V ΕΝΙΑΙΑ ΚΑΘΑΡΑ ΑΣΦΑΛΙΣΤΡΑ ΑΣΦΑΛΙΣΕΩΝ ΖΩΗΣ Α ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΑ ΑΞΙΑ Όπως γνωρίζοε, η παρούσα αξία ενός ποσού C πο θα αταβληθεί τη ελλοντιή χρονιή C στιγή είναι ίση ε ( ) i, όπο i το "επιτόιο αποτίησης" (το επιτόιο πο επιλέγεται για τον αθορισό (ετίηση) της σηερινής αξίας το ελλοντιού ποσού) Την ίια παρούσα αξία γράφοε εναλλατιά C, όπο είναι ο αντίστοιχος προς το i σντελεστής i προεξόφλησης, αλλά αι C, όπο l( i) είναι η αντίστοιχη προς το i ένταση ανατοισού Η έννοια της παρούσας αξίας είναι αθαρά οιονοιή έννοια πο σχετίζεται ε βέβαιες αταβολές Για ενεχόενες αταβολές (αταβολές πο θα γίνον ε πιθανότητα <), έχοε την έννοια της αναλογιστιής παρούσας αξίας ( C ) ( C) Είναι φανερό από την ισότητα ατή ότι η αναλογιστιή παρούσα αξία ενός ποσού πορεί να χαρατηρισθεί είτε ως "η αθηατιή ελπία της παρούσας αξίας το ποσού" (αριστερό σέλος της ισότητας) είτε ως "η παρούσα αξία της αθηατιής ελπίας το ποσού" (εξιό σέλος της ισότητας) Η έννοια της αναλογιστιής παρούσας αξίας είναι θεελιώος σηασίας στην ασφάλιση αι αποτελεί τη βάση για τον πολογισό ασφαλίστρων αι για την ετίηση των τηρητέων ασφαλιστιών προβλέψεων (αποθεάτων) Β ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ Η έννοια της αναλογιστιής παρούσας αξίας παίζει τον εντριό ρόλο στη ιατύπωση της αρχής της ισοναίας για τον πολογισό των ασφαλίστρων Το ασφάλιστρο ιας αροχρόνιας ασφάλισης ζωής σπάνια αταβάλλεται εφάπαξ αι σνήθως εξοφλείται ε ετήσιες (ή αι σχνότερες) όσεις Και οι ασφαλιστιές παροχές (πχ, σντάξεις) όως σχνά αταβάλλονται σε πολλές ιαφορετιές χρονιές στιγές Προειένο να σγριθούν, παροχές αι (ετήσια) ασφάλιστρα πρέπει να "αναχθούν" στην ίια χρονιή στιγή αι σγεριένα στο σήερα, σε χρόνο Εείνο πο απαιτείται ηλαή είναι η παρούσα αξία όλων των ασφαλιστιών παροχών αι η παρούσα αξία όλων των ασφαλίστρων Ατό όως εν είναι αρετό : ατά ανόνα εν είναι σίγορη ούτε η αταβολή των παροχών ούτε η αταβολή των ασφαλίστρων Σε ια πρόσαιρη ασφάλιση θανάτο, πχ, η αποζηίωση πορεί να ην αταβληθεί ποτέ (πορεί ο ασφαλισένος να επιζήσει) Στην ίια ασφάλιση, έστω ετή, εν θα αταβληθούν άποια από τα ετήσια ασφάλιστρα αν ο ασφαλισένος πεθάνει Είναι φανερό ότι, πέρα από τις παρούσες αξίες όλων των σχετιών ποσών, είαστε ποχρεωένοι να λάβοε πόψη ας αι τις πιθανότητες αταβολής αφενός των παροχών αι αφετέρο των ασφαλίστρων Πρέπει λοιπόν να εξισώσοε την αναλογιστιή παρούσα αξία των ασφαλίστρων ε την αναλογιστιή παρούσα αξία των ασφαλιστιών παροχών Εύολα αταλήγοε λοιπόν στη ιατύπωση της αρχής της ισοναίας : η αναλογιστιή παρούσα αξία των ασφαλίστρων (πρέπει να) είναι ίση ε την αναλογιστιή παρούσα αξία των ασφαλιστιών παροχών Η αρχή πορεί να επαναιατπωθεί αι ως ορισός το ενιαίο (ή εφάπαξ) αθαρού ασφαλίστρο : το ενιαίο αθαρό ασφάλιστρο ιας ασφάλισης είναι ίσο ε την αναλογιστιή παρούσα αξία των προβλεπόενων παροχών (αποζηιώσεων)
