¾¼½ º þ º ¾ µ ½ º º º ü üü üþ þ þ º º ¹ º ¹ º þ ½ ¹ M. = { (tx) [t 0 ) R n : x M(t) } ¹ º ¹ Mº x(tx 0 ) freq(x) ¹ M [0] x(tx 0 ) M(t) º ¹ freq (x) freq (x)º ¹ κ κ [0] ¹ º þ ¹ freq (x) κ freq (x) κ. ¹ º ¹ M º ï ½º ẋ = f(txu) t τ i x t=τi = g(xw i ) (txuw i ) [t 0 + ) R n R m R p. ½µ R n n¹ x = xx u ¹ U(tx) R m w i i = 12... t = τ i W R p º f(txu) g(xw) (txu) [t 0 + ) R n R m (xw) R n R p ¹ U(tx) (tx) [t 0 + ) R n ½µ º {τ i } i=0 t 0 = τ 0 < τ 1 < τ 2 <... lim τ i = +. i
½º ½µ t (u(t)w(t)x(t)) R m R p R n ½µ u(t) I = (0τ 1 ) (τ 1 τ 2 )... ¾µ w(t) = 0 t I w(τ i ) = w i w i W i = 12... x t=τi = x(τ i ) x(τ i 0) = g(xw i ); µ x(t) ẋ = f(txu(t)) t (τ i τ i+1 ) i = 012... x(τ i ) = x(τ i 0)+g(xw i ) µ u(t) U(tx(t))º (u(t)w(t)x(t)) u(t) w(t) ¹ ½µº þ M =. { (tx) [t 0 + ) R n : x M(t) } t M(t) º t [t 0 + ) M(t) º M ε (t) ε¹ ¹ M(t) x R n (xm(t)) ε N ε (t) = M ε (t)\m(t) ε¹ M(t) (xm) = inf x y y M x R n M R n µº M ε. = { (tx) [t0 + ) R n : x M ε (t) } N ε. = { (tx) [t0 + ) R n : x N ε (t) }. ¾ º ¾ µº V(tx) (tx) [t 0 + ) R n M ¹ (tx) ½µ V(tx) 0 (tx) M ¾µ V(tx) > 0 r > 0 (tx) N r º ẋ = f(txu) ẋ F(tx) ¾µ (tx) [t 0 + ) R n F(tx) f(t i x i U(t i x i )) (t i x i ) (tx)º ý F(tx) º U(tx) ¹ (tx) F(tx) x 0 R n ¾µ º º ¼ µº ½º x 0 M r (t 0 ) ϕ(tx 0 ) ¾µ ¹ ϕ(t 0 x 0 ) = x 0 t t 0. º µº V(tx) ¹ (tx) [t 0 + ) R n q = (1p) p R n ¹ º µ V o (tx;q). = limsup (εy) (0+0x) V(t+εy +εp) V(ty) ε Vmin o (tx) =. inf V o (tx;q) Vmax(tx) o =. sup V o (tx;q) ¹ p F(tx) p F(tx) V(tx) ¹ ¾µº ½¼¼
ż = q(tz) t τ i z t=τi = l(z) (tz) [t 0 + ) R µ q(tz) z l(z) º þ ¹ L(z) = l(z)+z L(z) z Rº º µº þ x(tx 0 ) ½µ M. = { (tx) [t 0 ) R n : x M(t) } freq (x). = lim mes{t [0] : x(tx 0 ) M(t)} mes º ü freq (x) µº freq (x) = freq (x) freq(x). = lim mes{t [0]: x(tx 0 ) M(t)} x(tx 0 ) Mº κ. = lim mes{t [0] : z(t) 0} z(t) µº κ. = lim mes{t [0] : z(t) 0}. κ = lim mes{t [0] : z(t) 0}. ï ¾º ¹ ¹ ¹ º ¹ º ½º V(tx) q(tz) l(z) V(tx) M (tx) [t 0 ) R n Vmax o (tx) q(tv(tx)) max V(τ ix+g(xw)) L(V(τ i x)) i = 12... w W µ z(t) µ z(t 0 ) = V(t 0 x 0 )º x(tx 0 ) ½µ x(t 0 x 0 ) = x 0 freq (x) κ freq (x) κ. º x(tx 0 ) ½µ x(t 0 x 0 ) = x 0 [t 0 + ). v(t) = V(tx(tx 0 )) ¾ ¹ v(t) V o max(tx(tx 0 )) ½¼½
µ v(t) q(tv(t)) ¹ v(t)º v(t 0 ) = V(tx(t 0 x 0 )) = V(t 0 x 0 ) = z 0 º º ½ µ v(t) z(t) t [t 0 τ 1 ). µ v(τ 1 ) = V(τ 1 x(τ 1 x)) = V(τ 1 x(τ 1 0x 0 )+g(x(τ 1 0x 0 )w 1 )) max w W V(τ 1x(τ 1 0x 0 )+g(x(τ 1 0x 0 )w)) L(V(τ 1 x(τ 1 0x 0 ))) = L(v(τ 1 0)). v(τ 1 ) L(v(τ 1 0)) L(z(τ 1 0)) L(z) º z(τ 1 ) = L(z(τ 1 0)) v(τ 1 ) z(τ 1 )º ¹ [τ i τ i+1 ) i = 12... v(t) z(t) t [t 0 + ). mes{t [0] : v(t) 0} mes{t [0] : z(t) 0}. freq (x) =. mes{t [0] : x(tx 0 ) M(t)} lim lim mes{t [0] : z(t) 0} mes{t [0] : v(t) 0} = lim = κ. freq (x) κ freq (x) κ. ¾º V(tx) q(tz) l(z) V(tx) M (tx) [t 0 ) R n V o min(tx) q(tv(tx)) min w W V(τ ix+g(xw)) L(V(τ i x)) i = 12... µ z(t) µ z(t 0 ) = V(t 0 x 0 )º x(tx 0 ) ½µ x(t 0 x 0 ) = x 0 freq (x) κ freq (x) κ. º Ũ(tx). = {u U(tx) : V o (tx;f(txu)) q(tv(tx))} W. = {w W : V(τ i x+g(xw)) V(τ i x) i = 12...}. Ũ(tx) (tx) [t 0+ ) R n Ũ(tx) U(tx)º Ũ(tx) º {u i} i=1 u i Ũ(tx) u i u f(txu i ) f(txu) f V o (tx;f) º ¾ V o (tx;f(txu)) = lim i V o (tx;f(txu i )) 0. Ũ ẋ F(tx) F(tx) = co H(tx) µ H(tx) f(t i x i Ũ(t ix i )) (t i x i ) (tx) (tx) H(tx) (tx) F(tx) º ϕ i (tx i ) µ ϕ i (τ i x i ) = x i i = 012... ½¼¾
