ΟΡΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ ΚΕΛΥΦΩΤΩΝ ΜΕΤΑΛΛΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΥΠΟ ΤΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΔΙΑΡΡΟΗΣ ILYUSHIN

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΠΑΠΑΪΩΑΝΝΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟΥ Διπλωματούχου Πολιτικού Μηχανικού Α.Π.Θ. ΟΡΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ ΚΕΛΥΦΩΤΩΝ ΜΕΤΑΛΛΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΥΠΟ ΤΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΔΙΑΡΡΟΗΣ ILYUSHIN ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 29

2 ΠΑΠΑΪΩΑΝΝΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΟΡΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ ΚΕΛΥΦΩΤΩΝ ΜΕΤΑΛΛΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΥΠΟ ΤΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΔΙΑΡΡΟΗΣ ILYUSHIN ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ Υποβλήθηκε στο Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Τομέας Επιστήμης και Τεχνολογίας των Κατασκευών Εξεταστική Επιτροπή Χ. Μπίσμπος, Καθ. Τμ. Πολ. Μηχ. Α.Π.Θ., Επιβλέπων Α.-Α. Αβδελάς, Καθ. Τμ. Πολ. Μηχ. Α.Π.Θ., Μέλος Τριμελούς Συμβ. Επ. Κ. Θωμόπουλος Καθ. Τμ. Πολ. Μηχ. Α.Π.Θ., Μέλος Τριμελούς Συμβ. Επ. Χ. Μπανιωτόπουλος Καθ. Τμ. Πολ. Μηχ. Α.Π.Θ., Μέλος Επταμελούς Εξ. Επ. Μ. Ζυγομαλάς Αν. Καθ. Τμ. Πολ. Μηχ. Α.Π.Θ., Μέλος Επταμελούς Εξ. Επ. Ε. Κολτσάκης Επ. Καθ. Τμ. Πολ. Μηχ. Α.Π.Θ., Μέλος Επταμελούς Εξ. Επ. Λ. Πιτσούλης Επ. Καθ. Γεν. Τμ. Α.Π.Θ., Μέλος Επταμελούς Εξ. Επ.

3 Στους γονείς μου

4 Πρόλογος Την άνοιξη του 22, ενώ ολοκλήρωνα την διπλωματική μου εργασία στο Εργαστήριο Μεταλλικών Κατασκευών, ο επιβλέπων τότε Καθηγητής κ. Χρήστος Μπίσμπος, σε συζήτηση για τα μελλοντικά μου σχέδια μετά την κατοχή του διπλώματος, μου πρότεινε την εκπόνηση διδακτορικής διατριβής στο θέμα του ανελαστικού υπολογισμού μεταλλικών κατασκευών στα πλαίσια του φαινόμενου προσαρμογής (shakedown analysis). Κάνοντας δεκτή την πρόταση, τον Σεπτέμβρη του 22 ξεκίνησα την επιστημονική μου έρευνα η οποία είχε ως αποτέλεσμα την παρούσα διατριβή. Αρχικά θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον Καθηγητή κ. Χρήστο Μπίσμπο για την εμπιστοσύνη που έδειξε στο πρόσωπο μου με την αρχική του πρόταση και κυρίως για την συνεχή βοήθεια και υποστήριξη κατά την διάρκεια της έρευνας, μελέτης και συγγραφής. Επίσης ευχαριστώ τους Καθηγητές και μέλη της τριμελούς συμβουλευτική μου επιτροπής, κ. Ααρών Άρη Αβδελά και Κίμωνα Θωμόπουλο για την υποστήριξη και την βοήθεια τους. Ιδιαίτερα θα ήθελα να ευχαριστήσω τους γονείς μου για την αμέριστη ηθική συμπαράσταση τους σε όλο το διάστημα των μεταπτυχιακών μου σπουδών. Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω τους συναδέλφους μου υποψήφιους και νυν διδάκτορες καθώς και το σύνολο του διδακτικού και μη προσωπικού του Εργαστηρίου Μεταλλικών Κατασκευών του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών του Α.Π.Θ., για την βοήθεια τους, τις συμβουλές τους και το ευχάριστο κλίμα που δημιούργησαν όλα αυτά τα χρόνια στο περιβάλλον του εργαστηρίου.

5 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 1.1 Το φαινόμενο προσαρμογής στην επιστήμη του πολιτικού μηχανικού Αναδρομή στην εξέλιξη του φαινόμενου της προσαρμογής Στόχοι της διατριβής Δομή της διατριβής 6 2 Η μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων (FEM) στα κελύφη Εισαγωγή Προσεγγίσεις πεπερασμένων στοιχείων Εξισώσεις ισορροπίας Περιγραφή της Γεωμετρίας Δυνάμεις κελύφους Μεγέθη διατομής Νόμος υλικού 2 3 Το γραμμικό στοιχείο κελύφους Morley Εισαγωγή Κινηματική Στοιχείου και Βασικές Εξισώσεις Εξισώσεις Τάσεων-μετακινήσεων Μητρώα μετατροπής Μητρώο Ελαστικότητας Ελαστικά Μητρώα Στοιχείου Κώδικας ανάλυσης πεπερασμένων στοιχείων 31 4 Πλαστικότητα Μετάλλων - Το κριτήριο διαρροής Ilyushin 33

6 4.1 Εισαγωγή Ελαστοπλαστικότητα Οι τανυστές τάσεων και παραμορφώσεων Στατικά και κινηματικά αποδεκτά πεδία Αρχή των δυνατών έργων Παραμένουσες τάσεις και μετακινήσεις Χαρακτηριστικά και μοντελοποίηση της μονοαξονικής συμπεριφοράς Ελαστικό τέλεια πλαστικό μοντέλο Θεωρία πλαστικής ροής Κριτήρια φόρτισης Αίτημα μέγιστης έκλυσης ενέργειας λόγω πλαστικής παραμόρφωσης Κριτήρια διαρροής Θεωρία πλαστικότητας μετάλλων Το κριτήριο Huber-von Mises Πλαστικότητα μεγεθών διατομής Το κατά προσέγγιση κριτήριο διαρροής Ilyushin 49 5 Το φαινόμενο προσαρμογής (shakedown) Εισαγωγή Το στατικό θεώρημα Το κινηματικό θεώρημα Ο συντελεστής προσαρμογής Απαλοιφή του χρόνου από το πρόβλημα προσαρμογής Η μετάβαση στα πεπερασμένα στοιχεία Στατική ανάλυση προσαρμογής 64 6 Αναγωγή της ανάλυσης προσαρμογής σε πρόβλημα κωνικού προγραμματισμού 2 ης τάξης (SOCP) Εισαγωγή Διάσπαση συμμετρικών μητρώων με τη μέθοδο Choleski (Choleski Decomposition) 69

7 6.3 Ιδιότητες συμμετρικών μητρώων Μετατροπή του κριτηρίου διαρροής Ilyushin σε ευκλείδεια νόρμα Το πρόβλημα κωνικού προγραμματισμού 2 ης τάξης (SOCP) Το πρόβλημα προσαρμογής ως πρόβλημα κωνικού προγραμματισμού 2 ης τάξης 76 7 Υπολογιστική υλοποίηση, αριθμητικά παραδείγματα και εφαρμογές Εισαγωγή Επιλογή λογισμικού Υπολογιστική υλοποίηση Προετοιμασία και εισαγωγή δεδομένων στο SeDuMi Παράδειγμα 1 ο : Scordelis-Lo στέγη Παράδειγμα 2 ο : Μεταλλική σύνδεση τύπου Κ Παράδειγμα 3 ο : Διατάξεις Σωλήνων υπό γωνία 9 ο Σχολιασμός αποτελεσμάτων 95 8 Συμπεράσματα Επιτεύγματα της διατριβής Επεκτάσεις της διατριβής 99 ENGLISH SUMMARY 1 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 14

8 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Το φαινόμενο προσαρμογής στην επιστήμη του πολιτικού μηχανικού Το ερώτημα αν μια κατασκευή είναι ικανή να παραλάβει τα εφαρμοζόμενα φορτία και με ποιό περιθώριο ασφάλειας, καθώς και πότε θα καταστεί μη λειτουργική λόγω υπερβολικών ανελαστικών παραμορφώσεων ή κατάρρευσης, αποτελούσε πάντοτε μείζον θέμα της επιστήμης του πολιτικού μηχανικού. Στην κλασική ανάλυση και στον σχεδιασμό των κατασκευών με βάση την φιλοσοφία των οριακών καταστάσεων, ο δρόμος φόρτισης θεωρείται γενικά απλός και συγκεκριμένα ως μία μονότονη, αναλογικά αυξανόμενη φόρτιση. Όμως στην πράξη, οι κατασκευές συχνά υπόκεινται σε μεταβαλλόμενες μηχανικές και θερμικές φορτίσεις. Τα φορτία αυτά μπορεί να ανακυκλίζονται (κυκλικές φορτίσεις) ή να μεταβάλλονται με άγνωστο ιστορικό αλλά παραμένουν συνήθως εντός συγκεκριμένων ορίων. Το γεγονός αυτό συχνά δημιουργεί δύο ειδών δυσκολίες: α) περιορισμένη γνώση και απορρέουσα ασάφεια σχετικά με το ακριβές ιστορικό της φόρτισης και β) σημαντικό υπολογιστικό κόστος σε μη-γραμμική βηματική ανάλυση. Σε αυτές τις περιπτώσεις της μεταβαλλόμενης φόρτισης, φορτία χαμηλότερα του ορίου πλαστικής κατάρρευσης μπορεί να προκαλέσουν 1

9 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή αστοχία της κατασκευής είτε λόγω υπερβολικής συσσώρευσης πλαστικών παραμορφώσεων (incremental plasticity ή ratcheting) είτε εξαιτίας τοπικής κόπωσης λόγω εναλλαγής του πρόσημου της μεταβολής της πλαστικής παραμόρφωσης (alternating plasticity ή low-cycle fatigue). Ωστόσο, όταν τα μεταβαλλόμενα φορτία ανήκουν σε ένα συγκεκριμένο πεδίο φόρτισης, μετά την πάροδο πεπερασμένου χρόνου ή αριθμού κύκλων φόρτισης είναι δυνατόν να σταματήσει να αναπτύσσεται περαιτέρω η υπάρχουσα πλαστική παραμόρφωση και η συσσωρευμένη ενέργεια λόγω πλαστικών παραμορφώσεων να παραμείνει τελικά πεπερασμένη με αποτέλεσμα την ελαστική συμπεριφορά της κατασκευής από το σημείο αυτό και πέρα. Το φαινόμενο αυτό αναφέρεται ως ελαστική προσαρμογή (διεθνώς ως elastic shakedown ή adaptation). Η ανάλυση προσαρμογής (shakedown analysis) έχει ως σκοπό να εκτιμήσει εάν μια κατασκευή υπό δεδομένο πεδίο φόρτισης (όχι όμως ιστορικό), κατορθώνει να πετύχει μια τέτοια μορφή ελαστικής συμπεριφοράς και να προσδιορίσει τα κρίσιμα όρια της μεταβολής του φορτίου. Αποτελεί τάση των σύγχρονων κανονισμών να ενσωματώνουν άμεσα τους τρόπους δομικής αστοχίας, με την επιδίωξη της εκμετάλλευσης της ανελαστικής παραμόρφωσης των όλκιμων υλικών με στόχο την αύξηση της φέρουσας ικανότητας και κατά συνέπεια τον σχεδιασμό οικονομικότερων κατασκευών, φέρνοντας την ανελαστική ανάλυση στο προσκήνιο ακόμα και στην εφαρμοσμένη μηχανική. Και παρόλο που η ανάλυση προσαρμογής, βασισμένη στα ακριβή θεωρήματα της κλασσικής πλαστικότητας, θεωρείται «απλοποιημένη» μέθοδος, η απλούστευση αυτή επιτυγχάνεται περιορίζοντας την ανάλυση στις καταστάσεις αστοχίας της κατασκευής και όχι προσθέτοντας επιπλέον προσεγγίσεις και παραδοχές. Ως αποτέλεσμα η μέθοδος προσφέρει αποδεκτές εκτιμήσεις της ασφάλειας μιας κατασκευής παρά το γεγονός των «χαμηλής ποιότητας» δεδομένων εισαγωγής. Σήμερα η ανάλυση προσαρμογής έχει βρει εφαρμογή σε ένα ευρύ φάσμα εκτεινόμενο από την εδαφομηχανική μέχρι το πρόβλημα της ολίσθησης-επαφής. Κατασκευές όπου το φαινόμενο προσαρμογής 2

10 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή χρησιμοποιείται ως πρόσφορη μέθοδος ανάλυσης, αναφέρονται ενδεικτικά παρακάτω: - Δεξαμενές αποθήκευσης και σιλό - Σωληνώσεις και σύνδεσμοι / γωνιακά σωλήνων - Δοχεία πίεσης - Πυρηνικοί αντιδραστήρες - Καταστρώματα οδών και σιδηροδρομικές ράγες. 1.2 Αναδρομή στην εξέλιξη του φαινόμενου της προσαρμογής Από το έργο των πρωτοπόρων Bleich [1], Melan [2, 3] και Koiter [4, 5] προέκυψαν τα κλασσικά θεωρήματα προσαρμογής, τα οποία αντιπροσωπεύουν μια από τις σημαντικότερες επιτεύξεις της θεωρίας πλαστικότητας στη Μηχανική σήμερα. Στην στατική προσέγγιση με βάση το θεώρημα του Melan άγνωστοι είναι ο συντελεστής φόρτισης και το πεδίο παραμενουσών τάσεων και επιδιώκεται η μεγιστοποίηση του συντελεστή φορτίου. Το θεώρημα του Melan ουσιαστικά καθορίζει τα πλαίσια για να πραγματοποιήσει η κατασκευή προσαρμογή (shakedown). Αντίστοιχα στην κινηματική προσέγγιση με βάση το θεώρημα του Koiter, δυϊκό του θεωρήματος Melan, άγνωστοι είναι ο συντελεστής φόρτισης και τα κινηματικά πεδία και επιδιώκεται η ελαχιστοποίηση του συντελεστή. Το θεώρημα του Koiter ορίζει τα πλαίσια ώστε η κατασκευή να αστοχήσει, να μην πραγματοποιηθεί δηλαδή προσαρμογή. Σημαντικές εισφορές στην εφαρμογή κυκλικών μηχανικών και θερμικών φορτίσεων σε λεπτότοιχα κελύφη και πλαστικές κατασκευές, αποτελούν οι εργασίες του Leckie [6, 7] για τη χρήση του μαθηματικού προγραμματισμού, του Bree [8, 9] για την καινοτομία χρήσης διαγραμμάτων και των Maier [1] και Belytschko [11] για την σύνδεση με την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. 3

11 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Η κλασσική θεωρία προσαρμογής αναπτύχθηκε εκτενώς τα επόμενα χρόνια ώστε να συμπεριλάβει και άλλα φαινόμενα, γενικότερους και πολυπλοκότερους καταστατικούς νόμους υλικού από τα ελαστικά απόλυτα πλαστικά ή την γραμμική, απεριόριστη κινηματική κράτυνση, για να καλύψει τις σύγχρονες απαιτήσεις. Η υπολογιστική υλοποίηση της ανάλυσης προσαρμογής συντελείται με τη σύνθεση κάποιας διαδικασίας διακριτοποίησης της κατασκευής στα πλαίσια της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων και χρήσης τεχνικών βελτιστοποίησης από τον χώρο του μαθηματικού προγραμματισμού. Ο Maier στο [12] γραμμικοποιώντας την επιφάνεια διαρροής μετέτρεψε το πρόβλημα σε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού (linear programming) που επιλύεται με τον γνωστό αλγόριθμο Simplex. Εάν στο διακριτοποιημένο πρόβλημα, στη στατική προσέγγιση, οι συναρτήσεις διαρροής κρατηθούν στην μη γραμμική μορφή τους, η μαθηματική μόρφωση οδηγεί σε πρόβλημα κυρτού μη γραμμικού προγραμματισμού (convex nonlinear programming) με μεγάλο αριθμό μεταβλητών και μη γραμμικές συνθήκες με σημαντικές δυσκολίες στον υπολογισμό. Για αυτόν ακριβώς το λόγο υπάρχουν αναπτύξεις αποτελεσματικών αλγορίθμων και υλοποιήσεων προσαρμοσμένων στα ειδικά χαρακτηριστικά του προβλήματος και ενσωματωμένων πολλές φορές στον ίδιο τον κώδικα της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων. Οι Stein και Zhang [13, 14], Groß-Wegge [15] και Heitzer και Staat [16, 17] ανέπτυξαν εξειδικευμένες μεθόδους διαδοχικού τετραγωνικού προγραμματισμού (sequential quadratic programming) εκμεταλλευόμενοι τα εγγενή χαρακτηριστικά του προβλήματος προσαρμογής. Επίσης ο Μακροδημόπουλος στο [18] και [19], πρότεινε μια μόρφωση των προβλημάτων προσαρμογής υπό επίπεδη και αξονοσυμμετρική ένταση, σε καθαρό πρόβλημα κωνικού προγραμματισμού δευτέρας τάξης (second order cone programming) και για το στατικό και το κινηματικό θεώρημα, για ελαστοπλαστικό υλικό καθώς και για διάφορες μορφές κράτυνσης. Μια γενίκευση της προηγούμενης μόρφωσης και στην τρισδιάστατη εντατική κατάσταση έγινε από τους Bisbos, Makrodimopoulos και Pardalos στο [2]. Ο Ψωμιάδης στο [21] πρότεινε 4

12 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή μια μέθοδο αναγωγής των προβλημάτων προσαρμογής υπό το κριτήριο Tresca σε πρόβλημα ημιθετικού προγραμματισμού (semidefinite programming). Γενικά ωστόσο, στην περίπτωση του κινηματικού θεωρήματος οι αλγόριθμοι επίλυσης είναι συνήθως επαναληπτικές μέθοδοι περίπλοκων προβλημάτων. Εργασίες πάνω στο θέμα αυτό έχουν δημοσιευθεί από τους Ponter e.a. [22, 23], Ζhang [24], Carveli e.a. [25] και Liu [26] Στόχοι της διατριβής Με βάση τα παραπάνω οι στόχοι της διατριβής ορίστηκαν ως εξής: Να μελετηθεί η ανάλυση προσαρμογής (shakedown analysis) διακριτοποιημένων κελυφωτών μεταλλικών κατασκευών υπό τρισδιάστατη εντατική κατάσταση κάνοντας χρήση του κλασσικού τέλεια ελαστοπλαστικού μοντέλου και του κατά προσέγγιση κριτηρίου διαρροής Ilyushin, το οποίο χρησιμοποιείται συχνά στην αεροναυπηγική. Ουσιαστικά, το κριτήριο Ilyushin αποτελεί ειδική περίπτωση του γνωστού κριτηρίου Huber-von Mises, όταν αυτό εκφραστεί μέσω των μεγεθών διατομής. Να χρησιμοποιηθεί στο βαθμό του εφικτού δοκιμασμένο λογισμικό μαθηματικού προγραμματισμού αναφοράς. Να συνταχθούν προγράμματα ηλεκτρονικού υπολογιστή ικανά να αναλύσουν κατασκευές υπό τρισδιάστατη εντατική κατάσταση με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων και να παράγουν τα απαραίτητα δεδομένα εισαγωγής ώστε να τροφοδοτήσουν το λογισμικό του μαθηματικού προγραμματισμού. 5

13 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Να πραγματοποιηθούν αναλύσεις προσαρμογής σε μοντέλα κατασκευών ικανού μεγέθους αλλά και πρακτικής αξίας για τον μηχανικό ώστε να διαπιστωθεί η ικανότητα επίλυσης και να μελετηθούν οι υπολογιστικές επιδόσεις της προτεινόμενης μόρφωσης. 1.4 Δομή της διατριβής Η διατριβή διαρθρώνεται σε οκτώ συνολικά κεφάλαια, συμπεριλαμβανομένου και του τρέχοντος εισαγωγικού κεφαλαίου, όπου γίνεται μια σύντομη νύξη στο φαινόμενο προσαρμογής και μια περιληπτική αναδρομή στις σημαντικότερες εργασίες γύρω από αυτό καθώς και παρατίθενται το κίνητρο και η κύρια επιδίωξη εκπόνησης της παρούσας διατριβής. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζοντα στοιχεία από την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων (Finite Element Method) στα κελύφη και συγκεκριμένα οι διάφορες μέθοδοι για τη μοντελοποίηση κελυφωτών κατασκευών έτσι ώστε να γίνει ευκολότερα κατανοητή στα επόμενα κεφάλαια η διατύπωση της ανάλυσης προσαρμογής στα πλαίσια της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων. Επίσης γίνεται αναφορά στο σύστημα μη-ορθογωνικών συντεταγμένων με σκοπό την δημιουργία μιας ολοκληρωμένης εικόνας του στοιχείου κελύφους που επιλέχθηκε για την ανάλυση των κατασκευών. Στο τρίτο κεφάλαιο έχουμε την πλήρη περιγραφή του γραμμικού στοιχείο κελύφους Morley, ένα από τα πιο απλά και αποτελεσματικά πεπερασμένα στοιχεία κελύφους γνωστό ως constant stress resultant shell element, το οποίο χρησιμοποιήθηκε για την μοντελοποίηση των κατασκευών στις αριθμητικές εφαρμογές της διατριβής. Στο τέταρτο κεφάλαιο γίνεται αρχικά μια σύντομη περιγραφή στις βασικές έννοιες και σχέσεις της θεωρίας ελαστοπλαστικότητας, βασισμένη στην κλασσική διατύπωση μέσω των τανυστών τάσης και παραμόρφωσης. 6

