201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ Α. ΘΕΩΡΙΑ. i. η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ είναι η

Transcript

1 201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ Να αποδείξετε ότι: Α. ΘΕΩΡΙΑ i. η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ είναι η C : x 2 y 2 ρ 2. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου C: χ 2 + ψ 2 = ρ 2 σε ένα σημείο του Α(χ1,ψ1) είναι η ευθεία ε: χχ1+ψψ1 = ρ Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ). i. Η εξίσωση του κύκλου με κέντρο την αρχή Ο των αξόνων και ακτίνα ρ 2 είναι x y ρ 2 Η εξίσωση (x x ) (y y ) r με r είναι πάντοτε εξίσωση o o κύκλου 2 i Η εφαπτομένη του κύκλου x y ρ στο σημείο του A(x 1,y 1) έχει εξίσωση xy x 2 1y 1 ρ 2 Η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x y ρ στο σημείο του Α (x1, y1) είναι: xx1+yy1+ρ 2 =0 v. Το σημείο (1,-1) ανήκει στον κύκλο: x 2 + y 2 = 1 vi. Αν Α Β Γ 0, τότε η εξίσωση x y Αx Βy Γ 0 παριστάνει κύκλο. v Η εξίσωση (x+x0) 2 +(y+y0) 2 =ρ 2 παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο Κ(x0, y0) και ακτίνα ρ. vi Αν Α Β 4 Γ 0 η εξίσωση x y A x B y Γ 0 παριστάνει ένα μόνο σημείο. 3. Να συμπληρώσετε στην κόλλα σας τα παρακάτω κενά, ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις. i. Η εξίσωση x y Ax By Γ 0 παριστάνει κύκλο αν ισχύει Πότε η εξίσωση x 2 +y 2 +Ax+By+Γ=0 παριστάνει κύκλο; Ποιο είναι το κέντρο του κύκλου και ποια η ακτίνα του;

2 201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5. Δίνεται ο κύκλος (x 2) 2 +(y 3) 2 = 25 i. να βρεθεί το κέντρο Κ και η ακτίνα ρ του κύκλου. να βρεθεί η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Δ(5,7). 6. Δίνεται κύκλος με εξίσωση : (x-3) 2 +(y+4) 2 =9. i. Να βρείτε το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ του κύκλου. Να εξετάσετε ποια από τα σημεία Μ(3,0), Ν(0,-4), Ρ(3,-7) και Σ(1,1) είναι σημεία του κύκλου. i Να εξετάσετε αν το σημείο Ο (0,0) είναι εσωτερικό ή εξωτερικό σημείο του κύκλου. 7. Δίνεται η εξίσωση:χ 2 +ψ 2 +2χ-4ψ-4=0 i. Να αποδείξετε ότι παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. Να βρείτε τα σημεία τομής του κύκλου αυτού με τον χ χ i Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του στο σημείο Α(2,2) 8. Δίνεται η εξίσωση C : x ψ 2x ψ 3 λ(x ψ 2) 0 (1), λ R i. Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο για κάθε λ R Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των παραπάνω i κύκλων Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι της (1) διέρχονται από δύο σταθερά σημεία και να βρείτε την κοινή χορδή τους. 9. Θεωρούμε τον κύκλο C: χ 2 + ψ 2 = 4 και το σημείο Ρ(0,4). i. Να δείξετε ότι το σημείο Ρ είναι εξωτερικό του κύκλου. Από το σημείο Ρ(0,4) φέρνουμε τις εφαπτόμενες του κύκλου C και ονομάζουμε Α και Β τα σημεία επαφής. a) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων ΡΑ και ΡΒ του κύκλου C. b) Να βρείτε την οξεία γωνία την οποία σχηματίζουν οι εφαπτόμενες ΡΑ και ΡΒ του κύκλου C. 10. Δίνεται ο κύκλος C1: x 2 +y 2 =25 i. Να δείξετε ότι το σημείο Μ(4, 3) ανήκει στον παραπάνω κύκλο. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ευθείας (ε) του i παραπάνω κύκλου στο σημείο του Μ(4, 3). Να δείξετε ότι η ευθεία (ε) εφάπτεται και του κύκλου C2: (x-10) 2 +(y-5) 2 =36

3 201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα α και β με γωνία ω = π 3 και η εξίσωση x 2 + ψ 2-2 α χ -6 β ψ +6α β=0 (1). i. Να δείξετε ότι : a) α 3β b) η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο με ακτίνα ρ = α 3β Αν Κ(2,3) το κέντρο του παραπάνω κύκλου, a) να δείξετε ότι α = 2, β = 1 και ρ = 7 b) Από το σημείο Γ(-2,3) φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΓΑ και ΓΒ προς τον κύκλο. Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β. 12. Δίνονται τα σημεία M(4κ 3,3κ 1) με κ R, A(7, 3) και Β(3, 6). i. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ ανήκουν σε ευθεία ε και να i προσδιορίσετε την εξίσωση της. Να προσδιορίσετε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Α και εφάπτεται στην ευθεία ε του προηγούμενου ερωτήματος. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΑΒ και να αποδείξετε ότι είναι παράλληλη στην ευθεία ε. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ είναι σταθερό για κάθε κ Έστω η γραμμή C : x ψ 4λx 2λψ 4λ 3 0 (1) με λ ΙR. i. Να αποδείξετε ότι η C παριστάνει κύκλο για κάθε λ ΙR, και στη συνέχεια να δείξετε ότι το κέντρο του είναι το K(2λ,λ) και η ακτίνα 2 του η p λ 3. i Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων που ορίζονται από την (1). Να βρείτε την τιμή του λ ώστε ένας κύκλος που παριστάνεται από την (1) να έχει ελάχιστη ακτίνα. Για λ = 1, να βρείτε τις εφαπτομένες του κύκλου που διέρχονται από το σημείο Α(0, 3). v. Να βρείτε την ελάχιστη και την μέγιστη απόσταση που μπορεί να απέχει ένα σημείο του κύκλου από το σημείο Α(0, 3). 14. Δίνονται τα διανύσματα α =(y-2, x) και β =(y+2, x+2), με x, y.