(tx) [t 0 ) R n Ũ(tx) U(tx) F(tx) F(tx)º ϕ i (tx i ) µ ¾µ ½ t t 0 º x(tx 0 ) ½µ x(t 0 x 0 ) = x 0 [t 0 τ 1 ) ϕ 0 (tx 0 ) [τ i τ i+1 ) ϕ i (tx i ) x i = ϕ i 1 (τ i x i 1 )+g ( ϕ i 1 (τ i x i 1 )w i ) wi W i = 12... v(t) = V(tx(tx 0 )) µ ¹ v(t) q(tv(t)) º µº v(t) τ 1 º µ v(τ 1 ) = V(τ 1 x(τ 1 x 0 )) = V(τ 1 x(τ 1 0x 0 )+g(x(τ 1 0x 0 )w)) L(V(τ 1 x(τ 1 0x 0 ))) = L(v(τ 1 0)). v(τ 1 ) L(v(τ 1 0)) L(z(τ 1 0)) L(z) º z(τ 1 ) = L(z(τ 1 0)) v(τ 1 ) z(τ 1 )º τ i v(t) z(t) t [t 0 + )º mes{t [0] : v(t) 0} mes{t [0] : z(t) 0}. freq (x) κ freq (x) κ. D(tX) ½µ t ¹ X. X D(tX) t t 0. x X x(tx 0 ) ½µ x(t 0 x 0 ) = x 0 R + = [0 ). þ α(x). = { t [0] : D(tX) M(t) }. º µº ¹ D(tX) ½µ M freq(x) =. mesα(x) lim = lim mes{t [0] : D(tX) M(t)} µ mes º µ freq (X) =. mesα(x) lim freq (X) =. mesα(x) lim M. º µº M ½µ freq ( M(0) ). mes { t [0] : D ( tm(0) ) M(t) } = lim freq ( M(0) ) = 1. ½º V(tx) ¹ M (tx) [t 0 ) R n µ κ = 1 M ½µº ½¼
º µº M ¹ ½µ x M(0) x(tx 0 ) ½µ t 0 x(t 0 x 0 ) = x 0 freq (x) =. mes{t [0] : x(tx 0 ) M(t)} lim = 1. ¾º V(tx) ¹ M (tx) [t 0 ) R n µ κ = 1 M ½µº ½º ºº ¹»» þ º º º º ¾¼½ º þ º ½º º ½ º ¾º ºüº º º ¹»» º þºüº º ¾¼¼ º º ¾ ¾º º ¾¼¾ ¾¾½º º üº º º º ½ º ¾¾ º º º º º ½ º ¼¼ º º º º ¹»» º ¾¼½¾º þ º ¾ ¼µº º ½ º º º º ¹»» º º ¾¼½ º í ½½º º ¾¼ ¾º º º º º º»» º ¾¼¼ º º º í ¾º º ¾ ¾ º º ºüº º º º ½ ¼º ½¼¾ º ¾ º¼ º¾¼½ ¹ ¾ ¼ º º ½º ¹Ñ Ð Ý Ò Ð Ö Ò Ñ ÐºÖÙ Ya. Yu. Larina Statistical characteristics of control systems with impulsive action Keywords: control systems attainability set differential inclusions statistical characteristics. MSC: 34A60 37N35 We consider the control systems with impulsive action at fixed time moments. We get estimations of statistical characteristics such as upper and lower relative frequency of entering solutions to a predetermined set. We also obtain the conditions under which the set is statistically invariant or statistically weakly invariant with respect to the control system with impulsive effect. REFERENCES 1. Larina Ya.Yu. Lyapunov functions and comparison theorems for control systems with impulsive actions Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp yut. Nauki 2015 vol. 25 no. 1 pp. 51 59 (in Russian). 2. Panasenko E.A. Tonkov E.L. Invariant and stably invariant sets for differential inclusions Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics 2008 vol. 262 pp. 194 212. 3. Filippov A.F. Differentsial nye uravneniya s razryvnoi pravoi chast yu (Differential equations with discontinuous right-hand side) Moscow: Nauka 1985 223 p. 4. Clarke F. Optimization and nonsmooth analysis Wiley 1983. Translated under the title Optimizatsiya i negladkii analiz Moscow: Nauka 1988 300 p. 5. Rodina L.I. Invariant and statistically weakly invariant sets of control systems Izv. Inst. Mat. Inform. Udmurt. Gos. Univ. 2012 no. 2 (40) pp. 3 164 (in Russian). 104
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