14 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Στη συνέχεια παρουσιάζεται το θεωρητικό υπόβαθρο της μετατροπής της θεωρίας πλαστικής ροής στην εφαρμογή καμπυλών αλληλεπίδρασης του τύπου M-N. Ακολουθεί η περιγραφή του κατά προσέγγιση κριτηρίου διαρροής Ilyushin. Το πέμπτο κεφάλαιο ασχολείται με το φαινόμενο προσαρμογής και την έννοια της ανάλυσης προσαρμογής. Περιγράφονται τα δύο θεμελιώδη θεωρήματα των Melan (στατικό θεώρημα) και Koiter (κινηματικό θεώρημα) και γίνεται η κλασσική απαλοιφή του χρόνου από το πρόβλημα προσαρμογής και η σύνδεση του με τα πεπερασμένα στοιχεία. Στο έκτο κεφάλαιο, που αποτελεί και τον θεωρητικό πυρήνα της παρούσας διατριβής, παρουσιάζεται ο μετασχηματισμός του κριτηρίου Ilyushin σε μια συνθήκη ευκλείδειας νόρμας, χάρη στον οποίο έχουμε την δυνατότητα μετατροπής του προβλήματος προσαρμογής υπό το κριτήριο αυτό, σε ένα τύπο μαθηματικού προβλήματος γνωστό ως κωνικό προγραμματισμός 2 ης τάξης (second order cone programming). Στο έβδομο κεφάλαιο καταρχήν γίνεται η επιλογή του λογισμικού βελτιστοποίησης SeDuMi του Jos F. Sturm στην πλατφόρμα του μαθηματικού πακέτου MATLAB ως το κατάλληλο υπολογιστικό εργαλείο. Στη συνέχεια αναλύεται η διαδικασία της υπολογιστικής υλοποίησης της προταθείσας μόρφωσης του προβλήματος προσαρμογής που έγινε στο προηγούμενο κεφάλαιο και επιλύονται τρείς σημαντικού μεγέθους αριθμητικές εφαρμογές με τη χρήση των προαναφερθέντων πακέτων λογισμικού καθώς και προγραμμάτων H/Y του συγγραφέα. Η πρώτη αριθμητική εφαρμογή έχει στόχο τον υπολογισμό της φέρουσας ικανότητας μίας μεταλλικής στέγης τύπου Scordelis-Lo. H στέγη Scordelis-Lo αποτελεί ένα απλό αλλά βασικό πρόβλημα (benchmark problem) για την δοκιμή πεπερασμένων στοιχείων κελύφους. Στο δεύτερο παράδειγμα, εφαρμόζουμε την ανάλυση προσαρμογής σε μια «πραγματικών διαστάσεων» κατασκευή. Συγκεκριμένα, εξετάζουμε μια μεταλλική σύνδεση δικτυώματος από ορθογωνικές κοιλοδοκούς RHS (Rectangular Hollow Section). Τέλος, η τρίτη αριθμητική εφαρμογή, αφορά τον υπολογισμό της αντοχής σε καμπτική ροπή τυποποιημένων ειδικών 7

15 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή τεμαχίων σωληνώσεων γωνίας 9 ο, γνωστών και ως «γωνιακών» (pipe elbows). Το κεφάλαιο κλείνει με σχολιασμό των τριών παραδειγμάτων. Στο όγδοο και τελευταίο κεφάλαιο, συνοψίζονται τα επιτεύγματα της διατριβής και τα πρωτότυπα σημεία με τα οποία προάγεται η επιστήμη. Παράλληλα γίνονται κάποιες προτάσεις επέκτασης και περαιτέρω διερεύνησης των παρουσιασθέντων. Τέλος ακολουθεί και μια σύντομη περίληψη της διατριβής στα Αγγλικά. 8

16 Κεφάλαιο 2 Η μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων (FEM) στα κελύφη 2.1 Εισαγωγή Η θεωρία των πεπερασμένων στοιχείων αναπτύχθηκε πριν από περίπου πενήντα χρόνια με την επαναστατική δουλειά των Argyris [27] και Turner κ.λ. [28]. Η βασική ιδέα αρχικά αναπτύχθηκε για χρήση στην μηχανική των κατασκευών αλλά σήμερα έχει βρει εφαρμογή σε διάφορα επιστημονικά πεδία. Η διαδικασία των πεπερασμένων στοιχείων αφορά την διαίρεση ή διακριτοποίηση μιας κατασκευής σε ένα πλήθος φανταστικών στοιχείων με πεπερασμένη διάσταση, τα οποία αναπαριστούν το φυσικό μοντέλο. Τα στοιχεία αυτά είναι γνωστά ως πεπερασμένα στοιχεία και υπάρχουν σε διάφορα σχήματα, με επίπεδα ή καμπύλα άκρα, μονό-διάστατα έως και τρις-διάστατα. Κάθε πεπερασμένο στοιχείο έχει ένα χαρακτηριστικό όνομα ανάλογο της συμπεριφοράς του. Η επιλογή του μοντέλου από πεπερασμένα στοιχεία για μια συγκεκριμένη κατασκευή, εξαρτάται από την γεωμετρία και την φυσική συμπεριφορά που το μοντέλο αυτό πρέπει να αναπαριστά και να αναπαράγει. 9

17 Κεφάλαιο 2 Η μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων (FEM) στα κελύφη Τα κελύφη δημιουργούν στον χώρο μια καμπύλη επιφάνεια και στην ουσία αποτελούν τρις-διάστατα στερεά σώματα. Ωστόσο, η διάσταση τους στην μία κατεύθυνση είναι πολύ μικρότερη από τις διαστάσεις στις άλλες δύο έτσι μπορούν να θεωρηθούν λεπτά σε σχέση με το άνοιγμα τους. Επομένως, ένα κέλυφος μπορεί γεωμετρικά να χαρακτηριστεί από το πάχος του και το σχήμα της μέση επιφάνειας του. Τα κελύφη είναι κατασκευές παραλαβής φορτίων και εμφανίζουν καμπτικές και μεμβρανικές εντάσεις. Οι καμπτικές εντάσεις σε ένα κέλυφος συμπίπτουν με τις καμπτικές εντάσεις σε μια πλάκα και προκαλούν καμπτικές και συστροφικές ροπές. Οι μεμβρανικές εντάσεις συμπίπτουν με τις εντάσεις ενός προβλήματος επίπεδης έντασης (plane stress) και δρουν επιφανειακά στην μέση επιφάνεια. Τα πεπερασμένα στοιχεία πλάκας διαφέρουν από τα στοιχεία κελύφους έχοντας επίπεδη επιφάνεια και καθόλου μεμβρανικές δυνάμεις. Μια πλήρης τρισδιάστατη ανάλυση κελυφών δεν είναι μόνο απαιτητική αλλά συνήθως οδηγεί σε κακώς ορισμένα μαθηματικά προβλήματα. Για το λόγω αυτό, διάφορες υποθέσεις έχουν αναπτυχθεί μέχρι σήμερα με σκοπό την απλοποίηση της λύσης. Το αποτέλεσμα των υποθέσεων αυτών ήταν μαθηματικά μοντέλα ή προσεγγιστικές θεωρίες. Οι βασικές διαφορικές εξισώσεις που προκύπτουν από τις διάφορες θεωρίες κελυφών είναι πολύπλοκες και δεν έχουν λυθεί αναλυτικά εκτός από ορισμένες περιπτώσεις όπου η γεωμετρία και οι συνοριακές συνθήκες είναι απλές. Αντίθετα, αρκετές αριθμητικές μέθοδοι αναπτύχθηκαν. Η ραγδαία όμως ανάπτυξη της τεχνολογίας των υπολογιστών οδήγησε στην αντικατάσταση πολλών από αυτών με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Μέσα στο φάσμα των μεθόδων πεπερασμένων στοιχείων, υπάρχουν τρεις δυνατότητες για τη μοντελοποίηση κελυφωτών κατασκευών: Καμπύλα στοιχεία σχεδιασμένα με βάση την χθαμαλών (shallow) θεωρία ή έντονα καμπύλων (deep) κελυφών. 1

18 Κεφάλαιο 2 Η μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων (FEM) στα κελύφη Καμπύλα στοιχεία σχεδιασμένα με βάση την ισοπαραμετρική θεωρία. Επίπεδα στοιχεία από την "συναρμολόγηση" στοιχείων πλάκας και μεμβράνης. Στην διατριβή αυτή, ο σχεδιασμός πεπερασμένων στοιχείων βασίζεται στην τρίτη περίπτωση. Κάνοντας την υπόθεση πως το κέλυφος είναι λεπτό, μπορούμε να μετατρέψουμε ένα πρόβλημα κελύφους από τρις-διάστατο σε δις-διάστατο. Η διαδικασία αυτή βασίζεται στην λεγόμενη θεωρία λεπτής πλάκας ή θεωρία πλακών Kirchhoff. Η αρχική εκδοχή αυτής της θεωρίας παρουσιάστηκε περίπου πριν από 2 χρόνια από την Sophie Germain, αλλά η τελική της εκδοχή βασίζεται στις υποθέσεις του Kirchhoff [29]. Με έναν ελάχιστα διαφορετικό τρόπο, οι Reissner [3] και Mindlin [31] παρουσίασαν την επιρροή των εγκάρσιων διατμητικών παραμορφώσεων. Η μετατροπή αυτή επέκτεινε την θεωρία λεπτής πλάκας στην εφαρμογή της σε παχιές (thick) πλάκες. Είναι κοινώς γνωστή ως η θεωρία πλακών Reissner-Mindlin. Η αποκαλούμενη πρώτη προσέγγιση του Love αναφέρει ότι "η ενέργεια της έντασης είναι το άθροισμα των ενεργειών κατά τη μέση επιφάνεια και κατά το πάχος" (Koiter [32]). Για τα λεπτά κελύφη, η προσέγγιση αυτή χρησιμοποιείται συνήθως σε συνδυασμό με την θεωρία πλακών Kirchhoff. Το αποτέλεσμα είναι η γνωστή Kirchhoff-Love υπόθεση για τα λεπτά κελύφη. Στην διατριβή αυτή, θεωρούμε δεδομένο ότι τα κελύφη είναι λεπτά και οι διατυπώσεις (formulations) βασίζονται στη θεωρία Kirchhoff-Love. Επομένως, τα παρακάτω δύο αξιώματα είναι σεβαστά: Διατομές κάθετες στην μέση επιφάνεια του κελύφους παραμένουν επίπεδες και κάθετες στην μέση επιφάνεια κατά την παραμόρφωση ενώ το μήκος τους δεν αλλάζει. 11

19 Κεφάλαιο 2 Η μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων (FEM) στα κελύφη Η ένταση με κάθετη διεύθυνση στην μέση επιφάνεια του κελύφους είναι μικρή και επομένως η παραμόρφωση κατά την διεύθυνση αυτή μπορεί να αγνοηθεί. 2.2 Προσεγγίσεις πεπερασμένων στοιχείων Μέχρι σήμερα οι διάφοροι ερευνητές έχουν ακολουθήσει πολλούς δρόμους για το σχεδιασμό των πεπερασμένων στοιχείων. Κατά συνέπεια, δεν υπάρχει μια καθολική ή μοναδική προσέγγιση που να είναι γενικά αποδεκτή. Μεταξύ των διαφοροποιήσεων είναι και η επιλογή των συναρτήσεων μορφής (shape functions) που αποτελεί το πρώτο και σημαντικότερο βήμα στην προσέγγιση των πεπερασμένων στοιχείων. Γενικότερα, υπάρχουν τέσσερεις εναλλακτικές μέθοδοι όπου η προσέγγιση μπορεί να βασιστεί. Ακριβέστερα, Διατύπωση μετακινήσεων (Displacement formulation) Δύο-επιπέδων μικτή διατύπωση (Two-field mixed formulation) Τριών-επιπέδων μικτή διατύπωση (Three-field mixed formulation) Τριών-επιπέδων μικτή διατύπωση ενισχυμένης τροπής (Three-field enhanced strain mixed formulation) Οι τελευταίες τρεις μέθοδοι ονομάζονται συλλογικά μικτές (mixed) ή απλοποιήσιμες μέθοδοι (reducible). Η πρώτη μέθοδος δεν είναι απλοποιήσιμη με την έννοια ότι καμία από τις υποτιθέμενες εξαρτημένες μεταβλητές δεν μπορεί να εξαλειφθεί και να οδηγήσει σε ένα καλά ορισμένο μαθηματικό πρόβλημα. 12

20 Κεφάλαιο 2 Η μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων (FEM) στα κελύφη Οι διατυπώσεις στην διατριβή αυτή βασίζονται αποκλειστικά στις μετακινήσεις. Στην μέθοδο αυτή, μόνο οι μετακινήσεις χρησιμοποιούνται για την προσέγγιση των στοιχείων. Για τα ορθογωνικά και τετραγωνικά στοιχεία, οι συναρτήσεις μορφής εκφράζονται ως πολυώνυμα ορισμένα στις Καρτεσιανές συντεταγμένες. Ωστόσο στα τριγωνικά στοιχεία, η συνήθης επιλογή είναι πολυώνυμα ορισμένα στις επιφανειακές συντεταγμένες. Οι συναρτήσεις μορφής έχουν τον ύψιστο ρόλο στο να επιβεβαιώσουν τη σύγκλιση στην ακριβή λύση. Η επιλογή των συναρτήσεων αυτών απαιτεί την ικανοποίηση διάφορων συνθηκών. Εάν η συνάρτηση παρουσιάζει ασυνέχεια μεταξύ των στοιχείων, τότε οδηγούμαστε στα ονομαζόμενα μη-σύμμορφα στοιχεία (non-conforming elements). 2.3 Εξισώσεις Ισορροπίας Εάν υποθέσουμε πως οι συναρτήσεις μορφής επιλέγονται χρησιμοποιώντας ως αρχικές μεταβλητές μόνο τις μετακινήσεις, τότε οι συνθήκες ισορροπίας μπορούν να εκφραστούν μέσω της αρχής του δυνατού έργου έτσι ώστε # de T v da = # du T b da + du T t ds A A #S (2.1) όπου A είναι η επιφάνεια, e η παραμόρφωση, v η ένταση, b οι δυνάμεις σώματος και t οι επιβαλλόμενες αντιδράσεις στην επιφάνεια S. Στην εξίσωση αυτή υποθέτουμε πως η κατασκευή δεν έχει αρχική ένταση. Εάν υπάρχουν παραμένουσες τάσεις, αυτές απλά προστίθενται στην συνθήκη ισορροπίας. Η Eξ. (2.1) απλά αναφέρει ότι το εσωτερικό δυνατό έργο πρέπει να εξισορροπεί το εξωτερικό δυνατό έργο. Για κάθε στοιχείο, οι μετακινήσεις προσεγγίζονται με την εξίσωση, u =! i N i r i = Nr (2.2) 13

21 Κεφάλαιο 2 Η μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων (FEM) στα κελύφη όπου το Ν i περιέχει τις συναρτήσεις μορφής ορισμένες στα πλαίσια των ανεξάρτητων πρωταρχικών μεταβλητών και r είναι το διάνυσμα μετακινήσεων του στοιχείου (βαθμοί ελευθερίας). Οι παραμορφώσεις συσχετίζονται με τις μετακινήσεις μέσω του μητρώου e = Bu (2.3) Αντικαθιστώντας τις Εξ. (2.2) και (2.3) στην Εξ. (2.1), παίρνουμε τις παραμένουσες δυνάμεις ως συνάρτηση των δυνατών μετακινήσεων dr. Δίνοντας αυθαίρετες τιμές στις μετακινήσεις αυτές, οδηγούμαστε σε μια εξίσωση ισορροπίας στοιχείου. Η εξίσωση αυτή εκφράζεται γενικά ως, t^r,gh = Kr - p = f int - f ext = (2.4) όπου K είναι το μητρώο δυσκαμψίας, p το διάνυσμα εξωτερικής φόρτισης και t το διάνυσμα των παραμενουσών δυνάμεων. Το γινόμενο Kr αντιπροσωπεύει το διάνυσμα εσωτερικών δυνάμεων. Το διάνυσμα μετακινήσεων r και η ένταση της εφαρμοσμένης φόρτισης g χαρακτηρίζονται ως οι παράμετροι ελέγχου. Για τα γραμμικά προβλήματα, το μητρώο δυσκαμψίας είναι σταθερό και συνήθως συμμετρικό και θετικά ορισμένο. Αναλόγως, η επίλυση μπορεί να επιτευχθεί με αριθμητικές μεθόδους όπως η απαλοιφή Gauss (Gauss elimination) ή η διάσπαση Cholesky (Cholesky decomposition). 14

22 Κεφάλαιο 2 Η μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων (FEM) στα κελύφη 2.4 Περιγραφή της Γεωμετρίας Για την διατύπωση του γραμμικού στοιχείου κελύφους που παρουσιάζεται στο Κεφάλαιο 3 χρησιμοποιήθηκε μη-ορθογωνικό σύστημα συντεταγμένων. Επομένως κρίνεται απαραίτητη η περιγραφή του για μια ολοκληρωμένη εικόνα του στοιχείου. Μολονότι το Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων είναι αρκετά απλό, το μη-ορθογωνικό σύστημα είναι περίπλοκο. Στις μη-ορθογωνικές συντεταγμένες, είναι απαραίτητος ο διαχωρισμός των διάφορων διανυσματικών συνιστωσών σε συναλλοίωτες (covariant), ανταλλοίωτες (contravariant) και φυσικές συνιστώσες. Στην παράγραφο αυτή, παρουσιάζεται μια συνοπτική περιγραφή αυτού του συστήματος συντεταγμένων. Θεωρούμε το τριγωνικό στοιχείο που φαίνεται στο Σχ Οι μηορθογωνικοί άξονες ορίζονται από το (p 1,p 2 ). p 2 z 2 x y p 1 p 3 n p 2 1 p 1 3 Σχήμα 2.1 Μη-ορθογωνικές συντεταγμένες Το διάνυσμα θέσης ενός σημείου στην απαραμόρφωτη μέση-επιφάνεια με αναφορά στο ορθογωνικό ή Καρτεσιανό σύστημα, ορίζεται ως, p = xe 1 + ye 2 + ze 3 (2.5) 15

23 Κεφάλαιο 2 Η μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων (FEM) στα κελύφη όπου e 1, e 2 και e 3 είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων x, y και z, αντίστοιχα. Οι άξονες αυτοί συσχετίζονται με τις μη-ορθογωνικές συντεταγμένες έτσι ώστε, x = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 (2.6) y = y 1 p 1 + y 2 p 2 + y 3 p 3 (2.7) z = z 1 p 1 + z 2 p 2 + z 3 p 3 (2.8) όπου x i, y i και z i είναι αντίστοιχα οι τιμές του x, y και z στην κορυφή i. Οι επιφανειακές συντεταγμένες p i, οι οποίες είναι αδιάστατες για ένα τριγωνικό στοιχείο, ορίζονται από την σχέση, p 1 + p 2 + p 3 = 1 # p i = A A i # 1 (2.9) όπου A είναι η συνολική επιφάνεια του τριγώνου και A i είναι η επιφάνεια καθενός από τα τρία υπό-τρίγωνα που φαίνονται στο Σχήμα 2.1. Η παραγώγιση με αναφορά τις εντός-επιπέδου Καρτεσιανές συντεταγμένες, μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει των επιφανειακών συντεταγμένων έτσι ώστε, O, x = 2O 2x = b i 2A 2O 2p i O, y = 2O a 2y = i 2A 2O 2p i (2.1) όπου το σύμβολο Oαναπαριστά την μεταβλητή προς παραγώγιση και a i =- x j + x k b i =- y j + y k (2.11) όπου τα i, j και k παίρνουν κυκλικά τις τιμές 1,2 και 3 αντίστοιχα. Στο μηορθογωνικό σύστημα συντεταγμένων, τα αδιάστατα βασικά διάνυσματα εκφράζονται με τη σχέση, 16

