Εύρεση ειδικής γραµµοµοριακής θερµότητας

Εύρεση ειδικής γραµµοµοριακής θερµότητας 1. Ιδανικό µονατοµικό αέριο υποβάλλεται στην παρακάτω κυκλική µεταβολή: Εκτονώνεται ισόθερµα, µέχρι διπλασιασµού του όγκου του. Συµπιέζεται ισοβαρώς, µέχρι υποδιπλασιασµού του αρχικού του όγκου. Επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση µε αντιστρεπτή µεταβολή, κατά την οποία η πίεση µεταβάλλεται γραµµικά σε σχέση µε τον όγκο (P λ V). α) Να παραστήσετε την κυκλική αυτή µεταβολή σε διάγραµµα P-Vκαι να υπολογίσετε την τιµή της σταθεράς λ. ν θεωρήσουµε ότι όλα τα µεγέθη µετρώνται στο S.I. σε τι µονάδες θα µετρούνταν η σταθερά αυτή; β) Να βρείτε την ειδική γραµµοµοριακή θερµότητα C του αερίου για τη µεταβολή. γ) Να υπολογίσετε το συντελεστή απόδοσης µιας θερµικής µηχανής που λειτουργεί µε τον παραπάνω κύκλο και να εξηγήσετε αν η συγκεκριµένη µηχανή έχει νόηµα. ίνεται ln2 0,7 και C V R/2 πάντηση α) ισόθερµη, από το νόµο Boyle P V P B V B P V P B 2V P B P /2 B ισοβαρή, από το νόµο Gay Lussac V V V Τ V T V T 2V T T T T T 2 4 γραµµική, λ V P P B P /2 P P /2 P V V B 2V V V /2 P /2 T Τ T T T /4 ισόθερµη ισοβαρή V /2 V 2V Η µεταβολή ακολουθεί το νόµο PλV και θα επαληθεύεται για όλες τις καταστάσεις της µεταβολής αυτής. P P Έτσι P λv λ και η υπακούει στη σχέση P V V V 1

Pλ V λp/v το λ θα έχει µονάδες N Kg m Pa 2 N 2 m s kg m m m m m s 4 2 β) P V P + V P V ( + β ) υ 2 2 2 2 W Ε µβαδότραπεζ ου W P V 0, 7P V 2 2 2 8 ί T T 9 9 U nc T nrτ nr( T T ) nr( T ) nr nrt P V 2 2 2 4 2 4 8 8 V Q U +W 9 P V + P V 12 P V 1, P V 8 8 8 Q nc Τ 1,P V nc (Τ -T ) 1,nRT nc (Τ Τ /4) 1,nRT 0,7Τ nc C 2R V 2V WB nrt ln PV ln PV ln 2 WB 0, 7PV V V P V P V W P V P ( V V ) ( 2 V ) ( ) P V W 0,7P V 2 2 2 2 4 B γ) ( ) B B W ολ W B +W B +W 0,7P V 0,7 P V +0,7 P V 0,2 P V Q Q B +Q 0,7P V +1,P V 2,2P V Wολ 0,2PV 0,2 e 0,147 Q 2,2PV 2, 2 Η αντίστοιχη µηχανή του Carnot που θα λειτουργούσε µεταξύ των ίδιων ακραίων θερµοκρασιών θα είχε απόδοση T Tc T 4 1 ec 1 1 1 1 0, 7 T T T 4 Επειδή ο συντελεστής απόδοσης της µηχανής είναι µικρότερος από την αντίστοιχη του Carnot η παραπάνω µηχανή έχει αντίκρυσµα στην πραγµατικότητα Σχόλιο Στην εξαγωγή των µονάδων του συντελεστή λ αν δουλεύαµε µε διαστατική ανάλυση θα είχαµε Επιλέγουµε τις εξής βασικές διαστάσεις Μήκος [L] (lengt) Χρόνος [T] (time) Μάζα [M] (mass) 2

πό τον ορισµό της πίεσης ( µ άζα ) ( µ ήκος ) [ Μ] [ L] 2 2 δύναµη ( χρόνος ) [ T ] [ Μ] [ L] 1 2 πίεση [ L] [ T ] [ Μ ] εµβαδ 2 2 2 2 ό ( µ ή κος ) [ L] [ L] [ T ] [ L][ T] [ M ] [ T ] [ M ] kg P λ V λ[ L] [ λ] έτσι το λ έχει µονάδες [ L] [ L] m s 2 2 2 4 4 2

