Κεφάλαιο 3 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΣ ΣΩΜΑΤΟΣ Νομοι του Νευτωνα {Νόμος της Αδράνειας- Αδρανειακό Σύστημα, Μάζα και Ορμή, Αρχή διατήρησης της Ορμής, Δύναμη- Δεύτερος Νόμος του Νεύτωνα, Τρίτος Νόμος του Νεύτωνα} Ειδικες Περιπτωσεις Δυναμεων {Βαρυτική Δύναμη- Βάρος, Κάθετη Δύναμη σε Επιφάνεια, Τάση Νήματος} Τριβη {Δύναμη Τριβής, Οπισθέλκουσα Δύναμη και Οριακή Ταχύτητα} Αφού διατυπωθούν οι Νόμοι του Νεύτωνα εξετάζεται η κίνηση ενός απλού σώματος ή συστοιχίας σωμάτων συνδεδεμένων με αβαρές και μη εκτατό νήμα. Η μηχανή του Atwood αποτελεί κλασικό θεωρητικό παράδειγμα και δίνονται διάφορα συνδυαστικά παραδείγματα κίνησης σωμάτων σε οριζόντιο και κεκλιμένο επίπεδο. Εισάγεται η έννοια της δύναμης της τριβής και εξετάζονται ποικίλες περιπτώσεις κίνησης με τις οριακές τους περιπτώσεις. Τέλος δίνεται η έννοια της οπισθέλκουσας δύναμης, όπως είναι η αντίσταση σώματος κινούμενου σε ρευστό, και η εξάρτησή της από την ταχύτητα. Επιλύονται οι περιπτώσεις όπου η αντίσταση είναι ανάλογη της ταχύτητας και ευρίσκεται η έκφραση της ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου καθώς και η οριακή της τιμή. 55
56 3.1 Δυναμική Σώματος με Τριβή ΑΣΚΗΣΗ 3.1 Συστοιχίατριώνσωμάτωνμεμάζεςαντίστοιχα m 1, m 2 και m 3,συνδεδεμένωνμεαβαρές και μη εκτατό νήμα, κινείται σε οριζόντιο δάπεδο υπό την επίδραση της οριζόντιας δύναμης T 3,ηοποίαεφαρμόζεταιστοτρίτοσώμα. Ναυπολογιστούνοιοριζόντιες τάσεις του νήματος και η συνολική επιτάχυνση a του συστήματος: (α) Οταν δεν υ- πάρχουν τριβές μεταξύ των σωμάτων και του δαπέδου και(β) Οταν οι συντελεστές τριβήςολίσθησηςγιατατρίασώματαμετοδάπεδοείναι µ 1, µ 2 και µ 3 αντίστοιχα. Πώς διαμορφώνονται οι παραπάνω απαντήσεις όταν οι μάζες των σωμάτων είναι ίσες m 1 = m 2 = m 3 = mήότανοισυντελεστέςτριβήςείναιίσοιμε µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ; Λύση Στην πιο γενική περίπτωση διαφορετικών μαζών και συντελεστών τριβής οι ασκούμενες στα τρία σώματα δυνάμεις έχουν όπως στο παρακάτω σχήμα. Προφανώς οι αντιδράσεις τουδαπέδου N i εξουδετερώνουντηνδύναμητουβάρους m i gκάθεσώματος,δηλαδή ισχύουνοισχέσιες N 1 = m 1 g, N 2 = m 2 gκαι N 3 = m 3 g.
