Α.Π.Θ.- ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΙΙ - 19 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2008

Transcript

1 1 Α.Π.Θ.- ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΙΙ - 19 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 008 ΘΕΜΑ 1o Για τον φορέα του σχήματος ζητούνται: Tο Γεωμετρικό Κύριο Σύστημα με τα ελάχιστα άγνωστα μεγέθη. Το μητρώο δυσκαμψίας Κ του φορέα (συντελεστές Κ ij) Το διάνυσμα φόρτισης Ρ (συντελεστές Κ iο) για τη σημειούμενη φόρτιση Ρ 1 και q. Τα διαγράμματα Μ, για την ταυτόχρονη δράση της σημειούμενης φόρτισης. Να γίνει ισορροπιακός έλεγχος κατά x-x και y-y. Να σχεδιαστεί το σκαρίφημα της ελαστικής γραμμής. Δίνονται: Για δοκούς:ε b=,6*10 7 kn/m, b/d 1=30x30 (cm), b/d =30x50 (cm) Ε ba, GA s Για ράβδους:ε r=,6*10 8 kn/m, F r =1cm και α=,0m, q=40kn/m, P 1=30kN. Λύση: Καθορισμός γεωμετρικών και ελαστικών στοιχείων του φορέα εφφ= 4 =0,5 φ=6,5650 εφθ= 4 θ=63,4350 Ι 1= 0,34 1 =6,75*10-4 m 4 ΕΙ 1=17.550kNm Ι = 0,30 0,53 =3,15*10-3 m 4 ΕΙ 1 =81.50kNm

2 Αφαίρεση ισοστατικών τμημάτων του φορέα Το τμήμα 3,5,4 είναι ένα δευτερεύων ισοστατικό τμήμα και το απομακρύνω απο τον υπόλοιπο φορέα. ΣF Υ=0 (3y)=S 54*cos63,435=0 (3y)=0,447 S 54 1 ΣF x=0 (3x)=S 54*sin63,435+30=0 (3x)=0,8944S ΣM (3)=0 30*+S 54*0,8944*=0 S 54=-33,54kN 3 Η 1 3 (3y)=-15kN Η 3 (3x)=0 Tελικά ο φορέας με τον οποίο θα ασχοληθώ είναι o: όπως φαίνεται πιο κάτω. Καθορισμός Κύριου Γεωμετρικού Σύστηματος. Οι άγνωστοι μας είναι:η στροφή του στερεού κόμβου (3) και η οριζόντια μετακίνηση του κόμβου (4) ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΜΗΔΕΝ (ξ 1 =0, ξ =0, εξωτερική φόρτιση=ως έχει) Υπολογίζω στο Γ.Κ.Σ. τις ροπές κάμψης που αναπτύσονται στα άκρα των δομικών στοιχείων λόγω της εξωτερικής φόρτισης.από το παρακάτω σχήμα παρατηρώ ότι αρχικές ροπές εμφανίζονται μόνο στο τμήμα 3-4 Μ 34,0 = =80kNm

3 3 I. Εύρεση Κ 10 : Από την ισορροπία του κόμβου (3) θα έχουμε: ΣΜ (3)=0 Κ 10 -Μ 34,0 =0 Κ 10 =Μ 34,0 Κ 10 =80 knm II. Εύρεση Κ 0 : Μετατρέπω τον Γ.Κ.Σ. σε κινηματική αλυσίδα και του δίνω μια φαντασική μετακίνηση ξ =1 ν.πρίν εφαρμόσω την Α.Δ.Ε. βρίσκω τις γωνίες στροφής των μελών του φορέα.έτσι λοιπόν θα έχουμε: y 13=y 4= 1ν y13=y4=0,5*1ν y 34 =0 Εφαρμόζοντας την Α.Δ.Ε. για να βρω το Κ 0 θα έχουμε: ΣW=0 *30*1 ν +Κ 0 =0 Κ 0=-60KN ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΕΝΑ (ξ 1 =1, ξ =0, εξωτερική φόρτιση=0) Υπολογίζω στο Γ.Κ.Σ. τις ροπές κάμψης που αναπτύσονται στα άκρα των δομικών στοιχείων λόγω μοναδιαίας στροφής στον κόμβο (3) με φορά σύμφωνα με το καθολικό σύστημα αναφοράς που έχω δηλώσει στο Γ.Κ.Σ.Από το παρακάτω σχήμα παρατηρώ ότι αρχικές ροπές εμφανίςονται στα τμήματα 3-4 και 1-3. Μ 31,1 = =35.100kNm Μ 13,1 = =17.550kNm Μ 34,1 = =60.937,5kNm 4

