Υπολογιστική Μέθοδος Οριακής Ανάλυσης Πλακών από Οπλισµένο Σκυρόδεµα

Υπολογιστική Μέθοδος Οριακής Ανάλυσης Πλακών από Οπλισµένο Σκυρόδεµα Μ.-Α. Σκορδέλη Τελειόφοιτη Πολιτικός Μηχανικός, Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών, ΑΠΘ. Χ.. Μπίσµπος Αναπληρωτής Καθηγητής, Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών, ΑΠΘ. Λέξεις κλειδιά: Πλαστική Ανάλυση, Πλάκες οπλισµένου Σκυροδέµατος, Κριτήριο Nielsen, Οριακή Ανάλυση, Ανάλυση Προσαρµογής, Kωνικός προγραµµατισµός 2 ης τάξης ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Παρουσιάζεται υπολογιστική µέθοδος οριακής ανάλυσης και ανάλυσης προσαρµογής πλακών από οπλισµένο σκυρόδεµα υπό το µη-γραµµικό κριτήριο Nielsen. H µέθοδος αποτελεί συνδυασµό γραµµικής ανάλυσης πεπερασµένων στοιχείων µε τεχνικές υπολογιστικής βελτιστοποίησης και ανήκει στις άµεσες (δηλαδή όχι µικραυξητικές) µεθόδους της υπολογιστικής πλαστικότητας. Το πρόβληµα ανάγεται σε πρόβληµα µαθηµατικού κωνικού προγραµµατισµού 2 ης τάξης και επιλύεται µε διαθέσιµο λογισµικό. Παρουσιάζεται σχετική αριθµητική εφαρµογή και τα αποτελέσµατα σχολιάζονται. 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι σύγχρονοι κανονισµοί, όπως ο ΕΚΩΣ2000 στο Εδάφιο 9.1.4, επιτρέπουν την πλαστική ανάλυση πλακών από οπλισµένο σκυρόδεµα για τον µετέλεγχο υφισταµένων κατασκευών. Η εφαρµογή της επιτρέπεται για τις οριακές καταστάσεις αστοχίας έναντι εξωτερικών φορτίων και µπορεί να γίνει µε στατικές είτε κινηµατικές µεθόδους. Η οριακή ανάλυση (limit analysis) και η ανάλυση προσαρµογής (adaptation or shakedown analysis) - που αποτελεί την γενίκευση της οριακής ανάλυσης - ανήκουν στις άµεσες (όχι δηλαδή µικραυξητικές) µέθοδους της υπολογιστικής πλαστικότητας. Οι µέθοδοι αυτές σήµερα εφαρµόζονται ως συνδυασµός της µεθόδου των πεπερασµένων στοιχείων (FEM) µε τεχνικές του µαθηµατικού προγραµµατισµού (mathematical programming - ΜP). Οι τελευταίες παρέχουν αλγορίθµους εύρεσης της ελάχιστης είτε µέγιστης τιµής µιας συνάρτησης (συνάρτηση-στόχος) υπό ισοτικές και ανισοτικές συνθήκες, λύνουν δηλαδή προβλήµατα βελτιστοποίησης (optimization). Η οριακή ανάλυση υπολογίζει τον διατιθέµενο συντελεστή ασφάλειας µιας κατασκευής έναντι κατάρρευσης µέσω σχηµατισµού κινηµατικής αλυσίδας υπό µονοτονικά επιβαλλόµενη µονοπαραµετρική φόρτιση. Η ανάλυση προσαρµογής υπολογίζει ένα αντίστοιχο συντελεστή ασφάλειας επιτρέποντας όµως την ελεύθερη (µη- µονοτονική) µεταβολή της φόρτισης κατά τυχαίο τρόπο εντός δοσµένης περιοχής (ορίων). Στις δεκαετίες του 1970 και 1980 οι µόνες πρακτικά διαθέσιµες γενικές τεχνικές µαθηµατικού προγραµµατισµού αφορούσαν τον γραµµικό προγραµµατισµό (linear programming - LP), εκείνη δηλαδή την περίπτωση βελτιστοποίησης που έχει γραµµική συνάρτηση-στόχο και γραµµικές ισοτικές και ανισοτικές συνθήκες. Από την άλλη πλευρά οι στατικές µέθοδοι οριακής ανάλυσης και ανάλυσης προσαρµογής οδηγούν σε προβλήµατα MP που χαρακτηρίζονται από γραµµική συνάρτηση-στόχο, γραµµικές ισοτικές συνθήκες και ανισοτικές συνθήκες (γραµµικές είτε µη γραµµικές) που εκφράζουν τα κριτήρια διαρροής. Συνεπώς τα κριτήρια διαρροής έπρεπε να γραµµικοποιηθούν ανάλογα ώστε να καταστεί δυνατή η αντίστοιχη εφαρµογή µεθόδων LP (βλ. π.χ. Cohn & Maier 1979). Η Mitsopoulou 1985 µελέτησε το πρόβληµα της ανέλιξης της 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 2006 1

