Προσπάθεια για µια πιο σστή επίλυση ενός προβλήµατος Η λύση που δίνεται στο παρακάτ πρόβληµα είναι λάθος για πολλούς λόγους. Κάποιους ανέφερα σε προηγούµενή µου ανάρτηση. Αρκετοί βέβαια από αυτούς τους λόγους θα εντοπιστούν και από τη σύγκριση της λύσης που βρίσκεται µέσα στο πλαίσιο και ακολουθεί το πρόβληµα και της λύσης που θα επιχειρήσουµε παρακάτ. Η ουσία της διαφοράς τν δύο λύσεν (αυτής στο πλαίσιο και αυτής που προτείνεται εκτός πλαισίου) βρίσκεται στο γεγονός ότι µια αρµονική ταλάντση δεν είναι απαραίτητα και απλή. Εποµένς κατά την επίλυση του προβλήµατος δεν έχουµε δικαίµα να χρησιµοποιήσουµε συµπεράσµατα, δεδοµένα και φορµαλισµό που αφορούν την απλή αρµονική ταλάντσης. ε µπορούµε για παράδειγµα να µιλήσουµε για διατήρηση της ε- νέργειας, ούτε για δυναµική ενέργεια, ή για συνισταµένη δύναµη χροεξαρτώµενη της µορφής F=-D που συνδέεται µε δυναµική ενέργεια, δε µπορούµε να συνδέσουµε το πλάτος ταλάντσης µε ενέργεια κ.λ.π. Εννοείται ότι η πιθανή αριθµητική ταυτότητα τν αποτελεσµάτν της λύσης που βρίσκεται µέσα στο πλαίσιο και αυτής που προτείνουµε παρακάτ δε δικαιολογεί επ ουδενί τρόπ την πρώτη λύση. Μια άλλη λύση στο ίδιο πρόβληµα: (Σε όλο το παρακάτ κείµενο όλα τα διανύσµατα χρησιµοποιούνται µε τις αλγεβρικές τους τιµές. Για τα µέτρα τους συνεπώς θα χρησιµοποιηθούν απόλυτες τιµές.) r Ν r m r Επειδή το υπόβαθρο εκτελεί αρµονική ταλάντση (όχι απλή αρµονική) µε συχνότητα f και πλάτος Α η εξίσση κίνησής του θα είναι =Aηµ(t+φ) όπου =πf Για να είναι το σώµα σε επαφή µε το υπόβαθρο θα πρέπει να έχει την ίδια µε αυτό εξίσση κίνησης Θ.Ι. =Aηµ(t+φ) (1) 1
Η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σώµατος, όσο είναι σε επαφή µε το υπόβαθρο θα δίνονται αντίστοιχα από τις σχέσεις d υ = = Ασυν( t+ () dt d και α = = Αηµ ( t+ (3) dt Από το ο νόµο του Νεύτνα θα ισχύει Ν+m=mα (4) Στην προηγούµενη σχέση αντικαθιστώντας την (3) και λαµβάνοντας υπόψη την (1) προκύπτει N + m = m (5) Θερώντας ότι το σώµα δεν είναι κολληµένο πάν στο υπόβαθρο, η δύναµη Ν που δέχεται από αυτό έχει την κατεύθυνση προς την οποία δεν βρίσκεται το υπόβαθρο, δηλαδή η συνιστώσα Ν είναι αντίρροπη του. Εποµένς Ν = N Συνεπώς η (5) γίνεται N + m = m (6) από όπου προκύπτει N m ( + ) = (7) Για να διατηρεί επαφή το σώµα µε το υπόβαθρο θα πρέπει να υπάρχει η δύναµη Ν, δηλαδή θα πρέπει ή παίρνοντας υπόψη την σχέση (7) N > 0 + > 0 1> (8) ιερεύνηση της σχέσης (8) α) Όταν τα και είναι οµόρροπα η (8) πληρείται πάντα. Εποµένς αποκλείεται να χαθεί η επαφή όσο το υπόβαθρο και το σώµα βρίσκονται κάτ από τη θέση ισορροπίας (Θ.Ι).
