Κεφάλαιο 5 R (2, 3) R (3, 0)

Transcript

1 Κεφάλαιο 5 Θα ξεκινήσουµε το κεφάλαιο αυτό βλέποντας ένα ακόµη παράδειγµα αναφορικά µε την ισορροπία που προκύπτει από την οπισθογενή επαγωγή (backwards induction) και την ισορροπία κατά Nash στην στρατηγική µορφή. Παράδειγµα: Ας υποθέσουµε ότι έχουµε ένα παίγνιο µε δυο παίκτες: Ο παίκτης I µπορεί να διαλέξει l ή r ενώ ο παίκτης II L ή R πετυχαίνοντας τα αποτελέσµατα που φαίνονται στο παρακάτω δέντρο. α L (1, 0) l II I r b R (, 3) ιάγραµµα 3ο II L (0, -1) R (3, 0) Ας προσπαθήσουµε να βρούµε την ισορροπία µε βάση την οπισθογενή επαγωγή (backwards induction). Ο I ξέρει ότι ο II, τόσο στον κόµβο (α) όσο και στον κόµβο (b) θα επιλέξει το R. Οπότε συγκρίνει το 3 από το (3, 0) και το από το (, 3) και προφανώς διαλέγει r. 56

2 Η ισορροπία που προκύπτει µε βάση την οπισθογενή επαγωγή (backwards induction) είναι: (r, R R). Προσοχή! Είπαµε ότι ο II πρέπει να προσδιορίσει τι θα κάνει στην περίπτωση που το παίγνιο πάει προς τα πάνω καθώς και στην περίπτωση που πάει προς τα κάτω. Αυτό όπως θα δούµε αργότερα είναι, η τέλεια ισορροπία των υποπαιγνίων κατά Nash. Ο I ξέρει τι θα κάνει ο ΙΙ. O II τι θα κάνει; Αν ο I αποφασίσει l o ΙΙ αποφασίζει R. Ακόµα και αν ο I αποφασίσει r, o ΙΙ πάλι αποφασίσει R. εδοµένου αυτού ο I συγκρίνει το από (, 3) και το 3 από (3, 0) και αποφασίζει r. Η ισορροπία αυτή προκύπτει από την οπισθογενή επαγωγή και ονοµάζεται τέλεια ισορροπία κατά Nash των υποπαιγνίων. Ας δούµε τώρα ποια είναι η στρατηγική µορφή του παιγνίου αυτού. Ο παίκτης I προφανώς έχει δύο στρατηγικές, ενώ ο παίκτης II έχει τέσσερις. LL LR RL RR l 1, 0 1, 0, 3, 3 r 0, -1 3, 0, -1 3, Σηµείωση: Αν ο παίκτης I παίξει προς τα πάνω (l) µόνο το πρώτο στοιχείο της στρατηγικής του παίχτη II είναι σχετικό. Αν ο παίκτης I παίξει προς τα κάτω (r) µόνο το δεύτερο στοιχείο της στρατηγικής του παίχτη II είναι σχετικό. Γιατί ο II έχει 4 στρατηγικές; ιότι έχει δύο σύνολα πληροφόρησης. Άρα η στρατηγική του, θα πρέπει να περιλαµβάνει µια απόφαση σε κάθε σύνολο πληροφόρησης. Πρέπει να καταλάβουµε ότι η στρατηγική ενός παίκτη είναι ένα πλήρες σχέδιο, σε όλα τα ενδεχόµενα. (Σε όλα τα ενδεχόµενα, όχι µόνο κατά µήκος της ισορροπίας του παιγνίου.) Eίδαµε ότι η λογική είναι η εξής: ας πούµε ότι ξυπνά ο παίκτης Ι και κάνει λάθος και πάει στο l. Τι θα κάνει ο παίκτης II; Πρέπει να έχει έτοιµη κάποια απόφαση. Τι σηµαίνει LL; Σηµαίνει L στον κόµβο (α) και L στον κόµβο (b), διότι έχουµε δύο σύνολα πληροφόρησης. Πρέπει δηλαδή να καθορίσουµε τι θα κάνει στον κόµβο (α) και τι στο (b). Αυτό είναι η στρατηγική: ένα πλήρες σχέδιο. Ας δούµε τώρα ποιες είναι οι ισορροπίες κατά Nash στην στρατηγική µορφή του παιγνίου στην οποία χάνεται η χρονική διάσταση: 57

