Κεφάλαιο 9 Περιστροφική κίνηση Ροπή Αδράνειας-Ροπή-Στροφορμή
1rad = 360o 2π Γωνιακή ταχύτητα (μέτρο). ω μεση = θ 1 θ 2 = θ t 2 t 1 t θ ω = lim t 0 t = dθ dt Μονάδες: περιστροφές/λεπτό (rev/min)=(rpm)= 2π 60 rad/s
Γωνιακή ταχύτητα (διάνυσμα).
Μέση γωνιακή επιτάχυνση: a μεοο z = ω 2z ω 1z t 2 t 1 = ω z t Στιγμιαία γωνιακή επιτάχυνση: a z = lim t 0 ω z t a z = d dt = dω dt dθ dt = d2 θ dt 2
Ο διπλανός δίσκος DVD επιβραδύνεται. Η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου DVD για t=0 s είναι 27,5 rad/s και η γωνιακή του επιτάχυνση είναι -10 rad/s 2. Η γραμμή PQ συμπίπτει με τα θετικά του άξονα x τη χρονική στιγμή t=0 s. Α) πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου τη χρονική στιγμή t=0,30 s; Β) πόση είναι η γωνία που σχηματίζει η PQ με τον άξονα +x αυτή τη χρονική στιγμή; Α) ω z = ω 0z + a z t = 27,5 rad + s 10 rad/s 2 0,300 s = 24,5 rad Β) θ = θ 0 + ω 0z t + 1 2 a zt 2 = 0 + + 27,5 rad/s 0,300 s + 1 2 10 rad/s2 0,300 s 2 = 7,80 rad = 7,80 rad 1 rev 2πrad = 1,24 rev s
Σχέση γραμμικής και γωνιακής ταχύτητας: s = rθ υ = ds dt = r dθ dt = rω α tan = dυ dt = r dω dt = ra z a z = dω z dt ρυθμός μεταβολής της διανυσματικής γωνιακής ταχύτητας a rad = υ2 r = ω2 r
Ταχύτητες ποδηλάτου: Ποια σχέση συνδέει τα μέτρα των γωνιακών ταχυτήτων των τροχών του ποδηλάτου με των αριθμό των δοντιών στους οδοντωτούς τροχούς υ = r 1 ω 1 == r 2 ω 2 ή ω 2 ω 1 = r 1 r 2 2πr 1 N 1 = 2πr 2 N 2 ω 2 ω 1 = N 1 N 2 ή r 1 r 2 = N 1 N 2
Ενέργεια στην περιστροφική κίνηση 1 2 m iυ i 2 = 1 2 m ir i 2 ω 2 K = 1 2 m 1r 1 2 +.. ω 2 = 1 2 Iω2 I = m i r i 2 i ροπή αδράνειας α) Ποια είναι η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα που διέρχεται από το Α; β) Ποιά από τον ΒC; Ποιά είναι η κινητική ενέργεια όταν περιστρέφεται γύρω από τον Α με γωνιακή ταχύτητα ω=4,0 rad/s. α) I = m i r 2 i i = 0, 10 kg 0, 50 m 2 + 0, 20 kg 0, 40 m 2 = 0, 057 kg m 2 β) I = m i r i 2 i = 0, 30 0, 40 2 = 0, 048 kgm 2 γ) K = 1 2 Iω2 = 1 2 0, 057 kg m2 4, 0 rad/s 2 = 0, 46 J
Υπολογισμός της ροπής αδράνειας I = r 2 dm
Σύρμα που ξετυλίγεται Σύρμα μη εκτατό τυλιγμένο σε κύλινδρο διαμέτρου d= 0,120 m ξετυλίγεται καθώς τραβάμε τη μία άκρη του με σταθερή δύναμη F=9,0 N για μια απόσταση 2,0 m. Το σύρμα ξετυλίγεται χωρίς ολίσθηση στρέφοντας τον κύλινδρο. Ο κύλινδρος αρχικά ηρεμεί. Να υπολογιστεί η τελική γωνιακή ταχύτητα και η τελική ταχύτητα του σύρματος. K 1 + U 1 + W F = K 2 + U 2 Tτο έργο της δύναμης F, W F μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια περιστροφής K 2 Δηλ, W F = K 2 = 1 2 Iω2. Για κύλινδρο I = 1 2 50 kg d 2 = 0,060 m 2 = 0,090 kg m 2 W F = Fs = 9,0 N 2,0 m = 18 J ω = 2W F I = 20 rad/s υ = Rω = 1,2 m/s
Η μάζα Μ αφήνεται να πέσει από την ηρεμία. Πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα με την οποία περιστρέφεται ο κύλινδρος όταν η Μ χτυπά στο έδαφος; mgh = 1 2 mυ2 + 1 2 Iω2 Για κύλινδρο που περιστρέφεται ως προς τον κεντρικό άξονα η ροπή αδράνειας I = 1 2 MR2 mgh = 1 2 mr2 ω 2 + 1 4 MR2 ω 2 ω = 2mgh m+ 1 M R2 2
