ΤΡΟΧΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ 1 ( 1, 1 ) ορθογωνίου συστήματος r1 1 1
ΤΡΟΧΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ (, ) ορθογωνίου συστήματος r
ΤΡΟΧΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ 3 ( 3, 3 ) ορθογωνίου συστήματος r3 3 3
ΤΡΟΧΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ 4 ( 4, 4 ) ορθογωνίου συστήματος r4 4 4
ΤΡΟΧΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ 5 ( 5, 5 ) ορθογωνίου συστήματος r5 5 5
ΤΡΟΧΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ 6 ( 6, 6 ) ορθογωνίου συστήματος r6 6 6
ΤΡΟΧΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ 7 ( 7, 7 ) ορθογωνίου συστήματος r7 7 7
ΤΡΟΧΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ 8 ( 8, 8 ) ορθογωνίου συστήματος r8 8 8
1 ( 1, 1 ) r 1 (, ) 3 ( 3, 3 ) r r 3 4 ( 4, 4 ) r 4 ΤΡΟΧΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ 6 ( 6, 6 ) 5 ( 5, 5 ) r 5 r 6 7 ( 7, 7 ) r 8 7 (8, 8 ) r 8 ορθογωνίου συστήματος
ΤΡΟΧΙΑ ΜΕΣΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ (, ) Δr f = + ( f, f ) Μονάδα Ταχύτητας: r ορθογωνίου συστήματος m s r f Χρονικό Διάστημα: Μετατόπιση: Μέση Ταχύτητα: f f Δr υ vg f r f r Δr
r r f f f r f r r Δ Δ Δ r υ vg Δ Δ Δ Δ Δ Δ υ vg, Δ Δ υ vg, Δ Δ Συνιστώσες του διανύσματος της Μέσης Ταχύτητας f f ) ( ) ( ΤΡΟΧΙΑ ΜΕΣΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ
(,) ΤΡΟΧΙΑ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑ Δr + (+Δ, +Δ) r r Δr ορθογωνίου συστήματος
0 ΤΡΟΧΙΑ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑ + (+Δ, +Δ) (,) Δr r r Δr ορθογωνίου συστήματος
0 ΤΡΟΧΙΑ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑ + (+Δ, +Δ) (,) Δr r r Δr ορθογωνίου συστήματος
0 d Δ r dr dr Δ d Δ d ορθογωνίου συστήματος με την εφαπτομένη στο σημείο, της τροχιάς r ΤΡΟΧΙΑ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑ +d (+d, +d) dr (,) r dr Στιγμιαία Ταχύτητα: υ υ lm 0 dr Δr dr d
ΤΡΟΧΙΑ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑ (,) υ dr d r ορθογωνίου συστήματος Σε κάθε χρονική στιγμή, η στιγμιαία ταχύτητα του σωματιδίου είναι εφαπτομένη στη τροχιά που διαγράφει
υ ΤΡΟΧΙΑ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑ υ υ θ υ υ υ υ r υ υcosθ ορθογωνίου συστήματος υ υ snθ υ υ υ υ υ υ
r ΤΡΟΧΙΑ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑ dr d d υ dr d d d d d Συνιστώσες του διανύσματος της Στιγμιαίας Ταχύτητας Στιγμιαία Ταχύτητα υ υ υ d d d d υ υ
Ανακεφαλαιώνοντας, έστω ότι σωματίδιο που κινείται στο επίπεδο διαγράφοντας μια συγκεκριμένη τροχιά και τη χρονική στιγμή βρίσκεται στη θέση Α. Η στιγμιαία ταχύτητά του θα δίνεται από τη γνωστή σχέση: ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑ r() Α ds() dr Δr r( + ) ds Όπου ds η στοιχειώδης μετατόπιση σε χρόνο d. d r () Το διάνυσμα δείχνει τη θέση του σωματιδίου τη χρονική στιγμή και ονομάζεται διάνυσμα θέσης. Μετά από χρόνο το διάνυσμα θέσης θα είναι το r ( ) Βλέπουμε εύκολα, ότι Δr =r ( ) r ( ) Κατανοούμε ότι για 0, Δr dr =ds
dr = ds Επομένως η στιγμιαία ταχύτητα του σωματιδίου θα είναι: lm 0 0 Έστω, οι συντεταγμένες του σημείου Α. Τότε θα έχουμε: r () () () dr d d Επομένως: d d d Θα ισχύει:, х ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑ r ( ) () lm r r d d d d dr d r() х Α
ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑ Εντελώς ανάλογα για κίνηση στο χώρο: r () () () zk () dr d d dz k zk zk d d d d d d dz,, z d d d
ΤΡΟΧΙΑ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑ 1 ( 1, 1 ) υ 1 ορθογωνίου συστήματος r1 1 1
ΤΡΟΧΙΑ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑ (, ) ορθογωνίου συστήματος r υ
ΤΡΟΧΙΑ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑ 3 ( 3, 3 ) υ 3 ορθογωνίου συστήματος r3 3 3
ΤΡΟΧΙΑ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑ 4 ( 4, 4 ) υ 4 ορθογωνίου συστήματος r4 4 4