Για να άνει ανείς την αρχή της ισοναίας πράξη χρειάζεται ύο πράγατα : ένα "τεχνιό επιτόιο" για τον πολογισό παροσών αξιών αι πιθανότητες θανάτο/επιβίωσης Οι πιθανότητες θανάτο/επιβίωσης λαβάνονται από έναν πίναα θνησιότητας ατάλληλο για τον "προς ασφάλιση πληθσό" Γ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ ΖΩΗΣ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΤΜ Επί εγάλο χρονιό ιάστηα, τα ενιαία ασφάλιστρα ζωής πολογίζονταν από τις πιθανότητες (στην πραγατιότητα "παρατηρηένα ποσοστά") θανάτο πο ίονται σε ένα πίναα χωρίς σαφή σνειητοποίηση (ε ελάχιστες εξαιρέσεις!) ότι τα ενιαία ασφάλιστρα είναι αθηατιές ελπίες ορισένων οιονοιών σναρτήσεων της τ Κ ή της τ Τ Για να πεισθούε για την αλήθεια ατού το ισχρισού αρεί ένα απλό παράειγα Η βέβαιη αταβολή ιας ονάας τη ελλοντιής στιγή έχει παρούσα αξία τη στιγή το θανάτο το (), η παρούσα αξία είναι σνάρτηση της τ Τ πο σνέονται ε τα ριότερα ήη ασφαλίσεων ζωής, αι το αντίστοιχο ενιαίο ασφάλιστρο είναι ( ) Αν όως η ονάα είναι να αταβληθεί, ηλαή τχαία εταβλητή πο είναι Ας ούε τώρα τις τ Στην πρόσαιρη ασφάλιση θανάτο (rm isurac) ε ιάρεια (σνήθως έτη), ο ασφαλιστής αταβάλλει ία ονάα (το "ασφαλισένο εφάλαιο") αν ο θάνατος σβεί ατά τη ιάρεια της ασφάλισης αι τίποτε αν ο ασφαλισένος επιζήσει (αν ο θάνατος σβεί ετά τη λήξη της ασφάλισης) Είναι σαφές ότι η παρούσα αξία της ονάας πο θα αταβληθεί σε, < περίπτωση "έγαιρο" θανάτο είναι η τ Z Το ενιαίο ασφάλιστρο για την, ( ) ασφάλιση ατή είναι Z Το ασφάλιστρο ατό βασίζεται στην πόθεση ότι το ασφαλισένο εφάλαιο θα αταβληθεί την "αριβή στιγή το θανάτο" Αν το εφάλαιο είναι να αταβληθεί στο "τέλος το έτος το θανάτο" (ηλαή, στην επέτειο το ασφαλιστηρίο αέσως ετά το θάνατο το ασφαλισένο), K, K τότε η παρούσα αξία είναι Y (Αν, πχ, ο () πεθάνει σε ηλιία mε,, K m αέραιος αι < ε <, τότε Κ m, η πληρωή όως γίνεται σε χρόνο m Κ!) Στην περίπτωση ατή, το ενιαίο ασφάλιστρο είναι ( Y) Για τα ύο ατά ασφάλιστρα έχοε ειιά σύβολα Για το ενιαίο ασφάλιστρο πρόσαιρης ασφάλισης θανάτο πληρωτέας στο τέλος το έτος το θανάτο γράφοε αι για το : ενιαίο ασφάλιστρο πρόσαιρης ασφάλισης θανάτο πληρωτέας τη στιγή το θανάτο γράφοε ηλαή είναι : : αι :
Ερχόαστε τώρα στη "σπληρωατιή" της πρόσαιρης θανάτο, στην ασφάλιση επιβίωσης (ur owm) Εώ η ασφάλιση πληρώνει ια ονάα αν ο, < ασφαλισένος ζει στο τέλος προαθορισένης ιάρειας Έχοε ηλαή Z, αι ( Z) ελπία είναι : αλλά αι Το αναλογιστιό σύβολο για ατή τη αθηατιή Η ιτή ασφάλιση (owm) έχει ορισένη ιάρεια αι αταβάλλει ια ονάα είτε στο θάνατο αν σβεί πριν από τη λήξη είτε στη λήξη σε περίπτωση επιβίωσης έχρι τη λήξη Είναι προφανώς το άθροισα των