3 LL LR RL RR l 1, 0 1, 0, 3, 3 r 0, -1 3, 0, -1 3, Έχουµε τρεις ισορροπίες: (l, R L) (, 3) (r, L R) (3, ) (r, R R) (3, ) Ας εξετάσουµε λίγο πιο προσεκτικά τις παραπάνω ισορροπίες: (r, RR): Αυτή δεν έχει κανένα πρόβληµα διότι περνά το test της διαχρονικής συνέπειας. Είναι λογική δεδοµένης της ιστορίας του παιγνίου. (r, LR): Ο παίκτης II αποφασίζει πάνω (α) L και κάτω (b) R. To πρόβληµα δεν είναι µε το κάτω αλλά µε το πάνω. Ας υποθέσουµε ότι ο παίκτης I κάνει κάποιο λάθος και διαλέγει l. Έχει κάποια λογική, να απαντήσει µε L ο παίκτης ΙΙ; ΟΧΙ. Εκτός ισορροπίας (out of the equilibrium) υπάρχει ένα πρόβληµα. Υπάρχει µια απόφαση η οποία δεν είναι ορθολογική. Άρα το (r, L R) ναι µεν είναι µια ισορροπία κατά Nash, αλλά έχει το πρόβληµα, ότι µας δίνει µια επιλογή µηορθολογική εκτός ισορροπίας. Επηρεάζει το αποτέλεσµα του παιγνιδιού, αυτή η µη-ορθολογική απόφαση εκτός ισορροπίας; ΟΧΙ. Όπως βλέπουµε και οι δυο ισορροπίες (r, LR) (3, ) (r, RR) (3, ) µας δίνουν το ίδιο αποτέλεσµα. Άρα, η ισορροπία σε επίπεδο κερδών δεν αλλάζει. Επαναλαµβάνουµε: στο (r, L R) υπάρχει κάτι µη-ορθολογικό εκτός του δρόµου ισορροπίας του παιγνιδιού. Άρα πρέπει να σκεφτούµε ότι το λογικό για τον παίκτη I είναι να αποφασίσει r. Τι γίνεται αν κάνει ένα µικρό λάθος; Τι θα συµβεί; Το παιχνίδι, θα πάει προς τα πάνω. Αν το παιχνίδι πάει προς τα πάνω αυτό το ξέρει ο II. Τι πρέπει να κάνει ο παίκτης II; Προφανώς θα παίξει R και όχι L. Αυτή είναι η λογική. Αλλά από άποψη αποτελεσµάτων και οι δυο ισορροπίες: (r, RR) (3, ) και (r, LR) (3, ) µας δίνουν το ίδιο αποτέλεσµα. (l, L R): µας δίνει διαφορετικό αποτέλεσµα: (l, L R) (, 3) 58

4 (r, LR): έχει πρόβληµα διότι εκτός ισορροπίας ο παίκτης II, κάνει κάτι περίεργο - µηορθολογικό, διότι αν ο παίκτης Ι τύχει να επιλέξει l, τότε ο παίκτης ΙΙ δεν θα επιλέξει L, αφού δεν είναι λογικό. Σε ένα παίγνιο εξετάζουµε δύο πράγµατα: (i) το δρόµο ισορροπίας (οδηγεί στο (3, ), και (ii) τους δρόµους εκτός ισορροπίας. δρόµος εκτός ισορροπίας δρόµος ισορροπίας Εκτός ισορροπίας συµβαίνει κάτι περίεργο. Ο παίκτης ΙΙ, παρότι ξέρει ότι ο παίκτης Ι διάλεξε µε πιθανότητα µηδέν l, αυτός θα διαλέξει L. Αυτό δεν είναι λογικό, διότι διαλέγοντας R µπορεί να πετύχει 3 αντί 0 ((1,0) VS (, 3)). Από άποψη αποτελέσµατος όµως οι (r, L R) (r, R R) είναι ισοδύναµες. (l, R L): Μας δίνει κάτι τελείως διαφορετικό. Εδώ ο παίκτης ΙΙ επιβάλει το αποτέλεσµα το οποίο του δίνει τα περισσότερα κέρδη, το (, 3), αφού το 3 είναι το µέγιστο που µπορεί να πάρει (l, R L) (, 3). Πως το επιβάλλει; Η λογική εδώ είναι ότι ο παίκτης ΙΙ λέει στον παίκτη Ι: «αν εσύ πας προς τα κάτω (r), εγώ θα σε τιµωρήσω επιλέγοντας L. Αν κινηθείς προς τα πάνω, τότε εγώ θα επιλέξω R». εδοµένου ότι έχουµε 0 (0, 1) και (, 3) ο παίκτης Ι αν τον πιστεύει θα επιλέξει l. Ποιο είναι το πρόβληµα εδώ; Οι µη-αξιόπιστες απειλές. Η απειλή ότι ο παίκτης ΙΙ θα επιλέξει L, αν ο παίκτης Ι διαλέξει r, είναι κάτι που αν συµβεί - αν δηλαδή ο παίκτης Ι επιλέξει r τελικά, προφανώς ο παίκτης ΙΙ δεν έχει κίνητρο να επιλέξει L. Επαναλαµβάνουµε: Είπαµε ότι ο παίκτης ΙΙ απειλεί ότι θα παίξει L, αν ο παίκτης Ι διαλέξει r. εδοµένου όµως ότι ο παίκτης Ι ήδη έχει διαλέξει r, ο παίκτης ΙΙ δεν έχει κίνητρο να επιλέξει L. Άρα δεν θα πραγµατοποιήσει την απειλή του. Είναι µε άλλα λόγια µια µη αξιόπιστη απειλή. 5