ελαστοπλαστικής κατάστασης πλακών µε τεχνικές τετραγωνικού προγραµµατισµού και γραµµικοποιηµένα κριτήρια. Σήµερα διατίθενται διάφοροι εξειδικευµένοι αλγόριθµοι µη-γραµµικού προγραµµατισµού και αναπτύχθηκαν µια σειρά επιτυχών µεθόδων της πλαστικότητας που τους ενσωµατώνουν (βλ. π.χ. Weichert & Maier 2002 και Heitzer & Staat 2003). Επιπλέον το κέντρο βάρους ανάπτυξης γενικών αλγορίθµων µαθηµατικού προγραµµατισµού έχει µετακινηθεί από τον γραµµικό προς τον κυρτό προγραµµατισµό (βλ. Boyd & Vandenberghe 2004) που περιλαµβάνει α) τον γραµµικό β) τον κωνικό προγραµµατισµό 2 ης τάξης (second-order cone programming SOCP) και γ) τον ηµιθετικό προγραµµατισµό (semidefinite programming SDP). Η αξιοποίηση γενικών αλγορίθµων µαθηµατικού προγραµµατισµού στην πλαστικότητα παρέχει το βασικό πλεονέκτηµα άµεσης χρησιµοποίησης υπάρχοντος λογισµικού που είναι δοκιµασµένο και αξιόπιστο. To τοπικό κριτήριο διαρροής Nielsen αποτελεί ένα από τα πλέον διαδεδοµένα κριτήρια διαρροής για πλάκες από οπλισµένο σκυρόδεµα και αφορά συνδυασµούς των ροπών M xx, M yy και Μ xy (Nielsen 1999). Οι Anderheggen & Knőpfel 1972 γραµµικοποίησαν το κριτήριο αυτό στα πλαίσια ανάπτυξης µεθόδων οριακής ανάλυσης µε χρήση LP (βλ. επίσης και Anderheggen & Knőpfel 1975). Με την γραµµικοποιηµένη µορφή αυτή το κριτήριο αξιοποιήθηκε περαιτέρω, όπως π.χ. στις διδακτορικές διατριβές Steffen 1996 και Glanzer 2000. Ο Olsen 1998 ασχολήθηκε µε την επιρροή του βαθµού γραµµικοποίησης στην τελική λύση. Οι Krabbenhoft & Damkilde 2002 ανέπτυξαν µέθοδο οριακής ανάλυσης πλακών υπό το αρχικό µη-γραµµικό κριτήριο Nielsen χρησιµοποιώντας ειδικά στοιχεία πλάκας µε στερεοπλαστικό νόµο υλικού χωρίς ελαστικό τµήµα. Η παρούσα εργασία στηρίζεται εν µέρει στην διπλωµατική εργασία της πρώτης συγγραφέα (Σκορδέλη 2006). Η οριακή ανάλυση και η ανάλυση προσαρµογής πλακών από οπλισµένο σκυρόδεµα υπό το µη-γραµµικό κριτήριο Nielsen µορφώνονται και επιλύονται ως ειδικό πρόβληµα SOCP µε στραµµένους κώνους Lorentz. Στην Παράγραφο 2 της παρούσας εργασίας παρουσιάζονται οι µορφές των προβληµάτων SOCP. To κριτήριο Nielsen µετασχηµατίζεται σε µορφή στραµµένου κώνου Lorentz στην Παράγραφο 3. Η Παράγραφος 4 είναι αφιερωµένη στην διατύπωση των προβληµάτων οριακής ανάλυσης και ανάλυσης προσαρµογής πλακών από οπλισµένο σκυρόδεµα υπό το κριτήριο Nielsen. Η Παράγραφος 5 περιέχει ένα αριθµητικό παράδειγµα. Μια τελευταία παράγραφος µε σχόλια και συµπεράσµατα ολοκληρώνει την εργασία. 2 ΚΩΝΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ To πρόβληµα κωνικού προγραµµατισµού δεύτερης τάξης (SOCP) µε ευθείς κώνους Lorentz συνίσταται στην εύρεση του διανύσµατος x και των (ny) m-διάστατων διανυσµάτων y ρ, τα οποία λύνουν το ακόλουθο πρόβληµα βελτιστοποίησης σε µητρωϊκή γραφή: Minimize c T x x + c T yρy ρ (1a) υπό τις : A x x + A yρ y ρ = b (1b) y ρ1 0, (y ρ1 ) 2 (y ρ2 ) 2 + (y ρ3 ) 2 + + (y ρm ) 2 ρ = 1,,(ny) (1c) όπου η (1a) είναι η γραµµική συνάρτηση-στόχος, η (1b) είναι οι γραµµικές ισοτικές συνθήκες και οι µη-γραµµικές ανισοτικές συνθήκες του προβλήµατος περιγράφονται από την (1c). Τα αθροίσµατα στις (1a-b) έχουν (ny) προσθετέους. Tα δεδοµένα αποτελούνται από τα διανύσµατα c x, c yρ, b και τα αντίστοιχα µητρώα A x, A yρ καταλλήλων διαστάσεων, όπου ρ=1,,(ny). Οι ανισοτικές συνθήκες (1c) απαιτούν πως η πρώτη συνιστώσα κάθε επιµέρους m-διάστατου 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 2006 2

διανύσµατος y ρ είναι µη-αρνητική και επιπλέον όχι µικρότερη από το ευκλείδειο µήκος του υπόλοιπου υποδιανύσµατος m-1 διαστάσεων. Η διάσταση m µπορεί να είναι διαφορετική για κάθε επιµέρους διάνυσµα y ρ. Tο αντίστοιχο πρόβληµα SOCP µε στραµµένους κώνους Lorentz έχει την µορφή: Minimize c T x x + c T yρy ρ (2a) υπό τις : A x x + A yρ y ρ = b (2b) y ρ1 0, y ρ2 0, 2 y ρ1 y ρ2 (y ρ3) 2, ρ = 1,,(ny) (2c) και πάντοτε ισχύει m=3. Οι συνθήκες (2c) προδιαγράφουν πως οι δύο πρώτες συνιστώσες κάθε επιµέρους 3-διάστατου διανύσµατος y ρ είναι µη-αρνητικές και επιπλέον πως το διπλάσιο γινόµενο τους δεν είναι µικρότερο από το τετράγωνο της τρίτης συνιστώσας του διανύσµατος. Το πρόβληµα SOCP στην γενική του µορφή περιέχει συνθήκες τόσο της µορφής (1c) όσο και της µορφής (2c). Τεχνικές SOCP ενσωµατώνουν, µεταξύ άλλων, οι κώδικες MOSEK (βλ. Andersen, Roos & Terlaky 2003) και SeDuMi (βλ. Sturm 2002). Σηµειώνεται πως στις µεταλλικές κατασκευές το τυπικό κριτήριο von Mises οδηγεί σε ευθείς κώνους Lorentz. Στις εργασίες Μακροδηµόπουλος 2001, Bisbos, Makrodimopoulos & Pardalos 2005, και