VI. ΕΝΙΑΙΑ ΚΑΘΑΡΑ ΑΣΦΑΛΙΣΤΡΑ ΡΑΝΤΩΝ ΖΩΗΣ

Transcript

1 VI ΕΝΙΑΙΑ ΚΑΘΑΡΑ ΑΣΦΑΛΙΣΤΡΑ ΡΑΝΤΩΝ ΖΩΗΣ Α ΕΙ Η ΡΑΝΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΤΜ Οι ράντες ζωής ιφέρον πό τις "βέβιες" ράντες (πο εξετάζοντι στ οιονοµιά µθηµτιά ιότι οι τβολές µις ράντς ζωής εξρτώντι πό την επιβίωση το (, είνι ηλή σνάρτηση µις πό τις τµ ι K Μι ληξιπρόθεσµη ισόβι ράντ πο τβάλλει µι χρηµτιή µονά στο τέλος το έτος πό τον όρο ότι ο ( ζει τότε, έχει νλογιστιή προύσ ξί (µε βάση τη σνάρτηση επιβίωσης λλά ι q (µε βάση τη σπ σηµειώνοµε µε ι είνι προφνές πό τη σχέση q Το ενιίο θρό σφάλιστρο τής της ράντς q ότι E( K Κτά τον ίιο τρόπο, γι µι προτβλητέ (µονιί ισόβι ράντ στον ( έχοµε ενιίο E K q ι γι µι σνεχή ισόβι ράντ θρό σφάλιστρο έχοµε E( µ ιρίνοµε όµ τις προσωρινές ράντες ζωής ι τις νβλλόµενες ράντες ζωής, < Η τµ πο ντιστοιχεί σε µι σνεχή προσωρινή ράντ είνι Z, άρ, E Z : µ προτβλητέ προσωρινή ράντ είνι σφάλιστρο ράντ, : q Η τµ πο σνέετι µε την ντίστοιχη Z q : K,, K K µε µθηµτιή ελπί (ενιίο Όµοι, γι τη ληξιπρόθεσµη προσωρινή Γι τις νβλλόµενες ράντες ζωής, σνεχή, προτβλητέ ι ληξιπρόθεσµη, τ ενιί θρά σφάλιστρ είνι ντίστοιχ µ, q ι q

2 Από τος τύπος των ιριτών ρντών προύπτει µι πρώτη σχέση µετξύ ενιίων σφλίστρων ρντών ι ενιίων σφλίστρων σφλίσεων Εφόσον E, είνι προφνές ότι E ι E Οι σχέσεις τές εφράζον το ενιίο σφάλιστρο µις (µονιίς ράντς ως άθροισµ ενιίων σφλίστρων (µονιίων σφλίσεων επιβίωσης Κτά τον ίιο τρόπο, το σφάλιστρο της σνεχούς ράντς προύπτει πό ολολήρωση το E, E σνέον ράντες ι σφλίσεις Πιο άτω θ εξετάσοµε τις σηµντιότερες σχέσεις πο Β ΜΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩ ΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ Μετξύ το ενιίο σφλίστρο µις µιτής ή ισόβις σφάλισης στον ( ι το ενιίο σφλίστρο µις ράντς στον ( ίσης ιάρεις ισχύει µι ιιίτερ σηµντιή σχέση Χάρη σ' τή τη σχέση, ρεί ο πολογισµός ενός µόνον πό τ Α ι : η τιµή το άλλο προύπτει µέσως πό τη µετξύ τος σχέση Γι ισόβι σφάλιση πληρωτέ στο τέλος το έτος το θνάτο ι ισόβι προτβλητέ ράντ, η σχέση είνι A, όπο το προεξοφλητιό επιτόιο (Είνι σηµντιό ν σνειητοποιήσοµε ότι η σχέση τή ισχύει γι οποιήποτε σνάρτηση επιβίωσης ή πίν θνησιµότητς : τ A ι σνέοντι µετξύ τος "µόνο µε το τεχνιό επιτόιο" Γι ισόβι σφάλιση πληρωτέ τη στιγµή το θνάτο ι σνεχή ισόβι ράντ, η σχέση είνι A, όπο η έντση ντοισµού πο ντιστοιχεί στο τεχνιό επιτόιο Γι µιτές σφλίσεις έχοµε A ι A Προσοχή όµως : εν ισχύει νάλογη σχέση µτξύ µις πρόσιρης ι της ισοιρούς ράντς! Υπάρχον πολλοί τρόποι ν ποείξοµε σχέσεις το πρπάνω είος Έτσι, πχ, ( µ ] A A : : : : Η πόειξη όµως πο είχνει ότι η σχέση είνι άµεση σνέπει ντίστοιχης σχέσης στ οιονοµιά µθηµτιά είνι η πιο ιφωτιστιή (ι η πιο οµψή Πράγµτι, γι µι βέβιη ράντ έχοµε ( E( E Όµως ( A E ι ( πόλτ προφνές, ξίζει ν σηµειωθεί ότι µι σχέση όπως η A A ι, άρ E, άρ A Αν ι είνι A σηµίνει Γ ΑΛΛΕΣ ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Από τος ορισµούς των σφλίστρων ιάφορων ρντών προύπτει άµεσ ότι η σχέση a a : a ισχύει γι a,, Έτσι, πχ, : : : : E : E Η σχέση τή νλύει το όστος