Θεώρημα των παραλλήλων αξόνων I = I cm + Md 2 Όπου I cm η ροπή αδράνειας του σώματος μάζας Μ ως προς τον άξονα που περνά από το κέντρο μάζας του σώματος. Και Ι η ροπή αδράνειας ως προς οποιονδήποτε άξονα που περνά σε απόσταση d παράλληλα προς τον άξονα που περνά από το κέντρο μάζας του σώματος. I = r 2 dm = x a 2 + y b 2 dm I = x 2 + y 2 dm 2a xdm 2b ydm + a 2 + b 2 dm ορισμός του κέντρου μάζας = 0 I = I cm + Md 2
Παραδείγματα υπολογισμού ροπής αδράνειας Λεπτή ράβδος που περιστρέφεται σε άξονα κάθετο προς το μήκος της. I = x 2 dm dm M = dx L dm = M L dx I = x 2 dm = M L L h h x 2 dx = M L x 3 3 h L h = 1 3 M L2 3Lh + 3h 2
Ράβδος μήκους L που στηρίζεται στο ένα άκρο συγκρατείται αρχικά σε οριζόντια θέση και μετά αφήνεται ελεύθερη. Υπολογίστε την γωνιακή ταχύτητα όταν φτάνει στην κάθετη θέση και την ταχύτητα του άκρου της. 1 2 Mg L 2 = 1 2 Iω2 I = 1 3 ML2 ω = 3g L υ = ωl = 3gL
Κοίλος ή συμπαγής κύλινδρος, περιστρεφόμενος γύρω από άξονα συμμετρίας. dm = ρdv = ρ 2πrLdr R 2 I = r 2 dm = r 2 ρ 2πrLdr = 2πρL r 3 dr R 1 R 1 = 2πρL R 4 4 2 R 4 1 = 2πρL R 2 2 4 2 R 1 R 2 2 2 + R 1 Για κοίλο κύλινδρο μάζας Μ : V = πl R 2 2 R 1 M = ρv = πlρ R 2 2 2 R 1 I = 1 2 M R 2 2 + R 1 2 R 2
I = 1 2 M R 2 2 + R 1 2 Κοίλος κύλινδρος με πολύ λεπτό τοίχωμα R 1 = R 2 = R
Ροπή τ = r F
Βρείτε το μέτρο και την κατεύθυνση της ροπής που ασκεί ο υδραυλικός ως προς το κέντρο της κυκλικής διατομής του εξαρτήματος. Ο υδραυλικός επενεργεί στην άκρη του γαλλικού κλειδιού με όλο το βάρος του (900 Ν) σε όρθια στάση. τ = r F = 0,80 m 900 N sin 109 o = 680 N m Η κατεύθυνση της ροπής είναι προς τα έξω από τη σελίδα.
Ροπή και γωνιακή επιτάχυνση στερεού σώματος α tan = dυ dt = r dω dt = ra z F i,tan = m i a tan = m i r i a z Για κάθε στοιχειώδη μάζα του σώματος m i θα ισχύει: τ iz = F i,tan r i = m i r i 2 a z τ iz = m i r i 2 a z = Ia z
Σύρμα που ξετυλίγεται Σύρμα μη εκτατό τυλιγμένο σε κύλινδρο διαμέτρου d= 0,120 m ξετυλίγεται καθώς τραβάμε τη μία άκρη του με σταθερή δύναμη F=9,0 N για μια απόσταση 2,0 m. Το σύρμα ξετυλίγεται χωρίς ολίσθηση στρέφοντας τον κύλινδρο. Ο κύλινδρος αρχικά ηρεμεί. Πόση είναι η επιτάχυνσή του σύρματος; a z = τ z I = FR = 6,0 rad/s 1 2 2 MR2 Η επιτάχυνση του καλωδίου που ξετυλίγεται από κύλινδρο είναι ίδια κατά μέτρο με την εφαπτομενική συνιστώσα της επιτάχυνσης του σημείου επαφής του καλωδίου με τον κύλινδρο. α x = Ra = 0,060 m 6,0 rad/s 2 = 0,36 m/s 2
Η μάζα Μ αφήνεται να πέσει από την ηρεμία. Πόση είναι η επιτάχυνση της μάζας m; F y = mg + T = ma y τ z = RT = Ia z = 1 2 MR2 a z T = 1 2 Ma y mg 1 2 Ma y = ma y g a y = 1 + M 2m