Παπαϊωάννου & Μπίσµπος 2005 µελετήθηκαν προβλήµατα ανάλυσης προσαρµογής µεταλλικών κατασκευών µε τεχνικές SOCP. 3 TO ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ NIELSEN Έστω m το τοπικό διάνυσµα δρωσών ροπών σε κάποιο σηµείο της πλάκας: m = (m xx, m yy, m xy ) T (3) όπου οι άξονες x και y συµπίπτουν µε τις τοπικές κατευθύνσεις όπλισης που υποτίθενται κάθετες µεταξύ τους. Έστω ακόµη r b x and r t x (αντίστοιχα r b y και r t y) οι τοπικές οριακές ροπές σχεδιασµού κατά τις αντίστοιχες κατευθύνσεις, οι οποίες λαµβάνονται όλες θετικές. Οι άνω δείκτες b (bottom) και t (top) καθορίζουν τις εφελκυόµενες ίνες, δηλαδή τις ακρότατες θετικές και αρνητικές ροπές βλ. και κατωτέρω τις σχέσεις (5a-b). Οι τέσσερις αυτές θετικές ποσότητες υπολογίζονται ως οι αντίστοιχες αντοχές σχεδιασµού M Rd σύµφωνα µε τους εκάστοτε ισχύοντες κανονισµούς οπλισµένου σκυροδέµατος. Ευρύτατα χρησιµοποιείται ο τύπος του Nielsen 1999, Σελ. 203: r = M u = (1-0.5ω) d A s / f y, ω = ( A s f y ) / ( d f c ) (4) όπου A s είναι η διατοµή του εφελκυόµενου οπλισµού και d είναι ο αντίστοιχος µοχλοβραχίονας (απόσταση µέχρι την ακρότατη ίνα). Συνήθως η (4) εµπεριέχει και τους συντελεστές ασφάλειας των υλικών. Το κριτήριο Nielsen έχει την µορφή: - r t x m xx r b x (5a) - r t y m yy r b y (5b) ( r b x - m xx ) ( r b y m yy ) - m 2 xy 0 (5c) ( r t x + m xx ) ( r t y + m yy ) - m 2 xy 0 (5d) 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 2006 3

Σχήµα 1: Το κριτήριο Nielsen Aν ισχύει m xy = 0, η επιτρεπτή περιοχή είναι το ορθογώνιο που φαίνεται στο αριστερό τµήµα του Σχήµατος 1. Στην γενική περίπτωση η επιτρεπτή περιοχή είναι η τοµή δύο κώνων κατά το δεξιό τµήµα του σχήµατος. H (5a) και (5b) ορίζουν φράγµατα των τιµών των δρωσών ροπών κατά τις δύο κατευθύνσεις όπλισης και οι (5c) και (5d) αποδίδουν την µειωτική επιρροή της τυχόν παρουσίας ροπής m xy. Το κριτήριο γράφεται συνοπτικά ως σύστηµα ανισοτήτων της µορφής: φ (m) 0 (6) Εισάγοντας τον µετασχηµατισµό: b xx = r b x - m xx, b yy = r b y m yy, b xy = 2 m xy (7a) t xx = r t x + m xx, t yy = r t y + m yy, t xy = 2 m xy (7b) το κριτήριο παίρνει την µορφή: b xx 0, b yy 0, 2 b xx b yy b 2 xy (8a) t xx 0, t yy 0, 2 t xx t yy t 2 xy (8b) Προφανώς η τελευταία µορφή αντιστοιχεί σε δύο ανισότητες της µορφής (2c), δηλαδή σε δύο συνθήκες τύπου στραµµένου κώνου Lorentz. Θα πρέπει να σηµειωθεί πως το κριτήριο Nielsen εκφράζεται στις δύο κάθετες κατευθύνσεις όπλισης και όχι σε οποιοδήποτε σύστηµα αξόνων (ανισότροπο υλικό). Αν η ένταση m είναι διαθέσιµη σε κάποιο άλλο σύστηµα αξόνων (α,β) τότε ισχύει ο τανυστικός µετασχηµατισµός των ροπών: m ij (new) = l ik l jr m kr (old), µε (i,j) = (x,y) και (k,r) = (α,β) (9) όπου l ik είναι κατάλληλα συνηµίτονα κατεύθυνσης και ισχύει η σύµβαση Einstein. Η (9) παρέχει ένα µετασχηµατισµό της δρώσας ροπής σε διανυσµατική µορφή: m (new) = R m (old) (10) όπου το 3x3 µητρώο R κατασκευάζεται από τα ανωτέρω συνηµίτονα κατεύθυνσης. 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 2006 4

4 ΟΡΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ ΠΛΑΚΩΝ ΑΠΟ ΟΣ Έστω πλάκα Ω από οπλισµένο σκυρόδεµα η οποία διακριτοποιείται µε πεπερασµένα στοιχεία. Περαιτέρω, έστω πως η διακριτοποίηση οδήγησε σε (nu) αδέσµευτους βαθµούς ελευθερίας και σε (ng) σηµεία Gauss (σηµεία προσδιορισµού των τάσεων). Σε κάθε σηµείο Gauss j = 1,,(ng) το πρόγραµµα FEM υπολογίζει το τοπικό µητρώο Β j καµπυλοτήτων-βαθµών ελευθερίας που έχει 3 σειρές και (nu) στήλες. Αν β j είναι η αντίστοιχος συντελεστής βαρύτητας που χρησιµοποιείται κατά την κατασκευή του µητρώου δυσκαµψίας του τοπικού στοιχείου, τότε το τοπικό µητρώο ισορροπίας δίνεται από την: Η j = β j Β j Τ (11) Το µητρώο ισορροπίας Η της όλης πλάκας µε (nu) γραµµές και 3(ng) στήλες δίνεται από την: Η = [Η 1 : Η 2 : : Η j : : Η ng ] (12) Το διακριτοποιηµένο πεδίο ροπών της πλάκας περιγράφεται από ένα διάνυσµα m διάστασης 3(ng), το οποίο συλλέγει τα τοπικά