57 Κατά συνέπεια, οι εξισώσεις κίνησης στη γενική περίπτωση για κάθε σώμα περιγράφονται από τις εξισώσεις: T 1 f 1 = m 1 a T 2 T 1 f 2 = m 2 a T 2 f 3 = m 3 a = T 1 m 1 gµ 1 = m 1 a T 2 T 1 m 2 gµ 2 = m 2 a T 2 m 3 gµ 3 = m 3 a T 1 = m 1 a+m 1 gµ 1 = T 2 T 1 = m 2 a+m 2 gµ 2 T 2 = m 3 a+m 3 gµ 3 (α)περίπτωσηχωρίςτριβές µ 1 = µ 2 = µ 3 = 0 Στην περίπτωση αυτή το σετ των εξισώσεων διαμορφώνεται στην απλή μορφή: T 1 = m 1 a T 2 T 1 = m 2 a T 2 = m 3 a = T 1 = m 1 a T 2 m 1 a = m 2 a ( )a = m 3 a = απ όπουπροκύπτειότιηεπιτάχυνση aκαιοιτάσεις T 1 και T 2 : T 1 = m 1 a T 2 = ( )a = ( +m 3 )a a = +m 3 T 1 = T 2 = m 1 +m 3 +m 3 ΠαρατηρούμεπωςT 1 < T 2 <,ενώστηνειδικήπερίπτωσηίσωνμαζώντοαποτέλεσμα αυτό απλοποιείται στις σχέσεις: (β) Περίπτωση με Τριβές a = 3m, T 1 = 1 3, T 2 = 2 3 Στην περίπτωση αυτή, οι προηγούμενες γενικές εξισώσεις διαμορφώνονται στην παρακάτω μορφή: T 1 = m 1 a+m 1 gµ 1 T 2 = m 2 a+m 2 gµ 2 +T 1 = m 3 a+m 3 gµ 3 +T 2 = T 1 = m 1 (a+gµ 1 ) T 2 = m 2 (a+gµ 2 )+m 1 (a+gµ 1 ) = m 3 (a+gµ 3 )+m 2 (a+gµ 2 )+m 1 (a+gµ 1 )
58 (1) T 1 = m 1 a+m 1 µ 1 g = (2) T 2 = ( )a+(m 1 µ 1 +m 2 µ 2 )g (3) = ( +m 3 )a+(m 1 µ 1 +m 2 µ 2 +m 3 µ 3 )g Απότηνεξίσωση(3)προκύπτειγιατηνεπιτάχυνση aησχέση: a = m 1µ 1 +m 2 µ 2 +m 3 µ 3 g +m 3 +m 3 Γιατηνπερίπτωσηπουοισυντελεστέςτριβήςείναιίσοιμε µ, ηπαραπάνωσχέση απλοποιείται στην a = +m 3 µg ενώ οι αντίστοιχες τάσεις υπολογίζονται από τις(1) και(2): T 1 = m 1 a+m 1 µg = T 1 = m 1 +m 3 m 1 µg +m 1 µg και = T 1 = m 1 +m 3 T 2 = ( )a+( )µg = T 2 = Παρατηρήσεις = T 2 = +m 3 ( )µg+( )µg +m 3 1.Στηνπερίπτωσητουκοινούσυντελεστήτριβής µτωνσωμάτωνμετοδάπεδο,οι τάσεις των νημάτων είναι ταυτόσημες με την περίπτωση όπου δεν υπάρχει τριβή! 2. Στην γενική περίπτωση τριβών με διαφορετικούς συντελεστές, η επιταχυνόμενη κίνηση της συστοιχίας απαιτεί a 0, δηλαδή: a = +m 3 m 1µ 1 +m 2 µ 2 +m 3 µ 3 +m 3 g 0 = (m 1 µ 1 +m 2 µ 2 +m 3 µ 3 )g 3. Σε οποιαδήποτε των περιπτώσεων ισχύει πάντα για τις τάσεις του νήματος η ανισότητα T 1 < T 2 <.
