Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών Διδάσκοντες : X. Παπαδόπουλος Λ. Καικτσής Οδοντωτοί τροχοί Εισαγωγή Σκοπός : Μετάδοση περιστροφικής κίνησης, ισχύος και ροπής από έναν άξονα σε έναν άλλον. Οι άξονες μπορεί να είναι παράλληλοι, κάθετοι, υπό τυχαία γωνία ή ασύμβατοι. Με κατάλληλη επιλογή των διαμέτρων των τροχών επιτυγχάνεται αλλαγή της ταχύτητας περιστροφής του κινούμενου άξονα Ο λόγος των στροφών του κινητήριου τροχού προς τις στροφές του κινούμενου τροχού ονομάζεται σχέση μετάδοσης, i Είδη οδοντωτών τροχών Είδη οδοντωτών τροχών Μετωπικοί τροχοί με ευθύγραμμους οδόντες Μετωπικοί τροχοί με ελικοειδείς οδόντες (Άξονες παράλληλοι και τροχοί κυλινδρικοί) (Άξονες παράλληλοι και τροχοί κυλινδρικοί) Απλοί σε κατασκευή και πλέον συνηθισμένοι τροχοί Λειτουργία με μικρότερα επίπεδα ταλαντώσεων και θορύβου ειδικά σε υψηλές ταχύτητες Οι οδόντες δημιουργούν γωνία σε σχέση με τον άξονα του τροχού (γωνία ελικώσεως, β0) Θορυβώδης λειτουργία και μεγάλα δυναμικά φορτία στους οδόντες Ομαλότερη κατανομή φορτίσεων στους οδόντες Χρήση απλών ακτινικών εδράνων Δημιουργία αξονικής δύναμης κατά τη λειτουργία. Ανάγκη παραλαβής της από κατάλληλα έδρανα
Είδη οδοντωτών τροχών Είδη οδοντωτών τροχών Κωνικοί τροχοί με ευθείς ή ελικοειδείς οδόντες και κάθετους άξονες Σύστημα ατέρμονος κοχλία - τροχού Μετάδοση κίνησης και μεταφορά ισχύος μεταξύ τεμνόμενων ατράκτων (90ο) Μετατροπή κατεύθυνσης της κίνησης Με ευθεία ή πλάγια οδόντωση Υψηλή σχέση μετάδοσης Είδη οδοντωτών τροχών Πλανητικά συστήματα Στεφάνη Πλανήτες Βραχίονας Ήλιος Μικρότεροι σε όγκο και βάρος για την ίδια σχέση μετάδοσης σε σχέση με τους συνήθεις μειωτήρες στροφών λόγω του διαχωρισμού της μεταφερόμενης ισχύος Οι άτρακτοι εισόδου και εξόδου βρίσκονται σε ευθυγραμμία (οικονομία χώρου) Λόγω συμμετρίας μεταφέρεται σχεδόν μόνο στρεπτική ροπή (χωρίς ακτινικές δυνάμεις) επομένως απαιτούνται ελαφρύτερα έδρανα. Παράγουν γενικά μικρότερο θόρυβο Διατάξεις μειωτήρων στροφών
Διατάξεις μειωτήρων στροφών Κατασκευή οδόντων Κοπή με εργαλείο μορφής Κοπή με οδοντωτό κανόνα ή τροχό Κοπή με κοπτικό εργαλείο Hob Βασική γεωμετρία οδοντωτών τροχών Βασική γεωμετρία οδοντωτών τροχών Πάχος οδόντος, βήμα, t Προφίλ δοντιού Εξειλιγμένη καμπύλη Κύκλος ποδός, f Αρχικός κύκλος, 0 Κύκλος κεφαλής, k Βασικός κύκλος, Ύψος κεφαλής hk Αρχικοί κύκλοι, 01, 0 Ύψος ποδός hf k 0 0 f Αριθμός οδόντων, z Περιστροφική ταχύτητα, n (RM)
