ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΗΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΗΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Διάλεξη 2 η : ΠΑΙΓΝΙΑ & ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ εσπόζουσες Στρατηγικές, Κυριαρχούµενες Στρατηγικές, Ισορροπία Nash, Στρατηγική Μορφή, Μη-πλήρης και Ατελής Πληροφόρηση, υναµικά Παίγνια, ένδρα, έσµευση και προς τα πίσω επαγωγή, Εκλεπτυσµός λύσεων, Επαναλαµβανόµενα παίγνια

ΚΟΙΝΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Players-Παίκτες Rules- Κανόνες. Τιµωρείσαι εάν τους παραβιάσεις. Actions/ Strategies- Ενέργειες/ Στρατηγικές Strategic Interdependence- Στρατηγική αλληλεξάρτηση. Πριν κάνω κάτι, λαµβάνω υπόψη τον αντίπαλο µου. Outcome-Αποτέλεσµα. Εξαρτάται όχι µόνο από εµένα, αλλά και από τον αντίπαλό µου.

ΚΑΤΗΓΟΡΙΟΠΟΙΗΣΗ Ι 1. Παίγνια Συνεργασίας (Cooperative Games) Οι δυο παίκτες επιχειρούν να µοιράσουνε,µια δεδοµένη πίτα. εσµεύονται µε νοµική ισχύ, δηλ. Υπογραφούνε συµβόλαια, τα οποία αν τα παραβιάσουνε θα υποστούνε τις συνέπειες. Π.χ. Εργοδότες Σωµατεία (Παίγνια ιαπραγµάτευσης: Bargaining) 2. Παίγνια Μη Συνεργασίας (Non Cooperative Games) εν υπάρχουνε ρητές δεσµεύσεις. Κάθε παίκτης θέλει να αυξήσει το προσωπικό του όφελος.

ΚΑΤΗΓΟΡΙΟΠΟΙΗΣΗ ΙΙ 1. Στατικά Παίγνια Είναι τα παίγνια στα οποία δεν υπάρχει αύριο. Παίζονται µία και έξω (one short games). εν κοιτάς το αύριο. Είναι ταυτόχρονων κινήσεων παίγνια (simultaneous move one short games). Ταυτόχρονη κίνηση: εν γνωρίζω τι έχει κάνει ή τι έκανε ο αντίπαλος µου. 2. υναµικά Παίγνια Σκέφτοµαι και το αύριο. εν παίζω µια και έξω. Λαµβάνω υπόψη και τις επιπτώσεις αυτών των ενεργειών στο µέλλον.

Ο ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ Η πληροφόρηση είναι πάρα πολύ σηµαντική υπόθεση για τα παίγνια. Αυτού του είδους η πληροφόρηση αφορά την ιστορία του αντιπάλου. Τέλεια Πληροφόρηση (Perfect Information) Ο παίκτης έχει τέλεια πληροφόρηση όταν κάθε φορά που θα θέλει να κάνει µια ενέργεια (κίνηση) γνωρίζει τι έγινα από τη αρχή του παιγνίου µέχρι την στιγµή που θα κάνει την κίνηση. ηλαδή γνωρίζει επ ακριβώς τα πάντα για την ιστορία του παιγνίου. Ατελής Πληροφόρηση (Imperfect Information) Ο παίκτης έστω και µία φορά εάν κάνει κίνηση δεν γνωρίζει κάτι από το παρελθόν.

Ο ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ Πλήρη Πληροφόρηση ( Complete Information) Ένας παίκτης έχει πλήρη πληροφόρηση όταν γνωρίζει τα πλήρη χαρακτηριστικά του παιγνίου, δηλαδή γνωρίζει µε ακρίβεια τον αντίπαλο του. Π.χ. όλα τα χαρακτηριστικά του οικονοµικού περιβάλλοντος του παιγνίου. Ελλιπής Πληροφόρηση ( Incomplete Information) Ο παίκτης δεν γνωρίζει µε ακρίβεια τον αντίπαλο του. Ο παίκτης γνωρίζει την ιστορία του άλλου, αλλά δεν γνωρίζει χαρακτηριστικά αγοράς (όπως η τεχνολογία του άλλου ). Σε αυτή την περίπτωση, οι δύο παίκτες δεν ξέρουν τις αποδόσεις του παιγνίου.

ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ-(Μη Συνεργατικά) Το κύριο χαρακτηριστικό των συγκεκριµένων παιγνίων είναι η ταυτόχρονη επιλογή από τους διαφορετικούς παίκτες κινήσεων/στρατηγικών Το κλασικότερο παράδειγµα όλων είναι το ίλληµα των Κρατουµένων (Prisoner Dilemma). Αφορά την κατάσταση όπου δύο άτοµα που έχουν διαπράξει κάποιο έγκληµα έχουν την επιλογή είτε να οµολογήσουν είτε να σιωπήσουν.

PRISONERS DILEMMA Όπου Σ= συνεργασία και Μ= µη συνεργασία είναι οι στρατηγικές για κάθε παίκτη. Άσχετα τι θα κάνει ο άλλος, εγώ ( ο παίκτης 1) θα επιλέξω να παίξω Μ. Άρα (Μ,Μ)=(1,1). Αυτή είναι η έννοια της αλληλεξάρτησης. Επιχειρώ το καλύτερο (best) για εµένα και καταλήγω σε κάτι χειρότερο. Αυτό το παίγνιο λέγεται στατικό παίγνιο µη συνεργασίας ατελούς πληροφόρησης. Στα ταυτόχρονα παίγνια δεν έχει σηµασία ποιος ξεκινά δηλ. ο πρώτος ή ο δεύτερος. 1 2 Actions Actions Σ Μ Σ 3,3 0,4 Μ 4,0 1,1 Απεικόνιση παιγνίου σε στρατηγική μορφή- Strategic or normal form.

PRISONERS DILEMMA- ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Αποδόσεις Ορθολογικοί Παίκτες Τέλεια Πληροφόρηση U( Σ, Μ ) = (3,3),(0,4),(4,0),(1,1) Συναρτήσεις απόδοσης: Κοινή γνώση

PRISONERS DILEMMA Στο παραπάνω παίγνιο µπορούµε να διακρίνουµε τα εξής: 1. Και οι δύο παίκτες έχουν συµφέρον να µην συνεργαστούν. 2. Εάν ένας παίκτης δεν συνεργαστεί ο άλλος έχει συµφέρον να συνεργαστεί. Προφανώς το σηµαντικό δεν είναι το τι θα ράξει ο ένας αίκτης αλλά οι ε ιλογές των άλλων αικτών.

ΕΝΝΟΙΑ ΚΛΕΙΔΙ (Αυστηρά Κυρίαρχη Στρατηγική) Η αυστηρά κυρίαρχη στρατηγική (dominant strategy) αναφέρεται στην µεγαλύτερη απόδοση για κάθε παίκτη ( σε σχέση µε τι υπόλοιπες εναλλακτικές στρατηγικές) ανεξάρτητα α ό το τι θα ε ιλέξει ο άλλος αίκτης. Ποια θεωρείται ότι θα είναι τώρα η αυστηρά κυρίαρχη στρατηγική για κάθε αίκτη; Γιατί έχουµε την λύση αυτή. Ποιος ο ρόλος της µη συνεργασίας;

Αυστηρά Κυριαρχούμενη Στρατηγική Στον αντίποδα της Αυστηρώς Κυρίαρχης Στρατηγικής Ασθενώς Κυρίαρχη Στρατηγική Ορίζεται ως η στρατηγική η οποία παρέχει σε κάθε παίκτη τουλάχιστον εξίσου καλή απόδοση µε κάθε άλλη στρατηγική του.

ΛΙΓΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Εάν θεωρήσουµε ότι ο κάθε παίκτης έχει µια συνάρτηση χρησιµότητας να ικανοποιήσει τότε Παίκτης Α: U( ΣΜ, ) = 0 > 1 = UMM (, ) Παίκτης Β: U( ΣΜ, ) = 0 > 1 = UMM (, )

PRISONERS DILEMMA Ο παίκτης 2 δεν ξέρει εάν προηγήθηκε το Σ ή το Μ δηλαδή δεν γνωρίζει αν ο παίκτης 1 έπαιξε Σ ή Μ. Σε δυναµικά παίγνια αυτή η µορφή θα είναι προτιµότερη, ειδικά σε ελλιπή πληροφόρηση. Η εκτεταµένη µορφή είναι η πληρέστερη µορφή περιγραφής ενός παιγνίου. Όταν το παίγνιο είναι ελλιπούς πληροφόρησης, τότε θα το παρουσιάζουµε σε εκτεταµένη µορφή. Η εκτεταµένη µορφή αποτελείται από ένα δέντρο παιγνίου (game tree) µε διατεταγµένους κόµβους. Οι κόµβοι αυτοί, είναι κόµβοι απόφασης (decision nodes) ενώ οι τερµατικοί κόµβοι είναι κόµβοι αποδόσεων (Payoff nodes). Απεικόνιση ιδίου παιγνίου σε εκτεταμένη μορφή- Extensive form.

ΠΑΙΓΝΙΟ ΠΙΝΑΚΑ Ένα Παίγνιο Πίνακα είναι ένα παίγνιο δύο παικτών όταν: 1. Ο παίκτης 1 έχει ένα πεπερασµένο σύνολο στρατηγικών S 1 µε m στοιχεία. 2. Ο παίκτης 2 έχει ένα πεπερασµένο σύνολο στρατηγικών S 2 µε n στοιχεία. 3. Τα αποτελέσµατα για τους δύο παίκτες δίνονται ως U( S, S), U( S, S) των (s, s) S S 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2

Ορισμός Μια στρατηγική S 1 του παίκτη 1 θα λέµε ότι 1. Κυριαρχεί επί µιας άλλη στρατηγικής S j του παίκτη 1 εάν U1( Si, S) U1( Sj, S) S του Παίκτη 2 2. Κυριαρχεί αυστηρά επί µιας άλλη στρατηγικής S j του παίκτη 1 εάν U( S, S) > U( S, S) S του Παίκτη 2 1 i 1 j

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 ΑΠΑΛΟΙΦΗΣ ΠΑΙΚΤΗΣ 1 ΠΑΙΚΤΗΣ 2 Δ Ε Ζ Α (1,0) (1,3) (3,0) Β (0,2) (0,1) (3,0) Γ (0,2) (2,4) (5,3) Ο ΠΑΙΚΤΗΣ 2 ΕΞΑΛΕΊΦΕΙ ΤΗΝ Ζ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 (Συνέχεια ) ΠΑΙΚΤΗΣ 1 ΠΑΙΚΤΗΣ 2 Δ Ε Α (1,0) (1,3) Β (0,2) (0,1) Γ (0,2) (2,4) Ο ΠΑΙΚΤΗΣ 1 ΕΞΑΛΕIΦΕΙ ΤΗΝ Β

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 (Συνέχεια ) ΠΑΙΚΤΗΣ 1 ΠΑΙΚΤΗΣ 2 Δ Ε Α (1,0) (1,3) Γ (0,2) (2,4) ΠΟΙΑ Η ΛΥΣΗ?

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Το δίλληµα του κρατουµένου µε άλλα νούµερα Α/Β Ομολογώ Σιωπώ Ομολογώ (-5,-5) (0,-10) Σιωπώ (-10,0) (-1,-1)

Παίγνιο Mertens- Kohlberg Να απαλειφτούν οι κυρίαρχες στρατηγικές στο παρακάτω παίγνιο. Ι/ΙΙ 1 2 1 (3,2) (2,2) 2 (1,1) (0,0) 3 (0,0) (1,1)

Συνέχεια από πριν.. Στα προηγούµενα είδαµε ότι µπορούµε να επιλύσουµε παίγνια µε την µέθοδο της απαλοιφής των κυρίαρχων στρατηγικών. Ωστόσο δεν αποτελεί ιδανική µέθοδο για την λύση ενός παιγνίου. Ο Nash απέδειξε ότι σε κάθε πεπερασµένο παίγνιο υπάρχει τουλάχιστον µία ισορροπία (αµιγείς ή µικτές στρατηγικές).

ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΤΑ NASH Ι Η απάντηση στην ερώτηση «ποια η πιθανή έκβαση ενός παιγνίου» ενεργοποίησε την έννοια της ισορροπίας κατά Nash (Αυτοεπιβαλλόµενη Ιδιότητα-Τι άραγε σηµαίνει;). Αποτελεί µια κατάσταση (διάνυσµα στρατηγικών) στην οποία κάθε παίκτης που συµµετέχει επιλέγει, δεδοµένου του τι κάνουν οι υπόλοιποι παίκτες, 1. Την βέλτιστη-άριστη στρατηγική (best response) 2. Το να µην έχει κίνητρο του να µην αλλάξει την στρατηγική του (incentive to deviate)

ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΤΑ NASH ΙΙ 1. Ένα παίγνιο µπορεί να έχει παραπάνω από µια λύσεις κατά Nash 2. Σε κάθε παίγνιο εάν ένα διάνυσµα πληροί το (1) ή το (2) της προηγούµενης διαφάνειας τότε είναι ισορροπία κατά Nash. 3. Η ισορροπία σε κυρίαρχες στρατηγικές είναι και Nash Equilibrium (Το αντίστροφο δεν ισχύει άντα).

ΛΙΓΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ * * Ένα ζεύγος στρατηγικών ( s1, s2) S1 S2 είναι ισορροπία Nash όταν: s S, u ( s, s ) u ( s, s ) * * * * 1 1 1 2 1 2 s S, u ( s, s ) u ( s, s ) * * * * 2 2 1 2 2 1 και

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2-Η ΜΑΧΗ ΤΩΝ ΦΥΛΛΩΝ Ένα ζευγάρι ο Γιάννης και η Μαρία θέλουν να πάνε στο γήπεδο Καραϊσκάκη (ο Γιάννης) και στο θέατρο ( η Μαρία).Ωστόσο και οι δύο θέλουν να περάσουν την βραδιά παρέα. Πως θα απαντούσατε το συγκεκριµένο παίγνιο; Μαρία Actions 2 Γιάννης Θέατρο Αγώνας Θέατρο 2,1-1,-1 Αγώνας -1,-1 1,2 Υπάρχουν Κυρίαρχες Στρατηγικές; Υπάρχει Μοναδική λύση;

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 -Η ΜΑΧΗ ΤΩΝ ΦΥΛΛΩΝ Ένα ζευγάρι ο Γιάννης και η Μαρία θέλουν να πάνε στο γήπεδο Καραϊσκάκη (ο Γιάννης) και στο θέατρο ( η Μαρία).Ωστόσο και οι δύο θέλουν να περάσουν την βραδιά παρέα. Μαρία 2 Γιάννης Actions Θέατρο Αγώνας Θέατρο 2,1-1,-1 Αγώνας -1,-1 1,2 Υπάρχουν Κυρίαρχες Στρατηγικές Υπάρχει Μοναδική λύση; ΟΧΙ Προφανώς το συγκεκριμένο παίγνιο δεν έχει αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές οπότε το να απατήσουμε μια στρατηγική αυστηρά κυρίαρχη δεν υφίσταται.