ΤΡΟΧΙΑ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑ υ 5 5 ( 5, 5 ) ορθογωνίου συστήματος r5 5 5
ΤΡΟΧΙΑ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑ 6 ( 6, 6 ) υ 6 ορθογωνίου συστήματος r6 6 6
ΤΡΟΧΙΑ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑ 7 ( 7, 7 ) υ 7 ορθογωνίου συστήματος r7 7 7
ΤΡΟΧΙΑ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑ 8 ( 8, 8 ) ορθογωνίου συστήματος r8 8 8 υ 8
vg υ f f υ Δυ ΤΡΟΧΙΑ ΜΕΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ υ (, ) υ f vg f ( f, f ) ορθογωνίου συστήματος r υ r f Δυ υ f Μονάδα μέτρησης της επιτάχυνσης: m s
0 ΤΡΟΧΙΑ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ (,) υ + (+Δ,+Δ) υ Δυ r r Δr ορθογωνίου συστήματος
0 d Δ υ dυ ΤΡΟΧΙΑ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ (,) υ +d (+d,+d) dυ υ dυ lm 0 Δυ dυ d ορθογωνίου συστήματος r r Δr υ υ dυ dυ
υ υ υ ΤΡΟΧΙΑ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ dυ d dυ d dυ d Συνιστώσες του διανύσματος της Στιγμιαίας Ταχύτητας dυ d dυ d Στιγμιαία Επιτάχυνση
cosθ snθ + r ΤΡΟΧΙΑ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ θ υ ορθογωνίου συστήματος +
+ ΤΡΟΧΙΑ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ υ cosθ snθ r θ =επιτρόχιος επιτάχυνση, αυξάνει την ταχύτητα u + =ακτινική ή κεντρομόλος επιτάχυνση, καμπυλώνει την τροχιά
ΤΡΟΧΙΑ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ 1 ( 1, 1 ) υ 1 ορθογωνίου συστήματος r1 1 1
ΤΡΟΧΙΑ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ (, ) ορθογωνίου συστήματος r υ
ΤΡΟΧΙΑ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ 3 ( 3, 3 ) υ 3 ορθογωνίου συστήματος r3 3 3
ΤΡΟΧΙΑ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ 4 ( 4, 4 ) υ 4 ορθογωνίου συστήματος r4 4 4
ΤΡΟΧΙΑ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ υ 5 5 ( 5, 5 ) ορθογωνίου συστήματος r5 5 5
ΤΡΟΧΙΑ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ 6 ( 6, 6 ) υ 6 ορθογωνίου συστήματος r6 6 6
ΤΡΟΧΙΑ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ 7 ( 7, 7 ) υ 7 ορθογωνίου συστήματος r7 7 7
ΤΡΟΧΙΑ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ 8 ( 8, 8 ) ορθογωνίου συστήματος r8 8 8 υ 8
dυ d ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ σταθερή dυ d dυ d dυ d dυ d σταθερή σταθερή
( ) ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ σταθερή α ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ Δυ d d d f d d d c1 c 1 Αρχική Συνθήκη c 1 Δ f f
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ( ) σταθερή ( ) σταθερή α α Δυ Δυ f f d d d d Δ Δ f f f f
υ υ f υ Δ f f d d d ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ 1 1 d () f 1 d () ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ d c d d c d( ) c d c 1 ( ) c Αρχική Συνθήκη c d c 0 1 ()
f ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ f υ υ f υ d d 1 d () d f d υ f υ d d d d f d Δ f 1 1 () Δ f 1 1 ()
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ f f 1 () υ f f υ f 1 () rf r υ ( ) = f 1 ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΜΕΝΟΙ ΔΕΙΚΤΕΣ = 0 =0 f = = = 0 = 0 f = f =
0 0 0 0 1 0 0 1 υ υ 0 0 0 1 υ r r ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΙΝΗΣΗ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ
ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑ - ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ Στην περίπτωση που η ταχύτητα μεταβάλλεται η στιγμιαία επιτάχυνση θα είναι: lm ( ) () lm 0 0 Για τις διαστάσεις: d d d d d d Για τις 3 διαστάσεις: d d d d d d d d d d z k k z d d d d ΠΡΟΣΟΧΗ!!! d d d z k d d d Καρτεσιανό Όλα αυτά ισχύουν στο σύστημα!
ΓΩΝΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΚΑΙ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ Υλικό σημείο Σ κινείται στην καμπύλη (ε). Στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα: d k d Όπου k μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο κίνησης. Στιγμιαία γωνιακή επιτάχυνση: d d