ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τελικές Εξετάσεις 8 Σεπτεµβρίου 005 ιάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (:00-4:00 ΘΕΜΑ ο (.5 Το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης ορίζεται ως εξής: "Ρίχνουµε" ένα κέρµα πολλές φορές. Έστω k η πρώτη φορά κατά την οποία το αποτέλεσµα είναι "γράµµατα". Τότε κερδίζουµε k. Ποιο είναι το αναµενόµενο κέρδος για αυτό το παιχνίδι; Πόσα α είµασταν διατειµένοι να ρισκάρουµε για να παίξουµε στο παιχνίδι αυτό; Αναλύστε το παραπάνω πρόβληµα χρησιµοποιώντας τις έννοιες της χρησιµότητας και της αποστροφής του ρίσκου. Το αναµενόµενο κέρδος είναι: k k k k Προφανώς κανείς δεν α ρίσκαρε ένα µεγάλο ποσό για να παίξει σε αυτό το παιχνίδι! Η κεντρική ιδέα της λύσης είναι η εξής: Η χρησιµότητα ενός χρηµατικού ποσού (γενικότερα ενός αγαού δεν είναι ανάλογη της ποσότητάς του. Με άλλα λόγια, διπλάσιο χρηµατικό ποσό δεν µας δίνει διπλάσια χαρά. Το πρόβληµα λοιπόν έγκειται στην αντιστοίχηση της ποσότητας των υλικών αγαών µε τη χρησιµότητα που αυτά έχουν για µας. Έστω δύο λοταρίες, Α και Β, στις οποίες ρίχνουµε ένα κέρµα και αναλόγως το αποτέλεσµα: Λοταρία Α: Εάν έρουν γράµµατα κερδίζουµε, εάν έρει κορώνα χάνουµε. Λοταρία Β: Εάν έρουν γράµµατα κερδίζουµε 5, εάν έρει κορώνα χάνουµε 5. Οι περισσότεροι άνρωποι α επέλεγαν να συµµετάσχουν στην Α αντί στην Β (ακόµη περισσότεροι επίσης α επέλεγαν να µην "παίξουν" καόλου!. Οι δύο λοταρίες έχουν την ίδια αναµενόµενη απόδοση, δηλαδή 0. Ωστόσο έχουν διαφορετικές αναµενόµενες χρησιµότητες. Έστω u(-5, u(-, u( και u(5 οι χρησιµότητες των διαφόρων αποτελεσµάτων. Το γεγονός ότι οι περισσότεροι άνρωποι επιλέγουν την Α από την Β δηλώνει ότι: ½[u(u(-]½[u(5u(-5] ή ισοδύναµα: u(5-u(<u(--u(-5 Κάτι τέτοιο µπορεί να συµβεί εάν η συνάρτηση χρησιµότητας έχει τη µορφή που φαίνεται στην επόµενη εικόνα. Στην παραπάνω εικόνα: Το σηµείο Ν αντιστοιχεί στην αναµενόµενη χρησιµότητα του να µην παίξουµε καόλου. Το σηµείο Α αντιστοιχεί στην αναµενόµενη χρησιµότητα του να επιλέξουµε το παιχνίδι Α. Το σηµείο Β αντιστοιχεί στην αναµενόµενη χρησιµότητα του να επιλέξουµε το παιχνίδι Β.

2 Βλέπουµε ότι µεγαλύτερη χρησιµότητα αντιστοιχεί στο σηµείο Ν, µετά στο Α και µετά στο Β. Τα παραπάνω αποτελέσµατα προέκυψαν εξαιτίας της ειδικής µορφής της συνάρτησης χρησιµότητας, η οποία είναι κοίλη (onve. Ισχύουν για όλες τις κοίλες συναρτήσεις. Εάν στο παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης ορίσουµε µια κοίλη συνάρτηση χρησιµότητας, π.χ. u(xlog(x, τότε η αναµενόµενη χρησιµότητα από το παιχνίδι είναι: k k log( k < Άρα ο παίκτης πρέπει να βρει ποιο είναι το µέγιστο ποσό -K που α διακινδύνευε να χάσει, έτσι ώστε η αναµενόµενη χρησιµότητα να είναι µεγαλύτερη του µηδέν. ΘΕΜΑ ο (.5 Παιχνίδι παρακολούησης (µε εφαρµογές στον έλεγχο του εγκλήµατος, στον έλεγχο των στρατευµάτων, στην παρακίνηση εργαζοµένων κλπ: Ένας υπάλληλος (παίκτης Α εργάζεται για λογαριασµό ενός εργοδότη (παίκτης Β. Ο υπάλληλος µπορεί είτε να φυγοπονεί, είτε να εργάζεται. Η εργασία κοστίζει στον υπάλληλο g και παράγει στον εργοδότη όφελος v. Ο εργοδότης µπορεί είτε να παρακολουεί τον