5 Τι σηµαίνει ότι στην ισορροπία κατά Nash δεν υπάρχει διαχρονική συνέπεια; Στο (r, L R) βλέπουµε ότι, δεδοµένου του r, o II κάνει κάτι µη-ορθολογικό, επιλέγει L. Άρα δεδοµένου του r, η επιλογή του δεν είναι συνεπής - ορθολογική. Ας θυµηθούµε ότι στα οικονοµικά λέµε ότι κάθε στιγµή µια οικονοµική µονάδα µεγιστοποιεί τα κέρδη της και δεν κοιτάζει πίσω για να διορθώσει τα λάθη του παρελθόντος, κοιτάζει µπροστά. Άρα δεδοµένου r, o II για να µεγιστοποιήσει τα κέρδη του θα επιλέξει το R. Αυτή είναι η λογική, γιατί το (r, L R) που είναι ισορροπία κατά Nash, έχει ένα πρόβληµα διαχρονικής συνέπειας. εν είναι διαχρονικά συνεπής, άρα δεν είναι τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων κατά Nash, όπως θα δούµε αργότερα. Σηµείωση: Σε πολλές περιπτώσεις, ο αριθµός ισορροπιών κατά Νash, ενός παιγνίου είναι πολύ µεγαλύτερος (µπορεί και άπειρος) ενώ οι τέλειες ισορροπίες υποπαιγνίων (αυτές που βγαίνουν από το backwards induction) µπορεί να είναι µία ή δύο. Για παράδειγµα τα παίγνια διαπραγµατεύσεων γενικά έχουν άπειρες ισορροπίες κατά Nash και µια τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων. Με άλλα λόγια σε ένα Nash equilibrium σε µια διαπραγµάτευση µπορεί να συµβεί οτιδήποτε. Στην τέλεια ισορροπία όµως, που είναι διαχρονικά συνεπής, η ισορροπία είναι µια και µοναδική συνήθως. Άρα η τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων είναι συνήθως ισοδύναµη µε το backwards induction. Σε όλα αυτά που κάνουµε τώρα, οι στρατηγικές µπορούν να παρασταθούν µε µια µήτρα ή ένα δέντρο. Στη συνέχεια θα εξετάσουµε ορισµένα παίγνια, όπου οι επιχειρήσεις έχουν άπειρες στρατηγικές. Ίσως αυτή τη στιγµή στο µυαλό µας εύλογα να υπάρχει η απορία για το πως µπορούµε να παραστήσουµε µε δέντρο ένα άπειρο αριθµό στρατηγικών. Η αλήθεια είναι πως κάτι τέτοιο δεν µπορεί να γίνει. Για το λόγο αυτό χρειαζόµαστε κάποια άλλα εργαλεία. Αφού ασχοληθούµε λοιπόν µε το παραπάνω πρόβληµα, θα εξετάσουµε παίγνια, στα οποία υπάρχουν είτε ισορροπίες σε µεικτές στρατηγικές, είτε υπάρχουν και ισορροπίες σε µεικτές στρατηγικές. (Μέχρι τώρα έχουµε εξετάσει παίγνια τα οποία έχουν ισορροπίες σε αµιγείς στρατηγικές.) Στο σηµείο αυτό θα πρέπει να τονίσουµε ότι ο αριθµός των ισορροπιών ενός παιγνίου, µε πιθανότητα ένα, είναι µονός αριθµός. Άρα, αν ένα παίγνιο έχει δύο ισορροπίες σε αµιγείς στρατηγικές, πρέπει υποχρεωτικά να βρούµε και µια τρίτη, η οποία θα είναι σε µεικτές στρατηγικές. 60