24 Κεφάλαιο 2 Η μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων (FEM) στα κελύφη g A = p, a = x, a e 1 + y, a e 2 + z, a e 3 (2.12) όπου ο δείκτης a παίρνει τις τιμές 1 και 2 χωρίς άθροισμα. Το κόμμα υποδηλώνει την μερική παραγώγιση με αναφορά τις επιφανειακές συντεταγμένες p a. Για τις Eξ. (2.6)-(2.8) αυτές δίνονται από τη σχέση x, 1 = x 1 - x 3 x, 2 = x 2 - x 3 (2.13) καθώς και παρόμοιες σχέσεις για τα y και z. Οι συναλλοίωτες συνιστώσες του μετρικού ή πρώτου θεμελιώδους διανύσματος της μέσης-επιφάνειας ορίζονται από τα μονοδιάστατα γινόμενα των βασικών διανυσμάτων ως, a ab = g a $ g b (2.14) Κάνοντας τους υπολογισμούς, το αποτέλεσμα είναι, a 11 = l 2 2 a 22 = l 1 2 a 12 = a 21 = 2 1 l12 (2.15) όπου l i είναι το μήκος της πλευράς i (η οποία ορίζεται ως η απέναντι πλευρά από την κορυφή i) και l 12 = l 12 + l 22 - l 3 2 (2.16) l 23 = l 22 + l 32 - l 1 2 (2.17) 2 l 31 = l 32 + l 12 - l 2 (2.18) Οι ανταλλοίωτες συνιστώσες a ab του πρώτου θεμελιώδους διανύσματος προκύπτουν από τον μετασχηματισμό, a ab a bm = d a m (2.19) 17

25 Κεφάλαιο 2 Η μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων (FEM) στα κελύφη m όπου το d a είναι το δέλτα του Kronecker. Παρατηρώντας ότι από την ορίζουσα του μετρικού διανύσματος προκύπτει η επιφάνεια του τριγώνου ως, a = det (a ab ) = 4A 2 A = 4 1 l12 l 23 + l 23 l 31 + l 31 l 12 (2.2) Επομένως οι ανταλλοίωτες συνιστώσες μπορούν να εκφραστούν ως, 2 l a 11 = 1 4A 2 2 l a 22 = 2 4A 2 l a 12 = a 21 =- 12 8A 2 (2.21) Το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα στην απαραμόρφωτη μέσηεπιφάνεια του τριγώνου δίνεται από τη σχέση, k = 2 1 f ab [g a $ g b ] = n 1 e 1 + n 2 e 2 + n 3 e 3 f 11 = f 22 = f 12 =- f 21 = 1 a (2.22) όπου f ab είναι το ανταλλοίωτο διάνυσμα αντιμετάθεσης και n i Καρτεσιανές μοναδιαίες κάθετες συνιστώσες, είναι οι R S n = S S T n 1 n 2 n 3 V W W = 1 2A W X R V S y, 1 z, 2 - z, 1 y, 2 W S z, 1 x, 2 - x, 1 z, 2 W Sx, 1 y, 2 - y, 1 x, 2 W T X (2.23) 18

26 Κεφάλαιο 2 Η μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων (FEM) στα κελύφη 2.5 Δυνάμεις κελύφους Μεγέθη διατομής Στο Σχήμα 2.2 φαίνεται ένα γενικό κέλυφος με πάχος t κάθετο στη μέσηεπιφάνεια. Οι άξονες x και y απεικονίζουν τις ορθογωνικές ευθύγραμμες συντεταγμένες στη μέση επιφάνεια και ο άξονας z την απόσταση κατά μήκος της καθέτου στην επιφάνεια αυτή. Στους άξονες αυτούς αντιστοιχούν τα αμοιβαία ορθογωνικά μοναδιαία διανύσματα e 1, e 2 και e 3. z y x t μέση-επιφάνεια Σχήμα 2.2 Γεωμετρία γενικού κελύφους Αυτά αντιπροσωπεύουν ένα σημείο ή κομμάτι της μέσης επιφάνειας και είναι προσανατολισμένα έτσι ώστε τα e 1 και e 2 να εφάπτονται στους άξονες x και y αντίστοιχα και το e 3 να είναι κάθετο στη μέση επιφάνεια. Λαμβάνοντας υπόψη την θεωρία Kirchhoff-Love, ότι οι επίπεδες διατομές παραμένουν επίπεδες, η κινηματική της μέσης επιφάνειας καθορίζει την παραμόρφωση ολόκληρου του κελύφους. Επομένως, το πρόβλημα έχει απλοποιηθεί από τις τρεις στις δύο διαστάσεις με δύο ανεξάρτητες μεταβλητές, τα x και y. Βασισμένοι σε αυτή την υπόθεση, μπορούμε να εκφράσουμε την παραμόρφωση σε κάθε σημείο του κελύφους με την εξίσωση, 19

27 Κεφάλαιο 2 Η μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων (FEM) στα κελύφη e = c + z (2.24) όπου ο πρώτος και ο δεύτερος όρος αντιπροσωπεύουν τις συμμετρικές κατά μήκος και κατά πάχος παραμορφώσεις αντίστοιχα. Οι παραμορφώσεις αυτές ορίζουν την συνολική παραμόρφωση. Οι γενικευμένες δυνάμεις που πρέπει να εξεταστούν είναι συνιστώσες έντασης N και τα ζεύγη έντασης M. Οι συνιστώσες έντασης συσχετίζονται με τις μεμβρανικές δυνάμεις ενώ τα ζεύγη έντασης είναι το αποτέλεσμα των καμπτικών ροπών. Οι γενικευμένες δυνάμεις προκύπτουν με ολοκλήρωση της κατανομής της έντασης στο πάχος του κελύφους και δίνονται από τη σχέση, N = # v dz M = # v z dz t t (2.25) όπου v το διάνυσμα της έντασης που αντιστοιχεί στην παραμόρφωση e. Για χάρη της απλότητας, στο υπόλοιπο κείμενο οι N και M θα αποκαλούνται μαζί μεγέθη διατομής Νόμος υλικού Νόμος υλικού είναι οι εξισώσεις που ορίζουν τη σχέση μεταξύ έντασης και παραμόρφωσης ενός υλικού. Για το γραμμικό στοιχείο κελύφους που παρουσιάζεται στο Κεφάλαιο 3, ο νόμος υλικού πρέπει να διατυπωθεί με βάση τα μεγέθη διατομής. Σε ένα συγκεκριμένο σημείο ολοκλήρωσης, η ένταση συσχετίζεται με την παραμόρφωση μέσω του μητρώου υλικού C t με την ολόνομη σχέση, v =C t e (2.26) Σημειώνεται πως γενικότερες, μη-ολόνομες συσχετίσεις περιέχουν τους ρυθμούς μεταβολής των v και e. 2

28 Κεφάλαιο 2 Η μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων (FEM) στα κελύφη Η Eξ. (2.26) πρέπει να εκφραστεί μέσω γενικευμένων μεταβλητών για να διατυπωθεί με βάση τα μεγέθη διατομής. Εάν αντικαταστήσουμε τις Εξ. (2.24) και (2.26) στη σχέση (2.25) οδηγούμαστε στη σχέση, N c + z = G = # C t = Gdz = C X = G c M zc + z 2 X T D > H t (2.27) όπου τα υπό-μητρώα ορίζονται ως εξής, C = # C t dz X = C t # z dz D = # C t z 2 dz t t t (2.28) Για τα ελαστικά υλικά, τα υπό-μητρώα προκύπτουν κατευθείαν από αναλυτική ολοκλήρωση και δίνονται από την σχέση, C = t C p X = D = t 3 12 C p (2.29) όπου C p είναι το συμμετρικό 3x3 μητρώο ελαστικότητας για την περίπτωση της επίπεδης παραμόρφωσης (plane stress). Το συνολικό μητρώο ελαστικότητας ισούται με, C = C = G D (2.3) 21

29 Κεφάλαιο 3 Το γραμμικό στοιχείο κελύφους Morley 3.1 Εισαγωγή Εφόσον τα κελύφη είναι συνήθως καμπύλα, είναι εύλογο να δημιουργηθεί η εντύπωση πως μόνο καμπύλα στοιχεία είναι κατάλληλα για την προσομοίωση τους. Ωστόσο, επίπεδα στοιχεία χρησιμοποιούνται συχνά για την προσέγγιση καμπύλων κελυφωτών επιφανειών. Τα στοιχεία αυτά είναι συνήθως ένας συνδυασμός στοιχείου πλάκας με στοιχείο μεμβράνης. Μερικές από τις πρώτες προσπάθειες διατύπωσης γραμμικών πεπερασμένων στοιχείων, αφορούσαν τέτοια επίπεδα στοιχεία. Σήμερα υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός επίπεδων στοιχείων κελυφών για γραμμική και μη-γραμμική ανάλυση. Κάθε στοιχείο είναι κατάλληλο για ένα περιορισμένο αριθμό προβλημάτων και η υπολογιστική του ικανότητα αποτελεί βασικό παράγοντα για την εκλογή του. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν υπολογιστικά "ακριβά" και "φθηνά" στοιχεία όπως και μαθηματικά περίπλοκα και απλά στοιχεία. Συνήθως η επιλογή του στοιχείου για την μοντελοποίηση της κατασκευής, βασίζεται στο μέγεθος του φάσματος των προβλημάτων που μπορεί να επιλύσει. Ένα από τα πιο απλά και αποτελεσματικά πεπερασμένα στοιχεία κελύφους είναι το σταθερής έντασης στοιχείο (constant stress resultant shell 22

30 Κεφάλαιο 3 Το γραμμικό στοιχείο κελύφους Morley element), κοινώς γνωστό ως το στοιχείο Morley. Η διατριβή αυτή στηρίζεται στο στοιχείο αυτό. Ο γραμμικός τύπος του στοιχείου Morley είναι ένας συνδυασμός του μεμβρανικού τριγώνου σταθερής-παραμόρφωσης των Turner κ.λ. [28] και του καμπτικού τριγώνου σταθερής-ροπής. Το πρώτο εμφανίζεται να είναι το πρώτο πεπερασμένο στοιχείου που σχεδιάστηκε. Το δεύτερο, αρχικά αποδίδεται στους Hellan [33] και Herrmann [34], οι οποίοι χρησιμοποίησαν την αρχή μεταβολών των Hellinger-Reissner. Αργότερα, ο Morley [35] σχεδίασε ένα αντίστοιχο στοιχείο μετακινήσεων (displacementbased), βασισμένος στην αρχή της ελάχιστης δυναμικής ενέργειας. Βασισμένοι στην μη-γραμμική θεωρία του von Karman, οι Providas [36] και Morley [37] διατύπωσαν ένα γεωμετρικά μη-γραμμικό Morley στοιχείο το οποίο ικανοποιεί το μη-γραμμικό patch τεστ. Χρησιμοποιώντας γραμμικά και δευτεροβάθμια πολυώνυμα για τις εντός και εκτός επιπέδου μετακινήσεις αντίστοιχα, ο Providas [36] και οι Providas και Kattis [38] διατύπωσαν μια πιο απλή μορφή του μη-γραμμικού στοιχείου που αποδίδει εξίσου καλά. Πιο πρόσφατα, οι Mohammed, Skallerud και Amdahl [39] τροποποίησαν το στοιχείο ώστε να περιλαμβάνει και μηγραμμικότητα υλικού. Στη διατριβή αυτή, χρησιμοποιείται αποκλειστικά ο γραμμικός τύπος του στοιχείου Morley. Ωστόσο η μελέτη της έρευνας όλων των παραπάνω συγγραφέων ήταν απαραίτητη για την πλήρη κατανόηση της συμπεριφοράς του στοιχείου. 23

31 Κεφάλαιο 3 Το γραμμικό στοιχείο κελύφους Morley 3.2 Κινηματική Στοιχείου και Βασικές Εξισώσεις Πριν προχωρήσουμε στα ελαστικά μητρώα υλικού, είναι σημαντικό να περιγράψουμε την κινηματική του στοιχείου για λόγους πληρότητας. Για αναλυτική περιγραφή, αναφορά γίνεται στους Morley [37] και Providas [36]. Επιπλέον, το στοιχείο χρησιμοποιεί πλήρως την έννοια των πρακτικών συνιστωσών ειδικά για τις παραμορφώσεις και για αυτό το λόγο ο αναγνώστης παραπέμπεται στο έργο του Morley [4]. Το τοπικό σύστημα αξόνων ορίζεται στο μη-ορθογωνικό σύστημα συντεταγμένων (Σχήμα 3.1). Οι γενικές συντεταγμένες περιγράφονται ως Καρτεσιανές (X,Y,Z). p 2 Z w 2 y 2 2 X Y u 2 n 3 y 5 x p 1 p 2 p p 1 w 3 i 5 y 3 u 3 πλευρά 1 πλευρά 3 πλευρά 2 i 6 i 4 w 1 u 1 Σχήμα 3.1 Γεωμετρία στοιχείου και βαθμοί ελευθερίας Το στοιχείο έχει έξι κορυφές και δώδεκα βαθμούς ελευθερίας: τις τρεις μετακινήσεις σε κάθε μια από τις κορυφές και μια στροφή στα μέσα των πλευρών του τριγώνου (Σχήμα 3.1). Στο τοπικό επίπεδο, το διάνυσμα των καμπυλώσεων αντικαθιστά τον τανυστή των στροφών έτσι ώστε οι σχέσεις που προκύπτουν να απλοποιούνται. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα, το διάνυσμα των βαθμών ελευθερίας στο τοπικό μη-ορθογωνικό p a -σύστημα συντεταγμένων να παίρνει την ακόλουθη μορφή, 24

32 Κεφάλαιο 3 Το γραμμικό στοιχείο κελύφους Morley r = e u i o (3.1) όπου u και i είναι αντίστοιχα το διάνυσμα των εντός-επιπέδου μετακινήσεων και ο τανυστής των στροφών. Αυτά δίνονται από τις σχέσεις, u T = _ u 1 y 1 u 2 y 2 u 3 y 3 i (3.2) i T = _ i 4 i 5 i 6 i (3.3) όπου u j και y j είναι αντίστοιχα οι μετατοπίσεις στην κορυφή j και i j είναι οι συνιστώσες του τανυστή των στροφών, όλα ορισμένα στο p a -σύστημα συντεταγμένων. 3.3 Εξισώσεις Τάσεων-μετακινήσεων Ο γραμμικός τανυστής τάσεων f αποτελείται από τις μεμβρανικές τάσεις e και τις γενικευμένες καμπυλότητες l, f T = e T 7 l T A (3.4) e T = 7e 11 e 22 e 12 A (3.5) l T = 7l 11 l 22 l 12 A (3.6) Όπως αναφέρθηκε στο Kεφάλαιο 2, ο γραμμικός τύπος του στοιχείου Morley είναι ένας συνδυασμός του μεμβρανικού τριγώνου σταθερής-παραμόρφωσης των Turner e.a. [28] και του καμπτικού τριγώνου σταθερής-ροπής του Morley [35]. Συνδυάζοντας τα μητρώα τάσηςμετακίνησης των δύο αυτών στοιχείων, καταλήγουμε στο μητρώο τάσηςμετακίνησης για το γραμμικό στοιχείο κελύφους Morley, 25

33 Κεφάλαιο 3 Το γραμμικό στοιχείο κελύφους Morley f = B r, B = B e 3x3 > H 3x6 B l (3.7) όπου R S B e = 1 2 S 2 S T V W -2W -1W X R 2 S b - 3 S l3 2 S c, B l = - 3 S l3 S 2b 3 c 3 S l 3 T 2 b - 1 l1 2 c - 1 l1 2b 1 c 1 l 1 2 V b - 2 W l2 W 2 c - 2 W l2 W 2b 2 c W 2 l 2 W X (3.8) b 1 = y, 2 b 2 =- y,1 b 3 = y, 1 - y, 2 c 1 =- x, 2 b 2 = x, 1 c 3 = x, 2 - x,1 Παρατηρούμε πως το μητρώο B είναι ένα block-diagonal μητρώο. 3.4 Μητρώα μετατροπής Λόγω της ύπαρξης διαφορετικών τοπικών συστημάτων για την διατύπωση του στοιχείου και του υλικού, είναι απαραίτητη η χρήση δύο μητρώων μετατροπής. Το πρώτο είναι ένα 9x12 μητρώο που σχετίζει τα τοπικά μητρώα και τους τοπικούς τανυστές στο μη-ορθογωνικό p a -σύστημα συντεταγμένων, με τις γενικές Καρτεσιανές συντεταγμένες (X,Y,Z). Το μητρώο αυτό θα ονομάζεται μητρώο μετατροπής στοιχείου. Το δεύτερο είναι ένα 3x3 μητρώο απαραίτητο για τους υπολογισμούς της πλαστικότητας. Το μητρώο αυτό σχετίζει το μητρώο υλικού και τους τανυστές τάσης και καμπυλότητας στο μη-ορθογωνικό p a - σύστημα συντεταγμένων με τις αντίστοιχες τιμές τους στο τοπικό xyσύστημα συντεταγμένων. Το μητρώο αυτό θα ονομάζεται μητρώο μετατροπής υλικού. 26

34 Κεφάλαιο 3 Το γραμμικό στοιχείο κελύφους Morley Μητρώο Μετατροπής Στοιχείου Όλες οι μετακινήσεις του στοιχείου αναφέρονται στην αρχική θέση της επιφάνειας του τριγώνου. Επομένως, το μητρώο μετατροπής στοιχείου T μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας τις αρχικές γενικές συντεταγμένες του στοιχείου. Οι τοπικοί τανυστές και τα τοπικά μητρώα σχετίζονται με τα αντίστοιχα γενικά, βάση της σχέσης, r = Tr g f g = T T f K g = T T KT (3.9) όπου r, f και K είναι αντίστοιχα ο τανυστής μετακινήσεων, ο τανυστής εσωτερικών δυνάμεων και το μητρώο δυσκαμψίας του στοιχείου στο τοπικό p a -σύστημα συντεταγμένων. Ο δείκτης g αντιπροσωπεύει τους ίδιους τανυστές και μητρώο στο γενικό (global) XYZ-σύστημα συντεταγμένων. Σύμφωνα με την Εξ. (3.1), το διάνυσμα γενικών μετακινήσεων του στοιχείου ανά-ταξινομείτε έτσι ώστε, r g = _ U 1 V 1 W 1 U 2 V 2 W 2 U 3 V 3 W 3 i 4 i 5 i 6 i T (3.1) Ακολουθώντας την διαδικασία των Morley [35],[37] και Providas [36], με τον τανυστή τοπικών μετακινήσεων να αντιστοιχεί στις Εξ. (3.1)-(3.3) καταλήγουμε στο μητρώο μετατροπής στοιχείου T για το γραμμικό στοιχείο Morley, το οποίο δίνεται από τη σχέση, R S T a S T = 2x3 S 2x3 ST p1 n T T 2x3 T a 2x3 T p2 n T 2x3 2x3 T a T p3 n T 2x3 2x3 2x3 I 3x3 V W W W W X (3.11) όπου 27

35 Κεφάλαιο 3 Το γραμμικό στοιχείο κελύφους Morley T a = > x,1 y,1 z,1 x,2 y H,2 z,2 T p1= R S S S S S S T V R b 1 b 3 + c 1 c 3 W S 2Al 3 W S l 1 W S 2A W,T p2 = S b 1 b 2 + c 1 c 2 W S 2Al 1 W S X T V b 2 b 3 + c 2 c R 3 W S 2Al 3 W S b 2 b 1 + c 2 c 1 W 2Al 1 W,T p3 = S S l W 2 S 2A W S X T V l 3 W 2A W b 3 b 1 + c 3 c 1 W 2Al 1 W b 3 b 2 + c 3 c 2 W 2Al 2 W X Οι μερικές παράγωγοι των x,y και z καθώς και το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα n δίνονται από τις Εξ. (3.13) και (3.23) αντίστοιχα. Είναι πολύ σημαντικό να σημειωθεί πως θα πρέπει να ορίζεται σωστά κάθε φορά το πρόσημο των στροφών του στοιχείου έτσι ώστε να υπάρχει συνέχεια σε στοιχεία με κοινή πλευρά. Το πρόσημο αυτό θα πρέπει να ορίζεται αρχικά πριν από την κατασκευή του συστήματος. Για ευκολία, κάποιος μπορεί να προσαρμόσει το φαινόμενο αυτό στο μητρώο μετατροπής T, πολλαπλασιάζοντας τις αντίστοιχες τρεις στήλες του μητρώου με το αντίστοιχο πρόσημο. Μητρώο Μετατροπής Υλικού Η μετατροπή αυτή θα πρέπει να παρέχει τις συνιστώσες των διανυσμάτων έντασης και καμπυλότητας στις τοπικές xy-συντεταγμένες (f (xy),l (xy) ), ή τις αντίστοιχες συνιστώσες των μεγεθών διατομής στο τοπικό p a -σύστημα συντεταγμένων (N,M). Αυτό μπορεί να επιτευχθεί εφαρμόζοντας το μητρώο μετατροπής H έτσι ώστε, f (xy) = Hf l (xy) = Hl N = H T N (xy) M = H T M (xy) (3.12) όπου 28

