Ρευστομηχανική Γεώργιος Γκαϊντατζής Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης
Ρευστομηχανική Kεφ. 6 Ροή ασυμπίεστων ρευστών σε κλειστούς αγωγούς
Εισαγωγή Ροή σε κυλινδρικό αγωγό εξέταση της επίδρασης του ιξώδους Εξέταση της Πλήρως Ανεπτυγμένης Ροής (η κατανομή της ταχύτητας δεν μεταβάλλεται κατά τη διεύθυνση της ροής) Εξέταση πραγματικών ρευστών Ιξώδες, Στρωτή -Tυρβώδης ροή (Αριθμός Reynolds) ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 3
Introduction Friction force of wall on fluid Average velocity in a pipe The velocity at the walls of a pipe or duct flow is zero We are often interested only in V avg, which we usually call just V (drop the subscript for convenience) Keep in mind the shear stress and friction along the pipe walls ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 4
Introduction V avg V avg For pipes of constant diameter and incompressible flow V avg stays the same down the pipe, even if the velocity profile changes Why? Conservation of Mass same same same ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 5
Introduction For pipes with variable diameter, m is still the same due to conservation of mass, but V 1 V 2 D 1 D 2 V 1 m V 2 m 2 1 ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 6
Ροή σε οριζόντιο κυκλικό αγωγό ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 7
Υπολογισμός της μέσης ταχύτητας Αν αντί της μέσης ταχύτητας χρησιμοποιηθεί η ογκομετρική παροχή.. ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 8
Υπολογισμός διατμητικής τάσης η διατμητική τάση είναι γραμμική συνάρτηση της ακτίνας και η μέγιστη τιμή της είναι στα τοιχώματα του αγωγού ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 9
Για οριζόντιο αγωγό Να διαβαστεί προσεκτικά. Αναφέρεται σε κεκλιμένο αγωγό και επιδρά και συνιστώσα του βάρους του ρευστού. Στις σχέσεις που εμφανίζεται dp αυτό γίνεται d(p+γh) ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 10
Στρωτή ροή μεταξύ δύο παράλληλων πλακών ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 11
Στρωτή ροή μεταξύ δύο παράλληλων πλακών V& = r v uxda V& = A 2 d 2 0 u x dy u max ( μεταξύ _ πλακών ) = 1,5u ( σε _ αγωγό) ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 12 u max = 2u
ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 13
Πειραματικός υπολογισμός του ιξώδους ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 14
Τυρβώδης ροή Όχι μόνιμη ροή, τροχιές των σωματιδίων του ρευστού: τυχαίες Δημιουργία στροβίλων, άρα: αύξηση ανταλλαγής ορμής και στις 3 διευθύνσεις τυχαία μεταβολή ταχύτητας (υ χ, υ ψ, υ Ζ 0) αύξηση της διατμητικής τάσης Η στιγμιαία ταχύτητα δεν έχει καμιά πρακτική σημασία u Μέση ταχύτητα x = 1 T T 0 u x ( t) dt (Τ: χρόνος τέτοιας τιμής ώστε να εξουδετερώνει την εξάρτηση της ταχύτητας από το χρόνο) Η μέση ταχύτητα έχει τη διεύθυνση του άξονα του αγωγού Η κατανομή ταχυτήτων είναι συμμετρική ως προς τον άξονα του αγωγού Η ταχύτητα στα τοιχώματα του αγωγού είναι μηδέν ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 15
Laminar and Turbulent Flows ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 16
Laminar and Turbulent Flows Definition of Reynolds number Critical Reynolds number (Re cr ) for flow in a round pipe Re < 2300 laminar 2300 Re 4000 transitional Re > 4000 turbulent Note that these values are approximate. For a given application, Re cr depends upon Pipe roughness Vibrations Upstream fluctuations, disturbances (valves, elbows, etc. that may disturb the flow) ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 17
The Entrance Region Consider a round pipe of diameter D. The flow can be laminar or turbulent. In either case, the profile develops downstream over several diameters called the entry length L h. L h /D is a function of Re. L h ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 18
Fully Developed Pipe Flow Comparison of laminar and turbulent flow There are some major differences between laminar and turbulent fully developed pipe flows Laminar Can solve exactly Flow is steady Velocity profile is parabolic Pipe roughness not important It turns out that V avg = 1/2U max and u(r)= 2V avg (1 - r 2 /R 2 ) ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 19
Fully Developed Pipe Flow Turbulent Cannot solve exactly (too complex) Flow is unsteady (3D swirling eddies), but it is steady in the mean Mean velocity profile is fuller (shape more like a top-hat profile, with very sharp slope at the wall) Pipe roughness is very important Instantaneous profiles V avg 85% of U max (depends on Re a bit) No analytical solution, but there are some good semi-empirical expressions that approximate the velocity profile shape. Logarithmic law Power law ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 20