6 Σηµείωση: Υπάρχουν κάποιες µικρές εξαιρέσεις όπου δύο ισορροπίες ταυτίζονται (αυτό που φαίνεται µια ισορροπία είναι δύο). ένα). Θεώρηµα: Ο αριθµός των ισορροπιών κατά Nash, είναι µονός αριθµός (µε πιθανότητα Τι σηµαίνει µε πιθανότητα ένα; Σηµαίνει ότι υπάρχουν κάποιες εξαιρέσεις σπάνιες, µέτρου µηδέν (measure zero), όπου πάλι είναι µονός ο αριθµός των ισορροπιών, αλλά είναι λάθος ο τρόπος που τον µετράµε (τον αριθµό των ισορροπιών). Άρα να ξέρουµε ότι πάντα ο αριθµός των Nash ισορροπιών είναι µονός. Για παράδειγµα, το παίγνιο «η µάχη των φύλλων» έχει και µια τρίτη ισορροπία σε µεικτές στρατηγικές. Γιατί άραγε θα εξετάσουµε πρώτα τα παίγνια που έχουν ένα άπειρο αριθµό στρατηγικών και µετά τα παίγνια σε µεικτές στρατηγικές; Τούτο θα γίνει αντιληπτό στη συνέχεια της ανάλυσής µας. Οι µεικτές στρατηγικές βασικά είναι µια κατανοµή πιθανότητας πάνω σε ένα χώρο από το µηδέν στο ένα. Μια επιχείρηση, αυτό που επιλέγει είναι η πιθανότητα (µια ή δυο ή τρεις πιθανότητες). Άρα οι στρατηγικές που έχει στην διάθεση της είναι άπειρες. Γιατί; ιότι η πιθανότητα πάει από το [0, 1]. Όταν επιλέγει κάποιος µια πιθανότητα µεταξύ [0, 1] έχει άπειρες στρατηγικές. Άρα η µέθοδος η οποία θα ακολουθήσει στα παίγνια µε άπειρες στρατηγικές είναι η ίδια µε τη µέθοδο που θα ακολουθήσουµε για να βρούµε µια ισορροπία κατά Nash σε µεικτές στρατηγικές. Αυτό εξηγεί γιατί δεν βρίσκουµε πρώτα την ισορροπία σε µεικτές στρατηγικές και µετά να πάµε στα παίγνια που έχουν άπειρες στρατηγικές. ΠΑΙΓΝΙΟ ΜΕ ΑΠΕΙΡΟ ΑΡΙΘΜΟ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΩΝ ΓΙΑ ΚΑΘΕ ΠΑΙΚΤΗ. ΠΑΙΓΝΙΟ ΤΟΥ COURNOT Ας υποθέσουµε ότι έχουµε µια γραµµική καµπύλη ζήτησης: D(p) = α - p, Q = q 1 + q Η αντίστροφη καµπύλη ζήτησης είναι: P(Q) = α Q Q: συνολική ποσότητα που παράγεται στην αγορά. 61

7 Ας υποθέσουµε ότι υπάρχει σταθερό οριακό κόστος: MC = c. Οπότε βάζουµε στο ίδιο διάγραµµα και το οριακό κόστος. Ας υποθέσουµε ότι υπάρχουν δύο επιχειρήσεις οι οποίες έχουν µια στρατηγική µεταβλητή: την ποσότητα τους. ηλαδή q i, i=1, οι στρατηγικές µεταβλητές των εταιρειών. Για να δούµε τώρα τι ιδιότητες έχει αυτή η στρατηγική µεταβλητή; Μια επιχείρηση µπορεί να παράγει µηδέν ή ένα οποιοδήποτε αριθµό µονάδων. Υποχρεωτικά θα υποθέσουµε ότι το προϊόν είναι τέλεια διαιρετό διότι αλλιώς δεν θα έχουµε άπειρες στρατηγικές. Άρα ποιο είναι το µέγιστο που έχει νόηµα να παράγει µια επιχείρηση; Για παράδειγµα αν c = 0, το µέγιστο που µπορεί να παράγει είναι α. Άρα µπορούµε να πούµε ότι γενικά: q i [0, α]. Με αυτό τον τρόπο προσδιορίζουµε πιο ξεκάθαρα, ποιο είναι το στρατηγικό διάστηµα για κάθε εταιρεία. Προφανώς το [0, α] είναι ένα συνεχές διάστηµα µε άπειρα σηµεία. Πως µπορούµε να λύσουµε ένα τέτοιο πρόβληµα; Θα πρέπει να βρούµε ποιος από τους δύο ορισµούς της ισορροπίας κατά Nash που δώσαµε, είναι καλύτερος να χρησιµοποιήσουµε. Προφανώς, θα χρησιµοποιήσουµε τον ορισµό της βέλτιστης απάντησης. ηλαδή, θα πρέπει να ορίσουµε µια ποσότητα για κάθε 6