36 Κεφάλαιο 3 Το γραμμικό στοιχείο κελύφους Morley H = R h 1 1 S 1' h 1' h 1 1 S 2' h 2' h 1 1 S 1' h 2' T h 2 2 1' h 1' h 2 2 2' h 2' h 2 2 1' h 2' 2h 1 2 1' h 1' 2h 1 2 2' h 2' h 1 2 1' h 2' + h 1' 2 1 h 2' V W W W X (3.13) Οι όροι στην Εξ. (3.13) είναι χρήσιμοι στο σχηματισμό εκφράσεων για τις αποκαλούμενες πρακτικές συνιστώσες των επιφανειακών διανυσμάτων και τανυστών από το τοπικό μη-ορθογωνικό p a -σύστημα συντεταγμένων στο xy-σύστημα συντεταγμένων (Morley [4]). Αυτοί οι όροι είναι διαφορετικοί για κάθε πλευρά του στοιχείου ενώ οι xy-συντεταγμένες που προκύπτουν, προσανατολίζονται κάθετα στην αντίστοιχη πλευρά. Στην περίπτωση ισοτροπικού υλικού, είναι αρκετό να επιλεγεί μια συγκεκριμένη πλευρά. Αναλόγως, το μητρώο H κατασκευάζεται για την πλευρά 1, για την οποία οι όροι παίρνουν τη μορφή, h 1 l 1' =- 1 h 2 l 2A 1' =- 12 h 1 2' 4Al1 = h 2 2' =- 1 l1 (3.14) Ο προσανατολισμός των συντεταγμένων φαίνεται στο Σχήμα (3.1). 3.5 Μητρώο Ελαστικότητας Όπως αναφέρθηκε στο Κεφάλαιο 2, για ελαστικά ισοτροπικά υλικά τα μητρώα C και D (Εξ. 2.29) προκύπτουν από το μητρώο ελαστικότητας επίπεδης παραμόρφωσης C p το οποίο δίνεται από τη σχέση, C p = E 1 - v 2 R S1 Sv S S T v 1 V W W 1 - vw 2 W X (3.15) όπου E είναι το μέτρο ελαστικότητας και ν ο λόγος Poisson. 29

37 Κεφάλαιο 3 Το γραμμικό στοιχείο κελύφους Morley Με βάση την Εξ. (3.15), οι συνιστώσες των διανυσμάτων έντασης, αξονικής δύναμης και ροπής στο τοπικό p a -σύστημα δίνονται από τις σχέσεις, f T = 7f 11 f 22 f 12 A (3.16) N T = 7N 11 N 22 N 12 A (3.17) M T = 7M 11 M 22 M 12 A (3.18) Η Εξ. (3.15) ορίζεται στο τοπικό xy-σύστημα συντεταγμένων. Στο τοπικό p a -σύστημα συντεταγμένων, το μητρώο H χρησιμοποιείται έτσι ώστε, C p ' = H T C p H (3.19) 3.6 Ελαστικά Μητρώα Στοιχείου Τα ελαστικά μητρώα στοιχείου προκύπτουν από τον όρο του εσωτερικού δυνατού έργου στην Εξ. (3.1). Επιπρόσθετα, χρησιμοποιούμε την διατύπωση των μεγεθών διατομής στην Εξ. (3.27). Εφόσον η παραμόρφωση είναι σταθερή σε ολόκληρο το στοιχείο, μπορούμε να εξαλείψουμε την επιφάνεια από την ολοκλήρωση και να πολλαπλασιάσουμε την διατύπωση με την αρχική επιφάνεια A, dw i = Ade T s = A7df T dl T A = N M G (3.2) όπου s είναι τα μεγέθη διατομής και e το διάνυσμα έντασης και καμπυλότητας. Ας σημειωθεί πως τα σύμβολα e και s χρησιμοποιούνται αποκλειστικά στο κεφάλαιο αυτό. 3

38 Κεφάλαιο 3 Το γραμμικό στοιχείο κελύφους Morley Το διάνυσμα εσωτερικών δυνάμεων του στοιχείου προκύπτει απευθείας με υπολογισμούς από το εσωτερικό δυνατό έργο. Αντικαθιστώντας την Εξ. (3.7) στην Εξ. (3.2) έχουμε, dw i = Ade T s = Ad^Brh T = N M G = N B AdrT T = G = dr M T f (3.21) όπου το διάνυσμα εσωτερικών δυνάμεων f ισούται με, f = A B T N = G M (3.22) Το μητρώο δυσκαμψίας προκύπτει από διαφοροποίηση της Εξ. (3.2) η οποία εκφράζεται ως, d 2 W i = A^de T ds + d 2 e T sh (3.23) Χρησιμοποιώντας τις Εξ. (3.7), (2.27) και (3.23) εργαζόμαστε ως εξής, C d 2 W i = Adr T B T = G= de G = Adr D T B T CBdr = dr T Kdr dl (3.24) όπου K είναι το μητρώο δυσκαμψίας, K =AB T CB (3.25) 3.7 Κώδικας ανάλυσης πεπερασμένων στοιχείων Σήμερα, με την ανάπτυξη της τεχνολογίας, η ανάλυση μοντέλων πεπερασμένων στοιχείων γίνεται με κατάλληλο λογισμικό (software) στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές (hardware). Η ισχύς μάλιστα των υπολογιστικών συστημάτων δίνει τη δυνατότητα και στον απλό χρήση, με μικρό κόστος, να έχει τη δυνατότητα επίλυσης αρκετά απαιτητικών 31

39 Κεφάλαιο 3 Το γραμμικό στοιχείο κελύφους Morley μοντέλων (μεγάλος αριθμός στοιχείων-μεγάλος αριθμός βαθμών ελευθερίας). Τα πακέτα λογισμικού που κυκλοφορούν σήμερα είναι πολλά και καλύπτουν όλες τις ανάγκες. Όμως τα περισσότερα από αυτά δεν επιτρέπουν στον χρήστη να επέμβει στα ενδιάμεσα στάδια της μεθόδου επίλυσης όπως επίσης, δεν συμπεριλαμβάνουν όλα τα πεπερασμένα στοιχεία στην βιβλιοθήκη τους. Για το σκοπό της διατριβής αυτής, αναπτύχθηκε κώδικας επίλυσης πεπερασμένων στοιχείων στη γλώσσα FORTAN. Ο κώδικας εκτελεί πλήρη ελαστική ανάλυση μοντέλων που έχουν διακριτοποιηθεί με το στοιχείο Morley και μας επιτρέπει να εξάγουμε πληροφορίες από όλα τα ενδιάμεσα στάδια της μεθόδου επίλυσης. 32

40 Κεφάλαιο 4 Πλαστικότητα Μετάλλων - Το κριτήριο διαρροής Ilyushin 4.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται αρχικά μια σύντομη αναφορά στις βασικές έννοιες και σχέσεις της θεωρίας ελαστοπλαστικότητας, βασισμένη στην κλασσική διατύπωση μέσω των τανυστών τάσης και παραμόρφωσης. Στη συνέχεια παρουσιάζεται το θεωρητικό υπόβαθρο της μετατροπής της θεωρίας πλαστικής ροής στην εφαρμογή καμπύλων αλληλεπίδρασης του τύπου M-N. Με άλλα λόγια, οι βασικές σχέσεις της ελαστοπλαστικότητας παρουσιάζονται με βάση τις γενικευμένες δυνάμεις, που στην θεωρία Kirchhoff-Love είναι τα μεγέθη διατομής N και M. Ακολουθεί η περιγραφή του κατά προσέγγιση κριτηρίου διαρροής Ilyushin [41], το οποίο χρησιμοποιεί τα μεγέθη διατομής που προκύπτουν από ολοκλήρωση των αντίστοιχων σχέσεων που παρουσιάστηκαν στην παράγραφο Ο όρος κατά προσέγγιση δεν χρησιμοποιείται στο παρόν κείμενο εκτός όταν είναι απαραίτητο. Το κριτήριο στην έκφραση του περιλαμβάνει τετραγωνικά μεγέθη έντασης και προκύπτει από παραμέτρους του ρυθμού της παραμόρφωσης. Ουσιαστικά, το κριτήριο Ilyushin αποτελεί ειδική περίπτωση του γνωστού κριτηρίου Huber-von Mises, όταν αυτό εκφραστεί μέσω των μεγεθών διατομής. 33

41 Κεφάλαιο 4 Πλαστικότητα Μετάλλων Το κριτήριο διαρροής Ilyushin 4.2 Ελαστοπλαστικότητα Οι τανυστές τάσεων και παραμορφώσεων S F b n F s S u U X S s Σχήμα 4.1 Ελαστοπλαστικό σώμα Θεωρούμε ένα ελαστοπλαστικό σώμα X στον τρισδιάστατο χώρο R 3 με σύνορο S, στο οποίο ασκούνται F b δυνάμεις ανά μονάδα όγκου, F s επιφανειακές δυνάμεις στο σύνορο S s 1 S και επιβάλλονται μετακινήσεις U στο σύνορο S u 1 S με S u, S s S και S s + S u (Σχήμα 4.1). Έστω v το διάνυσμα των τάσεων στην τρισδιάστατη εντατική κατάσταση: v = 7v 11 v 22 v 33 v 12 v 23 v 13 A T (4.1) Ή σε τανυστική γραφή: R S v = S S T v 11 v 12 v 13 v 12 v 22 v 23 v 13 v 23 v 33 V W W W X (4.2) Είναι γνωστό ότι μπορούμε να χωρίσουμε τον τανυστή των τάσεων σε δύο μέρη, στον σφαιρικό ή υδροστατικό και στον αποκλίνοντα τανυστή των 34

42 Κεφάλαιο 4 Πλαστικότητα Μετάλλων Το κριτήριο διαρροής Ilyushin τάσεων. Ο υδροστατικός τανυστής των τάσεων v H (ή αλλιώς ισοτροπέας) αποτελείται από τα στοιχεία v ij = p d ij, όπου d ij το δέλτα του Kronecker και p η σφαιρική ή υδροστατική πίεση, που δίνεται από τη σχέση: p = 1^ v v 22 + v 33 h = 1 I1 3 (4.3) όπου I 1 = tr^vh = v 11 + v 22 + v 33 η πρώτη αναλλοίωτη του τανυστή των τάσεων. Ονομάζουμε v D τον αποκλίνοντα τανυστή των τάσεων (ή διαφορετικά εκτροπέα): R S v D = S S T s 11 s 12 s 13 s 12 s 22 s 23 s 13 s 23 s 33 V W W W X (4.4) Μπορούμε να γράψουμε: v = v H + v D = 3 1 I1 I + v D (4.5) Όπου I το μοναδιαίο μητρώο στον R 3x3. Ομοίως το διάνυσμα των παραμορφώσεων ή τροπών στην τρισδιάστατη εντατική κατάσταση, θα είναι: e = 7e 11 e 22 e 33 e 12 e 23 e 13 A T (4.6) Ή σε τανυστική γραφή: R S e = S S T e 11 e 12 e 13 e 12 e 22 e 23 e 13 e 23 e 33 V W W W X (4.7) 35

43 Κεφάλαιο 4 Πλαστικότητα Μετάλλων Το κριτήριο διαρροής Ilyushin Χωρίζοντας και πάλι των τανυστή των τροπών σε δύο μέρη, όπως και με τον τανυστή των τάσεων, γράφουμε: e = e H + e D = 3 1 I1 'I + e D (4.8) όπου I 1 ' = tr^eh = e 11 + e 22 + e 33 η πρώτη αναλλοίωτη του τανυστή των τροπών και e D ο τανυστής: R S e D = S S T e 11 e 12 e 13 e 12 e 22 e 23 e 13 e 23 e 33 V W W W X (4.9) Στατικά και κινηματικά αποδεκτά πεδία Οι παραμορφώσεις με τις μετακινήσεις συνδέονται με τις σχέσεις: e = e ij = 1 ui, 2 ^ j + u j, i + u r, i u r, j h, u i, j = 2u i, i, j, r 2xj = 1, 2, 3 (4.1) Στα πλαίσια της γεωμετρικής γραμμικότητας οι παραμορφώσεις είναι απειροστά πρώτης τάξης και ο όρος u r, i u r, j μηδενίζεται. Τότε η προηγούμενη σχέση γράφεται: e ij = 1 ui, 2 ^ j + u j, i h (4.11) και ο ρυθμός παραμόρφωσης: : e : ij = 1 b u 2 i, j + u : l j, i (4.12) : όπου τα σύμβολα e και u : δηλώνουν παραγώγιση ως προς τον χρόνο. Οι κινηματικές συνοριακές συνθήκες στην επιφάνεια S u γράφονται: 36

44 Κεφάλαιο 4 Πλαστικότητα Μετάλλων Το κριτήριο διαρροής Ilyushin u i = U 6x! S u (4.13) και u : i = y i, y i = V (4.14) όπου V το διάνυσμα των ταχυτήτων. Οι εξισώσεις ισορροπίας και οι στατικές συνοριακές συνθήκες στην επιφάνεια S s είναι: 2v ij 2x =- F b ij v ijn j =- F s 6x! X 6x! S s (4.15) (4.16) όπου n j = n το μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στο σύνορο S s. Το πεδίο των μετακινήσεων που ικανοποιεί τις Εξ. (4.11) και (4.13) καλείται κινηματικά αποδεκτό. Ενώ το τασικό πεδίο, οι τάσεις του οποίου ικανοποιούν τις συνθήκες ισορροπίας σε ολόκληρο τον όγκο του σώματος και παράλληλα τις στατικές συνοριακές συνθήκες, δηλ. ικανοποιούν τις Εξ. (4.15) και (4.16), ονομάζεται στατικά αποδεκτό Αρχή των δυνατών έργων Στο τρισδιάστατο σώμα όγκου V, οι ποσότητες F i s και F i b είναι οι εξωτερικές δυνάμεις ασκούμενες στην επιφάνεια S s και οι δυνάμεις ανά μονάδα όγκου, αντίστοιχα. Το τασικό πεδίο v ij είναι οποιοδήποτε σύνολο, πραγματικών η δυνατών, τάσεων σε ισορροπία με τις δυνάμεις ανά μονάδα όγκου F i b και τις επιφανειακές F i s δυνάμεις. Παρομοίως το πεδίο ) παραμορφώσεων e ij αντιπροσωπεύει οποιοδήποτε σύνολο παραμορφώσεων συμβατών με τις πραγματικές ή δυνατές μετακινήσεις u i ) των σημείων 37

45 Κεφάλαιο 4 Πλαστικότητα Μετάλλων Το κριτήριο διαρροής Ilyushin εφαρμογής των εξωτερικών δυνάμεων F i s δυνατών έργων, εκφράζεται ως: και F i b. Τότε η αρχή των W ext = W int s # F i u i) ds s + # b F i v e ) # dv ij ij S s V V (4.17) Παραμένουσες τάσεις και μετακινήσεις Ένα τασικό πεδίο t που βρίσκεται σε ισορροπία με μηδενικές δυνάμεις ανά μονάδα όγκου ενός σώματος X και μηδενικές επιφανειακές δυνάμεις στο σύνορο S s, καλείται αυτοϊσορροπούμενο. Είναι προφανές ότι ένα τέτοιο πεδίο πρέπει να ικανοποιεί τις σχέσεις: 2t ij 2x = 6x! X & tij n j = 6x! S s j (4.18) όπου n j = n το μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στο σύνορο S s. Σε ένα ελαστικό σώμα υπό δοσμένη φόρτιση, το πεδίο των πραγματικών τάσεων μπορεί να γραφεί ως: v = v e + t (4.19) όπου v e είναι το πεδίο των ελαστικών τάσεων που αντιστοιχεί στην δοσμένη φόρτιση και t το αυτοϊσορροπούμενο πεδίο των παραμενουσών τάσεων. σχέση: Αν οι ελαστικές τάσεις συνδέονται με τις παραμορφώσεις με τη v e ij = C ijkl e kl όπου C ijkl ο ελαστικός τανυστής, τότε αντίστοιχα με την Εξ. (4.19) για το πεδίο των παραμορφώσεων μπορούμε να γράψουμε: (4.2) - e ij = C 1 e - ijkl v kl + C 1 e ijkl t kl + e ij (4.21) 38

46 Κεφάλαιο 4 Πλαστικότητα Μετάλλων Το κριτήριο διαρροής Ilyushin Ο πρώτος όρος αντιπροσωπεύει το πεδίο των ελαστικών παραμορφώσεων που αντιστοιχεί στην δοσμένη φόρτιση και το οποίο είναι συμβατό με ένα πεδίο ελαστικών μετακινήσεων, έστω u e C -1 e ijkl v kl = 1 e ui, 2 _ j e + u j, i i (4.22) Εφόσον το ολικό πεδίο παραμορφώσεων e είναι επίσης κινηματικά συμβατό, οι υπόλοιποι όροι της Εξ. (4.21) θα προέρχονται από ένα πεδίο μετακινήσεων u r, το οποίο καλείται πεδίο των παραμενουσών μετακινήσεων, C -1 ijkl t kl + e e ij = 1 r ui, 2 _ j r + u j, i i (4.23) Το συνολικό πεδίο μετακινήσεων θα είναι: u =u e +u r. Στο [42] αποδεικνύεται πως το πεδίο των πλαστικών παραμορφώσεων e p προσδιορίζει με μοναδικό τρόπο το πεδίο των παραμενουσών τάσεων t και με τις ικανές συνθήκες για την αποτροπή μετακινήσεων στερεού σώματος καθορίζει επίσης το πεδίο των παραμενουσών μετακινήσεων u r. 4.3 Χαρακτηριστικά και μοντελοποίηση της μονοαξονικής συμπεριφοράς Ελαστικό τέλεια πλαστικό μοντέλο Για να βρούμε την λύση ενός προβλήματος πλαστικής παραμόρφωσης είναι απαραίτητο να καθορίσουμε επακριβώς την συμπεριφορά του υλικού, δηλαδή τη σχέση τάσεων-παραμορφώσεων που το χαρακτηρίζει. Για το λόγω αυτό δημιουργηθήκαν εξιδανικευμένα μοντέλα συμπεριφοράς, τα οποία όμως διατηρούν τα σημαντικά χαρακτηριστικά του υλικού. Το 39

47 Κεφάλαιο 4 Πλαστικότητα Μετάλλων Το κριτήριο διαρροής Ilyushin μοντέλο του ελαστικού τέλεια πλαστικού υλικού αποτελεί το πιο σύνηθες για τον δομικό χάλυβα. Όπως φαίνεται και στο διάγραμμα τάσεων-παραμορφώσεων στο Σχήμα 4.2 για το ελαστικό τέλεια πλαστικό υλικό, για μικρές τάσεις η απόκριση είναι καθαρά ελαστική. Όταν όμως φτάσουμε στην τάση διαρροής v y η παραμόρφωση μπορεί να αυξάνει απεριόριστα χωρίς επιπρόσθετη φόρτιση. v vy E E e Σχήμα 4.2 Ελαστικό τέλεια πλαστικό μοντέλο Από το σημείο αυτό τυχόν αποφόρτιση θα οδηγήσει σε παραμένουσα πλαστική παραμόρφωση του υλικού. Η σχέση τάσης-παραμόρφωσης υπό μονοαξονική φόρτιση, εκφράζεται ως: v e = E ao v < v y v y e = + m E ao v = v y (4.24) όπου E είναι το μέτρο ελαστικότητας και m μια θετική ποσότητα. 4

48 Κεφάλαιο 4 Πλαστικότητα Μετάλλων Το κριτήριο διαρροής Ilyushin Θεωρία πλαστικής ροής Η συνολική μεταβολή παραμόρφωσης de ij θεωρείται ως το άθροισμα της e μεταβολής της ελαστικής παραμόρφωσης de ij παραμόρφωσης de ij p decomposition): και τις πλαστικής (παραδοχή αθροιστικής διάσπασης ή addictive e p de ij = de ij + de ij (4.25) Η ελαστική παραμόρφωση συνδέεται με τις τάσεις σύμφωνα με τον νόμο του Hooke: v e ij = 1 + v eij E e e 1 + v ij = e vij v E - vkk E e d ij e + ve (1 + v)(1-2v) e e kk d ij (4.26) όπου E είναι το μέτρο ελαστικότητας, και v ο λόγος του Poisson και d ij το δέλτα του Kronecker. Η πλαστική παραμόρφωση μορφώνεται με βάση την υπόθεση της ύπαρξης της επιφάνειας διαρροής, της κράτυνσης (στην περίπτωση κρατυνόμοενου υλικού) και του κανόνα ροής, ο οποίος καθορίζει τη γενική μορφή της σχέσης τάσης-παραμόρφωσης ως εξής: 2g de ijp = dm 2vij (4.27) όπου g η συνάρτηση πλαστικού δυναμικού και dm μια θετική ποσότητα εξαρτώμενη από την τασική κατάσταση και το ιστορικό φόρτισης. Στην περίπτωση που η συνάρτηση διαρροής ταυτίζεται με τη συνάρτηση πλαστικού δυναμικού (f = g), τότε η πλαστική ροή είναι συσχετιζόμενη (associative flow rule) και η Eξ. (4.27) γράφεται: 41