59 ΑΣΚΗΣΗ 3.2 Δύοσώματαμάζας m 1 και m 2 αντίστοιχαείναισυνδεδεμέναμεαβαρέςκαιμηεκτατό νήμακαιολισθαίνουνσεοριζόντιοεπίπεδουπότηνεπίδρασηδύναμης Fηοποίαδραστο σώμα 2 σχηματίζοντας γωνία θ με το οριζόντιο επίπεδο. Εάν ο κοινός συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ των σωμάτων και του επιπέδου είναι µ, να υπολογισθεί η επιτάχυνση aτουσυστήματοςτωνδύοσωμάτωνκαθώςκαιητάσητουνήματος T. Λύση Αναλύονταςτηδύναμη Fστιςσυνιστώσεςτης,μέτρου Fcosθ(οριζόντια)και Fsinθ (κάθετη στο επίπεδο) και συμπεριλαμβάνοντας την τάση T του νήματος και τις αντίστοιχεςτριβέςτωνσωμάτων f 1 και f 2 έχουμετοσύνολοτωνδυνάμεωνόπωςαπεικονίζεται στοπαρακάτωσχήμα.γιατιςαντιδράσειςτουεπιπέδου N 1 και N 2 στασώματα1και2 αντίστοιχαισχύουν N 1 = m 1 gκαι N 2 = m 2 g +Fsinθ.Λαμβάνονταςτηκίνησηκάθε σώματος χωριστά σχηματίζουμε το σύστημα των εξισώσεων: { } { } T f 1 = m 1 a T N 1 µ = m 1 a = = Fcosθ T f 2 = m 2 a Fcosθ T N 2 µ = m 2 a
60 = { T m 1 gµ = m 1 a (1) Fcosθ T (m 2 g +Fsinθ)µ = m 2 a (2) } Απαλείφοντας την τάση T του νήματος, προσθέτοντας τις δύο παραπάνω σχέσεις, καταλήγουμε στην: Fcosθ (m 2 g +Fsinθ)µ m 1 gµ = ( )a = F(cosθ µsinθ) ( )µg = ( )a = a = F (cosθ µsinθ) µg Αντικαθιστώντας το αποτέλεσμα αυτό στην(1) προκύπτει το μέτρο της τάσης T του νήματος: F T = m 1 a+m 1 µg = m 1 (cosθ µsinθ) m 1 µg +m 1 µg Παρατηρήσεις = T = m 1 F(cosθ µsinθ) 1.Απαιτώνταςητάσητουνήματοςναείναιθετική,ώστετοσώμα2ναμπορείνα σύρει το σώμα 1, καταλήγουμε στην σχέση: T > 0 = cosθ µsinθ > 0 = tanθ < 1 µ 2. Η προηγούμενη απαίτηση διασφαλίζει τεντωμένο νήμα. Για να υπάρξει όμως και κίνηση χρειάζεται η επιτάχυνση να είναι θετική, ή οριακά μηδέν, οπότε: a 0 = F (cosθ µsinθ) µg 0 = F(cosθ µsinθ) µ( )g = F µ( )g cosθ µsinθ Αριθμητικό Παράδειγμα Για µ = 0.20ηοριακήγωνίαεφαρμογήςτηςδύναμης Fείναι tanθ < 1 0.20 = 5,δηλαδή θ < 78.7 o. Παραδείγματοςχάριν,για θ = 30 o και m 1 = m 2 = mβρίσκουμεοριακή δύναμη F 0.52mgκαιοριακήτάσηνήματος T = µm 1 g = 0.20mg.