8 επιχείρηση, ένα διάνυσµα: (q 1 *, q *), έτσι ώστε το q 1 * να είναι η καλύτερη απάντηση στο q * και q * να είναι η καλύτερη απάντηση στο q 1 *. Αν όµως αυτό είναι που θέλουµε (να κάνουµε), τότε τι µπορούµε να κάνουµε; Να φτιάξουµε πρώτα την καµπύλη αντίδρασης - καµπύλη βέλτιστων απαντήσεων κάθε επιχείρησης και κατόπιν να βρούµε σε ποιο σηµείο τέµνονται οι δύο καµπύλες. Το σηµείο τοµής θα αντιστοιχεί στο (q 1 *, q *). Áν ένα σηµείο ανήκει και στις δύο καµπύλες αντίδρασης τότε δεδοµένου του τι κάνει η µια επιχείρηση, η άλλη κάνει το καλύτερο δυνατό και αντίστροφα. Άρα πρέπει να βρούµε τις καµπύλες αντίδρασης - καµπύλες βέλτιστης απάντησης. Πως βρίσκονται οι καµπύλες αυτές; Στο συγκεκριµένο πρόβληµα, αφού θεωρούµε ότι οι επιχειρήσεις µεγιστοποιούν τα κέρδη τους, θα µεγιστοποιήσουµε τα κέρδη κάθε εταιρείας για κάθε απόφαση που παίρνει η αντίπαλος της. Οπότε για την επιχείρηση I έχουµε: max (α q 1 q )q 1 cq 1, όπου α q 1 q = P(Q) q 1 Σηµείωση: το Q είναι το άθροισµα των ποσοτήτων που µπαίνουν στην αγορά και πωλούνται: Q = q 1 + q. Οπότε όσο περισσότερο Q παράγεται, τόσο µικρότερη είναι η τιµή στην αγορά διότι η αγορά θεωρείται ότι είναι σε ισορροπία - δηλαδή όλες οι µονάδες που µπαίνουν στην αγορά πωλούνται. Το προϊόν είναι οµοιογενές διότι έχουµε µόνο µια καµπύλη ζήτησης, όχι δύο. Άρα υπάρχει ένα προϊόν το οποίο παράγουν οι δύο επιχειρήσεις. Με άλλα λόγια, τα προϊόντα των δύο επιχειρήσεων είναι τέλεια υποκατάστατα. Συνεπώς αφού υπάρχει ένα προϊόν θα υπάρχει και µια τιµή. Γνωρίζουµε ότι µεγιστοποίηση των κερδών σηµαίνει: α q 1 q c = 0 To q, όταν αποφασίζει η εταιρεία I, είναι µια παράµετρος. Οπότε το παίρνουµε ως α c q παράµετρο για να βρούµε την καµπύλη αντίδρασης: q 1 =R 1 ( q )= Είναι η βέλτιστη απάντηση της εταιρείας I σε κάθε µια από τις αποφάσεις της εταιρείας II. Οµοίως έχουµε και για την επιχείρηση II (Συµµετρία) max (α q 1 q )q cq q F.O.C. α q q 1 c = 0 q = R ) = ( q 1 α c q1 63

9 ιαγραµµατικά Το σηµείο τοµής θα είναι η λύση του προβλήµατος µας καθόσον αν η εταιρεία II αποφασίσει q *, το καλύτερο για την εταιρεία I είναι q 1 *, και αν η εταιρεία I αποφασίσει q 1 * το καλύτερο για την II είναι q *. Σηµείωση: Οι καµπύλες αντίδρασης µπορεί να έχουν θετική ή αρνητική κλίση. Aυτό εξαρτάται από το ποιες είναι οι στρατηγικές µεταβλητές. Όταν οι στρατηγικές µεταβλητές είναι οι ποσότητες και τα προϊόντα είναι οµοιογενή τότε οι καµπύλες αντίδρασης όπως είδαµε έχουν αρνητική κλίση. Αν οι στρατηγικές µεταβλητές είναι ποσότητες και τα αγαθά είναι υποκατάστατα, τότε πάλι έχουν αρνητική κλίση. Αν τα αγαθά είναι συµπληρωµατικά έχουν θετική κλίση. Αν οι στρατηγικές µεταβλητές είναι οι τιµές, και τα αγαθά είναι υποκατάστατα τότε θα έχουν θετική κλίση. Αν είναι συµπληρωµατικά, θα έχουν αρνητική κλίση. Στην γενική περίπτωση οι καµπύλες αντίδρασης µπορεί να είναι ο,τιδήποτε: κοίλες, κυρτές, µησυνεχείς κλπ.