49 Κεφάλαιο 4 Πλαστικότητα Μετάλλων Το κριτήριο διαρροής Ilyushin 2f de ijp = dm 2vij (4.28) Η διεύθυνση του διανύσματος του ρυθμού πλαστικής παραμόρφωσης de ij p είναι κάθετη στην επιφάνεια διαρροής στο σημείο του χώρου των τάσεων που αντιστοιχεί η v ij (συνθήκη καθετότητας ή normality rule) Κριτήρια φόρτισης Η επιφάνεια διαρροής σε έναν τασικό χώρο ορίζει το όριο της ελαστικής περιοχής. Αν κάποια τάση βρίσκεται μέσα στο χώρο που περικλείεται από την επιφάνεια διαρροής, τότε τοπικά έχουμε ελαστική κατάσταση και αναμένεται αποκλειστικά ελαστική συμπεριφορά. Αν όμως βρίσκεται πάνω στην επιφάνεια διαρροής αναφέρεται ως πλαστική κατάσταση και είναι δυνατόν να έχουμε είτε ελαστική είτε πλαστική συμπεριφορά. Αν ονομάσουμε f την συνάρτηση διαρροής, η οποία ορίζει την επιφάνεια διαρροής στον τασικό χώρο, τότε: f < : ορίζει την ελαστική κατάσταση f : ορίζει την πλαστική κατάσταση Αν σε ένα σημείο των τάσεων v ij βρισκόμενο στην επιφάνεια διαρροής, προστεθεί μια μεταβολή τάσης η οποία μειώνει την τιμή της f^v ij h έχουμε αποφόρτιση και δεν σημειώνεται πλαστική παραμόρφωση. Αν αντίθετα προστεθεί μια μεταβολή, η οποία αυξάνει την τιμή της f^v ij h, τότε έχουμε φόρτιση και παρατηρείται πλαστική παραμόρφωση. Η περίπτωση που η μεταβολή τάσης δεν προκαλεί μεταβολή στην τιμή της f^v ij h και εξακολουθούμε να βρισκόμαστε στην επιφάνεια διαρροής, καλείται ουδέτερη φόρτιση. Για ένα ελαστικό τέλεια πλαστικό υλικό (Σχήμα 4.3), όταν η τάση κινείται στην επιφάνεια διαρροής, είναι δυνατόν να παρατηρηθεί 42

50 Κεφάλαιο 4 Πλαστικότητα Μετάλλων Το κριτήριο διαρροής Ilyushin ελαστοπλαστική παραμόρφωση (φόρτιση) αλλά είναι επίσης πιθανόν να μην προκληθεί (ουδέτερη φόρτιση). Ισχύουν οι σχέσεις (όπου f^v ij h = f c η επιφάνεια διαρροής): ελαστική κατάσταση : f < f c lak dm = ουδέτερη φόρτιση : f = f c lak dm $ 2f, df = dv ij = 2vij αποφόρτιση : f = f c lak dm = 2f, df = dv ij < 2vij v2 f=fc και df= (Ελαστοπλαστική) (Ελαστική) (Ελαστική) v1 (Ελαστική) f( vij)=fc Επιφάνεια διαρροής Σχήμα 4.3 Επιφάνεια διαρροής για ελαστικό τέλεια πλαστικό υλικό Αίτημα μέγιστης έκλυσης ενέργειας λόγω πλαστικής παραμόρφωσης (maximal dissipation postulate) Αν ένα ελαστοπλαστικό σώμα υπό μονοαξονική φόρτιση αρχικά βρίσκεται στην τασική κατάσταση v ) με πλαστική παραμόρφωση e ) p και εξωτερικό 43

51 Κεφάλαιο 4 Πλαστικότητα Μετάλλων Το κριτήριο διαρροής Ilyushin αίτιο προκαλέσει φόρτιση μέχρι την τάση v στην επιφάνεια διαρροής, προκαλώντας μεταβολή της τάσης κατά dv και της πλαστικής παραμόρφωσης κατά de p και τελικά αποφόρτιση πίσω στην v ) (Σχήμα 4.4 (α)), το έργο ανά μονάδα όγκου θα είναι: ) p _ v ij - v ij i de ij $ (4.29) Σύμφωνα με το αίτημα Drucker το ανωτέρω έργο είναι μη αρνητικό. v v v+dv v v*. p e $ v* v* e ( α). p e # v ( β) Σχήμα 4.4 Αίτημα μέγιστης έκλυσης ενέργειας λόγω πλαστική παραμόρφωσης (α) στο χώρο των τάσεων (β) στο επίπεδο μονοαξονικής τάσης παραμόρφωσης Όπως φαίνεται και στο Σχήμα 4.4 (β) η παραπάνω ανισότητα εκφράζει την ιδιότητα ότι ο ρυθμός μεταβολής της πλαστικής παραμόρφωσης είναι θετικός (αρνητικός) μόνο εάν η τρέχουσα τάση v δεν είναι μικρότερη (μεγαλύτερη) από οποιαδήποτε τάση v ) στην ελαστική περιοχή. Η έκλυση ενέργειας λόγω πλαστικών παραμορφώσεων ανά μονάδα όγκου (dissipation) D p ορίζεται με την παρακάτω σχέση: 44

52 Κεφάλαιο 4 Πλαστικότητα Μετάλλων Το κριτήριο διαρροής Ilyushin : : D p(e p p ) = v ij e ij (4.3) Τότε η ανισότητα (4.29) μπορεί να γραφεί ως εξής: : : D p(e p p ) $ v ij e ij (4.31) 4.4 Κριτήρια διαρροής Θεωρία πλαστικότητας μετάλλων Γενικά η αρχική συνθήκη διαρροής μπορεί να γραφεί σε σχέση με την κατάσταση της τάσης v ij ως: f^v ij, kh = (4.32) όπου f καλείται η συνάρτηση διαρροής και k μια σταθερά εξαρτώμενη από το υλικό. Η θεωρία πλαστικότητας μετάλλων, η οποία ασχολείται με την ανάλυση των μόνιμων (πλαστικών) παραμορφώσεων, χαρακτηρίζεται από τις επόμενες τρεις βασικές παραδοχές: Ισοτροπία: Οι αρχικές μηχανικές ιδιότητες σε ένα σημείο του υλικού είναι οι ίδιες σε όλες τις διευθύνσεις. Πλαστική ασυμπιεστότητα: Η μεταβολή του όγκου κατά την πλαστική παραμόρφωση είναι αμελητέα και μπορεί να αγνοηθεί. Μη ευαισθησία στην υδροστατική πίεση: Η επίδραση της υδροστατικής πίεσης στην πλαστική παραμόρφωση του υλικού είναι ασήμαντη. 45

53 Κεφάλαιο 4 Πλαστικότητα Μετάλλων Το κριτήριο διαρροής Ilyushin Για ισότροπα υλικά η συνάρτηση διαρροής είναι ανεξάρτητη από την κατεύθυνση, είναι δηλαδή συνάρτηση μόνο των κύριων τάσεων v 1, v 2 και v 3 : f^v 1,v 2,v 3 h = k (4.33) Επίσης, για ισότροπο υλικό, η αντιμετάθεση οποιωνδήποτε δύο εκ των κυρίων τάσεων δεν επιφέρει τροποποίηση στην μορφή της συνάρτησης διαρροής. Τότε η Εξ. (4.33) ξαναγράφεται ως συνάρτηση των αναλλοίωτων του τανυστή των τάσεων: f^i 1, I 2, I 3 h = k (4.34) όπου I 1, I 2 και I 3 είναι η πρώτη, δεύτερη και τρίτη αναλλοίωτη του τανυστή των τάσεων v ij αντίστοιχα. Ωστόσο με βάση την τρίτη παραδοχή για μη ευαίσθητο στην υδροστατική πίεση υλικό, η υδροστατική πίεση μπορεί να αφαιρεθεί από τον τανυστή των τάσεων v ij και να προκύψει ο εκτροπέας των τάσεων s ij. Η Εξ. (4.34) παίρνει τη μορφή: f^j 2, J 3 h = k (4.35) όπου J 2 και J 3 είναι η δεύτερη και τρίτη αναλλοίωτη του τανυστή του εκτροπέα των τάσεων s ij αντίστοιχα Το κριτήριο Huber-von Mises Το κριτήριο διαρροής Huber-von Mises, κοινώς γνωστό ως το κριτήριο von Mises, είναι από τα πιο απλά και δημοφιλή κριτήρια των μετάλλων. Η συνάρτηση του κριτήριου προτάθηκε από τους Huber [43] και von Mises [44]. Στο Σχήμα 4.5 φαίνονται τα ισοδύναμα χαρακτηριστικά του κριτηρίου 46

54 Κεφάλαιο 4 Πλαστικότητα Μετάλλων Το κριτήριο διαρροής Ilyushin von Mises με το κριτήριο Tresca, το πρώτο κριτήριο διαρροής για τα μέταλλα που παρουσιάστηκε το v3 v2 Tresca Tresca v1 v1 v2 (α) κύριες τάσεις στο επίπεδο-r (β) κύριες τάσεις στο επίπεδο-2d Σχήμα 4.5 Το κριτήριο Huber-von Mises Η συνάρτηση του κριτηρίου Huber-von Mises βασίζεται στον αποκλίνοντα τανυστή και δίνεται από τη σχέση: f^v D,vh = 3 vij 2 D v ijd - v^e p h # (4.36) Από τη Εξ. (4.5) προκύπτει ότι ο αποκλίνοντας τανυστής ισούται με: v D = v I1 I (4.37) ενώ η v^e p h ισούται με: v(e p ) = v y + v * (e p ) (4.38) όπου v * (e p ) η επιπλέον ένταση λόγω κράτυνσης. 47

55 Κεφάλαιο 4 Πλαστικότητα Μετάλλων Το κριτήριο διαρροής Ilyushin Αντικαθιστώντας τις Εξ. (4.37) και (4.38) στην Εξ. (4.36) παίρνουμε την συνάρτηση του κριτηρίου διαρροής για την περίπτωση της επίπεδης έντασης: f = v v 11 v 22 + v v _ v y + v * ^e p hi 2 = (4.39) Στην περίπτωση της γραμμικής ισοτροπικής κράτυνσης η επιπλέον ένταση λόγω κράτυνσης ισούται με v * ^e p h = He p, όπου H είναι το ισοτροπικό μητρώο κράτυνσης, όπως ακριβώς το μητρώο ελαστικότητας E. Στην τελική της μορφή, η συνάρτηση του κριτηρίου δίνεται μητρωικά από τη σχέση: f^v,e p h = v T Pv - ^v y + He p h 2 = (4.4) όπου v = 7v 11 v 22 v 12 A T, e = 7e 11 e 22 2e 12 A T και R S 1 P = S-.5 S T V W W 3W X (4.41) Πλαστικότητα μεγεθών διατομής Όταν το υλικό παραμένει ελαστικό σε ολόκληρο το βάθος του κελύφους, η κατανομή της έντασης στη διατομή είναι γραμμική και τα στοιχεία του τανυστή της έντασης αυτής στις εξωτερικές ίνες δίνονται από τη σχέση: N v ij = ij M t! 6 ij t 2 (4.42) Όταν αντικαταστήσουμε την Εξ. (4.42) στην Εξ. (4.39) το αποτέλεσμα είναι: f = c N t 2! 12P t M t 4 m - ^v^e p hh 2 = (4.43) 48

56 Κεφάλαιο 4 Πλαστικότητα Μετάλλων Το κριτήριο διαρροής Ilyushin όπου η v^e p h δίνεται από τη Εξ. (4.38) και, N = N N 11 N N N 22 (4.44) M = M M 11 M M M 22 (4.45) P = N 11 M ^N 11 M 22 + N 22 M 11 h + 3N 12 M 12 + N 22 M 22 (4.46) Το κατά προσέγγιση κριτήριο διαρροής Ilyushin Η ακριβής επιφάνεια διαρροής του κριτηρίου Ilyushin δεν χρησιμοποιείται διότι η παραμετρική της μορφή στην οποία διατυπώθηκε, είναι ακατάλληλη για υπολογισμούς. Αντίθετα, η κατά προσέγγιση μορφή του κριτηρίου έχει εφαρμοστεί ευρέως. Σε συνθήκες όπου επικρατεί η κάμψη, ο Ilyushin πρότεινε μια κατά προσέγγιση επιφάνεια, της οποίας η τετραγωνική μορφή δίνεται από τη σχέση: f = N 4nP e t 2! 3t M t 4 o - ^v^e p hh 2 = (4.47) όπου n = P P =! 1. Είναι προφανές ότι εκτός από τους δύο συντελεστές των τελευταίων δύο όρων μέσα στην παρένθεση, οι Εξ. (4.43) και (4.47) είναι αρκετά όμοιες. Η διαφορά τους προκύπτει κατά κύριο λόγω από την υποτιθέμενη κατανομή της έντασης στη διατομή, όπου μόνο τα δυο-τρίτα του όρου της κάμψης από την Εξ. (4.43) χρειάζονται για την δημιουργία της κατά προσέγγιση επιφάνειας Ilyushin. Αντίστοιχα με την Εξ. (4.4) η Εξ. (4.47) γράφεται στην μητρωική της μορφή: f^v,e p h = v T Av - 1 He c + p vy 2 m = (4.48) 49

57 Κεφάλαιο 4 Πλαστικότητα Μετάλλων Το κριτήριο διαρροής Ilyushin όπου v είναι ο τανυστής των μεγεθών διατομής και το μητρώο A περιέχει σταθερούς παράγοντες: R v = = N S 1 M G A = n 2 P S S n P S2 3 m n T V n PW 2 3 m n W 1 W 2 P m W X (4.49) όπου το P δίνεται από τη Εξ. (4.41) και τα n, m ορίζονται ως: n = v y t m = 4 1 vy t 2 (4.5) Η επιφάνεια διαρροής που ορίζεται από την Εξ. (4.48) παραμένει κυρτή, αλλά το γεγονός ότι η μεταβλητή n ισούται με!1 δημιουργεί ασυνέχειες με τη μορφή κορυφής. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα τη δημιουργία μιας διπλής επιφάνειας η οποία χρειάζεται ενημέρωση της έντασης στις κορυφές. Οι Skallerud και Haugen [45] πρότειναν μια απλοποίηση της επιφάνειας, θέτοντας την μεταβλητή n ίση με. Το απλοποιημένο αυτό κριτήριο διαρροής χρησιμοποιήθηκε με επιτυχία από τους Mohammed κ.λ. [39]. Η απλοποίηση αυτή μετατρέπει την επιφάνεια της Εξ. (4.48) σε μια υπέρ-έλλειψη και συνεπώς σε μια ομαλή μοναδική επιφάνεια. Στο Σχήμα 4.6 απεικονίζονται η επιφάνεια του κριτηρίου Ilyushin και στις δύο μορφές. 5

58 Κεφάλαιο 4 Πλαστικότητα Μετάλλων Το κριτήριο διαρροής Ilyushin M/m απλοποιημένη επιφάνεια αρχική επιφάνεια N/n Σχήμα 4.6 Η επιφάνεια διαρροής Ilyushin 51

59 Κεφάλαιο 5 Το φαινόμενο προσαρμογής (shakedown) 5.1 Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι στο εσωτερικό ενός σώματος, το οποίο έχει υποστεί πλαστική παραμόρφωση, υπάρχουν και μετά την αποφόρτιση του, παραμένουσες τάσεις (residual stresses). Αυτό το πεδίο παραμενουσών τάσεων είναι δυνατόν να εξουδετερώσει τάσεις που αναπτύσσονται λόγω επακόλουθης φόρτισης και κατά συνέπεια να περιορίσει την πλαστική ροή. Συγκεκριμένα, μπορεί το πλαστικό έργο να παραμείνει πεπερασμένο για όλες τις δυνατές διαδρομές φόρτισης, μέσα σε κάποιο δοσμένο σύνολο φορτίων. Αυτός ο τύπος απόκρισης του σώματος αναφέρεται ως προσαρμογή (διεθνώς shakedown ή adaptation) στο δοσμένο σύνολο φορτίων. Συχνά χρειάζεται να δοθεί η απάντηση στο ερώτημα (ιδιαίτερα όταν εξετάζεται η απόκριση κατασκευών υπό μεταβαλλόμενη ή κυκλική φόρτιση) του αν ένα σώμα θα πραγματοποιήσει προσαρμογή ή όχι. Ας θεωρήσουμε αρχικά μια κατασκευή από ελαστοπλαστικό υλικό η οποία φορτίζεται με χρονικά μεταβαλλόμενα φορτία. Αποδεχόμενοι αργά επιβαλλόμενη φόρτιση, δηλαδή ψευδοστατικές συνθήκες (quasi-static conditions) και μοναδική μη-γραμμικότητα αυτή του υλικού, η συμπεριφορά της κατασκευής είναι δυνατόν να κατηγοριοποιηθεί στις παρακάτω περιπτώσεις: 52

60 Κεφάλαιο 5 Το φαινόμενο προσαρμογής (shakedown) 1. Εάν το μέγεθος των φορτίων παραμείνει σε χαμηλά επίπεδα, η κατασκευή έχει καθαρά ελαστική απόκριση (Σχήμα 5.1.α). 2. Αντίθετα αν η εφαρμοζόμενη φόρτιση είναι επαρκώς ισχυρή, εξαντλείται η δυνατότητα παραλαβής φορτίου και εξαιτίας μη πεπερασμένης δαπάνης ενέργειας λόγω πλαστικής παραμόρφωσης και αστοχιών, η κατασκευή φτάνει στην κατάρρευση (Σχήμα 5.1.β). 3. Αν οι μεταβολές της πλαστικής παραμόρφωσης σε κάθε κύκλο φόρτισης έχουν το ίδιο πρόσημο, έπειτα από κάποιο αριθμό κύκλων, οι συνολικές παραμορφώσεις και κατά συνέπεια οι μετακινήσεις, λόγω συνεχούς συσσώρευσης τους, αποκτούν ικανό μέγεθος ώστε η κατασκευή να χάσει την αρχική της μορφή και να καταστεί μη λειτουργική. Το φαινόμενο αυτό καλείται διεθνώς incremental plasticity ή ratcheting (Σχήμα 5.1.γ). 4. Αν οι μεταβολές της πλαστικής παραμόρφωσης αλλάζουν πρόσημο σε κάθε κύκλο φόρτισης, τείνουν να αναιρέσουν η μία την άλλη και παρόλο που οι συνολικές παραμορφώσεις της κατασκευής παραμένουν μικρές, έπειτα από κάποιο αριθμό κύκλων στα σημεία έντονης καταπόνησης επέρχεται τοπική κόπωση του υλικού και αστοχία. Το φαινόμενο αυτό καλείται διεθνώς εναλλασσόμενη πλαστικοποίηση (alternating plasticity) είτε ολιγοκυκλική κόπωση (low-cycle fatigue) (Σχήμα 5.1.γ). 5. Μετά την πάροδο κάποιου χρόνου οι πλαστικές παραμορφώσεις παύουν να αναπτύσσονται και η συσσωρευμένη ενέργεια λόγω των πλαστικών παραμορφώσεων παραμένει πεπερασμένη με αποτέλεσμα η κατασκευή από εδώ και πέρα να συμπεριφέρεται καθαρά ελαστικά. Όπως έχουμε αναφέρει το φαινόμενο αυτό καλείται προσαρμογή και στην περίπτωση αυτή λέμε πως η κατασκευή πραγματοποίησε προσαρμογή (Σχήμα 5.1.ε). 53

61 Κεφάλαιο 5 Το φαινόμενο προσαρμογής (shakedown) Η συμπεριφορά της κατασκευής στην πρώτη περίπτωση δεν επηρεάζει τη λειτουργικότητα της κατασκευής εφόσον δεν έχουμε πλαστικές παραμορφώσεις και τοπικές αστοχίες (καθαρά ελαστική συμπεριφορά). Ωστόσο είναι φανερό πως δεν αξιοποιούμε την πλήρη δυνατότητα παραλαβής φορτίου της κατασκευής. Οι επόμενες τρεις περιπτώσεις χαρακτηρίζονται από το γεγονός ότι η πλαστική ροή και οι τοπικές διαρροές συνεχίζουν να αναπτύσσονται με αποτέλεσμα οι πλαστικές παραμορφώσεις να μην παραμείνουν στάσιμες και οι συσσωρευμένες αστοχίες να επιφέρουν συνολική αστοχία της κατασκευής. Δηλαδή υπάρχουν μέρη της κατασκευής για τα οποία η πλαστική παραμόρφωση συνεχίζει να μεταβάλλεται και επομένως ισχύει η επόμενη συνθήκη: lim t " 3 : e p ^x, th! (5.1) Στην τελευταία περίπτωση, όπου η κατασκευή πραγματοποιεί προσαρμογή για το δεδομένο ιστορικό φόρτισης, έχουμε: lim t " 3 : e p ^x, th = (5.2) 54

