ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΤΑΛΛΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΗΜΙΑΚΑΜΠΤΕΣ ΣΥΝ ΕΣΕΙΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΝΙΚΟΥ. ΝΑΝΟΥΣΗ ιπλωµατούχου Πολιτικού Μηχανικού Α.Π.Θ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΤΑΛΛΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΗΜΙΑΚΑΜΠΤΕΣ ΣΥΝ ΕΣΕΙΣ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ, 2005

ΣΥΜΒΟΥΛΕΥΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ Καθηγητής Α.Π.Θ. X. Μπανιωτόπουλος, Επιβλέπων Αναπλ. Καθηγητής Α.Π.Θ. Α. Αβδελάς, Μέλος Επίκ. Καθηγητής Α.Π.Θ. M. Ζυγοµαλάς, Μέλος ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ Καθηγητής Α.Π.Θ. Χ. Μπανιωτόπουλος Καθηγητής Α.Π.Θ. K. Θωµόπουλος Καθηγητής Πολυτεχνείου Κρήτης Γ. Σταυρουλάκης Αναπλ. Καθηγητής Α.Π.Θ. Α. Αβδελάς Αναπλ. Καθηγητής Α.Π.Θ. X. Μπίσµπος Επίκ. Καθηγητής Α.Π.Θ. M. Ζυγοµαλάς Επίκ. Καθηγητής Α.Π.Θ. E. Κολτσάκης Υποβλήθηκε στο Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών, Τοµέας Επιστήµης και Τεχνολογίας των Κατασκευών Ηµεροµηνία Προφορικής Εξέτασης: 17 Οκτωβρίου 2005

«Η έγκριση της παρούσης ιδακτορικής ιατριβής από το Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών της Πολυτεχνικής Σχολής του Αριστοτελείου Πανεπιστηµίου Θεσσαλονίκης δεν υποδηλώνει αποδοχή των γνωµών του συγγραφέως» (Ν. 5343/1932, άρθρο 202, παρ. 2).

I ΠΡΟΛΟΓΟΣ Oι ηµιάκαµπτοι κόµβοι στις κατασκευές από χάλυβα πέρασαν πολλά στάδια εξέλιξης τα τελευταία 50 χρόνια και σήµερα φαίνεται να βρίσκονται στο κατώφλι της ευρείας χρήσης τους. Αυτό οφείλεται κυρίως στην ύπαρξη και διάθεση µεγάλης ποικιλίας προγραµµάτων ηλεκτρονικών υπολογιστών σε συνδυασµό µε τη θεώρηση των οριακών καταστάσεων, που ως αποτέλεσµα παρέχουν ικανοποιητικό βαθµό ακρίβειας, χωρίς την απαίτηση απαγορευτικά µεγάλων χρόνων κατά την εκτέλεση της ανάλυσης και διαστασιολόγησης των χαλύβδινων φορέων. ηµιουργούνται έτσι οι προϋποθέσεις για την ικανοποίηση της ανάγκης των συνεχώς οικονοµικότερων λύσεων σε κόστος υλικού και εργατικά, ανάγκης συνεχώς αυξανόµενης στις ηµέρες µας. Το καλοκαίρι του 1996 µου ανατέθηκε ως θέµα διδακτορικής διατριβής ο υπολογισµός των µεταλλικών κατασκευών µε ηµιάκαµπτες συνδέσεις, από τον αείµνηστο καθηγητή Π.. Παναγιωτόπουλο. Η ευρύνοια και οξυδέρκειά του ανέδειξαν άµεσα και αβίαστα τις ενδιαφέρουσες πτυχές του αντικειµένου της διατριβής, η εξέλιξη της οποίας διακόπηκε απότοµα το καλοκαίρι του 1998 µε τον ξαφνικό του θάνατο. Αργότερα, την επίβλεψη της έρευνας ανέλαβε ο καθηγητής κύριος Χ. Μπανιωτόπουλος, τον οποίο ευχαριστώ ιδιαίτερα τόσο για τις ουσιαστικές και πολύτιµες καθ ύλην επιστηµονικές και ευρύτερα µεθοδολογικές του υποδείξεις, όσο και για την άοκνη εµπιστοσύνη που µου έδειξε στα χρόνια που ακολούθησαν. Η καθοδήγησή του υπήρξε συνεπής, αδιάλειπτη, καθοριστική και αποτελεσµατική σε σχέση µε τους στόχους και την εξέλιξη της εργασίας.

II Παράλληλα, αισθάνοµαι ειλικρινή και αµετάκλητη ευγνωµοσύνη για ορισµένα πρόσωπα που µε βοήθησαν κατά τη µακρόχρονη εκπόνηση του παρoύσας εργασίας και συγκεκριµένα για: Τον κύριο Πάρη Αλτίδη, επικεφαλής µηχανικό στο Borg Warner Transmission Systems - Drivetrain group στο Σικάγο των Η.Π.Α., χρήστη και αξιολογητή των µεγαλύτερων γνωστών κωδίκων ανάλυσης µε πεπερασµένα στοιχεία, συµπεριλαµβανοµένων των ANSYS, NASTRAN, ABAQUS, COSMOS, DYNA και DYTRAN. Η βοήθεια που µου πρόσφερε αγόγγυστα ο κύριος Αλτίδης, µέσω των πολυάριθµων συζητήσεών µας και υποδείξεών του επί διετία σε θέµατα πεπερασµένων στοιχείων, αποτέλεσε αναγκαία συνθήκη για την ολοκλήρωση της διατριβής. Τη σύντροφό µου στη ζωή Κωνσταντίνα Χελιδόνη, πολιτικό µηχανικό Α.Π.Θ., για την αρραγή της εµπιστοσύνη και τη σιωπηρή της υποµονή. Πρόκειται για στοιχεία συµπεριφοράς ανεκτίµητης αξίας, που µου προσφέρθηκαν αφειδώς. Τη µητέρα µου, για τη συµµετοχή της στο όραµά µου, αυτό της περαίωσης της εργασίας, και για την ενεργό της ψυχολογική και ηθική συµπαράσταση. Το λέκτορα κύριο Αναστάσιο Σέξτο για τη δηµιουργική κριτική του, του οποίου η διδακτορική διατριβή αποτέλεσε επιπρόσθετα µορφολογικό υπόδειγµα για τη σύνταξη της παρούσας. Την κυρία Αnett Banisch, πολιτικό µηχανικό του Bauhaus Universität της Weimar, για τη µετάφραση κειµένων από τη γερµανική βιβλιογραφία και την κυρία Βίκυ Χαρίσκου, για την ταχεία και επιµελή δακτυλογράφηση τµηµάτων του κειµένου. Σε όλους όσοι αναφέρθηκαν, εκφράζω τις ευχαριστίες µου σε βαθµό ανάλογο µε τη διάθεση της προσφοράς τους. Θεσσαλονίκη, Σεπτέµβριος 2005 Νίκος. Νανούσης

III ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ι ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΙΙ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ VII ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ XV ΕΙΣΑΓΩΓΗ XVI ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ορισµοί, ταξινόµηση κόµβων, εφαρµοσιµότητα επιλογές 1 1.1 ΓΕΝΙΚΑ 1 1.2 ΟΡΙΣΜΟΙ 2 1.3 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΚΟΜΒΩΝ 4 1.3.1 Ανάλογα µε τον τρόπο της σύνδεσης 5 1.3.2 Ανάλογα µε τα δοµικά στοιχεία που συνδέουν 5 1.3.3 Ανάλογα µε το µεταφερόµενο εντατικό µέγεθος στο εσωτερικό του κόµβου 8 1.3.4 Ανάλογα µε την αντοχή του κόµβου 10 1.3.5 Ανάλογα µε τη στροφική δυσκαµψία του κόµβου 12 1.3.6 Ανάλογα µε την πλαστιµότητα του κόµβου 23 1.4 ΕΦΑΡΜΟΣΙΜΟΤΗΤΑ ΕΠΙΛΟΓΕΣ 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 οµικές ιδιότητες των συνδέσεων 27 2.1 ΓΕΝΙΚΑ 27 2.2 ΜΕΘΟ ΟΙ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ 28 2.3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΡΟΠΗΣ - ΣΤΡΟΦΗΣ 29 2.3.1 Γενικά 29 2.3.2 Αναλυτικές σχέσεις µε βάση τη δυσκαµψία, αντοχή και παράγοντες σχήµατος 30 2.3.3 Προσαρµογή καµπύλης Μ φ µε χρήση ανάλυσης παλινδρόµησης 38

IV 2.4 ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ 40 2.4.1 Ορισµoί 40 2.4.2 Καθορισµός της στροφικής ικανότητας των κόµβων από την ικανότητα παραµόρφωσης των συστατικών τους 45 2.4.3 Eπιβεβαίωση της επαρκούς στροφικής ικανότητας 49 2.4.4 Σχόλια για τις µεθόδους υπολογισµού της στροφικής ικανότητας 51 2.4.5 Η στροφική ικανότητα ως παράγοντας σχεδιασµού των κατασκευών διατάξεις Ευρωκώδικα 3 52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής στροφής 55 3.1 ΓΕΝΙΚΑ 55 3.2 ΕΜΠΕΙΡΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ 56 3.2.1 Μοντέλο των Frye και Μοrris 56 3.2.2 Μοντέλο του Krishnamurthy 57 3.2.3 Μοντέλο τou Κukreti 60 3.2.4 Moντέλο των Attiogbe και Morris 63 3.2.5 Μοντέλο των Faella, Piluso και Rizzano 63 3.2.6 Παρατηρήσεις στα εµπειρικά µοντέλα 64 3.3 ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ 64 3.3.1 Μοντέλο του Chen κ.ά. 65 3.3.2 Μοντέλο των Yee και Melchers 68 3.4 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ 69 3.4.1 Γενικά 69 3.4.2 Πανεπιστήµιο του Innsbruck 71 3.5 ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΟΣ J ΤΟΥ ΕΥΡΩΚΩ ΙΚΑ 3 73 3.5.1 Γενικά 73 3.5.2 Μοντέλα κόµβων που ανταποκρίνονται στην πραγµατική συµπεριφορά 74 3.5.3 Απλοποιηµένο µοντέλο κόµβου 75 3.5.4 Πεδίο εφαρµογής της µεθόδου των συστατικών 77 3.5.5 Mοντέλα συστατικών (µοντέλα ελατηρίων) 79 3.5.6 Σύνθεση συστατικών 80 3.5.7 Εξιδανίκευση καµπύλης Μ - φ 81 3.5.8 Αρχές της µεθόδου των συστατικών διάγραµµα ροής 84 3.5.9 Καθορισµός των συντελεστών δυσκαµψίας k i 88 3.5.10 Μειωτικός συντελεστής k wc 94

V 3.6 ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ 95 3.6.1 Γενικά 95 3.6.2 Μοντέλo του Πανεπιστηµίου της Liège 96 3.6.3 Μοντέλo του Πανεπιστηµίου του Delft (TU) 97 3.6.4 Μοντέλo του Πανεπιστηµίου RWTH Aachen 98 3.7 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΟΚΙΜΕΣ 98 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ηµιάκαµπτοι κόµβοι σε χαλύβδινα πλαίσια 101 4.1 ΓΕΝΙΚΑ 101 4.2 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΠΛΑΙΣΙΩΝ 102 4.2.1 Aντιστηριζόµενα (braced) και µη αντιστηριζόµενα (unbraced) πλαίσια 103 4.2.2 Πλευρικά εύκαµπτα (sway) και δύσκαµπτα (non-sway) πλαίσια 105 4.2.3 Ο ρόλος των κόµβων στην απόκριση των µη αντιστηριζόµενων πλαισίων 108 4.2.4 Ο ρόλος των κόµβων στην απόκριση των αντιστηριζόµενων πλαισίων 117 4.3 ΚΟΜΒΟΙ ΚΑΙ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΠΛΑΙΣΙΩΝ 120 4.3.1 Μέθοδοι υπολογισµού 120 4.3.2 Ευρωκώδικας 3 - γενικά 122 4.3.3 Απλά πλαίσια (Ευρωκώδικας 3) 122 4.3.4 Συνεχή πλαίσια (Ευρωκώδικας 3) 122 4.3.5 Ηµισυνεχή πλαίσια (Ευρωκώδικας 3) 123 4.3.6 Σχέση πλαισίων συνδέσεων 124 4.3.7 Μήκος λυγισµού υποστυλωµάτων σε πλαίσια µε ηµιάκαµπτους κόµβους 130 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Αριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 131 5.1 ΓΕΝΙΚΑ 131 5.2 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΣΤΕΡΕΟΥΣ, ΑΡΘΡΩΤΟΥΣ και ΗΜΙΑΚΑΜΠΤΟΥΣ ΚΟΜΒΟΥΣ 132 5.2.1 Γενικά 132 5.2.2 ιαµόρφωση κόµβων 134 5.2.3 Φορτία φορτίσεις 135 5.2.4 Έλεγχος λειτουργικότητας 138 5.2.5 Μεθοδολογία ανάλυσης φορέα µε ηµιάκαµπτους κόµβους 138 5.2.6 Αποτελέσµατα διαστασιολόγησης συµπεράσµατα 139

VI 5.3 ΕΥΡΕΣΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΤΟΧΗΣ ΧΑΛΥΒ ΙΝΟΥ ΚΟΜΒΟΥ ΟΚΟΥ ΥΠΟΣΤΥΛΩΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΟΥ ΚΑΤΑ ΤΟΝ ΕΥΡΩΚΩ ΙΚΑ 3 142 5.3.1 Μηχανικά χαρακτηριστικά 142 5.3.2 Γεωµετρικά χαρακτηριστικά 143 5.3.3 Εύρεση στροφικής δυσκαµψίας 144 5.3.4 Εύρεση αντοχής 148 5.3.5 Ταξινόµηση ως προς τη δυσκαµψία 154 5.4 ΜΟΝΤΕΛΟ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ANSYS 155 5.4.1 Γενικά 155 5.4.2 Στοιχεία SOLID45 160 5.4.3 Στοιχεία SOLID185 161 5.4.4 Σύγκριση στοιχείων SOLID45 µε στοιχεία SOLID185 163 5.4.5 Μονόπλευρη επαφή και χρησιµοποιούµενα στοιχεία 166 5.4.6 Παρουσίαση των επιµέρους τµηµάτων του µοντέλου 173 5.4.7 Eπιβολή φόρτισης 191 5.4.8 Aποτελέσµατα αναλύσεων 194 5.5 ΓΕΝΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 217 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Συµπεράσµατα, κριτική προτάσεις 219 6.1 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 219 6.2 ΚΡΙΤΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ 231 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 233 SUMMARY 247

VII ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήµα 1.1: Συνδέσεις σε ένα πολυώροφο πολύστυλο πλαίσιο 2 Σχήµα 1.2: Τµήµατα της διάταξης ενός κόµβου δοκού - υποστυλώµατος 3 Σχήµα 1.3: ιατάξεις κόµβων 4 Σχήµα 1.4: Κόµβοι δοκού υποστυλώµατος που µεταφέρουν ροπή 5 Σχήµα 1.5: Κόµβοι δοκού υποστυλώµατος που µεταφέρουν τέµνουσα 5 Σχήµα 1.6: Κόµβοι δοκού δοκού που µεταφέρουν ροπή 6 Σχήµα 1.7: Κόµβοι δοκού δοκού που µεταφέρουν τέµνουσα 6 Σχήµα 1.8: Κόµβοι συνέχειας υποστυλώµατος 6 Σχήµα 1.9: Κόµβοι βάσης υποστυλώµατος 7 Σχήµα 1.10: Κόµβοι µε οριζόντιους δικτυωτούς συνδέσµους 7 Σχήµα 1.11: Κόµβοι µε κατακόρυφους δικτυωτούς συνδέσµους 7 Σχήµα 1.12: Κόµβοι που µεταφέρουν τη θλιπτική ή εφελκυστική δύναµη του συνδεόµενου µέλους 8 Σχήµα 1.13: Κόµβοι που µεταφέρουν θλιπτική δύναµη τοπικά 9 Σχήµα 1.14: Κόµβοι που µεταφέρουν εφελκυστική δύναµη τοπικά 9 Σχήµα 1.15: Κόµβοι που µεταφέρουν τέµνουσα δύναµη µέσω της σύνδεσης 9 Σχήµα 1.16: Κόµβοι που µεταφέρουν τέµνουσα δύναµη µέσω της ζώνης κορµού υποστυλώµατος 10 Σχήµα 1.17: Ταξινόµηση ανάλογα µε την αντοχή του κόµβου 10 Σχήµα 1.18: Ταξινόµηση κόµβων δοκού υποστυλώµατος ανάλογα µε την αντοχή του κόµβου 11 Σχήµα 1.19: Ταξινόµηση ανάλογα µε τη δυσκαµψία του κόµβου (Ευρωκώδικας 3) (CEN, 1992) 12 Σχήµα 1.20: Ο κόµβος πρέπει να ταξινοµείται ως ονοµαστικά αρθρωτός, ακόµα και αν η αρχική του δυσκαµψία είναι µεγάλη (Gomes, 1999) 13 Σχήµα 1.21: Ταξινόµηση ανάλογα µε τη δυσκαµψία του κόµβου (Τschemmernegg κ.ά., 1997) 13 Σχήµα 1.22: Συντελεστής φορτίου α σε σχέση µε την οριζόντια παραµόρφωση δ 16 Σχήµα 1.23: Αντιστηριζόµενα πλαίσια µε διάφορες συνοριακές συνθήκες στα άκρα των δοκών 17 Σχήµα 1.24: Η απαιτούµενη δυσκαµψία του κόµβου, σύµφωνα µε το κριτήριo ευστάθειας για τα πλαίσια α έως ε που απεικονίζονται στο Σχήµα 1.23, όπου Κ b /K c = 2 17 Σχήµα 1.25: Απαιτούµενη δυσκαµψία σύµφωνα µε διάφορα κριτήρια 19 Σχήµα 1.26: Απαιτούµενη δυσκαµψία των ονοµαστικά αρθρωτών κόµβων σε δίστυλα πλαίσια 20 Σχήµα 1.27: Απαιτούµενη δυσκαµψία για την ικανοποίηση του κριτηρίου οριακού φορτίου. Σύγκριση µε τα όρια δυσκαµψίας του Ευρωκώδικα 3 (CEN, 1997) 21 Σχήµα 1.28: Μη αντιστηριζόµενα πλαίσια µε ηµιάκαµπτους κόµβους (α) αρθρωτές βάσεις, (β) µορφής κυψέλης, (γ) άκαµπτες βάσεις 22 Σχήµα 1.29: Απαιτούµενη δυσκαµψία για την ικανοποίηση τoυ κριτηρίου παραµόρφωσης για διάφορες τιµές του ρ. Σύγκριση µε την προτεινόµενη σχέση 1.9 23 Σχήµα 1.30: Συγκριτική παρουσίαση τριών περιπτώσεων ηµιάκαµπτων κόµβων 24 Σχήµα 2.1: ιαφορετικές µαθηµατικές απεικονίσεις της καµπύλης ροπής - στροφής 30 Σχήµα 2.2: Τριγραµµικό µοντέλο των Moncarz και Gerstle (1981) 31

VIII Σχήµα 2.3: Τριγραµµική προσέγγιση της καµπύλης Μ φ του Ευρωκώδικα 3 (CEN, 1997) 32 Σχήµα 2.4: Απλουστευµένο διγραµµικό διάγραµµα ροπών - στροφών του Ευρωκώδικα 3 για ελαστοπλαστική ανάλυση (CEN, 1997) 32 Σχήµα 2.5: Απεικόνιση καµπύλης ροπής στροφής των Ramberg Osgood (1943) 33 Σχήµα 2.6: Εκθετική απεικόνιση καµπυλών ροπής στροφής 34 Σχήµα 2.7: Εκθετική απεικόνιση καµπυλών ροπής- στροφής µε φθίνουσα συµπεριφορά 35 Σχήµα 2.8: Νεπέρια εκθετική απεικόνιση των καµπυλών ροπής στροφής 36 Σχήµα 2.9: Νεπέρια εκθετική απεικόνιση των καµπυλών ροπής στροφής µε φθίνουσα συµπεριφορά 36 Σχήµα 2.10: Απεικόνιση της καµπύλης ροπής στροφής κατά τον Pilvin (1983) 37 Σχήµα 2.11: Απεικόνιση καµπύλης Μ φ σύµφωνα µε τον Colson (1991) 37 Σχήµα 2.12: Λογαριθµική απεικόνιση της καµπύλης Μ φ για συνδέσεις µε γωνιακά 38 Σχήµα 2.13: Στροφική ικανότητα κατά τον Ευρωκώδικα 3 (CEN, 1998) 40 Σχήµα 2.14: Στροφική ικανότητα κατά την Kuhlmann (1998) 41 Σχήµα 2.15: Στροφές Φ el και Φ pl σύµφωνα µε τους Huber και Tschemmernegg (1998) 42 Σχήµα 2.16: Ροπή Μ j,rd κατά τον Jaspart (1991) 43 Σχήµα 2.17: Εναλλακτικός τρόπος καθορισµού της Μ j,rd (Jaspart, 1991, Zanon κ.α., 1998) 43 Σχήµα 2.18: Σύγκριση µεταξύ δύο πειραµατικών καµπυλών 44 Σχήµα 2.19: Καθορισµός της µετελαστικής δυσκαµψίας K St 44 Σχήµα 2.20: Υπολογισµός της ροπής M j,ini κατά Weynand (1997) 45 Σχήµα 2.21: Καθορισµός της στροφικής ικανότητας κατά Weynand (1997) 46 Σχήµα 2.22: Κόµβος µε µετωπική πλάκα 46 Σχήµα 2.23: max F ep < max F c,wc < max B t 47 Σχήµα 2.24: max F c,wc < max F ep < max B t 47 Σχήµα 2.25: max B t < max F c,wc < max F ep 48 Σχήµα 2.26: Προτάσεις για συντελεστή ασφάλειας των συστατικών 49 Σχήµα 2.27: Παράδειγµα ευνοϊκής επιρροής της οµοιόµορφης υπεραντοχής διάφορων συστατικών στη στροφική ικανότητα των κόµβων 52 Σχήµα 3.1: Σύνδεση µετωπικής πλάκας µε τέσσερις εφελκυόµενους κοχλίες 58 Σχήµα 3.2: Γεωµετρικές παράµετροι της πολυωνυµικής απεικόνισης των Frye και Morris (1975) για διάφορα είδη συνδέσεων 59 Σχήµα 3.3: ιάταξη κόµβου µε εισέχουσα µετωπική πλάκα του Kukreti κ.ά. (1987) 60 Σχήµα 3.4: ιάταξη κόµβου υψηλής αντοχής µε ενισχυµένη εξέχουσα µετωπική πλάκα, που ερεύνησαν οι Kukreti κ.ά. (1990) 61 Σχήµα 3.5: Σύγκριση µεταξύ εµπειρικών µοντέλων υπολογισµού της καµπύλης Μ - φ και πειραµατικών αποτελεσµάτων (Κrishnamurthy κ.ά., 1979) 63 Σχήµα 3.6: Κόµβος δοκού υποστυλώµατος µε γωνιακά πελµάτων και δύο γωνιακά κορµού 65 Σχήµα 3.7: Γεωµετρικά χαρακτηριστικά των γωνιακών 66 Σχήµα 3.8: Μηχανικό µοντέλο για σύνδεση µε γωνιακά κορµού (Wales & Rossow, 1983) 70 Σχήµα 3.9: Μηχανικό µοντέλο για σύνδεση µε γωνιακά κορµού και πελµάτων (Chmielowiec & Richard, 1987) 70 Σχήµα 3.10: Μηχανικό µοντέλο συγκολλητού κόµβου (Tschemmernegg, 1988) 70 Σχήµα 3.11: Μηχανικό µοντέλο κοχλιωτού κόµβου (Tschemmernegg & Humer, 1988b) 71

IX Σχήµα 3.12: Πιθανές οριακές καταστάσεις εξαρτώµενες από την ικανότητα στροφής των κόµβων 72 Σχήµα 3.13: Μη γραµµική καµπύλη Μ - φ κατά το Παράρτηµα J (CEN, 1994) 74 Σχήµα 3.14: Μοντέλο κόµβου ανταποκρινόµενο στην πραγµατική συµπεριφορά του κόµβου 75 Σχήµα 3.15: Ισοδύναµο βραχύ στοιχείο αντί του στροφικού ελατηρίου 75 Σχήµα 3.16: Απλοποιηµένο µοντέλο κόµβου 76 Σχήµα 3.17: Συγκριτική παρουσίαση µοντέλου κόµβου που ανταποκρίνεται στην πραγµατική συµπεριφορά και απλοποιηµένου µοντέλου κόµβου 77 Σχήµα 3.18: Παραδείγµατα κόµβων που προβλέπει ο Ευρωκώδικας 3 (CEN, 1997) 78 Σχήµα 3.19: Σύνθεση ελατηρίων σε σειρά 81 Σχήµα 3.20: ιγραµµικά διαγράµµατα ροπών στροφών 82 Σχήµα 3.21: Γραµµική απεικόνιση της καµπύλης Μ φ 83 Σχήµα 3.22: Τέλεια πλαστική απεικόνιση της καµπύλης Μ φ 83 Σχήµα 3.23: Μη γραµµικές απεικονίσεις της καµπύλης Μ φ 84 Σχήµα 3.24: Κοχλιωτός κόµβος µε µη εξέχουσα µετωπική πλάκα καταπονούµενος από ροπή 84 Σχήµα 3.25: Μοντέλο ελατηρίων σε µη ενισχυµένο συγκολλητό κόµβο 87 Σχήµα 3.26: Μοντέλο ελατηρίων σε κοχλιωτό κόµβο δοκού υποστυλώµατος µε µετωπική πλάκα και δύο σειρές κοχλιών σε εφελκυσµό 87 Σχήµα 3.27: Εξιδανικεύσεις µε χρήση του βραχέος Τ 88 Σχήµα 3.28: Βραχύ Τ σε άκαµπτη βάση. 89 Σχήµα 3.29: Ελαστικές παραµορφώσεις του βραχέος Τ 90 Σχήµα 3.30.α: Συνισταµένη τέµνουσα V λόγω ανάλυσης πλαισίου και άµεσης εφαρµογής φορτίου 91 Σχήµα 3.30.β: Τέµνουσα V ως γινόµενο της δύναµης F επί την παράµετρο µετασχηµατισµού β i 91 Σχήµα 3.31: Κορµός υποστυλώµατος 94 Σχήµα 3.32: Μειωτικός συντελεστής k wc 95 Σχήµα 3.33: Επιρροή της µετελαστικής δυσκαµψίας του κόµβου στην απαιτούµενη στροφική του ικανότητα 96 Σχήµα 3.34: Σύστηµα µε οριζόντια φορτία που προκύπτουν από τον κινηµατικό µηχανισµό 97 Σχήµα 3.35: Στροφή γραµµή Whöhler υπό βραχεία κόπωση 98 Σχήµα 4.1: Μοντέλα κόµβων για την ανάλυση των πλαισίων (Rizzano, 1995) 102 Σχήµα 4.2: Συνήθη συστήµατα αντιστήριξης 103 Σχήµα 4.3: Υποδιαίρεση αρθρωτής κατασκευής σε δύο υποσυστήµατα 104 Σχήµα 4.4: Υποδιαίρεση µερικώς αρθρωτής κατασκευής σε δύο υποσυστήµατα 104 Σχήµα 4.5: Απλοποιηµένο µοντέλο (Faella, 1994) 108 Σχήµα 4.6: Επιρροή της σύνδεσης στην ευαισθησία των πλαισίων σε σχέση µε τα φαινόµενα δεύτερης τάξης 110 Σχήµα 4.7: οκιµή κάµψης τριών σηµείων 112 Σχήµα 4.8: Επιρροή της στροφικής δυσκαµψίας των κόµβων στη διαθέσιµη καθολική πλαστιµότητα (συνδέσεις πλήρους αντοχής) 113 Σχήµα 4.9: Καµπύλη φορτίου - µετατόπισης για συνδέσεις µερικής αντοχής (Faella κ.ά., 1994) 114 Σχήµα 4.10: Επιρροή των κόµβων δοκού υποστυλώµατος στη διαθέσιµη πλαστιµότητα 116

X Σχήµα 4.11: Απλοποιηµένο µοντέλο για τη διερεύνηση της επιρροής των συνδέσεων στο κατακόρυφο κρίσιµο φορτίο των αντιστηριζόµενων πλαισίων (Faella κ.ά., 1995) 117 Σχήµα 4.12: Απλοποιηµένο µοντέλο για τη διερεύνηση της επιρροής των συνδέσεων στην κατανοµή των ροπών στις δοκούς των αντιστηριζόµενων πλαισίων (Faella κ.ά., 1995) 118 Σχήµα 4.13: Επιρροή της στροφικής δυσκαµψίας των κόµβων στο κατακόρυφο κρίσιµο φορτίο των αντιστηριζόµενων πλαισίων 119 Σχήµα 4.14: Άκαµπτη πλαστική ανάλυση (πλαστική άρθρωση) 121 Σχήµα 4.15: Ελαστοπλαστική ανάλυση (πλαστική ζώνη) 121 Σχήµα 4.16: Εξιδανικεύσεις των κόµβων 127 Σχήµα 4.17: Καµπύλες φορτίου µετατόπισης 127 Σχήµα 4.18: Γεωµετρία, φορτία και χαρακτηριστικά των κόµβων 128 Σχήµα 4.19: Μήκη λυγισµού υποστυλωµάτων σε πλαίσιο µε ηµιάκαµπτους κόµβους 130 Σχήµα 5.1: Γεωµετρία συνοριακές συνθήκες φορέων 133 Σχήµα 5.2: Στερεοί κόµβοι δοκών υποστυλωµάτων µε νευρώσεις κορµού και πέλµατος υποστυλώµατος 134 Σχήµα 5.3: Αρθρωτοί κόµβοι δοκών υποστυλωµάτων µε µετωπική πλάκα συνδεόµενη στον κορµό της δοκού 134 Σχήµα 5.4: Ηµιάκαµπτοι κόµβοι δοκών υποστυλωµάτων µε γωνιακά πελµάτων δοκού 135 Σχήµα 5.5: Περίπτωση φόρτισης 1 136 Σχήµα 5.6: Περίπτωση φόρτισης 2 137 Σχήµα 5.7: Περίπτωση φόρτισης 3 137 Σχήµα 5.8: Περίπτωση φόρτισης 4 137 Σχήµα 5.9: Περίπτωση φόρτισης 5 138 Σχήµα 5.10: ιάταξη κόµβου 143 Σχήµα 5.11: Υποστύλωµα διατοµής ΗΕB 160 143 Σχήµα 5.12: οκός διατοµής ΙΡΕ 300 143 Σχήµα 5.13: Γωνιακά πελµάτων L150x100x14 144 Σχήµα 5.14: Κοχλίες Μ20 κατηγορίας 8.8 144 Σχήµα 5.15: Ο κεντρικός ηµιάκαµπτος κόµβος του α ορόφου και τα επίπεδα συµµετρίας του 155 Σχήµα 5.16: Το ½ του υπό εξέταση κόµβου 156 Σχήµα 5.17: Το ¼ του υπό εξέταση κόµβου, το οποίο µοντελοποιήθηκε 156 Σχήµα 5.18: Όψεις του µοντέλου µε αναγραφή των διαστάσεών του 157 Σχήµα 5.19: ιαστάσεις χρησιµοποιούµενων κοχλιών 158 Σχήµα 5.20: ιάγραµµα τάσεων σ ανηγµένων παραµορφώσεων ε για το υλικό των διατοµών ΙΡΕ300, ΗΕΒ160 και L150x100x14, που χρησιµοποιήθηκαν 159 Σχήµα 5.21: ιάγραµµα τάσεων σ ανηγµένων παραµορφώσεων ε για το υλικό των κοχλιών Μ20, που χρησιµοποιήθηκαν 159 Σχήµα 5.22: Γεωµετρία και σύστηµα συντεταγµένων του στοιχείου SOLID45 160 Σχήµα 5.23: ιευθύνσεις τάσεων στα στοιχεία SOLID45 και SOLID185 ως προς το καθολικό σύστηµα συντεταγµένων 161 Σχήµα 5.24: Στοιχεία SOLID45 και SOLID185 µορφής πρίσµατος και τριγωνικής πυραµίδας 161 Σχήµα 5.25: Γεωµετρία του στοιχείου SOLID185 162

XI Σχήµα 5.26: οκιµαστικό µοντέλο πλάκας για συγκριτική αξιολόγηση στοιχείων SOLID45 µε στοιχεία SOLID185 163 Σχήµα 5.27: Ορθή τάση σ x µεταξύ των SOLID45 και SOLID185 164 Σχήµα 5.28: ιατµητική τάση σ xy µεταξύ των SOLID45 και SOLID185 164 Σχήµα 5.29: Iσοδύναµη τάση von Mises σ e µεταξύ των SOLID45 και SOLID185 164 Σχήµα 5.30: Ορθή ολική (ελαστική και πλαστική) παραµόρφωση ε x µεταξύ των SOLID45 και SOLID185 165 Σχήµα 5.31: Απεικόνιση διευθύνσεων τάσεων ως προς το σύστηµα συντεταγµένων των επιφανειών του στοιχείου 165 Σχήµα 5.32: Γεωµετρία στοιχείου CONTA175 169 Σχήµα 5.33: Γεωµετρία στοιχείου TARGE170 169 Σχήµα 5.34: Πάχος υποκείµενου τρισδιάστατου στοιχείου 170 Σχήµα 5.35.α: Συνολική απεικόνιση της δοκού 173 Σχήµα 5.35.β: Λεπτοµέρεια δοκού στις οπές των πελµάτων 173 Σχήµα 5.35.γ: Λεπτοµέρεια δοκού στη στρογγύλευση 173 Σχήµα 5.36.α: Συνολική απεικόνιση του υποστυλώµατος 174 Σχήµα 5.36.β: Λεπτοµέρεια υποστυλώµατος στην οπή του πέλµατος 174 Σχήµα 5.36.γ: Λεπτοµέρεια υποστυλώµατος στη στρογγύλευση 174 Σχήµα 5.37.α: Συνολική απεικόνιση του άνω γωνιακού 175 Σχήµα 5.37.β: Συνολική απεικόνιση του κάτω γωνιακού 175 Σχήµα 5.38.α: Λεπτοµέρεια γωνιακού στις οπές του µεγάλου σκέλους 176 Σχήµα 5.38.β: Λεπτοµέρεια γωνιακού στην οπή του µικρού σκέλους 176 Σχήµα 5.38.γ: Λεπτοµέρεια γωνιακού στη στρογγύλευση µεταξύ των σκελών 176 Σχήµα 5.38.δ: Λεπτοµέρεια γωνιακού στη στρογγύλευση του άκρου των σκελών 176 Σχήµα 5.39.α: Συνολική απεικόνιση των τριών άνω κοχλιών 177 Σχήµα 5.39.β: Συνολική απεικόνιση των τριών κάτω κοχλιών 177 Σχήµα 5.40: Όψη κοχλιών συνδεόµενων µε τη δοκό 178 Σχήµα 5.41.α: Λεπτοµέρεια κεφαλής κοχλιών συνδεόµενων µε τη δοκό 179 Σχήµα 5.41.β: Λεπτοµέρειες κορµού κοχλιών συνδεόµενων µε τη δοκό 179 Σχήµα 5.42.α: Λεπτοµέρεια δακτυλίου κοχλιών συνδεόµενων µε τη δοκό 180 Σχήµα 5.42.β: Λεπτοµέρεια περικοχλίου κοχλιών συνδεόµενων µε τη δοκό 180 Σχήµα 5.43: Όψη κοχλιών συνδεόµενων µε το υποστύλωµα 181 Σχήµα 5.44.α: Λεπτοµέρεια κεφαλής κοχλιών συνδεόµενων µε το υποστύλωµα 182 Σχήµα 5.44.β: Λεπτοµέρειες κορµού κοχλιών συνδεόµενων µε το υποστύλωµα 182 Σχήµα 5.45.α: Λεπτοµέρεια δακτυλίου κοχλιών συνδεόµενων µε το υποστύλωµα 183 Σχήµα 5.45.β: Λεπτοµέρεια περικοχλίου κοχλιών συνδεόµενων µε το υποστύλωµα 183 Σχήµα 5.46: Στοιχεία «επαφής» και «στόχου» στη διεπιφάνεια δοκού γωνιακού 185 Σχήµα 5.47: Στοιχεία «επαφής» και «στόχου» στη διεπιφάνεια υποστυλώµατος γωνιακού 186 Σχήµα 5.48: Στοιχεία «επαφής» και «στόχου» γύρω από τις επιφάνειες επαφής των άνω κοχλιών που συνδέονται µε τη δοκό 187 Σχήµα 5.49: Στοιχεία «επαφής» και «στόχου» γύρω από τις επιφάνειες επαφής των κάτω κοχλιών που συνδέονται µε τη δοκό 187 Σχήµα 5.50.α: Σχέση κανάβων κορµού κοχλία και άντυγας µεγάλου πέλµατος γωνιακού 189

XII Σχήµα 5.50.β: Σχέση κανάβων κορµού κοχλία και άντυγας δοκού 189 Σχήµα 5.51: Στοιχεία «επαφής» και «στόχου» γύρω από τις επιφάνειες επαφής του εφελκυόµενου ή του ουδέτερου κοχλία 189 Σχήµα 5.52.α: Σχέση κανάβων κορµού κοχλία και άντυγας µικρού πέλµατος γωνιακού 190 Σχήµα 5.52.β: Σχέση κανάβων κορµού κοχλία και άντυγας υποστυλώµατος 190 Σχήµα 5.53: Γεωµετρία και σύστηµα συντεταγµένων του στοιχείου SURF154 192 Σχήµα 5.54: Επιφάνειες δηµιουργίας των στοιχείων SURF154 193 Σχήµα 5.55: Εµβαδόν επιφανειών και µοχλοβραχίονας ζεύγους δυνάµεων 193 Σχήµα 5.56: Εφαρµογή της πίεσης στα στοιχεία SURF154 193 Σχήµα 5.57.α: Ροπή Μ = 1.13 knm, γωνία στροφής φ = 9.8x10-2 mrad, στροφική δυσκαµψία S = 11531 knm/rad 194 Σχήµα 5.57.β: Ροπή Μ = 2.80 knm, γωνία στροφής φ = 24.1x10-2 mrad, στροφική δυσκαµψία S = 11618 knm/rad 194 Σχήµα 5.57.γ: Ροπή Μ = 6.54 knm, γωνία στροφής φ = 55.8 x10-2 mrad, στροφική δυσκαµψία S = 11720 knm/rad 195 Σχήµα 5.57.δ: Ροπή Μ = 11.80 knm, γωνία στροφής φ = 1.02 mrad, στροφική δυσκαµψία S = 11569 knm/rad 195 Σχήµα 5.57.ε: Ροπή Μ = 17.05 knm, γωνία στροφής φ = 2.15 mrad, στροφική δυσκαµψία S = 7930 knm/rad 196 Σχήµα 5.57.στ: Ροπή Μ = 22.31 knm, γωνία στροφής φ = 5.61 mrad, στροφική δυσκαµψία S = 3977 knm/rad 196 Σχήµα 5.58.α: Ροπή Μ = 22.31 knm, γωνία στροφής φ = 5.50 mrad, στροφική δυσκαµψία S = 4056 knm/rad 197 Σχήµα 5.58.β: Ροπή Μ = 22.31 knm, γωνία στροφής φ = 6.28 mrad, στροφική δυσκαµψία S = 3552 knm/rad 197 Σχήµα 5.58.γ: Ροπή Μ = 22.31 knm, γωνία στροφής φ = 6.68 mrad, στροφική δυσκαµψία S = 3340 knm/rad 198 Σχήµα 5.58.δ: Ροπή Μ = 22.31 knm, γωνία στροφής φ = 10.21 mrad, στροφική δυσκαµψία S = 2185 knm/rad 198 Σχήµα 5.58.ε: Ροπή Μ = 22.31 knm, γωνία στροφής φ = 11.89 mrad, στροφική δυσκαµψία S = 1876 knm/rad 199 Σχήµα 5.58.στ: Ροπή Μ = 22.31 knm, γωνία στροφής φ = 13.41 mrad, στροφική δυσκαµψία S = 1664 knm/rad 199 Σχήµα 5.58.ζ: Ροπή Μ = 22.31 knm, γωνία στροφής φ = 37.81 mrad, στροφική δυσκαµψία S = 590 knm/rad 200 Σχήµα 5.59: Σύγκριση διαγράµµατος ροπής Μ στροφής φ µεταξύ του ΕC3 και της ανάλυσης µε το πρόγραµµα ANSYS 201 Σχήµα 5.60: Σχέση δυσκαµψίας στοιχείων επαφής FKN και στροφικής δυσκαµψίας S του υπό εξέταση κόµβου 202 Σχήµα 5.61.α: Ροπή Μ = 1.13 knm, αναπτυσσόµενη τάση σ = 29.22 ΜPa (κατακόρυφη τοµή άνω γωνιακού και κοχλιών) 203 Σχήµα 5.61.β: Ροπή Μ = 1.13 knm, αναπτυσσόµενη τάση σ = 29.22 ΜPa (αξονοµετρική απεικόνιση άνω γωνιακού) 203

XIII Σχήµα 5.61.γ: Ροπή Μ = 2.80 knm, αναπτυσσόµενη τάση σ = 32.89 ΜPa (κατακόρυφη τοµή άνω γωνιακού και κοχλιών) 204 Σχήµα 5.61.δ: Ροπή Μ = 2.80 knm, αναπτυσσόµενη τάση σ = 32.89 ΜPa (αξονοµετρική απεικόνιση άνω γωνιακού) 204 Σχήµα 5.61.ε: Ροπή Μ = 6.54 knm, αναπτυσσόµενη τάση σ = 54.03 ΜPa (κατακόρυφη τοµή άνω γωνιακού και κοχλιών) 205 Σχήµα 5.61.στ: Ροπή Μ = 6.54 knm, αναπτυσσόµενη τάση σ = 54.03 ΜPa (αξονοµετρική απεικόνιση άνω γωνιακού) 205 Σχήµα 5.61.ζ: Ροπή Μ = 11.80 knm, αναπτυσσόµενη τάση σ = 98.31 ΜPa (κατακόρυφη τοµή άνω γωνιακού και κοχλιών) 206 Σχήµα 5.61.η: Ροπή Μ = 11.80 knm, αναπτυσσόµενη τάση σ = 98.31 ΜPa (αξονοµετρική απεικόνιση άνω γωνιακού) 206 Σχήµα 5.61.θ: Ροπή Μ = 17.05 knm, αναπτυσσόµενη τάση σ = 144.73 ΜPa (κατακόρυφη τοµή άνω γωνιακού και κοχλιών) 207 Σχήµα 5.61.ι: Ροπή Μ = 17.05 knm, αναπτυσσόµενη τάση σ = 144.73 ΜPa (αξονοµετρική απεικόνιση άνω γωνιακού) 207 Σχήµα 5.61.ια: Ροπή Μ = 22.31 knm, αναπτυσσόµενη τάση σ = 191.59 ΜPa (κατακόρυφη τοµή άνω γωνιακού και κοχλιών) 208 Σχήµα 5.61.ιβ: Ροπή Μ = 22.31 knm, αναπτυσσόµενη τάση σ = 191.59 ΜPa (αξονοµετρική απεικόνιση άνω γωνιακού) 208 Σχήµα 5.62.α: Ροπή Μ = 22.31 knm, αναπτυσσόµενη τάση = 187.76 ΜPa (κατακόρυφη τοµή άνω γωνιακού και κοχλιών) 209 Σχήµα 5.62.β: Ροπή Μ = 22.31 knm, αναπτυσσόµενη τάση σ = 187.76 ΜPa (αξονοµετρική απεικόνιση άνω γωνιακού) 209 Σχήµα 5.62.γ: Ροπή Μ = 22.31 knm, αναπτυσσόµενη τάση σ = 193.51 ΜPa (κατακόρυφη τοµή άνω γωνιακού και κοχλιών) 210 Σχήµα 5.62.δ: Ροπή Μ = 22.31 knm, αναπτυσσόµενη τάση σ = 193.51 ΜPa (αξονοµετρική απεικόνιση άνω γωνιακού) 210 Σχήµα 5.62.ε: Ροπή Μ = 22.31 knm, αναπτυσσόµενη τάση σ = 203.11 ΜPa (κατακόρυφη τοµή άνω γωνιακού και κοχλιών) 211 Σχήµα 5.62.στ: Ροπή Μ = 22.31 knm, αναπτυσσόµενη τάση σ = 203.11 ΜPa (αξονοµετρική απεικόνιση άνω γωνιακού) 211 Σχήµα 5.62.ζ: Ροπή Μ = 22.31 knm, αναπτυσσόµενη τάση σ = 205.04 ΜPa (κατακόρυφη τοµή άνω γωνιακού και κοχλιών) 212 Σχήµα 5.62.η: Ροπή Μ = 22.31 knm, αναπτυσσόµενη τάση σ = 205.04 ΜPa (αξονοµετρική απεικόνιση άνω γωνιακού) 212 Σχήµα 5.62.θ: Ροπή Μ = 22.31 knm, αναπτυσσόµενη τάση σ = 205.42 ΜPa (κατακόρυφη τοµή άνω γωνιακού και κοχλιών) 213 Σχήµα 5.62.ι: Ροπή Μ = 22.31 knm, αναπτυσσόµενη τάση σ = 205.42 ΜPa (αξονοµετρική απεικόνιση άνω γωνιακού) 213 Σχήµα 5.62.ια: Ροπή Μ = 22.31 knm, αναπτυσσόµενη τάση σ = 205.61 ΜPa (κατακόρυφη τοµή άνω γωνιακού και κοχλιών) 214

XIV Σχήµα 5.62.ιβ: Ροπή Μ = 22.31 knm, αναπτυσσόµενη τάση σ = 205.61 ΜPa (αξονοµετρική απεικόνιση άνω γωνιακού) 214 Σχήµα 5.62.ιγ: Ροπή Μ = 22.31 knm, αναπτυσσόµενη τάση σ = 206.20 ΜPa (κατακόρυφη τοµή άνω γωνιακού και κοχλιών) 215 Σχήµα 5.62.ιδ: Ροπή Μ = 22.31 knm, αναπτυσσόµενη τάση σ = 206.20 ΜPa (αξονοµετρική απεικόνιση άνω γωνιακού) 215 Σχήµα 5.63: Σύγκριση διαγράµµατος ροπής Μ τάσης σ µεταξύ του ΕC3 και της ανάλυσης µε το πρόγραµµα ANSYS 216 Σχήµα 5.64: Σχέση δυσκαµψίας στοιχείων επαφής FKN και αναπτυσσόµενης τάσης σ στον υπό εξέταση κόµβο 217 Σχήµα 6.1: Σύγκριση διαγραµµάτων διατµητικών τάσεων σ xy µεταξύ των στοιχείων SOLID45 και SOLID185 του δοκιµαστικού µοντέλου 221 Σχήµα 6.2: Σύγκριση διαγραµµάτων ισοδύναµων τάσεων von Mises σ e µεταξύ των στοιχείων SOLID45 και SOLID185 του δοκιµαστικού µοντέλου 222 Σχήµα 6.3: Σύγκριση διαγραµµάτων ορθών τάσεων σ x µεταξύ των στοιχείων SOLID45 και SOLID185 του δοκιµαστικού µοντέλου 222 Σχήµα 6.4: Σύγκριση διαγραµµάτων ορθών ολικών παραµορφώσεων ε x µεταξύ των στοιχείων SOLID45 και SOLID185 του δοκιµαστικού µοντέλου 223 Σχήµα 6.5: Σύγκριση τιµών γωνίας στροφής φ και στροφικής δυσκαµψίας S του υπό εξέταση κόµβου µεταξύ των στοιχείων SOLID45 και SOLID185 223 Σχήµα 6.6: Σύγκριση τιµών ισοδύναµης τάσης von Mises σ e του υπό εξέταση κόµβου µεταξύ των στοιχείων SOLID45 και SOLID185 224 Σχήµα 6.7: Σχέση δυσκαµψίας στοιχείων επαφής FKN και στροφικής δυσκαµψίας S του υπό εξέταση κόµβου 225 Σχήµα 6.8: Σχέση δυσκαµψίας στοιχείων επαφής FKN και αναπτυσσόµενης τάσης σ του υπό εξέταση κόµβου 225 Σχήµα 6.9: Σύγκριση διαγράµµατος ροπής Μ στροφής φ µεταξύ του EC3 και της ανάλυσης µε το πρόγραµµα ANSYS 226 Σχήµα 6.10: Σύγκριση τιµών στροφικής δυσκαµψίας S µεταξύ του EC3 και της ανάλυσης µε το πρόγραµµα ANSYS 227 Σχήµα 6.11: Σύγκριση διαγράµµατος ροπής Μ αναπτυσσόµενης τάσης σ µεταξύ του EC3 και της ανάλυσης µε το πρόγραµµα ANSYS 227 Σχήµα 6.12: Συγκριτικά αποτελέσµατα του βάρους των στύλων µεταξύ των εξεταζόµενων φορέων 229 Σχήµα 6.13: Συγκριτικά αποτελέσµατα του βάρους των δοκών µεταξύ των εξεταζόµενων φορέων 230 Σχήµα 6.14: Συγκριτικά αποτελέσµατα του συνολικού βάρους των φορέων 231

XV ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας 1.1: ιάφορες προτάσεις για την ταξινόµηση των κόµβων ως άκαµπτων, στις οποίες η στροφική δυσκαµψία δεν εξαρτάται από το µήκος της δοκού 14 Πίνακας 1.2: Συντελεστής ενεργού δυσκαµψίας δοκού Κ b,eff 18 Πίνακας 2.1: Προέλευση απλοποιηµένων κανόνων για την επιβεβαίωση της στροφικής ικανότητας των κόµβων στην πράξη 50 Πίνακας 3.1: Σταθερές για την πολυωνυµική απεικόνιση της καµπύλης Μ φ των Frye και Morris (1975) 57 Πίνακας 3.2: Ανεξάρτητες παράµετροι π i κατά την έρευνα του Krishnamurhty κ.ά. (1979) 60 Πίνακας 3.3: Παράµετροι της έρευνας του Kukreti (1987) για την ανάλυση εισεχουσών µετωπικών πλακών 61 Πίνακας 3.4: Παράµετροι που ερευνήθηκαν από τους Kukreti κ.ά. (1990) για την ανάλυση των συνδέσεων µε ενισχυµένη εξέχουσα µετωπική πλάκα 62 Πίνακας 3.5: Επισκόπηση συστατικών για υπολογισµό της αρχικής δυσκαµψίας S j,ini των κόµβων κατά το Παράρτηµα J του Ευρωκώδικα 3 (CEN, 1997) 79 Πίνακας 3.6: Παράµετρος µετασχηµατισµού β 93 Πίνακας 4.1: Είδη πλαισίων µέθοδοι ανάλυσης είδη συνδέσεων 123 Πίνακας 4.2: Επιρροή της αλλαγής της στροφικής ικανότητας των κόµβων 129 Πίνακας 4.3: Επιρροή της αλλαγής της ροπής αντοχής των κόµβων 129 Πίνακας 5.1: Περιπτώσεις φόρτισης 136 Πίνακας 5.2: Συνδυασµοί φορτίσεων 138 Πίνακας 5.3: Ροπές και στροφικές δυσκαµψίες των ηµιάκαµπτων κόµβων κατά το τελευταίο βήµα της επαναληπτικής διαδικασίας επίλυσης 139 Πίνακας 5.4: Συγκριτικά αποτελέσµατα µεταξύ των εξεταζόµενων φορέων 140 Πίνακας 5.5: Tιµές αντοχής του υλικού των συστατικών του κόµβου 142 Πίνακας 5.6: ιαστάσεις χρησιµοποιούµενων κοχλιών 158 Πίνακας 5.7: Τιµές ορθής δυσκαµψίας επαφής FKN ανά βήµα φόρτισης 172

XVI ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αν και η ιδέα της µερικής πάκτωσης παρουσιάστηκε πολλά χρόνια πριν, οι χαλύβδινες κατασκευές σχεδιάζονται συνήθως µε την υπόθεση ότι οι κόµβοι δοκού υποστυλώµατος έχουν πλήρη στροφική ελευθερία ή πλήρη στροφική δέσµευση. Αυτές οι παραδοχές απλοποιούν και διευκολύνουν την ανάλυση και διαστασιολόγηση των κατασκευών, αλλά παραβλέπουν την πραγµατική συµπεριφορά των κόµβων. Τα πλεονεκτήµατα που διαθέτουν οι ηµιάκαµπτοι κόµβοι ως προς την οικονοµία και την ασφάλεια είναι γνωστά και πολλά έχουν ήδη δηµοσιευθεί σε σχέση µε τη χρήση τους στα αντιστηριζόµενα πλαίσια (braced frames). Παρ όλα αυτά, οι ηµιάκαµπτοι κόµβοι σπάνια χρησιµοποιούνται από τους µελετητές φέρουσας κατασκευής, γιατί οι περισσότεροι ηµιάκαµπτοι κόµβοι εµφανίζουν έντονα µη γραµµική συµπεριφορά, µε αποτέλεσµα η ανάλυση και διαστασιολόγηση των πλαισίων στα οποία αυτοί εφαρµόζονται να καθίσταται δύσκολη και χρονοβόρα. Στην πραγµατικότητα, το πρόβληµα της µελέτης γίνεται τόσο δυσκολότερο όσο περισσότερο επιχειρείται να προσεγγισθεί η πραγµατική στροφική συµπεριφορά των κόµβων δοκού υποστυλώµατος. Στην περίπτωση του δοµικού σχεδιασµού που βασίζεται στην ελαστική καθολική ανάλυση, η αποτελεσµατική εκµετάλλευση των ηµιάκαµπτων συνδέσεων προϋποθέτει τη χρήση χρονοβόρων και σχετικά πολύπλοκων µεθόδων υπολογισµού. Στην πραγµατικότητα, οι αναπτυσσόµενες εσωτερικές δυνάµεις τις οποίες τα µέλη και οι κόµβοι καλούνται να αναλάβουν, εξαρτώνται σε µεγάλο βαθµό από τη στροφική δυσκαµψία των κόµβων, η οποία συµπορεύεται επιπλέον µε την καµπτική αντοχή τους. Κατά συνέπεια, για να πετύχει κανείς τη βέλτιστη δυνατή λύση µε όρους ασφάλειας και οικονοµίας, χρειάζεται να ακολουθήσει επαναληπτική διαδικασία.

XVII Πολλές είναι, επίσης, οι δυσκολίες που ανακύπτουν όταν εφαρµόζονται σύγχρονες µέθοδοι ανάλυσης των κατασκευών. Γιατί αυτές οι µέθοδοι ανάλυσης χρησιµοποιούν την ακριβή µαθηµατική συνάρτηση της καµπύλης ροπής Μ στροφής φ των κόµβων δοκού υποστυλώµατος, η οποία προκύπτει µε βάση αναλυτικά ή µηχανικά µοντέλα, µοντέλα πεπερασµένων στοιχείων ή πειραµατικές δοκιµές. Παρά τις διάφορες προσεγγίσεις, που έχει κανείς τη δυνατότητα να υιοθετήσει για την πρόβλεψη της στροφικής συµπεριφοράς των κόµβων δοκού υποστυλώµατος, οι µέθοδοι που στοχεύουν σε αυτήν την πρόβλεψη και ξεκινούν από τη γνώση των γεωµετρικών και µηχανικών ιδιοτήτων των κόµβων, έχουν ιδιαίτερη σηµασία, γιατί βοηθούν στην ερµηνεία της στροφικής απόκρισης των κόµβων στην καθηµερινή µελετητική πρακτική. Οι παραπάνω λόγοι οριοθετούν τους στόχους της παρούσας διατριβής, οι οποίοι είναι: Να εξετασθεί η σκοπιµότητα της χρήσης των ηµιάκαµπτων κόµβων στα χαλύβδινα πλαίσια, σε σχέση µε τις εκτεταµένα χρησιµοποιούµενες πακτώσεις και αρθρώσεις. Κριτήρια για την αποτίµηση αυτής της σκοπιµότητας, είναι η ασφάλεια και η οικονοµία. Η εξέταση της οικονοµίας βασίζεται στο συνολικό βάρος των πλαισίων, ενώ ποιοτικά µόνο εξετάζεται η επίδραση των ηµιάκαµπτων κόµβων στο κόστος εργασίας κατά την κατασκευή των φορέων. Να διερευνηθεί η ορθότητα των προβλέψεων του Ευρωκώδικα 3, αναφορικά µε τον υπολογισµό της αντοχής και στροφικής δυσκαµψίας των ηµιάκαµπτων κόµβων. Για το σκοπό αυτό, εξετάζεται ένας κόµβος δοκού υποστυλώµατος µε γωνιακά πελµάτων δοκού, ενώ διεξάγονται παράλληλα παραµετρικές αναλύσεις για την εξαγωγή ασφαλέστερων συµπερασµάτων ως προς το στόχο της διερεύνησης καθώς και για να διαπιστωθεί η ευαισθησία των εξαγόµενων αποτελεσµάτων σε συνάρτηση µε συγκεκριµένους παράγοντες του προγράµµατος ανάλυσης. Για την επίτευξη των στόχων που αναφέρθηκαν, αναπτύχθηκε το κεφάλαιο 5 (αριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση των χαλύβδινων φορέων), το οποίο έχει πρωτότυπο χαρακτήρα και αποτελεί µαζί µε τα υπόλοιπα κεφάλαια, µια αυτοτελή οντότητα. Το περιεχόµενο του κεφαλαίου 5 αναφέρεται περιληπτικά στις παραγράφους που ακολουθούν. Η διατριβή χωρίζεται σε έξι κεφάλαια. Ακολουθεί συνοπτική παρουσίαση του περιεχοµένου αυτών των κεφαλαίων. Το πρώτο κεφάλαιο περιλαµβάνει τρεις ενότητες. Καταρχήν, παρατίθενται διάφοροι ορισµοί εννοιών, που σχετίζονται µε τους κόµβους και τις ιδιότητές τους, στοχεύοντας στη διασαφήνιση των αντίστοιχων όρων που συναντά κανείς στη βιβλιογραφία αυτού του

XVIII αντικειµένου. Στη συνέχεια, το κεφάλαιο ασχολείται µε το θέµα της ταξινόµησης των κόµβων βάσει διάφορων κριτηρίων, τα οποία είναι: ο τρόπος της σύνδεσης, τα δοµικά στοιχεία που συνδέουν οι κόµβοι, το µεταφερόµενο εντατικό µέγεθος στο εσωτερικό του κόµβου, η αντοχή, η στροφική δυσκαµψία και, τέλος, η πλαστιµότητα του κόµβου. Το κεφάλαιο ολοκληρώνεται σχολιάζοντας την εφαρµοσιµότητα των ηµιάκαµπτων κόµβων και αναπτύσσοντας ένα παράδειγµα, στο οποίο φαίνονται οι επιλογές που προσφέρονται κατά τη χρήση των ηµιάκαµπτων κόµβων. Το δεύτερο κεφάλαιο περιλαµβάνει επίσης τρεις ενότητες. Η πρώτη ενότητα αφορά στις µεθόδους προσοµοίωσης της στροφικής συµπεριφοράς των κόµβων. Η δεύτερη ασχολείται µε τη µαθηµατική απεικόνιση της καµπύλης ροπής στροφής, η οποία προκύπτει αφενός από αναλυτικές σχέσεις µε βάση τη δυσκαµψία, την αντοχή και παράγοντες σχήµατος, αφετέρου από την προσαρµογή της καµπύλης µε χρήση ανάλυσης παλινδρόµησης. Η τρίτη ενότητα επικεντρώνεται στο θέµα της στροφικής ικανότητας των κόµβων. Κατά την ανάπτυξη της ενότητας, δίνονται αρχικά οι ορισµοί των σχετικών όρων και στη συνέχεια, προσδιορίζεται η σχέση µεταξύ της στροφικής ικανότητας των κόµβων και της ικανότητας παραµόρφωσης των συστατικών τους. Ακολουθούν οι τρόποι επιβεβαίωσης της επαρκούς στροφικής ικανότητας και σχολιάζονται οι µέθοδοι υπολογισµού της στροφικής ικανότητας. Τέλος, παρουσιάζεται η στροφική ικανότητα ως παράγοντας σχεδιασµού των κατασκευών, ο οποίος προσδιορίζεται από σχετικές διατάξεις του Ευρωκώδικα 3. Το τρίτο κεφάλαιο πραγµατεύεται τις µεθόδους προεκτίµησης της καµπύλης ροπής στροφής των κόµβων. Ακολουθώντας κανείς τις µεθόδους αυτές, έχει τη δυνατότητα να χρησιµοποιήσει µια σειρά από είδη µοντέλων, όπως είναι τα εµπειρικά, αναλυτικά, µηχανικά ή τα µοντέλα των πεπερασµένων στοιχείων, καθώς και να αξιοποιήσει υλικό από εργαστηριακές δοκιµές. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει το µοντέλο του παραρτήµατος J του Ευρωκώδικα 3, στο οποίο γίνεται εκτενής αναφορά. Αναλυτικότερα, σ ό,τι αφορά στα εµπειρικά µοντέλα, παρουσιάζεται το µοντέλο των Frye και Morris, του Krishnamurthy, του Kukreti, των Attiobe και Morris και τέλος, το µοντέλο των Faella, Piluso και Rizzano. Η παρουσίαση των εµπειρικών µοντέλων ολοκληρώνεται µε τη διατύπωση παρατηρήσεων, οι οποίες ταυτόχρονα συνιστούν τα συγκριτικά µειονεκτήµατα αυτών των µοντέλων. Όσον αφορά στα αναλυτικά µοντέλα, η εργασία περιορίζεται στην παρουσίαση του µοντέλου του Chen και των συνεργατών του, καθώς και αυτό των Yee και Melchers. Στη συνέχεια, και σε σχέση µε τα µηχανικά µοντέλα, προσδιορίζονται τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά τους που τα ξεχωρίζουν από τα αναλυτικά µοντέλα. Έπειτα, παρουσιάζεται το µοντέλο του Πανεπιστηµίου του Innsbruck. Στο µοντέλο του παραρτήµατος J του Ευρωκώδικα 3, δίνεται ιδιαίτερη βαρύτητα. Καταρχήν, αναφέρονται στοιχεία σε σχέση µε την προέλευσή του και την καµπύλη Μ φ που αυτό προβλέπει, και στη συνέχεια γίνεται αναφορά σε

XIX µοντέλα κόµβων που ανταποκρίνονται στην πραγµατική συµπεριφορά. Ακολουθεί παρουσίαση του απλοποιηµένου µοντέλου κόµβου του Ευρωκώδικα 3 και ο καθορισµός του πεδίου εφαρµογής της µεθόδου των συστατικών. Παρουσιάζονται τα µοντέλα των συστατικών (µοντέλα ελατηρίων), ο τρόπος κατά τον οποίο γίνεται η σύνθεση των συστατικών και η εξιδανίκευση της καµπύλης Μ φ, σύµφωνα µε τις προβλέψεις του Ευρωκώδικα 3. ιατυπώνονται οι αρχές της µεθόδου των συστατικών, παρουσιάζεται το διάγραµµα ροής της µεθόδου, ο τρόπος καθορισµού των συντελεστών δυσκαµψίας k j, και η αναφορά στη µέθοδο των συστατικών ολοκληρώνεται συµπεριλαµβάνοντας το µειωτικό συντελεστή k wc. Τα µοντέλα των πεπερασµένων στοιχείων αποτελούν το τελευταίο είδος µοντέλων, που έχει κανείς τη δυνατότητα να χρησιµοποιήσει για την προεκτίµηση της καµπύλης ροπής στροφής των κόµβων. Την αναφορά γενικών στοιχείων ακολουθεί η παρουσίαση των µοντέλων τριών Πανεπιστηµίων: της Liège, του TU Delft και του RWTH Aachen. Tο τρίτο κεφάλαιο τελειώνει µε τη διατύπωση των πλεονεκτηµάτων και µειονεκτηµάτων που έχει η χρήση στοιχείων από εργαστηριακές δοκιµές ως µέθοδος προεκτίµησης της καµπύλης ροπής στροφής των κόµβων. Το τέταρτο κεφάλαιο ασχολείται µε την επιρροή των ηµιάκαµπτων κόµβων στη συµπεριφορά των πλαισίων. Τονίζεται η αναγκαιότητα της γνώσης της πραγµατικής στροφικής παραµορφωσιµότητας των κόµβων σε συνάρτηση µε το είδος του πλαισίου. Το κεφάλαιο αναπτύσσεται γύρω από δύο άξονες: την ταξινόµηση των πλαισίων και το ρόλο των κόµβων στο σχεδιασµό των πλαισίων. Σ ό,τι αφορά στην ταξινόµηση των πλαισίων, παρουσιάζονται δύο είδη ταξινόµησης: σε αντιστηριζόµενα (braced) ή µη αντιστηριζόµενα (unbraced) πλαίσια και σε πλευρικά δύσκαµπτα (non-sway) ή πλευρικά εύκαµπτα (sway) πλαίσια. Στη συνέχεια, περιγράφεται η επίδραση που ασκούν οι κόµβοι στην απόκριση των µη αντιστηριζόµενων και των αντιστηριζόµενων πλαισίων. Ενώ, σ ό,τι αφορά στη σχέση των κόµβων µε το σχεδιασµό των πλαισίων, παρουσιάζεται µια σειρά από θέµατα, τα οποία είναι: οι µέθοδοι υπολογισµού των πλαισίων, οι σχετικές προβλέψεις του Ευρωκώδικα 3 και ειδικότερα η αναφορά του στα απλά, τα συνεχή και τα ηµισυνεχή πλαίσια, η σχέση πλαισίων - συνδέσεων και τέλος, ο τρόπος µε τον οποίο επηρεάζουν οι ηµιάκαµπτοι κόµβοι το µήκος λυγισµού των υποστυλωµάτων. Το πέµπτο κεφάλαιο περιλαµβάνει αριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση των χαλύβδινων φορέων και αποτελείται από τέσσερα µέρη. Στο πρώτο µέρος, επιλέγεται ένας συνήθης φορέας (ένα τρίστυλο διώροφο πλαίσιο), ο οποίος αναλύεται και διαστασιολογείται µε τη χρήση άκαµπτων, αρθρωτών ή ηµιάκαµπτων κόµβων µεταξύ των µελών του. Περιγράφονται τα φορτία, οι φορτίσεις και οι διαµορφώσεις των κόµβων του. Επισηµαίνεται και εφαρµόζεται η µεθοδολογία της

