9 Φαινόµενο Ντόµπλερ(Doppler)

Transcript

1 Φσική Γ Λκείο 9 Φαινόµενο Ντόµπλερ(Doppler) Στεκόµαστε ακίνητοι στην αποβάθρα ενός σταθµού. Ενα τραίνο µε ανοικτή τη σειρήνα το, κινούµενο µε σταθερή ταχύτητα µας πλησιάζει και στη σνέχεια µας προσπερνά. Ολοι µας έχοµε παρατηρήσει ότι ο ήχος πο αντιλαµβανόµαστε κατα την διάρκεια της κινησης το τραίνο δεν είναι ο ίδιος. Πιο σγκεκριµένα, καθώς το τραινο µας πλησιάζει ο ήχος της σειρήνας είναι οξύτερος από ό,τι όταν το τραίνο αποµακρύνεται από εµάς, αφού µας έχει προσπεράσει. Η οξύτητα ενός ήχο εκφράζεται αντικειµενικά µε την σχνότητα. Οσο µεγαλύτερη η οξύτητα το ήχο τόσο µεγαλύτερη και η σχνότητα το. Αν ϐέβαια ϱωτούσαµε τον µηχανοδηγό για το ύψος το ήχο πο αντιλαµβάνεται κατά την κίνηση το τραινο, ϑα µας απαντούσε ότι ακούει σταθερό ήχο. Από τις παραπάνω έκολα µετρήσιµες διαπιστώσεις οδηγούµαστε στην ακόλοθη διατύπωση για το ϕαινόµενο Doppler: Φαινόµενο Doppler λέγεται το ϕαινόµενο κατά το οποίο, όταν ένας παρατηρητής και µία πηγή κµάτων ϐρίσκονται σε σχετική κίνηση µεταξύ τος, τότε η σχνότητα το κύµατος πο ο παρατηρητής αντιλαµβάνεται δεν είναι ίδια µε την σχνότητα πο η πηγή εκπέµπει. Το ϕαινόµενο παρατηρήται σε όλα τα αρµονικά κύµατα, τόσο στα µηχανικά, όσο και στα ηλεκτροµαγνητικά. Για την µελέτη το ϕαινοµένο ϑα σµβολίζοµε µε S την πηγή, την σχνότητα της πηγής, S την ταχύτητα της πηγής. Επίσης ϑα σµβολίζοµε µε Α τον παρατηρητή, f A την σχνότητα πο αντιλαµβάνεται ο παρατηρητής και A την ταχύτητα το παρατηρητή. Ως ϑετική ϕορά των ταχτήτων S, A ϑα ϑεωρούµε την ϕορά από την πηγή προς τον παρατηρητή. Τέλος δεχόµαστε ότι ο αέρας, πο αποτελεί το µέσον διάδοσης των ηχιτικών κµάτων, είναι ακίνητος. Οι ταχύτητες S και A είναι πολογισµένες σε σχέση µε τον αέρα. Επίσης η ταχύτητα µε την οποία διαδίδεται ο ήχος στον αέρα είναι σταθερή και η ϕορά της ϑεωρείτε πάντα ϑετική. 9.1 Ακίνητη πηγή - Ακίνητος παρατηρητής Θεωρούµε µια ακίνητη ως προς το µέσο διάδοσης πηγή S πο εκπέµπει προς όλες τις κατεθύνσεις ήχο σχνότητας. Τα κύµατα διαδίδονται µε ταχύτητα και έχον µήκος κύ- µατος λ, τα οποία σνδέονται µε την ϑεµελιώδη εξίσωση της κµατικής : = λ = λ Στο σχήµα ϐλέποµε ένα στιγµιότπο το κύµατος. Οι οµόκεντροι κύκλοι παριστάνον τα διαδοχικά µέγιστα το κύ- µατος σε µια χρονική στιγµή. Είναι σαφές ότι δύο µέγιστα απέχον µεταξύ τος απόσταση λ. http : //perif ysikhs.wordpress.com 108 Μιχάλης Ε. Καραδηµητριο