62 Κεφάλαιο 5 Το φαινόμενο προσαρμογής (shakedown) v v v max v max e e v min v min (α) ελαστική απόκριση (β) κατάρρευση v v v max v max e e v min v min (γ) ratchetting (δ) low-cycle fatigue v v max e v min (ε) shakedown Σχήμα 5.1 Πιθανές αποκρίσεις ελαστοπλαστικής κατασκευής σε μεταβαλλόμενη φόρτιση 55

63 Κεφάλαιο 5 Το φαινόμενο προσαρμογής (shakedown) Για την απάντηση του ερωτήματος αν μια κατασκευή θα πραγματοποιήσει προσαρμογή ή όχι, έχουν αναπτυχθεί δύο μέθοδοι θεωρήματα. Το στατικό θεώρημα με μεταβλητές το πεδίο των τάσεων και το κινηματικό θεώρημα που εκφράζεται βάσει του πεδίου των ταχυτήτων. Και τα δύο ορίζουν κάποιο φράγμα του φορτίου προσαρμογής (shakedown load): από το στατικό θεώρημα προκύπτει το κάτω φράγμα, ενώ απο το κινηματικό το άνω φράγμα. 5.2 Το στατικό θεώρημα Έστω μια κατασκευή X, με μητρώο ελαστικότητας υλικού C και συνάρτηση διαρροής f, φορτίζεται με χρονικά μεταβαλλόμενα φορτία P(t) τα οποία μεταβάλλονται τυχαία μέσα σε ένα πεδίο φόρτισης L. Ο Melan στο [2] έδειξε πώς: Στατικό θεώρημα Αν υπάρχει ένας συντελεστής a>1 και ένα πεδίο παραμενουσών τάσεων t * (x) ανεξάρτητο του χρόνου, έτσι ώστε για όλες τις φορτίσεις P (t)! L ικανοποιούνται οι σχέσεις: # t *T C -1 t * dx < 3 X (5.3) f 8a_ v e ^x, th + t * ^xhib # 6x! X (5.4) τότε η κατασκευή θα πραγματοποιήσει ελαστική προσαρμογή στο δοσμένο πεδίο φόρτισης L. 56

64 Κεφάλαιο 5 Το φαινόμενο προσαρμογής (shakedown) Απόδειξη Σύμφωνα με τον Lubliner [42] η απόδειξη έχει ως εξής: Έστω t το πραγματικό πεδίο παραμενουσών τάσεων της κατασκευής και C το μητρώο υλικού (θετικά ορισμένο). Ορίζουμε την παρακάτω μη αρνητική ποσότητα: Y = 2 1 # ^t - t * h 2 dx C -1 X (5.5) Υποθέτουμε πως η κατασκευή ακόμη δεν έχει πραγματοποιήσει προσαρμογή, οπότε το πραγματικό πεδίο παραμενουσών τάσεων t και ως εκ τούτου και η Y, μπορεί να εξαρτώνται από το χρόνο. Παραγωγίζοντας την Εξ. (5.5) ως προς τον χρόνο και δεδομένου ότι το μητρώο υλικού C και το πεδίο t * εξ υποθέσεως, είναι ανεξάρτητα του χρόνου, έχουμε: Y : = * # _ t ij - t ij i 2 : t kl dx -1 C ijkl X (5.6) Εφόσον τα t και t * είναι αυτοϊσορροπούμενα πεδία και το αριστερό μέλος της Εξ. (4.23) ορίζει ένα συμβατό πεδίο παραμορφώσεων, από την αρχή των δυνατών έργων προκύπτει: * # _ t ij - t ij i C -1 : : a p ijkl t kl + e ij k dx = & X * # _ t ij - t ij ic -1 : * ijkl t kl dx =- # _ t ij - t ij X X : p ie ij dx Όποτε η Εξ. (5.6) γράφεται: Y : =- * # _ t ij - t ij X : p ie ij dx =- * # _ v ij - v ij X : p ie ij dx (5.7) e όπου v ij = v ij + t ij και v * ij = v e * ij + t ij. 57

65 Κεφάλαιο 5 Το φαινόμενο προσαρμογής (shakedown) Εξ υποθέσεως, το πεδίο v * δεν παραβιάζει το κριτήριο διαρροής και ως αποτέλεσμα του αιτήματος μέγιστης έκλυσης ενέργειας λόγω πλαστικής παραμόρφωσης (βλ. Εξ. 4.29), συμπεραίνουμε από την Εξ. (5.7) πως Y : # p, όπου η ισότητα ισχύει μόνο όταν απουσιάζει η πλαστική ροή (e ij = ). Αλλά Y $ όποτε θα πρέπει να ισχύει η ισότητα Y : = που σημαίνει ότι η Y, άρα και το πεδίο παραμενουσών τάσεων t, δεν εξαρτώνται από τον χρόνο και κατά συνέπεια η υπόθεση πως η κατασκευή ακόμη δεν έχει πραγματοποιήσει προσαρμογή είναι άτοπη. : 5.3 Το κινηματικό θεώρημα Θεωρούμε κατασκευή X με σύνορο S, στο οποίο ασκούνται F b δυνάμεις ανά μονάδα όγκου, F s επιφανειακές δυνάμεις στο σύνορο S s 1 S και επιβάλλονται μετακινήσεις U στο σύνορο S u 1 S. Ο Koiter στις εργασίες [4] και [5] έδειξε πως: Κινηματικό Θεώρημα Ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε η κατασκευή X να μην πραγματοποιήσει προσαρμογή, είναι η ύπαρξη ενός κινηματικά αποδεκτού πεδίου ταχυτήτων y *, που να ικανοποιεί τη σχέση y * = στο σύνορο S u, ώστε: Απόδειξη # $ y * dx + F s F b X : # $ y * ds u> D p (e * Su # ) dx X (5.8) Ο Lubliner στο [16] παρουσιάζει την παρακάτω απόδειξη: Αν εφαρμοστεί η αρχή δυνατών έργων στο αριστερό μέλος της ανισότητας (5.8), αυτή μετασχηματίζεται σε: 58

66 Κεφάλαιο 5 Το φαινόμενο προσαρμογής (shakedown) : # dx> D p (e * : v * e * ij ij X # ) dx X (5.9) Υποθέτουμε πως η κατασκευή έχει πραγματοποιήσει προσαρμογή και υπάρχει ένα πεδίο παραμενουσών τάσεων t ανεξάρτητο του χρόνου. Από το αίτημα μέγιστης έκλυσης ενέργειας λόγω πλαστικής παραμόρφωσης, έχουμε: : : : D p (e p ) $ v ) p e p ij e ij = (v ij + t ij )e ij και ολοκληρώνοντας, # : D p (e * ) dx $ v ij X # : e p e dx + : t e p ij X ij ij X # dx (5.1) Με την εφαρμογή της αρχής των δυνατών έργων, λόγω του ότι το t είναι αυτοϊσορροπούμενο πεδίο και y * = στο σύνορο S u, το τελευταίο ολοκλήρωμα του δεξιού μέλους της ανισότητας (5.1) μηδενίζεται. Οπότε οι ανισότητες (5.9) και (5.1) έρχονται σε αντίθεση, που σημαίνει πως η αρχική μας υπόθεση, ότι η κατασκευή έχει πραγματοποιήσει προσαρμογή, δεν είναι δυνατόν να ισχύει. 5.4 Ο συντελεστής προσαρμογής Πέρα από το ερώτημα αν μια ελαστοπλαστική κατασκευή, η οποία φορτίζεται με χρονικά μεταβαλλόμενο φορτία με τυχαίο ιστορικό στην περιοχή φόρτισης L, θα πραγματοποιήσει προσαρμογή η όχι, τίθεται το ζήτημα του πόσου μπορούμε να διευρύνουμε ή πόσο πρέπει να περιορίσουμε την L ώστε να είναι βέβαιο πως η υπό εξέταση κατασκευή θα πραγματοποιήσει προσαρμογή στην νέα περιοχή φόρτισης a SD L. Η διαδικασία ανεύρεσης αυτού του συντελεστή προσαύξησης ή αντίστοιχα 59

67 Κεφάλαιο 5 Το φαινόμενο προσαρμογής (shakedown) ελάττωσης της περιοχής φόρτισης αποτελεί την ανάλυση προσαρμογής (shakedown analysis) και ο ίδιος ο συντελεστής a SD καλείται συντελεστής προσαρμογής (shakedown factor). Στην περίπτωση που δεν έχουμε μεταβολή φορτίων και συνεπώς η περιοχή L απεικονίζεται με ένα σημείο, ο συντελεστής προσαρμογής a SD ταυτίζεται με τον συντελεστή ασφαλείας σε άμεση ή αναλογικά αυξανόμενη φόρτιση (limit analysis). Σύμφωνα με τα παραπάνω ο συντελεστής προσαρμογής μπορεί να οριστεί ως ο μέγιστος συντελεστής a SD, ο οποίος θα ικανοποιεί το στατικό θεώρημα του Melan (Eξ. (5.3) και (5.4)), δηλαδή προκύπτει το πρόβλημα: max a SD s.t. f 7a SD (v e (x, t) + t ) (x, t)) A # 6x! X ) 2t ij 2x t ij = 6x! X ) n ij = 6x! S (5.11) 5.5 Απαλοιφή του χρόνου από το πρόβλημα προσαρμογής Έστω L η περιοχή φόρτισης στην οποία ανήκουν όλα τα πιθανά χρονικά μεταβαλλόμενα φορτία P(t) που εφαρμόζονται στην κατασκευή X. Είναι φανερό πως για μεταβλητή κυκλική φόρτιση η περιοχή φόρτισης L εμπεριέχει άπειρες δυνατές φορτίσεις ενώ στην περίπτωση της μονότονης φόρτισης (limit analysis) απλά ένα και μοναδικό φορτίο. Συνεπώς κατά την ανάλυση προσαρμογής θα πρέπει να επαληθευτούν οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες (στατικό θεώρημα) για κάθε μία από τις άπειρες δυνατές φορτίσεις P(t). Έστω ότι η περιοχή L αφορά σε m ανεξάρτητες μονοπαραμετρικές φορτίσεις P(k), k = 1,..., m. Κάθε ανεξάρτητη φόρτιση καθορίζεται από μία παράμετρο που μπορεί να μεταβάλλεται μεταξύ δοσμένων ορίων 6

68 Κεφάλαιο 5 Το φαινόμενο προσαρμογής (shakedown) P (k) -, P (k) +. Καλούμε N V = 2 m το πλήθος των κορυφών P (1),..., P (N V ) του πεδίου L που ορίζονται με τον τρόπο αυτό. Τότε οποιαδήποτε φόρτιση P (t)! L εκφράζεται με έναν μοναδικό κυρτό συνδυασμό των P (k): N V N V P (t) =! m kp (k),! m k = 1 lak m k $, k = 1,..., N V k = 1 k = 1 (5.12) Οι παραπάνω σχέσεις καθορίζουν πως η περιοχή φόρτισης L είναι ένα κυρτό υπερπολύεδρο του οποίου οι κορυφές αποτελούν τις περιπτώσεις φόρτισης P (k) και γι αυτόν το λόγω ονομάζονται κορυφές φόρτισης. Λόγω της αρχής επαλληλίας οι ελαστικές τάσεις, θα δίνονται από τη σχέση: N V! k = 1 v e (x, t) = m k v e (x, k) (5.13) Αν η συνθήκη του κριτηρίου διαρροής δεν παραβιάζεται στις κορυφές φόρτισης τότε δεν θα έχουμε διαρροή και για κάθε άλλη δυνατή φόρτιση μέσα στην L. Πράγματι, χρησιμοποιώντας τις Εξ. (5.12) και (5.13) και την κυρτότητα της f έχουμε: f N V 7a (v e (x, t) + t ) (x)) A = f = a (! m k v e (x, k) + t ) (x)) G k = 1 N V = f =! m k(a (v e (x, k) + t ) (x))) G k = 1 N V #! m k f 7a (v e (x, k) + t ) (x)) A k = 1 Όμως εφόσον δεν επέρχεται διαρροή στις κορυφές φόρτισης θα ισχύει η σχέση: f m k είναι μη αρνητικοί: 7a (v e (x, k) + t ) (x)) A # και λόγω του ότι οι συντελεστές N V! k = 1 m kf7a (v e (x, k) + t ) (x)) A # (5.14) 61

69 Κεφάλαιο 5 Το φαινόμενο προσαρμογής (shakedown) Δηλαδή το πρόβλημα της ανάλυσης προσαρμογής μετασχηματίζεται στην παρακάτω μορφή: max a SD s.t. f 7a SD (v e (x, k) + t ) (x)) A # 6x! X ) 2t ij 2x t ij = 6x! X ) n ij = 6x! S (5.15) k = 1,..., N V Στην περίπτωση που - εκτός των μεταβαλλόμενων επιβαλλόμενων φορτίων υπάρχει και κάποιο νεκρό φορτίο P (π.χ. το ίδιο βάρος της κατασκευής), το οποίο προκαλεί αρχικές ελαστικές τάσεις v, το προηγούμενο πρόβλημα γράφεται ως εξής: max a SD s.t. f 7a SD (v e (x, k) + v (x) + t ) (x)) A # 6x! X ) 2t ij 2x t ij = 6x! X ) n ij = 6x! S (5.16) k = 1,..., N V 5.6 Η μετάβαση στα πεπερασμένα στοιχεία Θεωρούμε μια κατασκευή X διακριτοποιημένη σε N E πεπερασμένα στοιχεία, τα οποία συνολικά διαθέτουν N G σημεία ολοκλήρωσης Gauss και N U άγνωστες μετακινήσεις (δηλαδή μη δεσμευμένους βαθμούς ελευθερίας). Η κατασκευή υπόκειται σε φορτίσεις P (k), όπου k = 1,..., N V και με τη βοήθεια λογισμικού ανάλυσης πεπερασμένων στοιχείων υπολογίζουμε τα e διανύσματα των ελαστικών τάσεων v j! R N v, με j = 1,..., N G που αναπτύσσονται σε κάθε σημείο Gauss. Προφανώς η τάξη N S του 62

70 Κεφάλαιο 5 Το φαινόμενο προσαρμογής (shakedown) διακριτοποιημένου πεδίου των ελαστικών τάσεων θα είναι ίση με N S = N v N G. Δεδομένου ότι στα πλαίσια της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων η ισορροπία του διακριτοποιημένου φορέα εκφράζεται στα σημεία ολοκλήρωσης (σημεία Gauss), τα σημεία αυτά αποτελούν φυσική επιλογή για την εφαρμογή του στατικού θεωρήματος Melan. Έτσι, συμπεριλαμβάνοντας και την περίπτωση ύπαρξης αρχικών τάσεων v στην κατασκευή λόγω κάποιου νεκρού φορτίου, η Εξ. (5.16) γράφεται: max a SD s.t. f a SD (v e (x, k) + t ) (x) + v (x)) 7 A # 6x! I G t ) (x)! S r k = 1,..., N V 6x! I G (5.17) όπου I G = 1, 2,...N G το σύνολο των σημείων ολοκλήρωσης Gauss των πεπερασμένων στοιχείων της διακριτοποιημένης κατασκευής και S r το σύνολο των αυτοϊσορροπούμενων παραμενουσών τάσεων της κατασκευής. Χρησιμοποιώντας γραφή με δείκτη, η προηγούμενη σχέση γράφεται: max a SD s.t. f a SD (v je (i) + t j) + v j 8 B # j = 1,..., N G, i = 1,..., N V (5.18) t j )! S r j = 1,..., N G Το μητρώο ισορροπίας H! R N UxN S της κατασκευής, δίνεται από τη σχέση: H = 7H 1 :... :H NG A H j = b j B jt, j = 1,..., N G (5.19) όπου b j η σταθερά βάρους ολοκλήρωσης και B j το μητρώο σύνδεσης παραμορφώσεων μετακινήσεων στο j σημείο Gauss. Οποιοδήποτε τασικό πεδίο v! R N S θα παράγει το παρακάτω διάνυσμα εσωτερικής φόρτισης: 63

71 Κεφάλαιο 5 Το φαινόμενο προσαρμογής (shakedown) f int ^vh = Hv (5.2) το οποίο σύμφωνα με την αρχή των δυνατών έργων, θα πρέπει να ισορροπεί τη δοσμένη εξωτερική φόρτιση f int = f ext. Κατά συνέπεια ένα αυτοϊσορροπούμενο τασικό πεδίο, όπως το πεδίο των παραμενουσών τάσεων t, θα πρέπει να ικανοποιεί την σχέση (null space condition): Ht = (5.21) Επομένως η Εξ. (5.18) μπορεί να γραφεί ως: max a SD s.t. f a SD (v je (i) + t j) + v j 8 B # j = 1,..., N G, i = 1,..., N V Ht ) = (5.22) όπου t ) το διάνυσμα των t j ) με j = 1,..., N G 5.7 Στατική ανάλυση προσαρμογής Υπάρχουν τρεις κατηγορίες προβλημάτων οι οποίες σχετίζονται με την ανάλυση προσαρμογής. Πιο συγκεκριμένα, έχουμε: Το πρόβλημα της ελαστικής προσαρμογής (elastic shakedown ή ESD) Το πρόβλημα της πλαστικής προσαρμογής (plastic shakedown ή PSD) Το πρόβλημα του ελαστικού ορίου (elastic limit ή ELM) 64

72 Κεφάλαιο 5 Το φαινόμενο προσαρμογής (shakedown) Όλες οι παραπάνω κατηγορίες προβλημάτων περιλαμβάνουν τους ίδιους αγνώστους, έναν συντελεστή πολλαπλασιασμού του πεδίου φόρτισης a! R + και ένα τασικό πεδίο t! R N S. Επίσης και στις τρεις περιπτώσεις αυτοί οι κοινοί άγνωστοι εισέρχονται στις ανισοτικές συνθήκες που επιβάλλει το κριτήριο διαρροής και ο συντελεστής a αποτελεί την προς βελτιστοποίηση γραμμική συνάρτηση στόχο του προβλήματος και συγκεκριμένα προς μεγιστοποίηση. Το τασικό πεδίο t πρέπει να είναι οι αυτοϊσορροπούμενες παραμένουσες τάσεις στην περίπτωση της ελαστικής προσαρμογής ενώ μηδενίζεται στην περίπτωση του προβλήματος του ελαστικού ορίου. Γεωμετρικά το πεδίο t καθορίζει μια μετάθεση των τάσεων του πεδίου φόρτισης L ενώ ο συντελεστής πολλαπλασιασμού a μια ομοθετική αύξηση ή μείωση του πεδίου φόρτισης. 2ESD Έχουμε ήδη περιγράψει στις προηγούμενες παραγράφους το πρόβλημα της ελαστικής προσαρμογής (ESD), το οποίο εκφράζεται ως εξής: max a ESD s.t. f a ESD (v je (i) + t j) ) + v j 8 B # j = 1,..., N G, i = 1,..., N V Ht ) = (5.23) Το πρόβλημα της πλαστικής προσαρμογής (PSD), που σχετίζεται με την αστοχία εξαιτίας της εμφάνισης τοπικής κόπωσης λόγω εναλλαγής του προσήμου της μεταβολής της πλαστικής παραμόρφωσης (alternating plasticity ή low-cycle fatigue), αποτελεί απλούστερη περίπτωση από την ελαστική προσαρμογή εφόσον παραλείπεται η συνθήκη Ht j) =. Η μαθηματική διατύπωση είναι: 2PSD max a PSD s.t. f a PSD (v je (i) + t j) ) + v j 8 B # j = 1,..., N G, i = 1,..., N V (5.24) 65

73 Κεφάλαιο 5 Το φαινόμενο προσαρμογής (shakedown) Στο πρόβλημα του ελαστικού ορίου (ELM) το πεδίο τάσεων t ) μηδενίζεται, δηλαδή ισχύει η συνθήκη: t ) =. Συνεπώς το πρόβλημα βελτιστοποίησης μετατρέπεται στο μονοδιάστατο: 2ELM max a ELM s.t. f 7a ELM (v je (i)) + v j A # j = 1,..., N G, i = 1,..., N V (5.25) Αντικαθιστώντας το τασικό πεδίο t ) με το πεδίο t έτσι ώστε t = at ) οι παραπάνω διατυπώσεις της ελαστικής και πλαστικής προσαρμογής γράφονται: 2ESD max a ESD s.t. f a ESD v je (i) + t j + v j 8 B # j = 1,..., N G, i = 1,..., N V Ht = (5.26) 2PSD max a PSD s.t. f a PSD v je (i) + t j + v j 8 B # j = 1,..., N G, i = 1,..., N V (5.27) Και εφόσον a $ μπορούμε εύκολα να μετατρέψουμε τα τρία προηγούμενα προβλήματα σε προβλήματα ελαχιστοποίησης: 2ESD min - a ESD s.t. f a ESD v je (i) + t j + v j 8 B # j = 1,..., N G, i = 1,..., N V Ht = (5.28) 2PSD min - a PSD s.t. f a PSD v je (i) + t j + v j 8 B # j = 1,..., N G, i = 1,..., N V (5.29) 66