υπάλληλο ή να µην τον παρακολουεί. Η παρακολούηση κοστίζει στον εργοδότη h, και παράγει µαρτυρία σχετικά µε το αν ο υπάλληλος φυγοπονεί ή εργάζεται. Ο εργοδότης πληρώνει στον υπάλληλο µισό ίσο µε w, εκτός και αν έχει µαρτυρία ότι ο υπάλληλος φυγοπονεί (ο εργοδότης δεν µπορεί να τροποποιήσει την πληρωµή του εργαζοµένου µε βάση το παραγόµενο έργο αυτού, οπότε δεν τον πληρώνει καόλου. Οι δύο παίκτες επιλέγουν τις στρατηγικές τους ταυτόχρονα. Βρείτε τα δυνατά σηµεία ισορροπίας (είτε µε κααρές, είτε µε µικτές στρατηγικές. Για να περιορίσετε τον αριµό των περιπτώσεων εωρείστε ότι ισχύει wgh0. Κάε παίκτης έχει δύο στρατηγικές, έστω Φ(υγοπονεί και Ε(ργάζεται για τον Α και Π(αρακολουεί και Π ( εν Παρακολουεί για τον Β. Ο πίνακας του παιχνιδιού είναι ο παρακάτω: Α Β Π Π Φ 0, -h w, -w Ε w-g, v-w-h w-g, v-w εν υπάρχουν σηµεία ισορροπίας µε κααρές στρατηγικές στον παραπάνω πίνακα. Πράγµατι, σίγουρα δεν είναι σηµείο ισορροπίας το (Φ,Π, µιας και ο Α α προτιµούσε να επιλέξει Ε, αφού w-g0. Παρόµοια δεν είναι σηµείο ισορροπίας το (E,Π, µιας και ο Β α προτιµούσε να επιλέξει Π, αφού v-wv-w-h. Επίσης δεν είναι σηµείο ισορροπίας το (E, Π, µιας και ο Α α προτιµούσε να επιλέξει Φ, αφού ww-g. Τέλος δεν είναι σηµείο ισορροπίας το (Φ, Π, µιας και ο Β α προτιµούσε να επιλέξει Π, αφού h-w. Θα αναζητήσουµε λοιπόν σηµεία ισορροπίας µε µικτές στρατηγικές. Έστω ότι ο Α επιλέγει Φ µε πιανότητα p και Ε µε πιανότητα -p. Η τιµή του p α πρέπει να είναι τέτοια, ώστε οι δύο επιλογές του Β να είναι ισοδύναµες για τον Β. Πρέπει λοιπόν να ισχύει: -p h(-p (v-w-h-p w(-p (v-w που µετά από λίγες πράξεις µας δίνει ph/w Έστω τώρα ότι ο B επιλέξει Π µε πιανότητα και Π µε πιανότητα -. Η τιµή του α πρέπει να είναι τέτοια ώστε οι δύο επιλογές του Α να είναι ισοδύναµες για τον Α. Πρέπει λοιπόν να ισχύει: 0(- w (w-g(- (w-g που µετά από λίγες πράξεις µας δίνει: g/w Άρα το παιχνίδι έχει µόνο ισορροπία Nsh µε µικτές στρατηγικές, σύµφωνα µε τις πιανότητες που υπολογίστηκαν παραπάνω. ΘΕΜΑ 3 ο (.5

3 Έστω ότι η Co-Cole (Coke πρέπει να αποφασίσει εάν α εισέλει ή όχι στην αγορά της πρώην Σοβιετικής Ένωσης, την οποία µέχρι τώρα ελέγχει η Pepsi. Υπάρχουν λοιπόν δύο επιλογές για την Coke, Μ(έσα και Ε(ξω. Εάν η Coke αποφασίσει να εισέλει, η Pepsi έχει δύο επιλογές, να Α(ντιδράσει έντονα και να Σ(υµβιβαστεί. Στο παρακάτω σχήµα φαίνεται το όφελος κάε µίας από τις δύο εταιρείες (το πρώτο νούµερο αντιστοιχεί στην Coke και το δεύτερο στην Pepsi για τις διάφορες δυνατές καταλήξεις του παιχνιδιού. -,- Pepsi Coke M Σ, E 0, 5 α Τι α πράξουν οι δύο εταιρείες; ( β Τροποποιείστε το παραπάνω παράδειγµα για να επιδείξετε το ρόλο της δέσµευσης στην έκβαση του παιχνιδιού. (.5 Η εταιρεία Coke α µπει στην αγορά και η εταιρεία Pepsi α συµβιβαστεί. Τα τελικά οφέλη α είναι (,, όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήµα. -,- Pepsi Coke, M, Σ, E 0, 5 β Ας εωρήσουµε ότι η Pepsi έχει µόνο µια επιλογή, να αντιδράσει εφόσον η Coke αποφασίσει να εισέλει στην αγορά. Γνωρίζοντάς το αυτό η Coke αποφασίζει να µην εισέλει στην αγορά, µε αποτέλεσµα το τελικό όφελος να είναι (0,5, δηλαδή πολύ καλύτερο για την Pepsi!