2 Φσική Γ Λκείο Ενας παρατηρητής Α, ο οποίος είναι επίσης ακίνητος ως προς τον αέρα, πολογίζει σχνότητα ήχο f A, µετρώντας τα µέγιστα πο ϕτάνον σε ατόν ανα µονάδα χρόνο. Οµως στην µονάδα το χρόνο, όσα µέγιστα παράγει η πηγή, τόσα µέγιστα ϕτάνον στον παρατηρητή, άρα ϑα αντιλαµβάνεται την ίδια σχνότητα µε εκείνη πο η πηγή εκπέµπει. f A = = λ Αρα στην περιπτωση πο δεν πάρχει σχετική κίνηση πηγής - παρατηρητή δεν παρατηρούµε αλλαγη στην σχνότητα πο ο παρατηρητής αντιλαµβάνεται! 9.2 Ακίνητη πηγή - Κινούµενος παρατηρητής Ο παρατηρητής πλησιάζει Θεωρούµε ότι ένα παρατηρητής Α πλησιάζει προς την ακίνητη πηγή S µε ταχύτητα A, όπως ϕαινεται στο σχήµα. Τώρα στην µονάδα το χρόνο ϕτάνον στον παρατηρητή περισσότερα µέγιστα κύµατος από ατά πο η πηγή παράγει στον ίδιο χρόνο, αφού το µέτρο της ταχύτητας µε την οποία διαδίδεται ο ήχος, ως προς τον παρατηρητή είναι µεγαλύτερη λόγω της σχετικής κίνησης παρατηρητή - ήχο. Γενικά για την σχετική ταχύτητα ενός κινούµενο σώµατος Α σε σχέση µε ένα κινούµενο σώµα Β µπορούµε να γράψοµε A,B = A B, όπο οι ταχύτητες A, B ειναι πολογισµένες ως προς ένα ακίνητο παρατηρητή. Στην δική µας περίπτωση η ταχύτητα το ήχο ως προς τον κινούµενο παρατηρητή Α ϑα πολογίζετε µε ϐάση το παραπάνω ως εξής : = A = ( A ) = + A Το µήκος κύµατος πο η πηγή εκπέµπει δίνεται πάλι από την σχέση : λ =. Ο παρατηρητής µετράει ακριβώς το ίδιο µήκος κύµατος λ ως εάν ήταν ακίνητος, αλλά ϐλέπει τα µέγιστα να τον προσπερνούν Η τιµή το µήκος κύµατος είναι η ίδια και στα δύο σστήµατα αναφοράς, στο σύστη- µα αναφοράς της πηγής και το κινούµενο παρατηρητή. Ετσι η σχνότητα πο ο παρατηρητής ανατιλαµβάνεται ϑα είναι : f A = λ = + A λ = + A / f A = + A Επειδή + A > προκύπτει από την τελεταία σχέση ότι ο ήχος πο αντιλαµβάνεται ο παρατηρητής είναι µεγαλύτερης σχνότητας ( οξύτερος) απο εκεινο πο η πηγή εκπέµπει (f A > ). http : //perif ysikhs.wordpress.com 109 Μιχάλης Ε. Καραδηµητριο

3 Φσική Γ Λκείο Ο παρατηρητής αποµακρύνεται Θεωρούµε ότι ένας παρατηρητής Α αποµακρύνεται από την ακίνητη ως προς τον αέρα πηγή S µε ταχύτητα A. Τώρα στην µονάδα το χρόνο ϕτάνον στον παρατηρητή λιγότερα µέγιστα το κύµατος απο ατά πο η πηγή στον ίδιο χρόνο παράγει, αφού το µέτρο της ταχύτητας µε την οποία διαδίδεται ο ήχος, ως προς την παρατηρητή είναι µικρότερη λόγω της σχετικής κίνησης. Με ϐάση τα παραπάνω : = A = A = A Άρα σε ατή την περίπτωση η σξνότητα πο ο παρατηρητής αντιλαµβάνεται ϑα είναι : f A = λ = A λ = A / f A = A Επειδή A < προκύπτει από την τελεταία σχέση ότι ο ήχος πο αντιλαµβάνεται ο παρατηρητής είναι µικρότερης σχνότητας (ϐαρύτερος) απο εκεινο πο η πηγή εκπέµπει (f A < ). 