ύο προηγούενων αι, αν η αταβολή είναι στο τέλος το έτος το θανάτο, έχοε : : : : ενώ, αν η αταβολή είναι τη στιγή το θανάτο, έχοε : Οι αντίστοιχες τ είναι φσιά, < αι Z, : Y, K :, K K : Έχοε τέλος την ισόβια ασφάλιση (whol lif) χωρίς ανένα χρονιό περιορισό Οι σναφείς τ είναι απλούστερες αι ίσες αντίστοιχα ε K Y αι Z Τα αντίστοιχα ενιαία ασφάλιστρα είναι ( ) Y αι ( Z) Είναι σαφές από όλες τις προηγούενες σχέσεις ότι το ενιαίο ασφάλιστρο της ισόβιας είναι το όριο τόσο το ασφαλίστρο της πρόσαιρης όσο αι το ασφαλίστρο της ιτής όταν (Το "παράοξο" ατό εξηγείται από το γεγονός ότι το ασφάλιστρο επιβίωσης τείνει στο ηέν ( lim ) αι, στο όριο, τα ασφάλιστρα πρόσαιρης θανάτο αι ιτής τατίζονται αι εταξύ τος αι ε το ασφάλιστρο της ισόβιας) K Υπενθίζοε τέλος ότι οι τ αι πορούν, όταν ατό εξπηρετεί αλύτερα, να γράφονται αι ( K ), όπο η ένταση ανατοισού πο αντιστοιχεί στο σντελεστή προεξόφλησης ΧΡΗΣΗ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ LPLC Ή/ΚΑΙ ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΩΝ Όπως γνωρίζοε, η αθηατιή ελπία ( ) είναι ίση ε f () φ ( ) Αν θηθούε το γεγονός ότι, για ια (σνεχή) σνάρτηση f ( ), ( ) ( ) z L z f είναι ο ετασχηατισός Lalac της f ( ), βλέποε ότι, για θεωρητιές
σναρτήσεις επιβίωσης, το ενιαίο ασφάλιστρο L( ) παίρνει ο ετασχηατισός Lalac της σππ στο σηείο z είναι η τιή πο Αν, επιπλέον, η σππ ενώ ετασχηατισό Lalac έχει οπωσήποτε), αν ηλαή εφόσον έχει αι ροπογεννήτρια (πορεί να ην έχει ροπογεννήτρια z M ( z), τότε,, είναι M ( ) αι το ενιαίο ασφάλιστρο είναι η τιή της ροπογεννήτριας στο z (Είναι προφανές ότι, αν πάρχει η ροπογεννήτρια, L( z) M( z) M( z) L( z)) αι Η σηασία των παραπάνω σπερασάτων έγειται στο γεγονός ότι για σναρτήσεις επιβίωσης των οποίων η ροπογεννήτρια είναι γνωστή (ή ο ετασχηατισός Lalac όταν η ροπογεννήτρια εν ορίζεται) το ενιαίο ασφάλιστρο είναι ατόατα γνωστό Έτσι, πχ, για s() ε ροπογεννήτρια M( z), z ( ), όπο η ένταση ανατοισού πο αντιστοιχεί στο τεχνιό επιτόιο πο έχει επιλεγεί (Στο ίιο σπέρασα οηγείται ανείς από το γεγονός ότι ο ετασχηατισός Lalac της είναι z ) Ε ΙΑΣΠΟΡΑ ΤΩΝ ΚΑΙ K Όπως είαε, τα ενιαία αθαρά ασφάλιστρα είναι αθηατιές ελπίες ("αναενόενες τιές") οι οποίες εν πορούν σε αιά περίπτωση να αποτελέσον έτρο της επιιννότητας της ασφάλισης (επιιννότητας για τον παρέχοντα την ασφάλιση) Μπορεί η αναλογιστιή παρούσα αξία ιας ισόβιας να είναι ( ), αλλά την πραγατιή παρούσα αξία θα τη άθοε όταν το άτοο πεθάνει, σε χρόνο ας πούε, οπότε η παρούσα αξία πο θα προύψει (τότε πο θα γνωρίζοε τη στιγή ) θα είναι Μόνον από ένα θαύα θα ιαπιστώσοε τότε ότι ( )! Για να ετιήσοε την επιιννότητα το αναλαβανόενο ινύνο (ηλαή, το εύρος των πιθανών απολίσεων το πραγατιού αποτελέσατος από το ( ) ), πρέπει να ασχοληθούε ε τη ιασπορά ( ) Var της τ Για τη ελέτη της ( ) Var είναι προτιότερη η γραφή Var( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Var ( ( ) ( ) αι εύολα βλέποε ότι ( ) Πράγατι, είναι επίσης ενιαίο αθαρό ασφάλιστρο για ισόβια ασφάλιση στον (), πολογισένο όως ε ένταση ανατοισού ιπλάσια από εείνη πο χρησιοποιείται πράγατι για το ασφάλιστρο της ( ) ( ) ασφάλισης το () Με σύβολα, ( ) ( ) Var είαε, Var( ) Για s( ), πχ, πο όπως
Αν αι αναλύσαε την περίπτωση της ισόβιας ασφάλισης, είναι προφανές ότι το σπέρασα ( ) ( ) V ( ) ισχύει αι για άλλα είη ασφάλισης Εξάλλο, αξίζει να σηειωθεί ότι η χρήση ιπλάσιας έντασης ανατοισού για τον πολογισό της ιασποράς αντιστοιχεί σε χρήση επιτοίο i i i, όπο i το τεχνιό επιτόιο (επιτόιο πολογισού των ασφαλίστρων) : l i l i i i i i i Επίσης σνεπάγεται για το ( ) ( ) ( ) σντελεστή προεξόφλησης l ( l ), Το σπέρασα της προηγούενης παραγράφο ισχύει αι για ασφαλίσεις πληρωτέες στο τέλος το έτος το θανάτο Για ια πρόσαιρη θανάτο, πχ, K Var( ) ( ) ( ) προεξόφλησης (αι φσιά ) : Όως ο σντελεστής στο τελεταίο άθροισα σνεπάγεται i ( i), ηλαή, i i i Αν αναλύσοε το ασφάλιστρο ηλώνεται ε, βλέποε ότι ΣΤ ΜΕΡΙΚΕΣ ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ιας ισόβιας σε : Το ολολήρωα αι είναι το (σηερινό) ενιαίο αθαρό ασφάλιστρο για ια αναβαλλόενη ισόβια ασφάλιση στον () (ηλαή ια ισόβια ασφάλιση στον () πο τίθεται όως σε ισχύ χρόνια από τώρα (αι βεβαίως εν αταβάλλεται τίποτε αν ο () πεθάνει έσα στα επόενα χρόνια)) Για το ασφάλιστρο ισόβιας για τον (), ηλαή έχοε Όως αι είναι το ενιαίο ασφάλιστρο Άρα : : Βλέποε ατά σνέπεια ότι το ενιαίο ασφάλιστρο ισόβιας ασφάλισης στον () είναι ίσο ε το άθροισα (α) το ενιαίο ασφαλίστρο ιας πρόσαιρης ασφάλισης θανάτο (οποιασήποτε) ιάρειας αι (β) της αναλογιστιής παρούσας αξίας,, το ενιαίο ασφαλίστρο πο θα ληθεί να πληρώσει ο (), αν ζει όταν λήξει η πρόσαιρη, προειένο να σνεχίσει, ισόβια πια, την ασφάλισή το Αν εφαρόσοε το παραπάνω σπέρασα ε, παίρνοε Αν επαναλάβοε τη ιαιασία στο : : : : :, ( ) Η σνάρτηση όως έχει την ίια "πολλαπλασιαστιή ιιότητα" πο επιεινύον τα αι : s s s s s s (τατότητα σηαντιή αθ' εατή) Εφαρόζοντας την ιιότητα ατή στο, ιαπιστώνοε ότι, άρα : : s s Είναι τώρα
προφανές ότι, αν σνεχίσοε "έχρι τέλος", θα πάροε : (το ) Η σχέση ατή αναλύει το "όστος" (ενιαίο ασφάλιστρο) ιας ισόβιας ασφάλισης σε άθροισα των αναλογιστιών παροσών αξιών, :, των ασφαλίστρων : για ετήσια ασφάλιση θανάτο σε άθε έτος ηλιίας,,,, Αριβώς οι ίιες σχέσεις ισχύον αι για ασφάλιση πληρωτέα στο τέλος το έτος το θανάτο : : αι : Το ασφάλιστρο : για ετήσια άλψη θανάτο στον () πληρωτέα στο τέλος το έτος είναι φσιά αι έτσι :, πο είναι φσιά ίσο ε Είναι αόα σηαντιό να σνειητοποιήσοε ότι τα ενιαία ασφάλιστρα ασφαλίσεων ζωής πορούν να πολογισθούν