β) Όταν τα και είναι αντίρροπα η (8) γίνεται 1> και συνεπώς < (9) Εποµένς αποκλείεται να χαθεί η επαφή όσο το υπόβαθρο και το σώµα βρίσκονται πάν από τη θέση ισορροπίας (Θ.Ι) και ισχύει <. Το σώµα εποµένς είναι σε επαφή µε το υπόβαθρο σε όλες τις θέσεις, εκτός από εκείνες που βρίσκονται πάν από τη θέση ισορροπίας και απέχουν από αυτή απόσταση για την οποία ισχύει (10) Αυτό µε τη σειρά του σηµαίνει ότι όταν το σώµα χάνει την επαφή, το συσσµάτµα δεν µπορεί να ερχόταν από την πλευρά τν «µεγάλν» αυτών αποστάσεν της σχέσης (10) πλησιάζοντας τη θέση ισορροπίας, γιατί η επαφή θα ήταν ήδη χαµένη. Όταν λοιπόν χάνεται η επαφή το συσσµάτµα αποµακρύνεται από τη θέση ισορροπίας προς τα πάν Συµπέρασµα Το σώµα χάνει την επαφή του µε το υπόβαθρο σε απόσταση = =0,1m πάν από τη θέση ισορροπίας Το σώµα ποτέ πια δεν ξαναβρίσκει την επαφή του µε το υπόβαθρο (Προφανώς όταν λέµε «ποτέ» εννοούµε µέχρι το σώµα, µετά τη βολή του, να ξαναγυρίσει και να συγκρουστεί µε το υπόβαθρο. Όµς αυτό είναι µια άλλη υπόθεση) Το σώµα όταν χάνει την επαφή του µε το υπόβαθρο πρέπει να βρίσκεται πάν από τη θέση ισορροπίας και να αποµακρύνεται από αυτή προς αποστάσεις = 0,1m. ηλαδή η ταχύτητα του σώµατος τη στιγµή της εγκατάλειψης είναι αντίρροπη του. Υψώνοντας τις σχέσεις (1) και () στο τετράγνο και προσθέτοντας προκύπτει υ = ( Α ) υ = ( Α ) (11) Αντικαθιστώντας την απόσταση =0,1m βρίσκουµε ότι το µέτρο της ταχύτητας του σώm µατος τη στιγµή που εγκαταλείπει το υπόβαθρο είναι υ = 3 sec Απάντηση στα δύο ερτήµατα της άσκησης α) Το σώµα παύει να βρίσκεται σε επαφή µε το υπόβαθρο, πάν από τη θέση ισορροπίας σε απόσταση =0,1m από αυτή. Την επαφή που χάνει δεν την ξαναποκτά. β) Η ταχύτητα του σώµατος τη στιγµή που χάνεται η επαφή είναι αντίρροπη της και έχει m µέτρο υ = 3. sec 3
Παρατηρήσεις: 1) Προκειµένου να φανεί ότι τα διανύσµατα δεν έχουν ανάγκη καθορισµού θετικής και αρνητικής φοράς, η άσκηση λύθηκε χρίς αυτή την επιλογή, κάνοντας όµς το φορµαλισµό της πιο δύσκολο. Αν είχαµε καθορίσει από την αρχή θετική και αρνητική φορά, σαφώς σε κάποια σηµεία θα ήταν πιο ήρεµες οι σχέσεις. ) εν καθορίστηκε θετική και αρνητική φορά και για άλλους λόγους. Για να δείξουµε ότι οι διανυσµατικές σχέσεις είναι πολύ ισχυρές, πολύ ανάγλυφες, δεν έχουν ανάγκη να εξετάζουµε διάφορες περιπτώσεις και να απορρίπτουµε ή να υιοθετούµε κάποια συµπεράσµατα και το κυριότερο καθιστούν πολλές φορές το σχήµα άχρηστο. Και να µην κάναµε σχήµα δεν θα υπήρχε κανένα πρόβληµα σε καµιά λέξη, σε κανένα σύµβολο και σε καµιά έννοια που χρησιµοποιήθηκε. Για να γίνει αυτό το τελευταίο ακόµη πιο κατανοητό, ας υπενθυµίσουµε το γλσσάρι καθαρής φυσικής που χρησιµοποιήθηκε και που αχρηστεύει ακόµη περισσότερο το σχήµα: Πάν = αντίρροπα του Κάτ = οµόρροπα του Θέση ισορροπίας = εκεί όπου η επιτάχυνση είναι µηδέν Υπόβαθρο = αυτό που είναι κάτ από το σώµα. Κινούµενοι δηλαδή οµόρροπα µε το συναντάµε πρώτα το σώµα και από κάτ το υπόβαθρο. 