Fully Developed Pipe Flow Wall-shear stress Recall, for simple shear flows u=u(y), we had τ = μdu/dy In fully developed pipe flow, it turns out that τ = μdu/dr Laminar Turbulent slope slope τ w τ w τ w = shear stress at the wall, acting on the fluid τ w,turb > τ w,lam ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 21
Απώλειες ενέργειας κατά τη ροή Υπολογισμόςσεύψοςστήληςρέοντοςρευστούh, λόγω εσωτερικής τριβής κατά τη διάρκεια της ροής. Υπολογισμός απαραίτητος για τον υπολογισμό της κατάλληλης ισχύος αντλίας. Απώλειες ενέργειας συνάρτηση των u: ταχύτητας ρευστού μ: ιξώδους ρευστού ρ: πυκνότητας ρευστού d: διαμέτρου αγωγού L: μήκους αγωγού ε: τραχύτητας αγωγού (διαστάσεις μήκους) ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 22
Τραχύτητες διαφόρων υλικών ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 23
Απώλειες ενέργειας κατά τη ροή Υψος Α πωλειών ( m) = Συντελεστής Τ ριβής ( f ) μήκος, L( m) διάμετρος, d ( m) Υψος κινητικής ενέργειας,( u 2 (1) )( m) 2g (Σχέση Darcy-Weisbach) ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 24
ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 25
Χαρακτηριστικά διαγράμματος Moody ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 26
Άλλες εξισώσεις ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 27
Απώλειες ενέργειας για τη στρωτή ροή Για στρωτή ροή επειδή 64 f = (2), Re 2 h 64 L u = L Re D 2 (3), g duρ Re = (4) μ Από τις σχέσεις (3) και (4) προκύπτει η σχέση 32μLu h L = (5) (εξίσωση Hagen-Poiseuille) 2 ρd g Δp Από την σχέση (5) και την σχέση h L = (6) προκύπτει τελικά γ L Δ p = 32 μ u 2 d Δηλαδή, οι απώλειες ύψους και η πτώση πίεσης λόγω τριβών είναι ανάλογες της μέσης ταχύτητας του ρευστού. ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 28
Υδραυλική διάμετρος ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 29
Υδραυλική διάμετρος For non-round pipes, define the hydraulic diameter D h = 4A c /P A c = cross-section area P = wetted perimeter Example: open channel A c = 0.15 * 0.4 = 0.06m 2 P = 0.15 + 0.15 + 0.4 = 0.7m Don t count free surface, since it does not contribute to friction along pipe walls! D h = 4A c /P = 4*0.06/0.7 = 0.34m What does it mean? This channel flow is equivalent to a round pipe of diameter 0.34m (approximately). ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 30
Fully Developed Pipe Flow Friction Factor Moody chart was developed for circular pipes, but can be used for non-circular pipes using hydraulic diameter Colebrook equation is a curve-fit of the data which is convenient for computations Both Moody chart and Colebrook equation are accurate to ±15% due to roughness size, experimental error, curve fitting of data, etc. ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 31
Προβλήματα με αγωγούς ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 32
Προβλήματα με αγωγούς ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 33
Types of Fluid Flow Problems In design and analysis of piping systems, 3 problem types are encountered 1.Determine Δp (or h L ) given L, D, V (or flow rate) Can be solved directly using Moody chart and Colebrook equation 2.Determine V, given L, D, Δp 3.Determine D, given L, Δp, V (or flow rate) Types 2 and 3 are common engineering design problems, i.e., selection of pipe diameters to minimize construction and pumping costs However, repetitive approach required since both V and D are in the Reynolds number. ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 34
ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 35
ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 36
Τραχύτητες διαφόρων υλικών ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 37
ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 38
ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 39
ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 40
ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 41
ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 42
ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 43
Άλλες εξειδικευμένες εξισώσεις Διάφορες εξισώσεις έχουν αναπτυχθεί ώστε να μην χρειάζονται οι επαναληπτικές διαδικασίες. Είναι χρήσιμες για εύκολο και άμεσο υπολογισμό αλλά εισαγάγουν ένα επιπλέον 2% ποσοστό λάθους. ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 44
Άσκηση (Υπολογισμός απωλειών) ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 45
Άσκηση (Υπολογισμός παροχής) ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική Ρευστών 46