XX ανάλυσης του φορέα µε ηµιάκαµπτους κόµβους και τέλος παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα της ανάλυσης, της διαστασιολόγησης και των ελέγχων λειτουργικότητας. ιατυπώνονται συµπεράσµατα, που αφορούν στο πώς επηρεάζει το διαφορετικό είδος κόµβων το βάρος των δοκών, των υποστυλωµάτων καθώς και το συνολικό βάρος των πλαισίων. Στο δεύτερο µέρος, αποµονώνεται ο αµφίπλευρος κόµβος του α ορόφου του πλαισίου µε ηµιάκαµπτους κόµβους και εφαρµόζεται η αναλυτική διαδικασία, που προβλέπεται από τον Ευρωκώδικα 3, για τον υπολογισµό της αντοχής, της στροφικής δυσκαµψίας και της ταξινόµησης του κόµβου. Στο τρίτο µέρος αναπτύσσεται ένα λεπτοµερές µοντέλο τρισδιάστατων πεπερασµένων στοιχείων και στοιχείων µονόπλευρης επαφής για την περιγραφή του εν λόγω ηµιάκαµπτου κόµβου, µε στόχο την αξιολόγηση των προβλέψεων του Ευρωκώδικα 3 αλλά και τη διερεύνηση της ευαισθησίας του µοντέλου σε µεταβολές ορισµένων παραµέτρων του. Κατά τις παραµετρικές αναλύσεις που διεξάγονται, χρησιµοποιούνται εναλλακτικά δύο είδη τρισδιάστατων στοιχείων και εφτά τιµές της δυσκαµψίας των στοιχείων µονόπλευρης επαφής. Το µέρος αυτό κλείνει µε τη διατύπωση των σχετικών συµπερασµάτων. Στο τέταρτο και τελευταίο µέρος του κεφαλαίου παρουσιάζονται τα γενικά συµπεράσµατα που προκύπτουν από τη σύγκριση των αποτελεσµάτων των τριών τύπων φορέων και αφορούν στις θετικές επιπτώσεις που έχει η χρήση ηµιάκαµπτων κόµβων στην οικονοµία. Τέλος, αξιολογούνται τα συµπεράσµατα αυτά ως προς την ευρύτητα του πεδίου ισχύος τους. Στο έκτο κεφάλαιο διατυπώνονται αφενός ειδικά συµπεράσµατα, που αφορούν σε επιµέρους θέµατα, που ανέκυψαν κατά την εκπόνηση των αριθµητικών εφαρµογών της εργασίας και αφετέρου γενικά συµπεράσµατα, που αφορούν σε θέµατα ευρύτερου ενδιαφέροντος µε σταθερό επίκεντρο την αξιολόγηση της χρήσης των ηµιάκαµπτων κόµβων µε κριτήριο την οικονοµία. Εντοπίζονται ζητήµατα που χρειάζονται περαιτέρω διερεύνηση και γίνονται υποδείξεις για µελλοντική έρευνα και, γενικότερα, δραστηριότητα στο αντικείµενο των ηµιάκαµπτων κόµβων και της επιρροής του στον υπολογισµό των χαλύβδινων φορέων.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Ορισµοί, ταξινόµηση κόµβων, εφαρµοσιµότητα - επιλογές 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ορισµοί, ταξινόµηση κόµβων, εφαρµοσιµότητα - επιλογές ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1.1 1.2 1.3 1.3.1 1.3.2 ΓΕΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΚΟΜΒΩΝ Ανάλογα µε τον τρόπο της σύνδεσης Ανάλογα µε τα δοµικά στοιχεία που συνδέουν 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.3.6 1.4 Ανάλογα µε το µεταφερόµενο εντατικό µέγεθος στο εσωτερικό του κόµβου Ανάλογα µε την αντοχή του κόµβου Ανάλογα µε τη στροφική δυσκαµψία του κόµβου Ανάλογα µε την πλαστιµότητα του κόµβου ΕΦΑΡΜΟΣΙΜΟΤΗΤΑ ΕΠΙΛΟΓΕΣ 1.1 ΓΕΝΙΚΑ Τα κτίρια, των οποίων η φέρουσα κατασκευή είναι από χάλυβα, αποτελούνται από διάφορα είδη δοµικών στοιχείων, καθένα από τα οποία πρέπει να συνδέεται κατάλληλα µε τα όµορα τµήµατα της κατασκευής. Το γεγονός αυτό συνεπάγεται τη δηµιουργία πολλών µορφών από συνδέσεις. Οι κυριότερες θέσεις των συνδέσεων είναι: Όπου υπάρχει αλλαγή στη γεωµετρία του φορέα, π.χ. στις συνδέσεις δοκού υποστυλώµατος, τις έµµεσες στηρίξεις δοκού επί δοκού, τις συνδέσεις µεταξύ των διαφόρων µελών των δικτυωµάτων κτλ., όπου υπάρχει ανάγκη αποκατάστασης της συνέχειας των δοµικών µελών, τα οποία κατά τη µεταφορά και ανέγερσή τους αποτελούνται από µικρότερα τµήµατα, π.χ. τα υποστυλώµατα που µεταφέρονται και ανεγείρονται σε τµήµατα, που το καθένα αντιστοιχεί σε δύο ή τρεις ορόφους και όπου αλλάζει το δοµικό στοιχείο, συνδεόµενο ενδεχόµενα και µε δοµικό στοιχείο άλλου υλικού, π.χ. στις βάσεις των υποστυλωµάτων, στις συνδέσεις µε πυρήνες σκυροδέµατος καθώς και στις ενώσεις µε τοιχοποϊία, πατώµατα ή οροφές. Το Σχήµα 1.1 δείχνει παραδείγµατα συνδέσεων, που υπάρχουν σε ένα πολυώροφο πολύστυλο πλαίσιο.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Ορισµοί, ταξινόµηση κόµβων, εφαρµοσιµότητα - επιλογές 2 Σχήµα 1.1: Συνδέσεις σε ένα πολυώροφο πολύστυλο πλαίσιο Οι συνδέσεις είναι σηµαντικά στοιχεία των κατασκευών από χάλυβα. Οι µηχανικές τους ιδιότητες επηρεάζουν σε µεγάλο βαθµό την αντοχή, τη δυσκαµψία και την ευστάθεια όλης της κατασκευής. Ο αριθµός και η πολυπλοκότητα των συνδέσεων επιδρούν αποφασιστικά ακόµα και στο χρόνο που χρειάζεται για την εκπόνηση της µελέτης της φέρουσας κατασκευής. Η κατασκευή των συνδέσεων, δηλαδή το κόψιµο τεµαχίων, η διάνοιξη οπών και οι συγκολλήσεις των κυρίων µελών, λεπίδων, γωνιακών και νευρώσεων δυσκαµψίας καταναλώνουν ένα µεγάλο µέρος του χρόνου που απαιτείται για την κατασκευή των φορέων. Παράλληλα, η ευκολία µε την οποία µπορούν να γίνουν οι συνδέσεις στο εργοτάξιο, αποτελεί ένα παράγοντα «κλειδί» στο χρόνο που διαρκεί η ανέγερση. Εποµένως, η επιλογή, η διαστασιολόγηση και η διαµόρφωσή των συνδέσεων σε ένα κτιριακό πλαίσιο, έχει επίδραση αποφασιστικής σηµασίας στο συνολικό κόστος αυτής της κατασκευής (ESDEP, 1994). Το παρόν κεφάλαιο, έχοντας εισαγωγικό χαρακτήρα, παρουσιάζει τους ορισµούς των διαφόρων εννοιών που χρειάζονται για την κατανόηση των ειδών και της λειτουργίας των συνδέσεων, ασχολείται µε τα διάφορα είδη και τους τρόπους ταξινόµησής τους, σχολιάζει την εφαρµοσιµότητά τους και τέλος, παρουσιάζει µέ ένα ενδεικτικό παράδειγµα τη δυνατότητα επιλογών που έχει όποιος χρησιµοποιεί ηµιάκαµπτους κόµβους. 1.2 ΟΡΙΣΜΟΙ Βασικό συστατικό (ενός κόµβου): είναι το τµήµα του κόµβου που συνεισφέρει σε µία ή περισσότερες από τις δοµικές του ιδιότητες (Σχήµα 1.2). Σύνδεση: είναι η θέση όπου δύο ή περισσότερα στοιχεία ενώνονται. Αν πρόκειται για σύνδεση δοκού υποστυλώµατος, αποτελείται από τα φυσικά

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Ορισµοί, ταξινόµηση κόµβων, εφαρµοσιµότητα - επιλογές 3 συστατικά που συνδέουν µηχανικά τη δοκό µε το στύλο, τα οποία βρίσκονται συγκεντρωµένα εκεί όπου επιτελείται η λειτουργία της σύνδεσης (Σχήµα 1.2). Ζώνη κορµού υποστυλώµατος: είναι το τµήµα του υποστυλώµατος που επηρεάζεται άµεσα από τη µεταφορά της ροπής της δοκού, ως οριζόντιας διατµητικής τάσης, στο υποστύλωµα. Συνήθως λαµβάνεται ως η περιοχή που βρίσκεται µέσα στην προβολή των πελµάτων της δοκού. Η παραµόρφωση της ζώνης κορµού υποστυλώµατος, µπορεί να είναι ιδιαίτερα σηµαντική στους µονόπλευρους κόµβους (Σχήµα 1.2). Κόµβος: είναι η ζώνη όπου δύο ή περισσότερα µέλη συνδέονται µεταξύ τους. Για λόγους µελέτης, είναι το σύνολο όλων των βασικών συστατικών που απαιτούνται για την αναπαράσταση της συµπεριφοράς κατά τη διάρκεια της µεταφοράς των σχετικών δυνάµεων και ροπών µεταξύ των συνδεόµενων µελών. Ένας κόµβος δοκού υποστυλώµατος αποτελείται από τη ζώνη του κορµού του υποστυλώµατος και είτε από µία σύνδεση (απλή διάταξη κόµβου) είτε από δύο συνδέσεις (διπλή διάταξη κόµβου) (Σχήµα 1.2). ιάταξη κόµβου: είναι το είδος ή το σχέδιο του κόµβου ή των κόµβων σε µια ζώνη, στην οποία οι άξονες από δύο ή περισσότερα συνδεόµενα µέλη αλληλοτέµνονται (Σχήµα 1.3). Μονοεπίπεδος κόµβος: είναι ο κόµβος µιας δικτυωτής κατασκευής, στον οποίο συνδέονται µέλη που ανήκουν σε ένα επίπεδο. Ροπή Μ j,sd : είναι η αναπτυσσόµενη ροπή στον κόµβο. Ροπή Μ j,rd : είναι η υπολογιστική αντοχή του κόµβου σε κάµψη και είναι ίση µε τη µέγιστη τιµή της ροπής της υπολογιστικής καµπύλης «ροπής Μ στροφής φ», Στροφή φ: είναι η αλλαγή της γωνίας µεταξύ των κεντροβαρικών αξόνων δοκού υποστυλώµατος. Σχήµα 1.2: Τµήµατα της διάταξης ενός κόµβου δοκού - υποστυλώµατος

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Ορισµοί, ταξινόµηση κόµβων, εφαρµοσιµότητα - επιλογές 4 Σχήµα 1.3: ιατάξεις κόµβων υσκαµψία S j : είναι η κλίση του διαγράµµατος Μ - φ, η οποία αντιστοιχεί στην τιµή της επιβαίνουσας δυσκαµψίας του διαγράµµατος. Στροφική ικανότητα φ Cd : είναι η τιµή της στροφής έως την οποία ο κόµβος µπορεί να στρέφεται χωρίς να αστοχεί. οµικές ιδιότητες (του κόµβου): είναι η αντοχή του κόµβου σε δυνάµεις και ροπές, η στροφική του δυσκαµψία και η στροφική του ικανότητα (CEN, 1997) 1.3 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΚΟΜΒΩΝ Oι κόµβοι µπορούν να ταξινοµηθούν σύµφωνα µε διάφορα κριτήρια, τα οποία είναι ο τρόπος της σύνδεσης, τα δοµικά στοιχεία που συνδέουν, το µεταφερόµενο εντατικό µέγεθος στο εσωτερικό του κόµβου, η αντοχή, η στροφική δυσκαµψία και η πλαστιµότητα του κόµβου.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Ορισµοί, ταξινόµηση κόµβων, εφαρµοσιµότητα - επιλογές 5 1.3.1 Ανάλογα µε τον τρόπο της σύνδεσης Οι διάφοροι τρόποι σύνδεσης εµφανίστηκαν µε συγκεκριµένη χρονική σειρά: αρχικά οι κοχλιώσεις, αργότερα οι συνδέσεις µε βλήτρα, ακολούθησαν οι ηλώσεις και τέλος, οι συγκολλήσεις. Σήµερα, τη µεγάλη πλειονότητα των συνδέσεων αποτελούν οι κοχλιώσεις και οι συγκολλήσεις. 1.3.2 Ανάλογα µε τα δοµικά στοιχεία που συνδέουν Οι κόµβοι, ανάλογα µε τα δοµικά στοιχεία που συνδέουν, διακρίνονται σε: κόµβους δοκού υποστυλώµατος (Σχήµατα 1.4 και 1.5), κόµβους δοκού δοκού (Σχήµατα 1.6 και 1.7), συνέχειας υποστυλώµατος (Σχήµα 1.8), βάσης υποστυλώµατος (Σχήµα 1.9) και κόµβους µε δικτυωτούς συνδέσµους (Σχήµατα 1.10 και 1.11). Σχήµα 1.4: Κόµβοι δοκού υποστυλώµατος που µεταφέρουν ροπή Σχήµα 1.5: Κόµβοι δοκού υποστυλώµατος που µεταφέρουν τέµνουσα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Ορισµοί, ταξινόµηση κόµβων, εφαρµοσιµότητα - επιλογές 6 Σχήµα 1.6: Κόµβοι δοκού δοκού που µεταφέρουν ροπή Σχήµα 1.7: Κόµβοι δοκού δοκού που µεταφέρουν τέµνουσα Σχήµα 1.8: Κόµβοι συνέχειας υποστυλώµατος

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Ορισµοί, ταξινόµηση κόµβων, εφαρµοσιµότητα - επιλογές 7 Σχήµα 1.9: Κόµβοι βάσης υποστυλώµατος Σχήµα 1.10: Κόµβοι µε οριζόντιους δικτυωτούς συνδέσµους Σχήµα 1.11: Κόµβοι µε κατακόρυφους δικτυωτούς συνδέσµους

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Ορισµοί, ταξινόµηση κόµβων, εφαρµοσιµότητα - επιλογές 8 1.3.3 Ανάλογα µε το µεταφερόµενο εντατικό µέγεθος στο εσωτερικό του κόµβου Οι κόµβοι, ανάλογα µε το είδος του εντατικού µεγέθους που µεταφέρεται στο εσωτερικό τους και τη θέση όπου αυτό εισάγεται, µπορούν να διακριθούν για τις ανάγκες της διαστασιολόγησής τους σε αυτούς που µεταφέρουν: αξονική θλίψη ή εφελκυσµό γενικά (Σχήµα 1.12), θλιπτική δύναµη τοπικά (Σχήµα 1.13), εφελκυστική δύναµη τοπικά (Σχήµα 1.14), τέµνουσα δύναµη µέσω της σύνδεσης (Σχήµα 1.15) και τέµνουσα δύναµη µέσω της ζώνης κορµού υποστυλώµατος (Σχήµα 1.16) (ESDEP, 1994). Σχήµα 1.12: Κόµβοι που µεταφέρουν τη θλιπτική ή εφελκυστική δύναµη του συνδεόµενου µέλους

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Ορισµοί, ταξινόµηση κόµβων, εφαρµοσιµότητα - επιλογές 9 Σχήµα 1.13: Κόµβοι που µεταφέρουν θλιπτική δύναµη τοπικά Σχήµα 1.14: Κόµβοι που µεταφέρουν εφελκυστική δύναµη τοπικά Σχήµα 1.15: Κόµβοι που µεταφέρουν τέµνουσα δύναµη µέσω της σύνδεσης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Ορισµοί, ταξινόµηση κόµβων, εφαρµοσιµότητα - επιλογές 10 Σχήµα 1.16: Κόµβοι που µεταφέρουν τέµνουσα δύναµη µέσω της ζώνης κορµού υποστυλώµατος 1.3.4 Ανάλογα µε την αντοχή του κόµβου Ο Ευρωκώδικας 3 και το αναθεωρηµένο Παράρτηµα J (CEN, 1997), κατά την ταξινόµηση των κόµβων δοκού - υποστυλώµατος ανάλογα µε την αντοχή σχεδιασµού τους Μ j,rd, διακρίνουν τρεις κατηγορίες κόµβων: πλήρους αντοχής, µερικής αντοχής και ονοµαστικά αρθρωτούς (Σχήµα 1.17). Σχήµα 1.17: Ταξινόµηση ανάλογα µε την αντοχή του κόµβου Αν και το όριο ανάµεσα στους κόµβους πλήρους αντοχής και µερικής αντοχής καθορίζεται επακριβώς από την πλαστική ροπή αντίστασης της συνδεόµενης δοκού M pl,rd, το όριο ανάµεσα στους κόµβους µερικής αντοχής και τους ονοµαστικά αρθρωτούς, που είναι το 0.25M pl,rd, είναι αµφισβητήσιµο. O Gomes (1995) προτείνει οι ονοµαστικά αρθρωτοί κόµβοι να µην ταξινοµούνται ανάλογα µε την αντοχή ή τη δυσκαµψία τους, αλλά µόνον ανάλογα µε τη στροφική τους ικανότητα. Έτσι, σε όρους αντοχής, δεν προβλέπει άνω όριο για την ένταξη των κόµβων στους ονοµαστικά αρθρωτούς. Ο µελετητής µπορεί να αποφασίσει να χρησιµοποιήσει ονοµαστικά αρθρωτούς κόµβους χωρίς προηγουµένως να εξετάσει τη ροπή αντοχής τους ή τη δυσκαµψία τους. Είναι βέβαια προϋπόθεση, οι κόµβοι να µπορούν να αναπτύξουν σηµαντικές ροπές, οι οποίες θα επηρεάσουν τα µέλη της κατασκευής. Αν αντίθετα, οι ροπές των κόµβων επηρεάζουν την κατασκευή, τότε τα χαρακτηριστικά ροπής στροφής των

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Ορισµοί, ταξινόµηση κόµβων, εφαρµοσιµότητα - επιλογές 11 κόµβων θα πρέπει να λαµβάνονται υπόψη για τη µέθοδο της ανάλυσης που χρησιµοποιείται (ηµισυνεχής κατασκευή). Οι Tschemmernegg, Huber και Rubin (1997) υποστηρίζουν τον όρο «κόµβος χαµηλής αντοχής» για την ταξινόµηση ενός κόµβου όταν η αντοχή σχεδιασµού του σε ροπή δεν είναι µεγαλύτερη από το 10% της πλαστικής ροπής αντοχής Μ pl,rd της συνδεόµενης δοκού. Κατά τον Ευρωκώδικα 3 (CEN, 1997), οι κόµβοι πλήρους αντοχής θα πρέπει να διαθέτουν αντοχή σχεδιασµού τουλάχιστον ίση µε αυτήν της συνδεόµενης δοκού Σχήµα (1.18). Έτσι, η πλαστική άρθρωση θα σχηµατισθεί στο άκρο της δοκού που συνδέεται στον κόµβο και όχι στο εσωτερικό του κόµβου (περίπτωση Α). Στην περίπτωση αυτή, η δυνατότητα δηµιουργίας της πλαστικής άρθρωσης, εξαρτάται από το λόγο ύψους προς πάχος των λεπίδων που αποτελούν τη διατοµή της δοκού. Βέβαια, λόγω του φαινοµένου της κράτυνσης στη δοκό, ο βαθµός υπεραντοχής της σύνδεσης δεν είναι σίγουρα επαρκής για να αποτραπεί πλήρως η διαρροή στη σύνδεση (περίπτωση Β). Άρα, η διαρροή είναι πιθανό να συµβεί τόσο στο άκρο της δοκού όσο και στον κόµβο. Επιπρόσθετα, µόνον ένα µέρος της πλαστικής στροφικής ικανότητας της δοκού µπορεί κανείς να εκµεταλλευτεί. Εποµένως, η διατιθέµενη ικανότητα στροφής της σύνδεσης, αναδεικνύεται σε ζήτηµα πρωταρχικής σηµασίας. Σχήµα 1.18: Ταξινόµηση κόµβων δοκού υποστυλώµατος ανάλογα µε την αντοχή του κόµβου Κατά τον Ευρωκώδικα 3, επίσης, η αντοχή σχεδιασµού των κόµβων µερικής αντοχής θα πρέπει να είναι µικρότερη από αυτήν της συνδεόµενης δοκού (περιπτώσεις C και D). H πλαστική άρθρωση, προβλέπεται να σχηµατισθεί στη σύνδεση και κατά συνέπεια, απαιτείται επαρκής στροφική ικανότητα (περίπτωση D). Αντίθετα, η περίπτωση C είναι ακατάλληλη, γιατί η στροφική της ικανότητα θα ξεπερασθεί υπό φορτία σχεδιασµού. Αν Μ j,u είναι η αντοχή του κόµβου και M pb είναι η πλαστική αντοχή της συνδεόµενης δοκού, τότε η τιµή του µεγέθους: Mj,u m = (1.1) M pb

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Ορισµοί, ταξινόµηση κόµβων, εφαρµοσιµότητα - επιλογές 12 παρέχει τη διάκριση µεταξύ των κόµβων πλήρους και µερικής αντοχής. Έτσι, κατά τον Ευρωκώδικα 3, ένας κόµβος δοκού υποστυλώµατος µπορεί να ταξινοµηθεί ως: ονοµαστικά αρθρωτός, αν m < 0.25 (Σχήµατα 1.5 και 1.15), µερικής αντοχής, αν 0.25 m < 1.00 ή πλήρους αντοχής, αν m 1. Επίσης, στην περίπτωση των κόµβων πλήρους αντοχής, όταν m 1.20, δε χρειάζεται έλεγχος της στροφικής ικανότητας των κόµβων. 1.3.5 Ανάλογα µε τη στροφική δυσκαµψία του κόµβου Γενικά Σ ό,τι αφορά στη στροφική δυσκαµψία, ο Ευρωκώδικας 3 (CEN, 1992) και το αναθεωρηµένο Παράρτηµα J, προτείνουν να ταξινοµούνται οι κόµβοι δοκού υποστυλώµατος ως άκαµπτοι, ηµιάκαµπτοι και ονοµαστικά αρθρωτοί, συγκρίνοντας την αρχική τους στροφική δυσκαµψία S j,ini µε τα όρια ταξινόµησης που φαίνονται στο Σχήµα 1.19. Σχήµα 1.19: Ταξινόµηση ανάλογα µε τη δυσκαµψία του κόµβου (Ευρωκώδικας 3) (CEN, 1992) Γίνεται ένας διαχωρισµός µεταξύ των αντιστηριζόµενων και µη αντιστηριζόµενων πλαισίων και τα όρια της ταξινόµησης εξαρτώνται από τη ροπή αδράνειας I b και και το άνοιγµα L b της συνδεόµενης δοκού. Στις παραγράφους που ακολουθούν, παρουσιάζονται διάφορες προτάσεις σε σχέση µε τα όρια αυτής της ταξινόµησης. Όρια µεταξύ ονοµαστικά αρθρωτών και ηµιάκαµπτων κόµβων Αναφορικά µε τα όρια µεταξύ ονοµαστικά αρθρωτών και ηµιάκαµπτων κόµβων, o Gomes (1999) υποστηρίζει, πως οι ονοµαστικά αρθρωτοί κόµβοι δε χρειάζεται να ταξινοµούνται ανάλογα µε τη δυσκαµψία τους. Ένας κόµβος µπορεί να ταξινοµηθεί ως ονοµαστικά αρθρωτός ακόµα και στην περίπτωση που η αρχική του δυσκαµψία είναι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Ορισµοί, ταξινόµηση κόµβων, εφαρµοσιµότητα - επιλογές 13 µεγάλη (Σχήµα 1.20). Παράλληλα, δεν είναι απαραίτητο να ορισθεί ένα κάτω όριο της δυσκαµψίας, ώστε να ταξινοµηθεί ένας κόµβος στους ηµιάκαµπτους. Σχήµα 1.20: Ο κόµβος πρέπει να ταξινοµείται ως ονοµαστικά αρθρωτός, ακόµα και αν η αρχική του δυσκαµψία είναι µεγάλη (Gomes, 1999) Οι Tschemmernegg, Huber και Rubin (1997) πρότειναν τον όρο «ασθενής» (weak) αντί του «ονοµαστικά αρθρωτός» και έθεσαν τα όρια µεταξύ των ασθενών και ηµιάκαµπτων κόµβων στο 10% της δυσκαµψίας που απαιτείται για το χαρακτηρισµό τους ως άκαµπτους (Σχήµα 1.21). Σχήµα 1.21: Ταξινόµηση ανάλογα µε τη δυσκαµψία του κόµβου (Τschemmernegg κ.ά., 1997) Όρια µεταξύ ονοµαστικά άκαµπτων και ηµιάκαµπτων κόµβων ύο διαφορετικές µέθοδοι έχουν χρησιµοποιηθεί για το προσδιορισµό της απαιτούµενης στροφικής δυσκαµψίας των ονοµαστικά άκαµπτων κόµβων. Στην πρώτη µέθοδο, γίνεται η υπόθεση, ότι η απαιτούµενη δυσκαµψία είναι ανεξάρτητη από τη συνολική απόκριση του πλαισίου και ειδικά από το µήκος της συνδεόµενης δοκού. Στη δεύτερη µέθοδο, αντίθετα, η απαιτούµενη δυσκαµψία προκύπτει µε την επιβολή κάποιων ορίων στην επιρροή της ευκαµψίας των κόµβων στη συνολική απόκριση. Η τελευταία χρησιµοποιείται για να προκύψει η απαιτούµενη τιµή της δυσκαµψίας, η οποία, κατά τον Ευρωκώδικα, εξαρτάται από το µήκος της δοκού.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Ορισµοί, ταξινόµηση κόµβων, εφαρµοσιµότητα - επιλογές 14 Κριτήρια ανεξάρτητα από τη συνολική απόκριση Έχουν προταθεί διάφορα όρια ταξινόµησης, που είναι ανεξάρτητα από τη συνολική απόκριση του πλαισίου. Ένας κόµβος θεωρείται άκαµπτος αν η στροφική του δυσκαµψία είνα µεγαλύτερη από ΕΙ b /L ref, όπου L ref είναι ένα µήκος αναφοράς που δεν εξαρτάται από το µήκος της δοκού. Οι διάφορες προτάσεις συνοψίζονται στον Πίνακα 1.1 και περιγράφονται περιληπτικά παρακάτω. Συγγραφείς Bjorhovde, Colson, Brozzetti (1990) Bijlaard, Steenhuis* (1991) Τschemmernegg, Huter* (1993) Mazzolani, De Matteis, Mandara (1996) Tschemmernegg, Huber, Rubin (1997) Απαιτούµενη δυσκαµψία για ταξινόµηση κόµβων ως άκαµπτων E I b d = ύψος δοκού 2 d E I b (αντιστηριζόµενα πλαίσια) d για Μ 2/3 Μ pl,rd E I b (µη αντιστηριζόµενα πλαίσια) 2.5 d E I x 4 d I 3 b E b d E I b j E I 3 b b b j (αντιστηριζόµενα πλαίσια) για Μ 2/3 Μ pl,rd d = ύψος δοκού ή υποστυλώµατος (µη αντιστηριζόµενα πλαίσια) b j = ύψος υποστυλώµατος M pl,rd είναι η αντοχή σχεδιασµού της συνδεόµενης δοκού. Για τις προτάσεις µε *, όπου τα όρια καθορίζονται µε διγραµµική συνάρτηση, µόνον ο αρχικός κλάδος αναφέρεται για Μ 2/3 Μ pl,rd Πίνακας 1.1: ιάφορες προτάσεις για την ταξινόµηση των κόµβων ως άκαµπτων, στις οποίες η στροφική δυσκαµψία δεν εξαρτάται από το µήκος της δοκού Tην έννοια του ισοδύναµου µήκους αναφοράς L eff, εισήγαγαν οι Bjorhovde, Colson και Βrozzetti (1990). Κατ αυτούς, το ισοδύναµο µήκος αναφοράς L eff προσδιορίζεται ως το µήκος της συνδεόµενης δοκού, η καµπτική δυσκαµψία ΕΙ b /L e της οποίας, ισούται µε την αρχική στροφική δυσκαµψία του κόµβου. Με βάση διάφορα πειραµατικά δεδοµένα, έχει προταθεί να ταξινοµούνται οι κόµβοι ως άκαµπτοι, αν το ισοδύναµο µήκος αναφοράς τους είναι µικρότερο κατά δύο φορές από το ύψος d της δοκού. Έτσι, το κριτήριο ταξινόµησης σύµφωνα µε το µήκος αναφοράς, είναι L ref = 2d και δε γίνεται καµία διάκριση σε σχέση µε το αν το πλαίσιο είναι αντιστηριζόµενο ή όχι. Κατά τον ίδιο τρόπο, oι Τschemmernegg και Huter (1993) προτείνουν ένα σύστηµα ταξινόµησης, στο οποίο η διάκριση µεταξύ αντιστηριζόµενων και µη αντιστηριζόµενων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Ορισµοί, ταξινόµηση κόµβων, εφαρµοσιµότητα - επιλογές 15 πλαισίων εκλείπει. Στην περίπτωση αυτή, ο λόγος L b /d θεωρείται ότι αλλάζει τιµές µε τρόπο ώστε να συµµορφώνεται µε τα κριτήρια του Ευρωκώδικα 3 (CEN, 1997). Στην πρόταση των Mazzolani, de Matteis και Μandara (1996) το µήκος αναφοράς, το οποίο καλείται επίσης και χαρακτηριστικό µήκος, σχεδιάζεται ως το τµήµα του µέλους που, αρχίζοντας από µια ιδανικά συνεχή κατασκευή, υποκαθίσταται µε την εισαγωγή του κόµβου. Απλούστερα, υποτίθεται ότι είναι ίσο µε το ύψος του µέλους. Επίσης, δε γίνεται καµία διάκριση µεταξύ αντιστηριζόµενων και µη αντιστηριζόµενων πλαισίων. Οι Tschemmernegg, Huber και Rubin (1997) έχουν προτείνει δύο διαφορετικούς ορισµούς για το µήκος αναφοράς µε σκοπό τη συµµόρφωση µε τα δύο όρια ταξινόµησης του αναθεωρηµένου παραρτήµατος J του Ευρωκώδικα 3, για τα αντιστηριζόµενα και µη πλαίσια. Υποθέτοντας ένα σταθερό λόγο ανάµεσα στο µήκος της δοκού και το πλάτος b j του υποστυλώµατος, που είναι: L b /L j =25, τα δύο µήκη αναφοράς είναι b j και 3b j, αντίστοιχα. Το γεγονός αυτό οδηγεί σε µια συγκεκριµένη σχέση ανάµεσα στην ταξινόµηση και την αποτίµηση των κόµβων, η οποία βασίζεται στην ιδέα των ισοδύναµων βραχέων Τ (Gomes, 1999). Κριτήρια ανάλογα µε τη συνολική απόκριση Ένας κόµβος µπορεί να ταξινοµηθεί ως άκαµπτος, αν η παραµόρφωσή του δεν έχει σηµαντική επιρροή στην κατανοµή των εσωτερικών δυνάµεων και ροπών στην κατασκευή αλλά ούτε και στη συνολική παραµόρφωση του συστήµατος. Έτσι, έχουν χρησιµοποιηθεί διάφορα κριτήρια για να περιορίσουν αυτήν την επιρροή τόσο στις οριακές καταστάσεις αστοχίας όσο και λειτουργικότητας. Η δυσκαµψία του κόµβου επηρεάζει τον ελαστικό κρίσιµο συντελεστή (του Euler) α cr και έτσι το συντελεστή φορτίου κατάρρευσης α u (Σχήµα 1.22). Ένα κριτήριο για τις οριακές καταστάσεις δίνεται στον Ευρωκώδικα 3 (CEN, 1997): «η παραµόρφωση των άκαµπτων κόµβων πρέπει να είναι τέτοια ώστε αυτοί να µη µειώνουν την αντοχή της κατασκευής περισσότερο από 5%». Αυτό το κριτήριο εκφράζεται από: α u 0.95 α u, (κριτήριο οριακού φορτίου) (1.2) όπου: ο δείκτης σηµαίνει ότι ο συντελεστής φορτίου αναφέρεται στην ιδανική κατασκευή µε τέλεια άκαµπτους κόµβους (S j = ). H εφαρµογή του παραπάνω κριτηρίου συνεπάγεται τη χρήση είτε αριθµητικών προσοµοιώσεων είτε κάποιας απλοποιητικής προσέγγισης. Ο έλεγχος των οριακών καταστάσεων µπορεί να γίνει επίσης µε τον περιορισµό των επιρροών δεύτερης τάξης. Αν υποθέσουµε µια µέγιστη µείωση κατά 5% του συντελεστή του κρίσιµου ελαστικού φορτίου, το ακόλουθο κριτήριο: α cr 0.95 α cr, (κριτήριο ευστάθειας) (1.3)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Ορισµοί, ταξινόµηση κόµβων, εφαρµοσιµότητα - επιλογές 16 χρησιµοποιείται για τον καθορισµό των ορίων που προτείνονται από τον Ευρωκώδικα 3. Το δε κριτήριο ευστάθειας (σχέση 1.3) οδηγεί στα όρια ταξινόµησης, που είναι ασφαλέστερα από εκείνα που δίνονται από την εφαρµογή του κριτηρίου της σχέσης 1.2. Μια άλλη συνέπεια της ευκαµψίας των κόµβων, είναι η αύξηση των παραµορφώσεων, η οποία συχνά διέπει το δοµικό σχεδιασµό. Το ακόλουθο κριτήριο παραµόρφωσης έχει προταθεί από το Πανεπιστήµιο της Liège: δ δ (κριτήριο παραµόρφωσης) (1.4) 0.9 Η εφαρµογή αυτών των κριτηρίων, ώστε να ορισθεί η απαιτούµενη δυσκαµψία των ονοµαστικά άκαµπτων κόµβων, υπήρξε το αντικείµενο πολλών ερευνητικών εργασιών, που περιγράφονται παρακάτω και στις οποίες γίνεται διάκριση µεταξύ αντιστηριζόµενων και µη αντιστηριζόµενων πλαισίων. Σχήµα 1.22: Συντελεστής φορτίου α σε σχέση µε την οριζόντια παραµόρφωση δ Απαιτούµενη δυσκαµψία των ονοµαστικά άκαµπτων κόµβων σε αντιστηριζόµενα πλαίσια Χρησιµοποιώντας το κριτήριο ευστάθειας (σχέση 1.3), εφαρµοσµένο στα υποστυλώµατα των αντιστηριζόµενων πλαισίων που φαίνονται στο Σχήµα 1.23, ο Gomes (1997) έδειξε πως η απαιτούµενη δυσκαµψία επηρεάζεται σηµαντικά από τις συνοριακές συνθήκες στο άκρο της δοκού (πάκτωση, άρθρωση, κτλ.). Στο Σχήµα 1.24, απεικονίζεται ο λόγος του κρίσιµου φορτίου α cr /α cr, σε σχέση µε τη δυσκαµψία του κόµβου. Κάθε καµπύλη (από την α έως την ε), αντιστοιχεί σε καθένα από τα αντιστηριζόµενα πλαίσια που

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Ορισµοί, ταξινόµηση κόµβων, εφαρµοσιµότητα - επιλογές 17 φαίνονται στο Σχήµα 1.23 και η τοµή κάθε καµπύλης µε την οριζόντια γραµµή που αντιστοιχεί σε Σχήµα 1.23: Αντιστηριζόµενα πλαίσια µε διάφορες συνοριακές συνθήκες στα άκρα των δοκών α cr =0.95α cr,, δείχνει την απαραίτητη δυσκαµψία των κόµβων στα πλαίσια. Στο Σχήµα 1.24, ο λόγος ρ ανάµεσα στο συντελεστή δυσκαµψίας της δοκού K b =I b /L b και το συντελεστή δυσκαµψίας του υποστυλώµατος K c =I c /L c, θεωρείται ότι είναι ο ίδιος για όλα τα πλαίσια: ρ = Κ b /K c =2. Kατά συνέπεια, σύµφωνα µε τη σχέση 1.3, η απαιτούµενη δυσκαµψία εξαρτάται όχι µόνο από το ΕΙ b /L b αλλά και από τη συνθήκη δέσµευσης στα άκρα της δοκού και µπορεί να εκφρασθεί ως συνάρτηση του συντελεστή της ενεργού δυσκαµψίας της δοκού Κ b,eff, όπως ακολουθεί: S j 26 E K b,eff, (1.5) Σχήµα 1.24: Η απαιτούµενη δυσκαµψία του κόµβου, σύµφωνα µε το κριτήριo ευστάθειας για τα πλαίσια α έως ε που απεικονίζονται στο Σχήµα 1.23, όπου Κ b /K c = 2

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Ορισµοί, ταξινόµηση κόµβων, εφαρµοσιµότητα - επιλογές 18 όπου το Κ b,eff δίνεται στον Πίνακα 1.2 για τρεις τυπικές συνθήκες δέσµευσης του πέρατος της δοκού. Συνθήκες στροφικής δέσµευσης στο άλλο άκρο της δοκού Πάκτωση στο άλλο άκρο Άρθρωση στο άλλο άκρο Στροφή ίση κατά µέτρο και αντίθετη κατά φορά µε αυτή στο εγγύς άκρο (απλή καµπυλότητα) Συντελεστής ενεργού δυσκαµψίας δοκού Κ b,eff 1.00 I b / L b 0.75 I b / L b 0.5 I b / L b Πίνακας 1.2: Συντελεστής ενεργού δυσκαµψίας δοκού Κ b,eff Ένα παράδειγµα της εφαρµογής αυτού του τύπου δίνεται στο σχήµα 1.25(α), όπου οι συνθήκες δέσµευσης στα πέρατα των δοκών b1, b2 και b3 λαµβάνονται υπόψη για την εκτίµηση της απαιτούµενης δυσκαµψίας των κόµβων. Παρατηρεί κανείς, ότι ακόµα και αν ο συντελεστής ΕΙ b /L b είναι ο ίδιος για όλες τις δοκούς, η απαιτούµενη δυσκαµψία διαφέρει µεταξύ των κόµβων. Η εφαρµογή του κριτηρίου παραµόρφωσης (σχέση 1.4), σε διάφορα αντιστηριζόµενα πλαίσια, έχει επίσης εξετασθεί από τους Gomes, Providencia και Costa (1997). Σύµφωνα µε αυτό το κριτήριο, εφαρµοσµένο στην παραµόρφωση στο µέσο του ανοίγµατος µιας κοινής δοκού υπό οµοιόµορφο φορτίο (Σχήµα 1.25), η απαιτούµενη δυσκαµψία φθάνει το 70ΕΙ b /L b και η αντίστοιχη ανακατανοµή των ροπών είναι µικρότερη από το 3% της ροπής που θα αναπτυσσόταν στην περίπτωση της πάκτωσης. Αντίθετα, αν χρησιµοποιηθεί το όριο δυσκαµψίας του Ευρωκώδικα 3 (CEN, 1997), δηλαδή το 8ΕΙ b /L b (Σχήµα 1.25(δ)), η ανακατανοµή των ροπών φθάνει το 20% της ροπής πάκτωσης και η µεταβολή της παραµόρφωσης στο µέσο του ανοίγµατος φθάνει το 80% της παραµόρφωσης που θα προέκυπτε στην περίπτωση των τέλεια στερεών κόµβων. Μεταξύ αυτών των δύο ακραίων περιπτώσεων, προτείνεται ένα νέο κριτήριο, που βασίζεται στην ανακατανοµή των ροπών κατά 10% σε σχέση µε τη ροπή πάκτωσης και οδηγεί σε µια απαιτούµενη δυσκαµψία ίση µε 18ΕΙ b /L b (Σχήµα 1.25(γ)) καθώς και σε µια µεταβολή της παραµόρφωσης κατά 40%, που δεν είναι τόσο µεγάλη όσο αυτή που υπολογίζεται για το όριο του Ευρωκώδικα 3. Άρα, η τιµή της οριακής δυσκαµψίας 8ΕΙ b /L b, η οποία προτείνεται από τον Ευρωκώδικα 3 για την ταξινόµηση των κόµβων στα αντιστηριζόµενα πλαίσια, δεν ικανοποιεί τα παραπάνω κριτήρια. Το όριο δυσκαµψίας 18ΕΙ b /L b που προτείνεται, δεν ικανοποιεί πάντοτε το κριτήριο ευστάθειας (σχέση 1.3). Για παράδειγµα, στην περίπτωση της κατασκευής α) που φαίνεται στο Σχήµα 1.24, αυτή η δυσκαµψία οδηγεί σε µια µείωση των κρίσιµων φορτίων κατά 7% περίπου σε αυτήν την ακραία κατάσταση (από την καµπύλη α) του Σχήµατος 1.24

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Ορισµοί, ταξινόµηση κόµβων, εφαρµοσιµότητα - επιλογές 19 προκύπτει ότι: α cr /α cr, 0.93). Παράλληλα, η µείωση της αντοχής της κατασκευής θα διατηρηθεί σε αποδεκτά επίπεδα (µικρότερη ή περίπου ίση µε 5%). Όταν η κρίσιµη παράµετρος κατά το σχεδιασµό είναι οι παραµορφώσεις, τότε η αύξησή τους λόγω της ελεύθερης στροφής των ονοµαστικά αρθρωτών κόµβων, µπορεί να υπολογισθεί συναρτήσει της θεωρούµενης ανακατανοµής των ροπών. Σχήµα 1.25: Απαιτούµενη δυσκαµψία σύµφωνα µε διάφορα κριτήρια

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Ορισµοί, ταξινόµηση κόµβων, εφαρµοσιµότητα - επιλογές 20 Απαιτούµενη δυσκαµψία των ονοµαστικά άκαµπτων κόµβων στα µη αντιστηριζόµενα πλαίσια Η επίδραση της δυσκαµψίας των κόµβων στις οριζόντιες παραµορφώσεις και το οριακό φορτίο διάφορων µη αντιστηριζόµενων πλαισίων, έχει εξετασθεί από το Πανεπιστήµιο της Liège. Εκεί ερευνήθηκε, ένας µεγάλος αριθµός από δίστυλα πλαίσια µε αµφιαρθρωτά Σχήµα 1.26: Απαιτούµενη δυσκαµψία των ονοµαστικά αρθρωτών κόµβων σε δίστυλα πλαίσια ζυγώµατα καθώς και από µονώροφα πολύστυλα πλαίσια µε τις βάσεις των υποστυλώµατων θεωρηµένες ως αρθρώσεις ή πακτώσεις. Η απαιτούµενη δυσκαµψία, που ικανοποιεί το κριτήριο οριακού φορτίου (σχέση 1.2) ή το κριτήριο παραµόρφωσης (σχέση 1.4), απεικονίζεται στο Σχήµα 1.26, όπου οι στιγµές αντιπροσωπεύουν τα αριθµητικά αποτελέσµατα. Το συµπέρασµα είναι, ότι το κριτήριο παραµόρφωσης είναι περισσότερο καθοριστικό σε σύγκριση µε το κριτήριο του οριακού φορτίου. Επίσης, προτείνεται, τα αποτελέσµατα που προέκυψαν από τα δίστυλα πλαίσια, να γενικευθούν και στα πολύστυλα πλαίσια, µε την αναφορά του καλούµενου: «ισοδύναµου πλαισίου του Grinter». Η απαιτούµενη δυσκαµψία σύµφωνα µε τα κριτήρια οριακού φορτίου και παραµόρφωσης, έχει επίσης ερευνηθεί από το Πανεπιστήµιο της Coimbra. Ο Gomes κ.ά. (1995) ορίζει αναλυτικές σχέσεις που περιγράφουν την επιρροή της δυσκαµψίας των κόµβων στο συντελεστή οριακού φορτίου και προτείνει µια έκφραση για την απαιτούµενη δυσκαµψία σύµφωνα µε το κριτήριο οριακού φορτίου: S j 114 E Ib (1.6) α L cr, b Αυτή η έκφραση, που απεικονίζεται στο Σχήµα 1.27, δείχνει ότι το όριο 25EI b /L b του Ευρωκώδικα 3 ικανοποιεί το κριτήριο οριακού φορτίου, για α cr, > 4.5 (CEN, 1997).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Ορισµοί, ταξινόµηση κόµβων, εφαρµοσιµότητα - επιλογές 21 Eπίσης, δίνεται ένα άνω όριο για την αύξηση της σχετικής µετατόπισης µεταξύ οροφής και βάσης ενός ορόφου πλαισίου (interstorey drift), εξαιτίας της ευκαµψίας των ονοµαστικά αρθρωτών κόµβων: δ δ ανω οριο = 1 + 6 S j E I L b b (1.7) ή Σχήµα 1.27: Απαιτούµενη δυσκαµψία για την ικανοποίηση του κριτηρίου οριακού φορτίου. Σύγκριση µε τα όρια δυσκαµψίας του Ευρωκώδικα 3 (CEN, 1997) δ = 1 + α δ cr, ανω οριο 19 (1.8) Οι Gomes, Neves κ.ά. (1995) πραγµατοποίησαν µια ακριβή ανάλυση ευστάθειας αντί της προσεγγιστικής ανάλυσης και επιβεβαίωσαν τις προηγούµενες εκφράσεις (σχέσεις 1.6 και 1.8). Οι Gomes, Providencia και Costa (1997) εξέτασαν την επιρροή της ευκαµψίας των κόµβων στις οριζόντιες παραµορφώσεις ενός µη αντιστηριζόµενου πλαισίου, όπως απεικονίζεται στο Σχήµα 1.28. Το πλαίσιο µε αρθρώσεις στις βάσεις των στύλων και αυτό µε πακτώσεις, αποτελούν ειδικές περιπτώσεις του γενικότερου πλασίου του Σχήµατος 1.28(β), για β=0 και β=, αντίστοιχα. Η απαιτούµενη δυσκαµψία για την ικανοποίηση του κριτηρίου παραµόρφωσης, φαίνεται στο Σχήµα 1.29 για διάφορες τιµές του β. Η ακόλουθη απλοποιηµένη έκφραση που

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Ορισµοί, ταξινόµηση κόµβων, εφαρµοσιµότητα - επιλογές 22 Σχήµα 1.28: Μη αντιστηριζόµενα πλαίσια µε ηµιάκαµπτους κόµβους (α) αρθρωτές βάσεις, (β) µορφής κυψέλης, (γ) άκαµπτες βάσεις απεικονίζεται µε την παχιά γραµµή του Σχήµατος 1.29 είναι η εξής: S j Ε Ι 25 ( 2 ρ) Lb E Ib 25, Lb b, αν ρ 1 αν ρ > 1 (1.9) όπου ρ είναι ο λόγος της δυσκαµψίας δοκού προς υποστυλώµατος (Σχήµα 1.29). Η χρήση της σχέσης 1.9, προτείνεται ακόµα και για πολυώροφα πολύστυλα πλαίσια. Προϋποθέτει την εισαγωγή ενός καθολικού λόγου δυσκαµψίας δοκού προς υποστυλώµατος ρ, ο οποίος χαρακτηρίζει ένα δεδοµένο όροφο, αντί του προηγούµενου ορισµού του ρ που συνδέεται µόνο µε έναν κόµβο. Στην περίπτωση των πολυώροφων πολύστυλων πλαισίων, η παράµετρος ρ στη σχέση 1.9 θα πρέπει να καθορίζεται ως εξής: b ρ = (1.10) (Ι / L ) c (Ι b c / L b c ) όπου το άθροισµα b αναφέρεται σε όλες τις δοκούς στην οροφή του ορόφου και το b αναφέρεται σε όλα τα υποστυλώµατα του ορόφου. Η ανάλυση ευαισθησίας δείχνει τον τρόπο µε τον οποίο µια αλλαγή στο κριτήριο παραµόρφωσης επηρεάζει την απαιτούµενη δυσκαµψία. Αν το κριτήριο παραµόρφωσης είναι διαφορετικό από δ δ /0.9, τότε η απαιτούµενη δυσκαµψία θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί µε τον επόµενο παράγοντα (ίσο µε τη µονάδα αν δ=δ /0.9): 9 (δ δ δ. (1.11) )

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Ορισµοί, ταξινόµηση κόµβων, εφαρµοσιµότητα - επιλογές 23 Σχήµα 1.29: Απαιτούµενη δυσκαµψία για την ικανοποίηση του κριτηρίου παραµόρφωσης για διάφορες τιµές του ρ. Σύγκριση µε την προτεινόµενη σχέση 1.9 Το συµπέρασµα που προκύπτει από την ανάλυση ευαισθησίας, είναι ότι αν η δυσκαµψία όλων των κόµβων είναι 25ΕΙ b /L b (όριο του Ευρωκώδικα 3), τότε οι πραγµατικές οριζόντιες παραµορφώσεις µπορεί να είναι κατά 24% µεγαλύτερες από εκείνες που υπολογίζονται µε βάση τους τέλεια άκαµπτους κόµβους (δ 1.24δ ). Η χρήση της προτεινόµενης έκφρασης (σχέση 1.9) περιορίζεται σε πλαίσια, για τα οποία ο συντελεστής του κρίσιµου φορτίου ικανοποιεί τη συνθήκη α cr, > 4.5, µε στόχο να ικανοποιήσει ταυτόχρονα το κριτήριο οριακού φορτίου (σχέση 1.2) και το κριτήριο παραµόρφωσης (σχέση 1.4). Έτσι, για α cr, > 4.5 υπερισχύει της σχέσης 1.6 (Gomes, 1999). 1.3.6 Ανάλογα µε την πλαστιµότητα του κόµβου Οι κόµβοι δοκού υποστυλώµατος µπορούν να ταξινοµηθούν ανάλογα µε τη δυνατότητα πλαστικής στροφής που διαθέτουν. Αναγνωρίζονται έτσι, δύο κατηγορίες: οι κόµβοι πλήρους πλαστιµότητας και οι κόµβοι µερικής πλαστιµότητας. Οι κόµβοι πλήρους πλαστιµότητας µπορούν να αναπτύξουν πλαστική στροφή ίση ή µεγαλύτερη από αυτήν του συνδεόµενου µέλους. Αντίθετα, η µέγιστη πλαστική στροφή που µπορούν να αναπτύξουν οι κόµβοι µερικής πλαστιµότητας είναι µικρότερη από αυτήν του συνδεόµενου µέλους. Αυτό το κριτήριο ταξινόµησης δεν περιλαµβάνεται στον Ευρωκώδικα 3 (CEN, 1997), αλλά αναγνωρίζεται εύκολα ότι παίζει σηµαντικό ρόλο όταν εκτελείται στερεοπλαστική ή ελαστοπλαστική ανάλυση. Η παράµετρος που λαµβάνεται υπόψη σε αυτήν την ταξινόµηση, είναι ο λόγος η R µεταξύ της παρεχόµενης πλαστικής στροφής φ p,j του κόµβου δοκού υποστυλώµατος και της πλαστικής στροφής θ pb, την οποία µπορεί να αναπτύξει το άκρο της δοκού. H δε θ pb, εξαρτάται από το λόγο ύψους προς πάχος των λεπίδων που αποτελούν τη διατοµή του

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Ορισµοί, ταξινόµηση κόµβων, εφαρµοσιµότητα - επιλογές 24 άκρου της δοκού. Κατά συνέπεια, οι κόµβοι πλήρους πλαστιµότητας χαρακτηρίζονται από η R 1, ενώ οι κόµβοι µερικής αντοχής χαρακτηρίζονται από η R < 1. Προφανώς, στην περίπτωση κόµβων που διαθέτουν επαρκή υπεραντοχή σε σχέση µε τη συνδεόµενη δοκό, έτσι ώστε να επιτρέπεται η πλήρης ανάπτυξη της πλαστικής στροφής της δοκού, τότε η πλαστιµότητα του κόµβου µπορεί συµβατικά να υποτεθεί ότι ταυτίζεται µε αυτής της συνδεόµενης δοκού, δηλαδή η R = 1 (Faella κ.ά., 2000). Η πρακτική εφαρµογή του παρόντος κριτηρίου ταξινόµησης δε χρειάζεται µόνον την πρόβλεψη της παρεχόµενης πλαστικής στροφής του κόµβου, αλλά και της πλαστικής στροφικής ικανότητας των συνδεόµενων µελών. Αυτό έχει ερευνηθεί εκτεταµένα και σήµερα υπάρχουν διάφορες µέθοδοι για τον υπολογισµό της πλαστικής στροφικής ικανότητας των χαλύβδινων µελών (Mazzolani και Piluso, 1996). 1.4 ΕΦΑΡΜΟΣΙΜΟΤΗΤΑ ΕΠΙΛΟΓΕΣ Η εφαρµοσιµότητα των ηµιάκαµπτων κόµβων δεν αποτελεί αντικείµενο για αξιόλογη διευρεύνηση, αφού για πολλές δεκαετίες εφαρµόζονται οι ακραίες εκδοχές αυτών (αρθρώσεις ή πακτώσεις), µε επιτυχία και στις δύο περιπτώσεις. Είναι σηµαντικό να γίνει αντιληπτό, ότι στην πραγµατικότητα ηµιάκαµπτοι είναι όλοι οι κόµβοι, υπό την έννοια ότι η άρθρωση και η πάκτωση αποτελούν µόνο θεωρητικές παραδοχές, που βέβαια εξυπηρετούν σχεδόν το σύνολο των περιπτώσεων της καθηµερινής µελετητικής πράξης. Άρα, η εφαρµοσιµότητά τους από πλευράς κατασκευαστικής ευχέρειας, είναι de facto αναγνωρισµένη και επιβεβαιωµένη από το πλήθος των ήδη κατασκευασµένων φορέων από χάλυβα. Συγκριτικό πλεονέκτηµα των ηµιάκαµπτων κόµβων, σε σχέση µε τους στερεούς και αρθρωτούς, είναι η δυνατότητα που µας παρέχεται να µεταβάλουµε τα συστατικά που τους συνθέτουν και να επιτυγχάνουµε έτσι επιθυµητές τιµές στις δοµικές τους ιδιότητες αλλά και ευκολία στη λογιστική τους αντιµετώπιση µε χρήση επιθυµητής µεθόδου ανάλυσης, επιθυµητής κατανοµής δυνάµεων στους κοχλίες κτλ. Έτσι, παρουσιάζεται το παράδειγµα ενός ηµιάκαµπτου κόµβου δοκού υποστυλώµατος µε µετωπική πλάκα, στο οποίο φαίνεται η µεταβολή κάποιων χαρακτηριστικών του κόµβου και οι συνέπειες αυτής της µεταβολής (Σχήµα 1.30). Σχήµα 1.30: Συγκριτική παρουσίαση τριών περιπτώσεων ηµιάκαµπτων κόµβων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Ορισµοί, ταξινόµηση κόµβων, εφαρµοσιµότητα - επιλογές 25 Στην περίπτωση (α), το πέλµα του υποστυλώµατος είναι παχύ και η πλάκα είναι παχιά σε σχέση µε την αντοχή των κοχλιών. Έτσι: Η κατανοµή των δυνάµεων των κοχλιών είναι ελαστική, δεν υπάρχει καµιά στροφική ικανότητα, αλλά αν Μ j,rd > 1.2M pl,beam, τότε η στροφική ικανότητα προέρχεται από τη διατοµή της δοκού (πλαστική άρθρωση) αλλιώς δεν επιτρέπεται τέτοιος σχεδιασµός. Στην περίπτωση (β), το πέλµα του υποστυλώµατος είναι παχύ ενώ η µετωπική πλάκα είναι λεπτή σε σχέση µε την αντοχή των κοχλιών. Έτσι: Η κατανοµή των δυνάµεων των κοχλιών είναι πλαστική, η ροπή αντοχής καθορίζεται από την πλάκα και η στροφική ικανότητα προέρχεται επίσης από την πλάκα. Στην περίπτωση (γ), τέλος, το πέλµα του υποστυλώµατος είναι λεπτό ενώ η µετωπική πλάκα είναι παχιά σε σχέση µε την αντοχή των κοχλιών. Έτσι: Η κατανοµή των δυνάµεων των κοχλιών είναι πλαστική, η ροπή αντοχής καθορίζεται από το πέλµα του υποστυλώµατος και η στροφική ικανότητα προέρχεται επίσης από το πέλµα του υποστυλώµατος (Μπανιωτόπουλος, 2003).