3 µις ισόβις ράντς σε ηλιί στο όστος µις προσωρινής ράντς θίρετης ιάρεις ι στη σηµερινή ξί, E, το ποσού πο θ πιτηθεί σε ηλιί, ν ο ( ζει τότε, προειµένο ν γορσθεί ισόβι ράντ στη θέση της λήξσς προσωρινής ράντς (Όπως είµε, πρόµοι σχέση ισχύει ι γι µι σφάλιση Ότν πίρνοµε τις σχέσεις : : E E Επειή προφνώς, σµπερίνοµε ότι E ύο όµ πρείγµτ σχέσεων το τύπο a a a είνι E ι : : : E Οι ι ιφέρον µόνο τά την ρχιή µονά της εφόσον ι οι ύο ράντες σνεχίζοντι "µέχρι τέλος" (λήγον στο ίιο σηµείο Οι ι όµως ιφέρον "ι : : στ ύο άρ" :, άρ : : : : E Αφιρώντς την : : E πό την, πίρνοµε E (ι εώ οι ύο ράντες είνι ισόβιες ι ιφέρον µόνο τά τον πρώτο όρο της, πο είνι E Στην περίπτωση της σνεχώς τβλλόµενης ράντς, έχοµε E : E, σχέση πο νλύει το σφάλιστρο στη σηµερινή ξί, : : : E :, το ποσού,, πο πιτείτι σε άθε ηλιί,,,,, στην ρχή το έτος γι ν χρηµτοοτηθεί µι σνεχώς τβλλόµενη ράντ µε ετήσι ιάρει Γι ιριτές ράντες, οι ντίστοιχες σχέσεις E ι : E πλοποιούντι σε : E (εφόσον η είνι προτβλητέ, άρ ίση µε ι E (εφόσον η : ληξιπρόθεσµη, άρ ίση µε : είνι ΙΑΣΠΟΡΑ ΤΩΝ,, K K Η ισπορά της είνι µ Θ µπορούσµε ν γράψοµε ι ν προσωρήσοµε στην ολολήρωση Υπάρχει όµως εολότερη οός χάρη στη θεµελιώη σχέση : Var Var ( Var Var ( ( A A

4 Η πρπάνω ισπορά µπορεί ν γρφεί σνρτήσει σφλίστρων ρντών πάλι µε τη βοήθει της θεµελιώος ττότητς : ( Var ( ( ( ( ( ( Γι τη ισπορά της είνι σφές, εξιτίς της οµοιότητς των A ι ( ( Var( A K A (, Var Var Var A, ότι της K K K ( ( Όσο γι τη ισπορά ι εν πιτείτι άλλος πολογισµός K K Γι τη ισπορά προσωρινών ρντών, άνοµε χρήση της A ή της A : µζί µε τη ισπορά της ντίστοιχης προς τη ράντ µιτής (ριβώς όπως : άνµε πρπάνω γι τις ισόβιες ράντες : : Ε ΡΑΝΤΕΣ ΣΥΧΝΟΤΕΡΕΣ ΑΠΟ ΕΤΗΣΙΕΣ Όλες οι ράντες ζωής πο είµε µέχρι τώρ τβάλλον µι χρηµτιή µονά σε άθε χρονιή µονά (η χρονιή µονά είνι σχεόν πάντοτε έν έτος Θ εξετάσοµε τώρ ράντες µε σχνότερες τβολές (πχ, άθε µήν ή άθε εβοµά Αν η ράντ είνι τβλητέ φορές το χρόνο ( 4 άθε τρίµηνο, άθε µήν, 5 άθε εβοµά, ο, σηµειώνοµε το σφάλιστρό της µε ή νάλογ µε το ν είνι ισόβι προτβλητέ ή ισόβι ληξιπρόθεσµη ι µε ή νάλογ µε το ν είνι προσωρινή προτβλητέ ή προσωρινή ληξιπρόθεσµη : : Είνι σηµντιό ν σνειητοποιήσοµε ότι οι ράντες τές, νεξάρτητ πό την τιµή το, τβάλλον µέσ σε έν χρόνο το ίιο ποσό µε µι ετησίως τβλλόµενη ράντ Εφόσον η ράντ a ( a ή a τβάλλετι φορές το χρόνο ι τβάλλει σνολιά µι µονά, η άθε "όση" είνι Έτσι τ σφάλιστρ ορίζοντι µε (ισχύον βέβι ι οι ενλλτιές γρφές πο ώσµε γι έχοµε : ι : ι Γι τις προσωρινές ράντες Γι τον πολογισµό των πρπάνω σφλίστρων µς χρειάζοντι "ετιµήσεις" των (πο είνι πιθνότητες επιβίωσης γι λσµτιές ιάρειες,, (Ήη έχοµε ντιµετωπίσει πρόµοιο πρόβληµ στον πολογισµό το A πό A Μπορούµε σε πρώτη φάση ν άνοµε χρήση της πόθεσης UDD σύµφων µε την οποί, γι < <, q q, άρ