Υπολογισμός σχέσης μετάδοσης 01 0 Συνεργαζόμενος Τροχός (κορώνα) Υπολογισμός σχέσης μετάδοσης βήμα,t n π n u1 π 60 60 1 01 01 1 n π n u π 60 60 0 0 01 0 t Z π 1 1 01 t Z π 0 Πινιόν u u u π n π n 60 60 01 1 0 c 1 Σχέση μετάδοσης i n n 1 0 01 t Z π t Z π 0 1 1 01 Z t1 t i Z 0 01 1 Τυποποίηση - Υπολογισμός moule Προφίλ οδόντων 01 0 t t Z1 π 01 01 Z1 π Μέτρο Οδοντώσεως (moule) t m π Εξειλιγμένη καμπύλη Τυλίγουμε το νήμα Κύλινδρος και μη ελαστικό νήμα στον κύλινδρο Πινιόν Συνεργαζόμενος τροχός 01 m Z1 Τράβηγμα Τυποποιημένες τιμές moule σε mm (Κωστόπουλος, Σελ. 1.41) Ξετυλίγουμε το νήμα ώστε να είναι πάντα τεντωμένο Παρακολουθούμε την κίνηση του άκρου του νήματος. Η τροχιά της κίνησης του άκρου είναι η εξειλιγμένη καμπύλη
Εξειλιγμένη καμπύλη Προφίλ οδόντων Προφίλ οδόντων Εξειλιγμένη καμπύλη Γωνία τομής με κύκλο κεφαλής 0,0 θ x c,y c θ s s x,y x y c c ( θ ) cos( θ ) ( θ ) sin ( θ ) ( θ ) c + sin ( θ ) ( θ ) cos( θ ) x x s y y s θ s π θ π c ( θ ) cos ( θ) + θ sin ( θ) ( θ ) sin ( θ) θ cos( θ) x y 0,0 θ s + s k s θ + θ k θ + 1 k k θ + 1 k ( ) k θ 1 k θ 1 Σχεδιασμός οδοντωτών τροχών Σχεδιασμός οδοντωτών τροχών α α 0 cos ( a) 0 ( ) ( a) 0 cos
Συνεργασία οδοντωτών τροχών Γραμμή πίεσης Βασικές σχέσεις Αρχικός κύκλος Βασικές γεωμετρικές σχέσεις m Z 0 Κύκλος κεφαλής Κύκλος ποδός k m ( Z + ) 0 + m f m ( Z.5 ) 0.5 m Βασικός κύκλος m Z cos( a) cos( a) Βήμα Διάκεντρο Ύψος κεφαλής Ύψος ποδός t m π ( ) m Z + Z a k 0 hk 0 f hf 1 0 Moule Αριθμός οδόντων Γωνία εξειλιγμένης m Z a 0 o Μετωπικοί τροχοί με ευθεία οδόντωση 0 Υπολογισμός αντοχής οδόντωσης â 0 u
Μετωπικοί τροχοί με ευθεία οδόντωση Περιφερειακή δύναμη Μετωπικοί τροχοί με πλάγια οδόντωση αρχικός κύκλος u M M M 01 1 1 u u 01 0 0 0 a ˆ â 0 tan Ακτινική δύναμη ( aˆ ) tan ( aˆ ) 0 u 0 u u u u κεφαλή οδόντος â 0 aˆ, ˆ β 0 0 Μετωπικοί τροχοί με πλάγια οδόντωση u aˆt â 0 ˆβ 0 xz ˆβ 0 a cos cos Περιφερειακή δύναμη M M M ( aˆ ) 0 01 1 1 u u 01 0 Συνολική δύναμη xz ( ˆ β u ) cos( aˆ 0) cos( ˆ β0) 0 xz Ακτινική δύναμη tan ( ˆ sin a0) sin ( ˆ a0) u cos u ( aˆ ) 0 ( ˆ β0 ) Δυναμική καταπόνηση 1 περιστροφή tan Αξονική δύναμη ( ˆ a β0) tan ( ˆ a u β0) u
