Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 1η Ενότητα: Εισαγωγικά

Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 1η Ενότητα: Εισαγωγικά Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cs.uoi.gr) Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών ευτέρα 10 Οκτωβρίου 2016

Σκελετός Ομιλίας 1 Εισαγωγικά 2 Παραδείγματα Γραμμικών Προγραμμάτων Οικονομίες Leontief Πρόβλημα της ίαιτας Επιλογή Επενδυτικού Προγράμματος Πρόβλημα Παραγωγής 3 Ιστορική Αναδρομή ΓΠ Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [2 / 28]

Τεχνολογία Αλγορίθμων Πώς Επιλύουμε ένα Πρόβλημα (συνδυαστικής / συνεχούς) Βελτιστοποίησης... Τεχνικές Επίλυσης: Simplex, Interior Point, Ellipsoid, Branch & Bound,... Μοντελοποίηση: Ελαχιστοποίηση κόστους, δεδομένων περιορισμών (κυκλοφορίας, καιρού, κ.λπ.) Λεπτομέρειες Υλοποίησης: ομές αναπαράστασης, σημείο εκκίνησης, αποφυγή κύκλων, αριθμητική αστάθεια,... Αξιολόγηση Λύσεων: Θεωρία υϊκότητας, συνθήκες βελτιστότητας, ανάλυση ευαισθησίας,... Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [3 / 28]

Τεχνολογία Αλγορίθμων Πώς Επιλύουμε ένα Πρόβλημα (συνδυαστικής / συνεχούς) Βελτιστοποίησης... Τεχνικές Επίλυσης: Simplex, Interior Point, Ellipsoid, Branch & Bound,... Μοντελοποίηση: Ελαχιστοποίηση κόστους, δεδομένων περιορισμών (κυκλοφορίας, καιρού, κ.λπ.) Λεπτομέρειες Υλοποίησης: ομές αναπαράστασης, σημείο εκκίνησης, αποφυγή κύκλων, αριθμητική αστάθεια,... Αξιολόγηση Λύσεων: Θεωρία υϊκότητας, συνθήκες βελτιστότητας, ανάλυση ευαισθησίας,... Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [3 / 28]

Τεχνολογία Αλγορίθμων Πώς Επιλύουμε ένα Πρόβλημα (συνδυαστικής / συνεχούς) Βελτιστοποίησης... Τεχνικές Επίλυσης: Simplex, Interior Point, Ellipsoid, Branch & Bound,... Μοντελοποίηση: Ελαχιστοποίηση κόστους, δεδομένων περιορισμών (κυκλοφορίας, καιρού, κ.λπ.) Λεπτομέρειες Υλοποίησης: ομές αναπαράστασης, σημείο εκκίνησης, αποφυγή κύκλων, αριθμητική αστάθεια,... Αξιολόγηση Λύσεων: Θεωρία υϊκότητας, συνθήκες βελτιστότητας, ανάλυση ευαισθησίας,... Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [3 / 28]

Τεχνολογία Αλγορίθμων Πώς Επιλύουμε ένα Πρόβλημα (συνδυαστικής / συνεχούς) Βελτιστοποίησης... Τεχνικές Επίλυσης: Simplex, Interior Point, Ellipsoid, Branch & Bound,... Μοντελοποίηση: Ελαχιστοποίηση κόστους, δεδομένων περιορισμών (κυκλοφορίας, καιρού, κ.λπ.) Λεπτομέρειες Υλοποίησης: ομές αναπαράστασης, σημείο εκκίνησης, αποφυγή κύκλων, αριθμητική αστάθεια,... Αξιολόγηση Λύσεων: Θεωρία υϊκότητας, συνθήκες βελτιστότητας, ανάλυση ευαισθησίας,... Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [3 / 28]

Τεχνολογία Αλγορίθμων Πώς Επιλύουμε ένα Πρόβλημα (συνδυαστικής / συνεχούς) Βελτιστοποίησης... Τεχνικές Επίλυσης: Simplex, Interior Point, Ellipsoid, Branch & Bound,... Μοντελοποίηση: Ελαχιστοποίηση κόστους, δεδομένων περιορισμών (κυκλοφορίας, καιρού, κ.λπ.) Λεπτομέρειες Υλοποίησης: ομές αναπαράστασης, σημείο εκκίνησης, αποφυγή κύκλων, αριθμητική αστάθεια,... Αξιολόγηση Λύσεων: Θεωρία υϊκότητας, συνθήκες βελτιστότητας, ανάλυση ευαισθησίας,... Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [3 / 28]

Γιατί Βελτιστοποίηση; Leonhard Euler: «Nothing happens in the Universe that does not have a sense of either a certain maximum or minimum». Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [4 / 28]

Γιατί Βελτιστοποίηση; Leonhard Euler: «Nothing happens in the Universe that does not have a sense of either a certain maximum or minimum». Σύστημα: Σύνολο οντοτήτων που αλληλεπιδρούν σύμφωνα με συγκεκριμένους κανόνες, για την επίτευξη κάποιου στόχου (πχ, ελαχιστοποίηση κόστους / μεγιστοποίηση κοινωνικής ωφέλειας, κ.λπ.). Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [4 / 28]

Γιατί Βελτιστοποίηση; Leonhard Euler: «Nothing happens in the Universe that does not have a sense of either a certain maximum or minimum». Σύστημα: Σύνολο οντοτήτων που αλληλεπιδρούν σύμφωνα με συγκεκριμένους κανόνες, για την επίτευξη κάποιου στόχου (πχ, ελαχιστοποίηση κόστους / μεγιστοποίηση κοινωνικής ωφέλειας, κ.λπ.). Μοντέλο: Περιγράφει κάποιο σύστημα (πχ, χάρτης που απεικονίζει οδικό δίκτυο, ένα στοχαστικό μοντέλο που μελετά την εξέλιξη της οικονομίας μιας χώρας, κ.λπ.) με σκοπό την πρόβλεψη ή τον υπολογισμό μιας βέλτιστης λύσης (πχ, εξοικονόμηση ενέργειας, μεγιστοποίηση κέρδους, κ.λπ.) ως προς το σύστημα. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [4 / 28]

Γιατί Βελτιστοποίηση; Leonhard Euler: «Nothing happens in the Universe that does not have a sense of either a certain maximum or minimum». Σύστημα: Σύνολο οντοτήτων που αλληλεπιδρούν σύμφωνα με συγκεκριμένους κανόνες, για την επίτευξη κάποιου στόχου (πχ, ελαχιστοποίηση κόστους / μεγιστοποίηση κοινωνικής ωφέλειας, κ.λπ.). Μοντέλο: Περιγράφει κάποιο σύστημα (πχ, χάρτης που απεικονίζει οδικό δίκτυο, ένα στοχαστικό μοντέλο που μελετά την εξέλιξη της οικονομίας μιας χώρας, κ.λπ.) με σκοπό την πρόβλεψη ή τον υπολογισμό μιας βέλτιστης λύσης (πχ, εξοικονόμηση ενέργειας, μεγιστοποίηση κέρδους, κ.λπ.) ως προς το σύστημα. Trade-off: Ακρίβεια του μοντέλου αλλά και δυνατότητα αποδοτικής επίλυσης (computational tractability). Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [4 / 28]

Τι σημαίνει «Βελτιστοποίηση»... ΕΡΩΤΗΣΗ: Ποια απάντηση θα επιστρέψει καθένας από τους ακόλουθους τελεστές ελαχιστοποίησης; min{5 2x : x R} min{y : y = 5 2x; x, y R} Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [5 / 28]

Τι σημαίνει «Βελτιστοποίηση»... ΕΡΩΤΗΣΗ: Ποια απάντηση θα επιστρέψει καθένας από τους ακόλουθους τελεστές ελαχιστοποίησης; min{5 2x : x R} min{y : y = 5 2x; x, y R} min{5 2x : 2 x 2} min{y : y = 5 2x, 2 x 2, y R} Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [5 / 28]

Τι σημαίνει «Βελτιστοποίηση»... ΕΡΩΤΗΣΗ: Ποια απάντηση θα επιστρέψει καθένας από τους ακόλουθους τελεστές ελαχιστοποίησης; min{5 2x : x R} min{y : y = 5 2x; x, y R} min{5 2x : 2 x 2} min{y : y = 5 2x, 2 x 2, y R} min{y = 5 2x : x 2, y 0} Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [5 / 28]