διανύσµατα m j. Αν το φορτιστικό διάνυσµα f µε διάσταση (nu) παράγει το - όχι απαραίτητα ελαστικό - πεδίο ροπών m, τότε ισχύει πάντα η σχέση: Ηm = f (13) ανεξάρτητα από τον νόµο υλικού.to πεδίο m είναι αυτοϊσορροπούµενο (αυτένταση) αν ικανοποιεί την εξής συνθήκη, όπου το άθροισµα έχει (ng) προσθετέους: Η m = 0 είτε Σ Η j m j = 0 (14) Η συνθήκη (14) καλείται συνθήκη µηδενικού υπoχώρου, επειδή επιβάλλει το πεδίο m να ανήκει στον µηδενικό υπόχωρο (null space) του H. To ανελαστικό πεδίο ροπών m (ep) που παράγει κάποια φόρτιση µπορεί πάντοτε να θεωρηθεί ως το άθροισµα του ελαστικού πεδίου m (el) ροπών υπό την ίδια ένταση και ενός αυτοϊσορροπούµενου πεδίου ροπών ρ που ικανοποιεί την (14): m (ep) = m (el) + ρ, Ηρ = 0 (15) Έστω τώρα πως η πλάκα υποβάλλεται σε µια µόνιµη (permanent) δράση που παράγει το ελαστικό πεδίο ροπών p και σε µια µεταβλητή (variable) δράση που παράγει το αντίστοιχο ελαστικό πεδίο ροπών v, είτε γενικότερα το πεδίο αv, όπου α είναι συντελεστής φορτίου. Τότε η (15) γράφεται ως: m (ep) = αv + p + ρ, Ηρ = 0 (16) Το ελαστοπλαστικό πεδίο ροπών m (ep) οφείλει να ικανοποιεί σε κάθε σηµείο Gauss το κριτήριο διαρροής (6). To ελαστοπλαστικό πρόβληµα οριακής ανάλυσης P LMT συνίσταται στην εύρεση του µέγιστου δυνατού συντελεστή α υπό µονοτονική επιβολή της µεταβλητής φόρτισης, ώστε να ικανοποιούνται τα κριτήρια διαρροής. Μαθηµατικά, το πρόβληµα γράφεται ως το ακόλουθο πρόβληµα µη γραµµικού προγραµµατισµού µε αγνώστους τον συντελεστή ασφάλειας α, την αυτένταση ρ και το ελαστοπλαστικό πεδίο m: (P LMT ) Maximize α (17a) υπό τις : Σ Η j ρ j = 0 (17b) m j = αv j + p j + ρ j, j = 1,,(ng) (17c) φ j (m j) 0, j = 1,,(ng) (17d) 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 2006 5

όπου ο κάτω δείκτης στις συναρτήσεις φ j υποδηλώνει πως οι τοπικές ροπές σχεδιασµού γενικά διαφέρουν στα διάφορα σηµεία Gauss. Έστω τώρα πως η µονοπαραµετρική µεταβλητή δράση παράγει ένα πεδίο ροπών που µεταβάλλεται ελεύθερα κατά άγνωστο τόπο µεταξύ των v j και 0. Τότε προκύπτει το εξής πρόβληµα ελαστικής προσαρµογής υπο ανακυκλιζόµενη φόρτιση P ES1 : (P ES1 ) Maximize α (18a) υπό τις : Σ Η j ρ j = 0 (18b) (1) m j = αv j + p j + ρ j, j = 1,,(ng) (18c) (2) m j = p j + ρ j, j = 1,,(ng) (18d) (1) φ j (m j ) 0, j = 1,,(ng) (18e) (2) φ j (m j ) 0, j = 1,,(ng) (18f) Γενικότερα, έστω ότι οι µεταβλητές δράσεις παράγουν ένα πεδίο ελαστικών ροπών v, το οποίο µπορεί να µεταβάλλεται ελεύθερα, παραµένοντας όµως πάντοτε µέσα σε ένα υπερπολύεδρο µε δοσµένες (nv) κορυφές v, i=1,,(nv). Η γενική αυτή περίπτωση αντιστοιχεί στο εξής γενικό πρόβληµα ελαστικής προσαρµογής P ESD : (P ESD ) Maximize α (19a) υπό τις : Σ Η j ρ j = 0 (19b) m j = αv j + p j + ρ j, j = 1,,(ng), i = 1,,(nv) (19c) φ j (m j ) 0, j = 1,,(ng), i = 1,,(nv) (19d) Αν αντί της (19b) τεθεί ρ = 0 (µηδενική αυτένταση), προκύπτει το πρόβληµα του ελαστικού ορίου P ELM που αντιστοιχεί στον σχηµατισµό της πρώτης πλαστικής άρθρωσης: (P ELM ) Maximize α (20a) υπό τις : m j = αv j + p j, j = 1,,(ng), i = 1,,(nv) (20b) φ j (m j ) 0, j = 1,,(ng), i = 1,,(nv) (20c) Αν η (19b) αγνοηθεί ολότελα, παράγεται το πρόβληµα της πλαστικής προσαρµογής P PSD που καλύπτει τα φαινόµενα εναλλασσόµενης πλαστικοποίησης και γράφεται ως: (P PSD ) Maximize α (21a) υπό τις : ρ j = r j - p j, j = 1,,(ng), (21b) m j = αv j + r j, j = 1,,(ng), i = 1,,(nv) (21c) φ j (m j ) 0, j = 1,,(ng), i = 1,,(nv) (21d) Έστω τώρα α LMT, i = 1,,(nv) οι λύσεις των κατωτέρω προβληµάτων οριακής ανάλυσης: (P LMT ) Maximize α (22a) υπό τις : Σ Η j ρ j = 0 (22b) m j = αv j + p j + ρ j, j = 1,,(ng) (22c) φ j (m j) 0, j = 1,,(ng) (22d) 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 2006 6