74 Κεφάλαιο 5 Το φαινόμενο προσαρμογής (shakedown) 2ELM min - a ELMD s.t. f 7a ELM v je (i) + v j A # j = 1,..., N G, i = 1,..., N V (5.3) Εάν η περιοχή φόρτισης L γίνει απλά ένα σημείο, δηλαδή N V = 1, το πρόβλημα της ελαστικής προσαρμογής ανάγεται στο πρόβλημα της ελαστικής οριακής ανάλυσης (limit analysis ή LMT). Σε αυτήν την περίπτωση η (5.26) μετασχηματίζεται στην: 2LMT max a LMT s.t. f a LMT v je + t j + v j 8 B # j = 1,..., N G Ht = (5.31) Επειδή α) το πρόβλημα της πλαστικής προσαρμογής δεν περιέχει συνθήκες ισότητας και β) η συνθήκη μηδενισμού των παραμενουσών τάσεων στο πρόβλημα ελαστικού ορίου αποτελεί έναν πολύ ισχυρότερο περιορισμό από την συνθήκη ισορροπίας (null space condition), θα ισχύει η παρακάτω ανισοτική σχέση για τους συντελεστές πολλαπλασιασμού φόρτισης των τριών προβλημάτων προσαρμογής: a ELM # a ESD # a PSD (5.32) 67

75 Κεφάλαιο 6 Αναγωγή της ανάλυσης προσαρμογής σε πρόβλημα κωνικού προγραμματισμού 2 ης τάξης (SOCP) 6.1 Εισαγωγή Το κεφάλαιο αυτό αποτελεί τον θεωρητικό πυρήνα αυτής της διατριβής. Ο μετασχηματισμός του κριτηρίου Ilyushin σε μια συνθήκη ευκλείδειας νόρμας, μας δίνει τη δυνατότητα μετατροπής του προβλήματος προσαρμογής (υπό το κριτήριο) αυτό, σε ένα τύπο μαθηματικού προβλήματος γνωστό ως δευτέρας τάξης κωνικός προγραμματισμός (Second Order Cone Programming). Με αυτό τον τρόπο, η επίλυση του προβλήματος προσαρμογής γίνεται με τη βοήθεια κατάλληλου λογισμικού SOCP. Στις πρώτες δύο παραγράφους 6.2 και 6.3 περιγράφονται η μέθοδος διάσπασης Choleksi και κάποιες από τις ιδιότητες των συμμετρικών μητρώων που χρησιμοποιούνται για τον μετασχηματισμό του κριτηρίου, στην παράγραφο 6.4. Στην συνέχεια, στην παράγραφο 6.5 δίνεται η μαθηματική διατύπωση του προβλήματος SOCP ενώ στην παράγραφο 6.6 η διατύπωση του προβλήματος προσαρμογής ως SOCP. 68

76 Κεφάλαιο 6 Αναγωγή της ανάλυσης προσαρμογής σε SOCP 6.2 Διάσπαση συμμετρικών μητρώων με τη μέθοδο Choleski (Choleski Decomposition) Έστω το συμμετρικό 3x3 μητρώο Χ, R S16 X = S 4 S 8 T V 8 W -4W 22W X (6.1) Το μητρώο Χ μπορεί να διασπαστεί συμμετρικά με τη μορφή, X = LDL T (6.2) όπου το D είναι ένα διαγώνιο και το L είναι ένα τριγωνικό μητρώο. Για το μητρώο της Εξ. (6.1) τα L, D ισούνται με, R S16 X = S 4 S 8 T V R 8 W S 1-4W= S.25 22W S.5 X T VR WS16 1 WS WS XT 4 VR WS1.25 WS 1 9WS XT V.5 W -1.5W 1 W X (6.3) Όταν το μητρώο Χ δεν είναι μόνο συμμετρικό αλλά και θετικά ορισμένο, αποδεικνύεται ότι τα στοιχεία του D είναι θετικά. Ένα διαγώνιο μητρώο D 1/2 μπορεί να οριστεί έτσι ώστε κάθε i στοιχείο του να ισούται με d i. Ορίζουμε έτσι το μητρώο L B έτσι ώστε, και L B = LD 1/2 X = LDL T = LD 1/2 D 1/2 L T = L B L B T (6.4) (6.5) Η διάσπαση του τύπου X = L B L B T ονομάζεται διάσπαση Choleski. Ας σημειωθεί πως όταν το μητρώο Χ είναι θετικά ορισμένο, το μητρώο D 1/2 69

77 Κεφάλαιο 6 Αναγωγή της ανάλυσης προσαρμογής σε SOCP είναι ένα πραγματικό μητρώο, επομένως και το μητρώο L B είναι και αυτό πραγματικό. Για το μητρώο της Εξ. (6.1) η Choleski διάσπαση είναι R S16 X = S 4 S 8 T V R 8 W S4-4W= S1 22W S2 X T ενώ στη γενική της μορφή γράφεται, VR WS4 1 2 WS 2-3 3WS XT V 2 W -3W 3 W X (6.6) i - 1! 2 l ii = ea ii - l ik l ij = k = 1 i - 1 l ik k = 1 l jj 1 2 o a ij -! l jk ^j < 1h (6.7) 6.3 Ιδιότητες συμμετρικών μητρώων Όπως είναι γνωστό για τα συμμετρικά μητρώα ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες, 1 η ιδιότητα: X T = X 2 η ιδιότητα: X T Y T = ^YXh T 3 η ιδιότητα: X T Y = Y T X 7

78 Κεφάλαιο 6 Αναγωγή της ανάλυσης προσαρμογής σε SOCP 6.4 Μετατροπή του κριτηρίου διαρροής Ilyushin σε ευκλείδεια νόρμα Όπως είδαμε στο Κεφάλαιο 4, η συνάρτηση του κριτηρίου διαρροής Ilyushin, στην μητρωική της μορφή, δίνεται από την Εξ. (4.48) όπου f^v,e p h = v T Av - 1 He c + p vy 2 m = R v = = N S 1 M G A = n 2 P S S n P S2 3m n T V n PW 2 3m n W 1 W 2 P m W X R S 1 P = S-.5 S T V W W 3W X Στην περίπτωση που αγνοήσουμε την επιρροή της κράτυνσης και θέσουμε e p =, το κριτήριο δίνεται από την σχέση, f^vh = v T Av - 1 (6.8) Ορίζουμε τα παρακάτω υπομητρώα για το μητρώο A, A NN = 1 n 2 P ANM = P n 2 3m n n A MN = 2 3m n P A MM = 1 2 P n (6.9) Αντικαθιστώντας την Εξ. (6.9) στην Εξ. (6.8) γράφουμε, 71

79 Κεφάλαιο 6 Αναγωγή της ανάλυσης προσαρμογής σε SOCP v T Av = 7N T M T A = A NN A NM A MN A G= N M G = MM = 7N T M T A A NNN + A NM M = G = A MN N + A MM M = N T A NN N + M T A MM M + N T A NM M + M T A MN N (6.1) Το μητρώο A NM είναι ίσο με το μητρώο A MN και επίσης συμμετρικό. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των συμμετρικών μητρώων, ο τελευταίος όρος της Εξ. (6.1) γράφεται, M T A MN N = M T A NM N = M T T A NM N = ^A NM Mh T N = N T A NM M (6.11) Συνδυάζοντας τις Εξ. (6.1) και (6.11) γράφουμε, v T Av = N T A NN N + M T A MM M + 2N T A NM M (6.12) Το μητρώο P μπορεί να διασπαστεί με τη μέθοδο Choleski. Ορίζουμε το τριγωνικό μητρώο L, όπου R S1 -.5 L = S 3 2 S T V W W 3W X (6.13) P = L T L (6.14) Χρησιμοποιώντας το μητρώο L, ορίζουμε τα μητρώα r, r N και r Μ, r = r N = G r N = 1 r n LN rm = 1 m LM M (6.15) 72

80 Κεφάλαιο 6 Αναγωγή της ανάλυσης προσαρμογής σε SOCP Τα μητρώα N και Μ σύμφωνα με την Εξ. (6.15) γράφονται, N = n L - 1 r N M = m L - 1 r M (6.16) Αντικαθιστώντας τις Εξ. (6.9) και (6.16) στην Εξ. (6.12) προκύπτει, N T A NN N = n ^L -1 r N h T $ 1 2 LT L $ n L -1 r N = r n NT r N (6.17) M T A MM M = m ^L -1 r M h T $ 1 2 LT L $ m L -1 r M = r m MT r M (6.18) 2N T A NM M = 2n ^L -1 r N h T n $ 2 3m n n L T L $ m L -1 r M = rnt r M 3 (6.19) v T n Av =r NT r N +r MT r M + rnt r M 3 (6.2) Η Εξ. (6.2) μητρωικά μπορεί να διατυπωθεί ως, v T T T Av = 7r N r M AB r N = G! B = r = I 3x3 c $ I 3x3 M c $ I 3x3 I G, c = n 2 3 3x3 (6.21) Το μητρώο Β μπορεί επίσης να διασπαστεί με τη μέθοδο Choleski. Ορίζουμε το τριγωνικό μητρώο Λ, όπου I 3x3 3x3 K = = G c $ I 3x3 1 - c 2 $ I 3x3 (6.22) B = KK T (6.23) 73

81 Κεφάλαιο 6 Αναγωγή της ανάλυσης προσαρμογής σε SOCP Η Εξ. (6.21) με βάση την Εξ. (6.23) γράφεται, όπου r M T v T T Av = 7r N AB r N = G = rbr T = r M = r T KK T r = ^K T rhk T r = t T t = t 2 (6.24) r t = K T r = K T N = G r M (6.25) Αντικαθιστώντας την Εξ. (6.24) στην Εξ. (6.8) παίρνουμε την συνάρτηση του κριτηρίου Ilyushin, με βάση τον αδιάστατο τανυστή t. f^th = t 2-1 (6.26) Συνοψίζοντας τους δύο μετασχηματισμούς του αρχικού τανυστή των μεγεθών διατομής v, ο αδιάστατος τανυστής t ισούται με, t = K T 1 n L 3x3 = G $ v = T $ v 1 3x3 m L (6.27) Το γεγονός ότι η μεταβλητή μ παίρνει την τιμή!1, οδηγεί σε ένα ζεύγος τάσεων t p (positive) και t n (negative), n = 1 " t p = K pt r = T p v n =- 1 " t n = K nt r = T n v (6.28) ενώ η μεταξύ τους σχέση δίνεται από την εξίσωση, T _ K p i - 1 T $ t p = _ K n i - 1 $ t n " t p = Z $ t n (6.29) 74

82 Κεφάλαιο 6 Αναγωγή της ανάλυσης προσαρμογής σε SOCP Παρατηρούμε λοιπόν πως με δύο κατάλληλους μετασχηματισμούς του αρχικού τανυστή των μεγεθών διατομής, η συνάρτηση του κριτήριο διαρροής Ilyushin μπορεί να μετατραπεί σε ευκλείδεια νόρμα. 6.5 Το πρόβλημα κωνικού προγραμματισμού 2 ης τάξης (SOCP) Σε ένα πρόβλημα δευτέρας τάξης κωνικού προγραμματισμού (Second Order Cone Programming), μια γραμμική συνάρτηση ελαχιστοποιείται υπό συνθήκες κώνου δευτέρας τάξης (τετραγωνικούς). Το πρόβλημα γράφεται ως, SOCP: N N (x) (y) min! c k x k +! c k y k + c (z) z k N N (x) (y) s.t.! A k x k +! A k y k + A (z) z k = b (6.3) y k # x k k = 1,...,N όπου x k,y k,z! R n είναι η προς βελτιστοποίηση (ελαχιστοποίηση) μεταβλητές, με δεδομένα του προβλήματος τα c k! R n ^, A k! R n k - 1h x n ^ b! R n k - 1 h. Η νόρμα που εμφανίζεται στην τελευταία συνθήκη είναι η ευκλείδεια νόρμα. και 75

83 Κεφάλαιο 6 Αναγωγή της ανάλυσης προσαρμογής σε SOCP 6.6 Το πρόβλημα προσαρμογής ως πρόβλημα κωνικού προγραμματισμού 2 ης τάξης Όπως ήδη περιγράψαμε στο Κεφάλαιο 5, το πρόβλημα της ελαστικής προσαρμογής γράφεται ως, 2ESD min - a ESD (6.31) ep s.t. f 8v j (i) = a ESD v je (i) + v j + t j B # j = 1,...,N G,i = 1,...,N V Ht = ep όπου v j (i) είναι ο τανυστής της συνολικής ελαστοπλαστικής τάσης που περιορίζεται από την συνάρτηση f του κριτηρίου διαρροής. Χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό της Εξ. (6.28) ορίζουμε μια νέα ομάδα μεταβλητών, p j = T p v j ep g j = T n v j ep v je = T p v j e v j = T p v j r j = T p t j (6.32) και το πρόβλημα της ελαστικής προσαρμογής υπό το κριτήριο Ilyushin γράφεται, 2ESD min - a ESD s.t. p j (i) = a ESD v je (i) + v j + r j j = 1,...,N G,i = 1,...,N V p j (i) = Z $ g j (i) j = 1,...,N G,i = 1,...,N V h j (i) = 1 j = 1,...,N G,i = 1,...,N V i j (i) = 1 j = 1,...,N G,i = 1,...,N V p j (i) # h j (i) j = 1,...,N G,i = 1,...,N V g j (i) # i j (i) j = 1,...,N G,i = 1,...,N V (6.33) NG! H j r j = j = 1,...,N G 76

84 Κεφάλαιο 6 Αναγωγή της ανάλυσης προσαρμογής σε SOCP Παρατηρούμε από την Εξ. (6.33) πως το πρόβλημα της ελαστικής προσαρμογής υπό το κριτήριο Ilyushin, παίρνει τη μορφή προβλήματος SOCP έπειτα από κατάλληλο μετασχηματισμό των τάσεων. Αντίστοιχα διατυπώνονται και τα προβλήματα της πλαστικής προσαρμογής και του ελαστικού ορίου, 2PSD min - a PSD s.t. p j (i) = a PSD v je (i) + v j + r j j = 1,...,N G,i = 1,...,N V p j (i) = Z $ g j (i) h j (i) = 1 i j (i) = 1 p j (i) # h j (i) g j (i) # i j (i) j = 1,...,N G,i = 1,...,N V j = 1,...,N G,i = 1,...,N V j = 1,...,N G,i = 1,...,N V j = 1,...,N G,i = 1,...,N V j = 1,...,N G,i = 1,...,N V (6.34) 2ELM min - a ELM s.t. p j (i) = a ELM v je (i) + v j j = 1,...,N G,i = 1,...,N V p j (i) = Z $ g j (i) h j (i) = 1 i j (i) = 1 p j (i) # h j (i) g j (i) # i j (i) j = 1,...,N G,i = 1,...,N V j = 1,...,N G,i = 1,...,N V j = 1,...,N G,i = 1,...,N V j = 1,...,N G,i = 1,...,N V j = 1,...,N G,i = 1,...,N V (6.35) 77

85 Κεφάλαιο 7 Υπολογιστική υλοποίηση, αριθμητικά παραδείγματα και εφαρμογές 7.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η υπολογιστική υλοποίηση της μεθόδου που αναπτύχθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο για την αναγωγή του προβλήματος προσαρμογής σε πρόβλημα κωνικού προγραμματισμού 2 ης τάξης (SOCP). Στην Παράγραφο 7.2 γίνεται η επιλογή του κατάλληλου λογισμικού μαθηματικού προγραμματισμού που θα χρησιμοποιηθεί. Στην επόμενη Παράγραφο ( 7.3) παρατίθεται ένα διάγραμμα ροής με την περιγραφή της συνολικής διαδικασίας που ακολουθείται. Στην συνέχεια (Παράγραφος 7.4) παρουσιάζεται αναλυτικά η κατάλληλη μορφοποίηση και προετοιμασία των δεδομένων για την εισαγωγή τους στο σχετικό λογισμικό μαθηματικού προγραμματισμού. Στις επόμενες τρεις Παραγράφους ( ) επιλύονται ισάριθμες αριθμητικές εφαρμογές που αφορούν μια τυπική στέγη Scordelis-Lo, μια μεταλλική σύνδεση κοιλοδοκών δικτυώματος τύπου Κ και τυποποιημένες διατάξεις σωλήνων γωνίας 9 ο. Για κάθε μια από τις εφαρμογές παρουσιάζονται αναλυτικά τα χαρακτηριστικά του φυσικού προβλήματος, τα μοντέλα πεπερασμένων στοιχείων που χρησιμοποιήθηκαν και λεπτομερή αποτελέσματα των αναλύσεων προσαρμογής που διεξήχθησαν. Στην τελευταία Παράγραφο 78

86 Κεφάλαιο 7 Υπολογιστική υλοποίηση, αριθμητικά παραδείγματα και εφαρμογές ( 7.8) σχολιάζονται τα αποτελέσματα των τριών παραδειγμάτων ως προς τις υπολογιστικές επιδόσεις του αλγόριθμου επίλυσης καθώς και την γενική συμπεριφορά της προτεινόμενης μεθόδου κατά την υπολογιστική της υλοποίηση. 7.2 Επιλογή λογισμικού Στο προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε πως με κατάλληλους μετασχηματισμούς των τάσεων, το πρόβλημα προσαρμογής και στις τρεις περιπτώσεις του καθώς και το πρόβλημα της οριακής ανάλυσης καταλήγουν σε πρόβλημα δευτέρας τάξης κωνικού προγραμματισμού. Το λογισμικό SeDuMi του Jos F Sturm, είναι ένα από τα προγράμματα που παρέχει τη δυνατότητα επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων αυτής της μορφής. Το λογισμικό αυτό αποτελεί πρόγραμμα επέκταση (toolbox add-on) του γνωστού μαθηματικού πακέτου MATLAB και για αυτό προσφέρει μεγάλη ευελιξία και ευχρηστία ως προς τον τρόπο εισαγωγής δεδομένων καθώς και την δυνατότητα συνεργασίας με εξωτερικές ρουτίνες ελέγχου γραμμένες σε γλώσσα προγραμματισμού FORTRAN ή C. Το γεγονός αυτό καθιστά το φορμά εισαγωγής προβλημάτων (problem input formats) των SeDuMi και SPDA σε ένα από τα πιο διαδεδομένα και υποστηριζόμενα από τρίτα λογισμικά στο χώρο του ημιθετικού προγραμματισμού. Για αυτό και ο κώδικας του Καθηγητή Jos F Sturm τυγχάνει της αντίστοιχης αποδοχής στην επιστημονική κοινότητα. Επομένως, για όλους τους παραπάνω λόγους, το λογισμικό SeDuMi και η μαθηματική πλατφόρμα MATLAB επιλέχθηκαν ως τα πλέον πρόσφορα και καταλληλότερα εργαλεία για την υπολογιστική υλοποίηση του προβλήματος. 79

87 Κεφάλαιο 7 Υπολογιστική υλοποίηση, αριθμητικά παραδείγματα και εφαρμογές 7.3 Υπολογιστική υλοποίηση Η συνολική διαδικασία παραγωγής και προετοιμασίας των δεδομένων καθώς και εξαγωγής των τελικών αποτελεσμάτων συνοψίζεται στο διάγραμμα ροής που φαίνεται στο Σχήμα 7.1. Είναι απαραίτητο να σημειωθεί πως τόσο για το πρόβλημα της πλαστικής προσαρμογής όσο και για το πρόβλημα του ελαστικού ορίου μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιοδήποτε υπάρχον αξιόπιστο λογισμικό FEM και δεν απαιτείται ιδιαίτερος κώδικας, αφού τα αναγκαία δεδομένα περιορίζονται στις ελαστικές τάσεις στα σημεία Gauss που αντιστοιχούν στις κορυφές της περιοχής φόρτισης. Οι τάσεις αυτές ανήκουν στα συνήθη εξαγόμενα της ανάλυσης FEM. Στην περίπτωση αυτή απαιτείται μόνο το λογισμικό που θα διαβάζει τα εξαγόμενα της ανάλυσης FEM και θα υλοποιεί την ανάπτυξη των δεδομένων εισαγωγής στο SeDuMi. Στην περίπτωση όμως της ελαστικής προσαρμογής και της οριακής ανάλυσης απαιτείται η τροφοδότηση του SeDuMi με τις ομογενείς συνθήκες ισορροπίας για τις παραμένουσες τάσεις (null space condition). Επειδή τα στοιχεία του ανωτέρω συστήματος δεν ανήκουν στα συνηθισμένα εξαγόμενα μια ανάλυσης FEM (τα μητρώα ισορροπίας δεν σχηματίζονται παρά μόνο ενδιάμεσα στην κλασσική ανάλυση FEM), απαιτείται ένας ιδιαίτερος ερευνητικός κώδικας FEM που θα σχηματίζει και θα παρέχει το μητρώο ισορροπίας H. Στα πλαίσια της παρούσας διατριβής αναπτύχθηκαν: Ερευνητικός κώδικας FEM που παρέχει τόσο τις ελαστικές τάσεις όσο και τα μητρώα H j για τον σχηματισμό των ομογενών εξισώσεων ισορροπίας (null space condition). Ο κώδικας περιλαμβάνει το στοιχείο κελύφους συνεχούς έντασης Morley. Πρόγραμμα ανάγνωσης των αποτελεσμάτων ελαστικής ανάλυσης FEM και μετασχηματισμού αυτών για την εισαγωγή στο SeDuMi. 8