26

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: οµικές ιδιότητες των συνδέσεων 27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 οµικές ιδιότητες των συνδέσεων ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 2.1 2.2 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 ΓΕΝΙΚΑ ΜΕΘΟ ΟΙ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΡΟΠΗΣ - ΣΤΡΟΦΗΣ Γενικά Αναλυτικές σχέσεις µε βάση τη δυσκαµψία, αντοχή και παράγοντες σχήµατος Προσαρµογή καµπύλης Μ φ µε χρήση ανάλυσης παλινδρόµησης 2.4 2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4 2.4.5 ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ Ορισµοί Καθορισµός της στροφικής ικανότητας των κόµβων από την ικανότητα παραµόρφωσης των συστατικών τους Επιβεβαίωση της επαρκούς στροφικής ικανότητας Σχόλια για τις µεθόδους υπολογισµού της στροφικής ικανότητας Η στροφική ικανότητα ως παράγοντας σχεδιασµού των κατασκευών διατάξεις του Ευρωκώδικα 3 2.1 ΓΕΝΙΚΑ Για πολλά χρόνια, η ερευνητική δραστηριότητα στο χώρο των δοµικών κόµβων βρίσκεται επικεντρωµένη κυρίως στην αποτίµηση των δοµικών (µηχανικών) ιδιοτήτων τους, δηλαδή της αντοχής τους σε δυνάµεις και ροπές, της στροφικής τους δυσκαµψίας και της στροφικής τους ικανότητας. Απώτερος σκοπός βέβαια, είναι η εξεύρεση διαδικασιών ανάλυσης και διαστασιολόγησης των πλαισίων, οι οποίες να συµπεριλαµβάνουν και τη συµπεριφορά των κόµβων. Έγινε προοδευτικά αντιληπτό, ότι υπάρχουν ενδιάµεσα βήµατα να ακολουθήσει κανείς, στην προσπάθειά του να ενσωµατώσει µε ένα συνεπή τρόπο την πραγµατική συµπεριφορά των κόµβων στην ανάλυση των πλαισίων. Η διαδικασία αυτή ονοµάζεται αναπαράσταση των κόµβων. Η αναπαράσταση των κόµβων περιλαµβάνει τέσσερα διαδοχικά βήµατα, τα οποία ονοµάζονται: 1. Χαρακτηρισµός του κόµβου, δηλαδή η αποτίµηση µέσω κατάλληλων µεθόδων της δυσκαµψίας, αντοχής και πλαστιµότητάς του (µε καµπύλες ροπής στροφής ή µε διακριτές τιµές),

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: οµικές ιδιότητες των συνδέσεων 28 2. προσοµοίωση του κόµβου, δηλαδή ο τρόπος µε τον οποίο ο κόµβος παριστάνεται ώστε να χρησιµοποιηθεί στην ανάλυση του πλαισίου, 3. κατηγοριοποίηση του κόµβου, δηλαδή η εύρεση των συνοριακών συνθηκών για να ενταχθεί ο κόµβος σε ένα συγκεκριµένο είδος κατά την προσοµοίωσή του (π.χ. στερεός ή αρθρωτός), και 4. εξιδανίκευση του κόµβου, δηλαδή η δηµιουργία µιας απλοποιηµένης καµπύλης ροπής στροφής, η οποία να συνάδει µε τις συγκεκριµένες προσεγγίσεις της ανάλυσης (π.χ. γραµµική εξιδανίκευση για ελαστική ανάλυση) (Jaspart, 2000). Το παρόν κεφάλαιο πραγµατεύεται το πρώτο και δεύτερο από τα παραπάνω βήµατα, µε στόχο την αποτίµηση των δοµικών ιδιοτήτων των κόµβων. H κατηγοριοποίηση των κόµβων αναλύθηκε διεξοδικά στο πρώτο κεφάλαιο ενώ η εξιδανίκευσή τους µέσω της καµπύλης ροπής στροφής καθώς και οι µέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης παρουσιάζονται στο τρίτο κεφάλαιο. 2.2 ΜΕΘΟ ΟΙ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ Η απαιτούµενη πυκνότητα διακριτοποίησης κατά την προσοµοίωση των κόµβων δοκού υποστυλώµατος εξαρτάται από τον τύπο της συνολικής ανάλυσης που πραγµατοποιείται. Προφανώς, η ακριβέστερη γνώση της συµπεριφοράς των κόµβων αποκτιέται µέσω πειραµάτων, αλλά αυτός ο τρόπος είναι απαράδεκτα ακριβός για τον τοµέα των µελετών και προσφέρεται µόνο για ερευνητικές ανάγκες. Αξιόλογη εργαστηριακή έρευνα που έχει διεξαχθεί σε πολλές χώρες, έχει οδηγήσει στη δηµιουργία βάσεων δεδοµένων οι οποίες αποτελούν συλλογές δοκιµών από διάφορους τύπους κόµβων δοκού - υποστυλώµατος. Ωστόσο, τα δεδοµένα των εργαστηρίων πρέπει να θεωρούνται ως η πιο αξιόπιστη µέθοδος για την προεκτίµηση της συµπεριφοράς των κόµβων παρά ως η πραγµατική συµπεριφορά τους. Οι µέθοδοι (και τα αντίστοιχα µοντέλα) που χρησιµοποιούνται για την πρόβλεψη της συµπεριφοράς των κόµβων δοκού υποστυλώµατος, υποδιαιρούνται σε τέσσερις κατηγορίες: εµπειρικά µοντέλα, αναλυτικά µοντέλα, µηχανικά µοντέλα, µοντέλα πεπερασµένων στοιχείων και εργαστηριακές δοκιµές. Καθώς η µοντελοποίηση των κόµβων στοχεύει στον καθορισµό της στροφικής συµπεριφοράς τους, είναι προφανές ότι η πρόβλεψη της συµπεριφοράς των κόµβων χρειάζεται να συνοδεύεται από τη µαθηµατική απεικόνιση της καµπύλης ροπής στροφής,

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: οµικές ιδιότητες των συνδέσεων 29 η οποία χρησιµοποιείται από προγράµµατα ηλεκτρονικών υπολογιστών για την ανάλυση πλαισίων µε ηµιάκαµπτους κόµβους (Goto και Chen, 1986, Kishi κ.ά.,1991, Goto, 1994, Liew και Chen, 1994a-b). Oι σχέσεις για την απεικόνιση της καµπύλης Μ φ υποδιαιρούνται σε δύο κατηγορίες: σε αναλυτικές σχέσεις µε βάση τη δυσκαµψία, την αντοχή και παράγοντες του σχήµατος, σε υπολογισµό της καµπύλης χρησιµοποιώντας ανάλυση παλινδρόµησης (Faella, Piluso, Rizzano, 2000). 2.3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΡΟΠΗΣ - ΣΤΡΟΦΗΣ 2.3.1 Γενικά Η µαθηµατική απεικόνιση της καµπύλης ροπής στροφής µπορεί να γίνει µε διάφορες σχέσεις. Ο βαθµός της προσέγγισης της καµπύλης πρέπει να εκλεγεί ανάλογα µε τις υπολογιστικές δυνατότητες του λογισµικού που χρησιµοποιείται για την ανάλυση των ηµιάκαµπτων πλαισίων. Τις περισσότερες φορές γίνεται χρήση διγραµµικών διαγραµµάτων για το σκοπό αυτό. Επιπρόσθετα, οποιαδήποτε απεικόνιση της καµπύλης ροπής στροφής πρέπει να εξετασθεί όχι µόνο ως προς το επίπεδο προσέγγισης της πραγµατικής καµπύλης αλλά και ως προς την επίδραση που αυτό το επίπεδο προσέγγισης έχει στη συνολική συµπεριφορά του πλαισίου. Ιδιαίτερα σ ό,τι αφορά στη συνολική συµπεριφορά του πλαισίου, είναι σαφές, ότι η ανάγκη για πολύ ακριβείς απεικονίσεις της στροφικής συµπεριφοράς των κόµβων µειώνεται καθώς το µέγεθος της κατασκευής µεγαλώνει. Αντίθετα, η συµπεριφορά σε συγκεκριµένο µικρό τµήµα της κατασκευής µπορεί να επηρεαστεί δραµατικά από το βαθµό διακριτοποίησης των κόµβων. Το Σχήµα 2.1 παρουσιάζει συνοπτικά τις επικρατέστερες εκδοχές για τη µαθηµατική απεικόνιση της σχέσης ροπής στροφής σε κόµβους δοκών υποστυλωµάτων. Η απλούστερη απεικόνιση που είναι ταυτόχρονα και η λιγότερο ακριβής, είναι η γραµµική, η οποία υπερεκτιµά τη δυσκαµψία της σύνδεσης για πεπερασµένες στροφές. Μια σηµαντική βελτίωση παρατηρείται κατά τη διγραµµική απεικόνιση. Παρόλο που η τελευταία αδυνατεί να παρακολουθήσει τις συνεχείς αλλαγές της δυσκαµψίας στις περιοχές όπου σχηµατίζει γόνυ η πραγµατική καµπύλη Μ φ, αυτή η περίπτωση χρησιµοποιείται σε πολλά προγράµµατα υπολογιστών για την ανάλυση των ηµιάκαµπτων πλαισίων (Stark και Bijlaard, 1988). Για να ξεπερασθεί αυτός ο περιορισµός έχουν προταθεί τα τριγραµµικά (Moncarz και Gerstle, 1981) και τα πολυγραµµικά (Poggi και Zandonimi, 1985) µοντέλα. Τέλος, ένας πολύ µεγάλος βαθµός ακρίβειας µπορεί να επιτευχθεί µε τη χρήση µη γραµµικών απεικονίσεων.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: οµικές ιδιότητες των συνδέσεων 30 Όπως έχει ήδη ειπωθεί, οι σχέσεις για την απεικόνιση της καµπύλης ροπής στροφής των κόµβων δοκού υποστυλώµατος, υποδιαιρούνται σε δύο κατηγορίες. Σχήµα 2.1: ιαφορετικές µαθηµατικές απεικονίσεις της καµπύλης ροπής - στροφής Την πρώτη κατηγορία αποτελούν εκείνες οι µαθηµατικές απεικονίσεις που εξαρτώνται από µία ή περισσότερες παραµέτρους οι οποίες έχουν φυσική σηµασία και από τον παράγοντα του σχήµατος. Αντίθετα, η δεύτερη κατηγορία αποτελείται από σχέσεις για την προσαρµογή της καµπύλης, γιατί οι σχετικές παράµετροι δεν έχουν φυσική σηµασία καθώς προκύπτουν αποκλειστικά από την ανάλυση παλινδρόµησης (Faella, Piluso, Rizzano, 2000). 2.3.2 Αναλυτικές σχέσεις µε βάση τη δυσκαµψία, αντοχή και παράγοντες σχήµατος Είναι προφανές, ότι η γραµµική απεικόνιση της καµπύλης ροπής στροφής ανήκει στην α κατηγορία, γιατί χρειάζεται µια απλή παράµετρο που έχει µια πολύ σαφή φυσική σηµασία, δηλαδή τη στροφική δυσκαµψία Κ φ. Στην ίδια κατηγορία ανήκει και η διγραµµική απεικόνιση, επειδή χρειάζεται τρεις παραµέτρους που αντιστοιχούν στη στροφική δυσκαµψία Κ φ, την πλαστική καµπτική αντοχή Μ j,p και τη πλαστική στροφική δυσκαµψία (κατά την κράτυνση) Κ φ,p. H τριγραµµική απεικόνιση της καµπύλης χρειάζεται πέντε παραµέτρους (Moncarz και Gerstle, 1981). Παρόλο το µεγάλο αριθµό παραµέτρων, αυτές εξακολουθούν να έχουν µια πολύ σαφή φυσική σηµασία (Σχήµα 2.2). Αυτές οι πέντε παράµετροι είναι: η στροφική δυσκαµψία Κ φ, η ροπή διαρροής Μ j,y, η στροφική δυσκαµψία µετά τη διαρροή Κ φ,y, η πλαστική ροπή Μ j,p, και η στροφική δυσκαµψία µετά την πλαστική ροπή Κ φ,p.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: οµικές ιδιότητες των συνδέσεων 31 Πρέπει να σηµειωθεί εδώ, ότι η καµπύλη που προβλέπει ο Ευρωκώδικας 3 (Παράρτηµα J), αντιστοιχεί σ αυτήν την τριγραµµική καµπύλη µε τιµή Κ φ,p = 0. Σύµφωνα µε την εν λόγω απεικόνιση διακρίνονται τρεις περιοχές συµπεριφοράς: Η πρώτη περιοχή αντιστοιχεί σε γραµµική συµπεριφορά: Μ = Κ φ x φ (2.1) για τιµές της δρώσας ροπής σχεδιασµού µικρότερες από 2/3 Μ j,rd, όπου Μ j,rd η υπολογιστική ροπή αντοχής της πλαστικής ροπής Μ j,p. Σχήµα 2.2: Τριγραµµικό µοντέλο των Moncarz και Gerstle (1981) Η δεύτερη περιοχή αντιστοιχεί σε µη γραµµική συµπεριφορά σύµφωνα µε την ακόλουθη σχέση: Kφ 2 M = φ για Μ ψ j.rd < M < Mj.Rd, (2.2) Μ 3 1.5 Μ j.rd όπου o συντελεστής ψ εξαρτάται από τον τύπο της σύνδεσης (ΕC3, Παράρτηµα J, Πίνακας J.9). Tέλος, η τρίτη περιοχή αντιστοιχεί σε τέλεια πλαστική συµπεριφορά, δηλαδή Μ = Μ j.rd (Σχήµα 2.3). Moλονότι, η µη γραµµική περιοχή έχει εισαχθεί στην προσέγγιση της καµπύλης Μ φ που προβλέπει ο Ευρωκώδικας 3, είναι προφανές ότι η επιρροή της στη συνολική συµπεριφορά του πλαισίου είναι αµελητέα αν συγκριθεί µε τα αποτελέσµατα που προκύπτουν από τη χρήση της τριγραµµικής απεικόνισης. Αξίζει να σηµειωθεί, ότι η τριγραµµική προσέγγιση της κατά τον Ευρωκώδικα 3 απεικόνισης της καµπύλης, χαρακτηρίζεται από τη µετά τη διαρροή στροφική δυσκαµψία Κ φ.y, η οποία δίνεται ως εξής: Kφ Κφ.y = (2.3) ψ 2 3 x 1.5 3 εφόσον Κ φ,y K φ / 7 για ψ = 2.7 και Κ φ,y Κ φ / 8.5 για ψ = 3.1.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: οµικές ιδιότητες των συνδέσεων 32 Αξίζει να σηµειωθεί επίσης, ότι η τέµνουσα στροφική δυσκαµψία Κ φ,sec που αντιστοιχεί στη ροπή Μ j,rd, υπολογίζεται ως Κ φ,sec K φ /3 για ψ=2.7 και ως Κ φ,sec K φ /3.5 για ψ=3.1. Σχήµα 2.3: Τριγραµµική προσέγγιση της καµπύλης Μ φ του Ευρωκώδικα 3 (CEN, 1997) Βέβαια, µια και τα περισσότερα προγράµµατα ανάλυσης ηµιάκαµπτων πλαισίων βασίζονται σε διγραµµική προσέγγιση της καµπύλης ροπής στροφής, ο Ευρωκώδικας 3 στην περίπτωση της ελαστοπλαστικής ανάλυσης, παρέχει εναλλακτικά ως προς την καµπύλη του Σχήµατος 2.3, τη δυνατότητα χρήσης ενός απλουστευµένου διαγράµµατος ροπών στροφών. To διάγραµµα αυτό αναπαριστά µια ελαστική τέλεια πλαστική σχέση ροπών στροφών (Σχήµα 2.4), όπου ο συντελεστής µεταβολής της δυσκαµψίας η εξαρτάται από τον τύπο της σύνδεσης και του κόµβου (Ευρωκώδικας 3, Παράρτηµα J, Πίνακας J.3). Σχήµα 2.4: Απλουστευµένο διγραµµικό διάγραµµα ροπών - στροφών του Ευρωκώδικα 3 για ελαστoπλαστική ανάλυση (CEN, 1997)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: οµικές ιδιότητες των συνδέσεων 33 Καθώς η σχέση ροπής στροφής σε κόµβους δοκών υποστυλωµάτων δεν είναι γραµµική ακόµα και σε χαµηλά επίπεδα φόρτισης, ο µόνος τρόπος για την επίτευξη υψηλού βαθµού ακρίβειας στην µαθηµατική απεικόνιση της καµπύλης ροπής στροφής είναι η χρήση µη γραµµικών σχέσεων (CEN, 1997). Μια πολύ απλή µη γραµµική απεικόνιση της καµπύλης ροπής στροφής παρέχεται από την παρακάτω σχέση των Ramberg και Osgood (Ramberg και Osgood, 1943): φ n Μ Μ φ = + (2.4) Κ Κ και εξαρτάται από τις τρεις παραµέτρους: Κ φ, Κ και n. Η παράµετρος Κ φ εκφράζει την αρχική στροφική δυσκαµψία του κόµβου, και η n αποτελεί έναν παράγοντα σχήµατος που χαρακτηρίζει το γόνυ της καµπύλης. Όσον αφορά στην παράµετρο Κ, αυτή εκφράζεται σε σχέση µε την τιµή αναφοράς Μ ο της ροπής κάµψης, η οποία µετά την αποφόρτιση προκαλεί παραµένουσα στροφή φ ο (Σχήµα 2.5). Σχήµα 2.5: Απεικόνιση καµπύλης ροπής στροφής των Ramberg Osgood (1943) Προκύπτει έτσι ότι: εξής αδιάστατη µορφή: ο n n o φ x K = M και συνακόλουθα η σχέση (2.4) µετατρέπεται στην φ φ ο = Μ Μ ο 1 + Μ Μ ο n 1 (2.5) όπου Μ ο = Κ φ x φ ο. To Σχήµα 2.5 δείχνει ότι η αλλαγή κλίσης στην καµπύλη Μ φ µεγαλώνει όσο ο παράγοντας σχήµατος n µεγαλώνει. Μια διγραµµική ελαστική τέλεια πλαστική συµπεριφορά αντιστοιχεί σε n. Σε κάθε περίπτωση, η τιµή αναφοράς της ροπής Μ ο µπορεί να ερµηνευθεί ως η πλαστική καµπτική αντοχή του κόµβου. Μια µη γραµµική απεικόνιση της καµπύλης Μ φ εξαρτηµένη από τέσσερις παραµέτρους, εκφράζεται από την ακόλουθη σχέση (Goldberg και Richard, 1963, Αbbott και Richard, 1975):

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: οµικές ιδιότητες των συνδέσεων 34 (K φ Κφ,p) x φ M = + Kφ, p x φ (2.6) 1 / n n (K φ Κφ,p) x φ 1 + Μο Στη σχέση (2.6) διακρίνονται η ροπή αναφοράς Μ ο, δύο τιµές της στροφικής δυσκαµψίας, η αρχική Κ φ και η πλαστική Κ φ,p, και ο παράγοντας σχήµατος n. Ας σηµειωθεί, ότι οι Attiogbe και Μοrris έχουν παράσχει τα κριτήρια για την καλύτερη απεικόνιση της καµπύλης ροπής στροφής, δίνοντας τιµές στις τέσσερις παραµέτρους της προηγούµενης σχέσης (Attiogbe και Morris, 1991). H σχέση (2.6) µπορεί να µετατραπεί στην εξής αδιάστατη µορφή: M M o φ (1 Kp) x φο φ = + Kp x, (2.7) 1 / n n φο φ 1 (1 Κp) x + φ ο όπου Kφ,p K p = είναι η δυσκαµψία στην περιοχή της κράτυνσης, εκφρασµένη ως κλάσµα K φ της αρχικής στροφικής δυσκαµψίας. Η σχέση (2.7) παριστάνεται γραφικά στο Σχήµα 2.6, όπου γίνεται φανερό ότι η αλλαγή κλίσης στην καµπύλη Μ φ είναι τόσο εντονότερη όσο ο παράγοντας σχήµατος n µεγαλώνει. Σχήµα 2.6: Εκθετική απεικόνιση καµπυλών ροπής στροφής Το πλεονέκτηµα της σχέσης (2.6) έναντι της (2.4), είναι η δυνατότητα εισαγωγής θετικών, µηδενικών και αρνητικών τιµών της δυσκαµψίας Κ φ,p. Έτσι η σχέση (2.6), µπορεί να χρησιµοποιηθεί ακόµα και για καµπύλες που παρουσιάζουν φθίνοντα κλάδο (Σχήµα 2.7). Μπορούµε να υποθέσουµε για παράδειγµα, έναν κόµβο δοκού υποστυλώµατος που αστοχεί εξαιτίας της κύρτωσης της θλιβόµενης ζώνης του κορµού του υποστυλώµατος. Σ αυτήν την περίπτωση, ο φθίνων κλάδος της καµπύλης Μ φ οφείλεται στη µεταλυγισµική συµπεριφορά του θλιβόµενου κορµού του υποστυλώµατος.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: οµικές ιδιότητες των συνδέσεων 35 Σχήµα 2.7: Εκθετική απεικόνιση καµπυλών ροπής - στροφής µε φθίνουσα συµπεριφορά Μια άλλη σχέση, που περιλαµβάνει παραµέτρους που συνδέονται άµεσα µόνο µε τη µηχανική συµπεριφορά των κόµβων και έναν µόνον παράγοντα σχήµατος, είναι η εκθετική απεικόνιση (µε βάση το e), που ακολουθεί (Yee και Melchers, 1986): φ x (K φ Κφ,p + n x φ) M = Mo x 1 exp + Κφ, p x φ Μ (2.8) ο όπου n είναι ο παράγοντας σχήµατος και Μ ο µια παράµετρος που σχετίζεται µε την πλαστική καµπτική αντοχή του κόµβου. Η νεπέρια εκθετική απεικόνιση της καµπύλης ροπής στροφής της σχέσης (2.8) έχει τα εξής χαρακτηριστικά: η κλίση της καµπύλης στο σηµείο 0,0 ισούται µε την αρχική ελαστική δυσκαµψία του κόµβου (dm / dφ = Κ φ για φ = 0), για µεγάλες τιµές της στροφής φ, η καµπύλη πλησιάζει την ευθεία γραµµή Μ = Μ ο + Κ φ,p x φ, έτσι ώστε η παράµετρος Κ φ,p να παριστάνει τη δυσκαµψία κατά την κράτυνση και η ροπή Μ ο την ικανότητα ανάληψης πλαστικής ροπής του κόµβου. Το κύριο µειονέκτηµα αυτής της απεικόνισης (2.8), είναι ότι ο παράγοντας σχήµατος n έχει διαστάσεις. Στην πραγµατικότητα, για να αποκτήσει η σχέση (2.8) ευχερέστερη µορφή χρειάζεται να εισαχθεί η ακόλουθη αδιάστατη παράµετρος: φ 2 ο φο φ n ' = n x = n x (2.9) Κ Μ ο Με τη βοήθεια της παραπάνω παραµέτρου, η νεπέρια απεικόνιση της καµπύλης ροπής στροφής µπορεί να γραφεί ως εξής: M M o φ φ φ = 1 exp 1 Κp n' x + Κp x φ + ο φ (2.10) ο φο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: οµικές ιδιότητες των συνδέσεων 36 Η εξίσωση (2.10) απεικονίζεται γραφικά στα Σχήµατα 2.8 και 2.9 για θετικές και αρνητικές τιµές της δυσκαµψίας να τµήσει την ευθεία γραµµή: Μ = Κ φ x φ. K p αντίστοιχα. Σηµειώνεται επίσης, ότι η καµπύλη µπορεί Σχήµα 2.8: Νεπέρια εκθετική απεικόνιση των καµπυλών ροπής στροφής Σχήµα 2.9: Νεπέρια εκθετική απεικόνιση των καµπυλών ροπής στροφής µε φθίνουσα συµπεριφορά Mια ακόµα εκθετική απεικόνιση της καµπύλης ροπής στροφής κόµβων δοκού υποστυλώµατος, έχει προταθεί από τον Pilvin (1983), και έχει την παρακάτω αδιάστατη µορφή: φ φ ο = Μ Μ ο x 1 + 2 n 1 M / Mo x 1 1 M / M o. (2.11) Όπως και στις προηγούµενες σχέσεις: Μ ο = Κ φ x φ ο και n είναι ένας παράγοντας σχήµατος, του οποίου η επίδραση φαίνεται στο Σχήµα 2.10.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: οµικές ιδιότητες των συνδέσεων 37 Σχήµα 2.10: Απεικόνιση της καµπύλης ροπής στροφής κατά τον Pilvin (1983) Mια ακόµα µαθηµατική απεικόνιση παρόµοια µε την 2.11, έχει προταθεί από τον Colson (1991): φ φ M 1 = x (2.12) M n ο o 1 (M / Mo) όπου Μ ο = Κ φ x φ ο είναι η ροπή αναφοράς και n, ως συνήθως, ο παράγοντας σχήµατος (Σχήµα 2.11). Σχήµα 2.11: Απεικόνιση καµπύλης Μ φ σύµφωνα µε τον Colson (1991) Τέλος, εξαρτηµένη και αυτή από τη δυσκαµψία, την αντοχή και τον παράγοντα σχήµατος, είναι η παρακάτω εξίσωση που απεικονίζεται λογαριθµικά, ανήκει στους Wu και Chen (1990), και αφορά σε συνδέσεις µε γωνιακά: M M φ = n x ln 1 + n x o φ ο (2.13) Η σχέση 2.13 παριστάνεται γραφικά στο Σχήµα 2.12 για διάφορες τιµές του παράγοντα σχήµατος n.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: οµικές ιδιότητες των συνδέσεων 38 Σχήµα 2.12: Λογαριθµική απεικόνιση της καµπύλης Μ φ για συνδέσεις µε γωνιακά 2.3.3 Προσαρµογή καµπύλης Μ φ µε χρήση ανάλυσης παλινδρόµησης Ως εναλλακτικός τρόπος για τον υπολογισµό της καµπύλης Μ φ των κόµβων δοκού - υποστυλώµατος, σε σχέση µε τη χρήση των αναλυτικών σχέσεων που χρησιµοποιούν τη δυσκαµψία, την αντοχή και τους παράγοντες σχήµατος, προσφέρεται η προσαρµογή της καµπύλης µε βάση την ανάλυση παλινδρόµησης. Η απλούστερη απεικόνιση της καµπύλης Μ φ µε χρήση ανάλυσης παλινδρόµησης, είναι αυτή που προτάθηκε από τον Krishnamurthy κ.ά. (1979) και αφορά σε συνδέσεις µε µετωπική πλάκα. Τα δεδοµένα προέκυψαν έπειτα από ευρεία παραµετρική ανάλυση µε χρήση της µεθόδου των πεπερασµένων στοιχείων. Υιοθετήθηκε µια εκθετική απεικόνιση σύµφωνα µε την εξής σχέση: α φ = C x M (2.14) όπου C και α είναι παράµετροι παλινδρόµησης που συνδέονται µε τις γεωµετρικές και µηχανικές ιδιότητες των κόµβου. Μια ακριβέστερη απεικόνιση της καµπύλης Μ φ προκύπτει από το παρακάτω πολυώνυµο (Kennedy, 1969, Sommer, 1969, Frye και Morris, 1975): 3 5 1 x M + C2 x M C3 x M φ = C + (2.15) όπου C 1, C 2 και C 3 είναι σταθερές που προκύπτουν κατά την προσαρµογή της καµπύλης και εξαρτώνται από τις γεωµετρικές και µηχανικές ιδιότητες της διάταξης του κόµβου. Ωστόσο, σηµαντικό µειονέκτηµα της σχέσης 2.15, είναι ότι η κλίση της καµπύλης µπορεί να προκύψει αρνητική για κάποιες τιµές της ροπής Μ (Radziminski και Azizinamini, 1988). Για την αποφυγή του προβλήµατος της αρνητικής δυσκαµψίας, έχει δοθεί από τον Jones κ.ά. (1981), µια εξίσωση τρίτου βαθµού που αντιστοιχεί σε καµπύλη υπολογιζόµενη από παρεµβολή µε συναρτήσεις «spline». Η µέθοδος βασίζεται στην υποδιαίρεση της καµπύλης Μ φ σε µια σειρά από επιµέρους τµήµατα.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: οµικές ιδιότητες των συνδέσεων 39 Για την προσαρµογή αυτών των επιµέρους τµηµάτων, η χρησιµοποιούµενη καµπύλη που προέρχεται από παρεµβολή, αντιστοιχεί σε µια σχέση της εξής µορφής: m = φi + j= 0 j ( < M M ) 3 φ b > j (2.16) όπου m είναι το πλήθος των κοµβικών σηµείων µεταξύ δύο στοιχειωδών τµηµάτων της καµπύλης Μ φ και: < Μ Μ j > = M M j για Μ > Μ j < Μ Μ j > = 0 για Μ < Μ j (2.17) όπου Μ j είναι το άνω όριο της ροπής του i τµήµατος της καµπύλης, το φ i παριστάνει την αρχική στροφή (συνήθως φ i = 0) και οι συντελεστές b j προέρχονται από παρεµβολή µε χρήση ελαχίστων τετραγώνων. Η εν λόγω διαδικασία υπολογισµού της καµπύλης Μ φ µε παρεµβολή, παρέχει µια ακριβή απεικόνιση της καµπύλης, αποφεύγει πιθανές αρνητικές κλίσεις και το µόνο µειονέκτηµα που παρουσιάζει είναι ο µεγάλος απαιτούµενος αριθµός ενδιάµεσων σηµείων για την προσαρµογή της καµπύλης. Μια επίσης καλή απεικόνιση της µη γραµµικής συµπεριφοράς των συνδέσεων, λαµβάνεται µε την εκθετική (µε βάση το e) σχέση των Lui και Chen (1986): m M = = j 1 φ Cj 1 exp + Μi + K 2 j x α φ, p x φ (2.18) όπου Μ i είναι η αρχική ροπή, Κ φ,p είναι η δυσκαµψία κατά την κράτυνση, ενώ α και C j είναι παράµετροι για την προσαρµογή. Πρόκειται για πολυπαραµετρική απεικόνιση που απαιτεί m+3 παραµέτρους, όπου m είναι το πλήθος των σταθερών προσαρµογής C j. Για συνήθεις βαθµούς ακρίβειας, λαµβάνεται m i = 4 έως 6. Με βάση τη σχέση 2.18, έχει προταθεί από τους Kishi και Chen (1986) µια βελτιωµένη νεπέρια εκθετική απεικόνιση που περιλαµβάνει γραµµικές συνιστώσες. Αυτή η βελτιωµένη αναλυτική σχέση ακολουθεί: M m n φ = Mi + Cj 1 exp + 2 j x α j 1 = k= 1 D k (φ φ ) x H k [ φ φ ] k. (2.19) Στή σχέση 2.19, Μ i είναι η αρχική ροπή της σύνδεσης, α είναι ένας συντελεστής για την αποφυγή πιθανής αστάθειας, C j και D k είναι παράµετροι για την προσαρµογή της καµπύλης, φ k είναι η αρχική στροφή της k γραµµικής συνιστώσας της καµπύλης και Η[φ] είναι η συνάρτηση βήµατος του Heaviside (Η[φ] = 1 για φ 0 και Η[φ] = 0 για φ < 0). Οι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: οµικές ιδιότητες των συνδέσεων 40 σταθερές C j και D k για τους εκθετικούς και τους γραµµικούς όρους της σχέσης, καθορίζονται µε ανάλυση γραµµικής παλινδρόµησης (Kishi, 1994). Μολονότι οι απεικονίσεις της καµπύλης ροπής στροφής που αντιστοιχούν στις εξισώσεις 2.16, 2.18 και 2.19 µοιάζουν πολύπλοκες σε πρώτη µατιά, ωστόσο µπορούν να εισαχθούν πολύ εύκολα σε σχετικά προγράµµατα υπολογιστών (Chen και Toma, 1994). 2.4 ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ 2.4.1 Ορισµoί Στη βιβλιογραφία συναντά κανείς διαφορετικούς ορισµούς για τη στροφική ικανότητα. Πάντως είναι χρήσιµο να σηµειωθούν δύο στοιχεία που σχετίζονται µε αυτούς τους ορισµούς: ο τρόπος µε τον οποίο καθορίζεται η ικανότητα στροφής στα διαγράµµατα σχεδιασµού ροπής στροφής, και η σχέση µεταξύ του διαγράµµατος σχεδιασµού ροπής στροφής και των δεδοµένων από πειράµατα. Σύµφωνα µε τον Ευρωκώδικα 3, ως στροφική ικανότητα σχεδιασµού Φ cd µιας σύνδεσης - ορθότερα: κόµβου - δοκού σε υποστύλωµα, πρέπει να λαµβάνεται η πραγµατοποιούµενη στροφή που αντιστοιχεί στη µέγιστη ροπή αντοχής σχεδιασµού της σύνδεσης (CEN, 1998). Η καµπύλη σχεδιασµού που προβλέπεται στον Ευρωκώδικα 3 φαίνεται στο Σχήµα 2.13. Σχήµα 2.13: Στροφική ικανότητα κατά τον Ευρωκώδικα 3 (CEN, 1998) Παράλληλα, η Kuhlmann έχει δόσει άλλο ορισµό για τη στροφική ικανότητα σχεδιασµού, όπως φαίνεται στο Σχήµα 2.14 (Κuhlmann κ.ά., 1998). Κατά τον ίδιο, η στροφική ικανότητα χαρακτηρίζει την ικανότητα ενός πλαστικοποιηµένου κόµβου να στρέφεται χωρίς να αποµειώνεται η ροπή αντοχής σχεδιασµού του.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: οµικές ιδιότητες των συνδέσεων 41 Σχήµα 2.14: Στροφική ικανότητα κατά την Kuhlmann (1998) Υπάρχει µια άµεση σχέση µεταξύ του ορισµού της ικανότητας σε στροφή του Ευρωκώδικα 3 και της Kuhlmann: Φ Xd = Φ el + Φ tr (2.20) και Φ Cd = Φ el + Φ tr + Φ pl (2.21) ηλαδή, η στροφή Φ Xd, που λαµβάνει χώρα όταν ο ανερχόµενος κλάδος της καµπύλης Μ φ φτάνει στη ροπή Μ j,rd, αποτελείται από µια ελαστική στροφή Φ el και µια µεταβατική στροφή Φ tr. Παράλληλα, η συνολική στροφική ικανότητα ενός κόµβου Φ Cd περιλαµβάνει και την πλαστική στροφή Φ pl. Συνολικά λοιπόν, η ικανότητα στροφής ενός κόµβου αποτελείται από τρία διαφορετικά µέρη: Φ el = την ελαστική στροφή έως τη στάθµη της ελαστικής ροπής αντοχής σχεδιασµού, Φ tr = τη µεταβατική στροφή από τη στάθµη της ελαστικής ροπής αντοχής σχεδιασµού έως τη στάθµη της µέγιστης ροπής αντοχής σχεδιασµού και Φ pl = την πλαστική στροφή µετά τη µέγιστη πλαστική ροπή αντοχής σχεδιασµού έως το σηµείο όπου η καµπύλη τέµνει για δεύτερη φορά την πλαστική ροπή αντοχής σχεδιασµού ή το µήκος του πλαστικού οριζόντιου κλάδου. Όπως είναι φανερό, οι ορισµοί της στροφικής ικανότητας του Ευρωκώδικα 3 και της Κuhlmann µπορούν να χρησιµοποιηθούν εναλλακτικά. Είναι γεγονός ότι η στροφική ικανότητα µιας διατοµής έχει τα ίδια χαρακτηριστικά µε αυτά των κόµβων, αλλά οι τιµές της ελαστικής Φ el και της µεταβατικής στροφής Φ tr είναι αµελητέες σε σχέση µε την πλαστική στροφή Φ pl. Έτσι, επειδή η στροφή του κόµβου περιλαµβάνει πάντοτε τις Φ el και Φ tr και µερικές φορές αποτελείται µόνο από αυτές, συναντά κανείς το φαινόµενο να εκφυλίζεται η έννοια της στροφικής ικανότητας των διατοµών και να ταυτίζεται µόνο µε την πλαστική τους στροφή Φ pl. Επιπρόσθετα, συναντά κανείς στη βιβλιογραφία τον ορισµό της στροφικής ικανότητας των διατοµών ως το λόγο R της πλαστικής στροφής Φ pl προς την ελαστική στροφή που αντιστοιχεί στην πλαστική ροπή. Αυτός ο ορισµός υπερεκτιµά την επιρροή του ρυθµού µεταβολής της ροπής και του

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: οµικές ιδιότητες των συνδέσεων 42 ορίου διαρροής του υλικού. Κατά συνέπεια, οι τιµές των στροφών των διατοµών και των κόµβων θα πρέπει να λαµβάνονται ως µεγέθη στροφών και όχι ως αδιάστατα µεγέθη. Καθώς και οι δύο ορισµοί της στροφικής ικανότητας, δηλαδή της διατοµής και των κόµβων, χρησιµοποιούνται τελικά για να εξακριβωθεί αν µπορεί ή όχι να εφαρµοσθεί πλαστική ανάλυση σε µια κατασκευή, θα ήταν χρήσιµο να είχαν την εξής κοινή αφετηρία: η ανακατανοµή των ροπών σε µια κατασκευή εξαρτάται µόνο από την πλαστική στροφή Φ pl µετά την έναρξη δηµιουργίας των πλαστικών αρθρώσεων. Συνεπακόλουθα, µόνο η τιµή της πλαστικής στροφής θα πρέπει να αποτελεί τη βάση της διαθέσιµης στροφικής ικανότητας. Παράλληλα, όσον αφορά στις τυπικές καµπύλες ροπής στροφής των κόµβων, ο ορισµός του Ευρωκώδικα 3 για τη στροφική ικανότητα αγνοεί τα διάφορα είδη της στροφικής συµπεριφοράς των κόµβων στη µετελαστική περιοχή και την επίδραση αυτής της συµπεριφοράς στη διαθέσιµη ικανότητα στροφής τους. Από την άλλη πλευρά, οι Ηuber και Tchemmernegg (1998) συνδέουν τη στροφική ικανότητα µε µια διγραµµική απεικόνιση της καµπύλης Μ φ των κόµβων (Σχήµα 2.15). Σύµφωνα µε αυτούς, η ικανότητα στροφής µπορεί να εκφραστεί ως το εξής αδιάστατο µέγεθος: Φ pl / Φ el. Σχήµα 2.15: Στροφές Φ el και Φ pl σύµφωνα µε τους Huber και Tschemmernegg (1998) Επικεντρώνοντας το ενδιαφέρον στην εκδοχή του Ευρωκώδικα 3 για την καµπύλη Μ φ, το πρόβληµα που ανακύπτει είναι ο καθορισµός της ροπής αντοχής Μ j,rd και οι στροφές Φ Xd και Φ Cd µέσω συγκεκριµένων πειραµάτων. Ο Jaspart (1991) δίνει µια επισκόπηση των προσεγγίσεων οι οποίες απαντούν στο παραπάνω ερώτηµα. Το Σχήµα 2.16 δείχνει τον τρόπο µε τον οποίο η ροπή αντοχής Μ j,rd µπορεί να προσδιορισθεί από µία καµπύλη που προκύπτει από ένα πείραµα αν επεκτείνουµε την ευθεία που ορίζει τη µετελαστική δυσκαµψία Κ st. Το σηµείο όπου η γραµµή αυτή τέµνει τον άξονα των τεταγµένων της καµπύλης Μ φ ορίζει την τιµή της ροπής Μ j,rd.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: οµικές ιδιότητες των συνδέσεων 43 Σχήµα 2.16: Ροπή Μ j,rd κατά τον Jaspart (1991) Eναλλακτικά, µπορεί να υιοθετηθει ο τρόπος καθορισµού της Μ j,rd που απεικονίζεται στο Σχήµα 2.17 (Jaspart, 1991, Zanon κ.ά., 1988). Στην περίπτωση αυτή, η ροπή Μ j,rd, η οποία αντιστοιχεί στο σηµείο τοµής της αρχικής δυσκαµψίας S j,ini και της δυσκαµψίας κατά την κράτυνση K St, έχει µικρότερη τιµή από τη ροπή αντοχής του κόµβου του Σχήµατος 2.16. Η διαφορά αυτή είναι της τάξης του 5%. Σχήµα 2.17: Εναλλακτικός τρόπος καθορισµού της Μ j,rd (Jaspart, 1991, Zanon κ.ά., 1998) Yπάρχουν δύο σηµεία στα οποία χρειάζεται να επικεντρωθεί η προσοχή κατά τον καθορισµό της ροπής αντοχής του κόµβου M j,rd σύµφωνα µε τα Σχήµατα 2.16 και 2.17. Το πρώτο είναι το γεγονός ότι η στάθµη της M j,rd εξαρτάται από τη γωνία της µετελαστικής δυσκαµψίας Κ St. Αν για παράδειγµα συγκρίνουµε τις δύο καµπύλες του Σχήµατος 2.18, παρατηρούµε ότι η ροπή αντοχής σχεδιασµού Μ j,rd της καµπύλης 2 είναι µικρότερη από αυτήν της καµπύλης 1. Η µέγιστη ροπή της καµπύλης 2 µε δυσκαµψία K St,2 είναι εξάλλου µεγαλύτερη από τη µέγιστη ροπή της καµπύλης 1 µε δυσκαµψία K St,1 αλλά η ικανότητα παραµόρφωσης της καµπύλης 2 είναι µικρότερη από αυτήν της καµπύλης 1. Έτσι, η σχέση ανάµεσα στην ασφάλεια «σχεδιασµού» της κατασκευής που βασίζεται στον υπολογισµό της Μ j,rd και την πραγµατική ασφάλεια που βασίζεται σε µη γραµµική καµπύλη ροπής στροφής δεν είναι προφανής.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: οµικές ιδιότητες των συνδέσεων 44 Σχήµα 2.18: Σύγκριση µεταξύ δύο πειραµατικών καµπυλών Το δεύτερο σηµείο είναι, ότι σε µερικές περιπτώσεις είναι δύσκολο να εκτιµηθεί η µετελαστική δυσκαµψία K St. Αυτό συµβαίνει ειδικά σε κόµβους µε χαµηλή πλαστιµότητα, στους οποίους δεν υπάρχει κλάδος µετελαστικής συµπεριφοράς. Οι περιπτώσεις αυτές δεν προβλέπονται από τις παραπάνω µεθόδους καθορισµού της M j,rd (Σχήµα 2.19). Σχήµα 2.19: Καθορισµός της µετελαστικής δυσκαµψίας K St Ένας ακόµα ορισµός της στροφικής ικανότητας έχει προταθεί από τον Weynand (1997). Eδώ, η αρχική δυσκαµψία του κόµβου αποτιµάται από την καµπύλη Μ φ ως η ελαστική δυσκαµψία. Στη συνέχεια, καθορίζεται η τέµνουσα δυσκαµψία ως η αρχική διαιρεµένη µε ένα σταθερό παράγοντα. Εκεί όπου η τέµνουσα δυσκαµψία τέµνει την καµπύλη που προκύπτει από πειράµατα, ορίζεται η ροπή αντοχής Μ j,rd. Σύµφωνα και µε το µοντέλο υπολογισµού των τιµών σχεδιασµού που προβλέπει ο Ευρωκώδικας 3, ο Weynand (1997) προτείνει η τέµνουσα δυσκαµψία στη στάθµη της M j,rd να λαµβάνεται ίση µε το ένα τρίτο της αρχικής δυσκαµψίας S j,ini (Σχήµα 2.20). Αυτός ο ορισµός χρησιµοποιήθηκε από το Weynand, για να επιβεβαιωθούν τα µοντέλα σχεδιασµού που προβλέπονται στο Παράρτηµα J του Ευρωκώδικα 3 (CEN, 1998).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: οµικές ιδιότητες των συνδέσεων 45 Σχήµα 2.20: Υπολογισµός της ροπής M j,ini κατά Weynand (1997) 2.4.2 Καθορισµός της στροφικής ικανότητας των κόµβων από την ικανότητα παραµόρφωσης των συστατικών τους Η συνολική συµπεριφορά των κόµβων καθορίζεται από τη συµπεριφορά των επιµέρους συστατικών τους. Κατά συνέπεια, και η στροφική ικανότητα των κόµβων καθορίζεται από την ικανότητα παραµόρφωσης των επιµέρους συστατικών τους. Έτσι, η διαθέσιµη στροφική ικανότητα των συστατικών χρειάζεται να προσδιορισθεί πριν από τη διαθέσιµη στροφική ικανότητα των κόµβων. Κατά τον υπολογισµό της στροφικής ικανότητας ενός κόµβου από την ικανότητα παραµόρφωσης των συστατικών του, προκύπτουν ειδικά χαρακτηριστικά εξαιτίας της αλληλεπίδρασης µεταξύ των συστατικών αυτών. Καθώς ο κόµβος είναι πιθανό να αποτελείται από περισσότερα του ενός υλικά ως αποτέλεσµα των διάφορων συστατικών του, τα τελευταία ενδέχεται να εµφανίσουν σηµαντικά διαφορετική συµπεριφορά από τη θεωρητικά υιοθετούµενη. Είναι επίσης πιθανό, να λάβουν χώρα διάφορα φαινόµενα, όπως η κράτυνση, η υπεραντοχή του υλικού, η υψηλή µετελαστική δυσκαµψία, διάφορες ατέλειες ή παραµένουσες τάσεις. Τα φαινόµενα αυτά µπορεί να προκαλέσουν διαφορετικό µηχανισµό θραύσης για τα ποικίλα συστατικά, από αυτόν που θεωρητικά προβλέπεται. Έτσι κάτω από συγκεκριµένες συνθήκες, τα πλάστιµα συστατικά µπορεί να συµπεριφέρονται ακόµη ελαστικά, ενώ τα µη πλάστιµα ή ψαθυρά συστατικά µπορεί να αναπτύξουν ισχυρές εντάσεις και να οδηγηθούν σε πρόωρη αστοχία. Ο Weynand (1997) ανέπτυξε ένα µοντέλο για την προεκτίµηση της διαθέσιµης στροφικής ικανότητας των κόµβων επεκτείνοντας το µοντέλο σχεδιασµού του Παραρτήµατος J του Ευρωκώδικα 3. ύο κατηγορίες συστατικών προβλέπονται σε αυτήν την εργασία. Η πρώτη κατηγορία αποτελείται από συστατικά µε χαµηλή πλαστιµότητα. Τέτοια συστατικά δεν προβλέπεται να συνεισφέρουν στην ικανότητα παραµόρφωσης του κόµβου. Η δεύτερη κατηγορία αποτελείται από συστατικά µε σηµαντική πλαστιµότητα. Εδώ, η καµπύλη ροπής στροφής του κόµβου προκύπτει από το συνδυασµό των καµπυλών ροπής στροφής όλων των συστατικών του κόµβου. Το µοντέλο υποθέτει µια σταθερή σχέση µεταξύ της οριακής αντοχής και της αντοχής σχεδιασµού των συστατικών.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: οµικές ιδιότητες των συνδέσεων 46 Υποθέτει επίσης, µια σταθερή σχέση µεταξύ της αρχικής και της µετελαστικής δυσκαµψίας τους. Έτσι, η πλαστική παραµόρφωση καθενός συστατικού υπολογίζεται ως το γινόµενο της µετελαστικής δυσκαµψίας επί τη διαφορά µεταξύ της οριακής και της υπολογιστικής αντοχής. Η στροφική ικανότητα λοιπόν που καθορίζεται µε βάση αυτό το µοντέλο, αντιστοιχεί στην κορυφή του διαγράµµατος ροπών στροφών (Σχήµα 2.21). Συστατικό 1 Συστατικό 2 Συστατικό 3 Σύνθεση Σχήµα 2.21: Καθορισµός της στροφικής ικανότητας κατά Weynand (1997) Τέλος, όλες οι τιµές της παραµόρφωσης και της αντοχής των συστατικών εκφράζονται µε όρους συµµετοχής στην παραµόρφωση και την αντοχή του κόµβου (Steenhuis κ.ά., 2000). Παράδειγµα ορίων ικανότητας στροφής σε κόµβο δοκού υποστυλώµατος µε µετωπική πλάκα Έστω ο κοχλιωτός κόµβος δοκού υποστυλώµατος µε µετωπική πλάκα που εικονίζεται στο Σχήµα 2.22, στον οποίο λαµβάνονται υπόψη µόνο τα ακόλουθα συστατικά: Σχήµα 2.22: Κόµβος µε µετωπική πλάκα Οι κοχλίες σε εφελκυσµό (B t ), η µετωπική πλάκα σε κάµψη (F ep ) και ο κορµός του υποστυλώµατος σε θλίψη (F c,wc ). Περίπτωση 1 η : max F ep < max F c,wc < max B t (Σχήµα 2.23) Το συστατικό «µετωπική πλάκα σε κάµψη» διαθέτει το µικρότερο οριακό φορτίο σε σχέση µε τα άλλα συστατικά και παρέχει στον κόµβο µεγάλη ή σχεδόν απεριόριστη διαθέσιµη στροφική ικανότητα. Τα υπόλοιπα συστατικά συνεισφέρουν στη στροφική

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: οµικές ιδιότητες των συνδέσεων 47 ικανότητα του κόµβου στο βαθµό που παραµορφώνονται όταν το συστατικό «πέλµα υποστυλώµατος σε κάµψη» αγγίξει το οριακό του φορτίο. Σχήµα 2.23: max F ep < max F c,wc < max B t Περίπτωση 2 η : max F c,wc < max F ep < max B t (Σχήµα 2.24) Εξαιτίας της κράτυνσης, της υψηλής τιµής µετελαστικής δυσκαµψίας, της υπεραντοχής κτλ. το οριακό φορτίο ακόµα και µόνο ενός συστατικού ενδέχεται να υπερβεί την τιµή σχεδιασµού του. Σχήµα 2.24: max F c,wc < max F ep < max B t

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: οµικές ιδιότητες των συνδέσεων 48 Ταυτόχρονα, το οριακό φορτίο ενός άλλου συστατικού µπορεί µη αναµενόµενα να µειωθεί εξαιτίας κάποιων ατελειών, παραµενουσών τάσεων, µειωµένης αντοχής του υλικού κτλ. Αυτές οι διαφορές µεταξύ της πραγµατικής και της υπολογιστικής αντοχής των συστατικών, µπορεί να οδηγήσουν σε ένα µη προβλεπόµενο µηχανισµό κατάρρευσης του κόµβου. Καθώς, στην παρούσα περίπτωση, η συνολική συµπεριφορά του κόµβου εξαρτάται από το χαµηλό οριακό φορτίο του συστατικού «κορµός υποστυλώµατος σε θλίψη», η περιορισµένη ικανότητα στροφής αυτού του συστατικού οδηγεί τελικά σε µειωµένη ικανότητα στροφής όλου του κόµβου. Περίπτωση 3 η : max B t < max F c,wc < max F ep (Σχήµα 2.25) Σε αυτή την περίπτωση κυριαρχεί η αστοχία «των κοχλιών σε εφελκυσµό». Πρόκειται για την πιο ανεπιθύµητη µορφή αστοχίας λόγω του ψαθυρού χαρακτήρα της. Σχήµα 2.25: max B t < max F c,wc < max F ep Οι προηγούµενες τρεις περιπτώσεις, δείχνουν το τρόπο µε τον οποίο η στροφική ικανότητα των συστατικών και η αλληλεπίδραση µεταξύ τους επηρεάζει τη στροφική ικανότητα του κόµβου. Επίσης, γίνεται φανερή η σηµασία των φαινοµένων υπο/υπεραντοχής στη διαθέσιµη ικανότητα στροφής των κόµβων. Έτσι, µε στόχο τον καθορισµό της στροφικής ικανότητας των κόµβων, χρειάζεται πρώτα να ερευνηθεί η συµπεριφορά των συστατικών υπό το πρίσµα των πιθανών φαινοµένων υπο/υπεραντοχής τους. Αυτά τα φαινόµενα προσδιορίζονται µόνο µε πειράµατα (Kuhlmann κ.ά., 1997, Reichert 1998 και Tschemmernegg κ.ά., 1989).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: οµικές ιδιότητες των συνδέσεων 49 Για τις ανάγκες των µελετών, είναι χρήσιµο να λαµβάνεται υπόψη η ικανότητα παραµόρφωσης µόνο του κυρίαρχου συστατικού µε το µικρότερο οριακό φορτίο και να αγνοούνται οι ελαστικές ή πλαστικές παραµορφώσεις των υπόλοιπων συστατικών. Εντούτοις, ειδικά σε περιπτώσεις ψαθυρής αστοχίας όπως η 3 η, θα πρέπει να καθορίζεται ένα περιθώριο ασφαλείας. 2.4.3 Eπιβεβαίωση της επαρκούς στροφικής ικανότητας Τιµές σχεδιασµού της στροφικής ικανότητας των συστατικών Είναι γεγονός, ότι τα διάφορα συστατικά διαφέρουν ως προς τις µορφές αστοχίας τους. Αυτό θα πρέπει να λαµβάνεται υπόψη κατά τον προσδιορισµό της ικανότητας παραµόρφωσης τους. Για λόγους ασφάλειας, οι τιµές σχεδιασµού της ικανότητας παραµόρφωσης προκύπτουν από τη διαίρεση των χαρακτηριστικών τιµών της παραµόρφωσης µε ένα συντελεστή ασφάλειας γ rot, όπως δείχνει το Σχήµα 2.26. Οι ψαθυροί τρόποι αστοχίας οφείλουν να έχουν µεγαλύτερο συντελεστή ασφάλειας γ rot από αυτούς µε περιορισµένη πλαστιµότητα. Συστατικό µε αστοχία περιορισµένης πλαστιµότητας Συστατικό µε ψαθυρή αστοχία Σχήµα 2.26: Προτάσεις για συντελεστή ασφάλειας των συστατικών ιαθέσιµη απαιτούµενη στροφική ικανότητα και απλοποιητικοί κανόνες για την επιβεβαίωσή της στην πράξη Η διαδικασία επιβεβαίωσης της επαρκούς στροφικής ικανότητας, θα πρέπει να βασίζεται σε ενδελεχείς έρευνες µε αφετηρία το σαφή διαχωρισµό µεταξύ των πειραµατικών δοκιµών και των µοντέλων µε πεπερασµένα στοιχεία. Καταρχήν, από τις πειραµατικές δοκιµές προκύπτουν ακριβείς καµπύλες ροπών στροφών για τα διάφορα είδη κόµβων. Όλες οι περιπτώσεις µη γραµµικότητας, π.χ. αυτές που οφείλονται στο υλικό ή αυτές που οφείλονται στα φαινόµενα δεύτερης τάξης στα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: οµικές ιδιότητες των συνδέσεων 50 υποστυλώµατα, συµπεριλαµβάνονται στη διαδικασία ελέγχου. Οι αναλυτικές διαδικασίες που συνοδεύουν τα πειράµατα και περιλαµβάνουν όλες τις διαφορετικές µη γραµµικότητες, δε χρειάζονται προσοµοίωση µε πεπερασµένα στοιχεία ή ταξινόµηση της στροφικής ικανότητας. Αντίθετα, στα µοντέλα των πεπερασµένων στοιχείων, η ταξινόµηση και ο έλεγχος της στροφικής ικανότητας είναι απαραίτητο να γίνουν. Ο Πίνακας 2.1 δείχνει τη διαδικασία ιαθέσιµη στροφική ικανότητα από πειράµατα ή µοντέλα πεπερασµένων στοιχείων Απαιτούµενη στροφική ικανότητα από έρευνες συστήµατος Σύγκριση µεταξύ διαθέσιµης και απαιτούµενης στροφικής ικανότητας Απλοποιητικοί κανόνες (προσαρµοσµένοι για να ικανοποιούν τα κριτήρια) για την επιβεβαίωση της επαρκούς στροφικής ικανότητας στην πράξη Πίνακας 2.1: Προέλευση απλοποιηµένων κανόνων για την επιβεβαίωση της στροφικής ικανότητας των κόµβων στην πράξη προέλευσης των απλοποιηµένων κανόνων για την επιβεβαίωση της στροφικής ικανότητας των κόµβων. Καταρχήν, η πραγµατική καµπύλη ροπής στροφής απεικονίζεται µε λιγότερο ή περισσότερο γραµµικά διαγράµµατα που εµφανίζουν τις τιµές σχεδιασµού για τη µέγιστη ροπή σχεδιασµού και έναν πλαστικό οριζόντιο κλάδο για την περιοχή όπου η αναπτυσσόµενη ροπή υπερβαίνει τη µέγιστη ροπή σχεδιασµού. Στη συνέχεια, απαιτείται η επιβεβαίωση της στροφικής ικανότητας. Οι απαιτούµενες στροφές που προέρχονται από την ανάλυση του συστήµατος, θα πρέπει να συγκριθούν µε τις διαθέσιµες στροφές που προκύπτουν από τις καµπύλες σχεδιασµού του κόµβου. Αυτός ο τρόπος επιβεβαίωσης ακολουθεί το ιστορικό φόρτισης κάθε φορά που ένα πραγµατικό σύστηµα πρέπει να επιβεβαιωθεί. Η επιβεβαίωση περιλαµβάνει τον έλεγχο της στροφής του κόµβου για κάθε θεωρούµενο βήµα φόρτισης. Τέλος, η άµεση σύγκριση των απαιτούµενων µε τις διαθέσιµες στροφές θα πρέπει να αντικατασταθεί από τη χρήση ειδικά διαµορφωµένων κριτηρίων. Έρευνες για ποικίλα συστήµατα και φορτιστικές καταστάσεις, οδηγούν σε ένα πλαίσιο οριακών τιµών για τις απαιτούµενες στροφές των κόµβων. Αυτές οι τιµές µπορεί στη συνέχεια να συγκριθούν µε τις διαθέσιµες στροφές των κόµβων µε στόχο να καθορισθούν τα όρια εντός των οποίων οφείλουν να βρίσκονται οι διάφοροι κόµβοι για να εµπίπτουν σε συγκεκριµένες κατηγορίες. Παράλληλα, για να είναι έγκυρη η σύγκριση µεταξύ της διαθέσιµης και της απαιτούµενης στροφής θα πρέπει να ξεκινούν και οι δύο από κοινή αφετηρία: Αν η διαθέσιµη στροφική ικανότητα καθορίζεται σύµφωνα µε ρεαλιστικές καµπύλες Μ φ προερχόµενες από πειράµατα, τότε και η απαιτούµενη στροφική ικανότητα θα πρέπει να

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: οµικές ιδιότητες των συνδέσεων 51 καθορίζεται αντίστοιχα, δηλαδή να προέρχεται από έρευνα του συστήµατος µε τη θεώρηση της πραγµατικής του συµπεριφοράς. Καθώς όλα αυτά λαµβάνουν χώρα στο επίπεδο των µοντέλων πεπερασµένων στοιχείων, χρειάζεται παράλληλα να δοθεί προσοχή στα περιθώρια ασφαλείας µεταξύ των χαρακτηριστικών τιµών και των τιµών σχεδιασµού της ροπής αντοχής και της στροφικής ικανότητας. Έτσι, δεν αρκεί µόνο να διαιρεθεί η χαρακτηριστική αντοχή καθενός συστατικού µε το συντελεστή ασφαλείας, αλλά θα πρέπει επίσης να αποµειωθεί και η ικανότητα παραµόρφωσής του στην τιµή σχεδιασµού της (Kuhlmann κ.ά., 2000). 2.4.4 Σχόλια για τις µεθόδους υπολογισµού της στροφικής ικανότητας Η στροφική ικανότητα των κόµβων πρέπει να ελέγχεται ως προς την επάρκειά της, αν θέλει κανείς να χρησιµοποιήσει στερεοπλαστική ανάλυση σε ένα σύστηµα µε ηµιάκαµπτους κόµβους. Η διαθέσιµη στροφική ικανότητα για ένα συγκεκριµένο είδος κόµβου θα πρέπει να συγκρίνεται µε την απαιτούµενη στροφική ικανότητα αυτού του κόµβου κατά την ανάλυση της κατασκευής. Η διαθέσιµη στροφική ικανότητα ενός κόµβου µπορεί επίσης να καθορισθεί στη βάση της ικανότητας παραµόρφωσης των συστατικών του. Η διαφορετική πλαστιµότητα των συστατικών επηρεάζει κρίσιµα τη συνολική πλαστιµότητα του συστήµατος. Παράλληλα, οφείλουν να αφήνονται ασφαλή περιθώρια για τις τιµές των παραµορφώσεων. Είναι γεγονός, ότι έχουν εφαρµοσθεί πολλά µοντέλα για τον καθορισµό της διαθέσιµης στροφικής ικανότητας των χαλύβδινων κόµβων. Αυτά τα µοντέλα προέρχονται από πολλές και διαφορετικές µεθόδους έρευνας, αλλά στο σύνολό τους είναι επιβεβαιωµένα µέσω πειραµατικών δοκιµών και έτσι παρέχουν ασφαλείς προσεγγίσεις για τη διαθέσιµη στροφική ικανότητα (Kuhlmann κ.ά., 1997). Σε σχέση µε τον ορισµό της διαθέσιµης στροφικής ικανότητας των κόµβων (φ j,avail = φ j,tot ), είναι χρήσιµο να τονιστεί ότι η τελευταία θα πρέπει να αντιστοιχεί στην οριακή τιµή της πλαστικής ροπής αντοχής Μ j,pl,r, ενώ παράλληλα η οριακή τιµή της διαθέσιµης στροφικής ικανότητας φ j,avail,r καθορίζεται µε τη χρήση ονοµαστικών τιµών. Ωστόσο, κατά τη διαστασιολόγηση προτείνεται η θεώρηση µειωµένης τιµής για τη διαθέσιµη ικανότητα στροφής έπειτα από διαίρεση της οριακής τιµής µε ένα µερικό συντελεστή ασφαλείας γ Μφ, δηλαδή: φ j,avail,r / γ Μφ. Αυτός ο συντελεστής ασφαλείας, ανταποκρινόµενος στις πιθανές αποκλίσεις ως προς την ονοµαστική αντοχή ή γεωµετρία, πρέπει συνεπακόλουθα να καλύπτει τις πιθανές αποκλίσεις των τιµών της διαθέσιµης στροφικής ικανότητας σε σχέση µε τις ονοµαστικές τιµές (Kühnemund κ.ά., 2003). ιάφορες µέθοδοι έχουν επίσης διεξαχθεί για τον καθορισµό των τιµών της απαιτούµενης στροφικής ικανότητας. Οι κυριότερες διαφορές µεταξύ των µεθόδων αυτών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: οµικές ιδιότητες των συνδέσεων 52 έγκεινται στη θεώρηση των ποικίλων φαινοµένων µη γραµµικότητας που επηρεάζουν της απαιτούµενες στροφές. Τέλος, για να έχει νόηµα η σύγκριση ανάµεσα στη διαθέσιµη και την απαιτούµενη ικανότητα στροφής, θα πρέπει αυτή η σύγκριση να εδράζεται σε κοινή βάση και στις δύο περιπτώσεις: αν για παράδειγµα, οι τιµές της διαθέσιµης στροφικής ικανότητας προέρχονται από τη θεώρηση της πραγµατικής συµπεριφοράς του κόµβου, τότε και οι τιµές της απαιτούµενης στροφικής ικανότητας θα πρέπει να πηγάζουν από την ίδια θεώρηση, δηλαδή της πραγµατικής συµπεριφοράς του κόµβου (Kuhlmann κ.ά., 1997). 2.4.5 Η στροφική ικανότητα ως παράγοντας σχεδιασµού των κατασκευών διατάξεις Ευρωκώδικα 3 Η θεµελιώδης απαίτηση για την σύσταση µιας απλής ελεγκτικής διαδικασίας είναι να µπορεί να διατυπώνεται η πλαστιµότητα των κόµβων µε απλές µαθηµατικές σχέσεις. Το πρόβληµα της προσέγγισης της πλαστιµότητας θα είχει λυθεί, αν ήταν δυνατή η δηµιουργία συγκεκριµένων κανόνων οι οποίοι θα ίσχυαν για όλους τους κόµβους. Στα πλαίσια της εφαρµογής στην πράξη, δηλαδή κατά τη διαδικασία διαστασιολόγησης των κόµβων, η πλαστική αντοχή Μ j,pl,rd και η διαθέσιµη ικανότητα στροφής χρειάζεται να καθορίζονται πάντοτε µε την ονοµαστική τιµή της αντοχής των υλικών και της γεωµετρίας. Σχήµα 2.27: Παράδειγµα ευνοϊκής επιρροής της οµοιόµορφης υπεραντοχής διάφορων συστατικών στη στροφική ικανότητα των κόµβων Όπως δείχνει το Σχήµα 2.27, στο οποίο χρησιµοποιούνται ως παραδείγµατα δύο συστατικά των κόµβων (κορµός υποστυλώµατος σε θλίψη και µετωπική πλάκα σε κάµψη), η υπεραντοχή (δηλαδή η µεγαλύτερη από την ονοµαστική αντοχή του υλικού) καθώς και οι όποιες ευνοϊκά επιδρώσες γεωµετρικές αποκλίσεις, οδηγούν σε αύξηση της διαθέσιµης στροφικής ικανότητας του κόµβου έναντι του υπολογισµού µε ονοµαστικές τιµές, µε την προϋπόθεση ότι το κρίσιµο συστατικό δεν αλλάζει. Ενώ η εµφάνιση υποαντοχής,

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: οµικές ιδιότητες των συνδέσεων 53 υπεραντοχής ή γεωµετρικών αποκλίσεων στα υπόλοιπα συστατικά του κόµβου, επιδρά στην αντοχή µόνον αυτών των συστατικών. Αντίθετα, αποδεικνύεται ότι στην περίπτωση αλλαγής του κρίσιµου για την αντοχή του κόµβου συστατικού, επηρεάζεται και η συνολική διαθέσιµη στροφική ικανότητα του κόµβου, η οποία είναι πιθανό να λάβει τιµές χαµηλότερες από αυτές που αντιστοιχούν στις ονοµαστικές τιµές αντοχής των συστατικών του. Κατά συνέπεια, είναι σκόπιµο κατά τον καθορισµό της στροφικής ικανότητας του κόµβου να λαµβάνονται υπόψη διάφορες τιµές υποαντοχής και υπεραντοχής καθώς και δυσµενών γεωµετρικών αποκλίσεων των δοµικών στοιχείων του κόµβου (Kühnemund κ.ά., 2003). Παράλληλα, οι κατασκευές θα πρέπει να σχεδιάζονται έτσι ώστε να µη συµβαίνουν αστοχίες εξαιτίας της ελλιπούς στροφικής ικανότητας. Ο τρόπος αστοχίας θα πρέπει να είναι πλάστιµος και οι χρήστες της κατασκευής, π.χ. ενός κτιρίου, να προειδοποιούνται µε την ανάπτυξη µεγάλων παραµορφώσεων πριν από την πιθανή κατάρρευση. Υπάρχουν πολλές επιλογές ώστε να αντιµετωπίσει κάποιος τις απαιτήσεις του σχεδιασµού: να εξακριβώνει αν η διαθέσιµη στροφική ικανότητα είναι µεγαλύτερη από την απαιτούµενη, να εφαρµόζει «ειδικά προσαρµοσµένους» κανόνες, και να χρησιµοποιεί ένα σύστηµα κατηγοριοποίησης. Η πρώτη επιλογή, αν δηλαδή η διαθέσιµη στροφική ικανότητα είναι µεγαλύτερη από την απαιτούµενη, έχει ήδη ενσωµατωθεί σε κάποιους δοµικούς κανονισµούς. Ωστόσο, δε δίνεται καµιά µέθοδος υπολογισµού της διαθέσιµης και απαιτούµενης ικανότητας σε στροφή. Κατά συνέπεια, αυτή η επιλογή στερείται πρακτικού ενδιαφέροντος για τους µελετητές. Οι ειδικά προσαρµοσµένοι κανόνες εµπεριέχονται επίσης στους δοµικούς κανονισµούς αλλά έχουν και πρακτικό ενδιαφέρον. Για παράδειγµα, στο Παράρτηµα J του Ευρωκώδικα 3 (CEN, 1998), αναφέρεται ότι εφόσον σε ένα κόµβο δοκού υποστυλώµατος, η διάτµηση του κορµού του υποστυλώµατος είναι η κρίσιµη µορφή αστοχίας, τότε υπάρχει επαρκής στροφική ικανότητα και δεν υπάρχει λόγος για παραπέρα έλεγχό της. Οι ειδικά σχεδιασµένοι κανόνες βοηθούν τους µελετητές να σχεδιάζουν βάσει επαρκούς στροφικής ικανότητας µε το να επιλέγουν διατάξεις κόµβων που ικανοποιούν τις απαιτήσεις πλαστιµότητας (Steenhuis κ.ά., 2000). Όσον αφορά στη µέθοδο των συστατικών για την ερµηνεία της µηχανικής συµπεριφοράς των κόµβων συµπεριλαµβανοµένης και της διερεύνησης της πλαστιµότητάς τους, αυτή η µέθοδος παρουσιάζει το πλεονέκτηµα ότι τα προκύπτοντα συµπεράσµατα µπορούν να χρησιµοποιηθούν και σε µελλοντικά προβλήµατα. Στο δε επίπεδο του συνολικού συστήµατος πρέπει να παίρνεται υπόψη κυρίως η επιρροή των πλαστικοποιηµένων ζωνών. Πάντως ως τελικό αποτέλεσµα όλων των ερευνών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: οµικές ιδιότητες των συνδέσεων 54 θα µπορούσε να είναι ο καθορισµός απλών κριτηρίων («deemed-to-satisfy»), τα οποία όταν τηρούνταν θα αντικαθιστούσαν την ανάγκη υπολογιστικού ελέγχου της επαρκούς πλαστιµότητας των κόµβων, µε τη χρήση ορισµένων οριακών τιµών, όπως π.χ. της αναλογίας b/t στις δοκούς (Kühnemund κ.ά., 2003). Στο Παράρτηµα J του Ευρωκώδικα 3 αναφορικά µε τα συστήµατα κατηγοριοποίησης, αναφέρεται η εξής γενική αρχή: οι κόµβοι πρέπει να έχουν επαρκή στροφική ικανότητα όταν γίνεται χρήση καθολικής πλαστικής ανάλυσης, εκτός εάν ο σχηµατισµός των πλαστικών αρθρώσεων συµβεί στα συνδεόµενα µέλη. Στη συνέχεια δίνονται ορισµένες διατάξεις, οι οποίες ταξινοµούνται ως εξής: σε αυτές που εκφράζουν ότι αν σε ένα κόµβο λάβει χώρα ένας προκαθορισµένος µηχανισµός αστοχίας, τότε δεν υπάρχει επαρκής στροφική ικανότητα για χρήση πλαστικής καθολικής ανάλυσης, σε αυτές που εκφράζουν ότι αν κάποιοι άλλοι µηχανισµοί αστοχίας διέπουν τη συµπεριφορά του κόµβου, µπορεί να υποτεθεί ότι υπάρχει επαρκής στροφική ικανότητα, και σε αυτές που δίνουν για ορισµένους τύπους κόµβων και µηχανισµών αστοχίας συγκεκριµένες τιµές ελάχιστης διαθέσιµης στροφικής ικανότητας (Steenhuis κ.ά., 2000).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3.1 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6 3.3 3.3.1 3.3.2 3.4 3.4.1 3.4.2 3.5 3.5.1 ΓΕΝΙΚΑ ΕΜΠΕΙΡΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Μοντέλο των Frye και Morris Μοντέλο του Krishnamurthy Μοντέλο του Kukreti Μοντέλο των Attiobe και Morris Μοντέλο των Faella, Piluso και Rizzano Παρατηρήσεις στα εµπειρικά µοντέλα ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Μοντέλο του Chen και άλλων Μοντέλο των Yee και Melchers ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Γενικά Πανεπιστήµιο του Innsbruck ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΟΣ J ΤΟΥ ΕΥΡΩΚΩ ΙΚΑ 3 Γενικά 3.5.2 3.5.3 3.5.4 3.5.5 3.5.6 3.5.7 3.5.8 3.5.9 3.5.10 3.6 3.6.1 3.6.2 3.6.3 3.6.4 3.7 Μοντέλα κόµβων που ανταποκρίνονται στην πραγµατική συµπεριφορά Απλοποιηµένο µοντέλο κόµβου Πεδίο εφαρµογής της µεθόδου των συστατικών Μοντέλα συστατικών (µοντέλα ελατηρίων) Σύνθεση συστατικών Εξιδανίκευση καµπύλης Μ - φ Αρχές της µεθόδου των συστατικών- διάγραµµα ροής Καθορισµός των συντελεστών δυσκαµψίας k i Μειωτικός συντελεστής k wc ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Γενικά Μοντέλο του Πανεπιστηµίου της Liège Μοντέλο του Πανεπιστηµίου του Delft (TU) Μοντέλο του Πανεπιστηµίου RWTH Aachen ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΟΚΙΜΕΣ 3.1 ΓΕΝΙΚΑ Για την αξιόπιστη ανάλυση των χαλύβδινων πλαισίων λαµβάνοντας υπόψη την ηµιάκαµπτη συµπεριφορά των κόµβων τους, χρειάζεται η προεκτίµηση της καµπύλης ροπής στροφής. Βέβαια, ο καθορισµός της καµπύλης αυτής προϋποθέτει και τον καθορισµό της µαθηµατικής της απεικόνισης ώστε η στροφική συµπεριφορά των κόµβων να µπορέσει να εισαχθεί στο µοντέλο υπολογισµού. Με στόχο αυτήν ακριβώς την προεκτίµηση της στροφικής συµπεριφοράς έχουν αναπτυχθεί διάφορα µοντέλα που µπορεί να είναι εµπειρικά, αναλυτικά, µηχανικά ή µοντέλα πεπερασµένων στοιχείων καθώς και εργαστηριακές δοκιµές (Faella κ.ά., 2000).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 56 3.2 ΕΜΠΕΙΡΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Τα εµπειρικά µοντέλα βασίζονται στη χρησιµοποίηση εµπειρικών σχέσεων που περιλαµβάνουν παραµέτρους, οι οποίες συνδέουν τη µαθηµατική απεικόνιση της καµπύλης ροπής στροφής µε τα γεωµετρικά και µηχανικά χαρακτηριστικά των κόµβων. Αυτές οι εµπειρικές σχέσεις υπολογίζονται µε ανάλυση παλινδρόµησης βάσει δεδοµένων που αντλούνται από διάφορες πηγές, όπως οι δοκιµές στο εργαστήριο ή οι παραµετρικές αναλύσεις µοντέλων υπολογισµού µε τη χρησιµοποίηση πεπερασµένων στοιχείων, αναλυτικών ή µηχανικών µοντέλων. 3.2.1 Μοντέλο των Frye και Μοrris To µοντέλο αυτό που αναπτύχθηκε το 1975, βασίζεται σε µια περιττού βαθµού πολυωνυµική απεικόνιση της καµπύλης Μ φ (σχέση 2.15), στην οποία εισάγεται επιπλέον η παράµετρος Κ, που εξαρτάται από τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά του κόµβου: 3 5 1 x (K x M) + C2 x (K x M) C3 x (K x M) φ = C + (3.1) Τα C 1, C 2 και C 3 είναι σταθερές που προκύπτουν κατά την προσαρµογή της καµπύλης. Όπως έχει ήδη επισηµανθεί, µειονέκτηµα παραµένει το γεγονός, ότι για κάποιες τιµές της ροπής Μ η δυσκαµψία φ εµφανίζει αρνητικές τιµές, γεγονός που στερείται φυσικής σηµασίας και επιπρόσθετα οδηγεί σε αριθµητικές δυσκολίες, όταν κατά τη επίλυση των πλαισίων µε ηµιάκαµπτους κόµβους χρησιµοποιούνται οι σχέσεις της τέµνουσας δυσκαµψίας. Για να ξεπεραστεί αυτή η αδυναµία, µια βελτιωµένη διαδικασία έχει αναπτυχθεί (Azizinamini κ.ά., 1985). H παράµετρος Κ της εξίσωσης 3.1 έχει ως εξής: α1 α2 α3 1 x P2 x... x P3 K = P (3.2) όπου P i είναι µια γεωµετρική παράµετρος της σύνδεσης που επηρεάζει την καµπύλη Μ φ, ενώ οι εκθέτες α i λαµβάνονται από τη διαδικασία προσαρµογής στην καµπύλη. Την προσέγγιση αυτή ακολούθησαν και άλλοι ερευνητές ασχολούµενοι µε διάφορα είδη συνδέσεων, όπως αυτά συνοψίζονται στον Πίνακα 3.1 (Picard κ.ά., 1976, Altman κ.ά., 1982, Goverdhan, 1983). Παράλληλα, οι παράµετροι P i που αντιστοιχούν σε κάθε είδος σύνδεσης φαίνονται στο Σχήµα 3.2.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 57 Πίνακας 3.1: Σταθερές για την πολυωνυµική απεικόνιση της καµπύλης Μ φ των Frye και Morris (1975) 3.2.2 Μοντέλο του Krishnamurthy Μια διαφορετική προσέγγιση εισήγαγε ο Krishnamurthy (1978a, 1978b), ο οποίος ανέπτυξε µοντέλα προσοµοίωσης και λογισµικό για υπολογιστές σχετικά µε τις κοχλιωτές συνδέσεις. Για να αποκτήσει κατά το δυνατό πληρέστερη εικόνα της στροφικής συµπεριφοράς των συνδέσεων µε µετωπικές πλάκες, διεξήγαγε πολυπαραµετρική έρευνα κάνοντας χρήση της µεθόδου των πεπερασµένων στοιχείων. Στην αρχή χρησιµοποίησε µοντέλα δύο διαστάσεων µε το επίπεδο της έντασης παράλληλα στον κορµό των δοκών, και αργότερα περιορισµένα µόνο µοντέλα τριών διαστάσεων µε στόχο τον καθορισµό και την τυποποίηση των συντελεστών συσχέτισης σε δύο και τρεις διαστάσεις (Krishnamurthy και Graddy, 1976). Οι προσπάθειες αυτές που εφαρµόστηκαν σε συνδέσεις µε εξέχουσες µετωπικές πλάκες µε τέσσερις κοχλίες στην εφελκυόµενη ζώνη (Σχήµα 3.1), οδήγησαν στην ανάπτυξη ενός εµπειρικού µοντέλου που βασίζεται στην απλή εκθετική εξίσωση της Σχέσης 2.14 του προηγούµενου κεφαλαίου, η οποία αναπαριστά την καµπύλη ροπής στροφής Μ φ (Krishnamurthy κ.ά., 1979).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 58 Σχήµα 3.1: Σύνδεση µετωπικής πλάκας µε τέσσερις εφελκυόµενους κοχλίες Η παραµετρική έρευνα διεξάχθηκε για διάφορους συνδυασµούς των ανεξάρτητων παραµέτρων π i. Σύµφωνα µε τη διάταξη κόµβου που εικονίζεται στο Σχήµα 3.1, ερευνήθηκαν οκτώ µεταβλητές όπως δείχνει ο Πίνακας 3.2 (Krishnamurthy κ.ά., 1979). Επιπρόσθετα, f y είναι το όριο διαρροής του χάλυβα των διατοµών, f yb το όριο διαρροής του χάλυβα των κοχλιών, Μ είναι η εφαρµοζόµενη ροπή κάµψης, Μ y η ροπή που αναπτύσσεται κατά την πρώτη διαρροή της δοκού, Α b είναι το εµβαδόν διατοµής ενός κοχλία, Α b,th είναι η θεωρητική του τιµή, η οποία αντιστοιχεί στην ισοδυναµία µεταξύ της αντοχής µιας σειράς κοχλιών και στην τιµή διαρροής του εφελκυόµενου ηµίσεος της διατοµής της δοκού, δηλαδή: 2 x A b,th x f yb = A x f y / 2, όπου Α είναι το εµβαδόν της διατοµής της δοκού. Εφαρµόζοντας πολλαπλή ανάλυση παλινδρόµησης σε δεδοµένα που απέκτησε έπειτα από αριθµητικές προσοµοιώσεις, ο Krishnamurthy (1979) παρήγαγε µια απλή εκθετική συνάρτηση της καµπύλης Μ φ (Σχέση 2.14), στην οποία για τον εν λόγω κόµβο οι συντελεστές α και C δίνονται ως εξής: α = 1.58 (3.3) και 0.36 b 2.03 f 1.38 ep 1.4 β x µ x P C = (3.4) A x t όπου 0.61 ep 0.26 wb 1.03 fb 1.58 b 0.0056 b x t β = (3.5) 1.30 h b x t x W και 1.0 µ = (3.6) f x f 0.38 y 1.20 yb