61 ΑΣΚΗΣΗ 3.3 Δύοσώματα1και2μάζας m 1 καιm 2 αντίστοιχαείναισυνδεδεμέναμεαβαρήράβδοκαιολισθαίνουν κατά μήκος κεκλιμένουεπιπέδουγωνίαςθμόνουπό την επίδραση των βαρών τους. Εάν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ των σωμάτων και του επιπέδου είναι αντίστοιχα µ 1 και µ 2,ναυπολογισθείηεπιτάχυνση aτουσυστήματοςτωνδύοσωμάτων καθώςκαιητάση Tτηςράβδου. Λύση Ησύζευξητωνδύοσωμάτωνμετηναβαρήράβδοεπιτρέπειτοσύστημανακινηθεί ενιαίαμεεπιτάχυνση a. Ηράβδος,σεαντίθεσημετονήμα,επιτρέπειτηνάσκηση δύναμηςτκαιπροςτιςδύοκατευθύνσεις. Ανάλογαδηλαδήμετιςτιμέςπουέχουν οισυντελεστέςτριβής µ 1 και µ 2,θαμπορούσετοσώμα1ναασκείμέσωτηςράβδου επιπρόσθετη δύναμη στο σώμα 2, εάν η επιτάχυνση του σώματος 1 ήταν μεγαλύτερη αυτής του 2 στην περίπτωση που τα θεωρούσαμε ασύνδετα. Μια τέτοια άσκηση δύναμης δεν είναι δυνατή με νήμα. Στο παραπάνω σχήμα φαίνονται οι ασκούμενες δυνάμεις σε κάθε σώμα. Εδώ έχουμε θεωρήσειγιατηντάση T τέτοιαφορά,ωσάντοσώμα2ναέλκειτο1. Αρνητικό αποτέλεσμαστηντιμήτης Tπρέπεινααναστρέψειτηφοράτης
62 Οι αντιδράσεις του επιπέδου N 1 και N 2 στα σώματα 1 και 2 είναι αντίστοιχα N 1 = m 1 gcosθκαι N 2 = m 2 gcosθ. Θεωρώνταςεπιταχυνόμενηκίνησημέτρου aκατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου και εξετάζοντας τη κίνηση κάθε σώματος χωριστά σχηματίζουμε το σύστημα των εξισώσεων: { } m 1 gsinθ+t f 1 = m 1 a (1) m 2 gsinθ T f 2 = m 2 a (2) Διαίρεση κατά μέλη των εξισώσεων(1) και(2) απαλείφει την επιτάχυνση a και δίνει: m 2 (m 1 gsinθ+t f 1 ) = m 1 (m 2 gsinθ T f 2 ) = m 2 T m 2 f 1 = m 1 T m 1 f 2 = T = m 2f 1 m 1 f 2 = T = m 2µ 1 N 1 m 1 µ 2 N 2 = T = m 2µ 1 m 1 gcosθ m 1 µ 2 m 2 gcosθ = T = m 1m 2 (µ 1 µ 2 )gcosθ Αντικαθιστώντας την τιμή της τάσης T στην(1) υπολογίζεται η επιτάχυνση a: Παρατηρήσεις a = gsinθ+ m 2 (µ 1 µ 2 )gcosθ µ 1 gcosθ [ = a = sinθ µ ] 1m 1 +µ 2 m 2 cosθ g 1.Τοαποτέλεσματηςτάσης T δείχνειπωςηφοράτηςείναιαυτήτουσχεδίου εφόσον µ 1 > µ 2. Σεαντίθετηπερίπτωσητοσώμα1(έχονταςμικρότερητριβή καιάραμεγαλύτερηεπιτάχυνσητου2εάνήτανασύζευκτα)ωθείτοσώμα2με δυνάμεις T αντίθετες των σχεδιασμένων. 2. Εάν απαιτήσουμε το σύστημα να κινείται οριακά με ομαλή ταχύτητα, δηλαδή a = 0,πρέπει: sinθ µ 1m 1 +µ 2 m 2 cosθ = 0 = tanθ = µ 1m 1 +µ 2 m 2 3.Στηνπερίπτωσηπου µ 1 = µ 2 = µητάσημηδενίζεται(t = 0)ενώηεπιτάχυνση απλοποιείται στην μορφή a = (sinθ µcosθ)g, ικανοποιώντας την γνωστή σχέση µ = tanθ στην οριακή περίπτωση της ομαλής κίνησης.