δηλαδή των προβληµάτων οριακής ανάλυσης που αντιστοιχούν στις επιµέρους κορυφές µεταβλητής φόρτισης που ορίζεται από τις (nv) κορυφές ως ανωτέρω. Περαιτέρω, έστω α ELM, α ΕSD και α PSD αντίστοιχα οι λύσεις των προβληµάτων P ELM, P ESD και P PSD για την ίδια περιοχή φόρτισης. Τότε ισχύουν τα φράγµατα: min [α PSD, α LMT, i = 1,,(nv) ] α ΕSD α ELM (23) Η (23) εξειδικεύεται ως εξής όσον αφορά στην σύγκριση του προβλήµατος P LMT που αφορά σε µονοτονικά επιβαλλόµενη φόρτιση και περιγράφεται από τις σχέσεις (17) και του αντίστοιχου προβλήµατος P ES1 που αφορά σε ανακυκλιζόµενη µονοπαραµετρική φόρτιση και το οποίο περιγράφεται από τις σχέσεις (18): α LMT α ΕS1 (24) Σηµειώνεται πως στο πρόβληµα P PSD η ένταση ρ δεν είναι πλέον αυτένταση. Η σχέση (21b) που ορίζει την ρ µπορεί να αποµονωθεί από το πρόβληµα και δεν επηρεάζει τον συντελεστή ασφάλειας α PSD. ηλαδή το πρόβληµα P PSD δεν επηρεάζεται από την µόνιµη φόρτιση και αφορά µόνον στις µεταβλητές δράσεις. Το πρόβληµα P PSD είναι γνωστό και ως το πρόβληµα της πλάστιµης ολιγοκυκλικής κόπωσης. Τα ανωτέρω προβλήµατα οριακής ανάλυσης και ανάλυσης προσαρµογής είναι γραµµένα σε αρκούντως γενική µορφή προβληµάτων µαθηµατικής βελτιστοποίησης και ισχύουν για διάφορες κατασκευές υπό διάφορα κριτήρια διαρροής και όχι µόνον για πλάκες σκυροδέµατος υπό το κριτήριο Nielsen. Υπό τους µετασχηµατισµούς (7) και την µορφή (8) του κριτηρίου Nielsen το πρόβληµα της ελαστικής προσαρµογής P ESD συνίσταται στην εύρεση των εξής αγνώστων: του συντελεστή ασφάλειας α των τοπικών ροπών ρ j των τοπικών ελαστοπλαστικών ροπών m j των µεγεθών t j και b j που είναι γραµµικές συναρτήσεις των m j οι οποίοι λύνουν το ακόλουθο πρόβληµα βελτιστοποίησης: (P ESD ) : Maximize α (25a) υπό τις: Σ Η j ρ j = 0 (25b) m j = α v j + p j + ρ j, i = 1,,(nv), j = 1,,(ng) (25c) b 1j = r b xj - m 1j, t 1j = r t xj + m 1j, i = 1,,(nv), j = 1,,(ng) (25d) b 2j = r b yj - m 2j, t 2j = r t yj + m 2j, i = 1,,(nv), j = 1,,(ng) (25e) b 3j = 2 m 3j, t 3j = 2 m 3j, i = 1,,(nv), j = 1,,(ng) (25f) b 1j 0, b 2j 0, 2 b 1j b 2j (b 3j) 2 i = 1,,(nv), j = 1,,(ng) (25g) t 1j 0, t 2j 0, 2 t 1j t 2j (t 3j) 2 i = 1,,(nv), j = 1,,(ng) (25h) Το ανωτέρω πρόβληµα έχει την µορφή του προβλήµατος (2), δηλαδή ενός προβλήµατος SOCP µε στραµµένους κώνους Lorentz. To διάνυσµα x συµπεριλαµβάνει τον συντελεστή α, τις ροπές ρ j και τις ροπές m j και συνεπώς το x έχει διάσταση 1 + 3(ng) + 3(ng)(nv). Τα διανύσµατα t j και b j συναποτελούν τα (ny) = 2(ng)(nv) τρισδιάστατα διανύσµατα y ρ. Προφανώς η γραµµική συνάρτηση στόχος (2a) προκύπτει θέτοντας: c x = (-1,0,,0) T και c yρ = 0, ρ = 1,, (ny) (26) 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 2006 7

Οι γραµµικές συνθήκες (25b-f) µπορούν να γραφούν µε την µορφή (2b) και συγκροτούν τους γραµµικούς ισοτικούς περιορισµούς του προβλήµατος. Τα µητρώα A x και A yρ, ρ = 1,, (ny) που προκύπτουν είναι ιδιαίτερα αραιά (sparse). Οι στραµµένοι κώνοι Lorentz (25g-h) αντιστοιχούν στις µη-γραµµικές ανισοτικές συνθήκες (2c). Τα υπόλοιπα προβλήµατα, δηλαδή τα P LMT, P PSD κ.ο.κ. προκύπτουν άµεσα από τις αντίστοιχες εξειδικεύσεις των σχέσεων (25) που περιγράφουν το πρόβληµα της ελαστικής προσαρµογής P ΕSD. Σηµειώνεται πως τα ανωτέρω προβλήµατα της υπολογιστικής πλαστικότητας στην γενική τους µορφή, ανεξάρτητα δηλαδή από τα εκάστοτε κριτήρια διαρροής: συνιστούν κινηµατικές και όχι στατικές µεθόδους της πλαστικότητας, επειδή το όλο πλαίσιο είναι η µέθοδος παραµορφώσεων των πεπερασµένων στοιχείων (θα αποτελούσαν στατικές µεθόδους αν τα στοιχεία προέρχονταν από µέθοδο δυνάµεων, κάτι που δεν ισχύει σε κανένα σχεδόν κώδικα FEM). Στην πραγµατικότητα περιγράψαµε τα µαθηµατικώς δυϊκά προβλήµατα των διακριτοποιηµένων κινηµατικών προβληµάτων. Η περιγραφή αυτή προτιµήθηκε για λόγους απλότητας και εποπτείας. ως κινηµατικές µέθοδοι παρέχουν άνω (και όχι κάτω) φράγµατα των διατιθέµενων περιθωρίων ασφαλείας του φυσικού µη-διακριτοποιηµένου προβλήµατος. αφορούν σε ελαστοπλαστική και όχι στερεοπλαστική συµπεριφορά, κατά την οποία αγνοούνται οι ελαστικές παραµορφώσεις (κλασσικές µέθοδοι γραµµών διαρροής). 