4 Pepsi -,- Coke M 0,5 E 0, 5 ΘΕΜΑ 4 ο (.5 Έστω το δυοπώλιο Cournot. Η αντίστροφη της καµπύλης ζήτησης δίνεται από τη σχέση P(Q-Q, όπου Q. Θεωρείστε το απείρως επαναλαµβανόµενο παιχνίδι, κάε γύρος του οποίου είναι ένα παιχνίδι δυοπωλίου Cournot. Ποια είναι η χαµηλότερη τιµή του συντελεστή προεξόφλησης δ για την οποία οι εταιρείες µπορούν να χρησιµοποιήσουν µια στρατηγική ενεργοποίησης που να διατηρεί αυξηµένα επίπεδα απολαβών ενός σηµείου τέλειας ισορροπίας Nsh για υποπαίγνια; ίνονται: i Σηµείο ισορροπίας Nsh σε δυοπώλιο Cournot: * *(-/(3 Gin Gin (- /(9 ii Σηµείο συµφωνίας καρτέλ σε δυοπώλιο Cournot: ** **(-/(4 Gin Gin (- /(8 όπου το κόστος ανά µονάδα παραγωγής (κοινό και για τις δύο εταιρείες. Υπόδειξη: Θα πρέπει να υπολογίσετε ποια α πρέπει να είναι η παραγωγή της εταιρείας που α σπάσει τη συµφωνία, κατά το γύρο που α σπάσει τη συµφωνία, έτσι ώστε να µεγιστοποιήσει το κέρδος της κατά αυτόν τον γύρο. Μια στρατηγική ενεργοποίησης α µπορούσε να περιλαµβάνει την παραγωγή των ποσοτήτων ** και **, µέχρις ότου µια εταιρεία σπάσει τη συµφωνία, οπότε από εκεί και πέρα και οι δύο εταιρείες α επέλεγαν για πάντα να παράγουν ποσότητες * και *. Πρέπει να βρούµε για ποια ελάχιστη τιµή του δ µπορεί να διατηρηεί µια τέτοια συµφωνία. Έστω ότι καµία εταιρεία δεν σπάει τη συµφωνία. Στην περίπτωση αυτή το προεξοφληµένο όφελος και για τις δύο εταιρείες α είναι: (- /[(8 (-δ] ( Έστω ότι σε κάποιο γύρο η µία εκ των δύο εταιρειών, έστω η, σκέφτεται να σπάσει τη συµφωνία. Η εταιρεία γνωρίζει ότι η εταιρεία α παράγει ποσότητα (-/4. Άρα α πρέπει να επιλέξει εκείνη την ποσότητα #, η οποία µεγιστοποιεί το όφελός της για αυτόν τον γύρο. Πρέπει λοιπόν να βρούµε την ποσότητα #. Έχουµε λοιπόν: Η συνολική παραγωγή για αυτόν τον γύρο α είναι: Q # (-/(4. Η τιµή που α προκύψει για το προϊόν α είναι: P- Q- # -(-/4. Το κέρδος για την εταιρεία που σπάει τη συµφωνία α είναι: Gin # # (P- # (- # -(-/4- # - # - # (-/4- # - # - # (-/4- #. Θα βρούµε την τιµή εκείνη της ποσότητας # για την οποία µεγιστοποιείται το κέρδος Gin #. Παραγωγίζουµε ως προς # και µηδενίζουµε, οπότε έχουµε: - # -(-/4-0 οπότε λύνοντας ως προς # έχουµε:

5 # 3 (-/(8. Για αυτή την ποσότητα παραγωγής, το κέρδος της εταιρείας είναι: Gin # # (P-3 (-/(8 (-3 (-/8-(-/4-9 (- /(64 το οποίο είναι µεγαλύτερο από το κέρδος του σηµείου συµφωνίας του καρτέλ. Από τον επόµενο γύρο και µετά η εταιρεία α κερδίζει σε κάε γύρο (- /(9, άρα συνολικά α κερδίσει σε όλους τους επόµενους γύρους δ (- /[(9 (-δ]. Λαµβάνοντας υπόψη και τον τρέχοντα γύρο, η εταιρεία α έχει κερδίσει συνολικά: 9 (- /(64 δ (- /[(9 (-δ] (. Για να µην συµφέρει λοιπόν το σπάσιµο της συµφωνίας, α πρέπει η ποσότητα ( να είναι µεγαλύτερη από