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 59 Ένα γωνιακό κορµού ύο γωνιακά κορµού ύο γωνιακά κορµού & γωνιακά πελµάτων Γωνιακά πελµάτων Εξέχουσα µετωπική πλάκα & εγκάρσιες νευρώσεις κορµού & πέλµατος υποστυλώµατος Μετωπική πλάκα στον κορµό της δοκού Εξέχουσα µετωπική πλάκα ύο βραχέα Τ Σχήµα 3.2: Γεωµετρικές παράµετροι της πολυωνυµικής απεικόνισης των Frye και Morris (1975) για διάφορα είδη συνδέσεων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 60 Πίνακας 3.2: Ανεξάρτητες παράµετροι π i κατά την έρευνα του Krishnamurhty κ.ά. (1979) Λαµβάνοντας υπόψη, ότι στη συγκεκριµένη διάταξη κόµβου το πλάτος της µετωπικής πλάκας b ep είναι ίσο µε το πλάτος του πέλµατος της δοκού, η παράµετρος β εξαρτάται µόνο από τα χαρακτηριστικά της δοκού, ενώ η παράµετρος µ εξαρτάται µόνο από το υλικό. Να σηµειωθεί ακόµα ότι στη σχέση 3.5, W b είναι η ροπή αντίστασης της δοκού. Αξιοσηµείωτο είναι επίσης, ότι οι προηγούµενες εξισώσεις είναι ανεξάρτητες από τα χαρακτηριστικά του υποστυλώµατος, το οποίο δεν είχε εισαχθεί στα υπολογιστικά µοντέλα. Πρέπει να υπογραµµισθεί έτσι, ότι το παραπάνω µοντέλο αναφέρεται στην καµπύλη ροπής στροφής µόνο της σύνδεσης και όχι όλου του κόµβου δοκού υποστυλώµατος. Τέλος, την παραπάνω προσέγγιση έχει επεκτείνει µε επιτυχία ο Κrishnamurthy και στην περίπτωση εξέχουσας µετωπικής πλάκας µε εγκάρσια νεύρωση στην εφελκυόµενη ζώνη (Krishnamurthy, 1978b). 3.2.3 Μοντέλο τoυ Κukreti O Kukreti µαζί µε άλλους ερευνητές υιοθέτησε τη διάταξη που φαίνεται στο Σχήµα 3.3 (Kukreti κ.ά., 1987), όσον αφορά στην έρευνα της στροφικής συµπεριφοράς κόµβων δοκού - υποστυλώµατος µε εισέχουσα µετωπική πλάκα. Σχήµα 3.3: ιάταξη κόµβου µε εισέχουσα µετωπική πλάκα του Kukreti κ.ά. (1987) Οι παραµετρικές αναλύσεις που έγιναν, συµπεριλαµβάνουν εννιά όρους «π i» όπως περιγράφονται στον Πίνακα 3.3, στον οποίο δίνεται και το εύρος της διακύµανσής τους. ιεξάχθηκε πολλαπλή ανάλυση παλινδρόµησης που οδήγησε σε µια εκθετική απεικόνιση της καµπύλης ροπής στροφής της σύνδεσης σύµφωνα µε την εξίσωση 2.14.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 61 Πίνακας 3.3: Παράµετροι της έρευνας του Kukreti (1987) για την ανάλυση εισεχουσών µετωπικών πλακών Οι συντελεστές α και C της της εξίσωσης 2.14 δίνονται παρακάτω (Κukreti, 1987): και α = 0.737 (3.7) 2.616 b 0.501 wb 0.038 fb 6 0.849 b 2.227 f 0.519 gb 359 x 10 p C = (3.8) h x t x t x d x x b x t 0.218 ep 1.539 ep Οι χρησιµοποιούµενες µονάδες µέτρησης είναι ίντσες για το µήκος και kip x ft για τη ροπή κάµψης. Αργότερα, η ίδια προσέγγιση εφαρµόστηκε στην περίπτωση σύνδεσης µεγάλης αντοχής µε οκτώ εφελκυόµενους κοχλίες και εξέχουσα µετωπική πλάκα ενισχυµένη µε στοιχείο δυσκαµψίας (Σχήµα 3.4) (Kukreti κ.ά., 1990). Σχήµα 3.4: ιάταξη κόµβου υψηλής αντοχής µε ενισχυµένη εξέχουσα µετωπική πλάκα, που ερεύνησαν οι Kukreti κ.ά. (1990) Οι συγγραφείς ερεύνησαν τη µέγιστη παραµόρφωση δ της µετωπικής πλάκας στο ύψος του εφελκυόµενου πέλµατος της δοκού, τη µέγιστη ανηγµένη παραµόρφωση ε max του υλικού της µετωπικής πλάκας και τη µέγιση δύναµη κοχλιών Β ως συναρτήσεις οκτώ µεταβλητών, των οποίων οι τιµές διακυµαίνονταν κατά την προσοµοίωση (Πίνακας 3.4). Στη διαδικασία αυτή έγινε χρήση υπολογιστικού µοντέλου από πεπερασµένα στοιχεία.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 62 Πίνακας 3.4: Παράµετροι που ερευνήθηκαν από τους Kukreti κ.ά. (1990) για την ανάλυση των συνδέσεων µε ενισχυµένη εξέχουσα µετωπική πλάκα Η µέγιστη ανηγµένη παραµόρφωση των υλικών της µετωπικής πλάκας, συσχετίστηκε µε τις βασικές παραµέτρους που προέκυψαν από τις αριθµητικές προσοµοιώσεις χρησιµοποιώντας πολλαπλή ανάλυση παλινδρόµησης (Κukreti κ.ά., 1990): ε max 0.871 ep 5 0.626 b 0.129 b 0.141 ts 0.224 f 0.278 ep 0.886 0.736 1.408 x 10 g x p M Es = x x t x d x x b hb t (3.9) fb E όπου: Ε s είναι το επιβατικό µέτρο ελαστικότητας του χάλυβα. Επιπρόσθετα, η καµπύλη Μ φ µπορεί να εκφρασθεί µε την απλή εκθετική απεικόνιση της εξίσωσης 2.14, στην οποία οι συντελεστές α και C έχουν ως εξής: α = 1.913 (3.10) και 2.088 ep 1.424 ep 7 1.928 b 1.204 b 0.233 ts 1.822 f b fb 0.281 2.240 x 10 g x p Es C = x. (3.11) 2.913 t x b x d x x (h t ) E Οι ερευνητές παρήγαγαν ακόµα µια σχέση η οποία υπολογίζει την αξονική δύναµη των κοχλιών (Kukreti κ.ά., 1990): B = t 0.884 ep 6.315 x 10 x b 0.965 ep 5 0.590 x pf 1.989 0.327 db x ts x x h b M t fb 2.538 Es x E 1.685. (3.12) Συνοψίζοντας, θα ήταν χρήσιµο να σηµειωθεί, ότι τα παραπάνω εµπειρικά µοντέλα που βασίζονται στην εκθετική απεικόνιση της καµπύλης ροπής στροφής (σχέση 2.14), προεκτιµούν µε ακρίβεια περισσότερο την αρχική στροφική συµπεριφορά της σύνδεσης παρά το σύνολο της καµπύλης Μ φ. Στην πραγµατικότητα, για υψηλές τιµές της πλαστικής παραµόρφωσης, έχουν παρατηρηθεί σηµαντικές αποκλίσεις µεταξύ της προεκτιµηθείσας καµπύλης Μ φ και αυτής που προκύπτει από πειράµατα (Σχήµα 3.5). Τέλος, έχουν σηµειωθεί αντίστοιχες αποκλίσεις και στα εµπειρικά µοντέλα του Kukreti (Κukreti κ.ά., 1987 και 1990).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 63 Σχήµα 3.5: Σύγκριση µεταξύ εµπειρικών µοντέλων υπολογισµού της καµπύλης Μ - φ και πειραµατικών αποτελεσµάτων (Κrishnamurthy κ.ά., 1979) 3.2.4 Moντέλο των Attiogbe και Morris Εναλλακτική µέθοδο για την απόκτηση στοιχείων ώστε να συγκροτηθεί ένα εµπειρικό µοντέλο, σε σχέση µε τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων, αποτελούν τα πειράµατα στο εργαστήριο. Τέτοιου τύπου προσέγγιση πραγµατοποίησαν οι Attiogbe και Morris (1991), όσον αφορά στις συνδέσεις µε δύο γωνιακά κορµού και τη µαθηµατική απεικόνιση της καµπύλης Μ φ σύµφωνα µε τη σχέση των Goldberg και Richard (1963) (Σχέση 2.7). Καθώς η µαθηµατική απεικόνιση της καµπύλης Μ φ χρειάζεται τέσσερις παραµέτρους για να υλοποιηθεί (φ ο, Μ ο, n και k φ,p ), oι ερευνητές εφάρµοσαν πολλαπλή ανάλυση παλινδρόµησης για να συσχετίσουν τις παραµέτρους του µοντέλου µε τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά των συνδέσεων (Attiogbe και Morris, 1991): φ ο = (t 0.595 a x g -2.817 x l 4.737 a x h -0.784 b x n -5.957 b ) x 10-3 (3.13) M o = t a 1.136 x g -1.515 x l a 1.139 x h b 0.258 x n b 0.309 (3.14) n = t a 0.522 x g 1.564 x l a -1.073 x h b -0.737 x n b 1.704 (3.15) k φ,p = (t a 0.955 x g 2.044 x l a -4.445 x h b 0.327 x n b 7.555 (3.16) Στις σχέσεις 3.13 έως 3.16, t a είναι το πάχος των γωνιακών (mm), g η απόσταση των οπών του πέλµατος από τον κορµό του υποστυλώµατος, l a το µήκος των γωνιακών (mm), h b το ύψος της δοκού και n b ο αριθµός των κοχλιών σε κάθε πέλµα γωνιακού συνδεδεµένο µε το πέλµα του υποστυλώµατος. Οι µονάδες για τα φ ο, Μ ο και k φ,p είναι ακτίνια, kn και knm/ακτίνιο αντίστοιχα. 3.2.5 Μοντέλο των Faella, Piluso και Rizzano Mε στόχο την ανάπτυξη µιας διαδικασίας ικανής να οδηγήσει τους µελετητές στον πλήρη σχεδιασµό των συνδέσεων, ο Faella κ.ά. (1997) πραγµατοποίησε µια διαφορετική

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 64 προσέγγιση για εξέχουσες µετωπικές πλάκες. Για την σύνταξη εµπειρικών σχέσεων που προεκτιµούν τόσο την αντοχή όσο και τη στροφική δυσκαµψία των κόµβων, παράχθηκαν δεδοµένα µέσω µιας ευρείας παραµετρικής ανάλυσης. Η τελευταία έγινε µε τη χρήση µηχανικών µοντέλων (Faella κ.ά., 1995, 1996b), που βασίστηκαν στη µέθοδο των συστατικών την οποία περιλαµβάνει ο Ευρωκώδικας 3 (CEN, 1997). Η χρήση των µηχανικών µοντέλων σε σχέση µε τις αναλύσεις µε πεπερασµένα στοιχεία, διαθέτει το πλεονέκτηµα της σηµαντικής µείωσης της ανάγκης για υπολογιστική ισχύ και κατά συνέπεια, υπάρχει η δυνατότητα να αναλυθεί ένας πολύ µεγάλος αριθµός κόµβων. Η µαθηµατική απεικόνιση της καµπύλης Μ φ που υιοθετήθηκε, προβλέπεται στον Ευρωκώδικα 3 (Σχήµα 2.3). 3.2.6 Παρατηρήσεις στα εµπειρικά µοντέλα Το κύριο µειονέκτηµα των εµπειρικών µοντέλων, είναι ότι η εφαρµογή τους περιορίζεται στις συγκεκριµένες διατάξεις των κόµβων που χρησιµοποιήθηκαν για τον καθορισµό των αντίστοιχων εξισώσεων. Επιπρόσθετα, αδυνατούν να περιγράψουν τη συνεισφορά καθενός συστατικού στη συνολική απόκριση του κόµβου. Έτσι, η εφαρµογή τους, πέρα από τις καθορισµένες διατάξεις των κόµβων θα πρέπει να αποφεύγεται, εφόσον ο µηχανισµός κατάρρευσής τους επηρεάζεται σηµαντικά από τα γεωµετρικά και τα µηχανικά χαρακτηριστικά των συνδέσεων (Faella, Piluso, Rizzano, 2000). 3.3 ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Με στόχο την προεκτίµηση της καµπύλης ροπής στροφής διάφορων συνδέσεων, απευθείας από τα γεωµετρικά και µηχανικά χαρακτηριστικά τους, αρκετοί ερευνητές εφάρµοσαν τις βασικές αρχές της ελαστικής ανάλυσης και της οριακής αντοχής, σε απλοποιηµένα µοντέλα συνδέσεων δοκών υποστυλωµάτων. Αυτή η προσέγγιση ξεκινά από την παρατήρηση της συµπεριφοράς των συνδέσεων µετά από δοκιµές, ώστε να εντοπιστούν οι κύριες πηγές παραµόρφωσης και ο µηχανισµός αστοχίας των συνδέσεων. Έτσι, λήφθηκαν απλοποιηµένα µοντέλα συνδέσεων ώστε να προεκτιµηθεί η αρχική τους δυσκαµψία χρησιµοποιώντας ελαστική ανάλυση. Προσοµοιώθηκε επίσης ο πλαστικός µηχανισµός, για να προεκτιµηθεί η ροπή αντοχής µέσω του ισοζυγίου µεταξύ εσωτερικού και εξωτερικού έργου. Η αξιοπιστία των αποτελεσµάτων που προέκυψαν από αυτά τα µοντέλα, ελέγχθηκε µέσω της σύγκρισής τους µε πειράµατα στο εργαστήριο. Τέλος, παρήχθηκε η µαθηµατική απεικόνιση της καµπύλης Μ φ, µε χρήση της αρχικής δυσκαµψίας και της ροπής αντοχής.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 65 3.3.1 Μοντέλο του Chen κ.ά. Μεταξύ των ερευνητών που ασχολήθηκαν µε την προεκτίµηση της απόκρισης των συνδέσεων απευθείας από τα γεωµετρικά και µηχανικά χαρακτηριστικά τους, ο Chen µαζί µε άλλους έχει αναπτύξει µια εκτεταµένη ερευνητική δράση (Kishi και Chen, 1987, Chen κ.ά., 1988a, 1988b) στον τοµέα των ηµιάκαµπτων συνδέσεων µε γωνιακά. Οι εξισώσεις που ακολουθούν αφορούν συνδέσεις µε γωνιακά πελµάτων και δύο γωνιακά κορµού (Σχήµα 3.6). Η αρχική δυσκαµψία της σύνδεσης δίνεται ως εξής: K φ 3 Ε x Ιta x d1 3 E x Iwa x d3 = + (3.17) 2 2 2 2 g x (g + 0.78 t ) g x (g + 0.78 t ) 1 1 2 ta 3 3 2 wa όπου Ι ta είναι η ροπή αδράνειας του πέλµατος του γωνιακού που συνδέεται µε το στύλο και ανήκει στο γωνιακό του άνω πέλµατος της δοκού και I wa η ροπή αδράνειας του πέλµατος του άλλου γωνιακού που συνδέεται µε το στύλο και τον κορµό της δοκού, δηλαδή: 3 ta 3 wa L x t I ta ta = 12 και L x t I wa wa = 12 (3.18) όπου t ta και t wa είναι το πάχος του γωνιακού του άνω πέλµατος και του γωνιακού του κορµού αντίστοιχα. Σχήµα 3.6: Κόµβος δοκού υποστυλώµατος µε γωνιακά πελµάτων και δύο γωνιακά κορµού Επίσης, L ta και L wa είναι τα µήκη των γωνιακών του άνω πέλµατος και του κορµού αντίστοιχα. Όσον αφορά στις αποστάσεις d 1, d 3, g 1 και g 3, αυτές φαίνονται στα Σχήµατα 3.6 και 3.7. Η ροπή αντοχής δίνεται ως εξής: 2 L sa x t sa Vpt x (g1 k t) M j,u = fy x + + Vpt x d2 + 2 Vpa x d4 (3.19) 4 2

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 66 όπου L sa και t sa το µήκος και το πάχος αντίστοιχα του γωνιακού του κάτω πέλµατος, ενώ η απόσταση k t φαίνεται στο Σχήµα 3.7. Στην εξίσωση 3.19 έχουν χρησιµοποιηθεί τα παρακάτω σύµβολα: tsa d 2 = d + + k t (3.20) 2 και d fy x twa 2 Vpu + 2 tsa = x L wa + Ll (3.21) fy x twa 2 3 V pu + 2 4 + όπου L wa και t wa είναι το µήκος και το πάχος αντίστοιχα των γωνιακών του κορµού καθώς και L l είναι η απόσταση ανάµεσα στην κατώτατη ακµή του γωνιακού κορµού και το θλιβόµενο πέλµα της δοκού. Ο όρος V pu δίνεται από την παρακάτω εξίσωση: 2 V fy x t pu wa 4 + gc k t wa a 2 V x fy x t pu wa = 1 (3.22) όπου οι αποστάσεις g c και k a ή k t φαίνονται στα Σχήµατα 3.6 και 3.7 αντίστοιχα. Σχήµα 3.7: Γεωµετρικά χαρακτηριστικά των γωνιακών Στην εξίσωση 3.19 οι τιµές των V pa και V pt µπορούν να υπολογισθούν µε τη βοήθεια των παρακάτω σχέσεων: V pa fy x twa Vpu + = 2 x L wa (3.23) 2 και f y 2 V x L ta pt x t ta 4 + g1 k t t ta x f y 2 V x L ta pt x t ta = 1 (3.24)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 67 Στην περίπτωση των γωνιακών πελµάτων (Kishi και Chen, 1987, Chen κ.ά., 1988a), όπως φαίνεται στην εξίσωση 3.17, ο πρώτος προσθετέος του δεύτερου µέρους παριστάνει τη συνεισφορά µόνο των γωνιακών και η αρχική δυσκαµψία της σύνδεσης δίνεται ως εξής: K φ 3 Ε x Ιta x d1 = (3.25) 2 g x (g + 0.78 t ) 1 1 2 2 ta Η ροπή αντοχής είναι: 2 L sa x t sa Vpt x (g1 k t) M j,u = fy x + + Vpt x d2 (3.26) 4 2 Στην πραγµατικότητα, ο τελευταίος προσθετέος της εξίσωσης 3.19 παριστάνει τη συνεισφορά των γωνιακών κορµού. Εξάλλου, η τιµή του V pt υπολογίζεται µε τη βοήθεια της εξίσωσης 3.24. Στην περίπτωση του ενός γωνιακού κορµού (Kishi και Chen, 1987, Chen κ.ά., 1988b), η αρχική δυσκαµψία δίνεται ως εξής: K φ 4.2967 g1 3 4.2967 cosh G x tta L wa = x (3.27) 3 4.2967 g1 4.2967 g1 4.2967 g1 x cosh sinh L L L wa wa wa και η ροπή αντοχής ως εξής: M j,u fy x twa 2 Vpu + 2 2 = x L wa, (3.28) 6 όπου V pu δίνεται από την εξίσωση 3.22. Στην περίπτωση, τέλος, της σύνδεσης µε δύο γωνιακά κορµού, η αρχική δυσκαµψία είναι διπλάσια αυτής που υπολογίζεται µε την εξίσωση 3.27, και η οριακή τιµή της ροπής είναι επίσης διπλάσια από αυτήν που προκύπτει από την εξίσωση 3.28. Εφόσον υπολογισθούν η αρχική δυσκαµψία Κ φ και η οριακή ροπή αντοχής Μ j,u της σύνδεσης, µπορεί να προκύψει όλη η καµπύλη ροπής στροφής µε τη βοήθεια της εκθετικής εξίσωσης 2.5, αν τεθεί Κ φ,p = 0. Η παράµετρος σχήµατος n υπολογίζεται από τις παρακάτω σχέσεις (Liew κ.ά., 1993), οι οποίες είναι προσαρµοσµένες σε πειραµατικά δεδοµένα: για συνδέσεις µε ένα γωνιακό κορµού: n = 0.520 log 10 M K j,u φ + 2.291 0.70 (3.29) για συνδέσεις µε δύο γωνιακά κορµού:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 68 n = 1.322 log 10 M K j,u φ + 3.952 0.60 (3.30) για συνδέσεις µε γωνιακά πελµάτων: n = 2.003 log 10 M K j,u φ + 6.070 0.30 (3.31) για συνδέσεις µε γωνιακά πελµάτων και δύο γωνιακά κορµού: n = 5.483 log 10 M K j,u φ + 14.745 0.80 (3.32) Χρειάζεται να σηµειωθεί εξάλλου, ότι οι προηγούµενες σχέσεις που αφορούν συνδέσεις δοκού υποστυλώµατος µε χρήση γωνιακών, δεν περιλαµβάνουν τις πηγές παραµόρφωσης που οφείλονται στην απόκριση των στοιχείων της διατοµής των υποστυλωµάτων, όπως η καµπτική παραµόρφωση των πελµάτων τους. Στην πραγµατικότητα, στις παραπάνω έρευνες θεωρείται ότι η σύνδεση µε γωνιακά στηρίζεται σε ακλόνητη βάση. Πολλές φορές επίσης, η παραµόρφωση της θλιβόµενης και της διατεµνόµενης ζώνης του κορµού του υποστυλώµατος επηρεάζουν σηµαντικά τη συνολική συµπεριφορά του κόµβου. Κατά συνέπεια, είναι αναγκαίο να ληφθεί υπόψη ότι οι παραπάνω σχέσεις αναφέρονται µόνο στην καµπύλη ροπής στροφής της σύνδεσης µε γωνιακά και όχι του κόµβου ως συνόλου. 3.3.2 Μοντέλο των Yee και Melchers Όσον αφορά στις συνδέσεις µε µετωπική πλάκα, oι Yee και Melchers (1986) έχουν συµπεριλάβει στις έρευνές τους και τις παραµορφώσεις του υποστυλώµατος. Σύµφωνα µε τις έρευνές τους, η συνολική συµπεριφορά των κόµβων οφείλεται σε πέντε παράγοντες οι οποίοι είναι: η καµπτική παραµόρφωση της µετωπικής πλάκας, η καµπτική παραµόρφωση του πέλµατος του υποστυλώµατος, η επιµήκυνση των κοχλιών, η διατµητική παραµόρφωση της ζώνης διάτµησης και η παραµόρφωση της θλιβόµενης ζώνης στον κορµό του υποστυλώµατος. Όσον αφορά στην ροπή αντοχής των συνδέσεων, αυτή εξαρτάται από το ασθενέστερο στοιχείο. Οι διάφοροι τρόποι αστοχίας ακολουθούν: αστοχία κοχλιών σε εφελκυσµό, πλαστικοποίηση µετωπικής πλάκας, πλαστικοποίηση της εφελκυόµενης ζώνης πέλµατος υποστυλώµατος, διαρροή από διάτµηση του κορµού υποστυλώµατος,

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 69 λυγισµός κορµού υποστυλώµατος και ρυτίδωση του κορµού του υποστυλώµατος. H στροφική δυσκαµψία των κόµβων υπολογίσθηκε µε κατάλληλο συνδυασµό των ελαστικών παραµορφώσεων των διάφορων πηγών παραµόρφωσης, ενώ η αντοχή σε κάµψη σχετίζεται µόνο µε το ασθενέστερο στοιχείο. Έτσι, η έρευνα των Υee και Melchers (1986) για τις συνδέσεις µε µετωπικές πλάκες, αξίζει να χαρακτηρισθεί ως το πρώτο ίσως - παράδειγµα της καινούργιας αντίληψης, αυτής που αποκαλείται προσέγγιση των «συστατικών». Η τελευταία προβλέπεται από τον Ευρωκώδικα 3 (CEN, 1997). Αντίστοιχης προσέγγισης είναι και η µέθοδος που ανέπτυξαν οι Johnson και Law (1981), για τον υπολογισµό της αρχικής δυσκαµψίας και της πλαστικής αντοχής των συνδέσεων µε εισέχουσες µετωπικές πλάκες. 3.4 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ 3.4.1 Γενικά Τα µηχανικά µοντέλα ή µοντέλα ελατηρίων, βασίζονται στην προσοµοίωση των κόµβων ή των συνδέσεων, χρησιµοποιώντας έναν αριθµό από άκαµπτα και εύκαµπτα στοιχεία. Η µη γραµµικότητα της απόκρισης, πηγάζει από τους ανελαστικούς καταστατικούς νόµους που διέπουν τα στοιχεία των ελατηρίων. Η πρώτη διαφορά µεταξύ των αναλυτικών και των µηχανικών µοντέλων, είναι ότι στα αναλυτικά µοντέλα τα συστατικά των κόµβων χαρακτηρίζονται µε τη βοήθεια των τιµών δυσκαµψίας και αντοχής που προκύπτουν από τις βασικές αρχές της ελαστικής ανάλυσης και του οριακού σχεδιασµού αντίστοιχα. Αντίθετα, τα µηχανικά µοντέλα βασίζονται στην προσοµοίωση των συστατικών µε όρους δυσκαµψίας και αντοχής, οι οποίοι προκύπτουν από εµπειρικές σχέσεις. Η δεύτερη διαφορά και ίσως η σηµαντικότερη, είναι ότι στα αναλυτικά µοντέλα το ενδιαφέρον επικεντρώνεται στην προεκτίµηση της στροφικής δυσκαµψίας και της αντοχής σε κάµψη, ενώ η γραµµική µη γραµµική (curvilinear) προσοµοίωση του «γόνατος» της καµπύλης Μ φ χρειάζεται µια διαδικασία προσαρµογής στην καµπύλη, αν και περιορίζεται εξαιτίας του παράγοντα σχήµατος. Αντίθετα, από θεωρητικής πλευράς, ακόµα και στην περίπτωση της διγραµµικής προσοµοίωσης των συστατικών ενός απλού κόµβου, τα µοντέλα των ελατηρίων µπορούν να αναπαραστήσουν το «γόνυ» της καµπύλης Μ φ µέσω της πολυγραµµικής συνολικής συµπεριφοράς που απορρέει από την προοδευτική διαρροή των συστατικών του κόµβου. Έτσι, δε χρειάζεται η διαδικασία προσαρµογής στην καµπύλη.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 70 Σχήµα 3.8: Μηχανικό µοντέλο για σύνδεση µε γωνιακά κορµού (Wales και Rossow, 1983) Το Σχήµα 3.8 δείχνει το µηχανικό µοντέλο που υιοθετήθηκε από τους Wales και Rossow (1983), για την προσοµοίωση της συµπεριφοράς ενός κόµβου δοκού υποστυλώµατος µε δύο γωνιακά κορµού, στον οποίο επιβάλλεται καµπτική ροπή και αξονική δύναµη. Αυτό το µοντέλο έχει επεκταθεί από τους Chmielowiec και Richard (1987), καλύπτοντας και την περίπτωση των δύο γωνιακών κορµού και µε γωνιακά πελµάτων (Σχήµα 3.9). Σχήµα 3.9: Μηχανικό µοντέλο για σύνδεση µε γωνιακά κορµού και πελµάτων (Chmielowiec και Richard, 1987) H συµπεριφορά ενός µη ενισχυµένου συγκολλητού κόµβου επηρεάζεται από τις παραµορφώσεις που προκαλούνται λόγω µεταφοράς του φορτίου από τα πέλµατα της δοκού στο υποστύλωµα, και από την παραµόρφωση της διατεµνόµενης ζώνης. Σ αυτήν τη συµπεριφορά ανταποκρίνεται το µηχανικό µοντέλο που ανέπτυξε ο Tschemmernegg κ.ά., το οποίο αναπαρίσταται στο Σχήµα 3.10 (Τschemmernegg, 1988, Tschemmernegg και Humer, 1988a και 1988b). Σχήµα 3.10: Μηχανικό µοντέλο συγκολλητού κόµβου (Tschemmernegg, 1988)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 71 To µοντέλο περιλαµβάνει δύο µη γραµµικά ελατήρια, που ονοµάζονται «ελατήριο εισαγωγής του φορτίου» και «διατµητικό ελατήριο». Το «ελατήριο εισαγωγής του φορτίου» αντιστοιχεί στην παραµόρφωση που προκαλεί η µεταφορά του φορτίου µέσω των πελµάτων της δοκού ενώ το «διατµητικό ελατήριο» προσοµοιώνει τη διατµητική παραµόρφωση της ζώνης διάτµησης. Επίσης, το εν λόγω µοντέλο έχει επεκταθεί καλύπτοντας και την περίπτωση των κοχλιωτών συνδέσεων µε µετωπικές πλάκες (Tschemmernegg και Humer, 1988b). Σ αυτήν την περίπτωση, οι νέες πηγές παραµόρφωσης λαµβάνονται υπόψη µε τη βοήθεια επιπρόσθετων ελατηρίων, τα οποία ονοµάζονται «ελατήρια σύνδεσης» (Σχήµα 3.11). Σχήµα 3.11: Μηχανικό µοντέλο κοχλιωτού κόµβου (Tschemmernegg και Humer, 1988b) 3.4.2 Πανεπιστήµιο του Innsbruck Οι έρευνες στο Πανεπιστήµιο του Innsbruck επικεντρώνονται στην ανάπτυξη ενός πολύ ακριβούς µηχανικού µοντέλου που περιγράφει τη συµπεριφορά ροπής στροφής των κόµβων. Για την επιβεβαίωση στη πράξη, οι ερευνητές στο Innsbruck δεν προτείνουν τον έλεγχο των απαιτούµενων και διαθέσιµων στροφών στο τέλος της στερεοπλαστικής ανάλυσης, αλλά περιορίζουν τη στροφή των κόµβων σε µια διαθέσιµη τιµή στροφής, η οποία αντιστοιχεί στη µέγιστη ροπή του κόµβου. Σε συστήµατα δε, στα οποία ο πλήρης σχηµατισµός των πλαστικών αρθρώσεων, απαιτεί στροφές µεγαλύτερες από αυτή τη διαθέσιµη, υπολογίζεται ένα µειωµένο φορτίο σύµφωνα µε τον µερικώς αρθρωτό χαρακτήρα τους. Πρόκειται για µοντέλο που έχει επιβεβαιωθεί από πειράµατα, τα οποία παρέχουν δεδοµένα σχετικά µε τις διαθέσιµες στροφές των κόµβων στην οριακή τιµή της ροπής. Αυτές οι διαθέσιµες στροφές µπορεί να υπολογισθούν λαµβανοµένης υπόψη και της πλαστιµότητας των συστατικών των κόµβων. Ένα από τα συστατικά που περιορίζουν τη διαθέσιµη ικανότητα στροφής είναι η αστοχία του κορµού του υποστυλώµατος σε θλίψη. Έτσι, έχουν δοθεί συγκεκριµένες τιµές για τις µέγιστες παραµορφώσεις που προκαλούν τα πέλµατα της δοκού στον κορµό του υποστυλώµατος.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 72 Τα πειράµατα έχουν δείξει ότι η συµπεριφορά των άλλων συστατικών είναι πολύ πλάστιµη και κατά συνέπεια δε χρειάζεται να γίνουν παραπέρα περιορισµοί στις διαθέσιµες στροφές. Όσον αφορά στις κοχλιωτές συνδέσεις, έχουν δοθεί κανόνες σχεδιασµού για την αποφυγή ψαθυρής αστοχίας των κοχλιών και για να περιορισθούν στο ελάχιστο οι παραµορφώσεις της µετωπικής πλάκας. Για τις σχετικά µεγάλες διατοµές δοκών χρειάζεται να ληφθεί υπόψη η δυσκαµψία που παρέχει ο κορµός της δοκού στον κορµό του υποστυλώµατος. Εξαιτίας αυτού του φαινοµένου, οι πραγµατικές διαθέσιµες στροφές της ζώνης εισαγωγής του φορτίου είναι µικρότερες από τις υπολογιστικές και καθορίζονται µε εµπειρικές σχέσεις (Klein, 1985). Τα οριακά φορτία µπορούν να υπολογισθούν στη βάση των παρακάτω διαθέσιµων στροφών (Vandegans, 1996): Όταν η διαθέσιµη στροφική ικανότητα των κόµβων επαρκεί στην πλαστική ανάλυση της δοκού (Σχήµα 3.12.α), και όταν η διαθέσιµη στροφική ικανότητα των κόµβων αποτρέπει την ανάπτυξη της τελευταίας πλαστικής άρθωσης στο µέσο της δοκού. Τότε, το οριακό φορτίο υπολογίζεται µε λιγότερες πλαστικές αρθρώσεις (Σχήµα 3.12.β). α) Αναπτύσσονται όλες οι πλαστικές αρθρώσεις β) Η διαθέσιµη στροφική ικανότητα των κόµβων αποτρέπει την ανάπτυξη της πλαστικής άρθρωσης στο µέσο του ανοίγµατος της δοκού Σχήµα 3.12: Πιθανές οριακές καταστάσεις εξαρτώµενες από την ικανότητα στροφής των κόµβων Εκτός από την αντιµετώπιση µε πρακτικό τρόπο της µειωµένης στροφικής ικανότητας των κόµβων σε ένα δεδοµένο σύστηµα, το µοντέλο του Innsbruck προσφέρει ακόµα την περιγραφή της πραγµατικής συµπεριφοράς των κόµβων στην καθολική ανάλυση. Ο προσδιορισµός των τιµών της απαιτούµενης στροφικής ικανότητας για τα διάφορα συστήµατα, καθίσταται δυνατός µε τη βοήθεια αυτού του µοντέλου.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 73 3.5 ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΟΣ J ΤΟΥ ΕΥΡΩΚΩ ΙΚΑ 3 3.5.1 Γενικά Το µοντέλο που προβλέπει ο Ευρωκώδικας 3 στο Παράρτηµα J, αποτελεί σηµαντική εξέλιξη στο θέµα της στροφικής συµπεριφοράς των κόµβων, (CEN, 1994). Βέβαια, αντίστοιχο µοντέλο είχε παρουσιαστεί και νωρίτερα (CEΝ, 1992), αλλά το νέο µοντέλο διαφέρει ουσιωδώς στα εξής σηµεία: Στο παλιό Παράρτηµα J οι υπολογιστικές παραµορφώσεις των συστατικών αντιστοιχούσαν στην αντοχή σχεδιασµού τους (Η έννοια των συστατικών επεξηγείται παρακάτω). Οι ελαστικές παραµορφώσεις υπολογίζονταν βάσει των υπολογιστικών διαιρώντας µε το 2.5. Στο νέο Παράρτηµα J οι ελαστικές παραµορφώσεις υπολογίζονται άµεσα. Σε αντίθεση µε το παλιό Παράρτηµα J, αυτές οι ελαστικές παραµορφώσεις τώρα εξαρτώνται µόνο από τη γεωµετρία του κόµβου και το µέτρο ελαστικότητας του υλικού και όχι από τις τιµές αντοχής και τους συντελεστές ασφάλειας. Ο υπολογισµός της πλήρους µη γραµµικής καµπύλης Μ - φ, στο νέο Παράρτηµα J, είναι απλοποιηµένος σε σύγκριση µε το παλιό και στο παλιό Παράρτηµα η δυσκαµψία ενός ενισχυµένου κόµβου δοκού υποστυλώµατος µε µετωπική πλάκα, µπορούσε να προκύψει µικρότερη από αυτήν ενός µη ενισχυµένου. Το πρόβληµα αυτό είναι τώρα λυµένο (Weynand κ.ά., 1995). Εφόσον η µη γραµµική καµπύλη Μ φ του νέου Παραρτήµατος J (εφεξής θα αναφέρεται ως Παράρτηµα J), δεν περιορίζεται από τη στροφική ικανότητα Φ cd, µπορεί και αποτελείται από τρία τµήµατα (Σχήµα 3.13). Έως τη στάθµη των 2/3 της αντοχής σχεδιασµού Μ j,rd, η καµπύλη είναι γραµµική ελαστική και η δυσκαµψία που αντιστοιχεί στην περιοχή αυτή λέγεται αρχική δυσκαµψία S j,ini. Μεταξύ των 2/3 Μ j,rd και της Μ j,rd, η καµπύλη εµφανίζεται µη γραµµική. Τέλος, µετά από τη στάθµη της Μ j,rd, δηλαδή µετά τη διαρροή, εµφανίζεται ένας οριζόντιος κλάδος, ενώ το πέρας της καµπύλης Μ φ αντιστοιχεί στη στροφική ικανότητα Φ Cd του κόµβου. Το µοντέλο που προβλέπει το Παράρτηµα J, υποθέτει ένα σταθερό λόγο ανάµεσα στην αρχική δυσκαµψία S j,ini και στην τέµνουσα δυσκαµψία στο σηµείο τοµής µεταξύ του µη γραµµικού τµήµατος και του οριζόντιου κλάδου (δυσκαµψία S j αντιστοιχούσα σε ροπή M j,rd ). Για συγκολλητούς κόµβους και κόµβους µε µετωπική πλάκα, ο λόγος αυτός ισούται µε 3, ενώ για κόµβους µε γωνιακά πελµάτων είναι 3.5. Η µορφή του µη γραµµικού τµήµατος της καµπύλης (µεταξύ Μ j,rd και 2/3 Μ j,rd ), υπολογίζεται µε την παρακάτω εξίσωση παρεµβολής:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 74 Σχήµα 3.13: Μη γραµµική καµπύλη Μ - φ κατά το Παράρτηµα J (CEN, 1994) S j Sj,ini = (3.33) ψ 1.5 Mj,Sd M j,rd όπου: ψ = 2.7 για συγκολλητούς κόµβους και κόµβους µε µετωπική πλάκα και 3.1 για κόµβους µε γωνιακά πελµάτων. Όπως είναι φανερό, η τιµή της δυσκαµψίας S j εξαρτάται από την τιµή της ροπής M j,sd (Weynand κ.ά., 1995). 3.5.2 Μοντέλα κόµβων που ανταποκρίνονται στην πραγµατική συµπεριφορά Σύµφωνα µε τις σύγχρονες αντιλήψεις, δύο πηγές παραµόρφωσης ξεχωρίζουν σε κάθε κόµβο. Η πρώτη αφορά στη σύνδεση, δηλαδή την εισαγωγή του φορτίου στο υποστύλωµα µέσω των συνδετικών στοιχείων και η δεύτερη αφορά στη διάτµηση, δηλαδή τη διατεµνόµενη ζώνη στον κορµό του υποστυλώµατος εξαιτίας της µη ισορροπίας των ροπών µεταξύ των εκατέρωθεν του υποστυλώµατος δοκών. Έτσι, για να αναπαρασταθεί σωστά ένας αµφίπλευρος κόµβος δοκού υποστυλώµατος χρειάζονται τρεις καµπύλες Μ φ, από µία για την αναπαράσταση καθεµιάς σύνδεσης και ακόµη µία για τη ζώνη διάτµησης (Σχήµα 3.14). Αντίθετα, ένας µονόπλευρος κόµβος χρειάζεται δύο καµπύλες για την αναπαράσταση της στροφικής συµπεριφοράς του: µία για τη σύνδεση και µία για τη ζώνη διάτµησης. Το Σχήµα 3.14 δείχνει µια πετυχηµένη αναπαράσταση της πραγµατικής συµπεριφοράς ενός κόµβου µε χρήση των ονοµαζόµενων «µοντέλων κόµβων µε πεπερασµένες διαστάσεις». Αν το λογισµικό που χρησιµοποιείται για την ανάλυση των πλαισίων δε διαθέτει εσωτερικό στροφικό ελατήριο στους κόµβους, το οποίο να αποδίδει την πραγµατική συµπεριφορά τους, µπορεί κανείς να χρησιµοποιήσει το παρακάτω τέχνασµα, υποκαθιστώντας το στροφικό ελατήριο του κόµβου µε ένα βραχύ στοιχείο που ο συνδυασµός του µήκους, των αδρανειακών χαρακτηριστικών και του µέτρου ελαστικότητάς του αντιστοιχεί στη στροφική συµπεριφορά του κόµβου.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 75 Σχήµα 3.14: Μοντέλο κόµβου ανταποκρινόµενο στην πραγµατική συµπεριφορά του κόµβου Στο Σχήµα 3.15 φαίνεται πώς προκύπτει η ισοδύναµη δυσκαµψία του βραχέος στοιχείου αυτού, µε την παραδοχή σταθερής ροπής κάµψης κατά µήκος του. Πρέπει να σηµειωθεί ότι όσο το µήκος αυτό ελαττώνεται, ελαττώνεται παράλληλα και το σφάλµα της προσέγγισης (Huber κ.ά., 1998). Σχήµα 3.15: Ισοδύναµο βραχύ στοιχείο αντί του στροφικού ελατηρίου 3.5.3 Απλοποιηµένο µοντέλο κόµβου Για λόγους απλότητας στην καθηµερική πρακτική των µελετών, ο Ευρωκώδικας 3 (CEN, 1997) έχει εισαγάγει ένα απλοποιηµένο µοντέλο, που διακρίνεται για τις παρακάτω δύο διαφοροποιήσεις σε σχέση µε αυτό που ανταποκρίνεται στην πραγµατική συµπεριφορά: Η πρώτη διαφοροποιήση αφορά στην παραδοχή κατά την οποία η παραµόρφωση της διατεµνόµενης ζώνης χωρίζεται σε αριστερό και δεξιό τµήµα. Mετά το διαχωρισµό, κάθε τµήµα συνδυάζεται µε τις αριστερές ή δεξιές συνδέσεις για να παραχθούν έτσι δύο ολικά ελατήρια κόµβων. Αυτός ο µερισµός των καµπυλών Μ φ της ζώνης διάτµησης, εξαρτάται από τη σχέση των ροπών εκατέρωθεν του υποστυλώµατος. Ο Ευρωκώδικας 3 (CEN, 1997) παρέχει επίσης τιµές για την παράµετρο µετασχηµατισµού β, η οποία παρουσιάζεται αναλυτικότερα στο σχετικό κεφάλαιο (Σχήµα 3.16).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 76 Σχήµα 3.16: Απλοποιηµένο µοντέλο κόµβου Η δεύτερη διαφοροποίηση αφορά στη θέση των ελατηρίων. Σε αντίθεση µε τα µοντέλα των κόµβων µε πεπερασµένες διαστάσεις στους οποίους τα ελατήρια των συνδέσεων βρίσκονται στις πλευρές των κόµβων, στο απλοποιηµένο µοντέλο, τα ελατήρια της διάτµησης και των συνδέσεων µετατίθενται στο σηµείο τοµής των αξόνων δοκών - υποστυλώµατος. Εδώ διαµείβεται ένα «παιχνίδι» δυσκαµψιών και ανάπτυξης ροπής: Από τη µια πλευρά, η ροπή κάµψης αυξάνει από την παρειά του κόµβου έως το σηµείο τοµής των αξόνων, ενώ αντιθέτως η ευκαµψία της κατά παραδοχή επεκτεταµένης δοκού στο εσωτερικό του κόµβου, συνεπάγεται λιγότερο δύσκαµπτη σύνδεση από ότι ισχύει στην πραγµατικότητα και κατά συνέπεια µείωση της ροπής. Έτσι, για να αποµειωθεί το λάθος αυτής της απλοποιητικής προσέγγισης, η µετάθεση του ελατηρίου χρειάζεται ένα «ελατήριο µετασχηµατισµού», η σηµασία του οποίου αυξάνει όσο µεγαλώνουν οι διαστάσεις του κόµβου σε σχέση µε το µήκος του ανοίγµατος (Huber κ.ά., 1998). To Σχήµα 3.17 δείχνει την στροφική συµπεριφορά ενός κόµβου δοκού υποστυλώµατος µε την προσέγγιση και των δύο µοντέλων: αυτού που ανταποκρίνεται στην πραγµατική συµπεριφορά και του απλοποιηµένου µοντέλου του Ευρωκώδικα 3 (CEN, 1997).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 77 Σχήµα 3.17: Συγκριτική παρουσίαση µοντέλου κόµβου που ανταποκρίνεται στην πραγµατική συµπεριφορά και απλοποιηµένου µοντέλου κόµβου Η στροφή του βραχέος τµήµατος της δοκού που επεκτείνεται στο εσωτερικό του κόµβου δίνεται ως εξής: Φ δοκού ΜC + ML = (3.34) 2 S j,δοκού η δε στροφή του κόµβου στο σηµείο τοµής των αξόνων δοκού υποστυλώµατος (Φ C ), σε σχέση µε τη στροφή του κόµβου στην παρειά (Φ L ) και τη στροφή εξαιτίας του βραχέος τµήµατος της δοκού στο εσωτερικό του κόµβου (Φ δοκού ), προκύπτει ως εξής (Tschemmernegg κ.ά., 1996): Φ C = Φ L Φ δοκού (3.35) 3.5.4 Πεδίο εφαρµογής της µεθόδου των συστατικών Η µέθοδος των συστατικών αφορά (σύµφωνα µε τις επιταγές του Ευρωκώδικα 3 (CEN, 1997) σε στατικές φορτίσεις. Προϋποθέτει χαµηλή τιµή σχεδιασµού σε εφελκυσµό N sd στις δοκούς (N sd / N pl < 0.1, όπου N pl είναι η πλαστική αντίσταση σχεδιασµού σε εφελκυσµό της δοκού) και αναφέρεται σε περιπτώσεις κατά τις οποίες οι δοκοί συνδέονται στα πέλµατα των υποστυλωµάτων. Πρέπει να σηµειωθεί ακόµα, πως όταν πρόκειται για ενώσεις δοκών ή για αµφίπλευρους κόµβους δοκών υποστυλωµάτων, τότε επιτρέπονται µόνο µικρές διαφορές στο ύψος των συνδεόµενων δοκών. Η ισχύς της µεθόδου σχεδιασµού προϋποθέτει επίσης χρησιµοποίηση χάλυβα ποιότητας S235, S275 και S355 και περιλαµβάνει υψίκορµες (I) και πλατύπελµες (H) πρότυπες ή συγκολλητές διατοµές παρόµοιων διαστάσεων. Για διατοµές και χάλυβες εκτός αυτών των ορίων, απαιτείται ειδική µέριµνα για το ενδεχόµενο κύρτωσης του κορµού των υποστυλωµάτων λόγω διάτµησης. Όσον αφορά στο πλήθος των κοχλιών, στην περίπτωση προεξέχουσας µετωπικής πλάκας η µέθοδος σχεδιασµού αναφέρεται συνήθως σε έξι κοχλίες, στην περίπτωση µη προεξέχουσας σε τέσσερις και στις συνδέσεις µε γωνιακά σε κανέναν ή σε δύο κοχλίες σύνδεσης του κορµού της δοκού µε το γωνιακό. Στις ενώσεις δοκών, απαιτούνται ίδιες διαστάσεις µετωπικών πλακών ενώ τέλος, δεν υπάρχει δέσµευση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 78 σε κατηγορία κοχλιών αρκεί αυτοί να είναι ποιότητας τέτοιας που προβλέπεται από τον Ευρωκώδικα 3 (CEN, 1997). Συγκολλητός κόµβος δοκού υποστυλώµατος Κοχλιωτός κόµβος δοκού - υποστυλώµατος µε εξέχουσα µετωπική πλάκα Κοχλιωτός κόµβος δοκού - υποστυλώµατος µε µη εξέχουσα µετωπική πλάκα Κόµβος συνέχειας δοκού µε µετωπικές πλάκες Κόµβος συνέχειας δοκού µε λεπίδες κορµού και πελµάτων Κόµβος δοκού - υποστυλώµατος µε γωνιακά στήριξης πελµάτων Σχήµα 3.18: Παραδείγµατα κόµβων που προβλέπει ο Ευρωκώδικας 3 (CEN, 1997) Η µέθοδος των συστατικών καλύπτει ήδη τις διατάξεις κόµβων του Σχήµατος 3.18, αλλά έχει τη δυνατότητα να εφαρµοσθεί και στις περιπτώσεις που ακολουθούν, οι οποίες κατά το χρόνο της συγγραφής του παρόντος δεν καλύπτονται ή καλύπτονται εν µέρει από τον Ευρωκώδικα 3 (Jaspart, 1997): Kόµβοι υποκείµενοι σε ροπή κάµψης, τέµνουσα και αξονική δύναµη και βάσεις έδρασης στύλων, οι οποίες υπόκεινται σε ταυτόχρονη δράση ροπής, τέµνουσας και αξονικής δύναµης και των οποίων τα συστατικά είναι: o o o o η βάση σκυροδέµατος σε θλίψη, η πλάκα έδρασης σε κάµψη, τα αγκύρια σε εφελκυσµό και η επαφή στη διεπιφάνεια εδάφους θεµελίου.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 79 3.5.5 Mοντέλα συστατικών (µοντέλα ελατηρίων) Σύµφωνα µε τον Ευρωκώδικα 3 (CEN, 1997), ένα βασικό συστατικό ενός κόµβου είναι ένα συγκεκριµένο τµήµα του κόµβου που επηρεάζει µε κάποιον συγκεκριµένο και αναγνωρίσιµο τρόπο µία ή περισσότερες από τις δοµικές του ιδιότητες. Κατά την αναγνώριση των συστατικών που συµµετέχουν σε ένα κόµβο, µπορεί κανείς να διαχωρίσει τα συστατικά σε αυτά που καταπονούνται σε εφελκυσµό (ή κάµψη), σε θλίψη και σε διάτµηση. Ανεξάρτητα από τον τύπο της φόρτισης, τα συστατικά ξεχωρίζουν σε αυτά που συνδέονται µε τα συµβάλλοντα δοµικά στοιχεία, σε αυτά που σχετίζονται µε την εισαγωγή του φορτίου στον κορµό του υποστυλώµατος (και τα δύο συµπεριλαµβάνονται στη ζώνη σύνδεσης) και σε αυτά που αντιστοιχούν στον κορµό του υποστυλώµατος που καταπονείται από τέµνουσα. Όλοι οι κόµβοι µπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελούν ξεχωριστές ειδικές περιπτώσεις του γενικού αυτού µοντέλου. Ωστόσο, το Παράρτηµα J παρέχει στοιχεία για τρεις τύπους συνδέσεων: κοχλιωτής µε µετωπική πλάκα, κοχλιωτής µε γωνιακά στήριξης πελµάτων και συγκολλητής. Ο Πίνακας 3.5 δείχνει τα συστατικά που πρέπει να λαµβάνονται υπόψη στον υπολογισµό της αρχικής δυσκαµψίας αυτών των συνδέσεων. Σύµφωνα µε τη θεώρηση του Παραρτήµατος J, συστατικά των οποίων οι παραµορφώσεις περιλαµβάνονται στις παραµορφώσεις της δοκού και κατά συνέπεια δε χρειάζεται να λαµβάνονται υπόψη στον υπολογισµό της στροφικής δυσκαµψίας S j των κόµβων είναι: Συστατικό Αριθµός k i το πέλµα και ο κορµός της δοκού σε θλίψη, ο κορµός της δοκού σε εφελκυσµό και Με µετωπική πλάκα Με γωνιακά πελµάτων η µετωπική πλάκα σε εφελκυσµό ή θλίψη (Weynand κ.ά., 1995). Συγκολλητός Κορµός υποστυλώµατος σε διάτµηση 1 x x X Κορµός υποστυλώµατος σε θλίψη 2 x x X Πέλµα υποστυλώµατος σε κάµψη 3 x x Κορµός υποστυλώµατος σε εφελκυσµό 4 x x X Μετωπική πλάκα σε κάµψη 5 x Γωνιακό πέλµατος σε κάµψη 6 x Κοχλίες σε εφελκυσµό 7 x x Κοχλίες σε διάτµηση 8 x Κοχλίες σε σύνθλιψη άντυγας 9 x Πίνακας 3.5: Επισκόπηση συστατικών για υπολογισµό της αρχικής δυσκαµψίας S j,ini των κόµβων κατά το Παράρτηµα J του Ευρωκώδικα 3 (CEN, 1997) Η εξοικίωση µε τα µοντέλα των ελατηρίων (τα µοντέλα των συστατικών) τα οποία αντιπροσωπεύουν τις αλληλεπιδράσεις όλων των παραµορφώσεων, δηµιουργεί τις προϋποθέσεις ώστε να προκύψουν αβίαστα οι αρχές του οικονοµικού σχεδιασµού των κόµβων αναφορικά µε τη δυσκαµψία, την αντοχή, τα είδη της αστοχίας και την

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 80 πλαστιµότητά τους. Αν για παράδειγµα, θεωρήσουµε ένα συγκεκριµένο συστατικό µε δεδοµένη αντοχή και ικανότητα παραµόρφωσης, είναι αυτονόητο ότι µεγαλώνοντας το µοχλοβραχίονα των δυνάµεων τότε, καθώς αυξάνεται η αντοχή του κόµβου σε κάµψη, µειώνεται η στροφική του ικανότητα. Η διαθέσιµη αντοχή της θλιβόµενης ζώνης όταν υπερβαίνει σε µεγάλο βαθµό την αντοχή της εφελκυόµενης ζώνης οδηγεί σε αντιοικονοµικό αποτέλεσµα στο σχεδιασµό του κόµβου. Παράλληλα, η ενίσχυση των συνδεόµενων µελών δε συντελεί στην αύξηση της φέρουσας ικανότητας των κόµβων, στην περίπτωση που η αστοχία εξαρτάται από την αντοχή του κορµού του υποστυλώµατος σε θλίψη, εφελκυσµό ή διάτµηση. Τα προαναφερόµενα παραδείγµατα καταδεικνύουν την αναγκαιότητα της χρήσης της µεθόδου των συστατικών για την ακριβέστερη εκτίµηση της συµπεριφοράς των κόµβων. Γενικά, «αποτελεσµατικότερος» κόµβος είναι εκείνος που εξαιτίας της πλαστικής ανακατανοµής της έντασης στο εσωτερικό του, όλα τα στοιχεία του αγγίζουν το όριο θραύσης τους (µέσα στην πλαστική περιοχή) και ταυτόχρονα παρέχει ένα υψηλότερο επίπεδο διαρροής λόγω της ανακατανοµής της έντασης στο σύνολο της κατασκευής. 3.5.6 Σύνθεση συστατικών Η µετατροπή των καµπυλών δύναµης µετατόπισης καθενός από τα βασικά συστατικά των κόµβων σε καµπύλες ροπής στροφής των συνδέσεων ή της περιοχής διάτµησης, οφείλει να βασίζεται στο µοντέλο των συστατικών και να ικανοποιεί τις συνθήκες συµβιβαστού και ισορροπίας. Έτσι διασφαλίζεται ότι το µοντέλο του κόµβου πεπερασµένων διαστάσεων συµπεριφέρεται ακριβώς όπως το σύνθετο µοντέλο των συστατικών σε σχέση µε τις εφαρµοζόµενες ροπές. Ανάλογα µε τον επιδιωκόµενο βαθµό ακρίβειας, η σύνθεση µπορεί να γίνει µόνο για τις κύριες χαρακτηριστικές τιµές κάµψης (αρχική δυσκαµψία, ροπή αντοχής, στροφική ικανότητα) ή να προχωρήσει ως την πλήρη µορφή των καµπυλών Μ φ που θα προκύψουν. Κατά τη διαδικασία της σύνθεσης, εξάγονται τα µηχανικά χαρακτηριστικά του συνόλου του κόµβου από τα χαρακτηριστικά των διακριτών συστατικών του. Προϋποτίθεται βέβαια η αρχική κατανοµή των δυνάµεων που ενεργούν στον κόµβο, στις εσωτερικές δυνάµεις που ενεργούν στα συστατικά µε τρόπο που να ικανοποιεί τις συνθήκες ισορροπίας και να αντιστοιχεί στη συµπεριφορά των συστατικών. Αξίζει να σηµειωθεί, ότι η σύνθεση του λεπτοµερούς µοντέλου συστατικών µπορεί να οδηγήσει σε κύκλους επανάληψης εξαιτίας της περίπλοκης αλληλεπίδρασης των συστατικών µεταξύ τους. Αυτό αποφεύγεται µε τη χρήση του απλοποιηµένου µοντέλου του Eυρωκώδικα 3, σύµφωνα µε το οποίο το άθροισµα όλων των βασικών ελατηρίων των συστατικών προκύπτει µε την εν σειρά σύνθεσή τους (CEN, 1997). Η σύνθεση δύο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 81 ελατηρίων σε σειρά σύµφωνα µε τη Μηχανική φαίνεται στο Σχήµα 3.19 (Huber κ.ά., 1998). Αντοχή: F = min [F 1, F 2 ] υσκαµψία: 1/C = 1/C 1 +1/C 2 Στροφική ικανότητα: w u = w 1 + w 2 Σχήµα 3.19: Σύνθεση ελατηρίων σε σειρά 3.5.7 Εξιδανίκευση καµπύλης Μ - φ Ανάλογα µε το διαθέσιµο λογισµικό, τόσο το πλήρες µη γραµµικό διάγραµµα ροπών στροφών των κόµβων, όσο και τα πολυγραµµικά απλοποιηµένα διαγράµµατα, µπορούν να περιγραφούν από αντίστοιχα ελατήρια. Είναι αυτονόητο ότι τα απαιτούµενα δεδοµένα εισαγωγής και οι απαιτούµενες δυνατότητες του λογισµικού αυξάνουν, όσο υψηλότερος είναι ο βαθµός ακρίβειας που επιδιώκεται. Βέβαια, η πλήρης µη γραµµική καµπύλη Μ φ δεν προσφέρεται για την καθηµερινή πράξη στην εκπόνηση µελετών φέροντος οργανισµού. Άλλωστε, η ίδια µπορεί να εξιδανικευτεί µε ικανοποιητική προσέγγιση σε όρους ακρίβειας, ακόµα και µε χρήση της συντηρητικής παραδοχής κατά την οποία κάθε γραµµή που βρίσκεται κάτω από τη µη γραµµική καµπύλη µπορεί να χρησιµοποιηθεί στην ανάλυση. Η πιο συνηθισµένη εξιδανίκευση είναι η γραµµική τέλεια πλαστική απεικόνιση (Σχήµα 3.20.α). Η τελευταία διαθέτει το πλεονέκτηµα της σχετικής οµοιότητας µε αυτή που «παραδοσιακά» χρησιµοποιείται για την προσοµοίωση των µελών που καταπονούνται σε κάµψη (Σχήµα 3.20.β). Η ροπή M j,rd που αντιστοιχεί στον οριζόντιο κλάδο ονοµάζεται «ροπή αντοχής σχεδιασµού» του κόµβου στον Ευρωκώδικα 3 (CEN, 1997). Θα µπορούσε να εκληφθεί ως ψευδο-πλαστική ροπή αντοχής του κόµβου. Σίγουρο είναι πάντως, πως αµελούνται τα φαινόµενα κράτυνσης και µεµβράνης, τα οποία δικαιολογούν τη διαφορά στο Σχήµα 3.20 µεταξύ της µορφής της πραγµατικής καµπύλης Μ φ και του οριζόντιου κλάδου του διγραµµικού διαγράµµατος.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 82 Σχήµα 3.20: ιγραµµικά διαγράµµατα ροπών στροφών Για την εξιδανίκευση της πραγµατικής καµπύλης Μ φ σε απλούστερη µορφή έχουν εφαρµοσθεί διάφοροι τρόποι (βλ. 2.3.1). Η επιλογή καθενός από αυτούς εξαρτάται από το είδος της ανάλυσης που πραγµατοποιείται. Τρεις τέτοιες εξιδανικεύσεις της πραγµατικής καµπύλης Μ φ αναπτύσσονται παρακάτω (Jaspart, 1997). Ελαστικό διάγραµµα για χρήση σε ελαστική ανάλυση (Σχήµα 3.21) Στην περίπτωση αυτή το κύριο χαρακτηριστικό είναι η σταθερή στροφική δυσκαµψία. Το Παράρτηµα J προβλέπει δύο περιπτώσεις: Ελαστικός έλεγχος της αντοχής του κόµβου (Σχήµα 3.21.α): Η σταθερή στροφική δυσκαµψία λαµβάνεται ίση µε την αρχική δυσκαµψία S j,ini. Μετά την ανάλυση του πλαισίου, πρέπει να ελεχθεί αν η αναπτυσσόµενη ροπή M sd στον κόµβο, είναι µικρότερη από την ελαστική αντοχή του κόµβου που ισούται µε 2/3 Μ j,rd, και Πλαστικός έλεγχος της αντοχής του κόµβου (Σχήµα 3.21.β): Η σταθερή στροφική δυσκαµψία λαµβάνεται ίση µε µια ιδεατή δυσκαµψία, η τιµή της οποίας βρίσκεται µεταξύ της αρχικής και της τέµνουσας δυσκαµψίας που αντιστοιχεί στη ροπή M j,rd. Aυτή η δυσκαµψία ισούται µε S j,ini / η. O συντελεστής µεταβολής δυσκαµψίας «η» εξαρτάται αφενός από τον τύπο του κόµβου (συγκόλληση, µε κοχλιωτή µετωπική πλάκα, µε κοχλιωτά γωνιακά πελµάτων κτλ.) και αφετέρου από το είδος της ένωσης (δοκός σε υποστύλωµα κτλ) και κυµαίνεται µεταξύ 2 και 3.5. Aυτή η ιδεατή δυσκαµψία του κόµβου είναι µόνιµη για τις τιµές των ροπών που είναι µικρότερες από τη ροπή αντοχής του κόµβου Μ j,rd.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 83 Σχήµα 3.21: Γραµµική απεικόνιση της καµπύλης Μ φ Τέλειο πλαστικό διάγραµµα για χρήση σε τέλεια πλαστική ανάλυση (Σχήµα 3.22) Στην περίπτωση αυτή χρειάζεται µόνο η αντοχή σχεδιασµού M j,rd. Επίσης, για να µπορέσουν να αναπτυχθούν πιθανές πλαστικές αρθρώσεις στις θέσεις των κόµβων, χρειάζεται να ελεγχθεί αν αυτοί διαθέτουν επαρκή στροφική ικανότητα. Σχήµα 3.22: Τέλεια πλαστική απεικόνιση της καµπύλης Μ φ Μη γραµµικό διάγραµµα για χρήση στην ελαστική πλαστική ανάλυση (Σχήµα 3.23) Στην περίπτωση αυτή τα χαρακτηριστικά αντοχής και δυσκαµψίας είναι ισοδύναµης σπουδαιότητας. Τα πιθανά διαγράµµατα κυµαίνονται µεταξύ διγραµµικών και τριγραµµικών απεικονίσεων καθώς και της πλήρους µη γραµµικής καµπύλης. Όµοια µε την προηγούµενη περίπτωση, χρειάζεται επιβεβαίωση για την ύπαρξη επαρκούς στροφικής ικανότητας στις θέσεις πιθανών των πλαστικών αρθρώσεων (Jaspart, 1997).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 84 Σχήµα 3.23: Μη γραµµικές απεικονίσεις της καµπύλης Μ φ 3.5.8 Αρχές της µεθόδου των συστατικών διάγραµµα ροής Η πρωτοτυπία της µεθόδου των συστατικών βασίζεται στη θεώρηση του κόµβου ως ενός συνόλου από διαφορετικά θεµελιώδη συστατικά. Κάθε συστατικό αποτελεί µία οντότητα που επιτελεί µια συγκεκριµένη λειτουργία. Για έναν κοχλιωτό κόµβο µε µη προεξέχουσα µετωπική πλάκα ο οποίος υπόκειται σε καµπτική ροπή (Σχήµα 3.24), τα εµπλεκόµενα συστατικά είναι: στη θλιβόµενη ζώνη: κορµός υποστυλώµατος, πέλµα δοκού και κορµός δοκού σε θλίψη, στην εφελκυόµενη ζώνη: κορµός υποστυλώµατος σε εφελκυσµό, πέλµα υποστυλώµατος σε κάµψη, κοχλίες σε εφελκυσµό, µετωπική πλάκα σε κάµψη και κορµός δοκού σε εφελκυσµό και τέλος στη διατεµνόµενη ζώνη: κορµός υποστυλώµατος σε διάτµηση. M Σχήµα 3.24: Κοχλιωτός κόµβος µε µη εξέχουσα µετωπική πλάκα καταπονούµενος από ροπή Καθένα από αυτά τα βασικά συστατικά διαθέτει τα δικά του χαρακτηριστικά αντοχής (F Rd,i ) και δυσκαµψίας (µε συντελεστή k i ) σε εφελκυσµό, θλίψη ή διάτµηση, καθώς υποβάλλεται στα αντίστοιχα εντατικά µεγέθη και παραµορφώσεις. Οι παραµορφώσεις των συγκολλήσεων µεταξύ της µετωπικής πλάκας και της δοκού είναι αµελητέες, κατά συνέπεια η συνεισφορά τους στη συνολική δυσκαµψία του κόµβου µπορεί να αγνοηθεί. Επίσης, η ψαθυρή συµπεριφορά των ραφών σε οριακή κατάσταση αντοχής, οδηγεί στο συµπέρασµα ότι η αστοχία ενός κόµβου εξαιτίας αυτού του