3) Η σχέση υ = ( Α ) ισχύει σε όλες τις αρµονικές ταλαντώσεις. Όµς δεν συνδέεται απαραίτητα µε τη διατήρηση της ενέργειας. Μόνο στην απλή αρµονική ταλάντση εκφράζει µε σιγουριά τη σταθερότητα της ενέργειας. Άρα εκτός της απλής αρµονικής ταλάντσης, σε όλες τις άλλες αρµονικές ταλαντώσεις θα πρέπει να αποδεικνύεται τριγνοµετρικά και όχι µε διατήρηση ενέργειας. 4) Η σχέση Ν=0 βρίσκει τη θέση που στιγµιαία χάνεται η επαφή, αλλά δεν εξασφαλίζει ότι την αµέσς κιόλας «επόµενη» στιγµή δεν θα αποκατασταθεί η επαφή. Και αν συνέβαινε αυτό, αν δηλαδή η επαφή χανόταν µόνο για µια στιγµή, ο Κόσµος δε θα το έπαιρνε και πολύ στα σοβαρά µιας και το σώµα άνετα θα µπορούσε να θερηθεί ότι εκτελεί ολόκληρη την αρ- µονική ταλάντση του υπόβαθρου. Σε αυτή την περίπτση δε νοµίζ να άξιζε να κάνουµε άσκηση για να δούµε αν το ένα σώµα παύει να ακουµπά το άλλο για µια στιγµή. Άρα σε ασκήσεις «χασίµατος επαφής», πρέπει να αποδεικνύουµε όχι αν χάνεται η επαφή στιγµιαία βάζοντας Ν=0, αλλά και ότι δεν αποκαθίσταται µετά. Τι νόηµα θα έχει µια στιγµιαία απώλεια επαφής, όταν αµέσς µετά η επαφή αποκαθίσταται. 5) Τα µαθηµατικά για τον Φυσικό δεν είναι και δεν πρέπει να είναι ανέκφραστα. Ή για να το π αλλιώς, κόπος του φυσικού είναι, όχι µόνο να βγάλει τις εξισώσεις όπς ο µαθηµατικός, αλλά και να τις διαβάσει µε τη Φύση παρέα. Κρίσιµο σηµείο για την κουβέντα µας είναι η σχέση (5) N+ m = m ιαβάζοντάς την κάποιος επιδερµικά, µπορεί να νοµίσει ότι η συνισταµένη τν δυνάµεν πάν στο σώµα είναι της µορφής F= D και βιαστικά να κρίνει ότι αφού το σώµα δέχεται δύναµη της µορφής F= D κάνει απλή αρµονική ταλάντση. Αυτό όµς είναι λάθος! 4
Με την αντικατάσταση της επιτάχυνσης στη σχέση (4), ο νόµος του Νεύτνα οδήγησε σε µια αναλυτική έκφραση για τη συνισταµένη δύναµη N+ m = mα = m Αηµ ( t+ Η παραπέρα αντικατάσταση του Aηµ(t+φ) µε κάνει τη συνισταµένη Ν+m που δρα στο σώµα, να φαίνεται ότι είναι δήθεν χροεξαρτώµενη δύναµη, ενώ δεν είναι. Κατά την επίλυση της άσκησης δηλαδή, αντικαταστήσαµε ένα τµήµα µιας παράστασης µε την αποµάκρυνση. Αυτό δε σηµαίνει ότι ξαφνικά οι δυνάµεις γίνανε χροεξαρτώµενες και ότι το σώµα απέκτησε δυναµική ενέργεια και ότι η συνολική δύναµη επάν του είναι τώρα συντηρητική χροεξαρτώµενη που πηγάζει από ειδικό δυναµικό ή από δυναµική ενέργεια 1 της µορφής D. Ούτε σηµαίνει ότι ξαφνικά έκανα µια αντικατάσταση προκύψανε σταθερές επαναφοράς D=m κ.λ.