ΠΑΙΓΝΙΟ ΕΠΕΚΤΑΣΗΣ ΑΝΑΜΕΣΑ ΣΕ COCA COLA-PEPSI COLA Οι δύο µεγάλες επιχειρήσεις στο κλάδο των τροφίµων ποτών αποφασίζουν η καθεµία από πλευράς της να κατασκευάσει ένα νέο εργοστάσιο επεκτείνοντας µε αυτό τον τρόπο την δυναµικότητά τους. Οι αποδόσεις φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Υπάρχει ισορροπία στο τρέχον παίγνιο; COCA 2 PEPSI Actions Να Να μην κατασκευάσει κατασκευάσει νέο εργοστάσιο νέο εργοστάσιο Να κατασκευάσει νέο εργοστάσιο 16,16 20,15 Να μην κατασκευάσει νέο εργοστάσιο 15,20 18,18

ΠΑΙΓΝΙΟ ΕΠΕΚΤΑΣΗΣ ΑΝΑΜΕΣΑ ΣΕ COCA COLA-PEPSI COLA Τι έχει αλλάξει τώρα; Υπάρχει ισορροπία στο τρέχον παίγνιο; COCA 2 PEPSI Actions Να Να μην κατασκευάσει κατασκευάσει νέο εργοστάσιο νέο εργοστάσιο Να κατασκευάσει νέο εργοστάσιο 12,4 20,3 Να μην κατασκευάσει νέο εργοστάσιο 15,6 18,5

Κυρίαρχη Στρατηγική- Κυριαρχούμενη στρατηγική revisited Μια στρατηγική που είναι καλύτερη από οποιαδήποτε άλλη που θα µπορούσε να επιλέξει ένας παίκτης ανεξάρτητα από την στρατηγική που θα ακολουθήσει ο άλλος παίκτης. Μια στρατηγική τέτοια ώστε ο αίκτης να έχει κά οια άλλη στρατηγική ου του δίνει υψηλότερη α όδοση, ανεξάρτητα α ό το τι κάνει ο άλλος αίκτης.

ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΟ ΠΑΙΓΝΙΟ ΕΠΕΚΤΑΣΗΣ ΑΝΑΜΕΣΑ ΣΕ COCA COLA-PEPSI COLA Πως θα απαντούσατε τώρα στο προηγούµενο παίγνιο; COCA 2 PEPSI Actions Να κατασκευάσει μεγάλο εργοστάσιο Να κατασκευάσει μικρό εργοστάσιο Να μην κατασκευάσει νέο εργοστάσιο Να Να Να μην κατασκευάσει νέο κατασκευάσει κατασκευάσει εργοστάσιο μεγάλο εργοστάσιο μικρό εργοστάσιο 0,0 12,8 18,9 8,12 16,16 20,15 9,18 15,20 18,18

ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΟ ΠΑΙΓΝΙΟ ΕΠΕΚΤΑΣΗΣ ΑΝΑΜΕΣΑ ΣΕ COCA COLA-PEPSI COLA Μετατρέπεται µετά την εξάλειψη των κυριαρχούµενων στρατηγικών σε... COCA 2 PEPSI Actions Να Να μην κατασκευάσει κατασκευάσει νέο εργοστάσιο νέο εργοστάσιο Να κατασκευάσει νέο εργοστάσιο 16,16 20,15 Να μην κατασκευάσει νέο εργοστάσιο 15,20 18,18

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2-Κατι Επίκαιρο ύο καταθέτες (τι ερίεργο;) σκέφτονται να αποσύρουν τις καταθέσεις τους από µια τράπεζα. Τι θα γίνει τελικά; ΚΑΤΑΘΕΤΗΣ 1 2 ΚΑΤΑΘΕΤΗΣ 2 Actions Να αποσύρω Να μην τις καταθέσεις αποσύρω τις καταθέσεις Να αποσύρω τις καταθέσεις 25,25 50,0 Να μην αποσύρω τις καταθέσεις 0,50 110,110

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2 (μικρή βοήθεια για την λύση) Εντοπίστε πρώτα τις κυρίαρχες στρατηγικές. Εντοπίστε για κάθε επιχείρηση τις κυριαρχούµενες στρατηγικές Εξαλείψτε τις κυριαρχούµενες στρατηγικές Βρείτε την λύση κατά Nash

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3 Πως θα απαντούσατε στο παρακάτω παίγνιο; ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ 1 ΤΙΜΕΣ 10,5 11,5 12,5 13,5 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ 2 6,5 66,190 68,199 70,189 73,191 7,5 79,201 82,211 85,214 89,208 8,5 82,212 86,22 4 90,229 95,225 9,5 75,223 80,237 85,244 91,245

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3 Ποιες οι κατά Nash ισορροπίες; ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ 1 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ 2 Δ Ε Ζ Α 4,2 13,6 1,3 Β 3,10 0,0 15,2 Γ 12,14 4,11 5,4 ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 4 Ποιες οι κατά Nash ισορροπίες; ΠΑΙΚΤΗΣ1 ΠΑΙΚΤΗΣ 2 Δ Ε Ζ Α 0,2 2,2 0,2 Β 1,3 2,0 3,1 Γ 3,1 2,0 1,3 ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ

Προηγούμενα: Κυρίαρχη Στρατηγική- Κυριαρχούμενη στρατηγική-nash equilibrium Μια στρατηγική που είναι καλύτερη από οποιαδήποτε άλλη που θα µπορούσε να επιλέξει ένας παίκτης ανεξάρτητα από την στρατηγική που θα ακολουθήσει ο άλλος παίκτης. Μια στρατηγική τέτοια ώστε ο παίκτης να έχει κάποια άλλη στρατηγική που του δίνει υψηλότερη απόδοση, ανεξάρτητα από το τι κάνει ο άλλος παίκτης (αντίθετο κυρίαρχης στρατηγικής). Ένα σύνολο στρατηγικών είναι σε ισορροπία Nash εάν η επιλογή τους επαληθεύει τις προσδοκίες κάθε παίκτη όσον αφορά την επιλογή του άλλου

Κανόνες & Συμπεράσματα Εντοπίστε πρώτα τις κυρίαρχες στρατηγικές. Εντοπίστε για κάθε επιχείρηση τις κυριαρχούµενες στρατηγικές Εξαλείψτε τις κυριαρχούµενες στρατηγικές Βρείτε την λύση κατά Nash Εάν δύο παίκτες σε ένα παίγνιο έχουν µια κυρίαρχη στρατηγική οι στρατηγικές αυτές θα αποτελούσαν ισορροπία κατά Nash. Εάν ένας παίκτης έχει µια κυρίαρχη στρατηγική αυτή θα είναι στρατηγική ισορροπίας κατά Nah του παίκτη.