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 85 φαινοµένου πρέπει οπωσδήποτε να αποφεύγεται µέσω κατάλληλης διαστασιολόγησης. Για το λόγο αυτόν, οι ραφές συγκόλλησης δε θεωρούνται συστατικά. Η κατανοµή των τάσεων κατά µήκος του άξονα της δοκού διαφέρει σηµαντικά µεταξύ διατοµών που βρίσκονται κοντά στους κόµβους και άλλων που βρίσκονται µακρυά από αυτούς. Έτσι το πέλµα και ο κορµός της δοκού σε θλίψη καθώς και ο κορµός της δοκού σε εφελκυσµό εµπίπτουν στα συστατικά. Αντίθετα, ο έλεγχος του πέλµατος της δοκού σε εφελκυσµό, καλύπτεται από τους συνήθεις ελέγχους της διατοµής της. Έτσι, επειδή η παραµόρφωση αυτού του συστατικού των δοκών εµπεριέχεται ήδη στον υπολογισµό της καµπτικής δυσκαµψίας τους, δε συνυπολογίζεται και στην ενδοτικότητα του κόµβου. Η συνύπαρξη διάφορων συστατικών µέσα στο ίδιο στοιχείο κόµβου, π.χ. ο κορµός του υποστυλώµατος που υποβάλλεται ταυτόχρονα σε θλίψη (ή εφελκυσµό) και διάτµηση, οδηγεί αναπόφευκτα σε αλληλεπιδράσεις τάσεων που είναι πιθανό να µειώσουν την αντοχή και δυσκαµψία των βασικών συστατικών. Αν και η αλληλεπίδραση αυτή µπορεί να επηρεάσει την καµπύλη παραµόρφωσης των σχετικών συστατικών, ωστόσο δεν παραβιάζει τις αρχές της µεθόδου των συστατικών. Η αρχική δυσκαµψία S j,ini του κόµβου προκύπτει από την ελαστική δυσκαµψία των συστατικών, η οποία αντιπροσωπεύεται από ένα ελατήριο. Η σχέση δύναµης µετατόπισης καθενός ελατηρίου δίνεται ως εξής: F i = k i x E x i (3.36) όπου F i = η δύναµη του ελατηρίου i, k i = ο συντελεστής δυσκαµψίας του συστατικού i, E = το µέτρο ελαστικότητας του υλικού και i = η παραµόρφωση του ελατηρίου i. Συνοπτικά, η εφαρµογή της µεθόδου ακολουθεί τα εξής βήµατα: 1. αναγνώριση των ενεργών συστατικών του κόµβου που εξετάζεται, 2. καθορισµός των χαρακτηριστικών παραµόρφωσης και αντοχής των συστατικών και ειδικότερα υπολογισµός των τιµών της δυσκαµψίας (k i ) και αντοχής (F Rd,i ) καθενός ξεχωριστά από αυτά τα συστατικά, και 3. σύνθεση των ιδιοτήτων των συστατικών µε σκοπό τον υπολογισµό των τιµών της δυσκαµψίας (S joint ) ή αντοχής (M Rd ) του συνολικού κόµβου. Στα βήµατα 2 και 3 µόνο συγκεκριµένα χαρακτηριστικά, όπως η αρχική δυσκαµψία ή η αντοχή σχεδιασµού ενδέχεται να απαιτηθούν, εναλλακτικά βέβαια µπορεί να καθορισθεί όλη η καµπύλη φορτίου παραµόρφωσης. Η δυσκαµψία και η αντοχή σχεδιασµού των συνδέσεων υπολογίζονται βάσει συγκεκριµένων σχέσεων που παρατίθενται στη συνέχεια. Αρχική δυσκαµψία:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 86 S joint,ini = E x z 2 / n i= 1 1/ki (3.37) όπου z είναι ο µοχλοβραχίονας και n είναι το πλήθος των σχετικών συστατικών για τη συγκεκριµένη σύνδεση. Ονοµαστική δυσκαµψία: S joint = S joint,ini / 2 (3.38) για κόµβο δοκού υποστυλώµατος και S joint = S joint,ini / 3 (3.39) για αποκατάσταση συνέχειας δοκού. Πλαστική ροπή σχεδιασµού: F Rd = min [F Rd,i ] (3.40) και M Rd = F Rd x z. (3.41) Ελαστική ροπή σχεδιασµού: M e = 2 / 3 minm Rd. (3.42) Ο υπολογισµός της αρχικής δυσκαµψίας παρουσιάζεται αναλυτικότερα στις δύο περιπτώσεις κόµβων που ακουλουθούν. Μοντέλο ελατηρίων σε µη ενισχυµένο συγκολλητό κόµβο Τα συστατικά των ελατηρίων, κατά τα γνωστά, συνδυάζονται σε ένα µοντέλο ελατηρίων. Η δύναµη καθενός ελατηρίου ισούται µε F i (εξίσωση 3.36). Η ροπή M j που επιβάλλεται στο µοντέλο των ελατηρίων (Σχήµα 3.25), ισούται µε F i x z, όπου z είναι η απόσταση µεταξύ του κέντρου του εφελκυσµού (το κέντρο του εφεκλυόµενου πέλµατος), και του κέντρου της θλίψης (το κέντρο του θλιβόµενου πέλµατος). Η στροφή του κόµβου Φ j ισούται µε ( 1 + 2 + 4 ) / z, δηλαδή: M 2 2 j F x z F x z E x z S j,ini = = = = (3.43) Φ j F 1 1 i x E k z i ki

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 87 Aς σηµειωθεί εδώ, ότι η ίδια εξίσωση ισχύει και στην περίπτωση των κόµβων µε µετωπική πλάκα και µια σειρά εφελκυόµενων κοχλιών καθώς και στην περίπτωση των κόµβων µε γωνιακά στήριξης πελµάτων, µολονότι στις περιπτώσεις αυτές τα συστατικά διαφέρουν (Πίνακας 3.5). Σχήµα 3.25: Μοντέλο ελατηρίων σε µη ενισχυµένο συγκολλητό κόµβο Μοντέλο ελατηρίων σε κοχλιωτό κόµβο δοκού υποστυλώµατος µε µετωπική πλάκα Στο Σχήµα 3.26.α φαίνεται ένας κοχλιωτός κόµβος δοκού υποστυλώµατος µε µετωπική πλάκα και δύο σειρές κοχλιών σε εφελκυσµό. Παραδεχόµαστε ότι οι παραµορφώσεις των σειρών των κοχλιών είναι ανάλογες των αποστάσεων από το κέντρο της θλίψης, αλλά οι ελαστικές δυνάµεις κάθε σειράς εξαρτώνται από τη δυσκαµψία των συστατικών. Σχήµα 3.26: Μοντέλο ελατηρίων σε κοχλιωτό κόµβο δοκού υποστυλώµατος µε µετωπική πλάκα και δύο σειρές κοχλιών σε εφελκυσµό Το Σχήµα 3.26.β δείχνει πώς οι παραµορφώσεις για κάθε σειρά κοχλιών των συστατικών 3,4,5 και 7 προστίθενται σε ένα ενιαίο ελατήριο για κάθε σειρά κοχλιών, µε ένα ενιαίο συντελεστή δυσκαµψίας k eff,r (το r υποδηλώνει τη σειρά των κοχλιών). Συνακόλουθα, το Σχήµα 3.26.γ δείχνει πώς αυτά τα παράγωγα ενιαία ελατήρια αντικαθίστανται από ένα ισοδύναµο νέο ελατήριο που δρά µε µοχλοβραχίονα z. O συντελεστής δυσκαµψίας αυτού του ισοδύναµου ελατηρίου είναι ο k eq και µπορεί να εισαχθεί άµεσα στην εξίσωση 3.43. Παράλληλα, οι αναλυτικές σχέσεις για τον καθορισµό

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 88 των k eff,r, k eq και z όπως δίνονται στο Παράρτηµα J, µπορούν να εξαχθούν απευθείας από τα σκαριφήµατα του Σχήµατος 3.26. Οι σχέσεις αυτές βασίζονται στο ότι η στροφική συµπεριφορά καθενός συστήµατος από αυτά που εικονίζονται στο εν λόγω σχήµα είναι η ίδια. Επιπρόσθετα, ίδια είναι και η θλιπτική δύναµη που υφίσταται η κάτω άκαµπτη ράβδος σε όλα αυτά τα συστήµατα. 3.5.9 Καθορισµός των συντελεστών δυσκαµψίας k i Γενικά για το «βραχύ Τ» Κατά τη διαδικασία υπολογισµού της αντοχής σύµφωνα µε το Παράρτηµα J, τα ακόλουθα τρία συστατικά εξιδανικεύονται ως «βραχέα Τ» (Σχήµα 3.27): το πέλµα του υποστυλώµατος σε κάµψη, η µετωπική πλάκα σε κάµψη, και το γωνιακό του άνω πέλµατος σε κάµψη. Σχήµα 3.27: Εξιδανικεύσεις µε χρήση του βραχέος Τ Καταρχήν, γίνεται η παραδοχή της στήριξής τους µέσω κοχλιών σε άπειρα άκαµπτη βάση (Σχήµατα 3.28 και 3.29.α). Το ονοµαζόµενο «ενεργό µήκος l eff» είναι τέτοιο, ώστε οι τρόποι αστοχίας και τα αντίστοιχα φορτία κατάρρευσης να ανταποκρίνονται στα πραγµατικά συστατικά του κόµβου. Η έννοια του «ισοδύναµου βραχέος Τ» για τον υπολογισµό της αντοχής, είναι εύκολη στη χρήση και επιτρέπει τον υπολογισµό κάθε επιφανειακού συστατικού µε την ίδια οµάδα εξισώσεων. Παράλληλα, το «βραχύ Τ» µπορεί να χρησιµοποιηθεί στο υπολογισµό της δυσκαµψίας (Σχήµατα 3.28 και 3.29). Η αντιστοιχία µεταξύ του πραγµατικού συστατικού και του ισοδύναµου βραχέος Τ στην ελαστική περιοχή συµπεριφοράς (αρχική δυσκαµψία), εκφράζεται ωστόσο, µε διαφορετικό τρόπο από ότι στην κατάρρευση και έτσι χρειάζεται τον καθορισµό ενός νέου ισοδύναµου µήκους l eff,ini. Έτσι, για να υπολογίσουµε τους συντελεστές δυσκαµψίας k i, πρέπει πρώτα να αντιµετωπίσουµε τα εξής δύο ζητήµατα:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 89 1. την απόκριση του βραχέος Τ στην ελαστική περιοχή συµπεριφοράς και 2. τον υπολογισµό του l eff,ini (Weynand κ.ά., 1995). Σχήµα 3.28: Βραχύ Τ σε άκαµπτη βάση Ελαστική συµπεριφορά του βραχέος Τ Όταν το βραχύ Τ υποβάλλεται σε εφελκυστικές δυνάµεις, το πέλµα του υφίσταται ροπή κάµψης και οι κοχλίες κυρίως εφελκυσµό (Σχήµα 3.29.α). Εξαιτίας της πολυπλοκότητας των εξισώσεων που περιγράφουν τη συµπεριφορά του συστήµατος, έχουν εισαχθεί διάφορες απλοποιήσεις (Yee και Melchers, 1986, Jaspart, 1991), oι οποίες: απλοποιούν τις σχέσεις: τo n εξισώνεται µε 1.25 m (όπου n και m φαίνονται στο Σχήµα 3.29.α), και διαχωρίζουν την παραµόρφωση των κοχλιών (Σχήµα 3.29.γ) από αυτήν του βραχέος Τ (Σχήµα 3.29.β). Mε τις προϋποθέσεις αυτές µπορεί να δειχθεί ότι: για το βραχύ Τ (Σχήµα 3.29.β): 3 leff,ini x t k 3,5,6 = (3.44) 3 m και για τους κοχλίες (Σχήµα 3.29.γ): As k 7 = 1.6 (3.45) L b όπου Α s = η επιφάνεια ενεργού διατοµής του κοχλία, L b = το µήκος του κοχλία (περιλαµβάνει το µισό ύψος της κεφαλής και του περικοχλίου), και t = το πάχος του πέλµατος του βραχέος Τ. Οι δείκτες των συντελεστών k i αντιστοιχούν στους αριθµούς των συστατικών του Πίνακα 3.5. Μολονότι στην εξίσωση 3.45 θα περίµενε κανείς το συντελεστή 2.0 αντί του 1.6, η τιµή 1.6 είναι ορθότερη γιατί λαµβάνει υπόψη και τη δράση µοχλού του πέλµατος του βραχέος Τ.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 90 Σχήµα 3.29: Ελαστικές παραµορφώσεις του βραχέος Τ Υπολογισµός του ενεργού µήκους l eff,ini Στο Σχήµα 3.29.β η µέγιστη ροπή του πέλµατος του βραχέος Τ (σηµεία Α), προκύπτει ως εξής: M max = 0.322 F x m. Βάσει αυτής της σχέσης και µε την προϋπόθεση ότι η πρώτη πλαστική άρθρωση θα δηµιουργηθεί στα σηµεία Α του βραχέος Τ, το µέγιστο ελαστικό φορτίο F el που µπορεί να αναλάβει το βραχύ Τ είναι: 2 2 4 leff,ini t x fy leff,ini x t F el = x = fy (3.46) 1.288 m 4 1.288 m Στο Παράρτηµα J, ο λόγος της αντοχής σχεδιασµού προς τη µέγιστη ελαστική αντοχή καθενός από τα συστατικά λαµβάνεται ίσος µε 3/2, έτσι: 2 3 leff,ini x t F Rd = Fel = fy (3.47) 2 0.859 m Καθώς τα πέλµατα του βραχέος Τ συγκρατιούνται στις θέσεις των κοχλιών (Σχήµα 3.29.β), o µόνος δυνατός τρόπος αστοχίας είναι η ανάπτυξη πλαστικού µηχανισµού στα πέλµατα. Το σχετικό φορτίο αστοχίας δίνεται από το Παράρτηµα J ως εξής: 2 leff x t x fy FRd = m (3.48) όπου το µήκος l eff είναι το ενεργό µήκος του βραχέος Τ στους υπολογισµούς για την εύρεση της αντοχής. Από τις σχέσεις 3.47 και 3.48 προκύπτει: l eff,ini = 0.859 l eff 0.85 l eff (3.49)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 91 Tέλος, µε την εισαγωγή της εξίσωσης 3.49 στην 3.44 προκύπτει η τιµή των συντελεστών δυσκαµψίας k 3,5,6 ως εξής (Weynand κ.ά., 1995): 3 0.85 leff x t k 3,5,6 = (3.50) 3 m Κορµός υποστυλώµατος σε διάτµηση παράµετρος µετασχηµατισµού β Όπως είναι γνωστό, κατά τη φόρτιση ενός κόµβου ο κορµός του υποστυλώµατος παραµορφώνεται εξαιτίας της δράσης της τέµνουσας (V). Αυτή η τέµνουσα δύναµη, είναι η συνισταµένη της τέµνουσας που δρα στο υποστύλωµα λόγω της συνολικής ανάλυσης του πλαισίου αφενός, και της συγκεντρωµένης τέµνουσας εξαιτίας της άµεσης εισαγωγής του φορτίου (F) αφετέρου (Σχήµα 3.30.α). Για λόγους απλούστευσης, αυτή η τέµνουσα δύναµη υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας τη δύναµη F µε την παράµετρο µετασχηµατισµού β (Σχήµα 3.30.β). Έτσι, µέσω της παραµέτρου β, λαµβάνεται υπόψη η επιρροή του κορµού του υποστυλώµατος στον προσδιορισµό της ροπής αντοχής σχεδιασµού και της στροφικής δυσκαµψίας του κόµβου. β β β Σχήµα 3.30.α: Συνισταµένη τέµνουσα V λόγω ανάλυσης πλαισίου και άµεσης εφαρµογής φορτίου Σχήµα 3.30.β: Τέµνουσα V ως γινόµενο της δύναµης F επί την παράµετρο µετασχηµατισµού β i Στην περίπτωση αµφίπλευρου κόµβου, οι τιµές των β 1 και β 2 υπολογίζονται από τις σχέσεις που ακολουθούν: για τη δεξιά πλευρά του κόµβου: M c1,sd c2,sd (3.51) M b1,sd 2Mb1,Sd β 1 = b2,sd z 1 ( V V ) για την αριστερή πλευρά του κόµβου: M c1,sd c2,sd (3.52) M b2,sd 2Mb2,Sd β 2 = b1,sd z 1 ( V V ) όπου: β 1 β 2 : η παράµετρος µετασχηµατισµού για τη δεξιά πλευρά του κόµβου, : η παράµετρος µετασχηµατισµού για την αριστερή πλευρά του κόµβου,

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 92 z 1 z 2 : ο µοχλοβραχίονας του ζεύγους των δυνάµεων F για τη δεξιά πλευρά του κόµβου και : ο µοχλοβραχίονας του ζεύγους των δυνάµεων F για την αριστερή πλευρά του κόµβου. Για συνήθη κτίρια και φορτίσεις, η τιµή β = 1 µπορεί να τεθεί ως µια ασφαλής προεκτίµηση. Βέβαια στην περίπτωση του συµµετρικού κόµβου, παρουσιάζει ενδιαφέρον µια έστω και χονδρική εκτίµηση της παραµέτρου β, επειδή στις περισσότερες περιπτώσεις 0< β <1, γεγονός που αυξάνει τη δυσκαµψία της σύνδεσης και πιθανώς την αντοχή της. Στη φάση του προκαταρκτικού σχεδιασµού, η τιµή της παραµέτρου β µπορεί να ληφθεί υπόψη µόνον κατ εκτίµηση. Με την εύρεση των εντατικών µεγεθών έπειτα από τη συνολική ανάλυση του φορέα και αφού συνυπολογισθεί η ηµιάκαµπτη συµπεριφορά των κόµβων, η παράµετρος β µπορεί να καθορισθεί ακριβέστερα και ο µελετητής να πράξει αναλόγως του αποτελέσµατος. Εποµένως: Αν β < 1, τότε τα αποτελέσµατα της ανάλυσης είναι συντηρητικά και προς το µέρος της ασφάλειας (µπορεί κανείς να τα χρησιµοποιήσει ως έχουν ή να επαναλάβει την ανάλυση µε την ακριβέστερη τιµή της β επιδιώκοντας οικονοµία). Αν β > 1, τότε τα αποτελέσµατα της ανάλυσης είναι επισφαλή και ο µελετητής οφείλει να επαναλάβει την ανάλυση µε την ακριβέστερη τιµή της β (αν και τέτοιες τιµές β σπανίως συναντώνται στην πράξη). Στον Πίνακα 3.6 παρουσιάζονται προσεγγιστικές τιµές των παραµέτρων µετασχηµατισµού β. Όσον αφορά στη διατµητική τάση τ που αναπτύσσεται στον κορµό του υποστυλώµατος, αποδεικνύεται ότι εµφανίζει σχετικά οµοιόµορφη κατανοµή (Jaspart, 1991). H αντίστοιχη παραµόρφωση γ είναι τέτοια ώστε: τ = G x γ. Η συνισταµένη τέµνουσα V ορίζεται ως V=A vc x τ και η παραµόρφωση γ ως / z. Έτσι: V Α vc x τ Α vc x G F = = = x (3.53) β β β x z Επειδή G = E / [2 x (1+υ)] και υ = 0.3, προκύπτει η ακόλουθη σχέση: k Α vc A vc = 0.38 (3.54) 2 x (1 + υ) x β x z β x z 1 όπου: G Α vc z : το µέτρο διάτµησης του χάλυβα, : η επιφάνεια διάτµησης του υποστυλώµατος, : o µοχλοβραχίονας του ζεύγους των δυνάµεων και : η διαφορική εγκάρσια µετατόπιση του κορµού του υποστυλώµατος (Σχήµα 3.31.α).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 93 Τύπος κόµβου και φόρτισης Προτεινόµενη τιµή του β b,sd β = 1 b2,sd b1,sd αν Μ b1,sd τότε β = β = 0 1 2 αν Μ b1,sd τότε β 1 = β 2 = 1 Μ b2,sd Μ b2,sd b2,sd b1,sd αν Μ Μ b1,sd b2,sd τότε β = β = 2 1 2 αν Μ 0 ή Μ 0 b1,sd b2,sd τότε β = β = 1 1 2 Πίνακας 3.6: Παράµετρος µετασχηµατισµού β Κορµός υποστυλώµατος σε εφελκυσµό ή θλίψη Η ελαστική γραµµική σχέση µεταξύ της εφελκυστικής ή της θλιπτικής δύναµης F που εφαρµόζεται εγκάρσια στο υποστύλωµα, καθώς και η αντίστοιχη επιµήκυνση ή βράχυνση του κορµού του, εκφράζονται ως εξής (Σχήµα 3.31.β): E x t wc F = x ξ x (3.55) d c όπου d c είναι το καθαρό ύψος του κορµού του υποστυλώµατος. Ο συντελεστής ξ εξαρτάται από τη σχετική δυσκαµψία του πέλµατος του υποστυλώµατος σε κάµψη σε σχέση µε τη δυστένεια του κορµού του σε εφελκυσµό ή θλίψη. Η αντοχή σχεδιασµού (σε θλίψη ή εφελκυσµό) του κορµού του υποστυλώµατος κατά τα γνωστά είναι: F Rd = b eff x t wc x f y (3.56) και η µέγιστη ελαστική αντοχή του από την εξίσωση 3.55 προκύπτει ως εξής: fy F el = ξ x twc x E x = ξ x twc x E x ε el = ξ x twc x E x = ξ x t wc x fy (3.57) d E c

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 94 α) ιατµητική καταπόνηση β) Θλιπτική καταπόνηση Σχήµα 3.31: Κορµός υποστυλώµατος Χρησιµοποιώντας το γνωστό λόγο 3/2 (εξίσωση 3.47), προκύπτει ότι ξ = 2/3 b eff. Aν εισαχθεί αυτή η τιµή στην εξίσωση 3.55, τότε οι συντελεστές δυσκαµψίας k 2,4 καθορίζονται από τη σχέση που ακολουθεί (Weynand κ.ά., 1995): k 2,4 0.667 beff x twc 0.7 beff x twc = (3.58) d d c c 3.5.10 Μειωτικός συντελεστής k wc Ο µειωτικός συντελεστής k wc αφορά στη δυσµενή επιρροή των ορθών τάσεων που αναπτύσσονται στον κορµό του υποστυλώµατος, οι οποίες οφείλονται στη συνδυασµένη δράση της αξονικής δύναµης και της ροπής κάµψης. Αυτές οι τάσεις επηρεάζουν τοπικά την αντοχή σχεδιασµού του κορµού του υποστυλώµατος σε θλίψη (περίπτωση τοπικού λυγισµού). Ο συντελεστής k wc υπολογίζεται από την παρακάτω σχέση: k wc = 125, 0, 5 σ com,ed 10, f y,wc (3.59) και απεικονίζεται στο Σχήµα 3.32 όπου: f y,wc είναι η τιµή του ορίου διαρροής του κορµού του υποστυλώµατος και σ com,ed είναι η µέγιστη τιµή της ορθής τάσης του κορµού του υποστυλώµατος στη βάση της ακτίνας συναρµογής. Σηµειώνεται ότι στις περισσότερες περιπτώσεις σ com,ed < 0,50 f y,wc, και κατά συνέπεια η υιοθέτηση της τιµής 1 για το συντελεστή k wc είναι προς το µέρος της ασφάλειας. Εφόσον ο υπολογισµός του k wc εξαρτάται από την σ com,ed, µετά την ολοκλήρωση της συνολικής ανάλυσης του φορέα, εναπόκειται στην κρίση του µελετητή να ελέγξει αν η τιµή του k wc που προκύπτει ανταποκρίνεται σε αυτήν που αρχικά είχε εκτιµηθεί. Τονίζεται ότι ο έλεγχος αυτός είναι ιδιαίτερα σηµαντικός.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 95 k wc com,ed com,ed y,wc y,wc Σχήµα 3.32: Μειωτικός συντελεστής k wc 3.6 ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ 3.6.1 Γενικά Η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων µοιάζει, καταρχήν, ο καλύτερος τρόπος για τον προσδιορισµό της συµπεριφοράς των κόµβων. Εντούτοις, παρόλη τη συνεχιζόµενη εξέλιξή της, υπάρχουν ορισµένες απαιτήσεις ως προς την ακριβή προσοµοίωση των δοµικών κόµβων που ακόµα δεν ικανοποιούνται. Στην πραγµατικότητα, η καµπύλη ροπής στροφής αναπαριστά το αποτέλεσµα µιας πολύπλοκης αλληλεπίδρασης µεταξύ των στοιχειωδών τµηµάτων που απαρτίζουν τις συνδέσεις. Ειδικότερα, η ανάλυση των χαλύβδινων κόµβων χρειάζεται να λαµβάνει υπόψη τα παρακάτω (Nethercot και Zandonini, 1990): τη µη γραµµικότητα του υλικού και της γεωµετρίας των στοιχειωδών τµηµάτων της σύνδεσης, την προένταση των κοχλιών και την επίδρασή της στη κατανοµή των τάσεων, την αλληλεπίδραση των κοχλιών µε τις συνδεόµενες λεπίδες, τις θλιπτικές τάσεις των περιοχών επαφής και την αντίσταση από τριβή, την ολίσθηση των µη εφαρµοσµένων κοχλιών, τη µεταβλητότητα των ζωνών επαφής, τη συµπεριφορά των συγκολλήσεων, και τις ατέλειες (παραµένουσες τάσεις κ.ά.) Από τις απαιτήσεις αυτές, µόνον η πρώτη έχει ικανοποιηθεί πλήρως. Όντως, η ανάλυση των αποµονωµένων λεπίδων έχει πετύχει υψηλό βαθµό ακρίβειας χάρη στη δυνατότητα διευρεύνησης του εύρους της πλαστικοποίησης, της κράτυνσης, των φαινοµένων αστάθειας και της χρήσης της µεθόδου των µεγάλων παραµορφώσεων. Αντίθετα, όλες οι άλλες απαιτήσεις έχουν ακόµα µεγάλα περιθώρια βελτίωσης. Κατά συνέπεια, ενώ η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων αποτελεί ήδη ένα αποδοτικό εργαλείο για την

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 96 ακριβή προσοµοίωση των συγκολλητών κόµβων δοκών υποστυλωµάτων (Patel και Chen, 1984), ωστόσο, συνιστά µια πολυσύνθετη διαδικασία της οποίας η δυνατότητα να προσοµοιώσει ικανοποιητικά τις κοχλιωτές συνδέσεις παραµένει αρκετά ανεξερεύνητη (Lipson και Haque, 1978). 3.6.2 Μοντέλo του Πανεπιστηµίου της Liège Tα τελευταία χρόνια έχουν γίνει εκτεταµένες έρευνες στο Πανεπιστήµιο της Liège αναφορικά µε τη συµπεριφορά των ηµιάκαµπτων κόµβων. Βασισµένα σε αρκετά πειραµατικά δεδοµένα (Jaspart, 1991 και Vandegans, 1995), έχουν αναπτυχθεί αρκετά µοντέλα πεπερασµένων στοιχείων που επιτρέπουν τον υπολογισµό της συµπεριφοράς των κόµβων και παρέχουν έτσι πληροφορίες σχετικά µε τις διαθέσιµες στροφές. Ακόµα, έχουν γίνει έρευνες σε τυχαία δείγµατα λαµβάνοντας υπόψη την πραγµατική συµπεριφορά των κόµβων και περιλαµβάνοντας τη µετελαστική τους δυσκαµψία στην απόκριση των πλαισίων στα οποία ανήκαν (Vandegans κ.ά., 1996). Σχήµα 3.33: Επιρροή της µετελαστικής δυσκαµψίας του κόµβου στην απαιτούµενη στροφική του ικανότητα Μεταξύ διαφόρων θεµάτων, ερευνήθηκε και η επίδραση της πραγµατικής συµπεριφοράς των κόµβων στην απόκριση των πλαισίων. Όπως φαίνεται στο Σχήµα 3.33, είναι ιδιαίτερα σηµαντική η επιρροή της µετελαστικής δυσκαµψίας των ηµιάκαµπτων κόµβων στην απαιτούµενη στροφή. Η απαιτούµενη στροφή Φ πραγµ. του κόµβου µε τη θεώρηση της µετελαστικής δυσκαµψίας του κόµβου είναι εµφανώς µικρότερη από τη στροφή Φ u µε τη θεώρηση της αµελητέας µετελαστικής δυσκαµψίας.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 97 3.6.3 Μοντέλo του Πανεπιστηµίου του Delft (TU) Στο Πανεπιστήµιο του Delft (ΤU), ερευνήθηκε η απαιτούµενη ικανότητα στροφής των ηµιάκαµπτων κόµβων σε πλαίσια µε σύστηµα δυσκαµψίας, µε την παραδοχή της ιδανικά ελαστικής ιδανικά πλαστικής συµπεριφοράς. όθηκε ιδιαίτερη έµφαση στον τρόπο κατά τον οποίο επηρέαζαν οι παραµορφώσεις ενός ακραίου υποστυλώµατος πλαισίου µε φαινόµενα δεύτερης τάξης, την απαιτούµενη ικανότητα στροφής των πλαστικών αρθρώσεων, οι οποίες αναπτύσσονταν στη συνδεόµενη δοκό (Σχήµα 3.34). Η έρευνα κάλυπτε δύο πλευρές. Σχήµα 3.34: Σύστηµα µε οριζόντια φορτία που προκύπτουν από τον κινηµατικό µηχανισµό Από τη µια πλευρά, αναπτύχθηκε ένα λογισµικό που υπολογίζει τις απαιτούµενες στροφές στο σύστηµα που περιγράφηκε παραπάνω (Boender, 1995). H επίδραση του συνόλου της κατασκευής στο υπό µελέτη υποσύστηµα προσοµοιώθηκε µε την προσθήκη οριζόντιων και κατακόρυφων φορτίων στο υποστύλωµα. Από την άλλη πλευρά, δηµιουργήθηκε ένα αναλυτικό µοντέλο που προσδιορίζει τις απαιτούµενες στροφές των κόµβων (Βoender κ.ά., 1996). Kαθώς αυτό το µοντέλο αντενδείκνυται να χρησιµοποιηθεί στην πράξη ώς έχει, λόγω πολυπλοκότητας, χρησιµοποιήθηκε ως συγκριτικό µέγεθος για τη θεωρία των δοκών µε την παραδοχή ότι τα υποστυλώµατα παραµένουν ευθύγραµµα µετά τη φόρτιση. Παραµετρικές αναλύσεις έδειξαν ότι σε ορισµένες περιπτώσεις, η θεωρία των δοκών δεν προβλέπει ασφαλείς τιµές αναφορικά µε τις απαιτούµενες στροφές. Στις περιπτώσεις αυτές, προσδιορίστηκε ένας παράγοντας µετασχηµατισµού που θα πρέπει να εφαρµόζεται στα αποτελέσµατα της οικείας θεωρίας, ώστε να λαµβάνεται υπόψη και η επίδραση των παραµορφώσεων στο υποστύλωµα.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 98 3.6.4 Μοντέλo του Πανεπιστηµίου RWTH Aachen Στο Πανεπιστήµιο του Aachen αναπτύχθηκε ένα µοντέλο πεπερασµένων στοιχείων, το οποίο υπολογίζει τις τιµές των διαθέσιµων στροφών όχι µόνο κάτω από στατικά φορτία αλλά και από σεισµικά (Kong, 1996). Aυτές οι έρευνες παρέχουν στοιχεία σχετικά µε τη βραχεία κόπωση των ηµιάκαµπτων κόµβων. Η επίδραση των σεισµικών φορτίων στις διαθέσιµες πλαστικές στροφές γίνεται µε τη θεώρηση της γραµµής Whöhler, και δίνει µια σχέση µεταξύ των διαθέσιµων πλαστικών στροφών υπό στατικά φορτία και των διαθέσιµων πλαστικών στροφών µετά από αρκετούς κύκλους φόρτισης. Η εξίσωση της γραµµής Whöhler δίνεται ως εξής: Φ 2 i Νi = const. (3.60) Σχήµα 3.35: Στροφή γραµµή Whöhler υπό βραχεία κόπωση 3.7 EΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΟΚΙΜΕΣ Οι δοκιµές στο εργαστήριο συνιστούν την ακριβέστερη πηγή άντλησης πληροφοριών σχετικά µε τη συµπεριφορά των κόµβων δοκού υποστυλώµατος, γι αυτό και χρησιµοποιούνται για την επιβεβαίωση των αποτελεσµάτων των εµπειρικών, αναλυτικών και µηχανικών µοντέλων καθώς και των µοντέλων πεπερασµένων στοιχείων. Ωστόσο, δεν πρέπει να παραβλέπεται ότι και αυτά ακόµα παρέχουν µια προσέγγιση της καµπύλης ροπής στροφής των κόµβων και όχι την «πραγµατική» συµπεριφορά των κόµβων ενός πλαισίου. Ένα από τα σηµεία στα οποία η συµπεριφορά ενός δοκιµίου διαφοροποιείται από τη συµπεριφορά κάποιου κόµβου µιας πραγµατικής κατασκευής, είναι η αναπτυσσόµενη τάση τοπικά στη διατεµνόµενη ζώνη του κορµού του υποστυλώµατος. Επιπρόσθετα, διαφέρει η

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Μέθοδοι προεκτίµησης της καµπύλης ροπής - στροφής 99 µεταβαλόµενη κατανοµή των τάσεων κατά τη διάρκεια της φόρτισης µεταξύ ενός δοκιµίου και ενός «πραγµατικού» κόµβου. Η τελευταία αυτή διαφορά, οφείλεται στο γεγονός ότι στα δοκίµια τόσο των δοκών όσο και των υποστυλωµάτων, το σηµείο µηδενισµού της ροπής είναι σταθερό, ενώ στους κόµβους των «πραγµατικών» πλαισίων αυτό το σηµείο αλλάζει στη διάρκεια επιβολής της φόρτισης. Υπάρχουν και άλλες διαφορές, οι οποίες σχετίζονται µε δράσεις που εµφανίζονται κατά τη διάρκεια της συναρµολόγησης, µε εντάσεις που οφείλονται σε γεωµετρικές ατέλειες, σε ανοχές για λόγους κατασκευαστικής ευχέρειας και τέλος υπάρχουν διαφορές που οφείλονται στη µεταβλητότητα των συνθηκών φόρτισης την οποία οι κόµβοι εκτός εργαστηρίου πρέπει να αντιµετωπίζουν µε ασφάλεια (Faella, Piluso και Rizzano, 2000).

100

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Hµιάκαµπτοι κόµβοι σε χαλύβδινα πλαίσια 101 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ηµιάκαµπτοι κόµβοι σε χαλύβδινα πλαίσια ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4.1 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 ΓΕΝΙΚΑ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΠΛΑΙΣΙΩΝ Αντιστηριζόµενα (braced) και µη αντιστηριζόµενα (unbraced) πλαίσια Πλευρικά εύκαµπτα (sway) και δύσκαµπτα (non-sway) πλαίσια Ο ρόλος των κόµβων στην απόκριση των µη αντιστηριζόµενων πλαισίων Ο ρόλος των κόµβων στην απόκριση των αντιστηριζόµενων πλαισίων 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.3.5 4.3.6 4.3.7 ΚΟΜΒΟΙ ΚΑΙ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΠΛΑΙΣΙΩΝ Μέθοδοι υπολογισµού Ευρωκώδικας 3 - γενικά Απλά πλαίσια (Ευρωκώδικας 3) Συνεχή πλαίσια (Ευρωκώδικας 3) Ηµισυνεχή πλαίσια (Ευρωκώδικας 3) Σχέση πλαισίων - συνδέσεων Μήκος λυγισµού υποστυλωµάτων σε πλαίσια µε ηµιάκαµπτους κόµβους 4.1 ΓΕΝΙΚΑ Είναι γεγονός, ότι η πραγµατική συµπεριφορά των κόµβων αµελείται κατά τον παραδοσιακό σχεδιασµό των χαλύβδινων πλαισιακών φορέων. Στην πράξη, η ανάλυση των χαλύβδινων πλαισίων γίνεται µε την παραδοχή ότι οι κόµβοι ανταποκρίνονται στην εξιδανικευµένη συµπεριφορά της άρθρωσης ή της πάκτωσης. Έτσι, µπορεί µεν οι υπολογισµοί να είναι απλούστεροι, αλλά τα µοντέλα δεν αντανακλούν την πραγµατική συµπεριφορά των φορέων, στους οποίους αναφέρονται. Εξάλλου, τα διατιθέµενα εργαστηριακά δεδοµένα (Goverdan, 1983, Nethercot, 1985, Kishi και Chen, 1986 και Weinand, 1992) δείχνουν ότι υπάρχουν συνδέσεις, που αν και θεωρούνται αρθρώσεις, αναπτύσσουν µη αµελητέα στροφική δυσκαµψία καθώς και συνδέσεις, που αν και θεωρούνται πακτώσεις, αναπτύσσουν στροφικές παραµορφώσεις. Αυτή η συµπεριφορά των συνδέσεων, µπορεί να επηρεάσει σε µεγάλο βαθµό την απόκριση των πλαισίων. Έτσι, σε φορείς µε ονοµαστικά αρθρωτούς κόµβους, η πραγµατική δυσκαµψία των κόµβων επηρεάζει ευµενώς την κατανοµή των ροπών κάµψης στις δοκούς, ενώ αντίθετα, σε φορείς µε θεωρούµενους άκαµπτους κόµβους, η υπάρχουσα παραµορφωσιµότητα των κόµβων καθιστά περισσότερο ευαίσθητα τα πλαίσια σε φαινόµενα δεύτερης τάξης.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Hµιάκαµπτοι κόµβοι σε χαλύβδινα πλαίσια 102 εν µπορεί βέβαια να αγνοηθεί, ότι τα εξιδανικευµένα µοντέλα της καθηµερινής πράξης είναι αναµφίβολα αποτελεσµατικά για µια σειρά από φορείς που τίθενται προς επίλυση, αλλά σε πολλές περιπτώσεις, η ορθή εκτίµηση του βαθµού της αξιοπιστίας των φερουσών κατασκευών, απαιτεί να ληφθεί υπόψη η ηµιάκαµπτη συµπεριφορά των κόµβων. Με στόχο την αύξηση της αποτελεσµατικότητας στην επίλυση τέτοιων θεµάτων, θεωρείται σηµαντικό να µπορεί κανείς να αναγνωρίσει την ύπαρξη της µιας ή της άλλης περίπτωσης: πότε δηλαδή χρειάζεται να λαµβάνεται υπόψη η πραγµατική στροφική συµπεριφορά των κόµβων και πότε είναι αρκετή η απλουστευτική θεώρηση της άρθρωσης ή της πάκτωσης. Η αναγνώριση αυτών των δύο περιπτώσεων, προϋποθέτει γνώση της επίδρασης της στροφικής παραµορφωσιµότητας των κόµβων στην απόκριση των πλαισίων, η οποία εξαρτάται από το δοµικό σύστηµα που αναλαµβάνει την ευστάθεια έναντι πλευρικών µετατοπίσεων, παραλαµβάνοντας τις οριζόντιες δράσεις. Εξ αιτίας αυτού του λόγου άλλωστε, η κατηγοριοποίηση των κόµβων συναρτάται και µε το είδος του πλαισίου στο οποίο οι κόµβοι ανήκουν (Faella κ.ά., 2000). 4.2 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΠΛΑΙΣΙΩΝ Πριν από την εισαγωγή της έννοιας της ηµιάκαµπτης συµπεριφοράς, ο σχεδιασµός των χαλύβδινων πλαισίων λάµβανε χώρα βάσει δύο ακραίων παραδοχών. Η πρώτη παραδοχή ήταν ότι τα άκρα όλων των µελών, που συµβάλλουν σε έναν κόµβο, υπόκεινται σε κοινές στροφές και µετατοπίσεις, λόγω της άκαµπτης και µονολιθικής διαµόρφωσης του κόµβου. Η δεύτερη και αντίθετη παραδοχή ήταν ότι οι κόµβοι δεν µπορούν να µεταφέρουν ροπές και έτσι επιτρέπουν την ελεύθερη στροφή των άκρων των µελών, που συµβάλλουν σε αυτούς. Η πρώτη περίπτωση αναφέρεται σε «συνεχή πλαίσια», ενώ η δεύτερη σε «ονοµαστικά αρθρωτά πλαίσια». Σύγχρονοι δοµικοί κανoνισµοί, όπως ο Ευρωκώδικας 3 (CEN, 1998), εισήγαγαν την αντίληψη, ότι οι κόµβοι, στην πραγµατικότητα, συµπεριφέρονται µε έναν ενδιάµεσο τρόπο µεταξύ των δύο αυτών ακραίων καταστάσεων, δηλαδή της άκαµπτης ή της αρθρωτής συµπεριφοράς (Σχήµα 4.1). Σχήµα 4.1: Μοντέλα κόµβων για την ανάλυση των πλαισίων (Rizzano, 1995)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Hµιάκαµπτοι κόµβοι σε χαλύβδινα πλαίσια 103 Kατά συνέπεια, ο σχεδιασµός των κατασκευών πρέπει να βασίζεται στα πραγµατικά χαρακτηριστικά φορτίου παραµόρφωσης των κόµβων. Με τον τρόπο αυτό, το δοµικό σύστηµα εντάσσεται στις «ηµισυνεχείς κατασκευές» και η απόκρισή του στις εξωτερικές δράσεις επηρεάζεται γενικά από τις δοµικές ιδιότητες τόσο των µελών, όσο και των συνδέσεων, οι οποίες εκφράζονται µε την αντοχή, τη δυσκαµψία και τη στροφική ικανότητα των κόµβων (Faella κ.ά., 2000). 4.2.1 Aντιστηριζόµενα (braced) και µη αντιστηριζόµενα (unbraced) πλαίσια Ο όρος «αντιστηριζόµενο» πλαίσιο υποδηλώνει εξαρχής ότι στην περίπτωση αυτών των πλαισίων, θα πρέπει να υπάρχουν δύο ξεχωριστές κατασκευές: το σύστηµα αντιστήριξης και το πλαίσιο, όπως φαίνεται στο Σχήµα 4.2 (ESDEP, 1994). Σχήµα 4.2: Συνήθη συστήµατα αντιστήριξης Ένα αντιστηριζόµενο πλαίσιο είναι συχνά ένα πλαίσιο, που αντιστηρίζεται από ένα τριγωνικό δικτύωµα. Το γεγονός, ότι δεν υπάρχει, στην πραγµατικότητα, ένας σαφής διαχωρισµός µεταξύ των αρθρωτών κατασκευών µε σύστηµα αντιστήριξης και των πλαισίων µε αµιγώς στερεούς κόµβους, συνεπάγεται ότι χρειάζεται ένας περισσότερο ακριβής καθορισµός, ώστε να µπορούν να διαχωρισθούν τα: αµιγώς αρθρωτά συστήµατα αντιστήριξης (π.χ. οι δικτυωτοί σύνδεσµοι), πλαίσια µε στερεούς κόµβους, πλαίσια µε ηµιάκαµπτους κόµβους και αντιστηριζόµενα πλαίσια. Στα Σχήµατα 4.3 και 4.4, φαίνονται κατασκευές στις οποίες ξεχωρίζουν, µέσα στο ίδιο σύστηµα, δύο υποσυστήµατα τα οποία αντιπροσωπεύουν το σύστηµα αντιστήριξης και το

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Hµιάκαµπτοι κόµβοι σε χαλύβδινα πλαίσια 104 αντιστηριζόµενο σύστηµα. Ειδικότερα, στην κατασκευή που απεικονίζεται στο Σχήµα 4.3, είναι σαφώς διαχωρισµένες οι δύο λειτουργίες: τα οριζόντια φορτία παραλαµβάνονται από το αρθρωτό υποσύστηµα Α, ενώ τα κατακόρυφα φορτία παραλαµβάνονται από το υποσύστηµα Β. Στο Σχήµα 4.4 αντίθετα, λόγω του ότι το δεύτερο υποσύστηµα (Β) µπορεί να παραλάβει τόσο οριζόντια όσο και κατακόρυφα φορτία, είναι απαραίτητο να γίνει η υπόθεση ότι όλα τα οριζόντια φορτία θα παραληφθούν από το Α υποσύστηµα, ώστε να θεωρηθεί το Β σύστηµα ως αντιστηριζόµενο. Σε αυτήν την περίπτωση, το υποσύστηµα Α θεωρείται σύστηµα αντιστήριξης αν η πλευρική του δυσκαµψία, εκφρασµένη από τη σταθερά Κ α, είναι επαρκώς µεγαλύτερη από την αντίστοιχη σταθερά Κ b του δεύτερου συστήµατος, που εν προκειµένω, θεωρείται ως αντιστηριζόµενο πλαίσιο: Κ α >> Κ b (4.1) H σχέση 4.1 εύκολα εφαρµόζεται στα συστήµατα του Σχήµατος 4.3, αφού η σταθερά Κ b ισούται µε µηδέν και έτσι η ανίσωση ικανοποιείται. Αντίθετα, για τα συστήµατα του Σχήµατος 4.4, οι δυσκαµψίες και των δύο υποσυστηµάτων πρέπει να υπολογισθούν και να συγκριθούν µεταξύ τους. Σχήµα 4.3: Υποδιαίρεση αρθρωτής κατασκευής σε δύο υποσυστήµατα Σχήµα 4.4: Υποδιαίρεση µερικώς αρθρωτής κατασκευής σε δύο υποσυστήµατα O Ευρωκώδικας 3 ορίζει τα εξής: «ένα πλαίσιο ταξινοµείται ως αντιστηριζόµενο αν το σύστηµα αντιστήριξης µειώνει τις οριζόντιες µετατοπίσεις τουλάχιστον κατά 80%» (CEN, 1998). ηλαδή, θα πρέπει να συγκρίνονται οι τιµές της δυσκαµψίας των δύο συστηµάτων και να ικανοποιούν τις σχέσεις 4.2 και 4.3 (Ιványi κ.ά., 2000). Κ α > 0.8 (Κ α + Κ b ) (4.2) ή Κ α > 4 Κ b. (4.3)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Hµιάκαµπτοι κόµβοι σε χαλύβδινα πλαίσια 105 4.2.2 Πλευρικά εύκαµπτα (sway) και δύσκαµπτα (non-sway) πλαίσια Γενικά - ορισµοί Ο λόγος ταξινόµησης των πλαισίων σε πλευρικά δύσκαµπτα ή εύκαµπτα, προέκυψε από την ανάγκη υιοθέτησης συγκεκριµένου είδους ανάλυσης, στο οποίο όλες οι εσωτερικές δυνάµεις και ροπές υπολογίζονται βάσει του απαραµόρφωτου φορέα. Για να µπορεί να ισχύσει αυτή η θεώρηση, προϋπόθεση είναι τα φαινόµενα δεύτερης τάξης να έχουν αµελητέα επιρροή, π.χ. η δράση των κατακόρυφων φορτίων στον παραµορφωµένο φορέα να µην προκαλεί σηµαντικές ροπές. Ένα πλευρικά δύσκαµπτο πλαίσιο είναι ένα πλαίσιο, στο οποίο, υπό το πρίσµα της ευστάθειας και του καθορισµού των εντατικών µεγεθών, µπορεί να θεωρηθεί ότι οι σχετικές µετατοπίσεις µεταξύ της κεφαλής και της βάσης των στύλων του, σε κάθε όροφο, είναι µικρές. Με τον τρόπο αυτόν, ο λυγισµός των στύλων είναι ανεξάρτητος από το λυγισµό του πλαισίου. Ο ορισµός αυτός ανταποκρίνεται στην πραγµατικότητα, αν ο συντελεστής ασφάλειας έναντι συνολικού λυγισµού του πλαισίου είναι επαρκώς µεγάλος, ώστε ο καθολικός λυγισµός να µπορεί να αγνοηθεί κατά τους ελέγχους των στύλων σε λυγισµό. Με βάση αυτόν τον ορισµό, είναι σαφές ότι το να είναι ένα πλαίσιο πλευρικά δύσκαµπτο ή εύκαµπτο δεν έχει φυσική σηµασία, αφού ο συντελεστής ασφάλειας στον υπολογισµό του κρίσιµου φορτίου, εξαρτάται από τη µεγέθυνση των κατακόρυφων φορτίων σχεδιασµού που επιβάλλονται στην κατασκευή. Σύµφωνα µε τον Ευρωκώδικα 3: «ένα πλαίσιο µπορεί να ταξινοµηθεί ως πλευρικά δύσκαµπτο, αν η απόκρισή του σε εντός επιπέδου οριζόντιες δυνάµεις είναι επαρκώς δύσκαµπτη για αυτό, ώστε να είναι αποδεκτά ακριβές, να αγνοηθούν οποιεσδήποτε επιπρόσθετες εσωτερικές δυνάµεις ή ροπές οφείλονται στις οριζόντιες µετατοπίσεις των κόµβων του» (CEN, 1998). Ωστόσο, η εξέταση της ισχύος αυτού του ορισµού, δεν αποκαλύπτει τη σχέση µεταξύ πλευρικής δυσκαµψίας και ευστάθειας. Εξάλλου, ο Ευρωκώδικας 3 παρέχει τον ακόλουθο κανόνα εφαρµογής: «ένα πλαίσιο µπορεί να ταξινοµηθεί ως πλευρικά εύκαµπτο για µια δεδοµένη περίπτωση φόρτισης, αν ο λόγος του ελαστικού κρίσιµου φορτίου V sd /V cr για αυτή την περίπτωση φόρτισης ικανοποιεί το κριτήριο: V sd 0.1 (4.4) V cr όπου: V sd είναι η τιµή σχεδιασµού του συνολικού κατακόρυφου φορτίου και V cr είναι το κρίσιµο ελαστικό φορτίο, για αστοχία του πλαισίου σε λυγισµό πλευρικής µορφής». Ο κανόνας εφαρµογής επιβεβαιώνει ότι η ταξινόµηση του πλαισίου ως πλευρικά δύσκαµπτου ή εύκαµπτου, εξαρτάται µόνο από τα κατακόρυφα φορτία. Επιπρόσθετα,

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Hµιάκαµπτοι κόµβοι σε χαλύβδινα πλαίσια 106 θεωρεί ότι ένας συντελεστής ασφάλειας ίσος µε 10, είναι αρκετός ώστε το πρόβληµα του λυγισµού των πλαισίων να αποσυνδεθεί από το πρόβληµα του λυγισµού των στύλων που ανήκουν στο πλαίσιο (Ivànyi κ.ά., 2000). Eναλλακτικά, ένα σύνηθες πολυώροφο πλαίσιο µπορεί να ταξινοµηθεί ως πλευρικά δύσκαµπτο, αν η οριζόντια µετατόπιση δ της κορυφής σε σχέση µε τη βάση του, σε κάθε όροφο, λόγω κατακόρυφων και οριζόντιων φορτίων (συµπεριλαµβανοµένων των ατελειών του πλαισίου), ικανοποιεί το κριτήριο (σχέση 4.5): δ x V h x H 0.1 (4.5) όπου: Η είναι η συνολική οριζόντια αντίδραση στη βάση του υπό εξέταση ορόφου, V είναι η συνολική κατακόρυφη αντίδραση στη βάση του υπό εξέταση ορόφου και h είναι το ύψος του ορόφου. Πρέπει να σηµειωθεί, ότι η ταξινόµηση των πλαισίων δεν είναι ανεξάρτητη από τη φόρτιση, αλλά συνδέεται κάθε φορά µε το δεδοµένο συνδυασµό φόρτισης. Επίσης, για δεδοµένο συνδυασµό φόρτισης, το γενικό κριτήριο (σχέση 4.4) εφαρµόζεται µια φορά, ενώ το εναλλακτικό κριτήριο (σχέση 4.5) εφαρµόζεται τόσες φορές όσοι είναι οι όροφοι του πλαισίου. Ακόµα, η ισχύς του εναλλακτικού κριτηρίου είναι αµφισβητήσιµη, στην περίπτωση κατά την οποία οι δοκοί δεν είναι οριζόντιες. Οι κόµβοι συνεισφέρουν σηµαντικά στην καθολική δυσκαµψία των πλαισίων και έτσι στην ευστάθεια των πλαισίων εντός επιπέδου. Εποµένως, είναι πιθανό η διαµόρφωσή τους να επηρεάσει την ταξινόµηση του πλαισίου σε σχέση µε την πλευρική του δυσκαµψία, σε µεγάλο βαθµό. Είναι δυνατό, έτσι, για κάποιο συνδυασµό φόρτισης, ένα συνεχές πλαίσιο να ταξινοµηθεί στα πλευρικά δύσκαµπτα ενώ αν οι κόµβοι του διαµορφωθούν διαφορετικά και το καταστήσουν περισσότερο εύκαµπτο, το πλαίσιο αυτό να ταξινοµηθεί στα πλευρικά εύκαµπτα (Maquoi, 2000). Αποτελέσµατα έρευνας για υποστυλώµατα σε πλευρικά δύσκαµπτα πλαίσια Έχουν γίνει πολλές έρευνες µε αντικείµενο τα χαρακτηριστικά των κόµβων, µε επίκεντρο το ρόλο που παίζει η δυσκαµψία και η αντοχή των συνδέσεων στη συµπεριφορά των δοκών. Για το λόγο αυτό, οι έρευνες εξετάζουν τα χαρακτηριστικά της σχέσης ροπής στροφής, στην περιοχή των µεγάλων στροφών και της αστοχίας. Σύµφωνα µε τα αποτελέσµατα των ερευνών, µεγάλος αριθµός από είδη συνδέσεων διαθέτει αξιόλογη πλαστιµότητα. Εξάλλου, όταν η προσοχή στρέφεται προς τη συµπεριφορά των υποστυλωµάτων σε πλευρικά δύσκαµπτα πλαίσια, τότε η στάθµη της στροφής, που αναπτύσσεται κατά τη διάρκεια του λυγισµού, είναι πολύ χαµηλή και, ας σηµειωθεί, ότι το πιο σηµαντικό είναι πως η δυσκαµψία συνδέεται µε την αποφόρτιση, δηλαδή µε τη µείωση ή το «κλείσιµο» της στροφής. οκιµές, που έχουν γίνει σε υποπλαίσια, αποτελούµενα από

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Hµιάκαµπτοι κόµβοι σε χαλύβδινα πλαίσια 107 ένα υποστύλωµα και δοκούς καθώς και σε πλήρη πλαίσια, δείχνουν ότι το µέγεθος της στροφής, που αναπτύσσεται µετά την εφαρµογή των φορτίων στις δοκούς, είναι µικρό (Davison, 1987, Gibbons, 1990 και Gibbons κ.ά., 1993). Επίσης, έχει παρατηρηθεί από ένα µεγάλο αριθµό ερευνητών, το φαινόµενο της αντιστροφής των ροπών σε πλαίσια µε στερεούς κόµβους (Gent κ.ά., 1968 και Wood, 1974). Η παράλληλη ανάπτυξη διάφορων αναλυτικών µεθόδων επέτρεψε την έρευνα της αλληλεπίδρασης της µη γραµµικής συµπεριφοράς των κόµβων και του λυγισµού των υποστυλωµάτων. Μια αναλυτική έρευνα ασχολήθηκε µε το εύρος της επιρροής των ηµιάκαµπτων συνδέσεων στη συµπεριφορά των υποστυλωµάτων, σε υποπλαίσια πραγµατικού µεγέθους, η οποία οδήγησε στο πρωτοφανές, για την εποχή, συµπέρασµα, ότι η ευεργετική επιρροή της δέσµευσης που παρέχει η σύνδεση είναι πιο καθοριστική από τη δυσµενή επιρροή της ροπής που µεταφέρεται στο υποστύλωµα µέσω των ηµιάκαµπτων συνδέσεων. Αν και είχαν παρατηρηθεί µεγάλες αντοχές σε υποστυλώµατα, σε εργαστηριακές δοκιµές δύο και τριων διαστάσεων, η αναλυτική έρευνα πρότεινε τη δυνατότητα ερµηνείας της ηµιάκαµπτης λειτουργίας των συνδέσεων δοκού υποστυλώµατος µε αδιαµφισβήτητο τρόπο, έτσι ώστε να αυξηθεί η ικανότητα παραλαβής φορτίων από τα µέλη των πλαισίων. Επιπρόσθετα, αυτή η αύξηση στην παραλαβή των φορτίων, γίνεται µε µειωµένη µελετητική εργασία και χωρίς την ανάγκη για ακριβή γνώση των συµπεριφοράς των κόµβων. Μια παρατήρηση «κλειδί» βάσει παραµετρικών ερευνών, οι οποίες αναφέρονται από τον Kirby και άλλους ερευνητές (Κirby κ.ά., 1992 και 1995), είναι ότι τα υποστυλώµατα µε ηµιάκαµπτες συνδέσεις µπορούν να παραλάβουν τουλάχιστον ίσα, αν όχι µεγαλύτερα, αξονικά φορτία από ότι τα αντίστοιχα υποστυλώµατα µε αρθρώσεις. Η σηµασία αυτής της παρατήρησης είναι ότι τα υποστυλώµατα µε ηµιάκαµπτες συνδέσεις µπορούν να σχεδιασθούν µε ασφάλεια για την παραλαβή µόνον αξονικών φορτίων. Και µπορούν να σχεδιασθούν µε µήκος λυγισµού µικρότερο από το πραγµατικό µήκος του συστήµατος. Αυτό καθίσταται δυνατό, γιατί παρόλο που οι ηµιάκαµπτοι κόµβοι επιβάλλουν ανεπιθύµητες ροπές στα άκρα των στύλων, την ίδια στιγµή τους παρέχουν ευεργετική στροφική δέσµευση. Όπως προκύπτει λοιπόν, η τελική επιρροή στην ικανότητα των στύλων εξαρτάται από τη σχετική επίδραση αυτών των δύο δράσεων. Αποδεικνύεται πάντως, βάσει αναλυτικής έρευνας και εργαστηριακών δοκιµών, ότι η ευεργετική στροφική δέσµευση είναι συχνά πιο σηµαντική από τις ανεπιθύµητες πρόσθετες ροπές. Η άµεση επιρροή του διπλού ρόλου των ηµιάκαµπτων κόµβων στις ικανότητες των υποστυλωµάτων, µπορεί να αποτιµηθεί µε τη σύγκριση του αξονικού φορτίου αστοχίας ενός υποστυλώµατος µε ηµιάκαµπτους κόµβους µε το αντίστοιχο φορτίο ενός αµφιαρθρωτού υποστυλώµατος. Αυτή η σύγκριση µπορεί να εκφρασθεί ως ο λόγος (παράγοντας α) των δύο φορτίων αστοχίας:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Hµιάκαµπτοι κόµβοι σε χαλύβδινα πλαίσια 108 φορτίο αστοχίας στύλου µε ηµιάκαµπτους κόµβους α = (4.6) φορτίο αστοχίας αµφιαρθρωτού στύλου Συνεπώς, όταν ο παράγοντας α είναι µεγαλύτερος από τη µονάδα, σηµαίνει ότι η ευεργετική επίδραση της δέσµευσης ξεπερνά τη δυσµενή επίδραση της ροπής, ενώ όταν ο παράγοντας α είναι µικρότερος από τη µονάδα, συµβαίνει το αντίθετο. Άρα, τα υποστυλώµατα που διαθέτουν παράγοντα α µεγαλύτερο από τη µονάδα, µπορούν µε ασφάλεια να διαστασιολογούνται ως αµφιαρθρωτά, δηλαδή να διαστασιολογούνται µόνο βάσει των αξονικών τους φορτίων και σε µερικές περιπτώσεις µε µειωµένα µήκη λυγισµού. Σε ένα υποστύλωµα ισόγειου ορόφου, στο οποίο η βάση θεωρείται αρθρωτή και η κορυφή ηµιάκαµπτη, ο παράγοντας k του µήκους καµπτικού λυγισµού, µπορεί µε ασφάλεια να λαµβάνεται ίσος µε τη µονάδα ενώ σε ένα υποστύλωµα ανώτερου ορόφου (µε ηµιάκαµπτες συνδέσεις στην κεφαλή και τη βάση), η αντίστοιχη τιµή είναι 0.85. Ας σηµειωθεί, ότι η παραδοχή της αρθρωτής βάσης γίνεται αποδεκτή ως ελαφρώς πιο συντηρητική, αφού χρειάζεται περαιτέρω έρευνα για να καθορισθεί η ευεργετική επίδραση της βάσης, που λειτουργεί ως µερική πάκτωση (Kuhlmann κ.ά., 2000). 4.2.3 Ο ρόλος των κόµβων στην απόκριση των µη αντιστηριζόµενων πλαισίων Απλοποιηµένο µοντέλο Η επίδραση των συνδέσεων στην ελαστική και ανελαστική απόκριση των µη αντιστηριζόµενων πλαισίων, µπορεί να ερευνηθεί µε τη µέθοδο του απλοποιηµένου µοντέλου, που απεικονίζεται στο Σχήµα 4.5 (Faella κ.ά., 1994). Στο Σχήµα 4.5, φαίνεται ένα υποσύστηµα, που έχει εξαχθεί από ένα πραγµατικό πλαίσιο, µε την υπόθεση ότι ο παραµορφωµένος άξονας των δοκών έχει διπλή καµπυλότητα, καθώς οι δοκοί κατά την κάµψη τους δεν αναπτύσσουν ροπή στο µέσο του ανοίγµατος. Οι δοκοί ανήκουν ταυτόχρονα σε δύο ορόφους και έτσι τα µηχανικά τους χαρακτηριστικά λαµβάνονται µε τις Σχήµα 4.5: Απλοποιηµένο µοντέλο (Faella κ.ά., 1994)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Hµιάκαµπτοι κόµβοι σε χαλύβδινα πλαίσια 109 µισές τους τιµές. Αυτό το µοντέλο είναι αντιπροσωπευτικό των πλαισίων που αστοχούν καθολικά. Η καµπτική δυσκαµψία των υποστυλωµάτων του αρχικού πλαισίου, από το οποίο προήλθε το υπό εξέταση µοντέλο, ισούται µε ΕΙ c /h, ενώ η καµπτική δυσκαµψία των δοκών ισούται µε EI b /L. H καµπύλη ροπής Μ στροφής φ της σύνδεσης προσοµοιώνεται από µια διγραµµική σχέση (ελαστική τέλεια πλαστική), η οποία καθορίζεται πλήρως µε τη χρήση δύο παραµέτρων: της ελαστικής στροφικής δυσκαµψίας Κ φ και της οριακής ροπής Μ j,u. Eίναι φανερό, ότι, στην ελαστική περιοχή, η σχέση του ηµιάκαµπτου υποσύστηµατος µε το αντίστοιχο άκαµπτο, εκφράζεται µε τις αδιάστατες παραµέτρους που ακολουθούν: ζ Ε Ιb / L = (4.7) E I / h c και K φ L K = (4.8) E Ι b όπου: ζ είναι ο λόγος της δυσκαµψίας της δοκού προς τη δυσκαµψία του υποστυλώµατος και K είναι η αδιάστατη στροφική δυσκαµψία του κόµβου. Επιπρόσθετα, σε σχέση µε την ανελαστική συµπεριφορά, η αδιάστατη οριακή καµπτική αντοχή του κόµβου Mj,u m = (4.9) M pb παρέχει τη διάκριση µεταξύ των δύο θεµελιωδών περιπτώσεων: των πλήρους αντοχής κόµβων δοκού υποστώµατος για m 1 και των µερικής αντοχής κόµβων δοκού υποστυλώµατος για m < 1. Η στροφική παραµορφωσιµότητα των κόµβων δοκού υποστυλώµατος επηρεάζει άµεσα την ευαισθησία των πλαισίων σε φαινόµενα δεύτερης τάξης. Η αύξηση της πλευρικής παραµόρφωσης των πλαισίων έχει δυσµενείς συνέπειες, τόσο στην ικανότητα παραλαβής φορτίων όσο και στη διαθέσιµη καθολική πλαστιµότητα των πλαισίων. Επίσης, η καµπτική αντοχή των κόµβων επιδρά, σε µεγάλο βαθµό, στην ικανότητα των πλαισίων να παραλάβουν οριζόντια φορτία καθώς και στη διαθέσιµη τοπική τους πλαστιµότητα και κατ επέκταση στη διαθέσιµη καθολική πλαστιµότητα. Ευαισθησία πλαισίων σε φαινόµενα δεύτερης τάξης Η ευαισθησία των πλαισίων σε φαινόµενα δεύτερης τάξης, εκφράζεται µέσω του συντελεστή ευστάθειας γ (Mazzolani και Piluso, 1996). O συντελεστής γ αντιπροσωπεύει την κλίση του κατιόντος κλάδου της καµπύλης συµπεριφοράς, η οποία συνδέει το