63 ΑΣΚΗΣΗ 3.4 Κιβώτιο1μάζας m 1 βρίσκεταιπάνωσεκιβώτιο2μάζας m 2,τοοποίομπορείνακινηθείχωρίς τριβές σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Εάν ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ των δύο κιβωτίων είναι µ s,ναβρεθείημέγιστηδύναμηπουμπορεί ναασκηθείστοκιβώτιο2ώστενααποφευχθείη ολίσθησητου1καιτοσύστηματωνδύοσωμάτωννακινηθείενιαία. Λύση Εάντοσώμα2κινείταιπροςταδεξιά,τότετοσώμα1τείνειλόγωαδράνειαςνακινηθεί προςτααριστεράσχετικάμετο2,οπότεηδύναμητριβήςπουασκείταισ αυτόέχει την ίδια κατεύθυνση με την επιτάχυνση. Οι δυνάμεις που ασκούνται σε κάθε σώμα ξεχωριστά φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Δεδομένουότιστοσώμα1τοβάροςτου m 1 gεξουδετερώνεταιαπότηναντίδραση N 1 πουτουασκείτοσώμα2,ημοναδικήδύναμηπουδραγιανατοεπιταχύνειείναιη δύναμητριβής f s : f s = m 1 a = f max s = m 1 a max = m 1 gµ s = a max = µ s g Ηκίνησητουσυστήματοςκαιτωνδύοσωμάτων ( )γίνεταιυπότηνεπίδραση τηςδύναμης F,οπότεισχύει: F = ( )a = F max = ( )a max = F max = ( )µ s g
64 Σημείωση Η εξίσωση κίνησης μόνο του σώματος 2 αναπαράγει τη κίνηση της συστοιχίας και των δύο σωμάτων: F f s = m 2 a = F m 1 a = m 2 a = F = ( )a ΑΣΚΗΣΗ 3.5 Μικρή μπάλα αμελητέου βάρους κτυπά το οριζόντιο επίπεδο υπό γωνία θ σε σχέση με την κατακόρυφο. Εάν ο συντελεστής τριβής μεταξύ της μπάλας και του επιπέδου είναι µ, να υπολογιστεί η γωνία ανάκλασης της μπάλας φ. Λύση Εστωότιημπάλαέχειορμή pτομέτροτηςοποίαςείναι p = mv. Αυτήαναλύεται σεδύοσυνιστώσες p x = mvsinθκαι p y = mvcosθ.κατάτηδιάρκειαμιαςελαστικής κρούσηςχωρίςτριβές,ηοριζόντιασυνιστώσα p x μένειαμετάβλητη,ενώηκατακόρυφη αλλάζειφοράδιατηρώνταςτομέτροτης p y σταθερό. Κατάτοντρόποαυτόηγωνία ανάκλασης ισούται με την γωνία πρόσπτωσης θ, όπως φαίνεται στο αριστερό σχήμα παρακάτω. Η ύπαρξη τριβής εναντιώνεται στην κίνηση του σώματος και άρα επιφέρει αλλαγή του μέτρουτηςοριζόντιαςσυνιστώσαςτηςορμής p x.γιατονυπολογισμότηςυποθέτουμε ότιηδιάρκειατηςκρούσηςείναι t,οπότεηελάττωσητηςορμήςθαδίνεταιαπότο γινόμενο f t, όπου f η δύναμη τριβής. Κατά συνέπεια, η οριζόντια συνιστώσα της