την ποσότητα (. Έχουµε λοιπόν: (- /[(8 (-δ] 9 (- /(64 δ (- /[(9 (-δ] Μετά από λίγες πράξεις προκύπτει ότι η συµφωνία δεν σπάει εφόσον δ9/7. ΘΕΜΑ 5 ο (.5 'Εστω το δυοπώλιο Cournot σε µια αγορά µε αντίστροφη καµπύλη ζήτησης P(Q-Q, όπου Q είναι η συνολική ποσότητα παραγωγής από τις δύο εταιρείες. Και οι δύο εταιρείες έχουν το ίδιο µοναδιαίο κόστος, ίσο µε. Η ζήτηση της αγοράς είναι όµως αβέβαια: είναι υψηλή ( µε πιανότητα και χαµηλή ( µε πιανότητα -. Επιπλέον, η πληροφόρηση είναι ασύµµετρη: η εταιρεία γνωρίζει εάν η ζήτηση είναι υψηλή ή χαµηλή, ενώ η εταιρεία δεν το γνωρίζει. Η παραπάνω περιγραφή είναι γνωστή και στις δύο εταιρείες. Οι δύο εταιρείες επιλέγουν ταυτόχρονα τις ποσότητες παραγωγής τους. Βρείτε το σηµείο ισορροπίας Byes-Nsh του παιχνιδιού (ορίστε τους κατάλληλους περιορισµούς µε χρήση των,,, και, έτσι ώστε οι παραγόµενες ποσότητες στο σηµείο ισορροπίας Byes-Nsh να είναι όλες ετικές. ίνεται: Συνάρτηση καλύτερης απάντησης σε δυοπώλιο Cournot µε δύο εταιρείες Α και Β: B, εάν B R( B 0, εάν B Το σηµείο ισορροπίας Byes-Nsh που αναζητούµε α έχει τη µορφή (,,, όπου είναι η ποσότητα παραγωγής της εταιρείας όταν η ζήτηση είναι υψηλή, είναι η ποσότητα παραγωγής της εταιρείας όταν η ζήτηση είναι χαµηλή και είναι η ποσότητα παραγωγής της εταιρείας ανεξαρτήτως ζήτησης. Έστω ότι η ζήτηση είναι υψηλή,. Εάν η εταιρεία παράγει ποσότητα, τότε η συνάρτηση καλύτερης απάντησης για την εταιρεία είναι η: R ( 0,, εάν εάν Παρόµοια, εάν η ζήτηση είναι χαµηλή,, η συνάρτηση καλύτερης απάντησης για την εταιρεία α είναι:, εάν R ( 0, εάν

6 Η εταιρεία δεν γνωρίζει ποια είναι η ζήτηση, γνωρίζει όµως την πιανότητα για κάε περίπτωση. Θα υπολογίσουµε εξαρχής τη συνάρτηση καλύτερης απάντησης για την εταιρεία, υπολογίζοντας το σταµισµένο κέρδος της και µηδενίζοντας την παράγωγο αυτού. Θεωρούµε ότι η εταιρεία παράγει στις δύο περιπτώσεις παιχνιδιού (υψηλή και χαµηλή ζήτηση ποσότητες και, ενώ η εταιρεία παράγει ποσότητα. Η τιµή που διαµορφώνεται στις δύο περιπτώσεις είναι: P -( και P -( Το κέρδος της εταιρείας είναι ο σταµισµένος µέσος όρος του κέρδους της στις δύο περιπτώσεις ζήτησης, µε στάµιση τους συντελεστές και -. Έχουµε λοιπόν: Gin (P - (-(P - ( -( - (-( -( (- -(- -(- -(- Μηδενίζοντας την παράγωγο του Gin παίρνουµε: - - -(- -(- -(- -(- 0 R ( ( εάν 0, ( ( εάν, ( (, ( Για να βρούµε λοιπόν το σηµείο ισορροπίας Byes-Nsh χρειάζεται να λύσουµε το σύστηµα των τριών εξισώσεων µε τρεις αγνώστους που προκύπτει από τις συναρτήσεις καλύτερης απάντησης. Έχουµε λοιπόν:, ( ( Αντικαιστώντας τα και στην τρίτη εξίσωση και κάνοντας λίγες πράξεις βρίσκουµε: 3 ( Αντικαιστώντας στις δύο πρώτες εξισώσεις παίρνουµε: 6 ( (, 6 ( ΑΠΑΝΤΗΣΤΕ 4 ΑΠΟ ΤΑ ΠΑΡΑΠΑΝΩ 5 ΘΕΜΑΤΑ