10 ΚΛΙΣΗ REACTION FUNCTION Στρατηγική Μεταβλητή Οµοιογενή Συµπληρωµατικά Υποκατάστατα Ποσότητα (-) (+) (-) Τιµή (+) (-) (+) Το σηµείο (q 1 *, q *) πληρεί τον ορισµό της ισορροπίας κατά Nash. Άρα, η λύση του προβλήµατος είναι να λυθεί το σύστηµα εξισώσεων: q 1 = α c q, q = α c q1 και θα βρεθούν τα (q 1 *,q *) Σηµείωση: Μπορεί να µην χρειάζεται να λύσουµε το σύστηµα, αν οι καµπύλες αντίδρασης δίνουν µια ξεκάθαρη κλίση (π.χ. είναι ευθεία). Θα δούµε ότι για ισορροπία σε µεικτές στρατηγικές, δεν χρειάζεται καν να λύσουµε το σύστηµα. Η λύση φαίνεται από το διάγραµµα. Όµως, εδώ χρειάζεται να το λύσουµε. εδοµένου ότι το πρόβληµα είναι συµµετρικό, εδώ δεν χρειαζόµαστε δύο καµπύλες αντίδρασης. Μπορούµε να πούµε συµµετρία συν µια καµπύλη αντίδρασης. Συµµετρία σηµαίνει ότι η λύση βρίσκεται στην γραµµή των 45. Άρα συµµετρία: q 1 * = q * α c q * q 1 * = 1 α c q 1 * = q * = 3 Γενίκευση (α) Ας πούµε ότι οι δύο επιχειρήσεις έχουν διαφορετικές τεχνολογίες. Τότε η εταιρεία I θα έχει: MC 1 = c 1. Και η εταιρεία II: MC = c. Αν τα πράγµατα είναι έτσι, όλη η ανάλυση θα είναι η ίδια, απλά θα έχουµε: α c1 q q 1 * = α c q q * = 1 (1) Όµως, εδώ δεν µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε συµµετρία. Είναι συµµετρικό ως προς την συναρτησιακή µορφή, αλλά όχι ως προς τη λύση. Οπότε θα πρέπει να λύσουµε το σύστηµα (1) για να βρούµε το q 1 *, q *. (β) Ας υποθέσουµε ότι υπάρχουν τρεις επιχειρήσεις στον κλάδο. Τι συµβαίνει; Η λογική είναι η ίδια. Αυτό που κάνει κάθε εταιρεία είναι να πει: «δεδοµένου του τι θα παράγουνε όλες οι άλλες, 65

11 (τώρα το q είναι η συνολική ποσότητα που παράγουν όλες οι άλλες επιχειρήσεις), τι θα κάνω εγώ». Οπότε, για κάθε επιχείρηση, έχουµε µια καµπύλη αντίδρασης, η οποία είναι η ποσότητα που θα παράγει σαν συνάρτηση της συνολικής ποσότητας που παράγουν οι άλλες επιχειρήσεις. Θα έχουµε τρεις καµπύλες αντίδρασης µια για κάθε επιχείρηση και λύνοντας το σύστηµα θα προκύψει η λύση. ιαγραµµατικά, θα χρειαστούµε 3-διάστατο επίπεδο}. Τώρα θα βάλουµε στο διάγραµµα και τις καµπύλες ίσου κέρδους των επιχειρήσεων, για να δούµε γιατί η ισορροπία (q 1 *,q *) δεν είναι αποτελεσµατική κατά Pareto (Pareto efficient). Πως βρίσκουµε τις καµπύλες ίσου κέρδους. π.χ. Π 1 = (α q 1 q ) q 1 cq 1 = Π 1 Βρίσκουµε τους συνδυασµούς (q 1, q ) που µας δίνουν το ίδιο κέρδος. Τι ιδιότητες έχουν οι καµπύλες ίσου κέρδους στο πρόβληµα αυτό; Καταρχήν, όσο πάµε προς το µηδέν, δεδοµένου ότι η εταιρεία I παράγει µια συγκεκριµένη ποσότητα, σηµαίνει ότι η II παράγει λιγότερα. Αν η II παράγει λιγότερα, προφανώς τα κέρδη της I θα αυξηθούν. Συνεπώς προς τα κάτω αυξάνονται τα κέρδη της επιχείρησης I. Μπορούµε, να δούµε, ότι η άλλη καµπύλη ίσου κέρδους έχει την µορφή: 66