88 Κεφάλαιο 7 Υπολογιστική υλοποίηση, αριθμητικά παραδείγματα και εφαρμογές vj i vj B b j H a Σχήμα 7.1 Διάγραμμα ροής διαδικασίας 81

89 Κεφάλαιο 7 Υπολογιστική υλοποίηση, αριθμητικά παραδείγματα και εφαρμογές 7.4 Προετοιμασία και εισαγωγή δεδομένων στο SeDuMi To SeDuMi λύνει, μεταξύ άλλων, προβλήματα βελτιστοποίησης της μορφής: min c T x s.t. Ax = b x i! R, i = 1,..., K.f x j! R +, j = K.f + 1,..., K.f + K.l n x n! Q cone, n = 1,..., length (K.q) n Q cone : = x n! R K.qk # K.qk : norm (x n ) * (7.1) όπου K.f είναι ο αριθμός των ελεύθερων μεταβλητών, K.l ο αριθμός των μη αρνητικών μεταβλητών και K.q το διάνυσμα με στοιχεία τις διαστάσεις των τετραγωνικών (δευτέρας τάξης) κώνων Lorentz. Στην περίπτωση π.χ. που 2 K.l = 1 και K.q [3 7] τότε x 11 $ x x 13 2 και x 14 $ x 15 + x 2 2. Για την αναλυτική περιγραφή της κατασκευής των μητρώων A,b και x, θα αναφερθούμε στην απλή περίπτωση ενός προβλήματος με δύο Gauss Points και δύο κορυφές φόρτισης (N G =2, N V =2). Σύμφωνα με την Εξ. (5.33), το διάνυσμα των αγνώστων x στην περίπτωση του ελαστικού shakedown είναι της μορφής: R V S r 1 W 46 # N G S h W S W a ESD -1 S W Sh x = 1 (1) W _ b Sp 1 (1) W b S W b Si 1 (1) W ` 1 4 # N G # N V Sg 1 (1) W b S h W b T X a Ο σχηματισμός των μητρώων A και b της συνθήκης εισαγωγής δεδομένων φαίνεται στο Σχήμα 7.2: 82

90 Κεφάλαιο 7 Υπολογιστική υλοποίηση, αριθμητικά παραδείγματα και εφαρμογές 14 # N G # N V " A = x " r1 r2 aesd h 1 (1) p 1 (1) i1(1) g 1 (1) h 2 (1) p 2 (1) i2(1) g 2 (1) g S SS S SS S SS S SS S SS S SS R S SS S T I6 # 6 6 # 6 1 # 6 1 # 6 6 # 6 6 # 6 1 # 6 1 # 6 I6 # 6 6 # 6 1 # 6 1 # 6 6 # 6 6 # 6 1 # 6 6 # 6 6 # 6 1 # 6 1 # 6 I6 # 6 6 # 6 1 # 6 1 # 6 6 # 6 6 # 6 1 # 6 1 # 6 I6 # 6 6 # 6 1 # 6 v 1 e(1) 6 # 1 v 2 e(1) 6 # 1 v 1 e(2) 6 # 1 v 2 e(2) 6 # 1 1 # 6 1 # 6 H1 H2 6 # 1 6 # 1 1 -I6 # 6 T _ i -1 Kp 1 # 6 1 # 6 6 # 1 6 # # 6 T _ Kn i -1 1 # 6 1 # 6 6 # 1 6 # 1 1 -I6 # 6 T _ i -1 Kp 1 # 6 1 # 6 6 # 1 6 # # 6 T _ Kn i -1 1 # 6 1 # 6 j * H = 7H1 H2 A V W WW W WW W WW W WW W WW W WW W WW W X R S SS S SS S SS S SS S SS b = S SS S SS S T v 1 (1) 1 1 v 2(1) 1 1 v 1 (2) 1 1 v 2(2) 1 1 V W WW W WW W WW W WW W WW W WW W WW W X Σχήμα 7.2 Μητρώα συνθήκης δεδομένων 83

91 Κεφάλαιο 7 Υπολογιστική υλοποίηση, αριθμητικά παραδείγματα και εφαρμογές Εφόσον η συνάρτηση στόχος είναι ίση με c T x =- a ESD, είναι προφανές πως ο μοναδικός μη μηδενικός όρος του διανύσματος c, είναι αυτός που αντιστοιχεί στον συντελεστή προσαρμογής και θα ισούται με -1. c = R S S S h -1 S S S S S S S T h V W W W -1 W W _ b W b W b W ` W b W b X a Με τον τρόπο αυτό, έχουμε διατυπώσει σε μητρωική μορφή το σύνολο των συνθηκών για την περίπτωση του ελαστικού shakedown, σύμφωνα πάντα με την Εξ. (6.33). Εισάγοντας τα δεδομένα με τη συγκεκριμένη μορφή στο λογισμικό SeDuMi, υπολογίζουμε τον συντελεστή της ελαστικής προσαρμογής a ESD για το συγκεκριμένο πρόβλημα. Αντίστοιχα, με παρόμοιο τρόπο εισάγονται τα δεδομένα στις περιπτώσεις της πλαστικής προσαρμογής και του ελαστικού ορίου. 46 # N G 1 4 # N G # N V 7.5 Παράδειγμα 1 ο : Στέγη Scordelis-Lo Η πρώτη αριθμητική εφαρμογή έχει στόχο τον υπολογισμό της φέρουσας ικανότητας μίας μεταλλικής στέγης Scordelis-Lo. H στέγη Scordelis-Lo αποτελεί ένα απλό αλλά βασικό πρόβλημα (benchmark problem) για την δοκιμή πεπερασμένων στοιχείων κελύφους. Εφαρμόζοντας επομένως την μέθοδο που αναπτύξαμε σε ένα τέτοιο πρόβλημα, ελέγχουμε παράλληλα με την αξιοπιστία της μεθόδου και την λειτουργία του στοιχείου Morley στον κώδικα ανάλυσης FEM, πριν περάσουμε σε ένα πιο πολύπλοκο και μεγαλύτερων διαστάσεων πρόβλημα. Στο Σχήμα 7.3 βλέπουμε τα χαρακτηριστικά της τυπικής στέγης Scordelis-Lo. 84

92 Κεφάλαιο 7 Υπολογιστική υλοποίηση, αριθμητικά παραδείγματα και εφαρμογές z y A x 2L Γ B R 2θ Σχήμα 7.3 Γεωμετρία Scordelis-Lo Roof Η διπλή συμμετρία της κατασκευής μας επιτρέπει να εξετάσουμε μόνο το ένα τέταρτο αυτής. Η μετακίνηση κατά τους άξονες x= και y= είναι δεσμευμένη. Η ευθεία πλευρά AB παραμένει ελεύθερη ενώ η καμπύλη πλευρά ΒΓ είναι παγιωμένη κατά τους άξονες y και z και ελεύθερη κατά τον x. Η γεωμετρία καθορίζεται από τις παραμέτρους L,R,t και θ. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, οι παράμετροι παίρνουν τις τιμές του Πίνακα 7.1: Παράμετρος Τιμή L 7.6m R 7.6m t 3.8cm θ 4 o Πίνακας 7.1 Τιμές παραμέτρων γεωμετρίας Η κατασκευή όπως προαναφέρθηκε είναι μεταλλική και συγκεκριμένα από χάλυβα S235. Τα χαρακτηριστικά του υλικού φαίνονται στον Πίνακα

93 Κεφάλαιο 7 Υπολογιστική υλοποίηση, αριθμητικά παραδείγματα και εφαρμογές Τύπος Χάλυβα S235 Μέτρο Ελαστικότητας E 21 x 1 7 kn/m Λόγος Poisson v x 1 5 Τάση Διαρροής v y kn/m 2 Πίνακας 7.2 Τιμές παραμέτρων υλικού Το κέλυφος έχει ένα νεκρό φορτίο ίσο με P G = 3 kn/m 2 και αντιστοιχεί στο ίδιο βάρος της κατασκευής. Επιπλέον, παραλαμβάνει ένα ομοιόμορφο επιφανειακό κινητό φορτίο ίσο με P Q = 3 kn/m 2. Επομένως, η ανάλυση προσαρμογής εφαρμόζεται για ένα νεκρό φορτίο P () = P G και ένα κινητό φορτίο μεταξύ των ορίων P (1) = και P (2) = P Q (N V 2). Για να εξετάσουμε την επιρροή της πυκνότητας του δικτύου πεπερασμένων στοιχείων στον υπολογισμό του συντελεστή προσαρμογής, κατασκευάσαμε τρία διαφορετικά μοντέλα της κατασκευής. Το πρώτο αποτελείται από 72 στοιχεία, το δεύτερο από 128 και το τρίτο και πυκνότερο από 512 στοιχεία κελύφους Morley. Κάθε ένα από τα μοντέλα, αναλύθηκε με τη βοήθεια του ερευνητικού κώδικα FEM, για όλες τις παραπάνω φορτίσεις. Στο Σχήμα 7.4 βλέπουμε το μοντέλο των 128 στοιχείων (δίκτυο 8x8). Τα αποτελέσματα της ελαστικής ανάλυσης υποβάλλονται σε κατάλληλη επεξεργασία κατάλληλα με κώδικα που σχηματίζει τα απαραίτητα μητρώα για την εισαγωγή τους στο SeDuMi, όπου και υπολογίζεται ο ελαστικός και πλαστικός συντελεστής προσαρμογής και για τα τρία μοντέλα. Τα αποτελέσματα της ανάλυσης προσαρμογής φαίνονται στον Πίνακα

94 Κεφάλαιο 7 Υπολογιστική υλοποίηση, αριθμητικά παραδείγματα και εφαρμογές z y A x L B Γ R 2θ Σχήμα 7.4 Δίκτυο πεπερασμένων στοιχείων 8x8 (128 στοιχεία) Δίκτυο # στοιχείων a ESD a PSD 6x x x Πίνακας 7.3 Αποτελέσματα ανάλυσης προσαρμογής Όπως ήταν αναμενόμενο, η αραιή διακριτοποίηση δεν οδηγεί σε ακριβή υπολογισμό του συντελεστή προσαρμογής. Ο πλαστικός συντελεστής είναι αυτός μάλιστα που επηρεάζεται περισσότερο από την πυκνότητα του δικτύου. Η διαφορά στην τιμή του μεταξύ του πρώτου και τρίτου μοντέλου ξεπερνά το 2%. Επίσης, είναι αξιόλογο να σημειωθεί το γεγονός πως η νεκρή φόρτιση της κατασκευής δεν επηρεάζει καθόλου τον πλαστικό συντελεστή παρά μόνο το πεδίο των παραμενουσών τάσεων r j. Αυτό φαίνεται στην Εξ. (6.34), όπου μπορούμε να αντικαταστήσουμε τους αγνώστους r j με () r j = v j + r j χωρίς να επηρεάσουμε καθόλου το συνολικό μαθηματικό πρόβλημα. 87

95 Κεφάλαιο 7 Υπολογιστική υλοποίηση, αριθμητικά παραδείγματα και εφαρμογές 7.6 Παράδειγμα 2 ο : Μεταλλική Σύνδεση Τύπου Κ Στο δεύτερο παράδειγμα, εφαρμόζουμε την ανάλυση προσαρμογής σε μια «πραγματικών διαστάσεων» κατασκευή. Συγκεκριμένα, εξετάζουμε μια μεταλλική σύνδεση δικτυώματος από τετραγωνικές κοιλοδοκούς RHS (Rectangular Hollow Section). Το παράδειγμα προέρχεται από το βιβλίο του J. Wardenier «Hollow Sections In Structural Applications» [46], ένα θεμελιώδες σύγγραμμα για το σχεδιασμό κατασκευών με κοίλα μεταλλικά στοιχεία. Στo [46], το μεταλλικό δικτύωμα διαστασιολογείται με στοιχεία RHS για συνολικό φορτίο P ίσο με 18 kn. Το στατικό σύστημα και τα γεωμετρικά στοιχεία της κατασκευής φαίνονται στο Σχήμα 7.5. Σχήμα 7.5 Στατικό σύστημα δικτυώματος Η γεωμετρία της προς μελέτη σύνδεσης τύπου Κ είναι αυτή της Λεπτομέρειας Λ1 και φαίνεται στο Σχήμα 7.6 Οι διατομές των στοιχείων που προέκυψαν από την διαστασιολόγηση με φορτίο P = 18 kn είναι: η κάτω κύρια δοκός τύπου RHS 15 με πάχος 6.3mm ενώ η αριστερή και η δεξιά δευτερεύουσες δοκοί είναι τύπου RHS 8 πάχους 3.2mm και RHS 12 πάχους 4.mm αντίστοιχα. 88

96 Κεφάλαιο 7 Υπολογιστική υλοποίηση, αριθμητικά παραδείγματα και εφαρμογές Σχήμα 7.6 Λεπτομέρεια Λ1 σύνδεσης Κ Ας θεωρήσουμε, πως το συνολικό φορτίο P αποτελεί το άθροισμα μια μόνιμης και μίας κινητής φόρτισης σύμφωνα με το γνωστό συνδυασμό φόρτισης του Ευρωκώδικα 1: 1.35P G + 1.5P Q = P = 18 kn (7.2) Στην περίπτωση αυτή, η κατασκευή φορτίζεται με μία μόνιμη φόρτιση P G = 4.5 kn και μια κινητή φόρτιση P Q = 45. kn. Επομένως, κατασκευάζοντας ένα τρις-διάστατο μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων της σύνδεσης Κ, μπορούμε με την μέθοδο που έχουμε αναπτύξει, να εφαρμόσουμε ελαστική και πλαστική ανάλυση προσαρμογής για ένα νεκρό φορτίο P () = 1.35P G και ένα κινητό φορτίο μεταξύ των ορίων P (1) = και P (2) = P Q (N V 2). Η ανάλυση αυτή παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον διότι στην ουσία αποτελεί μια σύγκριση του ελαστικού και πλαστικού συντελεστή προσαρμογής με τον συντελεστή ασφαλείας c 1.5. Η σύνδεση από κοιλοδοκούς αναλύεται σε ένα δίκτυο 212 στοιχείων Morley που φαίνεται στο Σχήμα 7.7. Για την κατασκευή του μοντέλου εκμεταλλευόμαστε την συμμετρία στο επίπεδο του δικτυώματος. Η συγκόλληση των δευτερευουσών δοκών στην κύρια έχει προσομοιωθεί με 89

97 Κεφάλαιο 7 Υπολογιστική υλοποίηση, αριθμητικά παραδείγματα και εφαρμογές την αύξηση του πάχους των πεπερασμένων στοιχείων στην περιοχή της συγκόλλησης. Σχήμα 7.7 Δίκτυο Πεπερασμένων Στοιχείων (212 στοιχεία) 9

98 Κεφάλαιο 7 Υπολογιστική υλοποίηση, αριθμητικά παραδείγματα και εφαρμογές Ο υπολογισμός των φορτίσεων της σύνδεσης, για τα δεδομένα εισαγωγής της ελαστικής ανάλυσης FEM, γίνεται με της εξής διαδικασία: στο στατικό μοντέλο του δικτυώματος, προσθέτομε επιπλέον τέσσερεις κόμβους που αντιστοιχούν στα άκρα της σύνδεσης. Χρησιμοποιώντας οποιοδήποτε λογισμικό στατικής ανάλυσης, επιλύουμε το δικτύωμα για τις φορτίσεις 1.35P G και P Q. Οι μετακινήσεις στους τέσσερεις επιπρόσθετους κόμβους που προκύπτουν από την στατική ανάλυση, χρησιμοποιούνται ως φορτίσεις για την ελαστική ανάλυση FEM της σύνδεσης, με τη μορφή καταναγκασμών. Με τον τρόπο αυτό, προσομοιώνουμε με μεγάλη ακρίβεια την εντατική κατάσταση της σύνδεσης. Στον Πίνακα 7.4. βλέπουμε τις αντίστοιχες τιμές των καταναγκασμών για κάθε άκρο και φόρτιση. Κόμβος Μετακίνηση u y u z u y u z u y u z u y u z 1.35P G P Q Πίνακας 7.4 Καταναγκασμοί κόμβων (σε mm) Στην Παράγραφο ( 4.4.4), έγινε αναφορά στην απλοποίηση της επιφάνειας Ilyushin από τους Skallerud και Haugen, θέτοντας την μεταβλητή n ίση με. Στο παρόν παράδειγμα, γίνεται μια μελέτη της επιρροής αυτής της απλοποίησης στο υπολογισμό του συντελεστή προσαρμογής. Για το λόγω αυτό, η ανάλυση προσαρμογής λαμβάνει χώρα δύο φορές: μία με το κριτήριο στην βασική του μορφή (μεταβλητή n ισούται με!1) και μία με το κριτήριο στην απλοποιημένη (μεταβλητή n ισούται με ). Τα αποτελέσματα και των δύο αναλύσεων φαίνονται στον Πίνακα 7.5: 91

99 Κεφάλαιο 7 Υπολογιστική υλοποίηση, αριθμητικά παραδείγματα και εφαρμογές a ESD a PSD n! n Πίνακας 7.5 Αποτελέσματα ανάλυσης προσαρμογής 7.7 Παράδειγμα 3 ο : Διατάξεις Σωλήνων υπό γωνία 9 ο Η τρίτη αριθμητική εφαρμογή, αφορά τον υπολογισμό της αντοχής σε καμπτική ροπή τυποποιημένων διατάξεων σωληνώσεων γωνίας 9 ο, γνωστά ως και «γωνιακά» (pipe elbows). Το παράδειγμα προέρχεται από τη δημοσίευση του R.J. Jospin με τίτλο «Displacement estimates of pipe elbows prior to plastic collapse loads» στο περιοδικό Nuclear Engineering And Design [47]. Στο Σχήμα 7.8, φαίνονται τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της διάταξης: Σχήμα 7.8 Γεωμετρία διάταξης σωλήνωσης 92

100 Κεφάλαιο 7 Υπολογιστική υλοποίηση, αριθμητικά παραδείγματα και εφαρμογές Στο [47], ο Jospin αναπτύσσει μια μέθοδο υπολογισμού της οριακής τιμής της καμπτικής ροπής M z (limit load) για συγκεκριμένες διατάξεις, χρησιμοποιώντας ένα ειδικό μονό-διάστατο στοιχείο κελύφους. Για την επαλήθευση της μεθόδου, τα αποτελέσματα συγκρίνονται με τα αντίστοιχα της μελέτης του Save στο [48]. Ο Save στο [48], χρησιμοποιεί μια τριςδιάστατη βήμα προς βήμα ανάλυση κελυφών (step-by-step shell analysis) για να υπολογίζει με ακρίβεια τις οριακές ροπές για τις ίδιες διατάξεις σωληνώσεων. Εφαρμόζοντας την μέθοδο που παρουσιάζεται στην διατριβή αυτή, θα υπολογίσουμε με τη σειρά μας την αντοχή σε καμπτική ροπή των διατάξεων, με τη βοήθεια της ανάλυσης προσαρμογής. Όπως φαίνεται και στο Σχήμα 7.8, οι διάφορες γεωμετρίες διαφοροποιούνται μέσω των μεταβλητών L,R,h και a. Στον Πίνακα 7.6 βλέπουμε τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά των τριών προς ανάλυση διατάξεων DN25, DN4 και DN7: DN25 DN4 DN7 L (mm) R (mm) h (mm) a (mm) Πίνακας 7.6 Γεωμετρικά χαρακτηριστικά διατάξεων Η καμπτική ροπή M z ασκείται στο κάτω δεξιά ελεύθερο άκρο, ενώ το άλλο άκρο της διάταξης είναι πακτωμένο. Η ροπή αυτή αποτελεί την μια και μοναδική φόρτιση της κατασκευής δηλ. μια μεταβλητή φόρτιση που κυμαίνεται μεταξύ των ορίων P (1) = και P (2) = M z (N V 1). Στην περίπτωση αυτή, το πρόβλημα της ανάλυσης προσαρμογής ανάγεται στο πρόβλημα της ελαστικής οριακής ανάλυσης (limit analysis ή LMT). 93

101 Κεφάλαιο 7 Υπολογιστική υλοποίηση, αριθμητικά παραδείγματα και εφαρμογές Στο Σχήμα 7.9, βλέπουμε το μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων για τη διάταξη DN25. Το δίκτυο αποτελείται από 1456 στοιχεία κελύφους Morley. Αντίστοιχα μοντέλα κατασκευάζονται και για τις άλλες δύο διατάξεις. Για την ελαστική ανάλυση FEM, η ροπή M z εφαρμόζεται ως ζεύγος δυνάμεων στους αντίστοιχους κόμβους του δικτύου. Σχήμα 7.9 Δίκτυο πεπερασμένων διάταξης DN25 (1456 στοιχεία) 94