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Hµιάκαµπτοι κόµβοι σε χαλύβδινα πλαίσια 110 συντελεστή των οριζόντιων δυνάµεων α µε την αδιάστατη µετατόπιση κορυφής, κατά τον πλευρικό λυγισµό του πλαισίου, δ/δ 1, όπου δ 1 είναι η µετατόπιση κορυφής υπό οριζόντιες δυνάµεις που αντιστοιχεί σε α=1. Στην περίπτωση των συστηµάτων µε αρθρωτούς κόµβους, όπως το υπό εξέταση σύστηµα, ο συντελεστής ευστάθειας µπορεί να εκφρασθεί ως εξής: γ Ν = (4.10) Κ h 1 όπου: Ν είναι το κατακόρυφο φορτίο και Κ 1 είναι η πλευρική δυσκαµψία του υποσυστήµατος. Κατά συνέπεια, ο λόγος του συντελεστή ευστάθειας του ηµιάκαµπτου µοντέλου γ k προς το συντελεστή ευστάθειας του άκαµπτου µοντέλου γ, δίνεται από τη σχέση 4.11: γ γ k (1 + ζ) + 6 Κ1 K = = (4.11) Κ (1 + ζ) 1k Κ Η σχέση 4.11 απεικονίζεται στο Σχήµα 4.6, στο οποίο φαίνεται ότι η παραµορφωσιµότητα της σύνδεσης καθιστά πιο ευαίσθητο το πλαίσιο σε φαινόµενα δεύτερης τάξης. Το γεγονός αυτό είναι ανεπιθύµητο, γιατί συνεπάγεται µείωση της ικανότητας του πλαισίου να αναλάβει φορτία και µείωση της διαθέσιµης καθολικής πλαστιµότητας. Αξίζει να σηµειωθεί, τέλος, ότι για K 25 και για οποιαδήποτε τιµή του ζ, ο λόγος γ k /γ είναι µικρότερος του 1.20, κυµαινόµενος από 1.08 για ζ=2 έως 1.19 για ζ=0.25 (Faella κ.ά., 2000). Σχήµα 4.6: Επιρροή της σύνδεσης στην ευαισθησία των πλαισίων σε σχέση µε τα φαινόµενα δεύτερης τάξης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Hµιάκαµπτοι κόµβοι σε χαλύβδινα πλαίσια 111 Ανελαστική συµπεριφορά Σ ό,τι αφορά στην ανελαστική συµπεριφορά των πλαισίων, η διάκριση ανάµεσα στις συνδέσεις πλήρους και µερικής αντοχής καθίσταται καθοριστική. Στην πραγµατικότητα, η διάκριση αυτή καθορίζει τις περιοχές απορρόφησης ενέργειας, οι οποίες εντοπίζονται στα άκρα των δοκών, στην πρώτη περίπτωση, και στα συστατικά των κόµβων, στη δεύτερη περίπτωση. Εξαρτώµενες από το είδος της σύνδεσης, αναπτύσσονται είτε η οριακή αντοχή είτε η διαθέσιµη πλαστιµότητα. Στην περίπτωση των συνδέσεων πλήρους αντοχής, λαµβάνει χώρα η µείωση της διαθέσιµης πλαστιµότητας, εξαιτίας της αύξησης των πλευρικών παραµορφώσεων της κατασκευής, ενώ η οριακή αντοχή του πλαισίου σηµειώνει µικρή µείωση, εξαιτίας της αύξησης των επιρροών δεύτερης τάξης. Αντίθετα, στην περίπτωση των συνδέσεων µερικής αντοχής, µειώνεται η ικανότητα του πλαισίου να παραλάβει οριζόντια φορτία ενώ η επίδραση των συνδέσεων στη διαθέσιµη πλαστιµότητα συνδέεται άµεσα µε το λόγο της πλαστικής στροφικής ικανότητας της σύνδεσης προς την πλαστική στροφική ικανότητα της δοκού (Faella κ.ά., 1994). Συνδέσεις πλήρους αντοχής Tο Σχήµα 4.7 δείχνει την καµπύλη πλευρικού φορτίου µετατόπισης κορυφής σε ένα θεωρούµενο υποσύστηµα, τόσο µε τη χρήση άκαµπτων κόµβων πλήρους αντοχής όσο και µε τη χρήση ηµιάκαµπτων κόµβων µερικής αντοχής. Καταρχήν, διαπιστώνεται ότι η αντοχή πρώτης τάξης, µε βάση το όριο διαρροής, είναι η ίδια και στις δύο περιπτώσεις: (FS) F y k = (FS) Fy (4.12) Eξαιτίας των φαινοµένων δεύτερης τάξης, η αντοχή διαρροής αυξάνει, υποθέτοντας τις επόµενες τιµές: ''(FS) y k F = ''(FS) Fy = (FS) y k F x (1 - γ k ) (4.13) (FS) Fy x (1 - γ ) (4.14) Έτσι, αν γ k > γ, τότε η πραγµατική αντοχή διαρροής του υποσυστήµατος µειώνεται, εξαιτίας της µεγέθυνσης των φαινοµένων δεύτερης τάξης, που προκαλούνται από την παραµορφωσιµότητα των συνδέσεων. Η κλίση του κατιόντος κλάδου της καµπύλης φορτίου µετατόπισης στην κορυφή, παραµένει ανεπηρέαστη, όπως αποδεικνύεται από τη σχέση 4.11. Η διαθέσιµη πλαστιµότητα του υποσυστήµατος µπορεί να εκφρασθεί ως εξής: θ (FS) pb h µ = 1 + k (4.15) δ y όπου: θ pb είναι η πλαστική στροφή, την οποία µπορεί να αναπτύξει η δοκός. Η σχέση 4.15 µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να εξετασθεί η επίδραση της στροφικής δυσκαµψίας του κόµβου στη διαθέσιµη πλαστιµότητα. Για το σκοπό αυτό, είναι καταρχήν

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Hµιάκαµπτοι κόµβοι σε χαλύβδινα πλαίσια 112 Σχήµα 4.7: οκιµή κάµψης τριών σηµείων απαραίτητο να διαπιστωθεί πως η µέγιστη πλαστική στροφή, την οποία µπορεί να αναπτύξει ένα µέλος, προκύπτει συνήθως µε τη δοκιµή κάµψης των τριών σηµείων, όπως φαίνεται στο Σχήµα 4.7. Κατά συνέπεια, η µέγιστη πλαστική στροφή µπορεί να εκφρασθεί ως εξής: Mpb L θ pb = R θy = R (4.16) 4 E I b όπου: R είναι η πλαστική στροφική ικανότητα των δοκών. Επιπρόσθετα, η στροφή στο άκρο του µέλους και η µετατόπιση στην κορυφή συσχετίζονται, όπως δείχνει η σχέση 4.17: K + 6 δ θ = x (4.17) K (1 + ζ) + 6 h Η ροπή κάµψης στο άκρο της δοκού δίνεται ως εξής: 3 E Ib K M = x x θ (4.18) L K + 6 Εφαρµόζοντας τη συνθήκη διαρροής: Μ=Μ pb /2 (Σχήµα 4.5), προκύπτει η ακόλουθη σχέση: h δ 6 E Ib K = x (4.19) Μ L K (1 + ζ) 6 y pb + Έτσι, αντικαθιστώντας τις σχέσεις 4.19 και 4.16 στη 4.15, η διαθέσιµη πλαστιµότητα του υποσυστήµατος µε ηµιάκαµπτες συνδέσεις πλήρους αντοχής, µπορεί να εκφρασθεί ώς (Faella κ.ά., 1994): ( µ FS ) k 3 K = 1 + R x 2 K ( 1 + ζ) + 6 (4.20) η οποία για Κ, δίνει:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Hµιάκαµπτοι κόµβοι σε χαλύβδινα πλαίσια 113 Σχήµα 4.8: Επιρροή της στροφικής δυσκαµψίας των κόµβων στη διαθέσιµη καθολική πλαστιµότητα (συνδέσεις πλήρους αντοχής) ( FS 3 R = 1 + 2 1 + (4.21) ζ µ ) Αυτή η σχέση αναπαριστά την πλαστιµότητα του µοντέλου µε ηµιάκαµπτους κόµβους πλήρους αντοχής. Οι παραπάνω εξισώσεις δείχνουν ότι η παραµορφωσιµότητα των συνδέσεων οδηγεί σε µείωση της διαθέσιµης πλαστιµότητας. Αυτό το φαινόµενο απεικονίζεται στο Σχήµα 4.8, για R = 2 και R = 6, µέσω της σχέσης µεταξύ του (FS) k (FS) µ / µ και του K. Ειδικότερα, η σύγκριση ανάµεσα στην περίπτωση R = 2 και την περίπτωση R = 6, αποδεικνύει ότι η έλλειψη πλαστιµότητας, λόγω της παραµορφωσιµότητας των συνδέσεων αυξάνει καθώς αυξάνει η στροφική ικανότητα της δοκού, δηλαδή καθώς αυξάνει η πλαστιµότητα (FS) µ. Τελικά, λαµβάνοντας υπόψη την εξίσωση 4.11, είναι ενδιαφέρον να σηµειωθεί ότι ο λόγος µεταξύ της πλαστιµότητας του µοντέλου µε ηµιάκαµπτες συνδέσεις πλήρους αντοχής και της πλαστιµότητας του µοντέλου µε άκαµπτες συνδέσεις πλήρους αντοχής, µπορεί να εκφρασθεί ως εξής: 3 R Κ 1 + x 2 1 + ζ Κ = 3 R 1 + 2 1 + ζ 1k (FS) µ k 1 (FS) µ (4.22)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Hµιάκαµπτοι κόµβοι σε χαλύβδινα πλαίσια 114 Αυτή η εξίσωση καταδεικνύει την επίδραση που έχει η αύξηση της πλευρικής παραµορφωσιµότητας του µοντέλου στην πλαστιµότητα, εξαιτίας της ευκαµψίας των συνδέσεων (Faella κ.ά., 2000). Συνδέσεις µερικής αντοχής Στην περίπτωση των πλαισίων µε ηµιάκαµπτες συνδέσεις µερικής αντοχής, συµβαίνει µια σηµαντική µείωση της αντοχής διαρροής του υποσυστήµατος, καθώς η επιρροή των συνδέσεων στη διαθέσιµη πλαστιµότητα συναρτάται στενά όχι µόνον µε την παραµορφωσιµότητα των συνδέσεων, αλλά και µε την αναλογία πλαστικής στροφής της σύνδεσης προς την πλαστική στροφή της δοκού. Αυτό οφείλεται στο γεγονός, ότι, στην περίπτωση αυτή, η διαρροή εντοπίζεται στον ίδιο τον κόµβο και όχι στα άκρα των δοκών. Σχήµα 4.9: Καµπύλη φορτίου - µετατόπισης για συνδέσεις µερικής αντοχής (Faella κ.ά., 1994) Στο Σχήµα 4.9, φαίνεται η καµπύλη πλευρικού φορτίου µετατόπισης στην κορυφή του υποσυστήµατος µε ηµιάκαµπτες συνδέσεις µερικής αντοχής και η σύγκρισή της, στο ίδιο µοντέλο, µε άκαµπτες συνδέσεις πλήρους αντοχής. Η µείωση της αντοχής διαρροής πρώτης τάξης δίνεται απο τη σχέση 4.23: K K (PS) yk (FS) y = m = M M j.u pb (4.23) Η πραγµατική αντοχή διαρροής µειώνεται περαιτέρω, λόγω των φαινοµένων δεύτερης τάξης. Στην πραγµατικότητα, σε σχέση µε το µοντέλο µε ηµιάκαµπτες συνδέσεις µερικής αντοχής, η αντοχή διαρροής δίνεται ως εξής: K ''(PS) yk (PS) yk = K x (1 γ ) (4.24) k ενώ στο µοντέλο µε άκαµπτες συνδέσεις πλήρους αντοχής, η αντοχής διαρροής δίνεται από τη σχέση 4.14.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Hµιάκαµπτοι κόµβοι σε χαλύβδινα πλαίσια 115 Η διαθέσιµη πλαστιµότητα του µοντέλου µε συνδέσεις µερικής αντοχής προκύπτει, αν ληφθεί υπόψη ότι η διαρροή συµβαίνει στη σύνδεση. Έτσι, εκφράζεται ως: φ ( PS) µ = 1 + k δ pj y h (4.25) όπου: φ pj είναι η µέγιστη πλαστική στροφή, την οποία µπορεί να αναπτύξει ο κόµβος δοκού υποστυλώµατος. Επιπλέον, στην περίπτωση αυτή, εφαρµόζοντας στη σχέση 4.18 τη συνθήκη διαρροής της σύνδεσης (Μ = m M pb /2) και λαµβάνοντας υπόψη τη σχέση 4.17, προκύπτει: h δ 6 E Ib K = x (4.26) m M L K + 6 K ζ y pb + η οποία είναι όµοια µε τη σχέση 4.19. Ως γνωστόν, m M pb είναι η αντοχή διαρροής της σύνδεσης. Αν αντικατασταθεί η σχέση 4.26 στη σχέση 4.25 και ληφθεί υπόψη η σχέση 4.16, τότε προκύπτει: µ ( ps) k 3 φpj = 1 + R 2 m θ pb K x K + 6 + K ζ (4.27) Έτσι, η αποτίµηση της διαθέσιµης πλαστιµότητας του υποσυστήµατος µε ηµιάκαµπτες συνδέσεις µερικής αντοχής, προϋποθέτει την εισαγωγή µιας καινούργιας παραµέτρου: φpj η R = (4.28) θ pb Η παράµετρος αυτή αντιπροσωπεύει το λόγο της παρεχόµενης πλαστικής στροφής των κόµβων δοκού υποστυλώµατος, προς την πλαστική στροφή, την οποία το πέρας της δοκού µπορεί να αντέξει, εξαρτόµενη από το λόγο ύψους προς πάχος των λεπίδων που συνθέτουν τη διατοµή της δοκού. Κατά συνέπεια, µπορεί να δηµιουργηθεί µια ακόµα ταξινόµηση των συνδέσεων, βασιζόµενη στην πλαστική στροφή, την οποία αυτές µπορούν να παρέχουν: Συνδέσεις πλήρους πλαστιµότητας (η R 1) και συνδέσεις µερικής πλαστιµότητας (η R < 1) Έτσι, η εξίσωση 4.27 µπορεί να µετασχηµατισθεί στην εξής µορφή: µ (ps) k 3 ηr K = 1 + R x (4.29) 2 m K + 6 + K ζ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Hµιάκαµπτοι κόµβοι σε χαλύβδινα πλαίσια 116 Η αναλογία της διαθέσιµης πλαστιµότητας του υποσυστήµατος µε ηµιάκαµπτες συνδέσεις µερικής αντοχής, προς τη διαθέσιµη πλαστιµότητα του υποσυστήµατος µε άκαµπτες συνδέσεις πλήρους αντοχής, δίνεται ως: µ µ (PS) k (FS) = 1 + 3 ηr K R x 2 m K + 6 + K ζ 3 R 1 + 2 1 + ζ (4.30) ιαπιστώνεται άµεσα, ότι για η R /m = 1, η εξίσωση 4.30 δίνει αποτελέσµατα που συµπίπτουν µε αυτά που δίνονται από την εξίσωση 4.22. Αυτό σηµαίνει ότι για η R /m = 1, η καθολική πλαστιµότητα του µοντέλου µε ηµιάκαµπτες συνδέσεις µερικής αντοχής, ισούται µε αυτήν του µοντέλου µε ηµιάκαµπτες συνδέσεις πλήρους αντοχής. ηλαδή, η µείωση της παρεχόµενης πλαστικής στροφής (η R <1) και, έτσι, της πλαστικής µετατόπισης φ p,j h, συνοδεύεται από τη µείωση της πρώτης µετατόπισης διαρροής (m <1). Κατά συνέπεια, παρόλο που αυξάνει η οριακή µετατόπιση, η διαθέσιµη καθολική πλαστιµότητα παραµένει αµετάβλητη. Η σχέση 4.30 δείχνει ότι η αντοχή των συνδέσεων παίζει ένα θεµελιώδη ρόλο. Στην πραγµατικότητα, στην περίπτωση των συνδέσεων µερικής αντοχής, η αντοχή αυτή των συνδέσεων µπορεί να προκαλέσει σηµαντική µείωση της πλαστιµότητας. Αυτή η µείωση επιτείνεται όσο ο λόγος η R /m µειώνεται, όπως φαίνεται στο Σχήµα 4.10. Στο ίδιο σχήµα Σχήµα 4.10: Επιρροή των κόµβων δοκού υποστυλώµατος στη διαθέσιµη πλαστιµότητα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Hµιάκαµπτοι κόµβοι σε χαλύβδινα πλαίσια 117 φαίνεται επίσης, τουλάχιστον από θεωρητικής πλευράς, ότι µπορεί να επιτευχθεί µια βελτίωση της διαθέσιµης καθολικής πλαστιµότητας, εφόσον η R /m >1. Εξάλλου, πρέπει να σηµειωθεί ότι η αντοχή, η δυσκαµψία και η παρεχόµενη πλαστική στροφή δε µεταβάλλονται ανεξάρτητα η µία από τις άλλες δύο. Στην πραγµατικότητα, η καµπτική αντοχή του κόµβου αυξάνει καθώς αυξάνει η στροφική του δυσκαµψία, στην πλειονότητα των περιπτώσεων. Αντίθετα, η παρεχόµενη πλαστική στροφή αυξάνει, όσο µειώνεται η στροφική δυσκαµψία. Άρα, τα αποτελέσµατα των παραµετρικών αναλύσεων, τα οποία παρουσιάζονται στο Σχήµα 4.10, έχουν τη δυνατότητα να συµπεριλάβουν περιπτώσεις, που δε συναντιούνται στην πράξη. Εντούτοις, ο κυρίαρχος ρόλος του λόγου η R /m είναι πασιφανής, καθώς η επίδρασή του είναι πιο σηµαντική από ό,τι η επίδραση της πλαστικής στροφικής ικανότητας των δοκών R και του λόγου της δυσκαµψίας δοκού προς υποστύλωµα ζ (Faella κ.ά., 2000). 4.2.4 Ο ρόλος των κόµβων στην απόκριση των αντιστηριζόµενων πλαισίων Για να εξετάσουµε την επιρροή της στροφικής παραµορφωσιµότητας των κόµβων στην ελαστική απόκριση των αντιστηριζόµενων πλαισίων, γίνεται η θεώρηση του δεύτερου απλοποιηµένου µοντέλου (Faella κ.ά., 1996). Στόχος της δηµιουργίας του µοντέλου είναι η διευρεύνηση της επιρροής της στροφικής δυσκαµψίας των κόµβων στο κρίσιµο φορτίο των πλαισίων (Σχήµα 4.11) και στην κατανοµή των ροπών στις δοκούς των αντιστηριζόµενων πλαισίων (Σχήµα 4.12). Σχήµα 4.11: Απλοποιηµένο µοντέλο για τη διερεύνηση της επιρροής των συνδέσεων στο κατακόρυφο κρίσιµο φορτίο των αντιστηριζόµενων πλαισίων (Faella κ.ά., 1995) Μπορεί να θεωρηθεί, ότι αυτό το µοντέλο προκύπτει από ένα πραγµατικό πλαίσιο, µε την υπόθεση ότι οι διατοµές των δοκών στα µέσα των ανοιγµάτων δεν αναπτύσσουν καµία στροφή, ούτε σε συνθήκες λυγισµού αλλά ούτε και σε συνθήκες οµοιόµορφης κατακόρυφης φόρτισης. Με την πρόσθετη παραδοχή ότι οι δοκοί ανήκουν ταυτόχρονα σε δύο ορόφους, τα µηχανικά τους χαρακτηριστικά λαµβάνονται µε τις µισές τιµές τους. Η καµπτική δυσκαµψία των υποστυλωµάτων στο αρχικό πλαίσιο, από το οποίο έχει προκύψει

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Hµιάκαµπτοι κόµβοι σε χαλύβδινα πλαίσια 118 Σχήµα 4.12: Απλοποιηµένο µοντέλο για τη διερεύνηση της επιρροής των συνδέσεων στην κατανοµή των ροπών στις δοκούς των αντιστηριζόµενων πλαισίων (Faella κ.ά., 1995) το υποσύστηµα του Σχήµατος 4.11, ισούται µε ΕI c /h. Ενώ, η καµπτική δυσκαµψία των δοκών ισούται µε ΕI b /h. To κρίσιµο φορτίο N cr µπορεί να υπολογισθεί µέσω της παρακάτω σχέσης 4.31: E I h c ζ 2 Κ + Κ + 2 2 χ 2 4 χ 1 ζ 2 χ 2 Κ Κ + 2 2 + θ θ 4 χ1 1 2 = 0 0 (4.31) όπου: χ 1 3 f = και 2 2 4 f g χ 2 3 g = (4.32) 2 2 4 f g µε 3 1 1 6 1 1 f =, g = και u u tg u u sinu u 1 / 2 2 N h u = (4.33) E I c Το κρίσιµο φορτίο Ν cr υπολογίζεται, αν εξισωθεί µε µηδέν η παράγωγος του µητρώου δυσκαµψίας, που δίνεται από τη σχέση 4.31. ιαπιστώνεται, ότι οι δύο κρίσιµες τιµές του Ν αντιστοιχούν στα ιδιοδιανύσµατα Τ δ ={θ,θ} και Τ δ ={θ,-θ}. Επιπρόσθετα, το δεύτερο ιδιοδιάνυσµα παρέχει το µεγαλύτερο µήκος λυγισµού, άρα το µικρότερο κρίσιµο φορτίο µέσω της επόµενης συνθήκης: 2 Κ + 4 χ1 2 χ = 0 Κ + 2 ζ 2 (4.34) Με κατάλληλο συνδυασµό των εξισώσεων 4.32 και 4.34, προκύπτει µια υπερβατική εξίσωση, που έχει ως άγνωστο το u. Η τιµή του u, ικανοποιώντας αυτήν την εξίσωση, µέσω της σχέσης 4.33, παρέχει την αντίστοιχη τιµή του κατακόρυφου κρίσιµου φορτίου.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Hµιάκαµπτοι κόµβοι σε χαλύβδινα πλαίσια 119 Στην περίπτωση των άκαµπτων κόµβων (K ), η εξίσωση 4.34 µετασχηµατίζεται στην εξής: 2 ζ + 4 χ 1 2 χ 2 = 0 (4.35) η οποία µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον καθορισµό του ελαστικού κρίσιµου φορτίου του πλαισίου µε στερεούς κόµβους. Ο λόγος του ελαστικού κρίσιµου φορτίου Ν cr,k του µοντέλου µε ηµιάκαµπτους κόµβους, προς το αντίστοιχο Ν cr, του µοντέλου µε στερεούς κόµβους, απεικονίζεται στο Σχήµα 4.13. Στο σχήµα αυτό, παρατηρεί κανείς ότι το κρίσιµο κατακόρυφο φορτίο των αντιστηριζόµενων πλαισίων µειώνεται, όσο µειώνεται η στροφική δυσκαµψία των κόµβων. Το µέγεθος της µείωσης αυτής αυξάνει, καθώς αυξάνει ο λόγος της καµπτικής δυσκαµψίας ζ της δοκού προς αυτήν του υποστυλώµατος. Είναι επίσης αξιοσηµείωτο, ότι για K =8, ο λόγος Ν cr,k /N cr, µεταβάλλεται από 0.93 για ζ=0 έως 0.97 για ζ=0.25. Εποµένως, µπορεί να συµπεράνει κανείς ότι για K 8 και ανεξάρτητα από την τιµή του ζ, η επιρροή της στροφικής δυσκαµψίας των κόµβων στο κατακόρυφο κρίσιµο φορτίο των αντιστηριζόµενων πλαισίων µπορεί να αγνοηθεί. Όσον αφορά στο ίδιο απλοποιηµένο µοντέλο (Σχήµα 4.13), η µέγιστη θετική ροπή της δοκού δίνεται ως: M ( + ) max = 2 q L 24 x K K + 6 + 2 (4.36) και η ελάχιστη αρνητική ροπή της, δίνεται ως: Σχήµα 4.13: Επιρροή της στροφικής δυσκαµψίας των κόµβων στο κατακόρυφο κρίσιµο φορτίο των αντιστηριζόµενων πλαισίων M ( ) min = 2 q L 24 2 K x K + 2 (4.37) Στην περίπτωση των διατοµών διπλής συµµετρίας, η διαστασιολόγηση της δοκού εξαρτάται από την ελάχιστη αρνητική ροπή όταν K > 6, ενώ εξαρτάται από τη µέγιστη

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Hµιάκαµπτοι κόµβοι σε χαλύβδινα πλαίσια 120 θετική ροπή όταν K < 6. Τέλος, όταν K = 6, τότε (Faella κ.ά., 2000). ( ) min M = ( ) M + max κατά απόλυτη τιµή 4.3 KOMBOI KAI ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΠΛΑΙΣΙΩΝ 4.3.1 Μέθοδοι υπολογισµού Ο υπολογισµός των κατασκευών µπορεί να γίνει µε τη χρήση ελαστικής ή πλαστικής καθολικής ανάλυσης. Όταν λαµβάνει χώρα ελαστική καθολική ανάλυση, γίνεται η παραδοχή της γραµµικής και ελαστικής συµπεριφοράς των µελών και των κόµβων. Η δυσκαµψία των κόµβων παίζει κυρίαρχο ρόλο στη συµπεριφορά της κατασκευής. Πρέπει να επιβεβαιώνεται ότι δεν υπάρχει υπέρβαση της ελαστικής αντοχής. Η ανακατανοµή των εσωτερικών δυνάµεων είναι δυνατή, επιπρόσθετα δε, δεν απαιτείται κανένας έλεγχος της στροφικής ικανότητας των κόµβων. Αντίθετα, η πλαστική καθολική ανάλυση επιτρέπει την πλαστικοποίηση των διατοµών και των κόµβων. Όταν η στάθµη φόρτισης φθάσει το ελαστικό όριο της κατασκευής, οποιαδήποτε αύξηση του φορτίου οδηγεί σε διαρροή σε ορισµένες περιοχές και η κατασκευή εισέρχεται στη ζώνη των ελαστοπλαστικών παραµορφώσεων. Πλήρεις πλαστικές συνθήκες επιτυγχάνονται µε έναν ικανό αριθµό πλαστικοποιηµένων διατοµών, µετατρέποντας την κατασκευή σε έναν πλαστικό µηχανισµό. Στην περίπτωση αυτή, ξεχωρίζουν τρεις διαφορετικές προσεγγίσεις: Η στερεοπλαστική ανάλυση, στην οποία η πλαστικοποίηση, θεωρείται ότι εντοπίζεται στις πλαστικές αρθρώσεις (Σχήµα 4.14). Οι πλαστικές ροπές των µελών και των κόµβων είναι οι µόνες παράµετροι που επηρεάζουν την ανάλυση. Οι ελαστικές παραµορφώσεις αµελούνται. Η στερεοπλαστική ανάλυση δε δίνει καµία πληροφορία για την παραµόρφωση της κατασκευής. Η µέθοδος αυτή µπορεί να χρησιµοποιηθεί σε υπολογισµούς µε το «χέρι» (αρχή δυνατών έργων). Η ελαστική τέλεια πλαστική ανάλυση, στην οποία οι διατοµές και οι κόµβοι, θεωρείται ότι παραµένουν πλήρως ελαστικοί, ώσπου η στάθµη της φόρτισης να φθάσει στην πλαστική ροπή αντοχής και να αρχίσει ο σχηµατισµός πλαστικών αρθρώσεων. Οι ελαστικές παραµορφώσεις λαµβάνονται υπόψη. Η ελαστική τέλεια πλαστική ανάλυση απαιτεί συγκεκριµένες τιµές δυσκαµψίας και καµπτικής αντοχής από τα µέλη και τους κόµβους. Οι εσωτερικές δυνάµεις και οι παραµορφώσεις υπολογίζονται επακριβώς. Αυτή η µέθοδος ανάλυσης, ενδείκνυται να εφαρµόζεται µε τη χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Hµιάκαµπτοι κόµβοι σε χαλύβδινα πλαίσια 121 Σχήµα 4.14: Στερεοπλαστική ανάλυση (πλαστική άρθρωση) Η ελαστοπλαστική ανάλυση, η οποία λαµβάνει υπόψη την ανάπτυξη των πλαστικών ζωνών κατά µήκος των µελών και κατά την επιφάνεια των διατοµών (Σχήµα 4.15). Ο καταστατικός νόµος, που ορίζει τη σχέση τάσης ανηγµένης παραµόρφωσης, προσδιορίζεται κατά το δυνατόν ακριβέστερα (συµπεριλαµβάνοντας φαινόµενα κράτυνσης κτλ). Οι παραµορφώσεις και οι ατέλειες λαµβάνονται υπόψη. Η µέθοδος είναι πολύπλοκη, µπορεί να εφαρµοσθεί µόνο µε τη χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών (µε προγράµµατα πεπερασµένων στοιχείων) και χρησιµοποιείται αποκλειστικά για ερευνητικούς σκοπούς. Η πλαστική ανάλυση υποδηλώνει όχι µόνο την πλαστική κατανοµή των τάσεων µέσα στη διατοµή (σχηµατισµός πλαστικής άρθρωσης), αλλά και ανακατανοµή των ροπών µέσα στο φορέα. Έτσι, οι διατοµές πρέπει να µπορούν να αναπτύξουν επαρκώς µεγάλη ροπή,µεθόδους της πλαστικής ανάλυσης, πρέπει να επιβεβαιώνεται ότι οι υποτιθέµενες Σχήµα 4.15: Ελαστοπλαστική ανάλυση (πλαστική ζώνη) πλαστικές ροπές µπορούν να αναπτυχθούν στις διατοµές και τους κόµβους και ότι η διαθέσιµη στροφική ικανότητα µέσα στις πλαστικές αρθρώσεις είναι επαρκής (Kuhlmann κ.ά., 2000).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Hµιάκαµπτοι κόµβοι σε χαλύβδινα πλαίσια 122 4.3.2 Ευρωκώδικας 3 - γενικά Σύµφωνα µε τον Ευρωκώδικα 3, οι παραδοχές που γίνονται κατά την καθολική ανάλυση της κατασκευών, πρέπει να είναι συνεπείς µε τον αναµενόµενο τύπο συµπεριφοράς των συνδέσεων. Επίσης, οι παραδοχές που γίνονται κατά τη διαστασιολόγηση των µελών, πρέπει να είναι συνεπείς ή πιο συντηρητικές σε σχέση µε τη µέθοδο που χρησιµοποιείται στην καθολική ανάλυση και την αναµενόµενη συµπεριφορά των συνδέσεων. Ο Πίνακας 4.1 δείχνει το είδος των απαιτούµενων συνδέσεων για τα τρία είδη πλαισίων, το οποίο εξαρτάται από τη µέθοδο της ανάλυσης που χρησιµοποιείται. Όταν είναι απαραίτητο να υπολογισθεί το κρίσιµο ελαστικό φορτίο του πλαισίου για λυγισµό πλευρικής µορφής, πρέπει να λαµβάνονται υπόψη οι επιρροές των τυχόν χρησιµοποιούµενων ηµιάκαµπτων συνδέσεων, ανεξάρτητα από τη µέθοδο της ανάλυσης (ελαστική ή πλαστική), που έχει εφαρµοσθεί στην καθολική ανάλυση του πλαισίου. Όταν χρησιµοποιούνται ηµιάκαµπτες συνδέσεις, πρέπει να χρησιµοποιείται η αρχική τιµή της στροφικής δυσκαµψίας, κατά τον υπολογισµό του κρίσιµου ελαστικού φορτίου ή του µήκους λυγισµού (CEN, 1998). Το είδος των πλαισιακής σύνδεσης (απλή, συνεχής ή ηµισυνεχής), συσχετίζεται µε τα είδη των συνδέσεων (κόµβων), ανάλογα µε τη µέθοδο ανάλυσης που χρησιµοποιείται. 4.3.3 Απλά πλαίσια (Ευρωκώδικας 3) Στα απλά πλαίσια, γίνεται η παραδοχή της µη ανάπτυξης ροπών στις συνδέσεις µεταξύ των µελών. Στην καθολική ανάλυση, υποτίθεται ότι τα µέλη συνδέονται αποτελεσµατικά µεταξύ τους µε αρθρώσεις. Οι συνδέσεις θα πρέπει να ικανοποιούν τις εξής απαιτήσεις: Να σχεδιάζονται έτσι, ώστε να µην µπορούν να αναπτύξουν αξιόλογες ροπές, οι οποίες θα µπορούσαν να επηρεάσουν δυσµενώς τα µέλη της κατασκευής και να µπορούν να µεταβιβάσουν τις δυνάµεις, που υπολογίσθηκαν κατά το σχεδιασµό και να δεχθούν τις προκύπτουσες στροφές (CEN, 1998). 4.3.4 Συνεχή πλαίσια (Ευρωκώδικας 3) Η ελαστική ανάλυση θα πρέπει να βασίζεται στην παραδοχή της πλήρους συνέχειας µε τη χρήση άκαµπτων συνδέσεων, οι οποίες θα πρέπει: Να σχεδιάζονται έτσι, ώστε η παραµόρφωσή τους να µην έχει αξιόλογη επιρροή στην κατανοµή των εσωτερικών δυνάµεων και ροπών στην κατασκευή, αλλά ούτε και στη συνολική της παραµόρφωση, οι παραµορφώσεις που αναπτύσσουν να µη µειώνουν την αντοχή της κατασκευής περισσότερο από 5% και

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Hµιάκαµπτοι κόµβοι σε χαλύβδινα πλαίσια 123 Είδη πλαισίων Μέθοδοι καθολικής ανάλυσης Είδη συνδέσεων Απλό Αρθρώσεις Ονοµαστικά αρθρωτές Συνεχές Ηµισυνεχές Ελαστική Άκαµπτη πλαστική Ελαστοπλαστική Ελαστική Άκαµπτη πλαστική Ελαστοπλαστική Άκαµπτες Ονοµαστικά αρθρωτές Πλήρους αντοχής Ονοµαστικά αρθρωτές Πλήρους αντοχής άκαµπτες Ονοµαστικά αρθρωτές Ηµιάκαµπτες Άκαµπτες Ονοµαστικά αρθρωτές Μερικής αντοχής Πλήρους αντοχής Ονοµαστικά αρθρωτές Μερικής αντοχής ηµιάκαµπτες Μερικής αντοχής άκαµπτες Πλήρους αντοχής ηµιάκαµπτες Πλήρους αντοχής άκαµπτες Ονοµαστικά αρθρωτές Πίνακας 4.1: Είδη πλαισίων µέθοδοι ανάλυσης είδη συνδέσεων να µπορούν να µεταβιβάζουν τις δυνάµεις και ροπές, οι οποίες υπολογίσθηκαν κατά την ανάλυση. Η άκαµπτη πλαστική ανάλυση θα πρέπει να βασίζεται στην παραδοχή της πλήρους συνέχειας, µε άκαµπτες συνδέσεις πλήρους αντοχής, οι οποίες ικανοποιούν τις προηγούµενες απαιτήσεις και επιπρόσθετα: η αντοχή σχεδιασµού µιας σύνδεσης πλήρους αντοχής θα πρέπει να είναι τουλάχιστον ίση µε εκείνη του συνδεόµενου µέλους, αν η στροφική ικανότητα µια σύνδεσης πλήρους αντοχής είναι περιορισµένη, τότε θα πρέπει να λαµβάνονται υπόψη οι επιδράσεις της υπεραντοχής. Αν η αντοχή σχεδιασµού της σύνδεσης είναι τουλάχιστον 1.20 φορές µεγαλύτερη από την αντοχή σχεδιασµού του µέλους, τότε δε χρειάζεται έλεγχος της στροφικής της ικανότητας και η δυσκαµψία µιας σύνδεσης πλήρους αντοχής θα πρέπει να είναι τέτοια, ώστε, υπό τα φορτία σχεδιασµού, οι αναπτυσσόµενες στροφές στις θέσεις των απαραίτητων πλαστικών αρθρώσεων, να µην υπερβαίνουν τη στροφική ικανότητα της σύνδεσης (CEN, 1998). 4.3.5 Ηµισυνεχή πλαίσια (Ευρωκώδικας 3) Η ελαστική ανάλυση θα πρέπει να βασίζεται σε χαρακτηριστικά σχεδιασµού ροπής στροφής ή δύναµης µετατόπισης των χρησιµοποιούµενων συνδέσεων, σύµφωνα µε αξιόπιστες προβλέψεις.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Hµιάκαµπτοι κόµβοι σε χαλύβδινα πλαίσια 124 Η άκαµπτη πλαστική ανάλυση θα πρέπει να βασίζεται στις αντοχές σχεδιασµού σε ροπή των συνδέσεων, οι οποίες έχουν αποδεδειγµένα επαρκή ικανότητα στροφής. Τέλος, η ελαστοπλαστική ανάλυση θα πρέπει να βασίζεται στα χαρακτηριστικά σχεδιασµού σχέσης ροπής στροφής των συνδέσεων (CEN, 1998). 4.3.6 Σχέση πλαισίων συνδέσεων Γενικά Όπως είναι φανερό, σύµφωνα και µε τον Ευρωκώδικα 3, τα πλαίσια και οι συνδέσεις µπορούν να σχεδιάζονται µε την ελαστική είτε µε την πλαστική θεωρία. Είναι δυνατό επίσης, να διεξάγονται οι υπολογισµοί των πλαισίων µε βάση την ελαστική ανάλυση ενώ οι υπολογισµοί των συνδέσεων να διαξάγονται µε πλαστική ανάλυση και τανάπαλιν (Bijlaard, Zoetemeijer, 1986 και ΕSDEP, 1994). Ωστόσο, υπάρχει ένας περιορισµός: Μια σύνδεση που παραµένει ελαστική ως την αστοχία, µπορεί να χρησιµοποιηθεί σε πλαίσια σχεδιασµένα µε την πλαστική µέθοδο, µόνον αν η ροπή αντοχής της είναι µεγαλύτερη από αυτήν της συνδεόµενης δοκού και αν η διατοµή της δοκού είναι κατηγορίας 1. Κατά συνέπεια, απαιτείται µια σύνδεση πλήρους αντοχής ώστε να µπορούν να αναπτυχθούν επαρκείς πλαστικές παραµορφώσεις δίπλα στη σύνδεση. Όταν η κατανοµή των δυνάµεων σε µια σύνδεση βασίζεται στην ελαστική θεωρία, τότε η δυσκαµψία της σύνδεσης θα είναι, κατά τεκµήριο, υψηλότερη από ότι θα ήταν αν υπολογιζόταν βάσει της πλαστικής θεωρίας. Είναι φανερό, ότι το γεγονός αυτό ισχύει µόνον όταν η σύνδεση ικανοποιεί στην πραγµατικότητα τις παραδοχές που έγιναν κατά την ελαστική ή πλαστική θεωρία. Αυτό αποδεικνύεται ως εξής: Στην ελαστική θεωρία, όπως είναι γνωστό, ισχύει η αρχή του Bernoulli περί επιπεδότητας των διατοµών. Αυτή η αρχή εµπλέκεται στον υπολογισµό της κατανοµής των δυνάµεων στους κοχλίες, που συνδέουν τη µετωπική πλάκα µε το πέλµα του υποστυλώµατος (σε έναν υποθετικό κόµβο δοκού υποστυλώµατος µε µετωπική πλάκα). Έτσι, τόσο η µετωπική πλάκα όσο και το πέλµα του υποστυλώµατος πρέπει να παραµείνουν επίπεδα. Όµως, αν αυτό συµβεί, τότε η σύνδεση είναι άκαµπτη, αφού η παραµόρφωσή της οφείλεται µόνο στην επιµήκυνση των κοχλιών. Κατά την πλαστική θεωρία, είναι απαραίτητο τα συστατικά των συνδέσεων να παραµορφώνονται επαρκώς, έτσι ώστε να γίνεται ανακατανοµή των δυνάµεων και η ανάπτυξη του µηχανισµού αστοχίας στο εσωτερικό της σύνδεσης. Με συνέπεια βέβαια, µια τέτοια σύνδεση να είναι λιγότερο δύσκαµπτη από την αντίστοιχή της σχεδιασµένη µε την ελαστική θεωρία (Ιványi κ.ά., 2000).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Hµιάκαµπτοι κόµβοι σε χαλύβδινα πλαίσια 125 Πλαστικός σχεδιασµός συνδέσεων σε ελαστικά σχεδιασµένα πλαίσια Στον υπολογισµό της κατανοµής των δυνάµεων σε ένα πλαίσιο, χρησιµοποιώντας την ελαστική µέθοδο ανάλυσης, δεν υπολογίζεται η οριακή αντοχή. Αντίθετα, υπολογίζονται οι δυνάµεις και οι ροπές σχεδιασµού. Αν ο λόγος n ανάµεσα στο φορτίο λυγισµού του Euler και το φορτίο σχεδιασµού είναι µικρός, έστω µικρότερος του 10, τότε θα πρέπει να λαµβάνονται υπόψη οι επιρροές δεύτερης τάξης. Αυτό µπορεί να γίνει, αν πολλαπλασιάσουµε τις συνιστώσες της ροπής, υπό λυγισµό πλευρικής µορφής του πλαισίου (στην περίπτωση των µη αντιστηριζόµενων πλαισίων), µε το µεγεθυντικό παράγοντα n/(n-1). Aν οι ροπές που προκύπτουν έτσι, είναι µικρότερες από την οριακή αντοχή των διάφορων συνδέσεων, τότε οι συνδέσεις αυτές ικανοποιούν τις απαιτήσεις σχεδιασµού. Στις συνδέσεις, που υπολογίζονται µε την πλαστική θεωρία, οι πλαστικές παραµορφώσεις θα συµβούν, όταν η στάθµη φόρτισης φθάσει την οριακή ροπή αντοχής. Το γεγονός αυτό λαµβάνεται υπόψη στον υπολογισµό του φορτίου λυγισµού του Euler, µε τη χρήση διγραµµικής προσέγγισης της συµπεριφοράς της σύνδεσης, η οποία βρίσκεται προς το µέρος της ασφάλειας (Bijlaard και Zoetemeijer, 1986). Στην περίπτωση των αντιστηριζόµενων πλαισίων, οι ροπές των συνδέσεων, οι οποίες οφείλονται στη φόρτιση, ενδέχεται να είναι υποτιµηµένες, αν η χρησιµοποιούµενη στροφική δυσκαµψία είναι χαµηλή. Άρα, θα πρέπει να λαµβάνεται ένα άνω όριο στην τιµή της στροφικής δυσκαµψίας, για να βρίσκεται κανείς προς το µέρος της ασφάλειας, όταν υπολογίζει τις τιµές των ροπών. Αναφέρεται στη βιβλιογραφία, ότι η χρήση διγραµµικών προσεγγίσεων, για την αναπαράσταση της ικανότητας στροφής των συνδέσεων στον υπολογισµό των ροπών που αναπτύσσονται στις συνδέσεις, είναι επαρκώς ασφαλής, εφόσον η σύνδεση διαθέτει επαρκή ικανότητα παραµόρφωσης. Στα αντιστηριζόµενα πλαίσια, η χρήση ενός κάτω ορίου για τη στροφική δυσκαµψία των συνδέσεων οδηγεί σε υψηλότερες τιµές των ροπών στις συνδέσεις, λόγω των επιρροών δεύτερης τάξης. Εξάλλου, οι ελαστικές ροπές πρώτης τάξης των συνδέσεων, µειώνονται όταν χρησιµοποιείται πιο χαµηλή τιµή δυσκαµψίας. Μια πιο χαµηλή τιµή στροφικής δυσκαµψίας στις συνδέσεις, κατά την ελαστική ανάλυση ενός µη αντιστηριζόµενου πλαισίου, δεν οδηγεί απαραίτητα σε ασφαλή ελαστικό υπολογισµό της αναπτυσσόµενης ροπής σε αυτές. Είναι απαραίτητο, έτσι, να χρησιµοποιούνται συνδέσεις µε επαρκή στροφική ικανότητα, ακόµα και σε πλαίσια που υπολογίζονται µε την ελαστική µέθοδο. Ελαστικός σχεδιασµός συνδέσεων σε πλαστικά σχεδιασµένα πλαίσια Σε πλαίσια, στα οποία χρειάζεται η ανάπτυξη περισσότερων της µιας πλαστικών αρθρώσεων για να σχηµατισθεί ο µηχανισµός αστοχίας, η πρώτη, η δεύτερη και οι υπόλοιπες πλαστικές αρθρώσεις πρέπει να µπορούν να στρέφονται ώσπου να αναπτυχθεί

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Hµιάκαµπτοι κόµβοι σε χαλύβδινα πλαίσια 126 και η τελευταία πλαστική άρθρωση. Αυτή η απαίτηση ισχύει για όλα τα είδη των πλαισίων (αντιστηριζόµενα και µη αντιστηριζόµενα). Οι συνδέσεις µερικής αντοχής, που παραµένουν ελαστικές µέχρι την αστοχία, δεν πρέπει να χρησιµοποιούνται, γιατί δε διαθέτουν επαρκή ικανότητα παραµόρφωσης. Η απαιτούµενη στροφική ικανότητα των συνδέσεων στα µη αντιστηριζόµενα πλαίσια, είναι µεγαλύτερη και θα πρέπει να υπολογίζεται στην πραγµατική γεωµετρία των πλαισίων. Στις περισσότερες περιπτώσεις, ωστόσο, ένα άνω όριο της απαιτούµενης στροφικής δυσκαµψίας είναι περίπου 0.04 radians (ESDEP, 1994). Ελαστoπλαστική καθολική ανάλυση σε πλαίσια µε ηµιάκαµπτους κόµβους Στις παραγράφους που ακολουθούν, παρουσιάζεται η επιρροή των κόµβων στην ελαστοπλαστική συµπεριφορά των πλαισίων, σε όλο το εύρος της µη γραµµικής συµπεριφοράς. Αυτή η παρουσίαση, βασίζεται σε µια έρευνα της οριακής ικανότητας παραλαβής φορτίου και της µέγιστης παραµόρφωσης των πλαισίων. Η εν λόγω έρευνα περιλαµβάνει διάφορες εξιδανικεύσεις της ευκαµψίας των κόµβων (γραµµική, διγραµµική και πειραµατική), όπως φαίνεται στο Σχήµα 4.16. Στο Σχήµα 4.17, φαίνονται καµπύλες φορτίου µετατόπισης για διάφορες τιµές της στροφικής δυσκαµψίας των ηµιάκαµπτων κόµβων. Αποδεικνύεται, ότι η ικανότητα παραλαβής φορτίου αυξάνει µε την αύξηση της δυσκαµψίας των κόµβων, ενώ αντίθετα µειώνεται η αντίστοιχη παραµόρφωση. Αυτό το φαινόµενο µπορεί να χρησιµοποιηθεί αποτελεσµατικά στο σχεδιασµό των πλαισίων. Αποδεικνύεται επίσης, ότι µια µικρή αύξηση στη δυσκαµψία των κόµβων προκαλεί µεγάλη αύξηση στην ικανότητα παραλαβής φορτίων της κατασκευής. Ένας κόµβος µε γωνιακά κορµού, που ταξινοµείται ως αρθρωτός σύµφωνα µε τον Ευρωκώδικα 3, αυξάνει την ικανότητα της κατασκευής κατά 10%, σε σχέση µε έναν ονοµαστικά αρθρωτό κόµβο. Κόµβοι µε εξέχουσες µετωπικές πλάκες και γωνιακά πελµάτων, που ταξινοµούνται στους ηµιάκαµπτους, αυξάνουν την ίδια ικανότητα κατά 80% και 60%, αντίστοιχα. Αν περιορίσουµε την οριζόντια µετατόπιση της κορυφής του πλαισίου στο 1/500 του ύψους του, προκύπτουν αυξήσεις κατά 30%, 170% και 160% για καθέναν από τους κόµβους που αναφέρθηκαν παραπάνω, αντίστοιχα. Οι δύο τελευταίοι κόµβοι, δηλαδή ο κόµβος µε εξέχουσα µετωπική πλάκα και αυτός µε γωνιακά πελµάτων, µπορούν έτσι να ταξινοµηθούν ως πλήρως άκαµπτοι. Η επιρροή της γραµµικής και διγραµµικής εξιδανίκευσης της συµπεριφοράς των κόµβων είναι επίσης προφανής. Στην οριακή κατάσταση λειτουργικότητας, οι υψηλές τιµές της στροφικής δυσκαµψίας είναι αποφασιστικής σηµασίας, ενώ στην οριακή κατάσταση αστοχίας, οι µεγάλες στροφές επηρεάζουν τις αρχικά θεωρούµενες χαµηλές τιµές δυσκαµψίας.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Hµιάκαµπτοι κόµβοι σε χαλύβδινα πλαίσια 127 Σχήµα 4.16: Εξιδανικεύσεις των κόµβων Ανάλυση ευαισθησίας πλαισίων µε ηµιάκαπτους κόµβους, σε σχέση µε τη µεταβολή των χαρακτηριστικών των κόµβων Η συµπεριφορά ενός τυπικού κόµβου δοκού υποστυλώµατος µπορεί να περιγραφεί µε τα χαρακτηριστικά του διαγράµµατος ροπής Μ στροφής φ. Συνήθως, το διάγραµµα Μ - φ αναπαριστά µια µη γραµµική σχέση, η οποία για τις ανάγκες της ανάλυσης των πλαισίων, υποκαθίσταται από µια διγραµµική. Αυτή η σχέση, έχει τρεις κύριες ιδιότητες: τη ροπή αντοχής Μ Rd, τη στροφική δυσκαµψία S και τη στροφική ικανότητα φ Cd. Κατά τη χρήση αυτού του διγραµµικού διαγράµµατος Μ - φ, είναι σηµαντικό να καθορισθεί η επιρροή της πιθανής διακύµανσης των χαρακτηριστικών των κόµβων στη συµπεριφορά όλου του πλαισίου. Για την πραγµατοποίηση αυτής της ανάλυσης ευαισθησίας, έχει χρησιµοποιηθεί ένα διώροφο δίστυλο πλαίσιο (Σχήµα 4.18). Το Σχήµα 4.17: Καµπύλες φορτίου µετατόπισης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Hµιάκαµπτοι κόµβοι σε χαλύβδινα πλαίσια 128 διάγραµµα Μ - φ, που λήφθηκε ως διάγραµµα αναφοράς, µαζί µε την ταξινόµηση των κόµβων του Ευρωκώδικα 3 για τα µη αντιστηριζόµενα πλαίσια, απεικονίζεται σε αυτό το σχήµα. Ο κόµβος µπορεί να ταξινοµηθεί, µε κριτήριο τη στροφική του δυσκαµψία, ως ηµιάκαµπτος και µε κριτήριο την αντοχή σχεδιασµού του ως κόµβος µερικής αντοχής. Η καµπύλη Μ - φ που αναφέρθηκε, αλλάζει τιµές καθώς µεταβάλλεται η στροφική δυσκαµψία S στο διάστηµα από -10% έως +10% και η ροπή αντοχής στο διάστηµα από -40% έως +40% (Σχήµα 4.18). Η µέγιστη στροφική ικανότητα λήφθηκε ως 0.06 radians. Το πλαίσιο αναλύθηκε µε αυτές τις καµπύλες Μ - φ και τα αποτελέσµατα της ανάλυσης φαίνονται στους Πίνακες 4.2 και 4.3. Στην περίπτωση των κόµβων µερικής αντοχής, η επιρροή της αλλαγής της στροφικής δυσκαµψίας των κόµβων στην ικανότητα παραλαβής φορτίου του πλαισίου, είναι αµελητέα. Ενώ η επιρροή αυτή στην παραµόρφωση του πλαισίου, είναι µέτρια (Πίνακας 4.2). Αυτό οφείλεται στο γεγονός, ότι όταν το πλαίσιο φτάσει στο οριακό του φορτίο, η ροπή αντοχής των κόµβων έχει ήδη ξεπερασθεί. Περισσότερο σηµαντική είναι η µεταβολή στη ροπή αντοχής των κόµβων (Πίνακας 4.3). Η αύξηση της αντοχής του κόµβου προκαλεί αύξηση στην ικανότητα ανάληψης φορτίων από το πλαίσιο. Η σχέση της πρώτης προς τη δεύτερη αύξηση είναι 4:1. Η µεταβολή αυτή είναι της ίδιας τάξης µε άλλους παράγοντες, π.χ. µε τις µεταβολές λόγω της αντοχής του υλικού, την αβεβαιότητα λόγω των γεωµετρικών ατελειών και των παραµενουσών τάσεων. Η µείωση της αντοχής του κόµβου προκαλεί µείωση στην ικανότητα ανάληψης φορτίων από το πλαίσιο. ιαπιστώνεται, ότι υπάρχει µια αναλογική σχέση µεταξύ των µεταβολών Σχήµα 4.18: Γεωµετρία, φορτία και χαρακτηριστικά των κόµβων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Hµιάκαµπτοι κόµβοι σε χαλύβδινα πλαίσια 129 Πίνακας 4.2: Επιρροή της αλλαγής της στροφικής ικανότητας των κόµβων της αντοχής των κόµβων και του πλαισίου. Τα στοιχεία αυτά έχουν επιβεβαιωθεί από µεγάλο αριθµό παραµετρικών αναλύσεων. Η επιρροή της αλλαγής της ροπής αντοχής των κόµβων στην παραµόρφωση του πλαισίου, είναι ακόµα µεγαλύτερη. Η αύξηση της αντοχής των κόµβων µειώνει τις παραµορφώσεις του πλαισίου. Αντίθετα, η µείωση της αντοχής τους αυξάνει τις παραµορφώσεις του. Η µέγιστη µείωση είναι 82.4%, σε σχέση µε την κατάσταση αναφοράς και αντιστοιχεί σε αύξηση της ροπής αντοχής των κόµβων κατά 40%. Εποµένως, ένα ακριβές διάγραµµα Μ - φ, για να προκύψουν αξιόπιστες τιµές παραµορφώσεων από την ανάλυση του πλαισίου, είναι απαραίτητο. Η ίδια ανάλυση ευαισθησίας έχει γίνει και για την περίπτωση των κόµβων πλήρους αντοχής. Η αλλαγή της στροφικής δυσκαµψίας των κόµβων, προκαλεί µικρές αλλαγές στην ικανότητα ανάληψης φορτίου του πλαισίου και στις παραµορφώσεις. Αντίθετα, οι όποιες αλλαγές στη ροπή αντοχής των κόµβων, δεν επηρεάζουν τη συµπεριφορά του πλαισίου (Aroch κ.ά., 2002). Πίνακας 4.3: Επιρροή της αλλαγής της ροπής αντοχής των κόµβων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Hµιάκαµπτοι κόµβοι σε χαλύβδινα πλαίσια 130 4.3.7 Μήκος λυγισµού υποστυλωµάτων σε πλαίσια µε ηµιάκαµπτους κόµβους Όπως είναι γνωστό, οι συνοριακές συνθήκες των υποστυλωµάτων επηρεάζουν το µήκος λυγισµού τους. Για το σκοπό αυτό, έχει γίνει παραµετρική έρευνα ώστε να εξετασθεί η επιρροή της ευκαµψίας των κόµβων στο µήκος λυγισµού των υποστυλωµάτων. Σχεδιάστηκαν µια σειρά από διαγράµµατα για την αποτίµηση του µήκους λυγισµού των υποστυλωµάτων σε ένα απλό πλαίσιο, µε διάφορους λόγους δυσκαµψίας δοκού προς υποστύλωµα και διάφορα κατακόρυφα φορτία στα υποστυλώµατα. Αποδεικνύεται, ότι αυξάνοντας τη στροφική δυσκαµψία των κόµβων, το µήκος λυγισµού των υποστυλωµάτων µειώνεται. Ειδικότερα, µια µικρή αύξηση στη στροφική δυσκαµψία των κόµβων προκαλεί µεγάλη µείωση στο µήκος λυγισµού του στύλου. Το φαινόµενο είναι περισσότερο έντονο στην περιοχή των µικρών δυσκαµψιών του κόµβου. Όταν αυξάνει ο λόγος της δυσκαµψίας του στύλου προς τη δυσκαµψία της δοκού, το µήκος λυγισµού του στύλου επίσης αυξάνει, ενώ το φαινόµενο αυτό είναι περισσότερο έντονο όσο µεγαλύτερη είναι η δυσκαµψία του κόµβου (Σχήµα 4.19) (Aroch κ.ά., 2002). Σχήµα 4.19: Μήκη λυγισµού υποστυλωµάτων σε πλαίσιο µε ηµιάκαµπτους κόµβους

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 131 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Αριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5.1 5.2 5.2.1 5.2.2. 5.2.3 5.2.4. 5.2.5 5.2.6 5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.4 5.3.5 ΓΕΝΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΣΤΕΡΕΟΥΣ, ΑΡΘΡΩΤΟΥΣ ΚΑΙ ΗΜΙΑΚΑΜΠΤΟΥΣ ΚΟΜΒΟΥΣ Γενικά ιαµόρφωση κόµβων Φορτία - φορτίσεις Έλεγχος λειτουργικότητας Μεθοδολογία ανάλυσης φορέα µε ηµιάκαµπτους κόµβους Αποτελέσµατα διαστασιολόγησης συµπεράσµατα ΕΥΡΕΣΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΤΟΧΗΣ ΧΑΛΥΒ ΙΝΟΥ ΚΟΜΒΟΥ ΟΚΟΥ ΥΠΟΣΤΥΛΩΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΟΥ ΚΑΤΑ ΤΟΝ ΕΥΡΩΚΩ ΙΚΑ 3 Μηχανικά χαρακτηριστικά Γεωµετρικά χαρακτηριστικά Εύρεση στροφικής δυσκαµψίας Εύρεση αντοχής Ταξινόµηση ως προς τη δυσκαµψία 5.4 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.4.4 5.4.5 5.4.6 5.4.7 5.4.8 5.5 ΜΟΝΤΕΛΟ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ANSYS Γενικά Στοιχεία SOLID45 Στοιχεία SOLID185 Σύγκριση στοιχείων SOLID45 µε στοιχεία SOLID185 Μονόπλευρη επαφή και χρησιµοποιούµενα στοιχεία Παρουσίαση των επιµέρους τµηµάτων του µοντέλου Επιβολή φόρτισης Αποτελέσµατα αναλύσεων ΓENIKA ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 5.1 ΓΕΝΙΚΑ Κατά τη συνήθη πρακτική, οι χαλύβδινες κατασκευές σχεδιάζονται είτε µε την παραδοχή των στερεών κόµβων είτε µε αυτήν των αρθρωτών. Παράλληλα, η διαµόρφωση των συνδέσεων έχει σηµαντική επιρροή στο κατασκευαστικό και κατά συνέπεια στο συνολικό κόστος των χαλύβδινων κατασκευών. Καθώς οι συνδέσεις επηρεάζουν την κατανοµή των εσωτερικών δυνάµεων και ροπών στους φορείς καθορίζοντας το στατικό τους σύστηµα, ουσιαστικά επηρεάζουν και τις τελικές διατοµές των δοκών και υποστυλωµάτων. Έτσι, η θεώρηση των ηµιάκαµπτων συνδέσεων παρέχει τη δυνατότητα για την ισόρροπη µείωση του κόστους του υλικού των µελών σε σχέση µε τη δαπάνη

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 132 κατασκευής των συνδέσεων. Είναι προφανές, ότι για να αναπαρασταθεί η πραγµατική συµπεριφορά των φορέων χρειάζεται να ληφθεί υπόψη η συγκεκριµένη γεωµετρία των συνδέσεων και συνεπακόλουθα, ότι ο οικονοµικός σχεδιασµός προϋποθέτει την αλληλοεπιδρώσα διαστασιολόγηση µελών και κόµβων. Οι κόµβοι επηρεάζουν τη διαστασιολόγηση των µελών και παράλληλα τα µέλη επηρεάζουν τη διαστασιολόγηση των κόµβων. Με τον τρόπο αυτό, επιτυγχάνεται σηµαντική µείωση του κόστους του υλικού και της εργασίας κατά την κατασκευή, άρα επιτυγχάνεται µείωση του συνολικού κόστους των φορέων. Το παρόν κεφάλαιο καταδεικνύει τα πλεονεκτήµατα του συνυπολογισµού της πραγµατικής συµπεριφοράς των κόµβων στην ανάλυση των χαλύβδινων φορέων, παρουσιάζοντας ένα παράδειγµα της πράξης, στο οποίο αναλύονται και διαστασιολογούνται τρεις φορείς που διαφέρουν µεταξύ τους µόνο ως προς το είδος των κόµβων (στερεοί, αρθρωτοί και ηµιάκαµπτοι κόµβοι). Μετά την ανάλυση και διαστασιολόγηση των φορέων, αποµονώνεται ο κεντρικός αµφίπλευρος ηµιάκαµπτος κόµβος του αντίστοιχου φορέα και ακολουθείται η αναλυτική διαδικασία υπολογισµού της στροφικής δυσκαµψίας, αντοχής και ταξινόµησής του σύµφωνα µε το Παράρτηµα J του Ευρωκώδικα 3 (CEN, 1998). Στη συνέχεια, αναπτύσσεται ένα λεπτοµερές τρισδιάστατο µοντέλο πεπερασµένων στοιχείων που περιγράφει αυτόν τον κόµβο, βάσει του οποίου γίνεται µια σειρά παραµετρικών αναλύσεων. Τέλος, παρουσιάζονται συγκριτικά αποτελέσµατα µεταξύ των προβλέψεων του Ευρωκώδικα 3 και των αποτελεσµάτων ανάλυσης του µοντέλου του κόµβου και διατυπώνονται γενικά συµπεράσµατα που αφορούν στις θετικές επιπτώσεις που έχει η χρήση ηµιάκαµπτων κόµβων στην οικονοµία. 5.2 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΣΤΕΡΕΟΥΣ, ΑΡΘΡΩΤΟΥΣ ΚΑΙ ΗΜΙΑΚΑΜΠΤΟΥΣ ΚΟΜΒΟΥΣ 5.2.1 Γενικά Πρόκειται για διώροφο τρίστυλο πλαίσιο µε διάταξη ανοιγµάτων 6.0 x 2 = 12.0m και συνολικό ύψος 4.0 x 2 = 8.0m. Η απόσταση µεταξύ των φορέων, ώστε αυτοί να αποτελέσουν το κτίριο, είναι 5.0m. Η εντός και εκτός επιπέδου µετάθεση των κόµβων παρεµποδίζεται λόγω θεωρουµένων συστηµάτων δυσκαµψίας προς τις δύο διευθύνσεις (braced frames). Θεωρείται ότι η σύνδεση των πλακών των ορόφων µε τις δοκούς εξασφαλίζει τη µη ανάληψη αξονικών δυνάµεων από τις δοκούς αλλά όχι και τη συνεχή πλευρική τους στήριξη. Κατά συνέπεια, οι δοκοί πρέπει να ελεγχθούν έναντι στρέβλωσης (lateral-torsional buckling). Οι εδράσεις των υποστυλωµάτων διαµορφώνονται ως πακτώσεις και αρθρώσεις εντός και εκτός επιπέδου αντίστοιχα. Το συνολικό ύψος της