Τι σημαίνει «Βελτιστοποίηση»... ΕΡΩΤΗΣΗ: Ποια απάντηση θα επιστρέψει καθένας από τους ακόλουθους τελεστές ελαχιστοποίησης; min{5 2x : x R} min{y : y = 5 2x; x, y R} min{5 2x : 2 x 2} min{y : y = 5 2x, 2 x 2, y R} min{y = 5 2x : x 2, y 0} min{y = 5 2x : y 2 + 2x, y 0, 2y + x 4} Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [5 / 28]

Τι σημαίνει «Βελτιστοποίηση»... ΕΡΩΤΗΣΗ: Ποια απάντηση θα επιστρέψει καθένας από τους ακόλουθους τελεστές ελαχιστοποίησης; min{5 2x : x R} min{y : y = 5 2x; x, y R} min{5 2x : 2 x 2} min{y : y = 5 2x, 2 x 2, y R} min{y = 5 2x : x 2, y 0} min{y = 5 2x : y 2 + 2x, y 0, 2y + x 4} min{y + 2x : y 2 + 2x, y 0, 2y + x 4} Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [5 / 28]

Τι σημαίνει «Βελτιστοποίηση»... ΕΡΩΤΗΣΗ: Ποια απάντηση θα επιστρέψει καθένας από τους ακόλουθους τελεστές ελαχιστοποίησης; min{5 2x : x R} min{y : y = 5 2x; x, y R} min{5 2x : 2 x 2} min{y : y = 5 2x, 2 x 2, y R} min{y = 5 2x : x 2, y 0} min{y = 5 2x : y 2 + 2x, y 0, 2y + x 4} min{y + 2x : y 2 + 2x, y 0, 2y + x 4} Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [5 / 28]

Τι σημαίνει «Βελτιστοποίηση»... ΕΡΩΤΗΣΗ: Ποια απάντηση θα επιστρέψει καθένας από τους ακόλουθους τελεστές ελαχιστοποίησης; min{5 2x : x R} min{y : y = 5 2x; x, y R} min{5 2x : 2 x 2} min{y : y = 5 2x, 2 x 2, y R} min{y = 5 2x : x 2, y 0} min{y = 5 2x : y 2 + 2x, y 0, 2y + x 4} min{y + 2x : y 2 + 2x, y 0, 2y + x 4} Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [5 / 28]

Τι σημαίνει «Βελτιστοποίηση»... ΕΡΩΤΗΣΗ: Ποια απάντηση θα επιστρέψει καθένας από τους ακόλουθους τελεστές ελαχιστοποίησης; min{5 2x : x R} min{y : y = 5 2x; x, y R} min{5 2x : 2 x 2} min{y : y = 5 2x, 2 x 2, y R} min{y = 5 2x : x 2, y 0} min{y = 5 2x : y 2 + 2x, y 0, 2y + x 4} min{y + 2x : y 2 + 2x, y 0, 2y + x 4} min{5y 2x + 3z : 2x + y 2, 5x y + z 0, y 0, z 0} Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [5 / 28]

Μαθηματικός Προγραμματισμός; Μελέτη στρατηγικών επιλογής τιμών σε ένα σύστημα διαπλεκόμενων παραμέτρων (μεταβλητές απόφασης) που μοντελοποιεί κάποιο πρόβλημα λήψης αποφάσεων, με στόχο την καλύτερη δυνατή τιμή για μια συνάρτηση στόχο (χαρακτηρίζει την ποιότητα της παρεχόμενης λύσης). Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [6 / 28]

Μαθηματικός Προγραμματισμός; Μελέτη στρατηγικών επιλογής τιμών σε ένα σύστημα διαπλεκόμενων παραμέτρων (μεταβλητές απόφασης) που μοντελοποιεί κάποιο πρόβλημα λήψης αποφάσεων, με στόχο την καλύτερη δυνατή τιμή για μια συνάρτηση στόχο (χαρακτηρίζει την ποιότητα της παρεχόμενης λύσης). Κατηγορίες Μαθηματικού Προγραμματισμού: Γραμμικός Προγραμματισμός: Βελτιστοποίηση (της τιμής) γραμμικών συναρτήσεων, δεδομένων περιορισμών που εκφράζονται ως γραμμικές εξισώσεις / ανισότητες. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [6 / 28]

Μαθηματικός Προγραμματισμός; Μελέτη στρατηγικών επιλογής τιμών σε ένα σύστημα διαπλεκόμενων παραμέτρων (μεταβλητές απόφασης) που μοντελοποιεί κάποιο πρόβλημα λήψης αποφάσεων, με στόχο την καλύτερη δυνατή τιμή για μια συνάρτηση στόχο (χαρακτηρίζει την ποιότητα της παρεχόμενης λύσης). Κατηγορίες Μαθηματικού Προγραμματισμού: Γραμμικός Προγραμματισμός: Βελτιστοποίηση (της τιμής) γραμμικών συναρτήσεων, δεδομένων περιορισμών που εκφράζονται ως γραμμικές εξισώσεις / ανισότητες. Μη Γραμμικός Προγραμματισμός: Βελτιστοποίηση (της τιμής) μη γραμμικών συναρτήσεων. ίχως περιορισμούς. Με περιορισμούς που εκφράζονται ως (συνήθως γραμμικές) εξισώσεις / ανισότητες. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [6 / 28]

Προαπαιτούμενα Μαθήματος 1 Στοιχειώδης γνώση γραμμικής άλγεβρας!!! Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [7 / 28]

Προαπαιτούμενα Μαθήματος 1 Στοιχειώδης γνώση γραμμικής άλγεβρας!!! 2 Όρεξη για μάθηση!!! Κατανόηση μιας πλέον ώριμης τεχνολογίας επίλυσης προβλημάτων. υνατότητα αξιοποίησης του ΜΠ ως μοντέλου αναπαράστασης προβλημάτων βελτιστοποίησης. Ερμηνεία των παρεχόμενων λύσεων του ΜΠ, σε σχέση με το πραγματικό προς επίλυση πρόβλημα. Παρουσίαση επιλεγμένων θεμάτων από τους ίδιους τους φοιτητές. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [7 / 28]

Προαπαιτούμενα Μαθήματος 1 Στοιχειώδης γνώση γραμμικής άλγεβρας!!! 2 Όρεξη για μάθηση!!! Κατανόηση μιας πλέον ώριμης τεχνολογίας επίλυσης προβλημάτων. υνατότητα αξιοποίησης του ΜΠ ως μοντέλου αναπαράστασης προβλημάτων βελτιστοποίησης. Ερμηνεία των παρεχόμενων λύσεων του ΜΠ, σε σχέση με το πραγματικό προς επίλυση πρόβλημα. Παρουσίαση επιλεγμένων θεμάτων από τους ίδιους τους φοιτητές. 3 ιάθεση για πειραματισμό!!! Αρκετα (απλά) προγραμματιστικά παραδείγματα (σε Matlab, ή C++), για καλύτερη κατανόηση της ύλης. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [7 / 28]

Προαπαιτούμενα Μαθήματος 4 Ενεργή συμμετοχή στις διαλέξεις!!! Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [7 / 28] 1 Στοιχειώδης γνώση γραμμικής άλγεβρας!!! 2 Όρεξη για μάθηση!!! Κατανόηση μιας πλέον ώριμης τεχνολογίας επίλυσης προβλημάτων. υνατότητα αξιοποίησης του ΜΠ ως μοντέλου αναπαράστασης προβλημάτων βελτιστοποίησης. Ερμηνεία των παρεχόμενων λύσεων του ΜΠ, σε σχέση με το πραγματικό προς επίλυση πρόβλημα. Παρουσίαση επιλεγμένων θεμάτων από τους ίδιους τους φοιτητές. 3 ιάθεση για πειραματισμό!!! Αρκετα (απλά) προγραμματιστικά παραδείγματα (σε Matlab, ή C++), για καλύτερη κατανόηση της ύλης.