ΜΕΙΚΤΕΣ-ΑΜΙΓΕΙΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ Αµιγής καλείται µια συγκεκριµένη επιλογή στρατηγικής από τις πιθανές επιλογές του παίκτη σε ένα παίγνιο. Μια επιλογή ανάµεσα σε δύο ή περισσότερες αµιγείς στρατηγικές σύµφωνα µε προκαθορισµένες πιθανότητες καλείται µεικτή στρατηγική.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ένα από τα ποιο γνωστά παίγνια που διακρίνουν την µεικτή από την αµιγή στρατηγική αναφέρεται στο χτύπηµα πέναλτι και στην απόφαση του τερµατοφύλακα ως προς την γωνία που θα εκτιναχθεί. Roberto OLYMPIAKOS KEEPER ARSENAL PLAYER ΤΙΜΕΣ Να στοχεύσω δεξιά Να στοχεύσω αριστερά Να εκτιναχθώ δεξιά 0,0-20,20-20,20 0,0 Να εκτιναχθώ αριστερά

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (συνέχεια..) Κατανοείται την διαφορά; Εάν ο τερµατοφύλακας θεωρήσει ότι ο παίκτης θα στοχεύσει δεξιά θα «πέσει» δεξιά ενώ εάν θεωρεί ότι θα στοχεύσει αριστερά θα κινηθεί ανάλογα. Το ίδιο ισχύει και για το παίκτη που εκτελεί το πέναλτι. Ο παίκτης µπορεί να επιλέξει ανάµεσα σε δύο αµιγείς στρατηγικές. Αντίθετα εάν τώρα θεωρήσει ότι ο αντίπαλος τερµατοφύλακας θα εκτιναχθεί αριστερά ή και δεξιά µε πιθανότητα ½ η στρατηγική καλείται µεικτή.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 Πως θα απαντούσατε στο παρακάτω παίγνιο; ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ 1 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ 2 ΤΙΜΕ Σ 10,5 11,5 12,5 13,5 6,5 66,190 68,199 70,189 73,191 7,5 79,201 82,211 85,214 89,208 8,5 82,212 86,22 4 90,229 95,225 9,5 75,223 80,237 85,244 91,245

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 συνέχεια Πως θα απαντούσατε στο παρακάτω παίγνιο; ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ 1 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ 2 ΤΙΜΕ Σ 10,5 11,5 12,5 13,5 6,5 66,190 68,199 70,189 73,191 7,5 79,201 82,211 85,214 89,208 8,5 82,212 86,22 4 90,229 95,225 9,5 75,223 80,237 85,244 91,245

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 συνέχεια Πως θα απαντούσατε στο παρακάτω παίγνιο; ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ 1 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ 2 ΤΙΜΕ Σ 10,5 11,5 12,5 13,5 6,5 66,190 68,199 70,189 73,191 7,5 79,201 82,211 85,214 89,208 8,5 82,212 86,22 4 90,229 90,229 95,225 9,5 75,223 80,237 85,244 91,245

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2-Η ΜΑΧΗ ΤΩΝ ΦΥΛΛΩΝ. Παραδοχή (Οι παίκτες είναι απαισιόδοξοι) Λύση με τον ίδιο τρόπο Φ Μ ΣΤΡΑ ΤΗΓΙΚ ΕΣ ΦΑΝ Η ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΜΑΝΩΛΗ -2,2 1,-1 10,-10-1,1 2,-2 0,0-8,8 0,0-16,-16 Λύση Maximin Μεγιστοποίηση Ελάχιστης Ωφέλεια Περιγράψτε αναλυτικά την διαδικασία

Minimax theorem (Wikipedia) The minimax theorem states For every two-person, zero-sum game with finitely many strategies, There exists a value V and a mixed strategy for each player, such that (a)given player 2's strategy, the best payoff possible for player 1 is V, (b)and (b) Given (c)player 1's strategy, the best payoff possible for player 2 is V. Equivalently, Player 1's strategy guarantees him a payoff of V regardless of Player 2's strategy, and similarly Player 2 can guarantee himself a payoff of V. The name minimax arises because each player minimizes the maximum payoff possible for the other since the game is zero-sum, he also maximizes his own minimum payoff. This theorem was established by John von Neumann, who is quoted As saying "As far as I can see, there could be no theory of games without that theorem I thought there was nothing worth publishing until the Minimax Theorem was proved".

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3-ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΕΣ ΑΠΟ ΜΙΑ NASH EQ Ποιες οι κατά Nash ισορροπίες; ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ 1 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ 2 Δ Ε Ζ Α 4,2 13,6 1,3 Β 3,10 0,0 15,2 Γ 12,14 4,11 5,4 ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3-ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΕΣ ΑΠΟ ΜΙΑ NASH EQ Βρείτε την καλύτερη αντίδραση της επιχείρησης 1 σε καθεµία από τις τρεις στρατηγικές της ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ 2 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ 1 Δ Ε Ζ Α 4,2 13,6 1,3 Β 3,10 0,0 15,2 Γ 12,14 4,11 5,4 ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3-ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΕΣ ΑΠΟ ΜΙΑ NASH EQ Οµοίως το ίδιο για την επιχείρηση 2 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ 2 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ 1 Δ Ε Ζ Α 4,2 13,6 1,3 Β 3,10 0,0 15,2 Γ 12,14 4,11 5,4 ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3-ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΕΣ ΑΠΟ ΜΙΑ NASH EQ Ποιες οι κατά Nash ισορροπίες; ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ 1 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ 2 Δ Ε Ζ Α 4,2 13,6 1,3 Β 3,10 0,0 15,2 Γ 12,14 4,11 5,4 ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ

Παίγνια Μηδενικού αθροίσματος Ένα παίγνιο µηδενικού αθροίσµατος είναι ένα παίγνιο στρατηγικής µορφής (πίνακα) έτσι ώστε Uss (, ) = Uss (, ), ss, S S 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 Συνεπώς θα µπορούσαµε να ισχυριστούµε ότι οι αποδόσεις των παικτών είναι µεταξύ τους αντίθετες.

1 2 ΠΡΟΒΛΗΜΑ Actions Actions Κ Γ Κ 10,-10-10,10 Γ -10,10 10,-10 ύο επενδυτές αµοιβαίων κεφαλαίων επιθυµούν να επιλέξουν δύο επενδυτικά προγράµµατα Κ,Γ τα οποία απευθύνονται σε αυτούς µε τις παρακάτω αποδόσεις. Τι νοµίζετε ότι θα επιλέξει ο κάθε επενδυτής; Λύση Maximin Περιγράψτε αναλυτικά την διαδικασία Παραδοχή: οι παίκτες είναι απαισιόδοξοι!

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4 Υπάρχει Imperfect information τετριµµένα αφού ο παίκτης 2 δεν ξέρει τι έχει κάνει ο παίκτης 1 S1= σύνολο στρατηγικών του παίκτη 1 Α1 = action set του παίκτη 1 Α1: (Σ, Μ) = S1 Α2: (Σ, Μ) = S2

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4 Στρατηγικές αποδόσεις Παίκτη 1 Π 1 ( K, K) = 10 Π 1 ( K, Γ ) = 10 1 (, ) 10 Π 1 ( ΓΓ, ) = 10 Π1( S1, S2): Π ΓΚ = Στρατηγικές αποδόσεις Παίκτη 2 Π 2 ( ΚΚ, ) = 10 Π 2 ( ΓΚ, ) = 10 2 (, ) 10 Π 2 ( ΓΓ, ) = 10 Π2( S1, S2): Π ΚΓ =

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΟΠΩΣ ΠΡΙΝ 1 2 Actions Actions Κ Γ Κ 1,-1-1,1 Γ -1,1 1,-1 ΤΑΙΡΙΑΣΤΑ ΚΕΡΜΑΤΑ! Κάθε παίκτης έχει από ένα κέρµα και θα πρέπει να σκεφτεί εάν θα το δείξει από την πλευρά µε την κορώνα ή τα γράµµατα. Εάν ταιριάξουν ο παίκτης 2 παίρνει το κέρµα του 1.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4 Σε εκτεταμένη μορφή Σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος Η Λύση Maximin είναι Ισορροπία κατά Nash!