άνοντας χρήση πιθανοτήτων επιβίωσης (αντί των ) Έτσι, πχ, για ια ιτή, : (Τη σηασία της σχέσης ( ) ( ) : θα ατανοήσοε αλύτερα όταν στη σνέχεια ασχοληθούε ε ράντες ζωής) Το σνεχές αντίστοιχο της σχέσης : προύπτει αν χρησιοποιήσοε ολολήρωση ατά παράγοντες στη σχέση : Παίρνοε : ] Ζ ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Μέχρι στιγής ποθέσαε ότι το ασφαλισένο εφάλαιο παραένει σταθερό (αι ίσο ε ) σε όλη τη ιάρεια της ασφάλισης Είναι νατόν όως η ασφαλιστιή παροχή πο θα αταβληθεί τη στιγή να είναι σνάρτηση το Το ενιαίο αθαρό ασφάλιστρο ιας τέτοιας ασφάλισης είναι b ( ) b b (τα όρια το ολοληρώατος αθορίζονται ανάλογα ε τον πρόσαιρο ή ισόβιο ή λπ χαρατήρα της ασφάλισης) Οι πιο σνηθισένες περιπτώσεις πο απαντάε στην πράξη είναι εφάλαιο πο αξάνει άθε έτος αριθητιά (C, C, C, ) αι εφάλαιο πο αξάνει άθε έτος γεωετριά (C, ()C, () C, )
Στην πρώτη περίπτωση (ε C, αταβολή στο τέλος το έτος αι χωρίς προσιορισό της Για τον πολογισό ατού ιάρειας) έχοε ασφάλιστρο ( ) το ασφαλίστρο, ετός από το ασφάλιστρο Α ασφάλισης ε εφάλαιο, απαιτείται αι ο πολογισός ασφαλίστρο ασφάλισης πο για θάνατο το έτος,,, 3,, αταβάλλει το ποσό Το ασφάλιστρο ατό ηλώνοε γενιά ε ΙΑ, πχ, ( I ) ( ) : Φσιά, το άθροισα ατό πολογίζεται άπως σολότερα από το άθροισα για ασφάλιση σταθερού εφαλαίο (Η παρατήρηση εν ισχύει βέβαια προειένο για πολογισό ε (ατάλληλα προγραατισένο) πολογιστή!) Η περίπτωση ποσοστιαίας εταβολής το εφαλαίο (πχ, 5% ατ' έτος) αποεινύεται αναλτιά εολότερη : ( ) [ ( ) ] αι το ασφάλιστρο είναι ίσο ε το ασφάλιστρο ασφάλισης σταθερού ποσού, πολογισένο όως ε σντελεστή i προεξόφλησης ( ), ηλαή ε επιτόιο i (Για την ασφάλιση ατή εν έχοε k ιιαίτερο σύβολο) Στην περίπτωση εταβαλλόενο εφαλαίο αι αταβολής τη στιγή το θανάτο, ιαρίνοε ύο περιπτώσεις, εφάλαιο πο εταβάλλεται γραιά σνεχώς σε όλη τη ιάρεια αι εφάλαιο πο άθε χρόνο αξάνει ατά ία ονάα Τα αντίστοιχα σύβολα είναι I αι I Προφανώς, για ισόβιες πχ, ( I ) αι ( I ) ( ) εφάλαιο αι αταβολή στο τέλος το έτος θανάτο, γράφοε ( ) ( ) Για I Στην τελείως γενιή περίπτωση, έχοε P b (εφάλαιο b τη στιγή αι αταβλητέο τη στιγή το θανάτο), Q b (εφάλαιο b σταθερό όλο το έτος αι αταβλητέο τη στιγή το θανάτο) αι b R (εφάλαιο ατά το έτος αι αταβλητέο στο τέλος το έτος) Κάτω από UDD (βλ την επόενη Παράγραφο), εταξύ των Q i αι R ισχύει προφανώς Q R (αν βέβαια τα b είναι τα ίια αι στις ύο περιπτώσεις) (Η περίπτωση P είναι ιιαίτερα ύσολη, γιατί η τεχνιή πο εφαρόζοε στα αι άτω από UDD εν είναι νατόν να εφαροσθεί σε αθαίρετα b! Η τεχνιή πορεί βέβαια να εφαροσθεί αν αι τα έχον εθετιό χαρατήρα) b Η ιασπορά στη γενιή περίπτωση είναι ( b ) ( ( ) b πορεί να πολογισθεί ε τον ίιο τρόπο ε την ( b ) εταβάλλεται εθετιά αι η πρώτη αθηατιή ελπία όνο σε περίπτωση πο η παροχή b