5 q Εφόσον γι το άθροισµ q i q q q Εποµένως, i i i i q A i i, θ βρούµε πρώτ µι προσεγγιστιή τιµή Όµως ( ι i q i i Στη σνέχει θ ούµε ότι η προσέγγιση UDD οηγεί στη σχέση A Εώ i ξίζει ν σηµειωθεί ότι η A προύπτει ως όριο i Πράγµτι, ότν i i i, έχοµε ι i, άρ A A i i i Η προσέγγιση A µπορεί ν γρφεί σνρτήσει µόνο της i ντιθιστώντς i i i γι το A : το ποτέλεσµ είνι i i Σ' οποιήποτε πάντως µορφή, οι προσεγγίσεις τές εν είνι ό,τι πλούστερο (ή οµψότερο! θ επιθµούσµε Απλούστερες προσεγγίσεις προύπτον ν, ντί της γρµµιότητς το σε άθε έτος ηλιίς (UDD, ποθέσοµε ότι το είνι γρµµιό γι άθε ι < < µε την πόθεση Ατό ισονµεί µε ντιτάστση της πόθεσης ( Εποµένως, ( ( Έτσι, Εφόσον, τλήγοµε στις προσεγγίσεις ι (Γι, πίρνοµε τ προφνή ι Οι προσεγγιστιές σχέσεις γι την προύπτον πολύ πλά πό τις σχέσεις γι την ι το γεγονός ότι Με γρµµιότητ το, πχ, πίρνοµε Κλείνοντς το θέµ των προσεγγίσεων γι ι (, σηµειώνοµε ότι στην προσέγγιση πο προύπτει πό γρµµιότητ το σε άθε έτος ηλιίς µπορούµε ν φθάσοµε ι µε έν "επιχείρηµ µέσο χρόνο τβολής"

6 γι µι ράντ πληρωτέ φορές το χρόνο Γι την, πχ, οι στιγµές τβολής,,, έχον µέσο χρόνο τβολής (µετρηµένο πό την ρχή άθε έτος ( Θεωρώντς τώρ ότι όλη η ετήσι µονά τβάλλετι τη χρονιή στιγµή, άνοµε γρµµιή πρεµβολή µετξύ ι : Γι προσωρινή ράντ :, γράφοµε E ι χρησιµοποιούµε τις : προσεγγίσεις γι τις ισόβιες ράντες ι Με την πλή, πχ, προσέγγιση, πίρνοµε E ( E : : ΣΤ ΡΑΝΤΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΠΟΣΟΥ Ή/ΚΑΙ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΕΠΙΤΟΚΙΟΥ Όπως ι στην περίπτωση των σφλίσεων, είνι ντόν ν έχοµε ράντες µε µετβλητή όση Άλλες µετβλητές ράντες είνι οι ράντες στθερού ποσού λλά µετβλητού επιτοίο ι οι ράντες µετβλητών όσεων ι ττόχρον µινόµενο επιτοίο Μι σνεχής ισόβι ράντ µε µετβλητή όση, Απλές περιπτώσεις είνι η ( f, έχει σφάλιστρο ( f f( µ I, η ι η Ανάλογες σχέσεις µπορεί ν γρφούν γι οποιοήποτε άλλο είος ράντς, πχ, ( ( I ( I ι ( I ( ( E ( I :, Μι άλλη περίπτωση είνι οι ράντες µινόµενο επιτοίο Αν η έντση ντοισµού εν είνι στθερή λλά σνάρτηση της ιάρεις, µι µονιί σνεχής ισόβι ράντ έχει σφάλιστρο ss ss Μι ετήσι µονιί ράντ, πχ η, έχει σφάλιστρο : Στη γενιότερη των περιπτώσεων έχοµε ι µετβλητή όση µινόµενο επιτόιο µε σφάλιστρο γι ιριτή ράντ (Τ όρι των ράντς f( ι ss γι σνεχή ράντ ι f f ι ss ρθµίζοντι νάλογ µε το σγεριµένο είος