Υπολογισμός ελέγχου σε δυναμική αντοχή σε κάμψη Καταπονήσεις a 0 1.. 3. 4. Επιφανειακή πίεση Διάτμηση Θλίψη Κάμψη a 0 σ max σ επ Διάτμηση : πολύ χαμηλότερη σε σχέση με θλίψη κάμψη Θλίψη + Κάμψη: ο συνδυασμός οδηγεί σε μέγιστη ορθή θλιπτική τάση σ max Υπολογισμός μέγιστης αναπτυσσόμενης ορθής τάσης λόγω κάμψης για το δόντι Υπολογισμός επιτρεπόμενης τιμής της τάσης Πρέπει να ισχύει η ανισότητα φόρτισης οδόντος, qk Υπολογισμός ελέγχου σε δυναμική αντοχή σε κάμψη Περιφερειακή δύναμη φόρτισης οδόντος u qk bm Πλάτος οδόντος Κωστόπουλος, Σχ. 3, Σελ 4.17 σ max u qk bm moule Ο συντελεστής Προσοχή: Η σχέση ισχύει μόνο για ευθεία οδόντωση και παραλαβή της δύναμης από ένα δόντι qk είναι συνάρτηση της μετατόπισης των κέντρων των οδοντωτών τροχών και του αριθμού των οδόντων του τροχού
Στην πραγματικότητα περισσότερα του ενός δόντια εμπλέκονται κατά τη μετάδοση της ροπής. Επομένως η περιφερειακή δύναμη μοιράζεται στα εμπλεκόμενα δόντια σ max q ε m u k Β b Επίσης για τροχούς με πλάγια (ελικοειδή) οδόντωση η επιφάνεια επαφής των δοντιών είναι μεγαλύτερη. Βαθμός επικάλυψης (μέσος αριθμός οδόντων σε εμπλοκή) γωνίας ελίκωσης ˆβ 0 0 5 10 15 0 5 30 35 40 Β 1.0 1. 1.8 1.33 1.35 1.36 1.36 1.36 1.34 Κωστόπουλος, Πίνακας, Σελ. 4.0 Κωστόπουλος, Σχ., Σελ. 4.17 σ επ Έλεγχος αντοχής οδοντωτών τροχών q < b ε m Β σ u k σ max επ υλικό, f περιφερειακή ταχύτητα στον ονομ. κύκλο, είδος φόρτισης, κρουστ. φορτία (συντ. ασφαλείας) Επιτρεπόμενες τιμές φόρτισης Για περιφερειακή ταχύτητα του τροχού στον κύκλο κύλισης μικρότερη ή ίση των 5 m/s σ Έλεγχος αντοχής οδοντωτών τροχών επ σ Β, v 5m 3 s σ Β Αντοχή σε εφελκυσμό (όριο θραύσης)
Έλεγχος αντοχής οδοντωτών τροχών Επιτρεπόμενες τιμές φόρτισης Πίνακας αντοχής υλικών Έλεγχος αντοχής οδοντωτών τροχών Επιτρεπόμενες τιμές φόρτισης Για περιφερειακή ταχύτητα του τροχού στον κύκλο κύλισης μεγαλύτερη των 5 m/s σ bw σ, v 5m επ 1.5 s σ bw Αντοχή σε εναλλασσόμενη κάμψη Κωστόπουλος, πίνακας Σελ. 4.3 Έλεγχος αντοχής οδοντωτών τροχών Επιτρεπόμενες τιμές φόρτισης Έλεγχος αντοχής οδοντωτών τροχών Αντοχή σε δυναμική κάμψη - Σύνοψη Πίνακας αντοχής υλικών Περιφερειακή δύναμη φόρτισης οδόντος Τάση θραύσης σ Β, v 5m u qk 3 s σ max b m σ ε Β επ σ bw, v 5m 1.5 s Πλάτος οδόντος Βαθμός επικάλυψης (μέσος αριθμός οδόντων που είναι κάθε φορά σε εμπλοκή) moule γωνίας ελίκωσης Δυναμική αντοχή σε εναλλασσόμενη κάμψη Κωστόπουλος, πίνακας Σελ. 4.3