4 201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ i. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο C1 των σημείων Μ(x, y) του i επιπέδου για τα οποία είναι α β Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος C1 είναι κύκλος, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων του κύκλου που διέρχονται από το σημείο Α(0, 5). 15. Δίνεται η εξίσωση x y 6x 4y 8 0 (1). i. Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο C του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του παραπάνω κύκλου στο σημείο του Α(2,0). i Να εξετάσετε τη σχετική θέση της ευθείας ε: y x 2 ως προς τον κύκλο C. 16. Δίνεται η εξίσωση x 2 + ψ 2 2λx 1 = 0, λ. (1) i. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο για κάθε λ, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. Αν για λ=1 προκύπτει από την (1) ο κύκλος C1 και για λ=2 i προκύπτει ο κύκλος C2, να βρείτε τα κοινά σημεία των κύκλων C1 και C2. Να αποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι Cλ που ορίζονται από την (1) για κάθε λ, διέρχονται από δύο σταθερά σημεία. Να βρείτε την εξίσωση της κοινής χορδής όλων των κύκλων Cλ, για λ. 17. Δίνεται ο κύκλος x 2 + y 2-4x + 2y + 1=0. i. Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου και είναι κάθετη στην εφαπτομένη του στο σημείο (2, - 3) 18. Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα u και v με u 2v και η εξίσωση: C : x y u x 2 v y u v 0 Ι. i. Να δείξετε ότι η σχέση (Ι) παριστάνει κύκλο με ακτίνα: Αν 0 u 2, v 1 και u, v 60, να δείξετε ότι: a) Το κέντρο του κύκλου είναι το σημείο Κ 1,1. b) Η ακτίνα του κύκλου είναι ίση με ρ 1. ρ u 2v. 2

5 201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ c) Ο κύκλος C εφάπτεται στην ευθεία ε : 6x 8y Δίνεται η εξίσωση: x 2 +y 2 +λx+(λ-2)y-4-3λ=0 (1) i. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο για κάθε λ R i του οποίου να βρείτε το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ. Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων που παριστάνει η εξίσωση (1) για τις διάφορες τιμές του λ R κινούνται σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση. Αν το κέντρο Κ του κύκλου που ορίζει η εξίσωση (1) ανήκει και στην ευθεία ε:3x+y-9=0, να βρείτε τον αριθμό λ. Για λ=-4,να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α(1,5). 20. Δίνεται η εξίσωση : x 2 +y 2 2x 4y+1 =0 (1) i. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο του Κ και την ακτίνα του ρ. Να δείξετε ότι ο κύκλος εφάπτεται στον άξονα xx. i ΈστωΚ(1,2) το κέντρο του κύκλου. a) Να βρεθεί το συμμετρικό σημείο Λ, του κέντρου του κύκλου ως 3 3 προς το σημείο Μ(, ). b) Αν Λ(2,1) να δείξετε ότι το Λ είναι εσωτερικό του κύκλου. c) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που περνάει από το Λ(2,1) και τέμνει τον κύκλο στα Α, Β ώστε το Λ να είναι μέσο της χορδής ΑΒ. 21. Δίνεται η εξίσωση x y 4x 6y 3 0 (1) και η ευθεία x λy 4 λ 0 (2) i. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) είναι εξίσωση κύκλου με κέντρο (-2,3) και ακτίνα 4 Αν η ευθεία (2) διέρχεται από το κέντρο του κύκλου να αποδείξετε ότι λ= -1 i Για λ = -1 a) να βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας με τους άξονες b) να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ(4,-3) από την (2) 22. Δίνεται η εξίσωση x y 6x 4y 8 0 (1). i. Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο C του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.

6 201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του παραπάνω κύκλου στο σημείο του Α(2,0). i Να εξετάσετε τη σχετική θέση της ευθείας ε: y x 2 ως προς τον κύκλο C. 23. i. Δίνεται ότι η εξίσωση x 2 +y 2 +4λ(x-y)=0 με λ R * παριστάνει κύκλο ο οποίος περνάει από την αρχή των αξόνων. Να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του. Να βρεθεί για ποιες τιμές του λ η ευθεία: (ε): y=x+6 τέμνει τον κύκλο. i Nα βρεθεί η τιμή του λ R * ώστε η χορδή που ορίζει η ευθεία (ε) στον κύκλο, να φαίνεται από την αρχή των αξόνων υπό ορθή γωνία. Nα βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από την αρχή των αξόνων και την χορδή του ερωτήματος i 24. Δίνονται οι κύκλοι (C1): x 2 +y 2-2x=0 και (C2): x 2 +y 2-4x=0. Μια μεταβλητή ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων τέμνει τους κύκλους σε σημεία Α και Β αντίστοιχα (διαφορετικά του Ο). Να βρείτε την καμπύλη πάνω στην οποία κινείται το μέσον του ευθ. τμήμ. ΑΒ. 25. Δίνεται η γραμμή Cμ: x 2 +y 2 +μx-μy-2=0, μ R i. Να δείξετε ότι η Cμ είναι κύκλος για κάθε μ R Na βρείτε το μ ώστε η χορδή που ορίζει η ευθεία (ε): y=x+1 στον κύκλο Cμ να φαίνεται από την αρχή των αξόνων με ορθή γωνία i Ποιος είναι ο γτ των κέντρων των κύκλων;