Σκελετός Ομιλίας 1 Εισαγωγικά 2 Παραδείγματα Γραμμικών Προγραμμάτων Οικονομίες Leontief Πρόβλημα της ίαιτας Επιλογή Επενδυτικού Προγράμματος Πρόβλημα Παραγωγής 3 Ιστορική Αναδρομή ΓΠ Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [8 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1: Οικονομίες Leontief (Ι) n τομείς παραγωγής (ένα προϊόν ανά τομέα). A[k, j]: Η ποσότητα του προϊόντος (του τομέα) k που καταναλώνεται για παρασκευή μιας μονάδας του προϊόντος (του τομέα) j. x[k]: Η συνολική ποσότητα του προϊόντος (που παράγεται στον τομέα) k. d[k]: Η συνολική ποσότητα του προϊόντος k που προορίζεται (όχι για παραγωγή άλλων προϊόντων, αλλά) για διατήρηση ως απόθεμα (πχ, προκειμένου να καταναλωθεί από τρίτους). Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [9 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1: Οικονομίες Leontief (Ι) n τομείς παραγωγής (ένα προϊόν ανά τομέα). A[k, j]: Η ποσότητα του προϊόντος (του τομέα) k που καταναλώνεται για παρασκευή μιας μονάδας του προϊόντος (του τομέα) j. x[k]: Η συνολική ποσότητα του προϊόντος (που παράγεται στον τομέα) k. d[k]: Η συνολική ποσότητα του προϊόντος k που προορίζεται (όχι για παραγωγή άλλων προϊόντων, αλλά) για διατήρηση ως απόθεμα (πχ, προκειμένου να καταναλωθεί από τρίτους). Περιορισμός εισροών εκροών: Σε κάθε τομέα παραγωγής, θα πρέπει η συνολική ποσότητα που παραγόμενου προϊόντος του να ισούται με αυτήν που καταναλίσκεται για παραγωγή προϊόντων, συν την προς αποθήκευση ποσότητα του προϊόντος. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [9 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1: Οικονομίες Leontief (ΙΙ) A[k, j] 0 (σταθεροί συντελεστές παραγωγής, μη αρνητικοί). x[k] 0 (μεταβλητές απόφασης για ποσότητα παραγωγής, μη αρνητικές). d[k] 0 (σταθεροί όροι, μη αρνητικοί). Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [10 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1: Οικονομίες Leontief (ΙΙ) A[k, j] 0 (σταθεροί συντελεστές παραγωγής, μη αρνητικοί). x[k] 0 (μεταβλητές απόφασης για ποσότητα παραγωγής, μη αρνητικές). d[k] 0 (σταθεροί όροι, μη αρνητικοί). Ισορροπία εισροών εκροών: Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [10 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1: Οικονομίες Leontief (ΙΙ) A[k, j] 0 (σταθεροί συντελεστές παραγωγής, μη αρνητικοί). x[k] 0 (μεταβλητές απόφασης για ποσότητα παραγωγής, μη αρνητικές). d[k] 0 (σταθεροί όροι, μη αρνητικοί). Ισορροπία εισροών εκροών: k {1,..., n}, x[k] n j=1 A[k, j] x[j] = d[k] Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [10 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1: Οικονομίες Leontief (ΙΙ) A[k, j] 0 (σταθεροί συντελεστές παραγωγής, μη αρνητικοί). x[k] 0 (μεταβλητές απόφασης για ποσότητα παραγωγής, μη αρνητικές). d[k] 0 (σταθεροί όροι, μη αρνητικοί). Ισορροπία εισροών εκροών: k {1,..., n}, x[k] n j=1 A[k, j] x[j] = d[k] Αναπαράσταση σε μορφή μητρώων (πινάκων): [I A]x = d, x 0 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [10 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1: Οικονομίες Leontief (ΙΙ) A[k, j] 0 (σταθεροί συντελεστές παραγωγής, μη αρνητικοί). x[k] 0 (μεταβλητές απόφασης για ποσότητα παραγωγής, μη αρνητικές). d[k] 0 (σταθεροί όροι, μη αρνητικοί). Ισορροπία εισροών εκροών: k {1,..., n}, x[k] n j=1 A[k, j] x[j] = d[k] Αναπαράσταση σε μορφή μητρώων (πινάκων): [I A]x = d, x 0 ΠΡΟΣΟΧΗ: Πρόκειται για γραμμικό σύστημα εξισώσεων ανισοτήτων, όχι για γραμμικό πρόγραμμα (ΓΙΑΤΙ;). Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [10 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2: Πρόβλημα της ίαιτας (Ι) Ο Κώστας θέλει να ακολουθήσει μια υγιεινή διατροφή αλλά έχει μόνο ένα πεπερασμένο εισόδημα. Θέλει να ξοδέψει όσο το δυνατόν λιγότερα χρήματα, έτσι όμως ώστε να ικανοποιούνται οι διατροφικές του ανάγκες ανά ημέρα. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [11 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2: Πρόβλημα της ίαιτας ΒΗΜΑ 1: Καταγραφή δεδομένων Είδος οσολογία Θερμίδες (kcal) Πρωτεΐνη (gr) Ασβέστιο (mgr) Τιμή (ευρώ) ημητριακά 28gr 110 4 2 0.3 Κοτόπουλο 100gr 205 32 12 2.4 Αβγά 2 160 13 54 1.3 Γάλα 237ml 160 8 285 0.9 Γλυκό 170gr 420 4 22 0.2 Χοιρινό 260 260 14 80 1.9 Ο διαιτολόγος δίνει στον Κώστα το μητρώο δεδομένων, και τις ποσότητες για την κατάρτιση μιας υγιεινής ημερήσιας διατροφής. Πρέπει να λαμβάνει τουλάχιστον: 2000 Kcals. 55gr πρωτεΐνης. 800mgr ασβέστιο. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [12 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2: Πρόβλημα της ίαιτας ΒΗΜΑ 2: Μεταβλητές (Λήψης) Απόφασης Είδος οσολογία Θερμίδες (kcal) Πρωτεΐνη (gr) Ασβέστιο (mgr) Τιμή (ευρώ) ημητριακά 28gr 110 4 2 0.3 Κοτόπουλο 100gr 205 32 12 2.4 Αβγά 2 160 13 54 1.3 Γάλα 237ml 160 8 285 0.9 Γλυκό 170gr 420 4 22 0.2 Χοιρινό 260 260 14 80 1.9 Εστω ότι ο Κώστας λαμβάνει ημερησίως: x 1 «μονάδες» δημητριακά. x 4 «μονάδες» γάλα. x 2 «μονάδες» κοτόπουλο. x 5 «μονάδες» γλυκό. x 3 «μονάδες» αβγά. x 6 «μονάδες» χοιρινό. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [13 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2: Πρόβλημα της ίαιτας ΒΗΜΑ 2: Μεταβλητές (Λήψης) Απόφασης Είδος οσολογία Θερμίδες (kcal) Πρωτεΐνη (gr) Ασβέστιο (mgr) Τιμή (ευρώ) ημητριακά 28gr 110 4 2 0.3 Κοτόπουλο 100gr 205 32 12 2.4 Αβγά 2 160 13 54 1.3 Γάλα 237ml 160 8 285 0.9 Γλυκό 170gr 420 4 22 0.2 Χοιρινό 260 260 14 80 1.9 Εστω ότι ο Κώστας λαμβάνει ημερησίως: x 1 «μονάδες» δημητριακά. x 4 «μονάδες» γάλα. x 2 «μονάδες» κοτόπουλο. x 5 «μονάδες» γλυκό. x 3 «μονάδες» αβγά. x 6 «μονάδες» χοιρινό. Περιορισμοί; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [13 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2: Πρόβλημα της ίαιτας ΒΗΜΑ 3: Αποτύπωση (μη τετριμμένων) Περιορισμών και Στόχου Είδος οσολογία Θερμίδες (kcal) Πρωτεΐνη (gr) Ασβέστιο (mgr) Τιμή (ευρώ) ημητριακά 28gr 110x 1 4x 1 2x 1 0.3 Κοτόπουλο 100gr +205x 2 +32x 2 +12x 2 2.4 Αβγά 2 +160x 3 +13x 3 +54x 3 1.3 Γάλα 237ml +160x 4 +8x 4 +285x 4 0.9 Γλυκό 170gr +420x 5 +4x 5 +22x 5 0.2 Χοιρινό 260 +260x 6 +14x 6 +80x 6 1.9 Περιορισμοί 2000 55 800 Εστω ότι ο Κώστας λαμβάνει ημερησίως: x 1 «μονάδες» δημητριακά. x 4 «μονάδες» γάλα. x 2 «μονάδες» κοτόπουλο. x 5 «μονάδες» γλυκό. x 3 «μονάδες» αβγά. x 6 «μονάδες» χοιρινό. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [14 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2: Πρόβλημα της ίαιτας ΒΗΜΑ 3: Αποτύπωση (μη τετριμμένων) Περιορισμών και Στόχου Είδος οσολογία Θερμίδες (kcal) Πρωτεΐνη (gr) Ασβέστιο (mgr) Τιμή (ευρώ) ημητριακά 28gr 110x 1 4x 1 2x 1 0.3 Κοτόπουλο 100gr +205x 2 +32x 2 +12x 2 2.4 Αβγά 2 +160x 3 +13x 3 +54x 3 1.3 Γάλα 237ml +160x 4 +8x 4 +285x 4 0.9 Γλυκό 170gr +420x 5 +4x 5 +22x 5 0.2 Χοιρινό 260 +260x 6 +14x 6 +80x 6 1.9 Περιορισμοί 2000 55 800 Εστω ότι ο Κώστας λαμβάνει ημερησίως: x 1 «μονάδες» δημητριακά. x 4 «μονάδες» γάλα. x 2 «μονάδες» κοτόπουλο. x 5 «μονάδες» γλυκό. x 3 «μονάδες» αβγά. x 6 «μονάδες» χοιρινό. Στόχος; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [14 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2: Πρόβλημα της ίαιτας ΒΗΜΑ 3: Αποτύπωση (μη τετριμμένων) Περιορισμών και Στόχου Είδος οσολογία Θερμίδες (kcal) Πρωτεΐνη (gr) Ασβέστιο (mgr) Τιμή (ευρώ) ημητριακά 28gr 110x 1 4x 1 2x 1 0.3x 1 Κοτόπουλο 100gr +205x 2 +32x 2 +12x 2 + 2.4x 2 Αβγά 2 +160x 3 +13x 3 +54x 3 + 1.3x 3 Γάλα 237ml +160x 4 +8x 4 +285x 4 + 0.9x 4 Γλυκό 170gr +420x 5 +4x 5 +22x 5 + 0.2x 5 Χοιρινό 260 +260x 6 +14x 6 +80x 6 + 1.9x 6 Περιορισμοί 2000 55 800 Εστω ότι ο Κώστας λαμβάνει ημερησίως: x 1 «μονάδες» δημητριακά. x 4 «μονάδες» γάλα. x 2 «μονάδες» κοτόπουλο. x 5 «μονάδες» γλυκό. x 3 «μονάδες» αβγά. x 6 «μονάδες» χοιρινό. Στόχος; min.{0.3x 1 + 2.4x 2 + 1.3x 3 + 0.9x 4 + 0.2x 5 + 1.9x 6 } Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [14 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2: Πρόβλημα της ίαιτας ΒΗΜΑ 4: Μοντελοποίηση minimize 0.3x 1 +2.4x 2 +1.3x 3 +0.9x 4 +2x 5 +1.9x 6 συνάρτηση στόχος Subject to : μη τετριμμένοι περιορισμοί 110x 1 +205x 2 +160x 3 +160x 4 +420x 5 +260x 6 2000 4x 1 +32x 2 +13x 3 +8x 4 +4x 5 +14x 6 55 2x 1 +12x 2 +54x 3 +285x 4 +22x 5 +80x 6 800 περιορισμοί προσήμου x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0, x 5 0, x 6 0 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [15 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2: Πρόβλημα της ίαιτας ΒΗΜΑ 4: Μοντελοποίηση Επίλυση minimize 0.3x 1 +2.4x 2 +1.3x 3 +0.9x 4 +2x 5 +1.9x 6 συνάρτηση στόχος Subject to : μη τετριμμένοι περιορισμοί 110x 1 +205x 2 +160x 3 +160x 4 +420x 5 +260x 6 2000 4x 1 +32x 2 +13x 3 +8x 4 +4x 5 +14x 6 55 2x 1 +12x 2 +54x 3 +285x 4 +22x 5 +80x 6 800 Επόμενα Βήματα: περιορισμοί προσήμου x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0, x 5 0, x 6 0 1 Υπολογισμός βέλτιστης λύσης (μοντέλου): x 1 = 14.24; x 2 = x 3 = 0; x 4 = 2.707; x 5 = x 6 = 0. 2 Κόστος Βέλτιστης Λύσης: 6.7083 ευρώ ανά ημέρα. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [15 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2: Πρόβλημα της ίαιτας ΒΗΜΑ 4: Μοντελοποίηση Επίλυση Επαναπροσδιορισμός Μοντέλου minimize 0.3x 1 +2.4x 2 +1.3x 3 +0.9x 4 +2x 5 +1.9x 6 συνάρτηση στόχος Subject to : μη τετριμμένοι περιορισμοί 110x 1 +205x 2 +160x 3 +160x 4 +420x 5 +260x 6 2000 4x 1 +32x 2 +13x 3 +8x 4 +4x 5 +14x 6 55 2x 1 +12x 2 +54x 3 +285x 4 +22x 5 +80x 6 800 Επόμενα Βήματα: περιορισμοί προσήμου x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0, x 5 0, x 6 0 1 Υπολογισμός βέλτιστης λύσης (μοντέλου): x 1 = 14.24; x 2 = x 3 = 0; x 4 = 2.707; x 5 = x 6 = 0. 2 Κόστος Βέλτιστης Λύσης: 6.7083 ευρώ ανά ημέρα. 3 Αξιολόγηση λύσης και επαναπροσδιορισμός μοντέλου. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [15 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3: Επενδυτικό Πρόγραμμα Εταιρεία επενδύει 80K ευρώ σε κοινές (c), προνομιούχες (p) μετοχές και σε ομόλογα του δημοσίου (o). Κοινές & προνομιούχες μετοχές Υψηλό ρίσκο. Επένδυση το πολύ 25% του κεφαλαίου σε αυτές. Το πολύ 75% της επένδυσης Κ+Π για Π. Τουλάχιστον 20% της συνολικής επένδυσης, σε ομόλογα. Αναμενόμενη απόδοση: 15% για κοινές, 17% για προνομιούχες, και 12% για ομόλογα. Στόχος: Η μεγιστοποίηση της απόδοσης της επένδυσης. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [16 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3: Επενδυτικό Πρόγραμμα Εταιρεία επενδύει 80K ευρώ σε κοινές (c), προνομιούχες (p) μετοχές και σε ομόλογα του δημοσίου (o). x c 0, x p 0, x o 0, x c + x p + x o = 80000 Κοινές & προνομιούχες μετοχές Υψηλό ρίσκο. Επένδυση το πολύ 25% του κεφαλαίου σε αυτές. Το πολύ 75% της επένδυσης Κ+Π για Π. Τουλάχιστον 20% της συνολικής επένδυσης, σε ομόλογα. Αναμενόμενη απόδοση: 15% για κοινές, 17% για προνομιούχες, και 12% για ομόλογα. Στόχος: Η μεγιστοποίηση της απόδοσης της επένδυσης. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [16 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3: Επενδυτικό Πρόγραμμα Εταιρεία επενδύει 80K ευρώ σε κοινές (c), προνομιούχες (p) μετοχές και σε ομόλογα του δημοσίου (o). x c 0, x p 0, x o 0, x c + x p + x o = 80000 Κοινές & προνομιούχες μετοχές Υψηλό ρίσκο. Επένδυση το πολύ 25% του κεφαλαίου σε αυτές. x c + x p 20000 Το πολύ 75% της επένδυσης Κ+Π για Π. Τουλάχιστον 20% της συνολικής επένδυσης, σε ομόλογα. Αναμενόμενη απόδοση: 15% για κοινές, 17% για προνομιούχες, και 12% για ομόλογα. Στόχος: Η μεγιστοποίηση της απόδοσης της επένδυσης. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [16 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3: Επενδυτικό Πρόγραμμα Εταιρεία επενδύει 80K ευρώ σε κοινές (c), προνομιούχες (p) μετοχές και σε ομόλογα του δημοσίου (o). x c 0, x p 0, x o 0, x c + x p + x o = 80000 Κοινές & προνομιούχες μετοχές Υψηλό ρίσκο. Επένδυση το πολύ 25% του κεφαλαίου σε αυτές. x c + x p 20000 Το πολύ 75% της επένδυσης Κ+Π για Π. 3x c x p 0 Τουλάχιστον 20% της συνολικής επένδυσης, σε ομόλογα. Αναμενόμενη απόδοση: 15% για κοινές, 17% για προνομιούχες, και 12% για ομόλογα. Στόχος: Η μεγιστοποίηση της απόδοσης της επένδυσης. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [16 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3: Επενδυτικό Πρόγραμμα Εταιρεία επενδύει 80K ευρώ σε κοινές (c), προνομιούχες (p) μετοχές και σε ομόλογα του δημοσίου (o). x c 0, x p 0, x o 0, x c + x p + x o = 80000 Κοινές & προνομιούχες μετοχές Υψηλό ρίσκο. Επένδυση το πολύ 25% του κεφαλαίου σε αυτές. x c + x p 20000 Το πολύ 75% της επένδυσης Κ+Π για Π. 3x c x p 0 Τουλάχιστον 20% της συνολικής επένδυσης, σε ομόλογα. x o 16000 Αναμενόμενη απόδοση: 15% για κοινές, 17% για προνομιούχες, και 12% για ομόλογα. Στόχος: Η μεγιστοποίηση της απόδοσης της επένδυσης. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [16 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3: Επενδυτικό Πρόγραμμα Εταιρεία επενδύει 80K ευρώ σε κοινές (c), προνομιούχες (p) μετοχές και σε ομόλογα του δημοσίου (o). x c 0, x p 0, x o 0, x c + x p + x o = 80000 Κοινές & προνομιούχες μετοχές Υψηλό ρίσκο. Επένδυση το πολύ 25% του κεφαλαίου σε αυτές. x c + x p 20000 Το πολύ 75% της επένδυσης Κ+Π για Π. 3x c x p 0 Τουλάχιστον 20% της συνολικής επένδυσης, σε ομόλογα. x o 16000 Αναμενόμενη απόδοση: 15% για κοινές, 17% για προνομιούχες, και 12% για ομόλογα. Στόχος: Η μεγιστοποίηση της απόδοσης της επένδυσης. max. f(x c, x p, x o ) = 1.15 x c + 1.17 x p + 1.12 x o 80000 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [16 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3: Επενδυτικό Πρόγραμμα Μοντελοποίηση maximize 1.15x c +1.17x p +1.12x o 80000 subject to : x c +x p +x o = 80000 x c +x p 20000 3x c x p 0 x o 16000 x c 0 x p 0 x o 0 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [17 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3: Επενδυτικό Πρόγραμμα Μοντελοποίηση Απλοποίηση maximize 1.15x c +1.17x p +1.12x o 80000 subject to : x c +x p +x o = 80000 x c +x p 20000 3x c x p 0 x o 16000 x c 0 x p 0 x o 0 1 maximize 100 (3xc +5xp) +9600 subject to : x c +x p +x o = 80000 x c +x p 20000 3x c x p 0 x c +x p 64000 x c 0 x p 0 x o 0 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [17 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3: Επενδυτικό Πρόγραμμα Μοντελοποίηση Απλοποίηση Επίλυση 1 maximize 100 (3xc +5xp) +9600 subject to : x c +x p +x o = 80000 x c +x p 20000 3x c x p 0 x c +x p 64000 x c 0 x p 0 x o 0 xp + xc = 20000 xp xp - 3xc = 0 Βέλτιστη λύση; xc Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [17 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3: Επενδυτικό Πρόγραμμα Μοντελοποίηση Απλοποίηση Επίλυση 1 maximize 100 (3xc +5xp) +9600 subject to : x c +x p +x o = 80000 x c +x p 20000 3x c x p 0 x c +x p 64000 x c 0 x p 0 x o 0 xp + xc = 20000 xp xp - 3xc = 0 Βέλτιστη λύση; x c = 5000, x p = 15000. Για το αρχικό πρόβλημα; xc Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [17 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3: Επενδυτικό Πρόγραμμα Μοντελοποίηση Απλοποίηση Επίλυση Ερμηνεία Λύσης 1 maximize 100 (3xc +5xp) +9600 subject to : x c +x p +x o = 80000 x c +x p 20000 3x c x p 0 x c +x p 64000 x c 0 x p 0 x o 0 xp + xc = 20000 xp xp - 3xc = 0 Βέλτιστη λύση; x c = 5000, x p = 15000. xc Για το αρχικό πρόβλημα; x c = 5000, x p = 15000, x o = 60000, αξία: 10500 ευρώ. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [17 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μια φάρμα παράγει 22 λίτρα γάλα ανά εβδομάδα. Ο αγρότης παράγει από το γάλα παγωτό και βούτυρο. Κάθε κιλό βουτύρου απαιτεί 2 λίτρα γάλα. Κάθε κιλό παγωτού απαιτεί 3 λίτρα γάλα: Το ψυγείο του χωρά απεριόριστη ποσότητα βουτύρου, αλλά το πολύ 6 κιλά παγωτού: Ο αγρότης εργάζεται το πολύ 6 ώρες ανά εβδομάδα. Απαιτείται μια ώρα εργασίας για την παραγωγή 4 κιλών παγωτού, ή 1 κιλού βουτύρου: Το παγωτό πωλείται προς 5 ευρώ το κιλό, ενώ το βούτυρο προς 4 ευρώ το κιλό. Ποια η αναλογία παγωτού / βουτύρου που μεγιστοποιεί τον τζίρο του αγρότη; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [18 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μια φάρμα παράγει 22 λίτρα γάλα ανά εβδομάδα. Ο αγρότης παράγει από το γάλα παγωτό και βούτυρο. Κάθε κιλό βουτύρου απαιτεί 2 λίτρα γάλα. Κάθε κιλό παγωτού απαιτεί 3 λίτρα γάλα: 2x b + 3x i 22 Το ψυγείο του χωρά απεριόριστη ποσότητα βουτύρου, αλλά το πολύ 6 κιλά παγωτού: Ο αγρότης εργάζεται το πολύ 6 ώρες ανά εβδομάδα. Απαιτείται μια ώρα εργασίας για την παραγωγή 4 κιλών παγωτού, ή 1 κιλού βουτύρου: Το παγωτό πωλείται προς 5 ευρώ το κιλό, ενώ το βούτυρο προς 4 ευρώ το κιλό. Ποια η αναλογία παγωτού / βουτύρου που μεγιστοποιεί τον τζίρο του αγρότη; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [18 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μια φάρμα παράγει 22 λίτρα γάλα ανά εβδομάδα. Ο αγρότης παράγει από το γάλα παγωτό και βούτυρο. Κάθε κιλό βουτύρου απαιτεί 2 λίτρα γάλα. Κάθε κιλό παγωτού απαιτεί 3 λίτρα γάλα: 2x b + 3x i 22 Το ψυγείο του χωρά απεριόριστη ποσότητα βουτύρου, αλλά το πολύ 6 κιλά παγωτού: x i 6 Ο αγρότης εργάζεται το πολύ 6 ώρες ανά εβδομάδα. Απαιτείται μια ώρα εργασίας για την παραγωγή 4 κιλών παγωτού, ή 1 κιλού βουτύρου: Το παγωτό πωλείται προς 5 ευρώ το κιλό, ενώ το βούτυρο προς 4 ευρώ το κιλό. Ποια η αναλογία παγωτού / βουτύρου που μεγιστοποιεί τον τζίρο του αγρότη; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [18 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μια φάρμα παράγει 22 λίτρα γάλα ανά εβδομάδα. Ο αγρότης παράγει από το γάλα παγωτό και βούτυρο. Κάθε κιλό βουτύρου απαιτεί 2 λίτρα γάλα. Κάθε κιλό παγωτού απαιτεί 3 λίτρα γάλα: 2x b + 3x i 22 Το ψυγείο του χωρά απεριόριστη ποσότητα βουτύρου, αλλά το πολύ 6 κιλά παγωτού: x i 6 Ο αγρότης εργάζεται το πολύ 6 ώρες ανά εβδομάδα. Απαιτείται μια ώρα εργασίας για την παραγωγή 4 κιλών παγωτού, ή 1 κιλού βουτύρου: x b + 0.25x i 6 Το παγωτό πωλείται προς 5 ευρώ το κιλό, ενώ το βούτυρο προς 4 ευρώ το κιλό. Ποια η αναλογία παγωτού / βουτύρου που μεγιστοποιεί τον τζίρο του αγρότη; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [18 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μια φάρμα παράγει 22 λίτρα γάλα ανά εβδομάδα. Ο αγρότης παράγει από το γάλα παγωτό και βούτυρο. Κάθε κιλό βουτύρου απαιτεί 2 λίτρα γάλα. Κάθε κιλό παγωτού απαιτεί 3 λίτρα γάλα: 2x b + 3x i 22 Το ψυγείο του χωρά απεριόριστη ποσότητα βουτύρου, αλλά το πολύ 6 κιλά παγωτού: x i 6 Ο αγρότης εργάζεται το πολύ 6 ώρες ανά εβδομάδα. Απαιτείται μια ώρα εργασίας για την παραγωγή 4 κιλών παγωτού, ή 1 κιλού βουτύρου: x b + 0.25x i 6 Το παγωτό πωλείται προς 5 ευρώ το κιλό, ενώ το βούτυρο προς 4 ευρώ το κιλό. Ποια η αναλογία παγωτού / βουτύρου που μεγιστοποιεί τον τζίρο του αγρότη; max. 4x b + 5x i Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [18 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μοντελοποίηση Προβλήματος κι Επίλυση maximize 4x b +5x i subject to : 2x b +3x i 22 x b +0.25x i 6 x i 6 x b 0 x i 0 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [19 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μοντελοποίηση Προβλήματος κι Επίλυση maximize 4x b +5x i subject to : 2x b +3x i 22 Συμπαγείς Ευθείες (υπερεπίπεδα): Οριοθετούν το χώρο εφικτών λύσεων (σκιασμένη περιοχή). x b +0.25x i 6 x b 0 x i 0 Ισοσταθμικές (διακεκομμένες) Ευθείες: Σημεία που εξασφαλίζουν συγκεκριμένες τιμές συνάρτησης στόχου (τζίρος). x i 6 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [19 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μοντελοποίηση Προβλήματος κι Επίλυση maximize 4x b +5x i subject to : 2x b +3x i 22 x b +0.25x i 6 x i 6 x b 0 x i 0 Συμπαγείς Ευθείες (υπερεπίπεδα): Οριοθετούν το χώρο εφικτών λύσεων (σκιασμένη περιοχή). 25 xb + 0.25 xi =< 6 Ισοσταθμικές (διακεκομμένες) Ευθείες: Σημεία που εξασφαλίζουν συγκεκριμένες τιμές συνάρτησης στόχου (τζίρος). xi 4xb + 5xi = 40 xi =< 6 4xb + 5xi = 20 2xb + 3xi =< 22 4xb + 5xi = 30 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [19 / 28] x b 10