5 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Επειδή οι εµπορικοί κώδικες FEM δεν παρέχουν το µητρώο ισορροπίας H, αξιοποιήθηκε ερευνητικός κώδικας FEM που έχει αυτή την ιδιότητα. Ο τελευταίος ενσωµατώνει το στοιχείο πλάκας κατά τον Morley 1971 και χρησιµοποιήθηκε από τους Παπαϊωάννου και Μπίσµπο 2005 σε προβλήµατα υπολογισµού σε πλάστιµη ολιγοκυκλική κόπωση κόµβων κοιλοδοκών. To στοιχείο του Morley είναι τριγωνικό µε ένα σηµείο Gauss στο βαρύκεντρο του. Οι αριθµητικές εφαρµογές περιλαµβάνουν έναν έλεγχο της µεθόδου µε σύγκριση µε υπάρχουσα αναλυτική λύση προβλήµατος οριακής ανάλυσης που οφείλεται στον Prager (βλ. Nielsen 1999, Σελ. 504) και ένα αριθµητικό παράδειγµα που αφορά πραγµατική πλάκα οπλισµένου σκυροδέµατος. Η αναλυτική λύση που οφείλεται στον Prager αφορά τετραέρειστη τετραγωνική ισότροπη πλάκα (δηλαδή παντού ο ίδιος οπλισµός, ίσος πάνω και κάτω). Η πλάκα διακριτοποίηθηκε κατά το Σχήµα 2. Η αναλυτική λύση έδωσε α = 6.667 και η λύση µε την παρούσα µέθοδο α =6.696, έδωσε δηλαδή ένα άνω φράγµα όπως και αναµενόταν. Αναλυτική σχέση Prager: M u. 2 p = αναλ 24 6.667 kn / m l = p = kn m FEM LMT 2 6.696 / ( ) 2 Σχήµα 2: Παράδειγµα ελέγχου Το αριθµητικό παράδειγµα της πλάκας µε οπή φαίνεται στο Σχήµα 3. Πρόκειται για ακανόνιστη πλάκα µε τριγωνική οπή. Η γεωµετρία του παραδείγµατος ελήφθη από την διδακτορική διατριβή του Steffen 1996, Σελ. 144. Το πάχος της πλάκας είναι 180 mm, η ποιότητα του σκυροδέµατος 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 2006 8

είναι C20/25 και του χάλυβα S500. Το µόνιµο φορτίο της πλάκας µαζί µε την επίστρωση ελήφθη ίσο προς g = 6 kn/m 2 και το φορτίο κυκλοφορίας q = 3.5 kn/m 2. Σχήµα 3: Παράδειγµα πλάκας µε τριγωνική οπή Η πλάκα διακριτοποιήθηκε καταρχήν µε πεπερασµένα στοιχεία και έγινε ελαστική επίλυση µε το πρόγραµµα SAP και όπλιση µε βάση τις ισοϋψείς των ροπών ανάλυσης κατά τον ΕΚΩΣ2000. Η διαστασιολόγηση έγινε για τις ΟΚΑ (1.35g+1.50q) και εναλλακτές φορτίσεις, η όπλιση όµως γύρω από την οπή δεν έλαβε υπόψη τις αιχµές των ροπών που έδωσε η ανάλυση FEM αλλά περιορίστηκε σε συνήθη συµβατική όπλιση όπως φαίνεται και στο σχήµα. Στην συνέχεια η πλάκα χωρίστηκε µε βάση την όπλιση σε 18 ζώνες αντοχής υλικού και έγινε νέα διακριτοποίηση µε 2390 τριγωνικά πεπερασµένα στοιχεία, σύµµορφη προς τις ζώνες υλικού. Έγινε 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 2006 9

ανάλυση µε τον ανωτέρω ερευνητικό κώδικα FEM και παρήχθησαν τόσο το µητρώο Η όσο και οι εντάσεις (πεδία ροπών) s (1) και s (2) που οφείλονται αντίστοιχα στο φορτίο g και το φορτίο q. Έγινε επίσης έλεγχος της ανάλυσης αυτής µε νέα επίλυση για την καινούρια διακριτοποίηση µε το SAP, ο οποίος έδωσε πρακτικά τα ίδια πεδία ροπών. Κατόπιν τα πεδία ροπών στράφηκαν (σε όσα στοιχεία ήταν αναγκαίο) µε τον µετασχηµατισµό των ροπών (10) έτσι ώστε οι εκάστοτε άξονες 1 και 2 να συµπέσουν µε τους τοπικούς άξονες όπλισης (ανισοτροπία κριτηρίου Nielsen). Επίσης στράφηκαν τα αντίστοιχα µητρώα Η j µε την σχέση: Η j (new) = Η j (old) R j -1 (27) ώστε και οι διορθωτικές ροπές ρ να εκφραστούν στα ίδια συστήµατα συντεταγµένων και να ισχύουν οι αθροίσεις (25b). Με αυτά τα στραµµένα δεδοµένα τροφοδοτήθηκε το λογισµικό MOSEK και λύθηκαν αντίστοιχα προβλήµατα µαθηµατικής βελτιστοποίησης. Οι υπολογισµοί έγιναν σε Η/Υ µε επεξεργαστή AMD Athlon64 3500+ (2.21 GHz) µε 2 GB RAM και λειτουργικό σύστηµα Windows XP. Οι ίδιοι υπολογισµοί επαναλήφθηκαν µε το λογισµικό SeDuMi που συνέταξε ο καθηγητής Sturm 2000. Τα αριθµητικά αποτελέσµατα ήταν τα ίδια οι χρόνοι όµως ήταν τουλάχιστο διπλάσιοι, όπως άλλωστε αναµενόταν (Το SeDuMi είναι ελεύθερο λογισµικό σε περιβάλλον MATLAB ενώ το ΜOSEK είναι εµπορικό λογισµικό που αξιοποιείται σε διάφορες εφαρµογές των µαθηµατικών της επιχειρησιακής έρευνας και χρησιµοποιείται π.χ. από διεθνείς χρηµατιστηριακές εταιρείες).