Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της Γεωμετρίας. Επειδή στα περισσότερα θέματα η εύρεση των συντεταγμένων ενός σημείου είναι είτε το ζητούμενο είτε κάτι αναγκαίο, χρήσιμο είναι να έχουμε πάντα υπόψη μας την εξής διαπίστωση: Ένα σημείο προσδιορίζεται από την τομή δύο γραμμών. Όταν ζητάμε την εξίσωση μιας ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από γνωστό σημείο Α(x o,y o ) και έχει κάποια ιδιότητα, τότε η (ε) θα έχει εξίσωση της μορφής: y y o = λ ( x x o ), όπου λ ο συντελεστής διεύθυνσης της (ε), αν ορίζεται, ή x = x o, αν δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης. Τονίζουμε ότι είναι απαραίτητη η αναζήτηση της (ε) σε καθεμία από τις παραπάνω μορφές, διαφορετικά υπάρχει ο κίνδυνος να μην προσδιορίσουμε όλες τις ζητούμενες ευθείες. Εύρεση του συμμετρικού ενός σημείου Στο σχόλιο αυτό θα περιγράψουμε τον τρόπο εύρεσης του συμμετρικού ενός σημείου Α ως προς μια ευθεία (ε) (η οποία δεν περιέχει το Α). Αν (ε)//yý, τότε η εύρεση του συμμετρικού Β του Α είναι απλή. Πράγματι, αν (ε): x = x o, τότε πρέπει xb xo xo xa yb ya xb xo xa yb ya Επομένως είναι Β(x O - x A, y A ). Έστω τώρα (ε)//yý.από την εξίσωση της (ε) βρίσκουμε τον συντελεστή λ ε, οπότε. Έτσι (ΑΒ): y-y A =λ ΑΒ (x-x A ) Η λύση του συστήματος των εξισώσεων των (ε) και (ΑΒ) δίνει τις συντεταγμένες του σημείου
τομής Ρ των (ε) και ΑΒ. Είναι όμως: xa xb y A yb x p και yp. Οι σχέσεις αυτές δίνουν τις συντεταγμένες του σημείου Β(x B, y B ). Σε μια μεγάλη κατηγορία ασκήσεων δίνονται ορισμένα στοιχεία ενός τριγώνου ΑΒΓ και ζητούνται κάποια από τα υπόλοιπα. Για την αντιμετώπιση αυτών των θεμάτων χρήσιμες είναι οι επόμενες επισημάνσεις. Αν υ α είναι το ύψος του τριγώνου προς την πλευρά α, τότε, αν φυσικά ορίζεται ο λ α και είναι διάφορος του μηδενός. Αν ΑΜ είναι η διάμεσος του τριγώνου και Μ(x O,y O ), τότε ισχύει Μ( xb x yb y, ) και το Μ ικανοποιεί τις εξισώσεις των ΑΜ και ΒΓ. Αν ΒΔ είναι η διχοτόμος του τριγώνου προς την πλευρά β, τότε το συμμετρικό του Α ως προς τη ΒΔ είναι σημείο της ΒΓ. Η τελευταία παρατήρηση είναι Μια ιδιότητα της διχοτόμου και μπορεί να είναι το κλειδί για τη λύση ορισμένων ασκήσεων. Ευθεία που διέρχεται από σταθερό σημείο Αρκετό ενδιαφέρον παρουσιάζουν στη Γεωμετρία ασκήσεις στις οποίες ζητείται να αποδειχθεί ότι μια μεταβλητή ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο. Η αντιμετώπιση τέτοιων θεμάτων γίνεται ως εξής. Προσδιορίζουμε την εξίσωση της μεταβλητής ευθείας (ε). Αν αυτό που θέλουμε να αποδείξουμε είναι κάποια πρόταση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, επιλέγουμε πρώτα σύστημα συντεταγμένων. Η μεταβλητή ευθεία θα περιέχει στην εξίσωσή της μία ή περισσότερες παραμέτρους. Προσδιορίζουμε ένα σημείο του οποίου οι συντεταγμένες επαληθεύουν την εξίσωση της μεταβλητής ευθείας για κάθε τιμή των παραμέτρων. Αυτό γίνεται με διάφορους τρόπους, οι οποίοι γίνονται αμέσως αντιληπτοί στην άσκηση που ακολουθεί, αλλά και σε άλλες στη συνέχεια. Αξίζει όμως να επισημάνουμε ότι αν μια πολυωνυμική εξίσωση έχει άπειρες ρίζες, τότε το πολυώνυμο αυτό είναι το μηδενικό.