4 4 III. Εύρεση Κ 11 : Από την ισορροπία του κόμβου (3) θα έχουμε: ΣΜ (3)=0 Κ , =0 Κ 11 =96.037,5 knm IV. Εύρεση Κ 1 : Μετατρέπω το Γ.Κ.Σ. σε κινηματική αλυσίδα και του δίνω μια φαντασική μετακίνηση ξ =1 ν.οι γωνίες στροφής των μελών του φορέα είναι οι ίδιες με πρίν.έτσι λοιπόν θα έχουμε: y 13=y 4= 1ν y13=y4=0,5*1ν y 34 =0 Εφαρμόζοντας την Α.Δ.Ε. για να βρω το Κ 1 θα έχουμε: ΣW=0 ( )*(-0,5*1 ν )+Κ 1*1 ν =0 Κ 1=6.35kN ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΔΥΟ (ξ 1 =0, ξ =1, εξωτερική φόρτιση=0) Υπολογίζω στο Γ.Κ.Σ. τις ροπές κάμψης που αναπτύσονται στα άκρα των δομικών στοιχείων λόγω μοναδιαίας οριζόντιας μετακίνησης στον κόμβο (4) με φορά σύμφωνα με το καθολικό σύστημα αναφοράς που έχω δηλώσει στο Γ.Κ.Σ.Από το παρακάτω σχήμα παρατηρώ ότι αρχικές ροπές εμφανίζονται στα τμήματα 1-3 και -4. Μ 31, = *1=6.35kNm Μ 13, = *1=6.35kNm Μ 4, = =13.16,5kN

5 5 V. Εύρεση Κ 1 : Από την ισορροπία του κόμβου (3) θα έχουμε: ΣΜ (3)=0 Κ 1 =6.35KNm VI. Εύρεση Κ : Μετατρέπω το Γ.Κ.Σ. σε κινηματική αλυσίδα και του δίνω μια φαντασική μετακίνηση ξ =1 ν.οι γωνίες στροφής των μελών του φορέα είναι οι ίδιες με πρίν.έτσι λοιπόν θα έχουμε: y 13=y 4= 1ν y13=y4=0,5*1ν y 34 =0 Εφαρμόζοντας την Α.Δ.Ε. για να βρώ το Κ θα έχουμε: ΣW=0 ( )*(-0,5*1 ν )+(+13.16,5) *(-0,5*1 ν )+Κ *1 ν = , ,5=Κ Κ =3.906,5 κν Επίλυση εξίσωσης και εύρεση των ξ 1, ξ [ Κ 11 Κ 1 ]*[ ξ1 Κ 1 Κ ξ ]+[Κ 10 ]=[ ] [96.037,5 Κ ,5 ]*[ξ1 ξ ]+[80,0 60 ]=[0 0 ] ξ 1=-1,707*10-3 rad, και ξ 1=3,189*10-3 m.

6 6 Τελικές ροπές προσημασμένες με την μέθοδο μετακινήσεων Μ 13 = (-1,707*10-3 )+6.35(3,189*10-3 )=54kNm Μ 31 = (-1,707*10-3 )+6.35(3,189*10-3 )=4,034kNm Μ 4 =0+0(-1,707*10-3 )+13.16,5(3,189*10-3 )=41,98kNm Τελικές ροπές προσημασμένες με την ίνα αναφοράς Μ 13 =-54kNm, Μ 31 =4,034kNm, Μ 4 =41,98kNm ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΡΟΠΩΝ Εύρεση τεμνουσών δυνάμεων στα μέλη του φορέα Q 13 = 4,034 ( 54) =39,017kN Q 4 = 41,98 0 =0,99kN Q 34 = 0 4, =74kN 4 Q 43 = 0 4, =-86kN