στον Πίνακα 1 περιγράφονται ορισµένα χαρακτηριστικά προβλήµατα και στον Πίνακα 2 φαίνονται σχετικά αποτελέσµατα και οι χρόνοι Η/Υ που απαιτήθηκαν. Πίνακας 1. Προβλήµατα οριακών αναλύσεων και αναλύσεων προσαρµογής Α/Α προβλήµατος P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 Τύπος προβλήµατος P LMT P LMT P LMT P ESD P ESD P PSD P PSD p s (1) 1.35 s (1) 0 s (1) 1.35 s (1) s (1) 1.35 s (1) v (1) s (2) s (2) 1.35s (1) s (2) s (2) s (2) s (2) + 1.5s (2) v (2) - - - 0 0 0 0 Πίνακας 2. Συντελεστές ασφάλειας και απαιτηθέντες χρόνοι Η/Υ Α/Α προβλήµατος P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 Τύπος P LMT P LMT P LMT P ESD P ESD P PSD P PSD α 1.969 1.369 0,966 1.293 1.036 2.149 2.149 MOSEK CPU time (sec) 2.32 2.62 2.64 3.06 3.58 1.57 1.61 Σε όρους των φορτίων g και q, οι έλεγχοι οριακής ανάλυσης (προβλήµατα P 1 - P 3 ) έδωσαν την τιµή p LMT = 12.89 kn/m 2 ως συνολικό µέγιστο φορτίο. Η τιµή αυτή προκύπτει ως p = g + 1.969q (βλ. P 1 ) είτε ως p = 1.35g + 1.369q (βλ. P 2 ) είτε ως p = 0.966(1.35g + 1.50q) (βλ. P 3 ). Επειδή η οριακή ανάλυση αφορά σε µονοτονικά επιβαλλόµενη φόρτιση, είναι πρακτικά αδιάφορος ο χωρισµός της τελευταίας σε µόνιµο και µεταβλητό τµήµα. Σηµειώνεται πως η τιµή p LMT είναι µικρότερη από το ονοµαστικό συνολικό φορτίο σχεδιασµού 1.35g+1.50q = 13.35 kn/m 2. Στα προβλήµατα οριακής ανάλυσης P LMT εξαντλούνται τα περιθώρια ανακατανοµής της έντασης µέχρι να υπάρξει κινηµατική αλυσίδα, όµως τα περιθώρια αυτά καθορίστηκαν και από την προαναφερθείσα συµβατική όπλιση των περιοχών µε αιχµές ροπών κοντά στις γωνίες της οπής. Στην άλλη ακραία περίπτωση, οι έλεγχοι πλάστιµης ολιγοκυκλικής κόπωσης (προβλήµατα P 6 και P 7 ) έδωσαν πως η ανακυκλιζόµενη φόρτιση µπορεί να µεταβάλλεται στο διάστηµα από 0 µέχρι 2.149q δηλαδή µέχρι 7.74 kn/m 2. Όπως αναµενόταν, το αποτέλεσµα αυτό δεν επηρεάζεται από τη στάθµη της µόνιµης φόρτισης. 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 2006 10

Ο χωρισµός της φόρτισης σε µόνιµο και µεταβλητό τµήµα επηρεάζει τα προβλήµατα ελαστικής προσαρµογής. Στο πρόβληµα P 4 η στάθµη µόνιµης φόρτισης είναι 6.0 kn/m 2 και η µεταβλητή ανακυκλίζεται µεταξύ 0 και 4.53 kn/m 2. Στο πρόβληµα P 5 η µόνιµη φόρτιση διατηρείται σταθερή σε 8.1 kn/m 2 και τα επιτρεπτά όρια της µεταβλητής φόρτισης είναι 0 και 3.63 kn/m 2 6 ΣΧΟΛΙΑ ΚΑΙ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Παρουσιάστηκε υπολογιστική µέθοδος οριακής ανάλυσης και ανάλυσης προσαρµογής πλακών από οπλισµένο σκυρόδεµα υπό το µη-γραµµικό κριτήριο διαρροής Nielsen. Τα αντίστοιχα προβλήµατα µαθηµατικής βελτιστοποίησης µετασχηµατίστηκαν σε προβλήµατα κωνικού προγραµµατισµού 2 ης τάξης SOCP. Η µέθοδος χρειάζεται καταρχήν ένα γραµµικό κώδικα FEM ο οποίος να παρέχει το µητρώο ισορροπίας Η. Σχετικά χρησιµοποιήθηκε ερευνητικός κώδικας που ενσωµατώνει το στοιχείο πλάκας Morley. Επιπλέον συνετάγη ένα ενδιάµεσο λογισµικό απλής δοµής που τροφοδοτεί το διαθέσιµο λογισµικό SOCP µε τα εξαγόµενα του κώδικα FEM και τα δεδοµένα τοπικής αντοχής των πλακών που υπεισέρχονται στο κριτήριο Nielsen. Κατά συνέπεια η προταθείσα µέθοδος δεν απαιτεί την σύνταξη ειδικού µη-γραµµικού λογισµικού. Οι απαιτούµενοι χρόνοι Η/Υ κρίνεται πως παραµένουν σε αποδεκτά όρια. Ασφαλώς οι έλεγχοι οριακής ανάλυσης µπορούν να εκτελεστούν και µε λογισµικό µικραυξητικής ανελαστικής ανάλυσης (π.χ. τύπου υπερωθητικής ανάλυσης) µε την παραδοχή ενός µικρού βαθµού κράτυνσης. Ανάλογη υλοποίηση των ελέγχων ελαστικής προσαρµογής απαιτεί την εξέταση επαρκούς αριθµού σεναρίων ανέλιξης της µεταβλητής φόρτισης µε ανάλογο βάθος χρόνου (φόρτιση - αποφόρτιση σε κάποια στάθµη - επαναφόρτιση κοκ). Οι άµεσες µέθοδοι της υπολογιστικής πλαστικότητας υπολογίζουν την φέρουσα ικανότητα ελαστοπλαστικών φορέων χωρίς να απαιτούν την εξέταση σεναρίων φόρτισης-αποφόρτισης-επαναφόρτισης, απαιτούν όµως την χρήση τεχνικών µαθηµατικής βελτιστοποίησης. Η µέθοδος ανήκει στις κινηµατικές µεθόδους. Σηµειώνεται πως ο ΕΚΩΣ2000 αποδέχεται κινηµατικές µεθόδους οριακής ανάλυσης αν ικανοποιούνται τα κριτήρια του Εδάφιου 9.1.4.2(β). Το κριτήρια αυτά δεν ελέγχθηκαν στο αριθµητικό παράδειγµα. Κατά την γνώµη των συγγραφέων η θεµατική των προβληµάτων P ESD και P PSD δεν φαίνεται να καλύπτεται από τον κανονισµό. 