Ενότητα 6 εφαρμογές Η εξίσωση Αx+Βy+Γ=0 διάνυσμα παράλληλο σε ευθεία διάνυσμα κάθετο σε ευθεία Δίνονται δύο ευθείες: (ε ) : Α x+ Β y +Γ = 0 και (ε ) : Α x +Β y +Γ = 0 θεωρούμε τα διανύσματα n A, B ) ( ) και n A, B ) ( ). Επομένως : ( )// ( A n // n 0 A B nn n n 0 A A B B 0 B. ( Η μελέτη λοιπόν θεμάτων παραλληλίας και καθετότητας δύο ευθειών (κυρίως με εξισώσεις που περιέχουν παραμέτρους) είναι προτιμότερο να γίνεται με τον παραπάνω τρόπο, αφού έτσι αποφεύγονται οι διερευνήσεις σχετικά με την ύπαρξη ή όχι των συντελεστών διεύθυνσης των ευθειών. Εύρεση γεωμετρικών τόπων Μια από τις μεγαλύτερες κατηγορίες ασκήσεων στη Γεωμετρία είναι η εύρεση γεωμετρικών τόπων. Στα θέματα αυτά υπάρχουν στο σχήμα ορισμένα μεταβλητά στοιχεία και ζητείται ο γεωμετρικός τόπος ενός σημείου, ώστε να ικανοποιείται κάποια ιδιότητα. Η αντιμετώπιση τέτοιων ασκήσεων γίνεται ορισμένες φορές ευκολότερα με τη χρήση συντεταγμένων. Ξεκινώντας από τη βασική αρχή ότι σημείο προσδιορίζεται από την τομή δύο γραμμών, εισάγουμε στο πρόβλημα το ελάχιστο δυνατό πλήθος παραμέτρων και προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες του σημείου Μ, του οποίου ζητάμε τον γεωμετρικό τόπο, ως συναρτήσεις των παραμέτρων αυτών. Αυτό που απομένει και είναι συνήθως το δυσκολότερο στάδιο είναι η απαλοιφή των παραμέτρων. Η εξίσωση που προκύπτει ( και η οποία δεν πρέπει να έχει παράμετρο (μεταβλητή)) δίνει τη γραμμή στην οποία κινείται το μεταβλητό σημείο Μ.
Ενότητα 7. Απόσταση σημείου από ευθεία Εμβαδόν τριγώνου Εφαρμογές Έστω μια ευθεία (ε) με εξίσωση ax +βy +γ=0. Για την απλούστερη λύση ορισμένων ασκήσεων ιδιαίτερα χρήσιμες είναι οι εξής παρατηρήσεις :. κάθε ευθεία (ζ) η οποία είναι παράλληλη με την ευθεία (ε) : αx +βy +γ = 0 έχει τη μορφή (ζ) : αx +βy +λ = 0. κάθε ευθεία (η) η οποία είναι κάθετη στην ευθεία (ε) : αx +βy +γ = 0 έχει τη μορφή (η) : βx ay +λ = 0 Το πλεονέκτημα αναζήτησης των (ζ) και (η) στην παραπάνω μορφή βρίσκεται στο γεγονός ότι είναι απαραίτητος ο προσδιορισμός μόνο μίας παραμέτρου, του λ. Εύρεση μεσοπαραλλήλου Δίνονται δύο παράλληλες ευθείες (ε) και (ζ). Οι (ε) και (ζ), ως παράλληλες, μπορεί να θεωρηθεί ότι έχουν τη μορφή (ε) : αx +βy +γ = 0 και (ζ) : αx +βy +γ = 0 με γ γ Η ευθεία (μ) της οποίας τα σημεία ισαπέχουν από τις (ε) και (ζ) λέγεται μεσοπαράλληλος των (ε) και (ζ). Η εξίσωση της μεσοπαραλλήλου βρίσκεται συνήθως ως εξής : Έστω Μ(x,y) ένα σημείο της (μ). Τότε Μ(x,y) (μ) d(m, ε) = d(m, ζ) ax y x y (αx +βy +γ = αx +βy +γ ή αx +βy +γ = -αx βy γ ) (αx +βy) +γ +γ = 0 αx +βy + 0 Άρα η εξίσωση της μεσοπαραλλήλου (μ) είναι η αx +βy + 0
Εύρεση διχοτόμου Α. Δύο τεμνόμενες ευθείες (ε) και (ζ) σχηματίζουν τέσσερις, ανά δύο κατακορυφήν, γωνίες. Ορίζονται έτσι δύο ευθείες που διχοτομούν τις γωνίες αυτές και οι οποίες είναι και κάθετες μεταξύ τους. Η εύρεση των εξισώσεων των διχοτόμων (δ ) και (δ ) των δύο τεμνόμενων ευθειών (ε) : αx +βy +γ = 0 και (ζ) : Αx +By +Γ = 0 γίνεται ως εξής: Θεωρούμε τυχαίο σημείο Μ(x,y) στη διχοτόμο (δ). Τότε ισχύει Μ (δ) d(m, ε) = d(m, ζ) ax y Ax By Η σχέση αυτή, μετά τις απλοποιήσεις, δίνει τις εξισώσεις των ζητούμενων διχοτόμων. Β. Για να βρούμε τη διχοτόμο της οξείας γωνίας δύο τεμνόμενων ευθειών, θεωρούμε ένα σημείο Α της μιας πλευράς και βρίσκουμε τις αποστάσεις από τις διχοτόμους (δ ) και (δ ). Η διχοτόμος που απέχει λιγότερο από το Α είναι εκείνη της οξείας γωνίας.