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μοντελοποίηση Προβλήματος κι Επίλυση maximize 4x b +5x i subject to : 2x b +3x i 22 Συμπαγείς Ευθείες (υπερεπίπεδα): Οριοθετούν το χώρο εφικτών λύσεων (σκιασμένη περιοχή). x b +0.25x i 6 x b 0 x i 0 Ισοσταθμικές (διακεκομμένες) Ευθείες: Σημεία που εξασφαλίζουν συγκεκριμένες τιμές συνάρτησης στόχου (τζίρος). Βέλτιστη λύση; x i 6 25 xi xb + 0.25 xi =< 6 4xb + 5xi = 40 x b xi =< 6 4xb + 5xi = 20 2xb + 3xi =< 22 4xb + 5xi = 30 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [19 / 28] 10

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μοντελοποίηση Προβλήματος κι Επίλυση maximize 4x b +5x i subject to : 2x b +3x i 22 Συμπαγείς Ευθείες (υπερεπίπεδα): Οριοθετούν το χώρο εφικτών λύσεων (σκιασμένη περιοχή). x b +0.25x i 6 x b 0 x i 0 Ισοσταθμικές (διακεκομμένες) Ευθείες: Σημεία που εξασφαλίζουν συγκεκριμένες τιμές συνάρτησης στόχου (τζίρος). Βέλτιστη λύση; (x b, x i ) = (5, 4). x i 6 25 xi xb + 0.25 xi =< 6 4xb + 5xi = 40 x b xi =< 6 4xb + 5xi = 20 2xb + 3xi =< 22 4xb + 5xi = 30 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [19 / 28] 10