65 ορμήςμετάτηνκρούσηθαέχειμέτρο: p x = mvsinθ f t = mvsinθ µ p y t t = mvsinθ µ p y Αλλά p y = mvcosθ ( mvcosθ) = 2mvcosθ,οπότεηπαραπάνωσχέσηγίνεται: p x = mvsinθ 2µmvcosθ Συνεπώς, η ζητούμενη γωνία φ υπολογίζεται από τη σχέση: tanφ = p x p y = mvsinθ 2µmvcosθ mvcosθ = tanφ = tanθ 2µ 3.2 Οπισθέλκουσα Δύναμη ΑΣΚΗΣΗ 3.6 Στερεόσώμαμάζας mξεκινάχωρίςαρχικήταχύτητακαιπέφτειπροςτακάτωυπό τηνεπίδρασητουβαρυτικούπεδίουτηςγης.εάνηαντίστασητουαέραδίνεταιαπότη σχέση F = kv,όπου vηταχύτητάτουκαι kσταθερά,ναβρεθείηχρονικήεξέλιξη της ταχύτητας του σώματος αυτού. Λύση Θεωρώντας θετική φορά των διανυσμάτων προς τα κάτω θα ισχύει η σχέση: mg kv = ma = mg kv = m dv dt = g k m v = dv dt v = dv dv = dt = g k v m 0 g kv = d ( g k dt = v) m m 0 0 g kv = k m m = ln (g km ) ln(g) v = km (1 t = ln kmg ) v = k m t t = 1 k mg v = e k m t = v = mg k v (1 e k m t ) Η σχέση αυτή δείχνει την εκθετική αύξηση της ταχύτητας προς την οριακή τιμή v 0 = lim t v = mg k t 0 dt
66 ΑΣΚΗΣΗ 3.7 Σώμαρίπτεταιπροςταπάνωμεαρχικήταχύτητα v 0.Εάνηαντίστασητουαέραδίνεται απότησχέση F = kv, όπου v ηταχύτητάτουσώματοςκαι k γνωστήθετική σταθερά,ναβρεθείμετάαπόπόσοχρόνοτοσώμααυτόθασταματήσει. Λύση Θεωρώντας θετική φορά των διανυσμάτων προς τα πάνω θα ισχύει η σχέση: = dv g + k m Παρατήρηση ma = mg kv = m dv dt 0 = dt = v v 0 = ln ( g + k m v 0 = mg kv = dv dt = g k m v dv t 0 ( g + kv = d g + k dt = v) m m 0 v 0 g + kv = k m m ) ln(g) = km ( t = ln 1+ k ) mg v 0 = k m t = t = m k ln (1+ k mg v 0 Οχρόνοςανόδουότανδενυπάρχειαντίστασητουαέρα(k = 0)πρέπειναγίνεταιίσος με t = v 0 /g. Επειδήηευρεθείσαπαραπάνωέκφρασηγιατονχρόνοανόδουκαιγια k = 0 οδηγεί σε απροσδιόριστη μορφή, εξετάζουμε το όριο: ( ) ( lim t = lim m k 0 k 0 k ln 1+ k ) ln 1+ k v mg v mg 0 0 = mlim k 0 k ) = mlim k 0 v 0 mg t 1+ k mg v 0 0 dt = lim k 0 t = v 0 g το οποίο ταυτίζεται με την αναμενόμενη τιμή.
67 3.3 Προτεινόμενες Ασκήσεις ΑΣΚΗΣΗ 3.8 ΟκύβοςΒτουσχήματοςζυγίζει711Ν.Ο συντελεστής στατικής τριβής ανάμεσα στον κύβοκαιτοτραπέζιείναι0.25.ηγωνία θείναι 30 o. ΥποθέστεότιτοσχοινίμεταξύτουΒκαιτου κόμπου είναι οριζόντιο. Βρείτε το μέγιστο βάρος τουκύβουαγιατοοποίοτοσύστημαθαείναι ακίνητο. Απάντηση: W A = 103N (Άσκηση6.23 Halliday-Resnick) ΑΣΚΗΣΗ 3.9 Κιβώτιο ολισθαίνει προς τακάτωσεορθογώνιοαυλάκι, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης ανάμεσα στοκιβώτιοκαιτοαυλάκιείναι µ k. Πόσηείναιηεπιτάχυνσητουκιβωτίουσυναρτήσειτων µ k, θκαι g; Απάντηση: a = g ( sinθ 2µ k cosθ ) (Άσκηση6.69 Halliday-Resnick) ΑΣΚΗΣΗ 3.10 Πλοιάριομάζας mταξιδεύειμεταχύτητα vότανημηχανήτουσταματά. Ηδύναμη τριβήςανάμεσαστοπλοίοκαιτονερόδίνεταιαπότησχέση f k = λ v,όπουλθετική σταθερά. Να υπολογιστεί ο χρόνος που διέρχεται μέχρι το πλοιάρια να επιβραδυνθεί στομισότηςαρχικήςτουταχύτητας v 2. Απάντηση: t = ln2 λ m
68