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 5 1 2 ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΗΤΣΑΡΑΣ Κ Γ Κ 10,4 1,5 Γ 9,9 0,3 Ο Θανάσης και ο Μητσάρας αποφασίζουν να αγοράζουν εισιτήρια για έναν αγώνα µπάσκετ ευελπιστώντας ότι η οµάδα τους θα νικήσει (είναι διαφορετικές) ικανοποιώντας µια συνάρτηση ωφελείας. Τι θα γίνει;

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 5 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ 1 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ 2 Δ Ε Ζ Α -2,2 1,-1 10,-10 Β -1,1 2,-2 0,0 Γ 08,8 0,0-15,15 ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ

ΕΙΔΗ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Παίγνια µηδενικού ή µη µηδενικού αθροίσµατος Στατικά και δυναµικά αίγνια ιαταραγµένα παίγνια Παίγνια µε τέλεια ή ατελή, συµµετρική ή ασύµµετρη, ολοκληρωµένη ή αβέβαιη πληροφόρηση ιαπραγµατευτικά παίγνια Συνεργασίας παίγνια

Ορισμοί Ένα στατικό παίγνιο είναι ένα παίγνιο στο οποίο όλοι οι παίκτες λαµβάνουν αποφάσεις (ή επιλέγουν µια στρατηγική) ταυτόχρονα, χωρίς γνώση των στρατηγικών που έχουν επιλεγεί από τους άλλους παίκτες Με τα δυναµικά παίγνια εισάγουµε την ακολουθία κινήσεων και αφήνουµε τα παίγνια που παίζονται σε λογικό χρόνο. ιαφορετικά αφήνουµε τα παίγνια που είναι σε µορφή µήτρας και µπαίνουµε σε παίγνια που περιγράφονται σε µορφή δένδρου (δενδροδιάγραµµα) όπου ο χρόνος είναι καθορισµένος

Ορισμοί (Συνέχεια...) Η εκτεταµένη µορφή είναι η πληρέστερη µορφή περιγραφής ενός παιγνίου. Όταν το παίγνιο είναι ελλιπούς πληροφόρησης, τότε θα το παρουσιάζουµε σε εκτεταµένη µορφή. Η εκτεταµένη µορφή αποτελείται από ένα δέντρο παιγνίου (game tree) µε διατεταγµένους κόµβους. Οι κόµβοι αυτοί, είναι κόµβοι απόφασης (decision nodes) ενώ οι τερµατικοί κόµβοι είναι κόµβοι αποδόσεων (Payoff nodes). Αυτοί οι κόµβοι είναι διατεταγµένοι µε ορισµένο τρόπο. Ακολουθούνε δηλαδή την µορφή και δεν µπορούν να κάνουν κύκλους.

Ορισμοί (Συνέχεια...) ηλαδή υπάρχει ένα µόνο µονοπάτι για να πάω από τον τελικό στον αρχικό κόµβο. Σε κάθε κόµβο αντιστοιχεί ένας µόνος παίκτης ο οποίος κινείται, δηλαδή παίρνει απόφαση. (Σε κάθε κόµβο θα έχουµε και την φύση). Από κάθε κόµβο ξεκινά ένα σύνολο διαθεσίµων ενεργειών (actions) για κάθε παίκτη. Κάθε ενέργεια οδηγεί µόνο σε ένα κόµβο, είτε κόµβο απόφασης είτε τερµατικό (terminal payoff ) κόµβο.

Ορισμοί (Συνέχεια...) Στρατηγική (strategy)ενέργεια (action) Η στρατηγική: λέει σε κάθε παίκτη τι θα κάνει όταν πρόκειται να κινηθεί. Είναι κανόνας, ο οποίος δεν του επιβάλλεται, αλλά τον αποφασίζει ο ίδιος ο παίκτης. Είναι βάθος ενεργειών. Η ενέργεια: την παραθέτω σε κάθε κόµβο.

Ορισμοί (Συνέχεια...)-Ξανά Η πληροφόρηση είναι πάρα πολύ σηµαντική υπόθεση για τα παίγνια. Αυτού του είδους η πληροφόρηση αφορά την ιστορία του αντιπάλου. Τέλεια Πληροφόρηση (Perfect Information) Ο παίκτης έχει τέλεια πληροφόρηση όταν κάθε φορά που θα θέλει να κάνει µια ενέργεια (κίνησης) γνωρίζει τι έγινα από τη αρχή του παιγνίου µέχρι την στιγµή που θα κάνει την κίνηση. ηλαδή γνωρίζει επ ακριβώς τα πάντα για την ιστορία του παιγνίου. Ατελής Πληροφόρηση (Imperfect Information) Ο παίκτης έστω και µία φορά εάν κάνει κίνηση δεν γνωρίζει κάτι από το παρελθόν. Πλήρη Πληροφόρηση ( Complete Information) Ένας παίκτης έχει πλήρη πληροφόρηση όταν γνωρίζει τα πλήρη χαρακτηριστικά του παιγνίου, δηλαδή γνωρίζει µε ακρίβεια τον αντίπαλο του. Π.χ. όλα τα χαρακτηριστικά του οικονοµικού περιβάλλοντος του παιγνίου. Ελλι ής Πληροφόρηση ( Incomplete Information) Ο παίκτης δεν γνωρίζει µε ακρίβεια τον αντίπαλο του. Ο παίκτης γνωρίζει την ιστορία του άλλου, αλλά δεν γνωρίζει χαρακτηριστικά αγοράς (όπως η τεχνολογία του άλλου ). Σε αυτή την περίπτωση, οι δύο παίκτες δεν ξέρουν τις αποδόσεις του παιγνίου. O Harsangi (1970) έδειξε ότι κάθε παίγνιο ελλιπούς πληροφόρησης µπορεί να µετασχηµατιστεί σε παίγνιο ατελούς πληροφόρησης (το οποίο µπορεί να αναλυθεί).