7 7 Εύρεση αξονικών δυνάμεων στα μέλη του φορέα απο ισορροπία κόμβων Ισορροπία κόμβου (3) Ισορροπία κόμβου (4) ΣF y=0 N 31=-59 kn = N 13 ΣF Υ=0 N =0 N 4=-101kN=N 4 Εύρεση εξωτερικών αντιδράσεων του φορέα Στήριξη στην θέση 1: Στήριξη στην θέση : ΣF x=0 (1x)=39,017 kn ΣF y=0 (1y)=59 kn ΣΜ=0 M 1 =54 knm ΣF x=0 (x)=0,99 kn ΣF y=0 (y)=101 kn ΣΜ=0 M =41,98 knm

8 8 Ισορροπιακός Έλεργχος του φορέα κατά xx και yy Τοποθετώ τις αντιδράσεις που βρήκα προηγουμένως στις θέσεις (1) και() στον αρχικό μου φορέα καθώς και όλες τις εξωτερικές δυνάμεις με τις οποίες καταπονείται και εφαρμόζω τις εξισώσεις ισορροπίας κατά xx και yy. ΣF x=0 39,017+0,99-60=7* ΣF y= *4=0 Κατασκευή σκαριφήματος ελαστικής γραμμής του φορέα Με βάση τις μετακινησεις ξ 1, ξ που έχω βρει και το διάγραμμα ροπών μπορώ να κατασκευάσω την παραμορφωμένη κατάσταση του φορέα μου.

9 9 ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΙΙ-19 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 008-ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ-Α.Π.Θ. ΘΕΜΑ o Για τον συμμετρικό φορέα του σχήματος ζητούνται: Το Γεωμετρικό Κύριο Σύστημα του συνολικού φορέα. Να υπολογισθούν οι όροι της κυρίας διαγωνίου(συντελεστές Κ ιι) του μητρώου δυσκαμψίας Κ του προς επίλυση φορέα. Να αναλυθεί η σημειούμενη φόρτιση σε μία συμμετρική και μια αντισυμμετρική και να επιλεγούν τα νέα γεωμετρικά κύρια συστήματα που αντιστοιχούν στους δυο νέους προς επίλυση φορείς (μισός φορέας). Δίνονται: Για δοκούς:ε b=,6*10 7 kn/m, b/d 1=30x30 (cm), b/d =30x50 (cm) Ε ba GA s Για ράβδους:ε r=,6*10 8 kn/m, F r =1cm και α=,0m, P 1=30 kn, P =50kN, P 3=40kN, P 4=60kN. Λύση: Καθορισμός γεωμετρικών και ελαστικών στοιχείων του φορέα Ι 1= 0,34 1 =6,75*10-4 m 4 ΕΙ 1=17.550kNm Ι = 0,30 0,53 =3,15* m 4 ΕΙ =81.50kNm

10 10 Αφαίρεση ισοστατικών τμημάτων του φορέα Δεν υπάρχουν ισοστατικά τμήματα στον φορέα μου. Καθορισμός Κύριου Γεωμετρικού Σύστηματος. Οι άγνωστοι μας είναι:η στροφή των στερεών κόμβων (3),(4) και (5) και η οριζόντια μετακίνηση του κόμβου (5) ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΕΝΑ (ξ 1 =1, ξ =0, ξ 3 =0, ξ 4 =0,εξωτερική φόρτιση=0) Υπολογίζω στο Γ.Κ.Σ. τις ροπές κάμψης που αναπτύσονται στα άκρα των δομικών στοιχείων λόγω λόγω μοναδιαίας στροφής στον κόμβο (3) με φορά σύμφωνα με το καθολικό σύστημα αναφοράς που έχω δηλώσει στο Γ.Κ.Σ.Από το παρακάτω σχήμα παρατηρώ ότι αρχικές ροπές εμφανίζονται στα τμήματα 3-6,1-3 και 3-4. Μ 31,1 = =6.35kNm Μ 36,1 = =18.803,57kNm,8 Μ 34,1 = = ,67kNm,4

