτά απέχουν μεταξύ τους απόσταση μικρότερη της κάνετε μόνο αν ξέρετε το πυθαγόρειο θεώρημα). 14. Πετάμε 9 σημεία μέσα σε ένα τετράγωνο πλευράς 2. Να δείξετε ότι τρία από αυτά θα σχηματίζουν τρίγωνο εμβαδού μικρότερου του 1/8. 15. Χωρίζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών από 1 έως 100 σε 6 τυχαίες ομάδες αριθμών (οι ομάδες δεν περιέχουν κατά ανάγκη τον ίδιο πλήθος αριθμών). Να δείξετε ότι πάντα μπορούμε να βρούμε δυο αριθμούς που να ανήκουν στην ίδια ομάδα ώστε ο ένας να διαιρεί τον άλλον. (Υπόδ. βρείτε πόσες δυνάμεις του 2 υπάρχουν έως το 100) 16. Να βρεθούν τα τελευταία ψηφία των αριθμών: α) 2 2013 β) 222 2013 γ) 3 1821 δ) 1 2 3 4 5 2013 17. Ο αριθμός 6 888 + 11 444 είναι τέλειο τετράγωνο; 18. Να βρεθεί ο αριθμός των ψηφίων που έχει ο αριθμός 4 5 5 10 2. (την 19. Να βρεθεί το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης περιοχής (η απόσταση των διαδοχικών σημείων είναι 1 εκ.) 19. Πόσα ψηφία περιέχει ο αριθμός 123456791011 200132014 ; 8
20. Κάποιος θέλει να πάει από το Α στο Β ακολουθώντας διαδρομές μόνο προς τα δεξιά ή προς τα κάτω. Με πόσους τρόπους μπορεί να πάει; 9
WARM UP QUIZES 1. Μια ερώτηση μετεωρολογίας: Τα μεσάνυκτα βρέχει. Θα έχουμε ηλιοφάνεια σε 72 ώρες; 2. Ένας κηπουρός θέλει να φυτέψει τέσσερις θάμνους σε ίσες αποστάσεις μεταξύ τους. Πώς μπορεί να το κάνει; 3. Συμπληρώστε τον αριθμό κάτω από το τελευταίο σχήμα: 4. 5. Ο Νίκος αγόρασε δυο αυτοκίνητα και στη συνέχεια τα πούλησε για 6000 το καθένα. Το ένα το πούλησε με κέρδος 25% και το άλλο με ζημιά 25%. Συνολικά κέρδισε ή έχασε; 6. Σε ένα πάρτι μαζεύτηκαν 15 μαθητές. Αν όλοι χαιρετάνε με χειραψία καθένα από τους υπόλοιπους, πόσες χειραψίες έχουν γίνει συνολικά; 7. Στον πίνακα κάποιος έγραψε την εξίσωση 1782 12 +1821 12 =1922 12. Είναι σωστή ή λανθασμένη; 8. Ποιο είναι το επόμενο σύμβολο; 10
9. Να υπολογιστεί η παράσταση: 10. Πόσοι θετικοί άρτιοι έχουν άρτιο αριθμό ψηφίων και είναι μικρότεροι από 10.000; 11. Διατάξτε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο: 2 1000, 3 750, 5 500. 12. Αν χ θετικός ακέραιος ώστε x x = 2011 20112012, πόσους διαιρέτες έχει ο χ; 13. Ποιος είναι ο φυσικός n αν γνωρίζουμε ότι ο 6 n 1 είναι πρώτος; 14. Γιατί αν ανακατέψουμε τα ψηφία του 1234567890 με οποιαδήποτε άλλη σειρά, ο αριθμός που θα προκύψει δεν θα είναι ποτέ πρώτος; 15. Πόσα τέλεια τετράγωνα διαιρούν τον 2 11 3 13 5 17 ; 16. Υπάρχει n ώστε ο 1 + n + n 2 + n 3 + n 4 να είναι πολλαπλάσιο του 4; 17. Να βρεθεί το άθροισμα των ψηφίων του (10 22000-9) 10 2. 18. Αν είναι x,y είναι διαφορετικοί ρητοί ώστε να βρεθεί το xy. 11