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μια παραλλαγή... Ερώτηση 1: Τι θα γινόταν αν ο αγρότης δοκίμαζε να μεταβάλει μόνο την τιμή p i του παγωτού; Μέχρι ποιο σημείο μπορεί να γίνει αυτή η μεταβολή (δεδομένης της μη αρνητικότητάς της), δίχως να αλλάξει η βέλτιστη λύση; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [20 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μια παραλλαγή... Ερώτηση 1: Τι θα γινόταν αν ο αγρότης δοκίμαζε να μεταβάλει μόνο την τιμή p i του παγωτού; Μέχρι ποιο σημείο μπορεί να γίνει αυτή η μεταβολή (δεδομένης της μη αρνητικότητάς της), δίχως να αλλάξει η βέλτιστη λύση; Απάντηση: Μεταβολή του p i Ισοσταθμικές διαφορετικής κλίσης. Μέγιστη/ελάχιστη τιμή παγωτού ώστε είναι βέλτιστη λύση το (x b = 5, x i = 4); Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [20 / 28]

2xb + 3xi =< 22 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μια παραλλαγή... Ερώτηση 1: Τι θα γινόταν αν ο αγρότης δοκίμαζε να μεταβάλει μόνο την τιμή p i του παγωτού; Μέχρι ποιο σημείο μπορεί να γίνει αυτή η μεταβολή (δεδομένης της μη αρνητικότητάς της), δίχως να αλλάξει η βέλτιστη λύση; Απάντηση: Μεταβολή του p i Ισοσταθμικές διαφορετικής κλίσης. Μέγιστη/ελάχιστη τιμή παγωτού ώστε είναι βέλτιστη λύση το (x b = 5, x i = 4); p max i = 6, p min i = 1. 25 xb + 0.25 xi =< 6 xi 4xb + 5xi = 40 xi =< 6 4xb + 5xi = 20 x b 4xb + 5xi = 30 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [20 / 28] 10