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 133 κατασκευής είναι µικρότερο από το µέγιστο µήκος στοιχείων που µπορεί να µεταφερθεί µε τα συνήθη µέσα µεταφοράς Σχήµα 5.1: Γεωµετρία συνοριακές συνθήκες φορέων (περίπου 12µ.), επιτρέπει και οδηγεί στη χρήση συνεχών υποστυλωµάτων. Χρησιµοποιούνται πρότυπες διατοµές της σειράς IPE για τις δοκούς και της σειράς HEB για τους στύλους, από χάλυβα κατηγορίας S235. Όλες οι διατοµές ανήκουν στην κατηγορία 1. Η ποιότητα των κοχλιών είναι 8.8. Όσον αφορά στην ελαστική ευστάθεια των δοκών, θεωρήθηκαν: k=1 (συντελεστής µήκους λυγισµού κάθετα στον άξονα zz) και στις τρεις περιπτώσεις φορέων και k w =1 (βαθµός συστροφικής πάκτωσης) για τους φορείς µε αρθρωτούς και ηµιάκαµπτους κόµβους, ενώ k w =0.5 για τον φορέα µε πακτώσεις, εκτιµώντας ότι η συγκεκριµένη διάταξη κόµβου λόγω της ύπαρξης νευρώσεων στον κορµό και το πέλµα του υποστυλώµατος, παρεµποδίζει την καµπύλωση των διατοµών των δοκών. Λαµβάνει χώρα καθολική ελαστική ανάλυση των φορέων µε χρήση του προγράµµατος SAP2000 Nonlinear 8.2.5 της εταιρείας Computers and Structures, Inc. Η προσοµοίωση των ηµιάκαµπτων κόµβων έγινε µε την τοποθέτηση γραµµικού «ελατηρίου µερικής πάκτωσης» (partial fixity spring) στα άκρα των µελών, δυνατότητα που διαθέτει το εν λόγω λογισµικό.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 134 5.2.2 ιαµόρφωση κόµβων Στα σχήµατα που ακολουθούν παρουσιάζεται η διαµόρφωση των κόµβων για τις τρεις περιπτώσεις φορέων που εξετάζονται (Σχήµατα 5.2, 5.3 και 5.4). Σχήµα 5.2: Στερεοί κόµβοι δοκών υποστυλωµάτων µε νευρώσεις κορµού και πέλµατος υποστυλώµατος Σχήµα 5.3: Αρθρωτοί κόµβοι δοκών υποστυλωµάτων µε µετωπική πλάκα συνδεόµενη στον κορµό της δοκού

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 135 Σχήµα 5.4: Ηµιάκαµπτοι κόµβοι δοκών υποστυλωµάτων µε γωνιακά πελµάτων δοκού 5.2.3 Φορτία φορτίσεις Μόνιµα φορτία Ίδιο βάρος και επιστρώσεις α ορόφου : 1.00kN/m 2 x 5.00m = 5.00 kn/m (Σχήµα 5.5) : 1.00kN/m 2 x 5.00m x 6.00m = 30.00 kn : 1.00kN/m 2 x 5.00m x 3.00m = 15.00 kn Ίδιο βάρος και επιστρώσεις β ορόφου : 0.75kN/m 2 x 5.00m = 3.75 kn/m (Σχήµα 5.5) : 0.75kN/m 2 x 5.00m x 6.00m = 22.50 kn : 0.75kN/m 2 x 5.00m x 3.00m = 11.25 kn (5.1) Μεταβλητά φορτία Ωφέλιµο φορτίο α ορόφου : 2.00kN/m 2 x 5.00m = 10.00 kn/m (Σχήµα 5.6) : 2.00kN/m 2 x 5.00m x 6.00m = 60.00 kn : 2.00kN/m 2 x 5.00m x 3.00m = 30.00 kn Χιόνι β όροφου σύµφωνα µε EC1 : s k =1.25 kn/m 2 (Zώνη ΙΙ), µ 1 =0.8, (CEN, 1995) (Σχήµα 5.6) C e =1.0, C t =1.0, s = µ 1 x C e x C t x s k = = 0.8 x 1.0 x 1.0 x 1.25 = 1.00kN/m 2 : 1.00kN/m 2 x 5.00m = 5.00kN/m

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 136 Άνεµος σύµφωνα µε EC1 και το : v ref,o = 36m/sec, q ref = 0.56kN/m 2, Πληροφοριακό Παράρτηµα Α c pe = +0.2 (oριζόντια οροφή), κατ. εδαφ.: ΙΙΙ, του Μέρους 2-4 (CEN, 1995) c r(ze) = 0.665, c t(z) = 1.0, c e(ze) = 1.56, w e = q ref x c e(ze) x c pe = = 0.56 x 1.56 x 0.20 = 0.17kN/m 2 : 0.17kN/m 2 x 5.00m = 0.85kN/m (5.2) Περιπτώσεις φόρτισης Εξετάστηκαν οι παρακάτω περιπτώσεις φόρτισης (Πίνακας 5.1): Περίπτωση φόρτισης 1 (Σχήµα 5.5) Μόνιµα φορτία Περίπτωση φόρτισης 2 (Σχήµα 5.6) Ωφέλιµα φορτία και χιόνι (καθολικά) Περίπτωση φόρτισης 3 (Σχήµα 5.7) Ωφέλιµα φορτία και χιόνι (δυσµενέστατη θέση) Περίπτωση φόρτισης 4 (Σχήµα 5.8) Ωφέλιµα φορτία, χιόνι και άνεµος (καθολικά) Περίπτωση φόρτισης 5 (Σχήµα 5.9) Ωφέλιµα φορτία, χιόνι και άνεµος (δυσµενέστατη θέση) Πίνακας 5.1: Περιπτώσεις φόρτισης Σ ό,τι αφορά στην ανεµοπίεση, διευκρίζεται ότι ενδιαφέρει µόνο η κατακόρυφη συνιστώσα του ανέµου που ασκείται στον β όροφο (δώµα) µε φορά από πάνω προς τα κάτω και µόνο σε συνδυασµό µε το χιόνι. Ο άνεµος δε λήφθηκε υπόψη ως κύρια µεταβλητή δράση, γιατί η τιµή του είναι µικρότερη από την τιµή του χιονιού. Σχήµα 5.5: Περίπτωση φόρτισης 1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 137 Σχήµα 5.6: Περίπτωση φόρτισης 2 Σχήµα 5.7: Περίπτωση φόρτισης 3 Σχήµα 5.8: Περίπτωση φόρτισης 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 138 Σχήµα 5.9: Περίπτωση φόρτισης 5 Συνδυασµοί φορτίσεων Εξετάστηκαν οι παρακάτω συνδυασµοί φορτίσεων µε τους αντίστοιχους συντελεστές ασφαλείας στις οριακές καταστάσεις αστοχίας και λειτουργικότητας (Πίνακας 5.2): Οριακή κατάσταση αστοχίας Οριακή κατάσταση λειτουργικότητας 1.35 x ΠΦ1 + 1.50 x ΠΦ2 1.00 x ΠΦ1 + 1.00 x ΠΦ2 1.35 x ΠΦ1 + 1.50 x ΠΦ3 1.00 x ΠΦ1 + 1.00 x ΠΦ3 1.35 x ΠΦ1 + 1.35 x ΠΦ4 1.00 x ΠΦ1 + 0.90 x ΠΦ4 1.35 x ΠΦ1 + 1.35 x ΠΦ5 1.00 x ΠΦ1 + 0.90 x ΠΦ5 Πίνακας 5.2: Συνδυασµοί φορτίσεων 5.2.4 Έλεγχος λειτουργικότητας Οι οριακές τιµές που λήφθηκαν υπόψη για τα κατακόρυφα βέλη κάµψης είναι οι εξής: δ max = l / 250 = 6000 / 250 = 24mm για τον α όροφο και δ max = l / 200 = 6000 / 200 = 30mm για τον β όροφο. (5.3) Αποδεικνύεται ότι οι παραπάνω τιµές δεν είναι κρίσιµες για τη διαστασιολόγηση των διατοµών. 5.2.5 Μεθοδολογία ανάλυσης φορέα µε ηµιάκαµπτους κόµβους Κατά την ανάλυση του φορέα µε ηµιάκαµπτους κόµβους (Σχήµα 5.4), εφαρµόστηκε µια επαναληπτική διαδικασία, η οποία περιλαµβάνει τα εξής βήµατα: Θεώρηση µιας αρχικής τιµής στροφικής δυσκαµψίας για τους κόµβους του α και β ορόφου ίσης µε S joint,α = 4524.5 x 10 6 Nmm/rad και S joint,β = 3129.5 x 10 6 Nmm/rad αντίστοιχα. Στην 5.3.3 παρουσιάζεται ο υπολογισµός της στροφικής δυσκαµψίας των κόµβων του α ορόφου, ενώ ο αντίστοιχος υπολογισµός του β ορόφου δεν παρουσιάζεται λόγω οµοιότητας µε τον προηγούµενο.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 139 α επίλυση και διόρθωση της προηγούµενης τιµής δυσκαµψίας βάσει της αναπτυσσόµενης ροπής Μ sd από την α επίλυση ξεχωριστά για κάθε κόµβο (σχέσεις 5.31 και 5.32), β επίλυση και διόρθωση της προηγούµενης τιµής δυσκαµψίας βάσει της αναπτυσσόµενης ροπής Μ sd από την β επίλυση ξεχωριστά για κάθε κόµβο (σχέσεις 5.31 και 5.32), γ επίλυση κοκ. έως ότου οι τιµές της στροφικής δυσκαµψίας πριν και µετά από την κάθε επίλυση να µη διαφέρουν σε ποσοστό µεγαλύτερο του 2%. Στη διαδικασία αυτή λήφθηκε υπόψη ροπή αντοχής M Rd,α = 23.69 knm και M Rd,β = 24.40 knm για τους κόµβους του α και β ορόφου αντίστοιχα. Στην 5.3.4 παρουσιάζεται ο υπολογισµός της ροπής αντοχής των κόµβων του α ορόφου, ενώ ο αντίστοιχος υπολογισµός του β ορόφου δεν παρουσιάζεται λόγω οµοιότητας µε τον προηγούµενο. Σ ό,τι αφορά στις τιµές της αρχικής στροφικής δυσκαµψίας S joint,init. = 9049 x 10 6 Nmm/rad (α όροφος) και S joint,init. = 6259 x 10 6 Nmm/rad (β όροφος), αυτές επιλέχθηκε να αντιστοιχούν σε µονόπλευρους κόµβους, τόσο για τους εξωτερικούς που είναι γεωµετρικά µονόπλευροι, όσο και για τους εσωτερικούς που είναι γεωµετρικά αµφίπλευροι. Το γεγονός της έλλειψης φορτιστικής συµµετρίας κατά τις δυσµενείς φορτίσεις (Σχήµατα 5.7 και 5.9), µε συνέπεια η προκύπτουσα διατµητική παραµόρφωση του κορµού του υποστυλώµατος να µην είναι αµελητέα, προσδίδει τιµή ίση µε τη µονάδα στην παράµετρο µετασχηµατισµού β και αιτιολογεί αυτήν την επιλογή. Οι τιµές της στροφικής δυσκαµψίας πριν και µετά από την τελευταία επίλυση καθώς και οι τιµές της αναπτυσσόµενης ροπής στην τελευταία επίλυση για τους κόµβους του α και β ορόφου σύµφωνα µε τη διαδικασία που περιγράφηκε, παρουσιάζονται στον Πίνακα 5.3. Εξωτερικός κόµβος α ορόφου Εξωτερικός κόµβος β ορόφου Εσωτερικός κόµβος α ορόφου Εσωτερικός κόµβος β ορόφου S joint,πριν [x 10 6 Nmm/rad] 3498 4215 3067 3014 M sd [knm] 21.49 18.47 22.31 20.59 S joint,µετά [x 10 6 Nmm/rad] 3483 4222 3101 3014 ιαφορά 0.4% 0.2% 1.1% 0.0% Πίνακας 5.3: Ροπές και στροφικές δυσκαµψίες των ηµιάκαµπτων κόµβων κατά το τελευταίο βήµα της επαναληπτικής διαδικασίας επίλυσης 5.2.6 Αποτελέσµατα διαστασιολόγησης συµπεράσµατα Στον Πίνακα 5.4 παρατίθενται τα αποτελέσµατα της διαστασιολόγησης δοκών και υποστυλωµάτων, τα βάρη ανά δοµικό µέλος, τα συνολικά βάρη των φορέων καθώς και οι ποσοστιαίες διαφορές µεταξύ των παραπάνω βαρών.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 140 οµικά µέλη Φορέας µε συγκολλητούς στερεούς κόµβους Φορέας µε κοχλιωτούς αρθρωτούς κόµβους Φορέας µε ηµιάκαµπτους κόµβους Εξωτερικοί στύλοι ΗΕΒ 160 HEB 120 HEB 160 Εσωτερικοί στύλοι ΗΕΒ 160 HEB 160 HEB 160 Βάρος στύλων 1022 kg 768 kg 1022 kg ιαφορά βάρους στύλων 100% 75% 100% οκοί α ορόφου IPE 330 IPE 360 IPE 300 οκοί β ορόφου IPE 270 IPE 300 IPE 240 Βάρος δοκών 1022 kg 1192 kg 875 kg ιαφορά βάρους δοκών 117% 136% 100% Βάρος φορέα 2044 kg 1960 kg 1897 kg ιαφορά βάρους φορέων 108% 103% 100% Πίνακας 5.4: Συγκριτικά αποτελέσµατα µεταξύ των εξεταζόµενων φορέων Υποστυλώµατα Στα εσωτερικά υποστυλώµατα κρίσιµο µέγεθος διαστασιολόγησης αποδεικνύεται ότι είναι η αξονική θλιπτική δύναµη. Υπάρχει βέβαια συνδυασµός αξονικής θλίψης και ροπής κάµψης, αλλά προεξάρχει η θλιπτική καταπόνηση, που είναι της ίδιας στάθµης και στις τρεις περιπτώσεις. Προκύπτουν έτσι οι ίδιες διατοµές και στις τρεις περιπτώσεις. Στα εξωτερικά υποστυλώµατα ωστόσο, κρίσιµος είναι ο συνδυασµός αξονικής και ροπής. Στα πλαίσια του συνδυασµού αυτού, καθώς µειώνεται η δυσκαµψία των κόµβων οι τιµές της αξονικής δύναµης αυξάνουν, ενώ αντίθετα µειώνονται οι τιµές της ροπής, όπως προκύπτει από τη συνήθη πλαισιακή λειτουργία. Στην περίπτωση που εκλείπει πλήρως η ροπή (αρθρωτοί κόµβοι), προκύπτει µικρότερη διατοµή. Στις άλλες δύο περιπτώσεις (στερεοί και ηµιάκαµπτοι κόµβοι), οι διατοµές είναι ίδιες λόγω των περίπου ίδιων τιµών αξονικής δύναµης και ροπής. Καθώς κρίσιµος είναι ο λυγισµός εκτός επιπέδου (καµπτικός ή στρεπτοκαµπτικός), τόσο γιατί οι στύλοι λειτουργούν ως αµφιαρθρωτά µέλη όσο και γιατί διαθέτουν τη µικρότερη ακτίνα αδράνειας στη διεύθυνση αυτή, η δυσκαµψία των συνδέσεων εντός επιπέδου δεν επηρεάζει καθόλου τη διαστασιολόγηση των υποστυλωµάτων βάσει της ελαστικής τους ευστάθειας. Κατά συνέπεια, οι στύλοι έχουν το ίδιο µήκος λυγισµού και στις τρεις περιπτώσεις φορέων και έτσι, οι όποιες διαφορές στις απαιτούµενες διατοµές τους µεταξύ των τριών φορέων, οφείλονται µόνο στις διαφορετικές τιµές των αναπτυσσόµενων εντατικών µεγεθών.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 141 οκοί Είναι γεγονός, ότι µε τις συγκεκριµένες συνθήκες γεωµετρίας και δράσεων, η οριακή κατάσταση λειτουργικότητας (έλεγχος του κατακόρυφου βέλους κάµψης) είναι πολύ ευµενής. Οι τιµές των κατακόρυφων µετατοπίσεων στα µέσα των ανοιγµάτων, για τις τρεις περιπτώσεις φορέων, σε σύγκριση µε τις οριακές τιµές τους είναι οι εξής: α όροφος 5mm (πακτώσεις), 11mm (ηµιάκαµπτοι κόµβοι), 9mm (αρθρώσεις) < 24mm (oριακή τιµή), (5.4) β όροφος 6mm (πακτώσεις), 12mm (ηµιάκαµπτοι κόµβοι), 10mm (αρθρώσεις) < 30mm (οριακή τιµή). (5.5) Η ανατροπή της αναµενόµενης σειράς των βελών, κατά την οποία οι δοκοί µε αρθρώσεις θα έπρεπε να εµφανίζουν µεγαλύτερα βέλη από αυτές µε ηµιάκαµπτους κόµβους, οφείλεται στις διαφορετικές διατοµές των δοκών (Πίνακας 5.4) Αντίθετα, αποδεικνύεται καθοριστική η επιρροή της δυσκαµψίας των κόµβων στις οριακές καταστάσεις αστοχίας σε όλες τις δοκούς. H δυσκαµψία των κόµβων επιδρά τόσο στην ανάλυση, προκαλώντας ανακατανοµή των εντατικών µεγεθών, όσο και στη διαστασιολόγηση, επηρεάζοντας την αντοχή των δοκών σε λυγισµό, γεγονός που εκφράζεται µε τη µεταβολή των συντελεστών k και k w και C 1. Η τιµή του τελευταίου εξαρτάται από τη µορφή του διαγράµµατος των ροπών κάµψης των δοκών, που είναι διαφορετική µεταξύ των τριών περιπτώσεων. Συνολικό βάρος φορέων Είναι φανερό, ότι τα αποτελέσµατα της σύγκρισης του συνολικού βάρους των πλαισίων µεταξύ των τριών περιπτώσεων επηρεάζονται τόσο από το πλήθος των υποστυλωµάτων όσο και από τη σχέση µηκών δοκών υποστυλωµάτων. Σ ότι αφορά στο πλήθος των υποστυλωµάτων, παρατηρείται ότι καθώς οι εσωτερικοί στύλοι είναι ίδιοι και στις τρεις περιπτώσεις ενώ οι εξωτερικοί είναι µικρότερης διατοµής στο φορέα µε αρθρώσεις, αν επρόκειτο για εκτεταµένα πολύστυλο φορέα, στον οποίο οι δύο εξωτερικοί στύλοι θα ήταν µόνο ένα µικρό κλάσµα του συνολικού πλήθους των στύλων του, τότε το συγκριτικό πλεονέκτηµα του φορέα µε αρθρώσεις θα υποχωρούσε. Το αποτέλεσµα θα ήταν να αυξηθεί το ποσοστό του 3% υπέρ του φορέα µε ηµιάκαµπτους κόµβους. Για δε τη σχέση µηκών δοκών υποστυλωµάτων, αυτή που επιλέχθηκε στο παράδειγµα (6.0 / 4.0), συναντάται συχνά στην πράξη και κατά συνέπεια µείωση του βάρους του πλαισίου της τάξης του 8% ή 3% σε σχέση µε τη χρήση στερεών ή αρθρωτών κόµβων αντίστοιχα πρέπει να αναµένεται (Πίνακας 5.4).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 142 Βέβαια, το συνολικό κόστος της κατασκευής δεν εξαρτάται µόνο από το κόστος του υλικού που αποτυπώνεται στα ποσοστά του 8% και 3% (για αρθρώσεις και πακτώσεις αντίστοιχα). Η µόρφωση στερεών κόµβων κοστίζει περισσότερο από αυτήν των ηµιάκαµπτων λόγω της πολυπλοκότητάς της µε τη χρησιµοποίηση ελασµάτων δυσκαµψίας κτλ και συνεκδοχικά, η µόρφωση αρθρωτών κόµβων κοστίζει λιγότερο από αυτήν των ηµιάκαµπτων. Συµπερασµατικά, µε την κατάλληλη επιλογή του είδους του κόµβων και των ιδιοτήτων τους µπορούµε να επηρεάσουµε την κατανοµή των εσωτερικών δυνάµεων και ροπών σε όλα τα µέλη των πλαισίων καθώς και την αντοχή των δοκών σε λυγισµό. Μπορούµε να µειώσουµε το κατασκευαστικό κόστος των φορέων απλοποιώντας τις διαµορφώσεις των συνδέσεων και το κυριότερο, µπορούµε να µειώσουµε τις απαιτούµενες διατοµές των δοκών, γεγονός που συνεισφέρει αξιόλογα στη µείωση του συνολικού κόστους των φορέων. Συνοψίζοντας, έχουµε τη δυνατότητα να πετύχουµε τον καλύτερο σχεδιασµό µε το χαµηλότερο συνολικό κόστος. 5.3 ΕΥΡΕΣΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΤΟΧΗΣ ΧΑΛΥΒ ΙΝΟΥ ΚΟΜΒΟΥ ΟΚΟΥ ΥΠΟΣΤΥΛΩΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΟΥ ΚΑΤΑ ΤΟΝ ΕΥΡΩΚΩ ΙΚΑ 3 5.3.1 Μηχανικά χαρακτηριστικά Οριακή εφελκυστική αντοχή Αντοχή διαρροής αστοχίας Κορµός δοκού f ywb = 235N/mm 2 - - Πέλµατα δοκού f yfb = 235N/mm 2 f ufb = 360N/mm 2 Κορµός υποστυλώµατος f ywc = 235N/mm 2 - - Πέλµατα υποστυλώµατος f yfc = 235N/mm 2 f ufc = 360N/mm 2 Γωνιακά πελµάτων f yα = 235N/mm 2 f uα = 360N/mm 2 Κοχλίες - - f ub = 800N/mm 2 Σε πρότυπες διατοµές: f ywb = f yfb και f ywc = f yfc Πίνακας 5.5: Tιµές αντοχής του υλικού των συστατικών του κόµβου Το µέτρο ελαστικότητας του χάλυβα λαµβάνεται: Ε = 210000 Ν/mm 2.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 143 5.3.2 Γεωµετρικά χαρακτηριστικά Σχήµα 5.10: ιάταξη κόµβου Σχήµα 5.11: Υποστύλωµα διατοµής ΗΕB 160 Σχήµα 5.12: οκός διατοµής ΙΡΕ 300

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 144 Σχήµα 5.13: Γωνιακά πελµάτων L150x100x14 Σχήµα 5.14: Κοχλίες Μ20 κατηγορίας 8.8 5.3.3 Εύρεση στροφικής δυσκαµψίας Κορµός υποστυλώµατος σε διάτµηση (µονόπλευρος κόµβος) Α v = Α c - 2 b c x t fc +(t wc + 2 r c ) x t fc = 5430 2 x 160 x 13 + (8 + 2 x 15) x 13 = 1764mm 2 (5.6) 0.385 A v 0.385 1764 k1 = = = 1.88mm (5.7) β h 1 x 362 Κορµός υποστυλώµατος σε διάτµηση (αµφίπλευρος κόµβος) Επειδή πρόκειται για αµφίπλευρη διάταξη κόµβου συµµετρικά φορτισµένη, η παράµετρος µετασχηµατισµού µηδενίζεται (β=0), κατά συνέπεια η δυσκαµψία είναι άπειρη. k 1 = (5.8)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 145 Κορµός υποστυλώµατος σε θλίψη b eff,wc,c = 2 t α + (2-2 )r α + 5 (t fc + r c ) = 2 x 14 + (2-2 ) x 13 + 5 x (13+15) = 175.61mm (5.9) 0.7 beff,wc,c t wc 0.7 175.61 8 k 2 = = = 9.46mm (5.10) h 104 wc Πέλµα δοκού σε θλίψη k 3 = (5.11) Κοχλίες σε εφελκυσµό (σε σύνδεση µε το υποστύλωµα) 16 13 L b = + 4 + 13 + 14 + = 45.5mm (5.12) 2 2 As 245 k4 = 1.6 = 1.6 x = 8.61mm (5.13) L 45.5 b Κορµός υποστυλώµατος σε εφελκυσµό b eff,wc,t = min [2πm, 4m + 1.25e] = min [2π x 27, 4 x 27 + 1.25 x 37] = min [169.56, 154.25] = 154.25mm (5.14) 0.7 beff,wc,t twc 0.7 154.25 8 k5 = = = 8.31mm (5.15) h 104 wc Πέλµα υποστυλώµατος σε κάµψη l eff,fc,t = b eff,wc,t = 154.25mm (5.16) 0.85 l t 3 eff,fc,t fc 0.85 154.25 13 6 = = = 14.63mm (5.17) 3 m 27 k 3 3 Πέλµα γωνιακού σε κάµψη l eff,α,t = b α / 2 = 150 / 2 = 75mm (5.18) 0.85 l t 3 eff,α,t 0.85 75 14 k 7 = = = 1.58mm (5.19) 3 m 48 3 α 3 α

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 146 Γωνιακό σε σύνθλιψη άντυγας (µε το πέλµα της δοκού) Κ b = min [0.25 e b1 d p + 0.5, 0.25 b 45 + 0.375, 1.25] = [0.25 x + d 20 45 0.5, 0.25 x + 0.375, 1.25] = min [1.06, 0.94, 1.25] = 0.94 (5.20) 20 Κ tα = min [1.5 t d α M16 14, 2.5] = min [1.5 x, 2.5] = min [1.31, 2.5] = 1.31 (5.21) 16 2 x 24 Kb Ktα fuα d 2 x 24 0.94 1.31 360 20 k8 = = = 2.03 mm (5.22) E 210000 Κοχλίες σε διάτµηση (σύνδεση δοκού γωνιακού) k 2 2 9 = M16 2 16 fub d 2 16 800 20 = = = 3.05 mm (5.23) E d 210000 16 Πέλµα δοκού σε σύνθλιψη άντυγας Κ b = min [0.25 e b2 d p + 0.5, 0.25 b 48 + 0.375, 1.25] = [0.25 x + d 20 45 0.5, 0.25 x + 0.375, 1.25] = min [1.10, 0.94, 1.25] = 0.94 (5.24) 20 Κ tfb = min [1.5 t d fb M16 10.7, 2.5] = min [1.5 x, 2.5] = min [1.00, 2.5]= 1.00 (5.25) 16 2 x 24 Kb Ktfb fufb d 2 x 24 0.94 1.00 360 20 k10 = = = 1.55mm (5.26) E 210000 Aρχική στροφική δυσκαµψία (µονόπλευρος κόµβος) S joint,init. = E x h 2 / 10 1 1 / k i = 210000 x 362 2 1 / ( 1.88 1 + 9.46 + 1 1 + 8.61 + i= 1 8.31 1 + 14.63 1 + 1.58 1 + 2.03 1 + 3.05 1 + ) = 9049 x 10 6 Nmm/rad (5.27) 1.55

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 147 Στροφική δυσκαµψία για χρήση στην ελαστική ανάλυση (µονόπλευρος κόµβος) Σύµφωνα µε την J.2.2(3)a) του παραρτήµατος J του EC3 απλοποιητικά: αν η δρώσα ροπή σχεδιασµού του κόµβου M j,sd δεν ξεπερνά την τιµή 2/3M j,rd, τότε: S joint = S joint,init = 9049 x 10 6 Nmm/rad, αλλά (5.28) αν η δρώσα ροπή σχεδιασµού του κόµβου M j,sd ξεπερνά την τιµή 2/3M j,rd, τότε: S joint = S joint, init. η = 9049 10 2 6 = 4524.5 x 10 6 Nmm/rad. (5.29) Ακόµη πιο απλοποιητικά, σύµφωνα µε την J.2.2(4) του παραρτήµατος J του EC3, για κάθε τιµή της M j,sd µπορεί να ληφθεί: S joint = S joint, init. η = 9049 10 2 6 = 4524.5 x 10 6 Nmm/rad. (5.30) Σύµφωνα µε την J.4.1 του παραρτήµατος J του EC3, κατά µια ακριβέστερη προσέγγιση της S joint, αν η αξονική δύναµη Ν sd του συνδεόµενου µέλους δεν υπερβαίνει το 10% της πλαστικής αντοχής N pl,rd της διατοµής (στην προκειµένη περίπτωση N sd = 0kN άρα N sd < 0.10Ν pl,rd ), τότε η στροφική δυσκαµψία του κόµβου που αντιστοιχεί σε ροπή M j,sd µικρότερη από τη ροπή αντοχής σχεδιασµού του κόµβου Μ J,Rd µπορεί να προσδιοριστεί από τη σχέση: S joint = S joint, init. µ = 9049 10 µ 6 Nmm/rad, (5.31) όπου: µ = 1.5 M M j,rd j,sd 3.1. (5.32) Με την προσέγγιση αυτή συµφωνεί και το pren 1993-1-8: 2003 6.3.1 όταν 2/3M j,rd < M j,sd < M j,rd (CEN, 2003). Aρχική στροφική δυσκαµψία (αµφίπλευρος κόµβος) S joint,init. = E x h / 10 2 i= 1 1 / k i = 210000 x 362 2 / ( 1 1 + 9.46 + 1 1 + 8.61 + 1 8.31 1 + 14.63 1 + 1.58 1 + 2.03 1 + 3.05 1 + ) = 10957 x 10 6 Nmm/rad (5.33) 1.55

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 148 Στροφική δυσκαµψία για χρήση στην ελαστική ανάλυση (αµφίπλευρος κόµβος) Σύµφωνα µε την J.2.2(3)a) του παραρτήµατος J του EC3 απλοποιητικά: αν η δρώσα ροπή σχεδιασµού του κόµβου M j,sd δεν ξεπερνά την τιµή 2/3M j,rd, τότε: S joint = S joint,init = 10957 x 10 6 Nmm/rad, αλλά (5.34) αν η δρώσα ροπή σχεδιασµού του κόµβου M j,sd ξεπερνά την τιµή 2/3M j,rd, τότε: S joint = S joint,init. η = 10957 10 2 6 = 5478.5 x 10 6 Nmm/rad. (5.35) Ακόµη πιο απλοποιητικά, σύµφωνα µε την J.2.2(4) του παραρτήµατος J του EC3, για κάθε τιµή της M j,sd µπορεί να ληφθεί: S joint = S joint,init. η = 10957 10 2 6 = 5478.5 x 10 6 Nmm/rad. (5.36) Σύµφωνα µε την J.4.1 του παραρτήµατος J του EC3, κατά µια ακριβέστερη προσέγγιση της S joint, αν η αξονική δύναµη Ν sd του συνδεόµενου µέλους δεν υπερβαίνει το 10% της πλαστικής αντοχής N pl,rd της διατοµής (εν προκειµένω N sd = 0kN άρα N sd < 0.10Ν pl,rd ), τότε η στροφική δυσκαµψία του κόµβου που αντιστοιχεί σε ροπή M j,sd µικρότερη από τη ροπή αντοχής σχεδιασµού του κόµβου Μ J,Rd µπορεί να προσδιοριστεί από τη σχέση: S joint = S joint, init. µ = 10957 10 µ 6 Nmm/rad, (5.37) όπου: µ = 1.5 M M j,rd j,sd 3.1. (5.38) Με την προσέγγιση αυτή συµφωνεί και το pren 1993-1-8: 2003 6.3.1 όταν 2/3M j,rd < M j,sd < M j,rd (CEN, 2003). 5.3.4 Εύρεση αντοχής Κορµός υποστυλώµατος σε διάτµηση (µονόπλευρος κόµβος) Α v = Α c - 2 b c x t fc +(t wc + 2 r c ) x t fc = 5430 2 x 160 x 13 + (8 + 2 x 15) x 13 = 1764mm 2 (5.39) V wc,rd 0.9 A v x f = 3 γ MO ycw 0.9 1764 x 235 = 3 x 1.10 = 195.82 x 10 3 N (5.40)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 149 F V 3 wc,rd 195.82 10 3 = = = 195.82 10 N (5.41) β 1 Rd,1 Κορµός υποστυλώµατος σε διάτµηση (αµφίπλευρος κόµβος) Επειδή πρόκειται για αµφίπλευρη διάταξη κόµβου συµµετρικά φορτισµένη, η παράµετρος µετασχηµατισµού µηδενίζεται (β=0), κατά συνέπεια η αντοχή είναι άπειρη. F = (5.42) Rd,1 Κορµός υποστυλώµατος σε θλίψη (µονόπλευρος κόµβος) b eff,wc,c = 2 t α + (2-2 )r α + 5 (t fc + r c ) = 2 x 14 + (2-2 ) x 13 + 5 x (13+15) = 175.61mm (5.43) ρ c = 1 + 1.3 (β x b 1 eff,wc,c x t wc / A v ) 2 = 1 1 + 1.3(1 x 175.61 x 8 / 1764) 2 = 0.74 (5.44) Έστω k wc = 1.0 (η αντοχή του κορµού του υποστυλώµατος σε θλίψη δεν αποµειώνεται λόγω της διαµήκους θλιπτικής τάσης της διατοµής εξαιτίας αξονικών δυνάµεων και ροπών). F Rd,2 = k wc x ρ c x b eff,wc,c x t wc x f ywc / γ Mo = = 1.0 x 0.74 x 175.61 x 8 x 235 x 10-3 / 1.10 = 222.10 x 10 3 N (5.45) Κορµός υποστυλώµατος σε θλίψη (αµφίπλευρος κόµβος) Επειδή πρόκειται για αµφίπλευρη διάταξη κόµβου συµµετρικά φορτισµένη, η παράµετρος µετασχηµατισµού µηδενίζεται (β=0), κατά συνέπεια ο µειωτικός συντελεστής ρ c που λαµβάνει υπόψη την πιθανή επιρροή της διάτµησης είναι ίσος µε τη µονάδα (ρ c =1.0). F Rd,2 = k wc x ρ c x b eff,wc,c x t wc x f ywc / γ Mo = = 1.0 x 1.0 x 175.61 x 8 x 235 x 10-3 / 1.10 = 300.13 x 10 3 N (5.46) Πέλµα δοκού σε θλίψη M c,rd =M pl,rd = W pl x f yfb / γ Mo = 628 x 235 / 1.10 = 134.16 x 10 6 Nmm (5.47) F Mc,Rd = h - t 6 134.16 x 10 Rd,3 = = b fb 300-10.7 463.74 x 10 3 N (5.48)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 150 Κοχλίες σε εφελκυσµό (σε σύνδεση µε το υποστύλωµα) F 0.9 x fub x A s 0.9 x 800 x 245 3 = = 141.12 x 10 N (5.49) γ 1.25 t, Rd = Mo B t,rd = F t,rd = 141.12 x 10 3 N (5.50) F Rd,4 = 2 x 141.12 x 10 3 = 282.24 x 10 3 N (5.51) Κορµός υποστυλώµατος σε εφελκυσµό (µονόπλευρος κόµβος) b eff,wc,t = min [2πm, 4m + 1.25e] = min [2π x 27, 4 x 27 + 1.25 x 37] = min [169.56, 154.25] = 154.25mm (5.52) ρ t = 1 + 1.3 (β x b 1 eff.wc,t x t wc / A v ) 2 = 1 1 + 1.3(1 x 154.25 x 8 / 1764) 2 = 0.78 (5.53) F Rd,5 = ρ t x b eff,wc,t x t wc x f ywc / γ Mo = = 0.78 x 154.25 x 8 x 235 10-3 / 1.10 x = 205.63 x 10 3 N (5.54) Κορµός υποστυλώµατος σε εφελκυσµό (αµφίπλευρος κόµβος) ρ t = 1 + 1.3 (β x b 1 eff.wc,t x t wc / A v ) 2 = 1 1 + 1.3(1 x 154.25 x 8 / 1764) 2 = 0.78 (5.55) Επειδή πρόκειται για αµφίπλευρη διάταξη κόµβου συµµετρικά φορτισµένη, η παράµετρος µετασχηµατισµού µηδενίζεται (β=0), κατά συνέπεια ο µειωτικός συντελεστής ρ t που λαµβάνει υπόψη την πιθανή επιρροή της διάτµησης είναι ίσος µε τη µονάδα (ρ t =1.0). F Rd,5 = ρ t x b eff,wc,t x t wc x f ywc / γ Mo = = 1.00 x 154.25 x 8 x 235 x 10-3 / 1.10 = 263.63 x 10 3 N (5.56) Πέλµα υποστυλώµατος σε κάµψη l eff,fc,t = b eff,wc,t = 154.25mm (5.57) m 2 0.25 t fc fyfc 2 0.25 13 235 3 = = 9.03 x 10 N (5.58) γ 1.10 pl, fc = Mo e w = d w / 4 = 34.64 / 4 = 8.66mm (5.59)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 151 n = min [e, 1.25m, (b α - w)/2] = min [37, 1.25 x 27, (150-86)/2] = min [37, 33.75, 32] = 32mm (5.60) F fc, Rd,t1 (8 n - 2 ew) x l = 2 m x n - e eff,fc,t w x m (m + n) pl,fc = 3 (8 x 32-2 x 8.66) x 154.25 x 9.03 x 10 2 x 27 x 32-8.66 x (27 + 32) = 273.16 x 10 3 N (5.61) F fc, Rd, t2 2 l = eff,fc,t x m pl,fc m + n + 2 B t,rd x n = 2 x 154.25 x 9.03 x 10 + 2 x 141.12 27 + 32 3 x 32 = 200.29 x 10 3 N 5.62) F Rd,6 = min [F fc,rd,t1, F fc,rd,t2 ] = min [273.16 x 10 3, 200.29 x 10 3 ] = 200.29 x 10 3 N (5.63) Πέλµα γωνιακού σε κάµψη l eff,α,t = b α / 2 = 150 / 2 = 75mm (5.64) n α = min [e α, 1.25 m α ] = min [45, 1.25 x 48] = min [45, 60] = 45mm (5.65) m 2 0.25 tα fyα 2 0.25 14 235 3 = = 10.47 x 10 N (5.66) γ 1.10 pl, α = Mo e f = d f / 4 = 37.00 / 4 = 9.25mm (5.67) 1η µορφή αστοχίας: πλήρης διαρροή του πέλµατος του γωνιακού 4 l x m 3 eff,α,t pl,α 4 x 75 x 10.47 x 10 Fα, Rd,t1 = = = 65.44 x 10 3 N (5.68) m 48 α 1 η µορφή αστοχίας: πλήρης διαρροή του πέλµατος του γωνιακού (εναλλακτική µέθοδος) F' α, Rd,t1 (8 nα - 2 ef) x l = 2 m x n - e (m α α f eff,α,t α x m pl,α + n ) α = (8 x 45-2 x 9.25) x 75 x 10.47 x 10 2 x 48 x 45-9.25 x (48 + 45) 3 = 77.51 x 10 3 N (5.69)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 152 2 η µορφή αστοχίας: αστοχία κοχλιών µε διαρροή του πέλµατος του γωνιακού F α, Rd, t2 2 l = eff, α, t x m m pl, α α + 2 B + n α t,rd x n α = 2 x 75 x 10.47 x 10 + 2 x 141.12 48 + 45 3 x 10 3 x 45 = 153.45 x 10 3 N (5.70) F Rd,7 = min [F α,rd,1, F α,rd,2 ] = min [65.44 x 10 3, 153.45 x 10 3 ] = 65.44 x 10 3 N (5.71) Αν γίνει χρήση της εναλλακτικής µεθόδου: F Rd,7 = min [F α,rd,1, F α,rd,2 ] = min [77.51 x 10 3, 153.45 x 10 3 ] = 77.51 x 10 3 N (5.72) Γωνιακό σε σύνθλιψη άντυγας (σε σύνδεση µε το πέλµα της δοκού) α α e = min [ 3 d b1 o pb, 3 d o 1 -, 4 f f ub ua 45, 1.0] = min[ 3 x 22 45 1, -, 3 x 22 4 800, 1.0] = 360 min [0.68, 0.43, 2.22, 1.0] = 0.43mm (5.73) F Rd,8 = 10 x α α x f uα x d x t α / γ Mb = 10 x 0.43 x 360 x 20 x 14 / 1.25 = 346.75 x 10 3 N (5.74) Κοχλίες σε διάτµηση F 4 x 0.6 x fub x As 4 x 0.6 x 800 x 245 3 = = 376.32 x 10 N (5.75) γ 1.25 Rd,9 = Mb Πέλµα δοκού σε σύνθλιψη άντυγας α fb eb2 = min [ 3 d o pb, 3 d o 1 -, 4 f f ub ufb 48 45 1 800, 1.0] = min [, -,, 1.0] = 3 x 22 3 x 22 4 360 min [0.73, 0.43, 1.0] = 0.43 (5.76) F Rd,10 = 10 x α fb x f ufb x d x t fb / γ Mb = 10 x 0.43 x 360 x 20 x 10.7 / 1.25 = 265.02 x 10 3 N (5.77) Mονόπλευρος κόµβος F Rd = min [F Rd,1, F Rd,2, F Rd,3, F Rd,4, F Rd,5, F Rd,6, F Rd,7, F Rd,8, F Rd,9, F Rd,10 ] = = min [195,82 x 10 3, 222.10 x 10 3, 463.74 x 10 3, 282.24 x 10 3, 205.63 x 10 3, 200.29 x 10 3, 65.44 x 10 3, 346.75 x 10 3, 376.32 x 10 3, 265.02 x 10 3 ] = = 65.44 x 10 3 N (5.78)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 153 Αν γίνει χρήση της εναλλακτικής µεθόδου για τον υπολογισµό της αντοχής του πέλµατος του γωνιακού σε κάµψη: F Rd = min [F Rd,1, F Rd,2, F Rd,3, F Rd,4, F Rd,5, F Rd,6, F Rd,7, F Rd,8, F Rd,9, F Rd,10 ] = = min [195,82 x 10 3, 222.10 x 10 3, 463.74 x 10 3, 282.24 x 10 3, 205.63 x 10 3, 200.29 x 10 3, 77.51 x 10 3, 346.75 x 10 3, 376.32 x 10 3, 265.02 x 10 3 ] = = 77.51 x 10 3 N (5.79) Ροπή αντοχής (µονόπλευρος κόµβος) M Rd = F Rd x h = 65.44 x 10 3 x 362 = 23.69kNm (5.80) Αν γίνει χρήση της εναλλακτικής µεθόδου για τον υπολογισµό της αντοχής του πέλµατος του γωνιακού σε κάµψη: M Rd = F Rd x h = 77.51 x 10 3 x 362 = 28.06kNm (5.81) Ελαστικό όριο της ροπής αντοχής (µονόπλευρος κόµβος) 2/3 x 23.69 = 15.79kNm (εναλλακτικά: 2/3 x 28.06 = 18.71kNm) (5.82) Aµφίπλευρος κόµβος F Rd = min [F Rd,1, F Rd,2, F Rd,3, F Rd,4, F Rd,5, F Rd,6, F Rd,7, F Rd,8, F Rd,9, F Rd,10 ] = = min [, 300.13 x 10 3, 463.74 x 10 3, 282.24 x 10 3, 263,63 x 10 3, 200.29 x 10 3, 65.44 x 10 3, 346.75 x 10 3, 376.32 x 10 3, 265.02 x 10 3 ] = 65.44 x 10 3 N (5.83) Αν γίνει χρήση της εναλλακτικής µεθόδου για τον υπολογισµό της αντοχής του πέλµατος του γωνιακού σε κάµψη: F Rd = min [F Rd,1, F Rd,2, F Rd,3, F Rd,4, F Rd,5, F Rd,6, F Rd,7, F Rd,8, F Rd,9, F Rd,10 ] = = min [, 300.13 x 10 3, 463.74 x 10 3, 282.24 x 10 3, 263,63 x 10 3, 200.29 x 10 3, 77.51 x 10 3, 346.75 x 10 3, 376.32 x 10 3, 265.02 x 10 3 ] = 77.51 x 10 3 N (5.84) Ροπή αντοχής (αµφίπλευρος κόµβος) M Rd = F Rd x h = 65.44 x 10 3 x 362 = 23.69kNm (5.85) Αν γίνει χρήση της εναλλακτικής µεθόδου για τον υπολογισµό της αντοχής του πέλµατος του γωνιακού σε κάµψη: M Rd = F Rd x h = 77.51 x 10 3 x 362 = 28.06kNm (5.86) Ελαστικό όριο της ροπής αντοχής (αµφίπλευρος κόµβος) 2/3 x 23.69 = 15.79kNm (εναλλακτικά: 2/3 x 28.06 = 18.71kNm) (5.87)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 154 5.3.5 Ταξινόµηση ως προς τη δυσκαµψία Ένας κόµβος µπορεί να ταξινοµηθεί ως άκαµπτος, ονοµαστικά αρθρωτός ή ηµιάκαµπτος σε σχέση µε τη δυσκαµψία του, αν συγκριθεί η αρχική στροφική δυσκαµψία του S joint,init. µε τη δυσκαµψία της συµβάλλουσας δοκού. Έτσι: Για τον α όροφο του φορέα του παραδείγµατος που διαθέτει σύστηµα πλευρικής δυσκαµψίας (Σχήµατα 5.1 και 5.4) ισχύει: 4 8 6 E Ib 8 x 210000 x 8360 x 10 = = 23408 x 10 Nmm και (5.88) L 6000 b 4 0.5 E Ib 0.5 x 210000 x 8360 x 10 6 = = 1463 x 10 Nmm. (5.89) L 6000 b Από τη σχέση 5.27 ισχύει: S joint,init. = 9049 x 10 6 Nmm/rad, άρα 0.5 E I L b b 8 E Ib < Sjoint,init. < (5.90) L b και οι κόµβοι κατατάσσονται στους ηµιάκαµπτους σύµφωνα µε την J.2.5.1 του Παραρτήµατος J του Ευρωκώδικα 3 (CEN, 1998). Για το β όροφο (Σχήµατα 5.1 και 5.4) ισχύει οµοίως: 4 8 6 E Ib 8 x 210000 x 3890 x 10 = = 10892 x 10 Nmm και (5.91) L 6000 b 4 0.5 E Ib 0.5 x 210000 x 3890 x 10 6 = = 680.75 x 10 Nmm. (5.92) L 6000 b Αποδεικνύεται ότι S joint,init. = 6259 x 10 6 Nmm/rad (βλ. και 5.2.5), άρα 0.5 E I L b b 8 E Ib < Sjoint,init. < (5.93) L b και οµοίως οι κόµβοι κατατάσσονται στους ηµιάκαµπτους σύµφωνα µε την J.2.5.1 του Παραρτήµατος J του Ευρωκώδικα 3 (CEN, 1998).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 155 5.4 ΜΟΝΤΕΛΟ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ANSYS 5.4.1 Γενικά Για τον ακριβέστερο υπολογισµό της στροφικής δυσκαµψίας και αντοχής του κεντρικού κόµβου του α ορόφου του πλαισιακού φορέα του παραδείγµατος (Σχήµα 5.15), καθώς και για λόγους αξιολόγησης της αναλυτικής διαδικασίας που προβλέπει ο Ευρωκώδικας 3 (Παράρτηµα J), δηµιουργήθηκε ένα µοντέλο πεπερασµένων στοιχείων που περιγράφει το ¼ του πραγµατικού κόµβου αξιοποιώντας τις ιδιότητες της γεωµετρικής συµµετρίας ως προς δύο επίπεδα, την οποία ο τελευταίος διαθέτει (Σχήµατα 5.16 και 5.17). Το α επίπεδο συµµετρίας (X=-80), είναι το κατακόρυφο επίπεδο που τέµνει κάθετα τον κορµό του υποστυλώµατος και περνάει από το µέσο αυτού, ενώ το β επίπεδο συµµετρίας (Z=0), είναι επίσης κατακόρυφο και βρίσκεται στο επίπεδο του κορµού της δοκού. Σχήµα 5.15: Ο κεντρικός ηµιάκαµπτος κόµβος του α ορόφου και τα επίπεδα συµµετρίας του Κατά τη µοντελοποίηση, η εν λόγω κατασκευή απαρτίζεται από δέκα οντότητες (υποστύλωµα, δοκός, δύο γωνιακά και έξι κοχλίες). Η αλληλεπίδραση µεταξύ των οντοτήτων αυτών εξετάζεται µε τη χρήση συνθηκών µονόπλευρης επαφής σε όλες τις διεπιφάνειες που σχηµατίζονται ανάµεσά τους. Αυτό συµβαίνει εξαιτίας του γεγονότος, ότι δεν είναι εκ των προτέρων γνωστό ποιες από τις επιφάνειες αυτές βρίσκονται σε επαφή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 156 Σχήµα 5.16: Το ½ του υπό εξέταση κόµβου Σχήµα 5.17: Το ¼ του υπό εξέταση κόµβου, το οποίο µοντελοποιήθηκε

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 157 Σχήµα 5.18: Όψεις του µοντέλου µε αναγραφή των διαστάσεών του στον παραµορφωµένο φορέα µετά την επιβολή της φόρτισης. Στην αντίθετη περίπτωση, αν ήταν δηλαδή εκ των προτέρων γνωστό, ποιές από τις διεπιφάνειες βρίσκονται σε επαφή ή όχι στον παραµορφωµένο φορέα, τότε αυτές που θα ήταν σε µόνιµη επαφή, στις οποίες αναπτύσσονται µόνιµα θλιπτικές τάσεις, δε θα χρειαζόταν να ανήκουν σε διαφορετικές οντότητες, ενώ εκείνες που θα ήταν µονίµως σε απόσταση µεταξύ τους, στις οποίες οι τάσεις είναι µονίµως µηδενικές, δε θα χρειαζόταν να συνδέονται µεταξύ τους. Και στις δύο περιπτώσεις, δε θα χρησιµοποιούνταν στοιχεία επαφής µε αποτέλεσµα την ευκολότερη σύγκλιση και το συντοµότερο χρόνο ανάλυσης του µοντέλου.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 158 Σηµειώνεται επίσης, ότι οι κορµοί των κοχλιών που καταπονούνται πρωτίστως σε διάτµηση, βρίσκονται εξαρχής σε επαφή µε τις άντυγες των διατοµών. Έτσι η µεταφορά των δυνάµεων στις περιοχές αυτές, πραγµατοποιείται πλήρως µέσω διατµητικής καταπόνησης των κορµών και σύνθλιψης των αντίστοιχων αντυγών χωρίς συνεισφορά της όποιας τριβής µεταξύ δακτυλίων διατοµών ή κεφαλών κοχλιών διατοµών (συνδέσεις τύπου άντυγας). Κάτι τέτοιο κρίθηκε αναγκαίο λόγω του µεγάλου πλήθους των κόµβων και στοιχείων που χρησιµοποιήθηκαν (91205 κόµβοι και 89578 στοιχεία), των πολλών επιφανειών µονόπλευρης επαφής και κατά συνέπεια της πολύ µεγάλης δυσκολίας σύγκλισης του µοντέλου. Για µέν τις διατοµές παραδεχόµαστε τη σχέση τάσεων - παραµορφώσεων του Σχήµατος 5.20, ενώ για τους κοχλίες του Σχήµατος 5.21. Η ανάλυση που έγινε είναι στατική και περιλαµβάνει επαφή, πλαστικοποίηση και µεγάλες παραµορφώσεις. Κατά τη γεωµετρία του µοντέλου δεν έγινε καµιά απλοποιητική παραδοχή για λόγους ευχερέστερης µοντελοποίησης, σε σχέση µε τις ακριβείς διαστάσεις των διατοµών, τις ακτίνες στρογγύλευσης και τις θέσεις και διαστάσεις των οπών των πελµάτων. Προσοµοιώθηκε µε ακρίβεια 1/10 χιλιοστού ο τυπικός ηµιάκαµπτος κόµβος δοκού υποστυλώµατος µε γωνιακά πελµάτων, ο οποίος εικονίζεται στα Σχήµατα 5.17 και 5.18. Οι διαστάσεις της διατοµής ΙΡΕ 300 είναι σύµφωνα µε την EURONORM 19-57 (DIN 1025), της ΗΕΒ 160 σύµφωνα µε τις EURONORM 53-62 (DIN 1025) και τα ανισοσκελή γωνιακά L 150x100x14 σύµφωνα µε την EURONORM 57 (DIN 1029). Oι οπές των πελµάτων όλων των διατοµών ακολουθούν το DIN 997. Oι διαστάσεις των κοχλιών Μ20 που χρησιµοποιήθηκαν είναι σύµφωνα µε τα DIN 7990, DIN 7968 και DIN 555 (Σχήµα 5.19 και Πίνακας 5.6). Σχήµα 5.19: ιαστάσεις χρησιµοποιούµενων κοχλιών ιάµετρος ελίκωσης: d 1 = 20 mm Ύψος κεφαλής: k = 13 mm Ύψος περικοχλίου: m = 16 mm Εξωτερική διάµετρος κυκλικού δακτυλίου: d 2 = 37 mm Άνοιγµα κλειδιού: s = 30 mm ιατοµή κορµού: - 314 mm 2 Πίνακας 5.6: ιαστάσεις χρησιµοποιούµενων κοχλιών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 159 Aντίθετα, δεν υιοθετήθηκε ο δακτύλιος πάχους 8 mm που προβλέπεται από το συνακόλουθο DIN 7989, γιατί κρίθηκε ως µη χρησιµοποιούµενος στην πράξη. Αντ αυτού, χρησιµοποιήθηκε δακτύλιος πάχους 4 mm κατά το DIN 6916. σ (ΜPa) 400 350 300 250 200 150 100 50 0 ιάγραµµα σ - ε 0 5 10 15 20 25 ε (%) Σχήµα 5.20: ιάγραµµα τάσεων σ ανηγµένων παραµορφώσεων ε για το υλικό των διατοµών ΙΡΕ300, ΗΕΒ160 και L150x100x14, που χρησιµοποιήθηκαν ιάγραµµα σ - ε σ (MPa) 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 0 2 4 6 8 10 12 ε (%) Σχήµα 5.21: ιάγραµµα τάσεων σ ανηγµένων παραµορφώσεων ε για το υλικό των κοχλιών Μ20, που χρησιµοποιήθηκαν

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 160 5.4.2 Στοιχεία SOLID45 Η γεωµετρία, οι θέσεις των κόµβων (I, J, K, L, M, N, O, P) και το σύστηµα συντεταγµένων των στοιχείων φαίνονται στο Σχήµα 5.22. Σχήµα 5.22: Γεωµετρία και σύστηµα συντεταγµένων του στοιχείου SOLID45 Πρόκειται για οκτάκοµβα στοιχεία µε τρεις βαθµούς ελευθερίας σε κάθε κόµβο (µετατοπίσεις u, v και w στις διευθύνσεις των κόµβων x, y και z). Τα στοιχεία αποτελούνται από ορθότροπο υλικό, έχουν δυνατότητα ελαστοπλαστικής συµπεριφοράς, καθώς και δυνατότητα µεγάλων παραµορφώσεων (γεωµετρική µη γραµµικότητα). Χρήση της δυνατότητας αυτής γίνεται στο εν λόγω µοντέλο. Οι διευθύνσεις του ορθότροπου υλικού αντιστοιχούν στο σύστηµα συντεταγµένων του στοιχείου, το οποίο είναι ορθοκανονικό, ακολουθεί τον κανόνα του «δεξιού χεριού» και ο εξ ορισµού προσανατολισµός του είναι παράλληλος µε το καθολικό καρτεσιανό σύστηµα. Σ ό,τι αφορά στα αποτελέσµατα της ανάλυσης, υπάρχει η δυνατότητα να εµφανιστούν αυτά µε δύο µορφές: Ως µετακινήσεις των κόµβων, ή ως πλήθος επιπρόσθετων αποτελεσµάτων του στοιχείου, όπως τάσεις ανά διεύθυνση, κύριες και ισοδύναµες τάσεις von Mises, ελαστικές παραµορφώσεις ανά διεύθυνση, κύριες και ισοδύναµες ελαστικές παραµορφώσεις von Mises, µέσες τιµές πλαστικών παραµορφώσεων και ισοδύναµες πλαστικές παραµορφώσεις von Mises, το λόγο αναπτυσσόµενης τάσης προς δοθείσα τάση διαρροής, ελαστικές παραµορφώσεις επιφάνειας, κύριες τάσεις και ισοδύναµες τάσεις von Mises επιφάνειας κτλ. Ειδικά για τις διευθύνσεις των εµφανιζόµενων τάσεων του στοιχείου, αυτές είναι παράλληλες µε το τοπικό σύστηµα συντεταγµένων του. Για τα δε αποτελέσµατα των τάσεων επιφάνειας, αυτά ακολουθούν το σύστηµα συντεταγµένων της επιφάνειας και είναι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 161 διαθέσιµα για όλες τις επιφάνειες του στοιχείου. Ενδεικτικά, τα συστήµατα συντεταγµένων για τις επιφάνειες IJNM και KLPO φαίνονται στη Σχήµα 5.23, ενώ τα συστήµατα συντεταγµένων των τάσεων των άλλων επιφανειών έχουν αντίστοιχο προσανατολισµό. Σχήµα 5.23: ιευθύνσεις τάσεων στα στοιχεία SOLID45 και SOLID185 ως προς το καθολικό σύστηµα συντεταγµένων Ωστόσο, το στοιχείο SOLID45 έχει τους εξής περιορισµούς: εν επιτρέπεται να έχει µηδενικό όγκο. Η αρίθµηση των κόµβων πρέπει να γίνεται όπως δείχνει το Σχήµα 5.22, ειδεµή, τα επίπεδα IJKL και MNOP θα αλληλοαντικατασταθούν. Το στοιχείο δεν µπορεί να παραµορφωθεί σε τρόπο ώστε να αποτελείται από δύο ξεχωριστούς όγκους µορφής τετραγωνικής πυραµίδας µε κοινό τον κόµβο της κορυφής τους. Αυτό συµβαίνει στην περίπτωση που γίνεται λανθασµένα η αρίθµηση των κόµβων του. Όλα τα στοιχεία πρέπει να έχουν οκτώ κόµβους, αλλά (Σχήµα 5.24): o o υπάρχει η δυνατότητα να παραχθεί στοιχείο µορφής πρίσµατος αν ταυτιστούν ο κόµβος Κ µε τον κόµβο L και ο Ο µε τον P, και µπορεί να παραχθεί στοιχείο µορφής τριγωνικής πυραµίδας αν ταυτιστούν οι κόµβοι M,N,O και P (ANSYS Inc., 2000). Σχήµα 5.24: Στοιχεία SOLID45 και SOLID185 µορφής πρίσµατος και τριγωνικής πυραµίδας 5.4.3 Στοιχεία SOLID185 Η γεωµετρία και οι θέσεις των κόµβων (I, J, K, L, M, N, O, P) των στοιχείων φαίνονται στο Σχήµα 5.25.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 162 Σχήµα 5.25: Γεωµετρία του στοιχείου SOLID185 Πρόκειται επίσης για οκτάκοµβα στοιχεία µε τρεις βαθµούς ελευθερίας σε κάθε κόµβο (µετατοπίσεις u, v και w στις διευθύνσεις των κόµβων x, y και z). Και αυτά τα στοιχεία, όπως και τα SOLID45, αποτελούνται από ορθότροπο υλικό, έχουν δυνατότητα ελαστοπλαστικής αλλά και υπερελαστικής συµπεριφοράς, καθώς και δυνατότητα µεγάλων παραµορφώσεων (γεωµετρική µη γραµµικότητα). Η τελευταία δυνατότητα αξιοποιείται στο µοντέλο που αναλύεται. Το εξ ορισµού σύστηµα συντεταγµένων του στοιχείου αντιστοιχεί στις καθολικές διευθύνσεις. Ο χρήστης µπορεί να ορίσει κατά βούληση ένα σύστηµα συντεταγµένων ως προς το οποίο περιγράφονται οι ορθοκανονικές ιδιότητες του υλικού και εµφανίζονται τα αποτελέσµατα των τάσεων και παραµορφώσεων. Σ ό,τι αφορά στα αποτελέσµατα της ανάλυσης, υπάρχει η δυνατότητα να εµφανιστούν αυτά µε δύο µορφές: Ως µετακινήσεις των κόµβων, ή ως πλήθος επιπρόσθετων αποτελεσµάτων του στοιχείου, όπως τάσεις ανά διεύθυνση, κύριες και ισοδύναµες τάσεις von Mises, ελαστικές παραµορφώσεις ανά διεύθυνση, κύριες και ισοδύναµες ελαστικές παραµορφώσεις von Mises, πλαστικές παραµορφώσεις και ισοδύναµες πλαστικές παραµορφώσεις von Mises κτλ. Στο Σχήµα 5.23 απεικονίζονται οι διευθύνσεις των τάσεων του στοιχείου στο τοπικό σύστηµα συντεταγµένων. Όπως και το στοιχείο SOLID45, έτσι και το SOLID185 υπόκειται στους εξής περιορισµούς: εν επιτρέπεται να έχει µηδενικό όγκο. Η αρίθµηση των κόµβων πρέπει να γίνεται όπως δείχνει το Σχήµα 5.25, ειδεµή, τα επίπεδα IJKL και MNOP θα αλληλοαντικατασταθούν. Το στοιχείο δεν µπορεί να παραµορφωθεί σε τρόπο ώστε να αποτελείται από δύο ξεχωριστούς όγκους µορφής τετραγωνικής πυραµίδας µε κοινό τον κόµβο της

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 163 κορυφής τους. Αυτό συµβαίνει στην περίπτωση που γίνεται λανθασµένα η αρίθµηση των κόµβων του. Όλα τα στοιχεία πρέπει να έχουν οκτώ κόµβους, αλλά (Σχήµα 5.24): o o υπάρχει η δυνατότητα να παραχθεί στοιχείο µορφής πρίσµατος αν ταυτιστούν ο κόµβος Κ µε τον κόµβο L και ο Ο µε τον P, και µπορεί να παραχθεί στοιχείο µορφής τριγωνικής πυραµίδας αν ταυτιστούν οι κόµβοι M,N,O και P (ANSYS Inc., 2000). 5.4.4 Σύγκριση στοιχείων SOLID45 µε στοιχεία SOLID185 Στο δοκιµαστικό µοντέλο της πλάκας που ακολουθεί (Σχήµα 5.26), γίνεται συγκριτική παρουσίαση µεταξύ της συµπεριφοράς των στοιχείων SOLID45 και των στοιχείων SOLID185, µε στόχο την αξιολόγησή τους και την επιλογή των πιο κατάλληλων για να χρησιµοποιηθούν στο µοντέλο που επιλύθηκε (Σχήµα 5.17). Τα στοιχεία της γεωµετρίας, των συνοριακών συνθηκών, της φόρτισης και της ανάλυσης αυτού του δοκιµαστικού µοντέλου είναι τα εξής: Τετράγωνη πλάκα διαστάσεων 60 x 60 x 1 mm. Απλή περιµετρική έδραση. Οµοιόµορφα κατανεµηµένο φορτίο στη διεύθυνση z (κάθετα στο επίπεδο της πλάκας). Εφαρµογή γεωµετρικής µη γραµµικότητας κατά την ανάλυση. Σχήµα 5.26: οκιµαστικό µοντέλο πλάκας για συγκριτική αξιολόγηση στοιχείων SOLID45 µε στοιχεία SOLID185 Στο Σχήµα 5.27 εµφανίζονται τα αποτελέσµατα της ορθής τάσης σ x µε σηµαντικές διαφορές µεταξύ τους.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 164 Σχήµα 5.27: Ορθή τάση σ x µεταξύ των SOLID45 και SOLID185 Στο Σχήµα 5.28 εµφανίζονται τα αποτελέσµατα της διατµητικής τάσης σ xy χωρίς σηµαντικές διαφορές µεταξύ τους. Σχήµα 5.28: ιατµητική τάση σ xy µεταξύ των SOLID45 και SOLID185 Στο Σχήµα 5.29 εµφανίζονται τα αποτελέσµατα της ισοδύναµης τάσης von Mises σ e επίσης χωρίς σηµαντικές διαφορές µεταξύ τους. Σχήµα 5.29: Iσοδύναµη τάση von Mises σ e µεταξύ των SOLID45 και SOLID185

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 165 Στο Σχήµα 5.30 εµφανίζονται τα αποτελέσµατα της ορθής ολικής (ελαστικής και πλαστικής) παραµόρφωσης ε x µε µικρές διαφορές µεταξύ τους. Σχήµα 5.30: Ορθή ολική (ελαστική και πλαστική) παραµόρφωση ε x µεταξύ των SOLID45 και SOLID185 Στο Σχήµα 5.31 απεικονίζονται οι διευθύνσεις της ορθής σ x και διατµητικής σ xy τάσης που αναφέρθηκαν καθώς και της ορθής παραµόρφωσης e x. Η τιµή της ισοδύναµης τάσης von Mises σ e δίνεται από τη σχέση 5.94 που ακολουθεί: σ e 1 = 2 1 2 2 2 2 2 2 2 [( σ x σ y ) + ( σ y σ z ) + ( σ z σ x ) + 6 ( σ xy + σ yz + σ xz )] (5.94) Aξίζει να σηµειωθεί, ότι στις περιπτώσεις των τρισδιάστατων φορέων, όπως του παραδείγµατος, υπολογιστικό ενδιαφέρον παρουσιάζει µόνο η τιµή της ισοδύναµης τάσης von Mises σ e, αφού µόνο αυτή η τιµή µπορεί να χρησιµοποιηθεί στο οµώνυµο κριτήριο διαρροής. Επειδή όµως η τάση αυτή στερείται προσήµου (σχέση 5.94), είναι απαραίτητο να ελέγχει κανείς και τις τιµές των συνιστωσών ορθών και διατµητικών τάσεων καθώς και των κυρίων τάσεων, ώστε να είναι σε θέση να γνωρίζει αφενός ποιά είναι η επικρατέστερη από τις συνιστώσες τάσεις καθώς και αν πρόκειται για θλιπτική ή εφελκυστική ορθή τάση. Σχήµα 5.31: Απεικόνιση διευθύνσεων τάσεων ως προς το σύστηµα συντεταγµένων των επιφανειών των στοιχείων SOLID45 και SOLID185