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1-ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΠΑΙΓΝΙΟ ΠΛΗΡΟΥΣ & ΤΕΛΕΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ Πως θα απαντούσατε στο παρακάτω παίγνιο; Α (2,0) Α (1,1) 1o Στάδιο Δ 2o Στάδιο Β Γ 3o Στάδιο (0,2) (3,0)

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 συνέχεια Πως θα απαντούσατε στο παρακάτω παίγνιο; Η µέθοδος που χρησιµοποιείται καλείται οπισθογενούς επαγωγής (backward induction). Ξεκινάµε από το τρίτο στάδιο και το σηµείο Γ όπου ο παίκτης 1 έχει 3 µονάδες ωφέλειας. Στο δεύτερο στάδιο ο παίκτης 2 γνωρίζει ότι στο τρίτο στάδιο ο παίκτης 1 θα επιλέξει Γ Οπότε επιλέγει Β. Στο πρώτο στάδιο ο παίκτης 1 γνωρίζει ότι στο δεύτερο στάδιο ο παίκτης 2 θα επιλέξει Β οπότε επιλέγει Α και τερµατίζει το παίγνιο.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 1-ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΠΑΙΓΝΙΟ ΠΛΗΡΟΥΣ & ΤΕΛΕΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ Πως θα απαντούσατε στο παρακάτω παίγνιο; Α 1o Στάδιο Δ Α Δ Α Δ 2o Στάδιο (3,1) (1,2) (2,1) (0,0) Ποιο το αποτέλεσµα της οπισθογενούς επαγωγής; Μπορείτε να αποτυπώσετε το συγκεκριµένο παίγνιο σε πίνακα;

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2 1- ΥΝΑΜΙΚΟ ΠΑΙΓΝΙΟ ΠΛΗΡΟΥΣ & ΤΕΛΕΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ 1 2 Actions Actions A A A Δ Δ Α Δ Δ Α 3,1 3,1 1,2 1,2 Δ 2,1 0,0 2,1 0,0

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 1-ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΠΑΙΓΝΙΟ ΠΛΗΡΟΥΣ & ΤΕΛΕΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ 1 2 Actions Actions A A A Δ Δ Α Δ Δ Α 3,1 3,1 1,2 1,2 Δ 2,1 0,0 2,1 0,0 ΤΕΛΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΤΑ NASH ΑΝΑ ΥΠΟΠΑΙΓΝΙΟ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΤΑ NASH ΌΧΙ ΑΝΑ ΥΠΟΠΑΙΓΝΙΟ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1-ΜΟΝΟΙ ΣΑΣ Έστω ότι υπάρχει complete και perfect information (µόνο οι κόµβοι ανήκουν στο ίδιο information set, οι actions θα είναι ίδιες) 1 2 Actions Actions αα αδ δα δδ Α -1,-1-1,-1 1,1 1,1 Δ -1,-1 2,0-1,-1 2,0 ΥΠΟΠΑΙΓΝΙΟ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΤΟΥ ΔΙΛΛΗΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΚΡΑΤΟΥΜΕΝΩΝ Ο παίκτης 2 τώρα καλείται να παίξειχωρίς να γνωρίζει το τι έχει πράξει ο παίκτης 1!!!! ( υναµικό παίγνιο πλήρους αλλά Ατελούς πληροφόρησης) ΠΑΙΚΤΗΣ 2 ΠΑΙΚΤΗΣ 1 ΔΕΝ ΟΜΟΛΟΓΩ ΟΜΟΛΟΓΩ ΔΕΝ ΟΜΟΛΟΓΩ -1,-1-10,0 ΟΜΟΛΟΓΩ 0,-10-5,-5

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΤΟΥ ΔΙΛΛΗΜΑΤΟΣ Ποια η λύση; ΤΩΝ ΚΡΑΤΟΥΜΕΝΩΝ Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την µέθοδο της οπισθογενούς επαγωγής και γιατί; Εάν ο 2 γνωρίζει το τι έκανε ο 1 πως αλλάζει το παίγνιο και η λύση του;

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 Έστω µια µονοπωλιακή επιχείρηση (Μ) και µια εν δυνάµει εισερχόµενη (Ε) σε µια αγορά. Η νεοεισερχόµενη επιχείρηση αποφασίζει για το εάν θα εισέλθει ή όχι ενώ η µονοπωλιακή επιχείρηση εάν θα της κάνει πόλεµο τιµών ή όχι. Ε Μ Actions ΠΟΛΕΜΟΣ ΤΙΜΩΝ Actions ΑΠΟΔΟΧΗ ΌΧΙ 0,100 0,100 ΕΙΣΟΔΟΣ -20,-10 40,,50

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 Οι ισορροπίες κατά Nash σε στρατηγική µορφή είναι το (ΌΧΙ-ΠΟΛΕΜΟΣ) και το (ΕΙΣΟ ΟΣ ΑΠΟ ΟΧΗ). Προφανώς η πρώτη ισορροπία δεν είναι λογική.τι εκφράζει; Πως θα το δίνατε σε εκτεταµένη µορφή και ποια η λύση; Ε Μ Actions ΠΟΛΕΜΟΣ ΤΙΜΩΝ Actions ΑΠΟΔΟΧΗ ΌΧΙ 0,100 0,100 ΕΙΣΟΔΟΣ -20,-10 40,50

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1-ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΠΑΙΓΝΙΟ ΠΛΗΡΟΥΣ & ΤΕΛΕΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ Πως θα απαντούσατε στο παρακάτω παίγνιο; 1o Στάδιο Ε ΕΙΣΟΔΟΣ ΟΧΙ ΠΟΛΕΜΟΣ ΑΠΟΔΟΧΗ 2o Στάδιο (0,100) (-20,-10) (40,50) Ποιο το αποτέλεσµα της οπισθογενούς επαγωγής;

ΟΡΙΣΜΟΣ ΥΠΟΠΑΙΓΝΙΟΥ Είναι ένα κοµµάτι του παιγνίου από ένα χρονικό σηµείο µέχρι το τέλος του που ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες: Ξεκινά από έναν κόµβο όχι αρχικό και ανήκει σε ένα µοναδικό σύνολο πληροφόρησης µε ένα µοναδικό στοιχείο. Περιλαµβάνει όλους τους κόµβους απόφασης και τους τερµατικούς κόµβους οι οποίοι έπονται τον κόµβο απαρχής του παιγνίου. εν τέµνει κανένα σύνολο πληροφόρησης.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΥΠΟΠΑΙΓΝΙΟΥ & ΑΛΛΑ Τέλεια ισορροπία κατά Nash ανά υποπαίγνιο θεωρούµε την ισορροπία κατά Nash του αρχικού παιγνίου που είναι επίσης ισορροπία σε κάθε ένα από τα υποπαίγνια. Η τέλεια ισορροπία ανά υποπαίγνιο είναι πιο ισχυρή έννοια ισορροπία δεδοµένου ότι πάντα είναι και ισορροπία κατά Nash. Το αντίθετο δεν ισχύει πάντα. Το αποτέλεσµα της οπισθογενούς επαγωγής αντιστοιχεί αλλά δεν ταυτίζεται µε την τέλεια ισορροπία ανά υποπαίγνιο. Η τέλεια ισορροπία ανά υποπαίγνιο είναι ένα τρόπος επιλογής µεταξύ πολλαπλών ισορροπίων κατά Nash (διαχρονικη συνέπεια).

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Η ΜΑΧΗ ΤΩΝ ΦΥΛΛΩΝ ΣΕ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΜΑΡΙΑ Γ Θ Γ ΝΙΚΟΣ Θ Γ ΝΙΚΟΣ Θ 2o Στάδιο (2,1) (-1,-1) (1,2) (-1,-1) Ποια η απάντηση σας;

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2- Η ΜΑΧΗ ΤΩΝ ΦΥΛΛΩΝ ΣΕ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΜΑΡΙΑ Γ Θ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΤΩΝ ΥΠΟΠΑΙΓΝΙΩΝ ΜΕ ΤΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΤΟΥΣ (2,1) (1,2)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2- Η ΜΑΧΗ ΤΩΝ ΦΥΛΛΩΝ ΣΕ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ 1 2 Actions Actions ΓΘ ΓΓ ΘΘ ΘΓ Γ 2,1 2,1-1,-1-1,-1 Θ 1,2-1,-1 1,2-1,-1

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Η επιχείρηση Α αποφασίζει εάν θα εισάγει ένα νέο προϊόν ή όχι σε πρώτη φάση και το εάν θα κάνει διαφήµιση του προϊόντος της σε δεύτερη φάση. Η επιχείρηση Β δεν παρατηρεί την απόφαση της επιχείρησης Α σε σχέση µε την διαφήµιση αλλά ξέρει εάν η επιχείρηση Α έχει εισάγει ή όχι ένα νέο προϊόν στην αγορά.