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μια παραλλαγή... Ερώτηση 1: Τι θα γινόταν αν ο αγρότης δοκίμαζε να μεταβάλει μόνο την τιμή p i του παγωτού; Μέχρι ποιο σημείο μπορεί να γίνει αυτή η μεταβολή (δεδομένης της μη αρνητικότητάς της), δίχως να αλλάξει η βέλτιστη λύση; Απάντηση: Μεταβολή του p i Ισοσταθμικές διαφορετικής κλίσης. Μέγιστη/ελάχιστη τιμή παγωτού ώστε είναι βέλτιστη λύση το (x b = 5, x i = 4); p max i = 6, p min i = 1. Εξήγηση: Εστω ότι η νέα τιμή του παγωτού γίνεται p i = 5 + γ, για κάποιο γ > 5. Ισοσταθμικά υπερεπίπεδα: x i = δ 5+γ 4 x b, για σταθερές δ. Κόκκινο υπερεπίπεδο: x i = 24 4x b. Πράσινο υπερεπίπεδο: x i = 22 3 2 3 x b. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [20 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μια παραλλαγή... Ερώτηση 1: Τι θα γινόταν αν ο αγρότης δοκίμαζε να μεταβάλει μόνο την τιμή p i του παγωτού; Μέχρι ποιο σημείο μπορεί να γίνει αυτή η μεταβολή (δεδομένης της μη αρνητικότητάς της), δίχως να αλλάξει η βέλτιστη λύση; Απάντηση: Μεταβολή του p i Ισοσταθμικές διαφορετικής κλίσης. Μέγιστη/ελάχιστη τιμή παγωτού ώστε είναι βέλτιστη λύση το (x b = 5, x i = 4); p max i = 6, p min i = 1. Εξήγηση: Εστω ότι η νέα τιμή του παγωτού γίνεται p i = 5 + γ, για κάποιο γ > 5. Ισοσταθμικά υπερεπίπεδα: x i = δ 5+γ 4 x b, για σταθερές δ. Κόκκινο υπερεπίπεδο: x i = 24 4x b. Πράσινο υπερεπίπεδο: x i = 22 3 2 3 x b. 2 3 5+γ 4 4 γ [ 4, 1] p i [1, 6]. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [20 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μια παραλλαγή... Ερώτηση 1: Τι θα γινόταν αν ο αγρότης δοκίμαζε να μεταβάλει μόνο την τιμή p i του παγωτού; Μέχρι ποιο σημείο μπορεί να γίνει αυτή η μεταβολή (δεδομένης της μη αρνητικότητάς της), δίχως να αλλάξει η βέλτιστη λύση; Απάντηση: Μεταβολή του p i Ισοσταθμικές διαφορετικής κλίσης. Μέγιστη/ελάχιστη τιμή παγωτού ώστε είναι βέλτιστη λύση το (x b = 5, x i = 4); p max i = 6, p min i = 1. 25 xb + 0.25 xi =< 6 xi 4xb + 5xi = 40 xi =< 6 4xb + 5xi = 20 2xb + 3xi =< 22 4xb + 5xi = 30 xb Ερώτηση 2: Βέλτιστη λύση για p i = 6.01, ή p i = 0.99; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [20 / 28] 10

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μια άλλη παραλλαγή... Ερώτηση 3: Πώς αλλάζει το πρόβλημα, αν ο αγρότης μπορεί να αγοράσει y λίτρα γάλα επιπλέον, προς 1 ευρώ το λίτρο, για να φτιάξει βούτυρο και παγωτό; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [21 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μια άλλη παραλλαγή... Ερώτηση 3: Πώς αλλάζει το πρόβλημα, αν ο αγρότης μπορεί να αγοράσει y λίτρα γάλα επιπλέον, προς 1 ευρώ το λίτρο, για να φτιάξει βούτυρο και παγωτό; Απάντηση: Θα αγοραστούν επιπλέον 5 λίτρα γάλακτος. Μεταβλητή απόφασης y ποσότητα γάλακτος που αγοράζεται. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [21 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μια άλλη παραλλαγή... Ερώτηση 3: Πώς αλλάζει το πρόβλημα, αν ο αγρότης μπορεί να αγοράσει y λίτρα γάλα επιπλέον, προς 1 ευρώ το λίτρο, για να φτιάξει βούτυρο και παγωτό; Απάντηση: Θα αγοραστούν επιπλέον 5 λίτρα γάλακτος. Μεταβλητή απόφασης y ποσότητα γάλακτος που αγοράζεται. Νέο ΓΠ; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [21 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μια άλλη παραλλαγή... Ερώτηση 3: Πώς αλλάζει το πρόβλημα, αν ο αγρότης μπορεί να αγοράσει y λίτρα γάλα επιπλέον, προς 1 ευρώ το λίτρο, για να φτιάξει βούτυρο και παγωτό; Απάντηση: Θα αγοραστούν επιπλέον 5 λίτρα γάλακτος. Μεταβλητή απόφασης y ποσότητα γάλακτος που αγοράζεται. maximize 4x b +5x i y Νέο ΓΠ; Απλούστερη μορφή; subject to : 2x b +3x i y 22 x b +0.25x i 6 x i 6 x b 0 x i 0 y 0 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [21 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μια άλλη παραλλαγή... Ερώτηση 3: Πώς αλλάζει το πρόβλημα, αν ο αγρότης μπορεί να αγοράσει y λίτρα γάλα επιπλέον, προς 1 ευρώ το λίτρο, για να φτιάξει βούτυρο και παγωτό; Απάντηση: Θα αγοραστούν επιπλέον 5 λίτρα γάλακτος. Μεταβλητή απόφασης y ποσότητα γάλακτος που αγοράζεται. Νέο ΓΠ; Απλούστερη μορφή; maximize 2x b +2x i +22 subject to : 2x b +3x i y = 22 2x b +3x i 22 x b +0.25x i 6 x i 6 x b 0 x i 0 y 0 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [21 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Πρόβλημα Παραγωγής Μια άλλη παραλλαγή... Ερώτηση 3: Πώς αλλάζει το πρόβλημα, αν ο αγρότης μπορεί να αγοράσει y λίτρα γάλα επιπλέον, προς 1 ευρώ το λίτρο, για να φτιάξει βούτυρο και παγωτό; Απάντηση: Θα αγοραστούν επιπλέον 5 λίτρα γάλακτος. Μεταβλητή 25 απόφασης y ποσότητα γάλακτος που αγοράζεται. Νέο ΓΠ; Απλούστερη μορφή; xi xb + 0.25 xi =< 6 2xb + 2xi = 18 2xb + 2xi = 12 2xb + 2xi = 8 x b xi =< 6 2xb + 3xi >= 22 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [21 / 28] 10

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Μη Γραμμικά Προβλήματα? Άσκηση: Συνάρτηση f(x) διέρχεται από ( 1, 8), (0, 4) και (1, 6). Να βρεθεί ευθεία g(x) = ax + b που ελαχιστοποιεί τη μέγιστη απόκλιση max x { 1,0,1} { f(x) g(x) } από τα σημεία. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [22 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Μη Γραμμικά Προβλήματα? Άσκηση: Συνάρτηση f(x) διέρχεται από ( 1, 8), (0, 4) και (1, 6). Να βρεθεί ευθεία g(x) = ax + b που ελαχιστοποιεί τη μέγιστη απόκλιση max x { 1,0,1} { f(x) g(x) } από τα σημεία. Απάντηση: Το ζητούμενο πρόβλημα αποτυπώνεται από το εξής πρόγραμμα (μη γραμμικής) βελτιστοποίησης: (NLP) minimize { max x { 1,0,1} [ f(x) a x b ] : a, b R } Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [22 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Μη Γραμμικά Προβλήματα? Άσκηση: Συνάρτηση f(x) διέρχεται από ( 1, 8), (0, 4) και (1, 6). Να βρεθεί ευθεία g(x) = ax + b που ελαχιστοποιεί τη μέγιστη απόκλιση max x { 1,0,1} { f(x) g(x) } από τα σημεία. Απάντηση: Το ζητούμενο πρόβλημα αποτυπώνεται από το εξής πρόγραμμα (μη γραμμικής) βελτιστοποίησης: (NLP) minimize { max x { 1,0,1} [ f(x) a x b ] : a, b R } Ερώτηση: Τι σχέση έχει το πρόβλημα με τον ΓΠ; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [22 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Μη Γραμμικά Προβλήματα? Άσκηση: Συνάρτηση f(x) διέρχεται από ( 1, 8), (0, 4) και (1, 6). Να βρεθεί ευθεία g(x) = ax + b που ελαχιστοποιεί τη μέγιστη απόκλιση max x { 1,0,1} { f(x) g(x) } από τα σημεία. Απάντηση: Το ζητούμενο πρόβλημα αποτυπώνεται από το εξής πρόγραμμα (μη γραμμικής) βελτιστοποίησης: (NLP) minimize { max x { 1,0,1} [ f(x) a x b ] : a, b R } Ερώτηση: Τι σχέση έχει το πρόβλημα με τον ΓΠ; (NLP) min. d s.t : d + 8 + a b 0 d + 4 b 0 d + 6 a b 0 d 0 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [22 / 28]