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 166 Αντίθετα, σ ότι αφορά στις παραµορφώσεις, η αντίστοιχα διαθέσιµη από το πρόγραµµα ANSYS ισοδύναµη παραµόρφωση von Mises ε e, στερείται φυσικής σηµασίας, αφού κατά τη συνήθη πρακτική, ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι µετακινήσεις και παραµορφώσεις σε σχέση µε συγκεκριµένους άξονες/διευθύνσεις και όχι σε τυχαίες διευθύνσεις στο χώρο. Όπως φαίνεται από τη συγκριτική παρουσίαση που προηγήθηκε, οι τιµές της διατµητικής σ xy και ισοδύναµης τάσης von Mises σ e εµφανίζουν µικρές διαφορές µεταξύ τους, ενώ οι τιµές της ορθής τάσης σ x και παραµόρφωσης ε x εµφανίζουν διαφορετικές και ελαφρώς διαφορετικές τιµές, αντίστοιχα. Με αυτά τα δεδοµένα, κρίθηκε σκόπιµο κατά τη δηµιουργία του µοντέλου του κόµβου, να χρησιµοποιηθούν και τα δύο είδη στοιχείων SOLID45 και SOLID185, µε στόχο τη µόρφωση πληρέστερης εικόνας για τη συµπεριφορά του κόµβου και την εξαγωγή ασφαλέστερων συµπερασµάτων. 5.4.5 Μονόπλευρη επαφή και χρησιµοποιούµενα στοιχεία Γενικά και επιλογές κατά την προσοµοίωση Τα προβλήµατα µονόπλευρης επαφής παρουσιάζουν δύο σηµαντικές δυσκολίες. Αφενός, δεν είναι εκ των προτέρων γνωστές οι περιοχές που βρίσκονται ή όχι σε επαφή. Γίνονται γνωστές µόνο µετά το τέλος της ανάλυσης. Αυτές οι περιοχές, εξαρτώµενες από τη φόρτιση, το υλικό, τις συνοριακές συνθήκες και άλλους παράγοντες, έρχονται σε ή χάνουν τη µεταξύ τους επαφή κατά τρόπο απρόβλεπτο και ασυνεχή. Αφετέρου, στην πλειονότητα των προβληµάτων µονόπλευρης επαφής, χρειάζεται να συνυπολογισθεί και η αναπτυσσόµενη τριβή µεταξύ των επιφανειών, γεγονός που δυσκολεύει επιπρόσθετα την επίτευξη της επιδιωκόµενης σύγκλισης. Στο συγκεκριµένο παράδειγµα του ηµιάκαµπτου κόµβου, η τριβή δε λαµβάνεται υπόψη, λόγω του µεγέθους και της πολυπλοκότητας του µοντέλου, παράγοντες που θα καθιστούσαν ιδιαίτερα επαχθή αν όχι αδύνατη τη σύγκλιση και λόγω της αγνόησής της στην αντίστοιχη υπολογιστική διαδικασία του Ευρωκώδικα 3 µε την οποία επιχειρείται άµεση σύγκριση. Μπορεί κανείς να παραλείψει τη χρήση των στοιχείων επαφής (contact elements) και να προσοµοιώσει εναλλακτικά την κατάσταση της µονόπλευρης επαφής, χρησιµοποιώντας είτε εξισώσεις αποτελούµενες από ένα γραµµικό συνδυασµό συγκεκριµένων βαθµών ελευθερίας (constraint equations), είτε απλούστερα συζευγνύοντας βαθµούς ελευθερίας (coupled degrees of freedom) µεταξύ των κόµβων που βρίσκονται σε µόνιµη επαφή. Κάτι τέτοιο όµως προϋποθέτει τόσο την εκ των προτέρων γνώση των περιοχών επαφής, όσο και τη θεώρηση απειροστών µετακινήσεων και παραµορφώσεων και κατά συνέπεια δεν µπορούσε να υιοθετηθεί στην προκείµενη εφαρµογή.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 167 Bάσει των δυνατοτήτων του προγράµµατος ANSYS, έγιναν µια σειρά από επιλογές σε σχέση µε τα χαρακτηριστικά της ανάλυσης και των στοιχείων επαφής που χρησιµοποιήθηκαν. Οι σηµαντικότερες από αυτές τις επιλογές είναι: Γενική ταξινόµηση ανάλυσης επαφής (contact analysis) Tα προβλήµατα επαφής κατατάσσονται σε δύο γενικές κατηγορίες: σε αυτά της δύσκαµπτης επιφάνειας σε εύκαµπτη (rigid-to-flexible) και σε αυτά της εύκαµπτης επιφάνειας σε εύκαµπτη (flexible-to-flexible). Λόγω του ίδιου ή ελαφρώς διαφορετικού νόµου τάσεων παραµορφώσεων του υλικού των διατοµών και των κοχλιών (Σχήµατα 5.20 και 5.21), επιλέχθηκε η κατηγορία της εύκαµπτης επιφάνειας σε εύκαµπτη. Τρόποι επαφής Το πρόγραµµα ANSYS διαθέτει τρεις τρόπους επαφής: κόµβου µε κόµβο, κόµβου µε επιφάνεια και επιφάνειας µε επιφάνεια. Κάθε τρόπος συναρτάται µε συγκεκριµένα στοιχεία επαφής και ενδείκνυται για συγκεκριµένους τύπους προβληµάτων. Έτσι: o Ο τρόπος του κόµβου µε κόµβο, εφαρµόζεται τυπικά για τη µοντελοποίηση προβληµάτων µε συνθήκες επαφής σηµείου µε σηµείο, συνήθως σε περιπτώσεις µικρών ολισθήσεων µεταξύ των ζωνών επαφής και προϋποθέτει την εκ των προτέρων γνώση αυτών των ζωνών. o Ο τρόπος της επιφάνειας µε επιφάνεια, συγκρινόµενος µε την επαφή του κόµβου µε κόµβο, προσφέρει καλύτερα αποτελέσµατα ανάλυσης σε κλασσικά ζητούµενα µηχανικού όπως οι ορθές πιέσεις ή οι τάσεις τριβής. Πραγµατοποιείται µε τη δηµιουργία δύο επιφανειών: µιας «επιφάνειας στόχου» (target surface) ως προς το σχήµα της οποίας δεν υπάρχουν περιορισµοί και µιας συζυγούς της «επιφάνειας επαφής» (contact surface), και o Ο τρόπος του κόµβου µε επιφάνεια, πραγµατοποιείται επίσης µε τη δηµιουργία της προηγούµενης «επιφάνειας στόχου», την οποία εν προκειµένω ορίζουν τα στοιχεία TARGET170 έχοντας ως συζυγή τους τα στοιχεία CONTA175. Αντίθετα µε τον τρόπο του κόµβου µε κόµβο, εδώ δεν απαιτείται η εκ των προτέρων γνώση των ζωνών επαφής και ούτε χρειάζεται οι ζώνες αυτές να έχουν συµβατή πυκνότητα κανάβων. Μεταξύ των προηγούµενων τρόπων επαφής, ο πρώτος αποκλείσθηκε γιατί, όπως αναφέρθηκε, απαιτούσε την εκ των προτέρων γνώση των περιοχών επαφής. Ο δεύτερος τρόπος επίσης αποκλείσθηκε, γιατί δεν µπορούσε να ανταποκριθεί στο συνδυασµό της επαφής µεταξύ µιας κοίλης επιφάνειας και µιας κυρτής, όπως είναι οι διεπιφάνειες ανάµεσα στους κορµούς των κοχλιών και τις άντυγες των λεπίδων. Έτσι, επιλέχθηκε ο τρόπος του

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 168 κόµβου µε επιφάνεια, που ήταν και ο µοναδικός που κατέστησε δυνατή τη σύγκλιση του µοντέλου του ηµιάκαµπτου κόµβου. Σ ό,τι αφορά στην επιλογή των επιφανειών «επαφής» και «στόχου», ιδιαίτερα µάλιστα στην εν λόγω περίπτωση, κατά την οποία λαµβάνει χώρα η επαφή της εύκαµπτης επιφάνειας σε εύκαµπτη, πρέπει να αναφερθεί ότι η επιλογή αυτή επηρεάζει το µέγεθος της διείσδυσης της µιας επιφάνειας µέσα στην άλλη και έτσι επηρεάζεται η ορθότητα της ανάλυσης. Αναλυτικότερη παρουσίαση του φαινοµένου της διείσδυσης γίνεται στην παράγραφο «υσκαµψία επαφής και επιτρεπόµενη διείσδυση», ενώ για την επιλογή των επιφανειών, πρέπει να γνωρίζει κανείς τα επόµενα κριτήρια επιλογής των επιφανειών «επαφής» και «στόχου»: 1. Aν µια κυρτή επιφάνεια έρχεται δυνητικά σε επαφή µε µια επίπεδη ή κοίλη επιφάνεια, τότε η «επιφάνεια στόχου» πρέπει να είναι η επίπεδη ή κοίλη επιφάνεια. 2. Αν µια επιφάνεια έχει πυκνότερο κάναβο στοιχείων από µια άλλη, µε την οποία έρχεται δυνητικά σε επαφή, τότε η επιφάνεια µε τον πυκνότερο κάναβο πρέπει να είναι η «επιφάνεια επαφής» και η άλλη πρέπει να είναι η «επιφάνεια στόχου». 3. Αν µια επιφάνεια είναι πιο εύκαµπτη από µια άλλη, ως προς το µέτρο ελαστικότητας του υλικού τους και οι δύο επιφάνειες έρχονται δυνητικά σε επαφή, τότε η πιο εύκαµπτη επιφάνεια πρέπει να είναι η «επιφάνεια επαφής» και η άλλη πρέπει να είναι η «επιφάνεια στόχου». 4. Αν µια επιφάνεια είναι σηµαντικά µεγαλύτερη από µια άλλη, µε την οποία έρχεται δυνητικά σε επαφή, όπως στην περίπτωση δύο επιφανειών που η µια περικλείει την άλλη, τότε η µικρότερη επιφάνεια πρέπει να είναι η «επιφάνεια επαφής». Στην προκείµενη περίπτωση, το κριτήριο µε αριθµό 3 στερείται νοήµατος, αφού µέχρι το όριο διαρροής που προβλέπεται να φτάσουν οι αναπτυσσόµενες τάσεις του µοντέλου, το µέτρο ελαστικότητας όλων των στοιχείων είναι το ίδιο. Αντίθετα, τα κριτήρια 1,2 και 4 εφαρµόσθηκαν, όπως παρουσιάζεται στην παράγραφο 5.4.6. Στοιχεία CONTA175 Η γεωµετρία των στοιχείων CONTA175 φαίνεται στο Σχήµα 5.32, που δείχνει επίσης ότι το στοιχείο καθορίζεται από έναν κόµβο. Τα υποκείµενα τρισδιάστατα στοιχεία δεν µπορούν να έχουν ενδιάµεσους κόµβους. Η επαφή µπορεί να συµβεί µόνον όταν η κατεύθυνση που είναι κάθετη στη «επιφάνεια στόχου» µε φορά αποµάκρυνσης από αυτήν, στοχεύει προς την «επιφάνεια επαφής». Τα στοιχεία της «επιφάνειας επαφής» συνδέονται µε τα στοιχεία της «επιφάνειας στόχου» µέσω κοινών ιδιοτήτων. Οι κοινές ιδιότητες είναι, άλλωστε, ο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 169 Σχήµα 5.32: Γεωµετρία στοιχείου CONTA175 µόνος τρόπος µε τον οποίο το πρόγραµµα ANSYS εξετάζει την ύπαρξη πιθανής επαφής µεταξύ επιφανειών. Τόσο στην περίπτωση της εύκαµπτης επιφάνειας σε εύκαµπτη, όσο και σε αυτήν της δύσκαµπτης σε εύκαµπτη, µία από τις παραµορφώσιµες επιφάνειες πρέπει να αντιπροσωπεύεται από µια «επιφάνεια επαφής». Αν περισσότερες από µία «επιφάνειες στόχου» έρχονται σε επαφή µε το ίδιο σύνορο των τρισδιάστατων στοιχείων, θα πρέπει να καθορισθούν αρκετά στοιχεία επαφής στην ίδια περιοχή, αλλά συνδεόµενα µε διαφορετικές «επιφάνειες στόχου» (δηλαδή µε «επιφάνειες στόχου» διαφορετικών µεταξύ τους ιδιοτήτων), ή θα πρέπει να συνδυασθούν οι πολλές «επιφάνειες στόχου» σε µία, δηλαδή σε «επιφάνειες στόχου» µε τις ίδιες ιδιότητες. Στοιχεία TARGE170 Σχήµα 5.33: Γεωµετρία στοιχείου TARGE170 Η γεωµετρία των στοιχείων TARGE170 φαίνεται στο Σχήµα 5.33. Τα στοιχεία αυτά χρησιµοποιούνται για την αναπαράσταση τρισδιάστατων «επιφανειών στόχου» σε συνδυασµό και µε άλλα στοιχεία πλην των CONTA175, όπως είναι τα CONTA173 και CONTA174. Τα στοιχεία του τύπου conta, υπέρκεινται των στοιχείων solid περιγράφοντας το σύνορο του παραµορφώσιµου σώµατος και είναι εν δυνάµει σε επαφή µε την «επιφάνεια στόχου», η οποία αποτελείται από τα TARGE170. Η τελευταία, διακριτοποιείται από ένα πλήθος τµηµάτων στοιχείων TARGE170 και συνδέεται µε τη συζυγή της «επιφάνεια επαφής», όπως είναι γνωστό, µέσω των κοινών τους ιδιοτήτων.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 170 Μπορεί κανείς να επιβάλει οποιαδήποτε µετακίνηση (µετατόπιση ή στροφή), δυνάµεις και ροπές σε αυτά τα τµήµατα στοιχείων. Επίσης, τα στοιχεία αυτά µπορούν εύκολα να συνθέσουν ως στόχους πολύπλοκα σχήµατα, αναπαριστώντας το δύσκαµπτο µέρος στην περίπτωση της δύσκαµπτης επαφής σε εύκαµπτη. Εξάλλου, στην περίπτωση της δύσκαµπτης επαφής σε εύκαµπτη, η δύσκαµπτη επιφάνεια πρέπει να είναι η «επιφάνεια στόχου». Γενικά βέβαια, η «επιφάνεια στόχου» µπορεί να είναι δύσκαµπτη ή εύκαµπτη. Κάθε «επιφάνεια στόχου» µπορεί να συνδυασθεί µόνο µε µία «επιφάνεια επαφής» και αντιστρόφως. Ωστόσο, αρκετά στοιχεία conta µπορούν να υλοποιήσουν την «επιφάνεια επαφής» και έτσι να συσχετισθούν µε την ίδια «επιφάνεια στόχου». Οµοίως, αρκετά στοιχεία targe µπορούν να αποτελέσουν την «επιφάνεια στόχου» και έτσι να συσχετισθούν µε την ίδια «επιφάνεια επαφής». Για τον καθορισµό οποιασδήποτε «επιφάνειας στόχου», η σειρά αρίθµησης των κόµβων από τα τµήµατα των στοιχείων TARGE170, είναι συγκεκριµένη ώστε ν ανιχνευθεί κατάλληλα η πιθανή επαφή. Η σωστή σειρά αρίθµησής τους ακολουθεί τον κανόνα του «δεξιού χεριού», µε τον αντίχειρα κάθετο στην «επιφάνεια στόχου» και µε φορά που τον αποµακρύνει από αυτήν. υσκαµψία επαφής και επιτρεπόµενη διείσδυση Μεταξύ των ιδιοτήτων που χαρακτηρίζουν τα στοιχεία επαφής, είναι η ορθή δυσκαµψία επαφής (normal contact stiffness), που καθορίζεται από τον παράγοντα FKN και η επιτρεπόµενη διείσδυση (allowable penetration), που καθορίζεται από τον παράγοντα FTOLN και συναρτάται µε το πάχος του υποκείµενου τρισδιάστατου στοιχείου (Σχήµα 5.34). Σχήµα 5.34: Πάχος υποκείµενου τρισδιάστατου στοιχείου Ο παράγοντας FKN υπολογίζεται βάσει της σχέσης 5.95: FKN = λ x E x h (5.95) όπου: λ : ένας συντελεστής µε τιµές από 0.01 έως 100, Ε : το µέτρο ελαστικότητας του υλικού των υποκείµενων στοιχείων και h : το πάχος του υποκείµενου στοιχείου (Σχήµα 5.34).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 171 Το µέγεθος της διείσδυσης µεταξύ των επιφανειών επαφής και στόχου, εξαρτάται από την ορθή δυσκαµψία των στοιχείων επαφής, όπως και το µέγεθος της ολίσθησης µεταξύ των ίδιων επιφανειών, εξαρτάται από την εφαπτοµενική δυσκαµψία. Στην προκειµένη περίπτωση, καθώς αγνοείται η τριβή και η ολίσθηση µεταξύ αυτών των επιφανειών, αντικείµενο της έρευνάς µας αποτελούν µόνον η ορθή δυσκαµψία και η αντίστοιχή της διείσδυση. Όταν οι τιµές αυτής της δυσκαµψίας είναι υψηλές, τότε µπορεί να µειωθεί το µέγεθος της διείσδυσης, αλλά προκαλούνται συνθήκες αστάθειας στο καθολικό µητρώο δυσκαµψίας και δυσκολία στη σύγκλιση. Χαµηλές τιµές της δυσκαµψίας αντίθετα, µπορεί να προκαλέσουν µεγάλη διείσδυση και να καταλήξουν σε ανακριβή αποτελέσµατα ανάλυσης. Η επιδίωξη είναι να χρησιµοποιήσει κανείς τόσο υψηλές τιµές δυσκαµψίας, ώστε να έχει την ελάχιστη δυνατή διείσδυση, αλλά ταυτόχρονα και τόσο χαµηλές τιµές, ώστε να πετύχει τη σύγκλιση. Το πρόγραµµα ANSYS διαθέτει εξ ορισµού τιµές για τη δυσκαµψία της επαφής και την επιτρεπόµενη διείσδυση. Τις περισσότερες φορές, ο χρήστης όχι µόνο δε χρειάζεται να αλλάξει την τιµή της δυσκαµψίας, αλλά το εγχειρίδιο του προγράµµατος προτείνει επιπρόσθετα, µε τη χρήση συγκεκριµένης παραµέτρου, να αφεθεί στο πρόγραµµα η δυνατότητα να αλλάζει την τιµή της δυσκαµψίας αυτόµατα. Ωστόσο, κατά τις παραµετρικές επιλύσεις που έγιναν, χρησιµοποιήθηκαν σκόπιµα συγκεκριµένες τιµές δυσκαµψίας και απενεργοποιήθηκε η δυνατότητα αυτόµατης αλλαγής του µητρώου δυσκαµψίας, ώστε να καταστεί δυνατό να εξαχθούν συµπεράσµατα σχετικά µε την επιρροή ή όχι της δυσκαµψίας αυτής στα αποτελέσµατα της ανάλυσης. Σε περιπτώσεις δύσκολων προβληµάτων επαφής, προτείνεται να αρχίζει κανείς µε µια χαµηλή τιµή της δυσκαµψίας FKN. Το αποτέλεσµα είναι µεν η αυξηµένη διείσδυση, αλλά και η ταχύτερη ανάλυση καθώς και η επίτευξη σύγκλισης, που είναι βασικό στοιχείο για την έναρξη της διαδικασίας των αναλύσεων επαφής. Αν η σύγκλιση δεν επιτευχθεί, θα πρέπει να εξετάζεται η ύπαρξη πιθανών λαθών στο µοντέλο και αν αυτά εντοπισθούν, διορθωθούν και το µοντέλο συγκλίνει, ακολουθεί η σταδιακή αύξηση της δυσκαµψίας έως ότου επιτευχθεί διείσδυση µικρότερη από την επιτρεπόµενη. Τα αποτελέσµατα που αντιστοιχούν στη µικρότερη διείσδυση θεωρούνται τα βέλτιστα δυνατά. Επίσης, αν η επιφάνεια ενός µοντέλου δεν είναι οµαλή και αποτελείται από µεγάλα ευθύγραµµα τµήµατα ή επίπεδα λόγω αραιού κανάβου πεπερασµένων στοιχείων, τότε εµφανίζεται το πρόβληµα των ασυνεχών µετακινήσεων και συγκεντρώσεων τάσης στο σύνορο της επαφής. Στην περίπτωση αυτή, υψηλές τιµές της δυσκαµψίας FKN µπορεί να βοηθήσουν σε αυτό το πρόβληµα. Υπάρχει ένα στάδιο βέβαια, όπου τα µειονεκτήµατα του αραιού κανάβου δεν µπορούν να αντιµετωπισθούν και η µόνη λύση είναι η πύκνωσή του. Βέβαια, υπάρχει η δυνατότητα να µειωθούν αυτές οι συγκεντρώσεις τάσεων, µε τη χρήση στοιχείων «επαφής και στόχου» και στοιχείων solid υψηλότερης τάξης, αλλά κάτι τέτοιo θα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 172 πρέπει να µπορεί να το αντιµετωπίσει κανείς µε αυξηµένη υπολογιστική ισχύ, ιδιαίτερα όταν πρόκειται για µεγάλα µοντέλα (Johnson κ.ά., 2000). Όσον αφορά στην επιτρεπόµενη διείσδυση, χρησιµοποιήθηκε η τιµή FTOLN = 0.05, που ορίζει τη µέγιστη επιτρεπόµενη διείσδυση ίση µε το 5% του πάχους του υποκείµενου στοιχείου. Παράλληλα, οι τιµές της δυσκαµψίας επαφής για τα δύο βήµατα φόρτισης (load steps), οι οποίες χρησιµοποιήθηκαν στις παραµετρικές επιλύσεις του ηµιάκαµπτου κόµβου, φαίνονται στον Πίνακα 5.7. Αξίζει να σηµειωθεί ότι, η επιβολή του φορτίου στον κόµβο σε δύο βήµατα φόρτισης, είναι απαραίτητη για την ανάλυση επαφής µε το δεδοµένο πρόγραµµα, αλλιώς είναι αδύνατη η επίτευξη σύγκλισης. Στο α βήµα φόρτισης, δεν επιβάλλεται εξωτερικό φορτίο στο φορέα, ενώ στο β βήµα, επιβάλλεται το σύνολο του φορτίου. α βήµα φόρτισης FKN [kn/mm] β βήµα φόρτισης FKN [kn/mm] 500 50000 500 25000 500 5000 500 2500 500 2000 500 1750 500 1000 Πίνακας 5.7: Τιµές ορθής δυσκαµψίας επαφής FKN ανά βήµα φόρτισης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 173 5.4.6 Παρουσίαση των επιµέρους τµηµάτων του µοντέλου οκός ΙPE 300 Σχήµα 5.35.α: Συνολική απεικόνιση της δοκού Σχήµα 5.35.β: Λεπτοµέρεια δοκού στις οπές των πελµάτων Σχήµα 5.35.γ: Λεπτοµέρεια δοκού στη στρογγύλευση Τα Σχήµατα 5.35.α,β και γ απεικονίζουν τη δοκό IPE 300, αποτελούµενη από 15556 στοιχεία SOLID185 (βλ. 5.4.3) ή SOLID45 (βλ. 5.4.2) και 22315 κόµβους. Οι διαστάσεις της δοκού φαίνονται στο Σχήµα 5.18 και ο νόµος του υλικού της στο Σχήµα 5.20.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 174 Υποστύλωµα ΗΕΒ 160 Σχήµα 5.36.α: Συνολική απεικόνιση του υποστυλώµατος Σχήµα 5.36.β: Λεπτοµέρεια υποστυλώµατος στην οπή του πέλµατος Σχήµα 5.36.γ: Λεπτοµέρεια υποστυλώµατος στη στρογγύλευση Τα Σχήµατα 5.36.α,β και γ απεικονίζουν το υποστύλωµα HEB 160, αποτελούµενo από 17190 στοιχεία SOLID185 (βλ. 5.4.3) ή SOLID45 (βλ. 5.4.2) και 23178 κόµβους. Οι διαστάσεις του υποστυλώµατος φαίνονται στο Σχήµα 5.18 και ο νόµος του υλικού του στο Σχήµα 5.20.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 175 Γωνιακά L 150x100x14 Σχήµα 5.37.α: Συνολική απεικόνιση του άνω γωνιακού Σχήµα 5.37.β: Συνολική απεικόνιση του κάτω γωνιακού Τα Σχήµατα 5.37.α και β και 5.38.α, β, γ και δ απεικονίζουν το άνω και κάτω γωνιακό L150x100x14, το καθένα αποτελούµενo από 10218 στοιχεία SOLID185 (βλ. 5.4.3) ή SOLID45 (βλ. 5.4.2) και 13557 κόµβους. Οι διαστάσεις των γωνιακών φαίνονται στο Σχήµα 5.18 και ο νόµος του υλικού τους στο Σχήµα 5.20.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 176 Σχήµα 5.38.α: Λεπτοµέρεια γωνιακού στις οπές του µεγάλου σκέλους Σχήµα 5.38.β: Λεπτοµέρεια γωνιακού στην οπή του µικρού σκέλους Σχήµα 5.38.γ: Λεπτοµέρεια γωνιακού στη στρογγύλευση µεταξύ των σκελών Σχήµα 5.38.δ: Λεπτοµέρεια γωνιακού στη στρογγύλευση του άκρου των σκελών Όπως φαίνεται στα Σχήµατα 5.38.γ και δ, η επιδίωξη ήταν να περιγραφούν οι στρογγυλεύσεις των γωνιακών µε τον ακριβέστερο δυνατό τρόπο, ώστε να µην υπάρχουν περιοχές µε απότοµες αλλαγές στη γεωµετρία, που θα προκαλούσαν συγκεντρώσεις τάσεων. Η περιοχή της στρογγύλευσης µεταξύ των σκελών των γωνιακών, ιδιαίτερα του άνω γωνιακού, που αποτελεί το ασθενέστερο συστατικό του κόµβου, είναι καθοριστικής σηµασίας, αφού πρόκειται για περιοχή µε µεγάλη καταπόνηση σε κάµψη, η οποία προσδιορίζει τη συνολική αντοχή του ηµιάκαµπτου κόµβου. Το γεγονός αυτό, αφενός µεν προβλέπεται από τον Ευρωκώδικα 3, αφετέρου δε, επιβεβαιώθηκε από τα αποτελέσµατα των αναλύσεων του µοντέλου.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 177 Κοχλίες Μ20 Σχήµα 5.39.α: Συνολική απεικόνιση των τριών άνω κοχλιών Σχήµα 5.39.β: Συνολική απεικόνιση των τριών κάτω κοχλιών Τα Σχήµατα 5.39.α και β απεικονίζουν τους συνολικά έξι κοχλίες Μ20, που αποτελούνται οι µεν συνδεόµενοι µε τη δοκό από 1152 στοιχεία SOLID185 (βλ. 5.4.3) ή SOLID45 (βλ. 5.4.2) και 1609 κόµβους, οι δε συνδεόµενοι µε το υποστύλωµα από 4920 στοιχεία SOLID185 ή SOLID45 και 6081 κόµβους. Οι αριθµοί των στοιχείων και κόµβων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 178 Σχήµα 5.40: Όψη κοχλιών συνδεόµενων µε τη δοκό αναφέρονται σε καθένα κοχλία. Οι διαστάσεις όλων των κοχλιών φαίνονται στο Σχήµα 5.19 και τον Πίνακα 5.6 και ο νόµος του υλικού τους στο Σχήµα 5.21. Τα Σχήµατα 5.40, 5.41 και 5.42 ισχύουν για τους κοχλίες, οι οποίοι συνδέονται µε τα πέλµατα της δοκού (άνω και κάτω) και καταπονούνται κυρίως από τέµνουσα, ενώ τα Σχήµατα 5.43, 5.44 και 5.45 ισχύουν για αυτούς, οι οποίοι συνδέονται µε το πέλµα του υποστυλώµατος και ο µεν άνω καταπονείται σε εφελκυσµό, ο δε κάτω είναι σχεδόν ουδέτερος. Για να περιγραφούν πιο παραστατικά τα επιµέρους τµήµατα από τα οποία αποτελούνται οι κοχλίες (κεφαλή, κορµός, δακτύλιος και περικόχλιο), αυτά εµφανίζονται µε διαφορετικό χρώµα. Όσον αφορά στη µοντελοποίηση τους, αξίζει να σηµειωθούν τα εξής: Ο κάναβος των στοιχείων κατά µήκος του κορµού των κοχλιών έγινε έτσι, ώστε να υπάρχει µια σειρά από κόµβους στο επίπεδο που ορίζεται κάθε φορά από τη διεπιφάνεια επαφής των λεπίδων των διατοµών κάθε φορά (Σχήµατα 5.41.β και 5.44.β). Αυτό έγινε µε στόχο την καλύτερη παραµόρφωση των κορµών που καταπονούνται κυρίως από διάτµηση και παράλληλα για την οµαλότερη ανάπτυξη των τάσεων στην ίδια περιοχή. Αν και το Σχήµα 5.41.β απεικονίζει έναν από τους διατεµνόµενους άνω κοχλίες και το 5.44.β απεικονίζει τον εφελκυόµενο κοχλία, ο αναφερόµενος τρόπος προσοµοίωσης, έτσι όπως φαίνεται σε αυτά τα σχήµατα, ισχύει για το σύνολο των κοχλιών. Αναφορικά µε τη διαίρεση της περιµέτρου των κορµών των κοχλιών σε στοιχεία, σε σχέση µε την περίµετρο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 179 Σχήµα 5.41.α: Λεπτοµέρεια κεφαλής κοχλιών συνδεόµενων µε τη δοκό Σχήµα 5.41.β: Λεπτοµέρειες κορµού κοχλιών συνδεόµενων µε τη δοκό

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 180 Σχήµα 5.42.α: Λεπτοµέρεια δακτυλίου κοχλιών συνδεόµενων µε τη δοκό Σχήµα 5.42.β: Λεπτοµέρεια περικοχλίου κοχλιών συνδεόµενων µε τη δοκό

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 181 Σχήµα 5.43: Όψη κοχλιών συνδεόµενων µε το υποστύλωµα των αντυγών, επιδιώχθηκε η δηµιουργία στοιχείων και συνακόλουθα κόµβων, έτσι ώστε οι κόµβοι των δυνητικά σε επαφή οντοτήτων (κορµού κοχλία µε άντυγα δοκού, γωνιακού και υποστυλώµατος), να βρίσκονται σε πολύ µικρές αποστάσεις µεταξύ τους (µικρότερες των 2mm). Oι αποστάσεις αυτές πρέπει να είναι κατά το δυνατό µικρές, ώστε τα εκ των υστέρων δηµιουργούµενα στοιχεία επαφής να έχουν περιορισµένο µέγεθος, αλλά όχι µηδενικές γιατί σε αυτήν την περίπτωση, προκαλούνται αριθµητικές αστάθειες στη διαδικασία της ανάλυσης και εµποδίζεται η σύγκλιση. Συγκεκριµένα και σε ό,τι αφορά στη σύνδεση δοκού µε γωνιακό, οι άντυγες της δοκού αποτελούνται από 56 στοιχεία και κόµβους (Σχήµατα 5.35.β και 5.50.β) και έρχονται καταρχήν σε επαφή µε τους κορµούς των διατεµνόµενων κοχλιών, οι οποίοι αποτελούνται από 20 στοιχεία και 24 κόµβους κατά µήκος της περιφέρειάς τους (Σχήµατα 5.41.β και 5.50.β). Επειδή ο αριθµός 56 δεν είναι πολλαπλάσιο του 24 (56=24x2+6), δεν υπάρχουν κόµβοι µε τις ίδιες συντεταγµένες (εκτός από τον κόµβο έναρξης της διαίρεσης), για δε το µήκος των π x D = 62.8mm, προκύπτουν κόµβοι σε αποστάσεις: για τις άντυγες της δοκού: 62.8 / 56 = 1.1mm, (5.96) και για τους κορµούς των κοχλιών σε διάτµηση: 62.8 / 24 = 2.6mm (5.97)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 182 Σχήµα 5.44.α: Λεπτοµέρεια κεφαλής κοχλιών συνδεόµενων µε το υποστύλωµα Σχήµα 5.44.β: Λεπτοµέρειες κορµού κοχλιών συνδεόµενων µε το υποστύλωµα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 183 Σχήµα 5.45.α: Λεπτοµέρεια δακτυλίου κοχλιών συνδεόµενων µε το υποστύλωµα Σχήµα 5.45.β: Λεπτοµέρεια περικοχλίου κοχλιών συνδεόµενων µε το υποστύλωµα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 184 Άρα, καθώς 2.6 1.1 = 1.5mm, η µέγιστη απόσταση, στην οποία µπορεί να βρεθούν δύο κόµβοι, από τους οποίους ο ένας ανήκει σε άντυγα δοκού και ο άλλος σε περιφέρεια κορµού διατεµνόµενου κοχλία, είναι 1.5mm. Αντίστοιχα, οι άντυγες του µεγάλου σκέλους των γωνιακών αποτελούνται από 52 στοιχεία και κόµβους (Σχήµα 5.38.α και 5.50.α) και έρχονται καταρχήν σε επαφή µε τους κορµούς των διατεµνόµενων κοχλιών, οι οποίοι έχουν 24 κόµβους κατά µήκος της περιφέρειάς τους (Σχήµα 5.41.β και 5.50.α). Επειδή ο αριθµός 52 δεν είναι πολλαπλάσιο του 24 (52=24x2+4), δεν υπάρχουν κόµβοι µε τις ίδιες συντεταγµένες (εκτός από τον κόµβο έναρξης της διαίρεσης), για δε το µήκος των 62.8mm, προκύπτουν κόµβοι σε αποστάσεις, για τις άντυγες του µεγάλου σκέλους των γωνιακών: 62.8 / 52 = 1.2mm, (5.98) Άρα, καθώς 2.6 1.2 = 1.4mm, η µέγιστη απόσταση, στην οποία µπορεί να βρεθούν δύο κόµβοι, από τους οποίους ο ένας ανήκει σε άντυγα µεγάλου σκέλους γωνιακού και ο άλλος σε περιφέρεια κορµού διατεµνόµενου κοχλία, είναι 1.4mm. Επίσης, σε ό,τι αφορά στη σύνδεση γωνιακού µε υποστύλωµα, οι άντυγες του υποστυλώµατος αποτελούνται από 52 στοιχεία και κόµβους (Σχήµα 5.36.β και 5.52.β) και έρχονται καταρχήν σε επαφή µε τους κορµούς του εφελκυόµενου και ουδέτερου κοχλία, οι οποίοι αποτελούνται από 48 στοιχεία και κόµβους κατά µήκος της περιφέρειάς τους (Σχήµα 5.44.β και 5.52.β). Επειδή ο αριθµός 52 δεν είναι πολλαπλάσιο του 48 (52=48+4), δεν υπάρχουν κόµβοι µε τις ίδιες συντεταγµένες (εκτός από τον κόµβο έναρξης της διαίρεσης), για δε το µήκος των 62.8mm, προκύπτουν κόµβοι σε αποστάσεις, για τον κορµό του εφελκυόµενου και ουδέτερου κοχλία: 62.8 / 48 = 1.3mm (5.99) Άρα, καθώς 1.3 1.2 = 0.1mm, η µέγιστη απόσταση, στην οποία µπορεί να βρεθούν δύο κόµβοι, από τους οποίους ο ένας ανήκει σε άντυγα του υποστυλώµατος και ο άλλος σε περιφέρεια κορµού εφελκυόµενου ή ουδέτερου κοχλία, είναι 1.3mm. Αντίστοιχα, η άντυγα του µικρού σκέλους των γωνιακών αποτελείται από 56 στοιχεία και κόµβους (Σχήµα 5.38.β και 5.52.α) και έρχεται καταρχήν σε επαφή µε τους κορµούς του εφελκυόµενου και ουδέτερου κοχλία, οι οποίοι έχουν 48 κόµβους κατά µήκος της περιφέρειάς τους (Σχήµα 5.44.β και 5.52.α). Επειδή ο αριθµός 56 δεν είναι πολλαπλάσιο του 48 (56=48+8), δεν υπάρχουν κόµβοι µε τις ίδιες συντεταγµένες (εκτός από τον κόµβο έναρξης της διαίρεσης). Άρα, σύµφωνα µε τις σχέσεις 5.96 και 5.99, καθώς 1.3 1.1 = 0.2mm, η µέγιστη απόσταση στην οποία µπορεί να βρεθούν δύο κόµβοι, από τους οποίους ο ένας ανήκει σε άντυγα του υποστυλώµατος και ο άλλος σε περιφέρεια κορµού εφελκυόµενου ή ουδέτερου κοχλία, είναι 1.1mm. Τέλος, αξίζει να σηµειωθεί η διαφορά µεταξύ της διακριτοποιήσης των κοχλιών που συνδέονται µε τη δοκό και αυτής των κοχλιών οι οποίοι συνδέονται µε το υποστύλωµα.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 185 Λόγω των υψηλότερων τιµών τάσης και παραµόρφωσης, οι οποίες αναµένονταν στους δεύτερους κοχλίες σε σχέση µε τους πρώτους, κρίθηκε σκόπιµο να επιλεχθεί πυκνότερος κάναβος για τους δεύτερους κοχλίες από ό,τι για τους πρώτους. Αυτό εξηγεί και τη διαφορά µεταξύ του πλήθους των στοιχείων που χρησιµοποιήθηκαν για τους κοχλίες που συνδέονται µε τη δοκό (1152 στοιχεία) και του πλήθους των στοιχείων που χρησιµοποιήθηκαν για αυτούς που συνδέονται µε το υποστύλωµα (4920 στοιχεία). Στα Σχήµατα 5.40 έως 5.45 φαίνεται αυτή η διαφορά. Στοιχεία επαφής ( CONTA175 και TARGE170) Σχήµα 5.46: Στοιχεία «επαφής» και «στόχου» στη διεπιφάνεια δοκού - γωνιακού Στο Σχήµα 5.46 απεικονίζονται τα στοιχεία «επαφής» CONTA175 και «στόχου» TARGE170, στη διεπιφάνεια µεταξύ του άνω πέλµατος της δοκού και του µεγάλου σκέλους του γωνιακού. Τα στοιχεία CONTA175 ανήκουν στο γωνιακό και εµφανίζονται ως κόκκινοι αστερίσκοι ενώ τα TARGE170 ανήκουν στη δοκό και εµφανίζονται ως κυανές επιφάνειες. Είναι χαρακτηριστικό, ότι τα TARGE170 ξεκινούν αργότερα από τα CONTA175 (επάνω αριστερά στο Σχήµα 5.46), λόγω του διακένου των 12mm που υπάρχει µεταξύ του µετώπου της δοκού και του πέλµατος του στύλου. Αντίστοιχα, τα CONTA175 σταµατούν µε το πέρας του γωνιακού ενώ τα TARGE170 συνεχίζουν για ακόµα πέντε σειρές στοιχείων, ώστε να εξασφαλίζεται η επαφή σε περίπτωση ολίσθησης του γωνιακού επάνω στο πέλµα της δοκού.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 186 Είναι αξιοσηµείωτο επίσης, ότι κατά τη διαδικασία δηµιουργίας των στοιχείων «επαφής» και «στόχου», ακολουθήθηκε το κριτήριο µε αριθµό 4 ( 5.4.5.), σύµφωνα µε το οποίο η µεγαλύτερη επιφάνεια πρέπει να ειναι η «επιφάνεια στόχου» και η µικρότερη πρέπει να είναι η «επιφάνεια επαφής». Σχήµα 5.47: Στοιχεία «επαφής» και «στόχου» στη διεπιφάνεια υποστυλώµατος γωνιακού Στο Σχήµα 5.47 απεικονίζονται τα στοιχεία «επαφής» CONTA175 και «στόχου» TARGE170, στη διεπιφάνεια µεταξύ του πέλµατος του υποστυλώµατος και του µικρού σκέλους του γωνιακού. Τα στοιχεία CONTA175 ανήκουν στο γωνιακό και εµφανίζονται ως κόκκινοι αστερίσκοι ενώ τα TARGE170 ανήκουν στο υποστύλωµα και εµφανίζονται ως κυανές επιφάνειες. Είναι χαρακτηριστικό ότι τα TARGE170 επεκτείνονται περισσότερο από τα CONTA175 κατά τρεις σειρές στοιχείων προς τα επάνω και κάτω (Σχήµα 5.47), ώστε να εξασφαλίζεται η επαφή σε περίπτωση ολίσθησης του γωνιακού καθ ύψος του πέλµατος του υποστυλώµατος. Επίσης, τα στοιχεία TARGE170 εξέχουν προς τα δεξιά κατά 5mm σε σχέση µε τα CONTA175, όπως δείχνει το πλαίσιο του σχήµατος, λόγω των διαφορετικών διαστάσεων µεταξύ του πέλµατος του υποστυλώµατος HEB160 (160 / 2 = 80mm) και του πέλµατος του γωνιακού, το οποίο ακολουθεί το πέλµα της δοκού ΙΡΕ300 (150 / 2 = 75mm). Και σε αυτήν τη σύνδεση, επίσης, ακολουθήθηκε το κριτήριο µε αριθµό 4 ( 5.4.5.), σύµφωνα µε το οποίο η µεγαλύτερη επιφάνεια πρέπει να είναι η «επιφάνεια στόχου» και η µικρότερη πρέπει να είναι η «επιφάνεια επαφής».

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 187 Σχήµα 5.48: Στοιχεία «επαφής» και «στόχου» γύρω από τις επιφάνειες επαφής των άνω κοχλιών που συνδέονται µε τη δοκό Σχήµα 5.49: Στοιχεία «επαφής» και «στόχου» γύρω από τις επιφάνειες επαφής των κάτω κοχλιών που συνδέονται µε τη δοκό

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 188 Στο Σχήµα 5.48 απεικονίζονται τα στοιχεία «επαφής» CONTA175 και «στόχου» TARGE170, σε όλες τις διεπιφάνειες µεταξύ αφενός των άνω κοχλιών που συνδέονται µε τη δοκό και αφετέρου του πέλµατος και των αντυγών της δοκού και του µεγάλου σκέλους του άνω γωνιακού. Επίσης, στο Σχήµα 5.49 απεικονίζονται τα στοιχεία «επαφής» CONTA175 και «στόχου» TARGE170, σε όλες τις διεπιφάνειες µεταξύ αφενός των κάτω κοχλιών που συνδέονται µε τη δοκό και αφετέρου του πέλµατος και των αντυγών της δοκού και του µεγάλου σκέλους του κάτω γωνιακού. Τα στοιχεία CONTA175 ανήκουν στη δοκό και τα γωνιακά (άνω και κάτω) και εµφανίζονται ως κόκκινες στιγµές, ενώ τα TARGE170 ανήκουν στην κεφαλή, τον κορµό και το δακτύλιο των άνω και κάτω κοχλιών και εµφανίζονται ως κυανές επιφάνειες. Είναι χαρακτηριστικό, ότι οι άντυγες των γωνιακών και της δοκού αποτελούνται από κοίλες επιφάνειες ενώ οι αντίστοιχες επιφάνειες γύρω από τους κορµούς των κοχλιών είναι κυρτές. Άρα, σύµφωνα µε το κριτήριο µε αριθµό 1 ( 5.4.5.), θα έπρεπε η «επιφάνεια στόχου», ως κοίλη, να δηµιουργηθεί στο εσωτερικό των αντυγών και η «επιφάνεια επαφής», ως κυρτή, να δηµιουργηθεί γύρω από τους κοχλίες. Ταυτόχρονα όµως, οι επιφάνειες των αντυγών δοκού και γωνιακών διαθέτουν πυκνότερο κάναβο στοιχείων από ό,τι οι κορµοί των κοχλιών (Σχήµατα 5.50.α και β). Έτσι, σύµφωνα µε το κριτήριο µε αριθµό 2 της ίδιας παραγράφου, θα έπρεπε αντίθετα µε προηγουµένως, η «επιφάνεια επαφής» να δηµιουργηθεί στις άντυγες των διατοµών και η «επιφάνεια στόχου» στους κοχλίες. Για την άρση αυτής της αντίφασης, έγιναν δοκιµαστικές αναλύσεις και µε τα δύο ενδεχόµενα και το συµπέρασµα ήταν, ότι στη συγκεκριµένη περίπτωση ως προς το µέγεθος της διείσδυσης, το κριτήριο 2 υπερισχύει του 1 επιτρέποντας µικρότερη διείσδυση κατά 8% περίπου. Κατά συνέπεια, τα αποτελέσµατα αυτής της εκδοχής θεωρούνται ορθότερα και παρουσιάζονται στις σχετικές παραγράφους. Στα Σχήµατα 5.48 και 5.49 γίνεται επίσης φανερό, ότι οι «επιφάνειες στόχου» ανταποκρίνονται πλήρως στο σχήµα των οντοτήτων επί των οποίων αναπτύσσονται (κυκλικό και εξαγωνικό σχήµα για το δακτύλιο και την κεφαλή του κοχλία, αντίστοιχα). Αντίθετα, οι «επιφάνειες επαφής» δεν έχουν τέτοιο περιορισµό και έτσι ακόµα και στην περίπτωση κατά την οποία οι συζυγείς τους επιφάνειες, δηλαδή οι «επιφάνειες στόχου» είναι εξαγωνικές, αυτές µπορούν να είναι επί το απλούστερο κυκλικές, αρκεί ο αντίστοιχος κύκλος να έχει τέτοιο µέγεθος ώστε να εγγράφεται σε αυτόν το αντίστοιχο εξάγωνο. Αυτή η πρακτική διευκολύνει πολύ τη διαδικασία της σύγκλισης, κατά την ανάλυση του µοντέλου.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 189 Σχήµα 5.50.α: Σχέση κανάβων κορµού κοχλία και άντυγας µεγάλου Σχήµα 5.50.β: Σχέση κανάβων κορµού κοχλία και άντυγας δοκού πέλµατος γωνιακού Στο Σχήµα 5.51 απεικονίζονται τα στοιχεία «επαφής» CONTA175 και «στόχου» TARGE170, σε όλες τις διεπιφάνειες µεταξύ του εφελκυόµενου ή ουδέτερου κοχλία, και της άντυγας και πέλµατος του υποστυλώµατος και του µικρού σκέλους των γωνιακών. Τα στοιχεία CONTA175 ανήκουν στο υποστύλωµα και τα γωνιακά (άνω ή κάτω) και εµφανίζονται ως κόκκινες στιγµές, ενώ τα TARGE170 ανήκουν στην κεφαλή, τον κορµό και Σχήµα 5.51: Στοιχεία «επαφής» και «στόχου» γύρω από τις επιφάνειες επαφής του εφελκυόµενου ή του ουδέτερου κοχλία

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 190 το δακτύλιο των άνω και κάτω κοχλιών, που συνδέονται µε το υποστύλωµα και εµφανίζονται ως κυανές επιφάνειες. Σχήµα 5.52.α: Σχέση κανάβων κορµού κοχλία και άντυγας µικρού πέλµατος γωνιακού Σχήµα 5.52.β: Σχέση κανάβων κορµού κοχλία και άντυγας υποστυλώµατος Είναι και εδώ χαρακτηριστικό, ότι οι άντυγες των γωνιακών και του υποστυλώµατος αποτελούνται από κοίλες επιφάνειες ενώ οι αντίστοιχες επιφάνειες γύρω από τους κορµούς των κοχλιών είναι κυρτές. Άρα, και πάλι σύµφωνα µε το κριτήριο µε αριθµό 1 ( 5.4.5.), θα έπρεπε η «επιφάνεια στόχου», ως κοίλη, να δηµιουργηθεί στο εσωτερικό των αντυγών και η «επιφάνεια επαφής», ως κυρτή, να δηµιουργηθεί γύρω από τους κοχλίες. Ταυτόχρονα όµως, οι επιφάνειες των αντυγών υποστυλώµατος και γωνιακών διαθέτουν πυκνότερο κάναβο στοιχείων από ό,τι οι κορµοί των κοχλιών (Σχήµατα 5.52.α και β). Έτσι, σύµφωνα µε το κριτήριο µε αριθµό 2 της ίδιας παραγράφου, θα έπρεπε αντίθετα µε προηγουµένως, η «επιφάνεια επαφής» να δηµιουργηθεί στις άντυγες των διατοµών και η «επιφάνεια στόχου» στους κοχλίες. Για την άρση αυτής της αντίφασης, έγιναν δοκιµαστικές αναλύσεις και µε τα δύο ενδεχόµενα και το συµπέρασµα ήταν, ότι στη συγκεκριµένη περίπτωση, το κριτήριο 2 υπερισχύει του 1, ως προς το µέγεθος της διείσδυσης, επιτρέποντας µικρότερη διείσδυση κατά 5% περίπου. Κατά συνέπεια, τα αποτελέσµατα αυτής της εκδοχής θεωρούνται ορθότερα και παρουσιάζονται στις σχετικές παραγράφους. Τέλος και στο Σχήµα 5.51 γίνεται φανερό, ότι οι «επιφάνειες στόχου» ανταποκρίνονται πλήρως στο σχήµα των οντοτήτων επί των οποίων αναπτύσσονται (κυκλικό και εξαγωνικό σχήµα για το δακτύλιο και την κεφαλή του κοχλία, αντίστοιχα). Αντίθετα, οι «επιφάνειες επαφής» δεν έχουν τέτοιο περιορισµό και έτσι ακόµα και στην περίπτωση κατά την οποία οι συζυγείς τους επιφάνειες, δηλαδή οι «επιφάνειες στόχου», είναι εξαγωνικές, αυτές µπορούν να είναι επί το απλούστερο κυκλικές, αρκεί ο αντίστοιχος κύκλος να έχει τέτοιο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 191 µέγεθος ώστε να εγγράφεται σε αυτόν το αντίστοιχο εξάγωνο. Με τον τρόπο αυτόν, επιταχύνθηκε η διαδικασία της σύγκλισης, κατά την ανάλυση του µοντέλου. 5.4.7 Eπιβολή φόρτισης Γενικά Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να επιβάλει κανείς το φορτίο της καµπτικής ροπής στο υπόψη µοντέλο, βάσει των δυνατοτήτων του προγράµµατος ANSYS: Με τη χρήση δυνάµεων σε: o σηµεία (keypoints), που είναι γεωµετρικό µέγεθος του µοντέλου, o κόµβους (nodes), ή o οµάδες κόµβων (node components), µε τη χρήση πίεσης σε: o γραµµές (lines), που είναι γεωµετρικό µέγεθος του µοντέλου, o επιφάνειες (areas), που είναι γεωµετρικό µέγεθος του µοντέλου, o κόµβους, o οµάδες κόµβων (node components), o στοιχεία (elements), ή o οµάδες στοιχείων (element components) Υπάρχουν όµως και ειδικά στοιχεία, τα οποία χρησιµοποιούνται για διάφορες εφαρµογές σε επιφάνειες στοιχείων, όπως είναι η επιβολή επιφανειακών φορτίων. Τέτοια στοιχεία είναι τα SURF154 τα οποία χρησιµοποιήθηκαν στο υπόψη µοντέλο και περιγράφονται παρακάτω. Στοιχεία SURF154 Τα στοιχεία SURF154 µπορούν να δηµιουργηθούν επικαλύπτοντας οποιαδήποτε επιφάνεια τρισδιάστατου στοιχείου και χρησιµοποιούνται σε οποιοδήποτε είδος ανάλυσης. Η γεωµετρία, οι θέσεις των κόµβων και το σύστηµα συντεταγµένων τους φαίνονται στο Σχήµα 5.53. Το στοιχείο καθορίζεται από τέσσερις έως οκτώ κόµβους και από τις ιδιότητες του υλικού του. Ένα τριγωνικό στοιχείο µπορεί επίσης να σχηµατισθεί, αν ταυτιστούν οι κόµβοι K και L. Ο εξ ορισµού άξονας x του στοιχείου είναι παράλληλος µε την πλευρά του I-J. Η πίεση µπορεί να επιβληθεί ως «επιφανειακό φορτίο» (surface load) στο στοιχείο, κατά τις διευθύνσεις που φαίνονται στο Σχήµα 5.53 µε τους αριθµούς σε κύκλο. Το «επιφανειακό φορτίο» ειδικότερα, µπορεί να επιβληθεί µε δύο µορφές: είτε ως φορτίο κόµβων που ανήκουν στην επιφάνεια είτε ως κατανεµηµένο φορτίο στην επιφάνεια του στοιχείου.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 192 Σχήµα 5.53: Γεωµετρία και σύστηµα συντεταγµένων του στοιχείου SURF154 Σ ό,τι αφορά στα αποτελέσµατα της ανάλυσης, υπάρχει η δυνατότητα να εµφανιστούν αυτά µε δύο µορφές: Ως µετακινήσεις των κόµβων, ή ως πλήθος επιπρόσθετων αποτελεσµάτων του στοιχείου, όπως πιέσεις στο καθολικό ή τοπικό σύστηµα συντεταγµένων, µέσοι όροι πιέσεων ανά επιφάνεια του στοιχείου κτλ. Τέλος, για το στοιχείο SURF154 ισχύουν οι εξής παραδοχές και περιορισµοί: εν επιτρέπεται να έχει επιφάνεια µε µηδενικό εµβαδόν, το διάνυσµα επιβολής εφελκυστικού φορτίου δρα στο επίπεδο του στοιχείου ως σταθερή δύναµη, εφαρµοζόµενη στους κόµβους, µειώνοντας το εµβαδόν της επιφάνειας, σε περιπτώσεις µεγάλων µετακινήσεων, τα φορτία εφαρµόζονται στο παραµορφωµένο µέγεθος και σχήµα του στοιχείου και τα αποτελέσµατα στην επιφάνεια των στοιχείων δεν περιλαµβάνουν τα φαινόµενα µεγάλων παραµορφώσεων. Μεθοδολογία επιβολής φόρτισης Η ροπή των -22.31kNm επιβλήθηκε στη δοκό ως ζεύγος δυνάµεων ίσου µέτρου και αντίθετου προσήµου. Οι δυνάµεις αυτές, εφαρµόσθηκαν µε τη µορφή πιέσεων στα στοιχεία SURF154, τα οποία είχαν δηµιουργηθεί επάνω σε επιλεγµένες επιφάνειες του άνω και κάτω πέλµατος της δοκού. Ο µοχλοβραχίονας του ζεύγους των δυνάµεων υπολογίσθηκε ως η απόσταση µεταξύ του κέντρου βάρους των επιλεγµένων επιφανειών. Αναλυτικότερα, η διαδικασία που ακολουθήθηκε περιλαµβάνει τα εξής βήµατα: Επιλογή των επιφανειών, όπου θα δηµιουργηθούν τα στοιχεία SURF154 και δηµιουργία αυτών των στοιχείων (Σχήµα 5.54).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 193 Σχήµα 5.54: Επιφάνειες δηµιουργίας των στοιχείων SURF154 Εύρεση του εµβαδού των επιφανειών και του κέντρου βάρους τους, ώστε να υπολογισθεί ο µοχλοβραχίονας του ζεύγους των δυνάµεων (Σχήµα 5.55): Σχήµα 5.55: Εµβαδόν επιφανειών και µοχλοβραχίονας ζεύγους δυνάµεων 22.31 x 10 6 / 2 / (2 x 5.06+278.60) = 38.64 x 10 3 N (5.100) Υπολογισµός της πίεσης επί των επιφανειών και εφαρµογή της στο µοντέλο (Σχήµα 5.56): 38.64 x 10 3 / 838.98 = 46.06N/mm 2 (5.101) Σχήµα 5.56: Εφαρµογή της πίεσης στα στοιχεία SURF154

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 194 5.4.8 Aποτελέσµατα αναλύσεων Σχήµα 5.57.α: Ροπή Μ = 1.13 knm, γωνία στροφής φ = 9.8x10-2 mrad, στροφική δυσκαµψία S = 11531 knm/rad Σχήµα 5.57.β: Ροπή Μ = 2.80 knm, γωνία στροφής φ = 24.1x10-2 mrad, στροφική δυσκαµψία S = 11618 knm/rad

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 195 Σχήµα 5.57.γ: Ροπή Μ = 6.54 knm, γωνία στροφής φ = 55.8 x10-2 mrad, στροφική δυσκαµψία S = 11720 knm/rad Σχήµα 5.57.δ: Ροπή Μ = 11.80 knm, γωνία στροφής φ = 1.02 mrad, στροφική δυσκαµψία S = 11569 knm/rad

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 196 Σχήµα 5.57.ε: Ροπή Μ = 17.05 knm, γωνία στροφής φ = 2.15 mrad, στροφική δυσκαµψία S = 7930 knm/rad Σχήµα 5.57.στ: Ροπή Μ = 22.31 knm, γωνία στροφής φ = 5.61 mrad, στροφική δυσκαµψία S = 3977 knm/rad

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 197 Σχήµα 5.58.α: Ροπή Μ = 22.31 knm, γωνία στροφής φ = 5.50 mrad, στροφική δυσκαµψία S = 4056 knm/rad Σχήµα 5.58.β: Ροπή Μ = 22.31 knm, γωνία στροφής φ = 6.28 mrad, στροφική δυσκαµψία S = 3552 knm/rad

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 198 Σχήµα 5.58.γ: Ροπή Μ = 22.31 knm, γωνία στροφής φ = 6.68 mrad, στροφική δυσκαµψία S = 3340 knm/rad Σχήµα 5.58.δ: Ροπή Μ = 22.31 knm, γωνία στροφής φ = 10.21 mrad, στροφική δυσκαµψία S = 2185 knm/rad

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 199 Σχήµα 5.58.ε: Ροπή Μ = 22.31 knm, γωνία στροφής φ = 11.89 mrad, στροφική δυσκαµψία S = 1876 knm/rad Σχήµα 5.58.στ: Ροπή Μ = 22.31 knm, γωνία στροφής φ = 13.41 mrad, στροφική δυσκαµψία S = 1664 knm/rad

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 200 Σχήµα 5.58.ζ: Ροπή Μ = 22.31 knm, γωνία στροφής φ = 37.81 mrad, στροφική δυσκαµψία S = 590 knm/rad Στα Σχήµατα 5.57.α έως στ, παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα των αναλύσεων που αφορούν στη µεταβολή της γωνίας στροφής φ του κόµβου σε σχέση µε την αύξηση της τιµής της επιβαλλόµενης ροπής κάµψης Μ και συνεπακόλουθα στη µεταβολή της στροφικής δυσκαµψίας S του κόµβου. Τα χρησιµοποιούµενα τρισδιάστατα πεπερασµένα στοιχεία σε αυτά τα σχήµατα είναι τα SOLID185, ενώ οι µετακινήσεις των κόµβων του µοντέλου εµφανίζονται µεγεθυµένες κατά 100 φορές. Η µεταβολή της στροφής του ηµιάκαµπτου κόµβου σε σχέση µε την επιβαλλόµενη ροπή, συγκρινόµενη µε τις αντίστοιχες προβλέψεις του Ευρωκώδικα 3, απεικονίζεται στο διάγραµµα του Σχήµατος 5.59. Η µέγιστη απόκλιση µεταξύ της στροφής που προβλέπει ο Ευρωκώδικας 3 και αυτής που προέκυψε από το µοντέλο των πεπερασµένων στοιχείων είναι 9.1% (σχέση 5.102) και αντιστοιχεί σε τιµή ροπής: Μ = 17.05kNm: 2.15 1.97 1.97 x 100 = 9.1 0 0 (5.102) Η απόκλιση αυτή εκτιµάται ως επαρκώς µικρή και κατά συνέπεια επιβεβαιώνει τις προβλέψεις του Ευρωκώδικα 3. Η αντίστοιχη απόκλιση µεταξύ της στροφικής δυσκαµψίας που προβλέπει ο Ευρωκώδικας 3 και των αποτελεσµάτων ανάλυσης του µοντέλου είναι:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 201 7930 8642 8642 x 100 = 8.2 0 0 (5.103) Το αρνητικό πρόσηµο σηµαίνει ότι ο Ευρωκώδικας 3 προβλέπει πιο δύσκαµπτους κόµβους κατά 8.2%, γεγονός που είναι προς το µέρος της ασφάλειας σ ό,τι αφορά στη διαστασιολόγησή τους, λόγω ανάπτυξης σε αυτούς υψηλότερων τιµών ροπής. Πάντως, η απόκλιση του 8.2% κρίνεται ως επαρκώς µικρή και θεωρείται ότι επιβεβαιώνει τις προβλέψεις του Ευρωκώδικα 3. 24.0 ιάγραµµα Μ-φ 20.0 Μ (knm) 16.0 12.0 8.0 4.0 ANSYS EC3 0.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 φ (mrad) Σχήµα 5.59: Σύγκριση διαγράµµατος ροπής Μ στροφής φ µεταξύ του ΕC3 και της ανάλυσης µε το πρόγραµµα ANSYS Στα Σχήµατα 5.58.α έως ζ, παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα παραµετρικών αναλύσεων αφενός µε τη χρήση διαφορετικών τρισδιάστατων στοιχείων, που είναι τα στοιχεία SOLID45 (Σχήµα 5.58.α) και αφετέρου µε τη χρήση διαφορετικών τιµών της δυσκαµψίας FKN των στοιχείων επαφής (Σχήµατα 5.58.β έως ζ). Αποδεικνύεται ότι τα στοιχεία SOLID45 είναι πιο δύσκαµπτα από τα SOLID185 σε ποσοστό 2%, όπως άλλωστε προβλεπόταν σύµφωνα µε τα αποτελέσµατα άλλων συγκριτικών αναλύσεων (βλ. 5.4.4.), αλλά και ότι η αύξηση της δυσκαµψίας των στοιχείων επαφής προκαλεί αύξηση της δυσκαµψίας του υπό εξέταση κόµβου. Επειδή οι τιµές της δυσκαµψίας FKN επηρεάζουν σε σηµαντικό βαθµό τα εξαγόµενα αποτελέσµατα του µοντέλου, θα πρέπει σε κάθε περίπτωση αντίστοιχης έρευνας, να δοκιµάζονται διάφορες τιµές της FKN και να επιλέγεται αυτή, από την οποία µεγαλύτερες τιµές δεν επιφέρουν παραπέρα τροποποιήσεις στα αποτελέσµατα των µετακινήσεων. Στην προκείµενη περίπτωση, αυτή η τιµή είναι: FKN = 50000N/mm. Στο Σχήµα 5.60 παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα παραµετρικών αναλύσεων για διάφορες τιµές της δυσκαµψίας FKN.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 202 4500 ιάγραµµα FKN - S 4000 S (Nmm/rad) x E6 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0 10000 20000 30000 40000 50000 FKN (N/mm) Σχήµα 5.60: Σχέση δυσκαµψίας στοιχείων επαφής FKN και στροφικής δυσκαµψίας S του υπό εξέταση κόµβου Στα Σχήµατα 5.61.α έως ιβ, παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα των αναλύσεων που αφορούν στη µεταβολή της µέγιστης αναπτυσσόµενης τάσης σ στον κόµβο, η οποία εµφανίζεται στους άνω κοχλίες και το γωνιακό, σε σχέση µε την αύξηση της επιβαλλόµενης ροπής κάµψης Μ. Τα χρησιµοποιούµενα τρισδιάστατα πεπερασµένα στοιχεία σε αυτά τα σχήµατα είναι τα SOLID185, ενώ η µεταβολή της κρίσιµης αναπτυσσόµενης τάσης σ στο άνω γωνιακό του κόµβου, συγκρινόµενη µε τις αντίστοιχες προβλέψεις του Ευρωκώδικα 3, απεικονίζεται στο διάγραµµα του Σχήµατος 5.63. Γίνεται φανερό στο εν λόγω σχήµα, ότι το διάγραµµα του Ευρωκώδικα 3 βρίσκεται γενικά χαµηλότερα από αυτό του προγράµµατος ANSYS, γεγονός που σηµαίνει ότι για τις ίδιες τιµές αναπτυσσόµενης τάσης στον κόµβο, ο Ευρωκώδικας 3 προβλέπει µικρότερες τιµές αντοχής και κατά συνέπεια βρίσκεται προς το µέρος της ασφάλειας. Τα περιθώρια αυτής της ασφάλειας κυµαίνονται µεταξύ των τιµών 8.4% και 4.8% για τιµές ροπής ίσες µε 6.54kNm και 22.31kNm αντίστοιχα, σύµφωνα µε τις σχέσεις 5.104 και 5.105. 54.03 58.98 58.98 x 100 = 8.4 0 0 (5.104) 191.59 201.19 201.19 x 100 = 4.8 0 0 (5.105) Το αρνητικό πρόσηµο υποδηλώνει ότι οι τιµές των τάσεων κατά τον Ευρωκώδικα 3 είναι υψηλότερες από τις αντίστοιχες τιµές του προγράµµατος ANSYS.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 203 Σχήµα 5.61.α: Ροπή Μ = 1.13 knm, αναπτυσσόµενη τάση σ = 29.22 ΜPa (κατακόρυφη τοµή άνω γωνιακού και κοχλιών) Σχήµα 5.61.β: Ροπή Μ = 1.13 knm, αναπτυσσόµενη τάση σ = 29.22 ΜPa (αξονοµετρική απεικόνιση άνω γωνιακού)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 204 Σχήµα 5.61.γ: Ροπή Μ = 2.80 knm, αναπτυσσόµενη τάση σ = 32.89 ΜPa (κατακόρυφη τοµή άνω γωνιακού και κοχλιών) Σχήµα 5.61.δ: Ροπή Μ = 2.80 knm, αναπτυσσόµενη τάση σ = 32.89 ΜPa (αξονοµετρική απεικόνιση άνω γωνιακού)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Aριθµητικές εφαρµογές στην ανάλυση και διαστασιολόγηση χαλύβδινων φορέων 205 Σχήµα 5.61.ε: Ροπή Μ = 6.54 knm, αναπτυσσόµενη τάση σ = 54.03 ΜPa (κατακόρυφη τοµή άνω γωνιακού και κοχλιών) Σχήµα 5.61.στ: Ροπή Μ = 6.54 knm, αναπτυσσόµενη τάση σ = 54.03 ΜPa (αξονοµετρική απεικόνιση άνω γωνιακού)