Η στρεπτική ροπή μεταφέρεται μέσω της περιφερειακής δύναμης η οποία ασκείται με την επαφή των επιφανειών των οδόντων στην περιοχή κοντά στον κύκλο κύλισης. Η αστοχία εμφανίζεται στην περιοχή των οδόντων κοντά στον τροχό κύλισης με τη μορφή εκκοιλάνσεων. Οι εκκοιλάνσεις οφείλονται κυρίως σε επιφανειακές ρωγμές λόγω της επαφής μετάλλου με μέταλλο των οδόντων ή σε φθορές καθώς τα δόντια συνεργάζονται με λεπτό λιπαντικό φιλμ (ή με λιπαντικό χαμηλού ιξώδους). Ορίζουμε ως μόνιμη αντοχή σε πίεση επιφανείας την πίεση η οποία δημιουργεί μία εκκοίλανση ανά in σε 10 7 κύκλους φόρτισης. max επ Υπολογισμός μέγιστης αναπτυσσόμενης επιφανειακής πίεσης Υπολογισμός επιτρεπόμενης τιμής Πρέπει να ισχύει η ανισότητα Η μέγιστη αναπτυσσόμενη πίεση επιφανείας είναι ( 1) + max Y Y Y mm u i1 k W C L b 01 i1 Η μέγιστη αναπτυσσόμενη πίεση επιφανείας είναι ( i + 1) u 1 max YW YC YL b 01 i1 Περιφερειακή ρφ ρ δύναμη, σε k u b b1 5 Πλάτος του συνεργαζόμενου τροχού, σε mm b Πλάτος του πινιόν, σε mm 1 i 1 Λόγος μείωσης της βαθμίδας Ο αρχικός κύκλος του πινιόν, σε mm 01 W Y Y C υλικού κυλίσεως Y Y W W υλικού 1 1, 43 k mm E1 E E + E 1 E σε. Για χάλυβα E 0500 k mm Y L φορτίσεως
Η μέγιστη αναπτυσσόμενη πίεση επιφανείας είναι ( i + 1) u 1 max YW YC YL b 01 i1 Η μέγιστη αναπτυσσόμενη πίεση επιφανείας είναι ( i + 1) u 1 max YW YC YL b 01 i1 Y C κυλίσεως Y L Y L φορτίσεως 1 για ευθεία οδόντωση 1 B για πλάγια οδόντωση γωνίας ελίκωσης ˆβ 0 0 5 10 15 0 5 30 35 40 Β 1.0 1. 1.8 1.33 1.35 1.36 1.36 1.36 1.34 Κωστόπουλος, Σχ. 4, Σελ. 4.5 Κωστόπουλος, Πίνακας, Σελ. 4.0 ( i + 1) u 1 max YW YC YL b 01 i1 επ Y Y 0 1 0, Αντοχή σε πίεση επιφανείας Έχοντας υπολογίσει το max με τη διαδικασία που αναπτύχθηκε, μπορεί να γίνει ο έλεγχος αντοχής: Παράμετρος υλικού Παράμετρος λίπανσης max 0 1 επ επ Y Y ασφαλείας Πίνακας αντοχής υλικών Κωστόπουλος, πίνακας Σελ. 4.3
επ Y Y 0 1 Y 1, Παράμετρος υλικού 1 1 γενικά Y 1, 5 όταν ο συνεργαζόμενος τροχός είναι από χυτοσίδηρο επ Y Y 0 1 Y, Παράμετρος λίπανσης, συνάρτηση του κινηματικού ιξώδους του λιπαντικού Το κινηματικό ιξώδες επιλέγεται ως συνάρτηση της ταχύτητας κυλίσεως Μονάδες: 1tokes1cm /s επομένως 1ct1x10 - cm /s 10 - x10-4 10-6 m /s Κωστόπουλος, Πίνακας Σελ. 4.8 Κωστόπουλος, Σχ. 5, Σελ. 4.9 επ Y Y 0 1, ασφαλείας, 1.5 1.50 υλικού ( i + 1) κυλίσεως u 1 max YW YC YL b 01 i1 φορτίσεως Παράμετρος υλικού επ Y Y 0 1 Παράμετρος λίπανσης ασφαλείας max επ?