12 Τώρα, το σηµείο, όπου οι καµπύλες ίσου κέρδους τέµνει την καµπύλη αντίδρασης, είναι ένα σηµείο όπου έχουµε κλίση µηδέν, διότι είναι το µέγιστο. ηλαδή, δεδοµένης της ποσότητας που παράγει η επιχείρηση I, q 1, το σηµείο Μ είναι το σηµείο που µεγιστοποιούνται τα κέρδη της επιχείρησης II. Το σηµείο τοµής της καµπύλης ίσου κέρδους και της καµπύλης αντίδρασης η κλίση είναι πάντα µηδέν. Γιατί είναι µηδέν; ιότι δεδοµένου του τι κάνει η εταιρεία II το καλύτερο που µπορεί να κάνει η I, είναι το µέγιστο (). Θα πάρουµε τις καµπύλες ίσου κέρδους στο σηµείο ισορροπίας για να δούµε ποιες είναι οι ιδιότητες του. 67

13 Η Π 1 είναι η καµπύλη ίσου κέρδους της εταιρείας Ι, που περνά από την ισορροπία κατά Nash, και αντίστοιχα η Π για την εταιρεία ΙΙ. Όπως είναι ξεκάθαρο από τις κλίσεις των δύο καµπυλών στο σηµείο Κ, δεν µπορούν να εφάπτονται. Αν κινηθούµε λίγο προς τα µέσα, µπορούµε να βρούµε ένα σηµείο (ε) όπου οι δύο καµπύλες ίσου κέρδους θα εφάπτονται. Θα βρούµε την Π 1 και Π όπου Π 1 > Π 1 και Π > Π διότι πάµε πιο κοντά στους άξονες. Άρα, στο σηµείο ε, αν µετακινηθούν και οι επιχειρήσεις στο ε, φαίνεται ότι και οι δύο πετυχαίνουν µεγαλύτερα κέρδη. 68

14 Αυτό είναι το σηµείο, η ισορροπία συνεργασίας, δηλαδή οι δύο επιχειρήσεις µαζί πετυχαίνουν τα κέρδη του µονοπωλητή, τα µοιράζονται. Άρα στο ε έχουµε την ποσότητα του µονοπωλητή δια δύο. Είναι συµµετρικό το πρόβληµα. Σηµείωση: όσο πάµε πιο κάτω, τόσο λιγότερο παράγει η αντίπαλος άρα τόσο πιο µεγάλα κέρδη θα κάνει η εταιρεία. Γι αυτό το Π 1 > Π 1. Το σηµείο ε είναι σηµείο όπου οι επιχειρήσεις δρουν σαν µια (µονοπωλητής) και µοιράζουν µεταξύ τους τα κέρδη. Ας πούµε ότι οι δύο επιχειρήσεις, πριν παίξουν το παιχνίδι αποφασίζουν να συνεργαστούν, αλλά δεν υπάρχει κανένας τρόπος εκ των υστέρων να τιµωρήσει η µια την άλλη επειδή δεν ακολούθησε την συµφωνία. Η επιχείρηση ΙΙ αποφασίζει να έχει καλή συµπεριφορά, οπότε επιλέγει qm την ποσότητα όπου q m η ποσότητα που παράγει ο µονοπωλητής. Tι θα κάνει η επιχείρηση Ι; Προφανώς, θα αυξήσει την ποσότητα της και άρα θα πετύχει µεγαλύτερα κέρδη. q m Αν η ΙΙ επιλέξει το, και η Ι δώσει την καλύτερη δυνατή απάντηση τα κέρδη της Ι θα είναι πολύ µεγαλύτερα (Π 1 ). Άρα, το παίγνιο του Cournot, έχει τη µορφή του διλήµµατος των φυλακισµένων. To Pareto efficient point είναι η συνεργασία όπου κάθε εταιρεία πετυχαίνει τα µισά από τα κέρδη ενός µονοπωλητή. 6