Δύο μάζες σε περιστρεφόμενη τροχαλία. Ο δρομέας του σχήματος, μάζας m 1 ολισθαίνει χωρίς τριβή πάνω σε οριζόντια αεροτροχιά. Η μάζα m 2 είναι προσαρτημένη σε αβαρές νήμα μη εκτατό. Η τροχαλία είναι ένα λεπτό κυλινδρικό κέλυφος, με αβαρείς ακτίνες, μάζας M και ακτίνας R και το νήμα περιστρέφει την τροχαλία χωρίς ολίσθηση. Να βρεθεί η επιτάχυνση κάθε σώματος, η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας και η τάση σε κάθε άκρο του νήματος. Δρομέας: F x = T 1 = m 1 a 1x Μάζα m 2 : F y = m 2 g T 2 = m 2 a 2y Τροχαλία: τ z = T 2 R T 1 R = Ia z = MR 2 a z a 1x = a 2y = Ra z a 1x = m 2g m 1 +m 2 +M T 1 = m 1 m 2 g m 1 + m 2 + M T 2 = m 1 + M m 2 g m 1 + m 2 + M
Στροφορμή. Μονάδες SI 1kg m 2 /s L = r p = r mυ = mυrsinφ = mυl dl dt = dr dt mυ + r m dυ dt = υ mυ + r ma = r F = τ Στροφορμή σώματος που κινείται γύρω από άξονα Συμμετρίας. Αν θεωρήσουμε μια λεπτή φέτα του σώματος που βρίσκεται στο επίπεδο xy L = L i = m i r i 2 ω = Iω Για οποιοδήποτε σύστημα σωματίων τ = dl dt
Στροφορμή σώματος που κινείται γύρω από άξονα συμμετρίας. Αν θεωρήσουμε μια λεπτή φέτα του σώματος που βρίσκεται στο επίπεδο xy τότε: L = L i = m i r i 2 ω = Iω Το L έχει διεύθυνση κατά τον άξονα συμμετρίας με τη διεύθυνση της γωνιακής ταχύτητας. Για οποιοδήποτε σύστημα σωματίων ισχύει: τ = dl dt Στην περίπτωση όπου το σώμα περιστρέφεται γύρω από άξονα συμμετρίας τότε: τ z = Ia z
Στροφορμή και ροπή. Στρόβιλος περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω z = 40 rad/s 3 t 2 Α) Να βρεθεί η στροφορμή του στροβίλου ως συνάρτηση του χρόνου, και η αριθμητική της τιμή Για t=3,0 s. Β) Να βρεθεί η συνολική ροπή που ασκείται στο στρόβιλο συναρτήσει του χρόνου καθώς και για t=3,0 s. Ροπή αδράνειας Ι=2,5 kg.m 2. L z = Iω z = (100 kg. m2 s 3 )t2 τ z = dl z dt = m2 100 kg. s 3 2t
Διατήρηση της στροφορμής. Όταν η συνισταμένη εξωτερική ροπή που επενεργεί στο σύστημα είναι μηδέν, τότε η ολική στροφορμή του συστήματος είναι σταθερή. Όταν μια χορεύτρια στροβιλίζεται με ανοιχτά τα χέρια της με γωνιακή ταχύτητα ω 1 όταν μαζέψει τα χέρια της θα στροβιλίζεται με μεγαλύτερη γωνιακή ταχύτητα ω 2, γιατί: Ι 1 ω 1 = Ι 2 ω 2 και Ι 1 > Ι 2 Ο άνθρωπος του σχήματος αρχικά περιστρέφεται κρατώντας τα βαράκια (5,0 kg το καθένα) με τα χέρια σε έκταση. Στη στάση αυτή εκτελεί μια περιστροφή ανά 2 s. Βρείτε τη νέα γωνιακή ταχύτητα όταν μαζέψει τα βαράκια στο στομάχι του. Η ροπή αδράνειας στην έκταση (χωρίς τα βαράκια) είναι 3,0 kg m 2 και μειώνεται στα 2,2 kg m 2 όταν τα χέρια του είναι μαζεμένα στο στομάχι του. Τα βαράκια βρίσκονται σε απόσταση 1,0 m από τον άξονα περιστροφής αρχικά και 0,2 m μετά. Ι 1 = 3,0 kg m 2 + 2 5,0 kg 1,0 m 2 = 13 kg m 2 ω 1z = 1 rev = 0,50 rev/s 2,0 s I 2 = 2,2 kg m 2 + 2 5,0 kg 0,2 m 2 = 2,6 kg m 2 I 1 ω 1z = I 2 ω 2z ω 2z = 2,5 rev/s