Επαναλαμβανόμενα Παίγνια Τα ε αναλαµβανόµενα αίγνια α οτελούν µια ειδική κατηγορία αιγνίων δυναµικής µορφής. Χωρίζονται σε δύο κατηγορίες : πεπερασµένα Ν σταδίων και µη πεπερασµένα απείρων σταδίων Βασικό Ερώτηµα : κατά πόσο οι απειλές ή οι υποσχέσεις σχετικά µε την µελλοντική συµπεριφορά µπορούν να επηρεάσουν την τρέχουσα συµπεριφορά σε επαναλαµβανόµενες καταστάσεις. Παράδειγµα: στο δίληµµα των κρατουµένων η ατοµική επιδίωξη της µεγιστοποίησης του κέρδους ενός δεν οδηγεί απαραίτητα στην µεγιστοποίηση του συλλογικού κέρδους. Πως θα άλλαζε το παίγνιο εάν επιτρέπαµε στους δύο φυλακισµένους να έρθουν σε επικοινωνία αρκετές φορές;

Επαναλαμβανόμενα Παίγνια 2 σταδίων Ας υποθέσουµε ότι το «ίληµµα των Κρατουµένων» παίζεται δύο φορές παρατηρώντας αυτή την φορά το αποτέλεσµα της 1 ης προτού ξεκινήσουµε το παίγνιο ξανά. Θεωρούµε ότι οι αποδόσεις του συνολικού παιγνίου προκύπτουν απ το άθροισµα των αποδόσεων των αποτελεσµάτων των δύο σταδίων ( Συντελεστής προεξόφλησης 1).

Επαναλαμβανόμενα Παίγνια 2 σταδίων ΠΑΙΚΤΗΣ 2 ΠΑΙΚΤΗΣ 1 ΔΕΝ ΟΜΟΛΟΓΩ ΔΕΝ ΟΜΟΛΟΓΩ -5,-5 0,-10 ΟΜΟΛΟΓΩ ΟΜΟΛΟΓΩ -10,0-1,-1 ΠΑΙΚΤΗΣ 1 ΔΕΝ ΟΜΟΛΟΓΩ ΠΑΙΚΤΗΣ 2 ΔΕΝ ΟΜΟΛΟΓΩ -10,-10 -,-15 ΟΜΟΛΟΓΩ ΟΜΟΛΟΓΩ -15,-5-6,-6

Επαναλαμβανόμενα Παίγνια 2 σταδίων ΠΑΙΚΤΗΣ 2 ΠΑΙΚΤΗΣ 1 ΔΕΝ ΟΜΟΛΟΓΩ ΔΕΝ ΟΜΟΛΟΓΩ ΟΜΟΛΟΓΩ -5,-5 0,-10 ΟΜΟΛΟΓΩ -10,0-1,-1 Η ισορροπία κατά Nash είναι το σηµείο (-5,-5) στο παίγνιο του πρώτου σταδίου.

Επαναλαμβανόμενα Παίγνια 2 σταδίων Η ισορροπία κατά Nash είναι το σηµείο (-10,-10) στο παίγνιο του δεύτερου σταδίου. ΠΑΙΚΤΗΣ 2 ΠΑΙΚΤΗΣ 1 ΔΕΝ ΟΜΟΛΟΓΩ ΔΕΝ ΟΜΟΛΟΓΩ -10,-10-5,-15 ΟΜΟΛΟΓΩ ΟΜΟΛΟΓΩ -15,-5-6,-6

Επαναλαμβανόμενα Παίγνια 2 σταδίων Το µοναδικό τέλειο ανά υποπαίγνιο αποτέλεσµα του διλήµµατος των δύο κρατουµένων δύο σταδίων είναι ( Ο, Ο) στο πρώτο στάδιο και ( Ο, Ο) στο δεύτερο στάδιο.

Γενίκευση για πεπερασμένα επαναλαμβανόμενα Στάδια Εάν το παίγνιο στάδιο Α έχει µια µοναδική ισορροπία κατά Nash τότε για κάθε πεπερασµένο Τ, το επαναλαµβανόµενο παίγνιο Α(Τ) έχει ένα µοναδικό τέλειο ανά υποπαίγνιο αποτέλεσµα: Η επιλογή της ισορροπίας κατά Nash του Α σε κάθε στάδιο ΠΡΟΣΟΧΗ: Η παραπάνω πρόταση δεν ισχύει εάν το παίγνιο σταδίου έχει πολλαπλές ισορροπίες κατά Nash.

Απείρως Επαναλαμβανόμενα Παίγνια Ας υποθέσουµε τώρα ότι έχουµε δύο επιχειρήσεις οι οποίες και αποφασίζουν την συνεργασία ή την εξαπάτηση η µία της άλλης στην παραγωγή ενός προϊόντος. Θα πρέπει να τονίσουµε ότι το παίγνιο παίζεται ξανά και ξανά στο µέλλον. ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ Β ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ Α ΕΞΑΠΑΤΗΣΗ ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ ΕΞΑΠΑΤΗΣΗ 5,5 14,1 ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ 1,14 10,10

Απείρως Επαναλαμβανόμενα Παίγνια Εάν η επιχείρηση Α εξαπατήσει την Β σήµερα η Β θα την τιµωρήσει την επόµενη αλλά και σε όλες τις περιόδους αναγκάζοντας την Α σε εξαπάτηση (trigger strategy) συνθέτοντας το εξαπάτηση µια φορά εξαπάτηση για πάντα κατάρρευση συνεργασίας.

Απείρως Επαναλαμβανόμενα Παίγνια ΑΠΟΔΟΣΗ ΑΝΑ ΠΕΡΙΟΔΟ 14 ΠΑΝΤΑ ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ 10 5 ΕΞΑΠΑΤΗΣΗ 1 2 3 4 5 ΠΛΗΘΟΣ ΠΕΡΙΟΔΩΝ

Απείρως Επαναλαμβανόμενα Παίγνια Η πιθανότητα να διατηρήσουν οι παίκτες την συµπεριφορά συνεργασίας στο πλαίσιο ενός απείρου επαναλαµβανόµενου παιγνίου εξαρτάται από: 1. Οι παίκτες είναι υποµονετικοί 2. Η επικοινωνία ανάµεσα στους παίκτες είναι συχνή. 3. Η εξαπάτηση εντοπίζεται εύκολα 4. Το εφάπαξ όφελος από την εξαπάτηση είναι σχετικά µικρό.