15 q m Αν όµως, ακόµα και αν συµφωνήσουν ότι θα περιορίσουν την παραγωγή στο επίπεδο του, αυτή η συµφωνία δεν είναι ευσταθής, διότι δεδοµένου ότι η µια επιχείρηση θα ακολουθήσει την συµφωνία, η άλλη έχει ακόµα µεγαλύτερο κίνητρο να σπάσει την συµφωνία και να αυξήσει την ποσότητα και τα κέρδη της. Ας πούµε ότι οι επιχειρήσεις έχουν δύο δυνατότητες. Είτε να συνεργαστούνε (σηµείο ε) ή να µην συνεργαστούν (Κ). Άρα τι κάνουµε µε αυτό τον τρόπο; Βασικά µειώνουµε την διάσταση του παιγνίου, πριν είχε κάθε επιχείρηση άπειρες στρατηγικές, τις παίρνουµε και τις κάνουµε δύο (συνεργασία ή όχι). Μη-συνεργασία και από τις δύο εταιρείες µας δίνει την ισορροπία κατά Nash, συνεργασία και από τις δύο µας δίνει την ισορροπία του µονοπωλίου και µένουν τετραγωνάκια στην µήτρα που πρέπει να γεµίσουµε. Όλα αυτά, θα τα κάνουµε για να δούµε γιατί το παίγνιο του Cournot, είναι ισοδύναµο µε το δίληµµα των φυλακισµένων. Οπότε γι αυτό µειώνουµε την διάσταση του παιγνίου. Και λέµε ότι οι επιχειρήσεις µπορούν να κάνουν δύο πράγµατα: να συνεργαστούν ή όχι. (1) ( Συνεργασία, 8 όχι Συνεργασία ( 8 (α c) 6, (α c) () Όχι 6 (α ), (α c) (, ( Στο τετραγωνάκι (όχι, όχι) έχουµε ισορροπία κατά Nash. q * 1 =q * α c = 3 Tα κέρδη που προκύπτουν ποια είναι; Μπορούµε να δούµε τα κέρδη γράφοντας την συνθήκη πρώτης τάξης: α-q 1 -q -c=0 ως Άρα, p * c=q * * 1 =q Π i *=(q i *) Άρα Π 1 * =Π * = α - q1 - q - c = q 1443 p ( 70

16 (Συνεργασία, Συνεργασία) Για να βρούµε τα κέρδη της συνεργασίας πρέπει να βρούµε τα κέρδη του µονοπωλητή και να τα διαιρέσουµε δια δύο: Έχουµε: max Q (α Q)Q cq α Q c=0 (1) α c Q= Γράφουµε το F.O.C. (1) ως: α Q c=q α c P c=q= Π m = Q = m ( 4 (Όχι, συνεργασία) Συνεργασία σηµαίνει ότι κάθε εταιρεία παράγει την µισή ποσότητα του µονοπωλητή. α c Έστω q = 4 q = m α c Άρα δεδοµένου ότι q =, ποια είναι η καλύτερη απάντηση του Ι; 4 Μα η καλύτερη απάντηση του Ι θα βρεθεί από την καµπύλη αντίδρασης. α c α c α c 3(α ) Άρα: q 1 =R 4 c 1 = = 4 8 Βλέπουµε ότι αν ο ΙΙ ακολουθεί την συνεργασία, ο Ι θα παράγει περισσότερο διότι: 3 1 ( > (α c) 8 4 α c Ακόµα θα είναι µεγαλύτερη από το, την ποσότητα που θα παρήγε στην ισορροπία κατά 3 Nash. Πως βρίσκουµε την τιµή και τα κέρδη; α c 3(α c) P=α 4 8 Θα βρούµε κατευθείαν τα κέρδη: α c 3(α c) 3 P c=α c = (α c) Άρα τα κέρδη του Ι που δεν συνεργάζεται είναι (α c), ενώ του ΙΙ που συνεργάζεται είναι: 71

17 3 6 (a c) (a c)= (α c) 8 8 Συνεργασία () όχι ( (1) Συνεργασία, 8 8 ( 6 (α c), (α c) Όχι (α c) 6, (α c) (, ( Υπάρχει κυρίαρχη στρατηγική; Είναι η όχι για τον παίχτη ΙΙ 8 ( < (α c) 6 ( (α c) < Οπότε το όχι κυριαρχεί επί της συνεργασίας, σε αυτή την απλοποιηµένη µορφή του παιγνίου. Ουσιαστικά, εδώ πέρα δεν µπορούµε να το παραστήσουµε σε µήτρα. Έχουµε άπειρες στρατηγικές για κάθε παίχτη. Για τον ίδιο λόγο, ο παίκτης Ι έχει κυρίαρχη στρατηγική το όχι διότι: 8 ( < (α c) 6 (α c) < ( Οπότε η µόνη ισορροπία που βγαίνει είναι το (όχι, όχι) που προφανώς, δίνει λιγότερα κέρδη και για τις δύο επιχειρήσεις. Οι επιχειρήσεις θα προτιµούσαν να πάνε στο (Συνεργασία, Συνεργασία), να γίνει ένα cartel και να είναι ευσταθές. Σηµείωση: Όταν βρίσκαµε την ισορροπία κατά Nash παλιά, στην ουσία φτιάχναµε καµπύλες αντίδρασης: το και 0 ήταν ουσιαστικά καµπύλες αντίδρασης και βρήκαµε ένα τριγωνάκι στο οποίο η καµπύλη αντίδρασης του ενός, έτεµνε τη καµπύλη αντίδρασης του άλλου. Απλώς, επειδή δεν ήτανε συνεχείς, είχε µόνο σηµεία. 7