11 11 I. Εύρεση Κ 11 : Από την ισορροπία του κόμβου (3) θα έχουμε: ΣΜ (3)=0 Κ , , =0 Κ 11 = ,4kNm Κανονικά θα έπρεπε να υπολογίσω και τους υπόλοιπους όρους αλλά η άσκηση μας ζητάει μόνο τους όρους της κύριας διαγωνίου. ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΔΥΟ (ξ 1 =0, ξ =1, ξ 3 =0, ξ 4 =0,εξωτερική φόρτιση=0) Υπολογίζω στο Γ.Κ.Σ. τις ροπές κάμψης που αναπτύσονται στα άκρα των δομικών στοιχείων λόγω μοναδιαίας στροφής στον κόμβο (4) με φορά σύμφωνα με το καθολικό σύστημα αναφοράς που έχω δηλώσει στο Γ.Κ.Σ.Από το παρακάτω σχήμα παρατηρώ ότι αρχικές ροπές εμφανίςονται στα τμήματα 3-4 και 4-5. Μ 43, = = ,67kNm,4 Μ 45, = = ,67kNm,4 II. Εύρεση Κ : Από την ισορροπία του κόμβου (4) θα έχουμε: ΣΜ (4)=0 Κ -* ,67=0 Κ =70.833,33kNm

12 1 ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΤΡΙΑ (ξ 1 =0, ξ =0, ξ 3 =1, ξ 4 =0,εξωτερική φόρτιση=0) Υπολογίζω στο Γ.Κ.Σ. τις ροπές κάμψης που αναπτύσονται στα άκρα των δομικών στοιχείων λόγω αριστερόστροφης μοναδιαίας στροφής στον κόμβο (5).Από το παρακάτω σχήμα παρατηρώ ότι αρχικές ροπές εμφανίζονται στα τμήματα και 5-.Υπολογίζω μόνο τις ροπές εκατερώθεν του κόμβου γιατί μόνο αυτές θα χρησιμοποιήσω στην ισορροπία κόμβου. Μ 5,3 = =6.35kNm Μ 57,3 = =18.803,57kNm,8 Μ 54,3 = = ,67kNm,4 III. Εύρεση Κ 33 : Από την ισορροπία του κόμβου (5) θα έχουμε: ΣΜ (5)=0 Κ , ,57=0 Κ 33 = ,37kNm ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΤΕΣΣΕΡΑ (ξ 1 =0, ξ =0, ξ 3 =0, ξ 4 =1,εξωτερική φόρτιση=0) Υπολογίζω στο Γ.Κ.Σ. τις ροπές κάμψης που αναπτύσονται στα άκρα των δομικών στοιχείων λόγω μοναδιαίας οριςόντιας μετακίνησης κατά την θετική φορά στον κόμβο (5).Από το παρακάτω σχήμα παρατηρώ ότι αρχικές ροπές εμφανίζονται στα τμήματα 3-6 και 5-7.Υπολογίζω όλες τις επιρράβδιες ροπές γιατί θα χρησιμοποιήσω την αρχή των δυνατών έργων.

13 13 Μ 36,4 = ,8 =6715,56kNm Μ 57,4 = ,8 =6715,56kNm IV. Εύρεση Κ 44 : Μετατρέπω τον Γ.Κ.Σ. σε κινηματική αλυσίδα και του δίνω μια φαντασική μετακίνηση ξ 4 =1 ν.πρίν εφαρμόσω την Α.Δ.Ε. βρίσκω τις γωνίες στροφής των μελών του φορέα.έτσι λοιπόν θα έχουμε: y 63=y 57= 1ν,8 y63=y57=0,3571*1ν Εφαρμόζοντας την Α.Δ.Ε. για να βρω το Κ 44 θα έχουμε: ΣW=0 (-0,3571*1 ν )*6715,56+(-0,3571*1 ν )* 6715,56+Κ 44*1 ν =0 Κ 44=4796,88kN

14 14 Ανάλυση φόρτισης σε συμμετρική και αντισυμμετρική Η τυχαία φόρτιση αναλύεται σε μία συμμετρική και σε μια αντισυμμετρική όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Εκμεταλλευόμενοι την συμμετρία του φορέα για κάθε μια απο τις παραπάνω φορτίσεις θα έχουμε: Για την μεν συμμετρική φόρτιση δεν χρειάζεται να εκλέξω Γεωμετρικό Κύριο Σύστημα αφού δεν έχω (λόγω φόρτισης) διαγράμματα ροπών και τεμνουσών. Για την δε αντισυμμετρική φόρτιση το Γεωμετρικό Κύριο Σύστημα δίνεται στο παρακάτω σχήμα:

15 15