Διαδοχικές Κινήσεις Η επιχείρηση OMEGA κάνει την πρώτη κίνηση και µπορεί να επιλέξει ανάµεσα σε τρεις στρατηγικές: το κατασκευάσει ένα µεγάλο εργοστάσιο, ένα µικρό και το να µην κατασκευάσει κανένα εργοστάσιο. Η επιχείρηση Quark ακολουθεί την Κίνηση της OMEGA µε τις ίδιες επιλογές. Ποια θα είναι η λύση του παιγνίου;

Διαδοχικές Κινήσεις

Στρατηγική Μορφή Πως θα αποτυπώνατε το συγκεκριµένο παίγνιο σε στρατηγική µορφή και ποια θα ήταν η λύση που θα δίνατε;

Στρατηγική Μορφή QUARK O M E G A Να κατασκευάσει μεγάλο εργοστάσιο Να κατασκευάσει μικρό εργοστάσιο Να μην κατασκευάσει εργοστάσιο Να κατασκευάσει μεγάλο εργοστάσιο Να κατασκευάσει μικρό εργοστάσιο 0,0 12,80 18,90 8,12 16,16 20,15 9,18 15,20 18,18 Να μην κατασκευάσει εργοστάσιο

Στρατηγικές Κινήσεις Η επιχείρηση OMEGA δεσµεύτηκε εκ των προτέρων σε µια στρατηγική ενώ η επιχείρηση QUARK είχε ευελιξία στις απαντήσεις της. Παρατηρούµε ότι η επιχείρηση OMEGA τα πήγε πολύ καλύτερα από ότι η QUARK. Οι στρατηγικές επιλογές που φαινοµενικά περιορίζουν τις επιλογές µπορούν να βελτιώσουν την κατάσταση ενός παίκτη ή µε άλλα λόγια η έλλειψη ευελιξίας µπορεί να έχει κάποια αξία.

Επαναλαμβανόμενα Παίγνια 2 σταδίων O M E G A Να κατασκευάσει μεγάλο εργοστάσιο Να κατασκευάσει μικρό εργοστάσιο Να μην κατασκευάσει εργοστάσιο Να κατασκευάσει μεγάλο εργοστάσιο QUARK Να κατασκευάσει μικρό εργοστάσιο 0,0 12,80 18,90 8,12 16,16 20,15 9,18 15,20 18,18 Να μην κατασκευάσει εργοστάσιο

Επαναλαμβανόμενα Παίγνια 2 σταδίων QUARK Να κατασκευάσει μεγάλο εργοστάσιο Να κατασκευάσει μικρό εργοστάσιο Να μην κατασκευάσει εργοστάσιο O M E G A Να κατασκευάσει μεγάλο εργοστάσιο Να κατασκευάσει μικρό εργοστάσιο Να μην κατασκευάσει εργοστάσιο 1,1 18,100 20,150 11,14 18,18 20,25 10,20 15,25 20,20 Ποια η απάντησή τώρα εάν το παίγνιο παιχτεί και δεύτερη φορά;

Παράδειγμα 1 Κάθε παίκτης έχει ένα κέρµα και πρέπει να επιλέξει εάν θα το δείξει από την πλευρά µε την κορώνα ή µε τα γράµµατα. Εάν τα 2 κέρµατα ταιριάξουν ο δεύτερος παίκτης κερδίζει το κέρµα του παίκτη ένα ενώ σε αντίθετη περίπτωση γίνεται το αντίστροφο.

Παράδειγμα 1 K Πιθανότητα q Γ Πιθανότητα 1-q Πιθανότητα p Κ -1,1 1,-1 Πιθανότητα 1-p Γ 1,-1-1,1

Παράδειγμα 1 Στρατηγική για τον Παίκτη 1 (Κ,Γ;p,(1-p)) Στρατηγική για τον Παίκτη 2 (Κ,Γ;q,(1-q)) Το αναµενόµενο κέρδος για τον Παίκτη 1εάν: Κορώνα: Π(Κ)=(-1)q+1(1-q)=1-2q Γράµµατα: Π(Γ)=(1)q+(-1)(1-q)=2q-1 Άρα ο Παίκτης 1 θα επιλέξει Κορώνα εάν Π(Κ)>Π(Γ) δηλαδή εάν ισχύει q<1/2. Οµοίως θα επιλέξει Γράµµατα εάν Π(Κ)<Π(Γ) δηλαδή εάν ισχύει q>1/2. Προφανώς για q=1/2 οποιαδήποτε απάντηση είναι βέλτιστη.

1 1/2 Παράδειγμα 1 Καμπύλη Αντίδρασης για τον Παίκτη 1 q R1(q) Καμπύλη αντίδρασης του παίκτη 1 εντυπώνει την αντίδραση για κάθε q ενώ ωςr1(q) ορίζουμε για κάθε στρατηγική Του παίκτη 2 τι είναι καλύτερο να κάνει ο Παίκτης 1 Εάν q<1/2 K Εάν q>1/2 G Εάν q=1/2 0<p<1 Γ 1/2 1 p

Παράδειγμα 1 Στρατηγική για τον Παίκτη 2 (Κ,Γ;q,(1-q)) Το αναµενόµενο κέρδος για τον Παίκτη 2 εάν: Κορώνα: Π(Κ)=(1)p+1(1-1)=2p-1 Γράµµατα: Π(Γ)=(-1)p+(1)(1-p)=1-2p Άρα ο Παίκτης 2 θα επιλέξει Κορώνα εάν Π(Κ)>Π(Γ) δηλαδή εάν ισχύει p>1/2. Οµοίως θα επιλέξει Γράµµατα εάν Π(Κ)<Π(Γ) δηλαδή εάν ισχύει p<1/2. Προφανώς για p=1/2 οποιαδήποτε απάντηση είναι βέλτιστη.

Παράδειγμα 1 Καμπύλη Αντίδρασης για τον Παίκτη 2 1 1/2 q R2(p) Καμπύλη αντίδρασης του παίκτη 2 εντυπώνει την αντίδραση για κάθε p ενώ ως R2(q) ορίζουμε για κάθε στρατηγική του παίκτη 2 τι είναι καλύτερο να κάνει ο Παίκτης 2 Εαν p>1/2 K Εαν p<1/2 G Εαν p=1/2 0<p<1 Γ 1/2 1 p

Παράδειγμα 1-ΛΥΣΗ ΤΕΛΙΚΗ q Το σημείο τομής των δύο καμπυλών αντίδρασης σας δείχνει και ποιο είναι το σημείο ισορροπίας 1 1/2 ( Κ, Γ ; 1, 1 ), ( Κ, Γ ; 1, 1 ) 2 2 2 2 Παίκτης 1---Παίκτης 2 Τα αναμενόμενα κέρδη είναι μηδενικά Γ 1/2 1 p

Εφαρμογή 2 QUARK Να κατασκευάσει μεγάλο εργοστάσιο Να κατασκευάσει μικρό εργοστάσιο Να μην κατασκευάσει εργοστάσιο O M E G A Να κατασκευάσει μεγάλο εργοστάσιο Να κατασκευάσει μικρό εργοστάσιο Να μην κατασκευάσει εργοστάσιο 1,1 18,100 20,150 11,14 18,18 20,25 10,20 15,25 20,20 Ποια η λύση του παιγνίου σε στρατηγική και εκτεταµένη µορφή;

Εφαρμογή 3 Πως απαντούσατε στο παρακάτω παίγνιο; (μάχη των δύο φύλλων) Θέατρο Πιθανότητα q Γήπεδο Πιθανότητα 1-q Πιθανότητα p Θέατρο 3,1-1,-1 Πιθανότητα 1-p Γήπεδο -1,-1 1,3

ΤΙ ΝΑ ΔΙΑΒΑΣΩ 1. Cabral, L: Κεφάλαιο 4 ο 2. Waldman, Don, E. και Jensen, E. :Κεφάλαια 6 και 8. 3. είτε και τα αντιστοιχα κεφάλαια απο το βιβλίο του Bensanko.