Υπολογισμός ελέγχου Σύνοψη Με δεδομένη τη γεωμετρία και τα χαρακτηριστικά κίνησης είναι δυνατός ο έλεγχος της αντοχής των οδοντωτών τροχών Έλεγχος αντοχής σε δυναμική κάμψη (θραύση οδόντος) σ max σ Β, v 5m u q k 3 s < σεπ b ε m Β σ bw, v 5 m 1.5 s Έλεγχος αντοχής σε επιφανειακή πίεση (εκκοιλάνσεις) Αντοχή τροχού Ερώτημα: Πώς μπορούμε να εκτιμήσουμε τις διαστάσεις των συνεργαζόμενων τροχών αν είναι γνωστά τα χαρακτηριστικά της κίνησης; Υπολογισμός μελέτης Υπολογισμός ελέγχου max ( 1) i + Y Y Y Y Y u 1 0 1 W C L επ b 01 i1 Υπολογισμός μελέτης οδοντωτών τροχών Υπολογισμός μελέτης οδοντωτών τροχών Ο υπολογισμός μελέτης οδοντωτών τροχών είναι ο αντίστροφος υπολογισμός αντοχής σε επιφανειακή πίεση (εκκοιλάνσεις) max ( 1) i + Y Y Y Y Y u 1 0 1 W C L επ b 01 i1 01 95 M i 3 Ψ i 1 0 1 0 1 ( + 1) MM u 1 01 01 01 Διάμετρος αρχικού κύκλου (mm) 0 Αντοχή σε πίεση (k/mm ) M 1 i1 Στρεπτική ροπή (k cm) Σχέση μετάδοσης 01 95 M i 3 Ψ i 1 0 1 0 1 b Ψ εργαζόμενου πλάτους α) Μικρός αριθμός στροφών, συνήθεις ποιότητες οδόντωσης β) Μέσος αριθμός στροφών, συνήθεις ποιότητες οδόντωσης γ) Υψηλός αριθμός στροφών, υψηλές ποιότητες οδόντωσης δ) Μεγάλες απαιτήσεις ακρίβειας ( + 1) Κωστόπουλος, Σχ. 6, Σελ. 4.9
Υπολογισμός μελέτης οδοντωτών τροχών ΠΙΝΙΟΝ `Επιλογή υλικού ( 0 ) Υπολογισμός διαμέτρου αρχικού κύκλου 01 Υπολογισμός πλάτους τροχού 95 M i 3 Ψ i b 1 0 1 0 1 ( + 1) 1 Ψ 1 Ψ 01 01 Υπολογισμός υπόλοιπων μεγεθών των τροχών b Υπολογισμός μελέτης οδοντωτών τροχών Πολυβάθμιοι μειωτήρες στροφών Απαιτήσεις μεγάλων σχέσεων μετάδοσης μπορούν να ικανοποιηθούν με χρήση δύο ή τριών βαθμίδων μείωσης. Υπολογισμοί γίνονται για κάθε βαθμίδα. Η συνολική σχέση μετάδοσης προκύπτει n 1 n n n n n n 1 1 1 i i1 i n 3 n3 n ολ n n 3 n n 3 Υπολογισμός μελέτης οδοντωτών τροχών Επιμερισμός σχέσεων μετάδοσης σε πολυβάθμιο μειωτήρα Τέλος Ενότητας Ερωτήσεις;