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4: Μη Γραμμικά Προβλήματα? Άσκηση: Συνάρτηση f(x) διέρχεται από ( 1, 8), (0, 4) και (1, 6). Να βρεθεί ευθεία g(x) = ax + b που ελαχιστοποιεί τη μέγιστη απόκλιση max x { 1,0,1} { f(x) g(x) } από τα σημεία. Απάντηση: Το ζητούμενο πρόβλημα αποτυπώνεται από το εξής πρόγραμμα (μη γραμμικής) βελτιστοποίησης: (NLP) minimize { max x { 1,0,1} [ f(x) a x b ] : a, b R } Ερώτηση: Τι σχέση έχει το πρόβλημα με τον ΓΠ; (NLP) min. d s.t : d + 8 + a b 0 d + 4 b 0 d + 6 a b 0 d 0 min. d s.t : d +a b 8 d a + b 8 d b 4 d +b 4 d a b 6 d +a + b 6 d 0 Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [22 / 28]

Σκελετός Ομιλίας 1 Εισαγωγικά 2 Παραδείγματα Γραμμικών Προγραμμάτων Οικονομίες Leontief Πρόβλημα της ίαιτας Επιλογή Επενδυτικού Προγράμματος Πρόβλημα Παραγωγής 3 Ιστορική Αναδρομή ΓΠ Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [23 / 28]

Σύντομη Ιστορική Αναδρομή Καθιερώθηκε ως επιστημονική περιοχή από τους George Dantzig, John von Neumann, και Leonid Kantorovich τη δεκαετία του 1940. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [24 / 28]

Σύντομη Ιστορική Αναδρομή Καθιερώθηκε ως επιστημονική περιοχή από τους George Dantzig, John von Neumann, και Leonid Kantorovich τη δεκαετία του 1940. Το 1947, ο Dantzig ανακάλυψε τη διάσημη μέθοδο του Simplex για επίλυση γραμμικών προγραμμάτων. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [24 / 28]

Σύντομη Ιστορική Αναδρομή Καθιερώθηκε ως επιστημονική περιοχή από τους George Dantzig, John von Neumann, και Leonid Kantorovich τη δεκαετία του 1940. Το 1947, ο Dantzig ανακάλυψε τη διάσημη μέθοδο του Simplex για επίλυση γραμμικών προγραμμάτων. Υπάρχουν στιγμιότυπα για τα οποία ο Simplex απαιτεί εκθετικό πλήθος κινήσεων μέχρι τη βέλτιστη λύση!!! Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [24 / 28]

Σύντομη Ιστορική Αναδρομή Καθιερώθηκε ως επιστημονική περιοχή από τους George Dantzig, John von Neumann, και Leonid Kantorovich τη δεκαετία του 1940. Το 1947, ο Dantzig ανακάλυψε τη διάσημη μέθοδο του Simplex για επίλυση γραμμικών προγραμμάτων. Υπάρχουν στιγμιότυπα για τα οποία ο Simplex απαιτεί εκθετικό πλήθος κινήσεων μέχρι τη βέλτιστη λύση!!! Το 1979, ο Leonid Khachiyan ανακάλυψε τη μέθοδο του ελλειψοειδούς (Ellipsoid), τον πρώτο πολυωνυμικού χρόνου αλγόριθμο επίλυσης ΓΠ. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [24 / 28]

Σύντομη Ιστορική Αναδρομή Καθιερώθηκε ως επιστημονική περιοχή από τους George Dantzig, John von Neumann, και Leonid Kantorovich τη δεκαετία του 1940. Το 1947, ο Dantzig ανακάλυψε τη διάσημη μέθοδο του Simplex για επίλυση γραμμικών προγραμμάτων. Υπάρχουν στιγμιότυπα για τα οποία ο Simplex απαιτεί εκθετικό πλήθος κινήσεων μέχρι τη βέλτιστη λύση!!! Το 1979, ο Leonid Khachiyan ανακάλυψε τη μέθοδο του ελλειψοειδούς (Ellipsoid), τον πρώτο πολυωνυμικού χρόνου αλγόριθμο επίλυσης ΓΠ. ΠΟΛΥ ΑΡΓΟΣ, στην πράξη πολύ χειρότερος του Simplex!!! Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [24 / 28]

Σύντομη Ιστορική Αναδρομή Καθιερώθηκε ως επιστημονική περιοχή από τους George Dantzig, John von Neumann, και Leonid Kantorovich τη δεκαετία του 1940. Το 1947, ο Dantzig ανακάλυψε τη διάσημη μέθοδο του Simplex για επίλυση γραμμικών προγραμμάτων. Υπάρχουν στιγμιότυπα για τα οποία ο Simplex απαιτεί εκθετικό πλήθος κινήσεων μέχρι τη βέλτιστη λύση!!! Το 1979, ο Leonid Khachiyan ανακάλυψε τη μέθοδο του ελλειψοειδούς (Ellipsoid), τον πρώτο πολυωνυμικού χρόνου αλγόριθμο επίλυσης ΓΠ. ΠΟΛΥ ΑΡΓΟΣ, στην πράξη πολύ χειρότερος του Simplex!!! Το 1984, ο Narendra Karmarkar ανακάλυψε τη μέθοδο των εσωτερικών σημείων. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [24 / 28]

Σύντομη Ιστορική Αναδρομή Καθιερώθηκε ως επιστημονική περιοχή από τους George Dantzig, John von Neumann, και Leonid Kantorovich τη δεκαετία του 1940. Το 1947, ο Dantzig ανακάλυψε τη διάσημη μέθοδο του Simplex για επίλυση γραμμικών προγραμμάτων. Υπάρχουν στιγμιότυπα για τα οποία ο Simplex απαιτεί εκθετικό πλήθος κινήσεων μέχρι τη βέλτιστη λύση!!! Το 1979, ο Leonid Khachiyan ανακάλυψε τη μέθοδο του ελλειψοειδούς (Ellipsoid), τον πρώτο πολυωνυμικού χρόνου αλγόριθμο επίλυσης ΓΠ. ΠΟΛΥ ΑΡΓΟΣ, στην πράξη πολύ χειρότερος του Simplex!!! Το 1984, ο Narendra Karmarkar ανακάλυψε τη μέθοδο των εσωτερικών σημείων. Θεωρητικά βέλτιστος αλγόριθμος επίλυσης ΓΠ, αλλά και στην πράξη πολύ σκληρός ανταγωνιστής του Simplex. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [24 / 28]

Σημασία της Αποδοτικής Επίλυσης ΓΠ Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [25 / 28]

Σημασία της Αποδοτικής Επίλυσης ΓΠ Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [25 / 28]

Σημασία της Αποδοτικής Επίλυσης ΓΠ Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [25 / 28]

Σημασία της Αποδοτικής Επίλυσης ΓΠ Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [25 / 28]

Βιβλιογραφία Μαθήματος (Ι) ιαφάνειες / Σημειώσεις (ανά διάλεξη). R. Ahuja, T. Magnanti, J. Orlin: Network Flows (1993). D. Luenberger, Y. Ye: Linear and Nonlinear Programming (3rd edition, 2008). D. Bertsekas: Nonlinear Optimization. S. Boyd, L. Vanderberge: Convex Optimization (2004). Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [26 / 28]

Βιβλιογραφία Μαθήματος (ΙΙ) Βιβλίο [22766846] Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα (έκδοση 1η / 2012). Κολέτσος Ιωάννης, Στογιάννης ημήτρης. ISBN: 978-960-9400-42-8. Βιβλίο [691] Γραμμικός Προγραμματισμός: Αριστοποίηση σε ίκτυα (έκδοση 3η / 2010). Μανώλης Λουκάκης. ISBN: 978-960-87438-8-5. Βιβλίο [2599] Γραμμικός Προγραμματισμός (έκδοση 5η/2000). Γιάννης Σίσκος. ISBN: 960-7981-00-6. Βιβλίο [12266748] Γραμμικός Προγραμματισμός (έκδοση 1η / 2011). ημήτρης εσπότης. ISBN: 978-960-93-2477-9. Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [27 / 28]

Ευχαριστώ για την προσοχή σας! Ερωτήσεις / Σχόλια ; Χ. Ζαρολιάγκης, Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (2016) 1η ενότητα [28 / 28]