Το σχήμα δείχνει το σφόνδυλο της μηχανής αυτοκινήτου και τον δίσκο του συμπλέκτη στερεωμένο στον άξονα μετάδοσης της κίνησης. Οι ροπές αδράνειας των δίσκων είναι I A και Ι Β. Αρχικά οι δίσκοι περιστρέφονται ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο με σταθερές γωνιακές ταχύτητες ω Α και ω Β αντίστοιχα ( γιατί ο οδηγός του αυτοκινήτου πατάει τον συμπλέκτη). Μετά (μόλις ελευθερωθεί το πεντάλ), οι δύο δίσκοι συμπιέζονται μεταξύ τους με δυνάμεις που ασκούνται κατά μήκος του κοινού άξονα περιστροφής, οπότε δεν ασκείται καμιά εξωτερική ροπή στους δίσκους. Ο ένας δίσκος εφάπτεται στον άλλο και εξασκούνται αμοιβαίες δυνάμεις τριβής που οδηγούν βαθμιαία το σύστημα σε μια κοινή τελική γωνιακή ταχύτητα ω. Να δοθεί μια έκφραση για το ω. Βρείτε την τελική γωνιακή ταχύτητα ω όταν για τον σφόνδυλο m A = 2,0 kg, ακτίνα σφόνδυλου r A = 0,20 m, και ω Α = 50 rad/s, και για τον δίσκο του συμπλέκτη, m B = 4,0 kg, r Β = 0,10 m και ω Β = 200 rad/s. Πώς επηρεάζεται η κινητική ενέργεια; Δίνεται ότι η ροπή Αδράνειας δίσκου ακτίνας R και μάζας Μ είναι Ι = 1 2 ΜR2 I A ω A + I B ω B = I A + I B ω ω = I Aω A + I B ω B I A + I B = 100 rad/s K 1 = 1 2 I Aω A 2 + 1 2 I Bω B 2 = 450 J K 2 = 1 I 2 A + I B ω 2 = 300 J. Το παράδειγμα αυτό είναι το στροφικό ανάλογο μιας τελείως ανελαστικής κρούσης. Η κινητική ενέργεια μειώθηκε παρόλο που η συνισταμένη εξωτερική δύναμη και ροπή μηδενίζονται. Η μη διατήρηση της κινητικής ενέργειας οφείλεται στην ανάπτυξη μη διατηρητικών εσωτερικών δυνάμεων τριβής όταν οι δύο δίσκοι έρχονται σε επαφή και αποκτούν την ίδια γωνιακή ταχύτητα.
Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από κινούμενο άξονα. Συνδυασμός μεταφοράς και περιστροφής: Κινητική ενέργεια σώματος που το κέντρο μάζας του κινείται με ταχύτητα υ cm και περιστρέφεται γύρω από το κέντρο μάζας του. K 1 = 1 2 Mυ2 + 1 2 I cmω 2 Απόδειξη : υ i = υ cm + υ i K i = 1 2 m 2 i υ cm + m i υ cm υ i + 1 2 m 2 i υ i K = K i = 1 2 m i υ cm 2 + υ cm m i υ i + 1 2 m i υ i 2 ταχύτητα του κέντρου μάζας ως προς το κέντρο μάζας =0 1 2 I cmω 2
Όταν ο τροχός κυλάει χωρίς ολίσθηση τότε: υ cm = ωr
Κυλιόμενο κυλινδρικό κέλυφος. Ένα κυλινδρικό κέλυφος με λεπτά τοιχώματα, μάζας Μ και ακτίνας R, κυλίεται χωρίς Ολίσθηση με ταχύτητα υ cm σε οριζόντιο επίπεδο. Βρείτε την κινητική του ενέργεια. K = 1 2 M υ cm 2 + 1 υ 2 cm 2 MR2 2 = Mυ R cm Ταχύτητα του γιο-γιο. Αφήνουμε συμπαγή κύλινδρο από την ηρεμία και κρατώντας το νήμα το αφήνουμε να ξετυλιχτεί. Ο κύλινδρος περιστρέφεται καθώς ξετυλίγεται το νήμα χωρίς να ολισθαίνει ή να εκτείνεται ενώ κινείται πτωτικά. Ποια είναι η ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυλίνδρου, υ cm, όταν έχει καλύψει απόσταση h κατά την πτώση του; Μάζα του κυλίνδρου Μ. K 1 + U 1 = K 2 + U 2 K 1 = 0, U 1 = Mgh = 1 2 Mυ cm 2 + 1 2 K 2 = 1 2 Mυ cm 2 + 1 2 Iω2 1 υ cm 2 MR2 R 0 + Mgh = 3 4 Mυ cm 2 + 0 2 = 3 4 Mυ cm 2 υ cm = 4 3 gh μικρότερη από την ταχύτητα της ελεύθερης πτώσης υ cm = 2gh.Δηλ. το 1/3 της δυναμικής ενέργειας μετατρέπεται σε περιστροφική.