Μία µηχανή µε τα απαραίτητα δεδοµένα 2. Ιδανικό µονοατοµικό αέριο υποβάλλεται στην παρακάτω κυκλική µεταβολή: εκτονώνεται ισοβαρώς, απορροφώντας θερµότητα Q B 800J και διπλασιάζοντας τη θερµοκρασία του. εκτονώνεται ισόθερµα, παράγοντας έργο WB 400J συµπιέζεται ισοβαρώς συµπιέζεται ισόθερµα στην αρχική κατάσταση. α) Να παραστήσετε ποιοτικά την κυκλική µεταβολή σε διαγράµµατα p V, p Τ και V Τ. β) Να βρείτε το ποσό θερµότητας που ανταλλάσσει το αέριο µε το περιβάλλον κατά την ισοβαρή συµπίεση. γ) Να υπολογίσετε το ολικό έργο που παράγεται ανά κύκλο. δ) Να βρείτε το συντελεστή απόδοση µιας θερµικής µηχανής που λειτουργεί µε τον παραπάνω κύκλο. ε) Να συγκρίνετε τον παραπάνω συντελεστή απόδοσης µε το συντελεστή απόδοσης µιας µηχανής Carnot που λειτουργεί µεταξύ των ίδιων θερµοκρασιών. C V R/2 πάντηση α) Η ισοβαρή, από το νόµο Gay Lussac V V V T V T T T V T V 2T V 2V B B ισόθερµη P P B P P P P ισοβαρή, από το νόµο Gay Lussac V V V T V T T T V Τ V 2T V 2V V V B 2V V V V /2 T Τ 2T T 2T T T ισοβαρή ισόθερµη ισοβαρή P P V P P V B V V V V V V V(m ) Τ Τ T T 4

β) Q U +W Q P V + nrτ nrτ nr( Τ T ) nrτ P V (1) 2 2 2 2 2 νάλογα Q nrτ nr( Τ T ) nrτ P V 800 P V P V 20J 2 2 2 2 2 Έτσι Q 800J γ) W B p V B p (V B V ) W B p (2V V ) W B p V 20J W 400J W p V p (V V ) W p (V 2V ) W B p V p V 20J V V V V W nrt ln 400 P V ln 400 P 2V ln 200 PV ln V V V V V 200 200 V ln ln V PV 20 V 8 V V 2 V V W nrt ln PV ln PV ln WB PV ln 20 V V V V 8 2 W 200J Έτσι W ολ W B +W B +W + W 20+400 20 200200J δ) Wολ 200 1 e 0,167 Q 1200 6 Q Q B +Q 800+4001200J ε) Η αντίστοιχη µηχανή του Carnot που θα λειτουργούσε µεταξύ των ίδιων ακραίων θερµοκρασιών θα είχε απόδοση Tc T 1 ec 1 1 1 0, T 2T 2 Επειδή ο συντελεστής απόδοσης της µηχανής είναι µικρότερος από την αντίστοιχη του Carnot η παραπάνω µηχανή έχει αντίκρυσµα στην πραγµατικότητα.

Σχόλιο Θα έπρεπε να δείξουµε ότι V <V B Μπορούµε να το κάνουµε γνωρίζοντας µόνο ότι ln(2)0,7 V V V V W nrt ln 400 P V ln 400 P 2V ln 200 PV ln V V V V V 200 2V V V ln ln ln + ln 2 ln ln 2 V 20 V 8 V 8 V 8 ( ) ( ) V V V V 0,07 ln ln ( 2) 0, 62 0, 7 ln 0, 07 ln 0, 07 e > 1 VB > V V 8 V V V 8 ή αν γνωρίζαµε ότι e 1.86τότε V V 8 V 8 V l n e 1.86 V 1.86V 2V 1,86V V 0,9V 6