π. Μια απλή µαθηµατική αντικατάσταση έγινε. εν αλλάξαµε τη φύση τν δυνάµεν. Ούτε η δύναµη Ν από το υπόβαθρο, ούτε το βάρος του σώµατος είναι συνδεδεµένες µε τέτοια δυνα- µικά. Και η συνισταµένη τους όµοια δεν έχει να επιδείξει τέτοιες δυναµικές ενέργειες. Ένας πιο πρακτικός, αλλά όχι και τόσο αυστηρός τρόπος, να καταλάβουµε ότι η δύναµη πάν στο σώµα δεν είναι χροεξαρτώµενη, είναι να σκεφτούµε ότι αν το πάµε µόνο του σε µια άλλη θέση της ευθείας πάν στην οποία κινείται, σε µια άλλη θέση δηλαδή του άξονα χ πάν στον οποίο ταλαντώνεται και το αφήσουµε δεν θα δεχτεί δύναµη F= D. Ένα τελευταίο παράδειγµα ίσς κάνει τελείς κατανοητό πόσο λανθασµένα σκεφτόµαστε, όταν νοµίζουµε ότι µε µια απλή µαθηµατική αντικατάσταση θα γίνει η δύναµη χροεξαρτώµενη. Στη µόνιµη κατάσταση µιας εξαναγκασµένης αρµονικής ταλάντσης µε απόσβεση, η εξίσση κίνησης του ταλανττή είναι =Aηµ(t+φ). d Με διπλή παραγώγιση βρίσκουµε την επιτάχυνση α = = Αηµ ( t+ και πολλαπλασιάζοντας µε τη µάζα m βρίσκουµε τη δύναµη F = m Αηµ ( t+ dt. Με αντικατάσταση του Aηµ(t+φ) µε γράφουµε τη συνισταµένη δύναµη που δρα στον εξαναγκασµένο ταλανττή µε τη µορφή F= m. Φαίνεται δηλαδή σαν η συνισταµένη να είναι µια χροεξαρτώµενη δύναµη. Όµς αυτό είναι ψεύτικο και δε θα πρέπει µε κανένα τρόπο να µπούµε στον επόµενο πειρασµό να δούµε τη δύναµη ς F= D όπου D=m και να τη συνδέσουµε µε τίποτε σταθερές επαναφοράς και περίεργες δυναµικές ενέργειες µιας και το λάθος θα είναι πάρα πολύ µεγάλο. Μια τέτοια λανθασµένη θέαση τν πραγµάτν θα µας οδηγήσει σε τραγικότητες να πούµε ότι τελικά η εξαναγκασµένη αρµονική δεν είναι και τόσο... εξαναγκασµένη αλλά ελεύθερη αρµονική (δηλαδή απλή αρµονική ταλάντση), θα πούµε µετά ότι η ε- 1 1 νέργεια της εξαναγκασµένης είναι DΑ = m A και το ένα λάθος θα ακολουθεί το άλλο. 5
6) Μετά από αυτά ας προβληµατιστούµε µε µια πολύ συνηθισµένη τακτική. Αρκετές φορές, αφού εφεύρουµε του κόσµου τις περίεργες ασκήσεις βάζοντας µέσα τους ό,τι πιο περίεργο αντικείµενο σκεφτούµε, λέµε στους µαθητές ότι για να αποδείξουµε ότι ένα σώµα κάνει απλή αρµονική ταλάντση, αρκεί να αποδείξουµε ότι η συνισταµένη δύναµη που δρα επάν του είναι της µορφής F= D. Ας το ξαναπούµε: Για να αποδείξουµε ότι ένα σώµα κάνει απλή αρµονική ταλάντση δεν αρκεί απλά να αποδείξουµε ότι η δύναµη είναι της µορφής F= D, αλλά να είναι πράγµατι. Πρέπει δηλαδή να αποδείξουµε ότι η F= D είναι χροεξαρτώµενη δύναµη από τη φύση τν πραµάτν και όχι από µια µαθηµατική αντικατάσταση, όπς κάναµε στη σχέση (5) και στον εξαναγκασµένο αρµονικό ταλανττή µε απόσβεση λίγο παραπάν. Θέλει προσοχή και λεπτούς χειρισµούς η απόδειξη ότι τελικά έχουµε χροεξαρτώµενη δύναµη. Και ακόµη περισσότερο ας προσέξουµε όταν βάζουµε µαθητές να κάνουνε τέτοιες αποδείξεις. Ανέκφραστες µαθηµατικές αντικαταστάσεις δε µπορούνε να αλλάξουνε τη φύση τν δυνά- µεν και έτσι η µατιά του φυσικού όταν πλανιέται σε σχέσεις µαθηµατικές γίνεται όχι απλά απαραίτητη, αλλά αναντικατάστατη. Κυριακή, 1 Φεβρουαρίου 010 Θρασύβουλος Κν. Μαχαίρας Φυσικός Άγιος Βλάσιος Πηλίου tmachairas@sch.r 6