9.3 Κινούµενη πηγή - Ακίνητος παρατηρητής Η πηγή πλησιάζει Υποθέτοµε ότι µια πηγή ήχο S κινείται µε ταχύτητα S, πλησιάζοντας έναν ακίνητο πατατηρητή Α. Η ταχύτητα διάδοσης το ήχο, ως προς τον αέρα ϑα είναι γιατί εξαρτάται µόνο από τις ιδιότητες το µέσο διάδοσης και όχι από την κίνηση της πηγής. Η ϑεµελιώδης εξίσωση της κµατικής για την πηγή ϑα ειναι = λ.από το σχήµα ϕαίνεται ότι καθώς η πηγή κατεθύνεται προς τον παρατηρητή - σµπιέζει τα διαδοχικά µέγιστα το κήµατος, µε αποτέλεσ- µα ο παρατηρητής να τα ανιχνεύει µε µικρότερο µήκος κύµατος από εκείνο πο η πηγή εκπέµπει. Πιό σγκεκριµένα ο παρατηρητής αντιλαµβάνεται ως µήκος κύµατος λ A την απόσταση δύο διαδοχικών µεγίστων πο ϕτάνον σε ατόν. Η πηγή εκπέµπει κύµατα και τατόχρονα κινείται. Ο χρόνος πο µεσολαβεί κατά την εκποµπή δύο διαδοχικών κµάτων είναι µια περίοδος Τ της ταλάντωσης της πηγής. Άρα µέχρι η πηγή έχει προχωρήσει κατά x = S T µέχρι να εκπέµψει το επόµενο κύµα. Εποµένως η απόσταση δύο διαδοχικών µεγίστων ϑα ειναι λ S T. Ατή η απόσταση ειναι και το µήκος κύµατος λ A πο ο παρατηρητής αντιλαµβάνεται. Άρα η σχνότητα πο ο παρατηρητής αντιλαµβάνεται ϑα είναι : f A = λ A = λ S T = S f A = fs S Επειδή S < προκύπτει από την τελεταία σχέση ότι ο ήχος πο αντιλαµβάνεται ο παρατηρητής είναι µεγαλύτερης σχνότητας (οξύτερος) απο εκεινο πο η πηγή εκπέµπει (f A > ). http : //perif ysikhs.wordpress.com 110 Μιχάλης Ε. Καραδηµητριο

4 Φσική Γ Λκείο Η πηγή αποµακρύνεται Αν ποθέσοµε ότι µία πηγή ήχο S αποµακρύνεται µε ταχύτητα S από τον παρατηρητή Α, τότε µε το αντίστοιχο σκεπτικό πο παραπάνω αναλύσαµε είναι σαφές ότι ο παρατηρητής Α ϑα αντιλαµβάνεται δύο διαδοχικά µέγιστα το κύµατος σε µεγαλύτερη απόσταση µεταξύ τος, αφού η πηγή σε χρόνο µίας περιόδο ϑα έχει αποµακρνθεί κατά S T. Το µήκος κύµατος πο ο παρατηρητής ϑα αντιλαµβάνεται ϑα ειναι λ + S T. Άρα η σχνότητα πο ο παρατηρητής αντιλαµβάνεται ϑα είναι : f A = λ A = λ + S T = + f S A = fs + S Επειδή + S > προκύπτει από την τελεταία σχέση ότι ο ήχος πο αντιλαµβάνεται ο παρατηρητής είναι µικρότερης σχνότητας (ϐαρύτερος) απο εκεινο πο η πηγή εκπέµπει (f A < ). 