Με διαβατική Καλύτερα. Ένα ιδανικό µονατοµικό αέριο βρίσκεται σε κατάσταση µε όγκο V 2.10 - m και P 2.10 N/m 2 και εκτελεί κυκλική αντιστρεπτή µεταβολή όπου: ισόχωρη θέρµανση µε Τ B 2Τ ισόθερµη εκτόνωση ισοβαρής συµπίεση α) Να παραστήσετε το διάγραµµα P-V β) Να βρείτε το Q που απορροφά το αέριο σε 1 κύκλο από την θερµή δεξαµενή γ) Να βρείτε το συντελεστή απόδοσης δ) Να βρείτε την απόδοση ενός κύκλου Carnot αν λειτουργούσε µεταξύ των παραπάνω θερµοκρασιών και να σχολιάσετε αν η µηχανή µπορεί να υπάρξει στην πραγµατικότητα. ε) ν από την κατάσταση το αέριο εκτελούσε αδιαβατική µεταβολή µέχρι την κατάσταση τέτοια ώστε P P, να παραστήσετε στο ίδιο διάγραµµα την αδιαβατική µεταβολή και να συγκρίνετε τα έργα των µηχανών και. στ) Να βρείτε την απόδοση της µηχανής δίνεται C V R/2, ln(2)0,7 και 2 / 1, πάντηση α) Η ισόχωρη, από το νόµο Carles Ρ Ρ Ρ T Ρ T Ρ B T Ρ 2T Ρ B2Ρ 4 10 Ν / m T T 2 ισοβαρή, από το νόµο Gay Lussac V V V T V T V Τ V 2T V 2V 4 10 N / m T T 2 ισοβαρή P 2 10 P B 4 10 P 2 10 4 10 V 2 10 - T V B 2 10 - V 4 10 - Τ 2T T 2T 2 10 ισόχωρη ισόθερµη 2 10-4 10 - β) Το αέριο απορροφά θερµότητα στις µεταβολές και 7

Q U nr( T Τ ) nr(2 T Τ ) nrt QB ΡV 2 2 2 2 2 10 2 10 B 600 QB Q J 2 V 4 10 ln ln 4 10 2 10 ln ( 2) B 800 0, 7 60 V 2 10 Q W nrt P V W J Έτσι Q Q +Q 600J+60J Q 1160J γ) W p V p (V V ) W 2 10 (2 10-4 10 - ) W 400J W ολ W B +W B +W 0+60 400160J Wολ 160 e 0,1 Q 1160 δ) Η αντίστοιχη µηχανή του Carnot που θα λειτουργούσε µεταξύ των ίδιων ακραίων θερµοκρασιών θα είχε απόδοση Tc T 1 ec 1 1 1 0, T 2T 2 Επειδή ο συντελεστής απόδοσης της µηχανής είναι µικρότερος από την αντίστοιχη του Carnot η παραπάνω µηχανή έχει αντίκρυσµα στην πραγµατικότητα. ε) ν από την κατάσταση το αέριο εκτελούσε αδιαβατική µεταβολή µέχρι την κατάσταση όπου P P <Ρ, τότε πρέπει να εκτονωθεί αδιαβατικά που σηµαίνει ότι συγχρόνως θα ψυχθεί. Συνεπώς Τ <Τ Τ και έτσι η κατάσταση θα είναι πιο αριστερά από το σηµείο. Το διάγραµµα θα είναι το διπλανό. Παρατηρούµε ότι το εµβαδό του διαγράµµατος, (γραµµοσκιασµένο χωρίο) είναι µικρότερο από το αντίστοιχο και έτσι W B >W 4 10 2 10 2 10 - V 4 10 - στ), αδιαβατική από τον νόµο Poisson 8

γ γ γ γ γ γ γ γ B B 4 10 B 2 10 2 B 2 B P V P V V V V V V V 1 γ 2 2 2 10 1, 2 10 10 V V V m W B Ρ VV ΡB VB 2 10 10 4 10 2 10 200 00J 1 γ 2 1 W p V p (V V ) W 2 10 (2 10-10 - ) W 200J W ολ W B +W B +W 0+00 200100J Q Q B 600J Wολ 100 e 0,167 Q 600 Φαίνεται λοιπόν ότι η δεύτερη µηχανή παρόλο που έχει µικρότερο ωφέλιµο έργο η απόδοσή της είναι καλύτερη Χ. γριόδηµας 9