7 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Οι συγγραφείς εκφράζουν τις ευχαριστίες τους προς τον δόκτορα Erling D. Andersen της εταιρείας ΜΟSEK ApS, Copenhagen, o οποίος διέθεσε στην πρώτη συγγραφέα δωρεάν το λογισµικό MOSEK για ερευνητική χρήση. 8 ΑΝΑΦΟΡΕΣ Anderheggen, E. & Knőpfel, H. 1972. Finite element limit analysis using linear programming, Int. J. Solids & Structures, vol. 8, 1413-1431. Anderheggen, E. & Knőpfel, H. 1975. Berechnung der Traglast von Stahlbetonplatten mittels finiter Εlemente, Birkhäuser Verlag, Basel. Andersen, E.D., Roos, C. & Terlaky, T. 2003, On implementing a primal-dual interior-point method for conic quadratic optimization, Mathematical Programming, vo.95, 249-277. ιάφορες περαιτέρω αναφορές υπάρχουν στην διεύθυνση http://www.mosek.com 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 2006 11

Bisbos, C.D., Makrodimopoulos A. & Pardalos P.M. 2005. Second-order cone programming approaches to static shakedown analysis in steel plasticity, Optimization Methods & Software, vol.20, 25-52. Boyd, S. and Vandenberghe L. 2004, Convex Optimization, Cambridge University Press, Cambridge. Cohn, M.Z. & Maier, G. (Eds) 1979. Engineering plasticity by mathematical programming, Pergamon Press, New York. Heitzer, M. and M. Staat, M. (Eds) 2003 Numerical Methods for limit and shakedown analysis, NIC-Series Vol. 15, J.v. Neumann Institute for Computing, Juelich. ιαθέσιµο στην διεύθυνση http://www.fz-juelich.de/lisa Glanzer, G. 2000. Nichtlineare FE Analyse von Stahlbetonplatten und Stahlbetonschalen mittels linearisierter Fliessbedingungen im Knotenkraftraum, Doctoral Dissertation, ETH Zürich. Krabbenhoft, K. & Damkilde, L. 2002 Lower bound limit analysis of slabs with nonlinear yield criteria, Computers & Structures, vol. 80, 2043-2057. Lobo M.S., Vandenberghe L., Boyd S. and Lebret H. 1998. Applications of second-order cone programming, Linear Algebra & Applications, vol. 284, 193-228. Μακροδηµόπουλος Α.: Συµβολή στην αριθµητική πραγµάτευση των φαινοµένων προσαρµογής (shakedown) των µεταλλικών κατασκευών υπό συνθήκες επίπεδης και αξονοσυµµετρικής έντασης, ιδακτορική διατριβή, Α.Π.Θ., 2001. Mitsopoulou, E. 1985, Quadratic optimization approach for the elastoplastic analysis of thin plates in bending, Engineering Structures, vol. 7, 163-175. Morley L.S.D. 1971 The constant moment plate-bending element. J. Strain Analysis, vol. 6, 20-4. Nielsen, M.P. 1984, Limit analysis and concrete plasticity. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ. Olsen, P. C. 1998. The influence of the linearization of the yield surface on the load-bearing capacity of reinforced concrete slabs, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., vol. 162, 351-358. Γ. Παπαϊωάννου & Χ.. Μπίσµπος 2005. Υπολογισµός σε πλάστιµη ολιγοκυκλική κόπωση κόµβων δικτυωµάτων από κοίλες διατοµές, Πρακτικά 5 ου Εθνικού Συνέδριου Μεταλλικών Κατασκευών, Τοµ. Ι, 370-377, Ξάνθη. Σκορδέλη Μ.-Α. 2006 Οριακή ανάλυση πλακών από χάλυβα και οπλισµένο σκυρόδεµα, ιπλωµατική Εργασία, Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών, Α.Π.Θ. Sturm, J.F. 2002. Implementation of interior point methods for mixed semidefinite and secondorder cone optimization problems Optimization Methods and Software, 17, 1105-1154. Το λογισµικό SeDuMi είναι διαθέσιµο στην διεύθυνση http://sedumi.mcmaster.ca Steffen, P. 1996. Elastoplastische Dimensionierung von Stahlbetonplatten mittels finiter Bemessungselemente und Linearer Optimierung, Doctoral Dissertation, ETH Zürich. Weichert, D. & Maier, G. (Eds) 2002. Inelastic behaviour of structures under variable repeated loads. Direct Analysis Methods, Springer, Vienna. 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 2006 12