9.4 Γενικές παρατηρήσεις Αν κινούνται τόσο η πηγή όσο και ο παρατηρητής σε σχέση µε τον αέρα ή γενικά το µέσο διάδοσης, τότε η σχέση πο µας δίνει την σχνότητα πο αντιλαµβάνεται ο παρατηρητής δίνεταί από τον σνδιασµό όλων των παραπάνω περιπτώσεων. f A = ± A S (156) Το ϐασικό σµπέρασµα πο προκύπτει είναι ότι : Ο παρατηρητής ακούει ήχο µε µεγαλύτερη σχνότητα από εκείνο της πηγής, όταν η µεταξύ τος απόσταση µειώνεται, και µε σχνότητα µικρότερη από εκείνο της πηγής όταν η µεταξύ τος απόσταση αξάνεται. Προσοχή στα πρόσηµα! ˆ ο αριθµητής αναφέρεται στην κίνηση το παρατηρητή µε το (+) να αντιστοιχεί στον παρατηρητή πο πλησιάζει την πηγή και το (-) στον παρατηρητή πο αποµακρύνεται από την πηγή. ˆ ο παρανοµαστής αναφέρεται στην κίνηση της πηγής µε το (+) να αντιστοιχεί στην πηγή πο πλησιάζει τον παρατηρητή και το (-) στην πηγή πο αποµακρύνεται από τον παρατηρητή. Χρονική ιάρκεια εκποµπής και χρονική διάρκεια λήψης το ήχο Στο ϕαινόµενο Doppler δεν έχοµε µόνο αλλαγή στην σχνότητα πο ακούει ο παρατηρητής, αλλά και στην χρονική διάρκεια το ήχο πο ακούει ( t A ). Υποθέτοµε ότι η πηγή εκπέµπει τον ήχο για χρονική διάρκεια t S. Από τον ορισµό της σχνότητας έχοµε ότι : f A = N A t A = N S t S http : //perif ysikhs.wordpress.com 111 Μιχάλης Ε. Καραδηµητριο

5 Φσική Γ Λκείο Ο αριθµός των κµατων πο η πηγή εκπέµπει (N S ) είναι ίσος µε τον αριθµό των κµάτων πο ϕτάνον στον παρατηρητή (N A ). Άρα προκύπτει : f A t A = t S t A = f A t S Προφανώς, όταν ο παρατηρητής και η πηγή δεν ϐρίσκονται σε σχετική κίνηση µεταξύ τος, τοτε f A =, άρα και οι χρονικές διάρκειες ϑα είναι ίσες. Πηγή και παρατηρητής πο δεν κινούνται πάνω σε εθεία πο ενώνει πηγή µε παρατηρητή Οταν η πηγή κινείται µε ταχύτητα S πο δεν ϐρίσκεται πάνω στην εθεία πηγής - παρατηρητή, τότε πρέπει να προσέξοµε τον τρόπο εφαρµογής των παραπάνω σχέσεων. Επιλέγοµε ως ταχύτητα το παρατηρητή ή ταχύτητα της πηγής την προβολή των ταχτήτων τος πάνω στην εθεία πο ενώνει πηγή - παρατηρητή και εφαρµόζοµε την ανάλογη σχέση. Πηγή ή παρατηρητής πο εκτελούν µεταβαλλόµενη κίνηση Οταν η κίνηση της πηγής ή το παρατηρητή δεν είναι οµαλή, τότε και η σχνότητα πο αντιλαµβάνεται ο παρατηρητής ϑα µεταβάλλεται και ατή µε τον χρόνο. Στην περίπτωση της κινούµενης πηγής η ταχύτητα της ϑα είναι µια σνάρτηση το χρόνο S (t) ανάλογα ϐέβαια µε το είδος της κίνησης. Αν για παράδειγµα η πηγή εκτελεί µια απλή αρµονική ταλάντωση τότε S = ωaσν(ωt + φ 0 ). Στην περίπτωση το κινούµενο παρατηρητή η ταχύτητα το ϑα είναι µια σνάρτηση το χρόνο A (t). Αν για παράδειγµα ο παρατηρητής επιταχύνεται εθύγραµµα και οµάλά S = α S t Πρόταση Μελέτης Λύσε απο τον Β τόµο των Γ. Μαθιοδάκη & Γ.Παναγιωτακόπολο τις ακόλοθες ασκήσεις : , 9.50, 9.51, 9.53, 9.54, 9.56, 9.57, 9.58, 9.61, 9.62, 9.63, 9.65, 9.67, 9.68, 9.71 http : //perif ysikhs.wordpress.com 112 Μιχάλης Ε. Καραδηµητριο