1. Αν ι µη παράλληλες πλευρές ενός τραπεζίυ είναι κάθετες, να απδείξετε ότι τ άθρισµα των τετραγώνων των διαγωνίων τυ είναι ίσ µε τ άθρισµα των τετραγώνων των βάσεών τυ.. Να υπλγίσετε τ ύψς και τις διαγώνιες ενός ισσκελύς τραπεζίυ ΑΒΓ µε βάσεις ΑΒ=4, Γ =10 και µη παράλληλες πλευρές ίσες µε 5. 3. ίννται δύ όµια ρθγώνια τρίγωνα. Απδείξτε ότι τ γινόµεν των υπτεινυσών είναι ίσ µε τ άθρισµα των γινµένων των µόλγων κάθετων πλευρών τυ. 4. Τα µήκη των πλευρών ενός ρθγωνίυ ΑΒΓ έχυν λόγ. Να απδείξετε ότι ι πρβλές των κρυφών Α και Γ στη διαγώνι Β διαιρύν τη διαγώνι αυτή σε τρία ίσα ευθύγραµµα τµήµατα. 5. ίνεται κύκλς (Ο,ρ) διαµέτρυ ΑΒ και κύκλς διαµέτρυ ΟΑ. Από ένα σηµεί Γ της ακτίνας ΟΑ φέρνυµε την κάθετη στην ΑΒ, η πία τέµνει τν µικρό κύκλ στ και τν µεγάλ κύκλ στ Ε. είξτε ότι τα ευθύγραµµα τµήµατα Α και ΑΕ είναι ασύµµετρα. 6. Σε ισόπλευρ τρίγων ΑΒΓ πλευράς α πρεκτείνυµε τη ΒΓ κατά ευθύγραµµ τµήµα Γ =α. Να υπλγιστεί τ µήκς τυ Α συναρτήσει τυ α. 7. Αν α,β,γ γνωστά (κατασκευάσιµα) ευθύγραµµα τµήµατα, να κατασκευάσετε τµήµα χ, όταν: (α) χ= 3a + 5β (β) χ= α + β αβ (γ) χ 4 =α 4 +β 4. 8. Θεωρύµε τρίγων ΑΒΓ και τν περιγεγραµµέν τυ κύκλ (Ο,R). Φέρνυµε τη διάµετρ ΑΜ και από τ Μ φέρνυµε εφαπτµένη τυ κύκλυ, πυ τέµνει τις πρεκτάσεις των πλευρών ΑΒ,ΑΓ στα σηµεία,ε αντίστιχα. Τότε: (α) ΑΒ +ΒΜ +ΜΕ =ΑΕ και (β) ΑΒ.Α =ΑΓ.ΑΕ 9. Θεωρύµε τρίγων ΑΒΓ µε Β Λ Γ= Λ 90. Αν R η ακτίνα τυ περιγεγραµµένυ τυ κύκλυ τότε β +γ =4R. 10. Έστω τ σηµεί επαφής της πλευράς ΒΓ τριγώνυ ΑΒΓ µε τν εγγεγραµµέν κύκλ τυ. είξτε ότι: Α Λ = 90 Β.Γ =βγ/.
11. Να βρεθεί και να υπλγιστεί η µεγαλύτερη γωνία ενός τριγώνυ ΑΒΓ µε β=α και γ=α 7. 1. Σε ισσκελές τρίγων ΑΒΓ µε ΑΒ=ΑΓ=β και Α Λ = 30, να δειχθεί ότι α = β 6. 13. Αν στ εγγράψιµ τετράπλευρ ΑΒΓ µε ΑΒ=α,ΒΓ=β,Γ =γ, Α=δ ισχύει αβ=γδ, δείξτε ότι α +β +γ +δ =ΑΓ. 14. Αν σε ένα τρίγων ΑΒΓ ισχύει υ α = ( τ β )( τ γ ), τότε 3α=β+γ. 15. (α) Να βρείτε τ είδς τυ τριγώνυ ΑΒΓ (ως πρς τις γωνίες τυ) τυ πίυ ι πλευρές γ,β,α είναι ανάλγες πρς τυς αριθµύς 4,5,6 αντίστιχα. (β) Αν Α είναι η πρβλή της πλευράς γ τριγώνυ ΑΒΓ πάνω στη πλευρά β, να δείξετε ότι Α =(α+β+γ)/30. 16. Σε κάθε ξυγώνι τρίγων ΑΒΓ να δειχτεί ότι α +β +γ >8R (όπυ R η ακτίνα τυ περιγεγραµµένυ κύκλυ τυ τριγώνυ ΑΒΓ) 17. Να υπλγίσετε τ χ έτσι, ώστε ι παραστάσεις χ +χ+1, χ+1 και χ -1 να απτελύν µήκη πλευρών τριγώνυ. Στη συνέχεια να βρείτε τη γωνία πυ βρίσκεται απέναντι από τη µεγαλύτερη πλευρά τυ τριγώνυ. 18. Αν σε ένα τρίγων ΑΒΓ ισχύει µ α =βγ, να δείξετε ότι α= β-γ. 19. Αν σε ένα τρίγων ΑΒΓ ισχύει β=4, γ=6 και µ α =4, να υπλγιστεί η πρβλή της διαµέσυ µ α στην πλευρά ΒΓ. 0. Αν σε τρίγων ΑΒΓ ισχύει µ β +µ γ =5µ α, τότε τ τρίγων είναι ρθγώνι. 1. ίννται δύ µόκεντρι κύκλι (Ο,R), (Ο,ρ) µε R>ρ. Ευθεία (ε) διέρχεται από τ κέντρ Ο και τέµνει τυς κύκλυς κατά σειρά στα σηµεία Α,Β,Γ,. Αν Μ είναι σηµεί τυ (Ο,R) και Ν σηµεί τυ (Ο,ρ), τότε ΝΑ +Ν =ΜΒ +ΜΓ.. Αν σε τρίγων ΑΒΓ ισχύει η σχέση β +γ =α, να απδείξετε ότι για τις διαµέσυς τυ τριγώνυ ισχύυν ι ισότητες: (α) µ β +µ γ =µ α και µ µ µ α β γ 3 (β) = = =. α γ β
3. ίνεται ρόµβς ΑΒΓ µε Λ = 60 ΜΒ +Μ =ΜΑ +ΜΓ +ΑΓ. και σηµεί Μ εκτός τυ ρόµβυ. είξτε ότι 4. Σε ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ ( Α Λ = 90 ) φέρνυµε τη διάµεσ ΒΜ. Αν είναι τ µέσ της ΒΜ, να δείξετε ότι ΒΓ =4Α +3ΑΜ. 5. ίνεται τρίγων ΑΒΓ. Να βρείτε τν γεωµετρικό τόπ των σηµείων Μ τυ επιπέδυ, για τα πία ισχύει η σχέση ΜΒ +ΜΓ =ΜΑ. 6. Ένα σηµεί Α απέχει απόσταση R/ από τ κέντρ Ο ενός κύκλυ (Ο, R). Μια χρδή ΒΓ τυ κύκλυ διέρχεται από τ Α και διαιρείται από τ Α σε λόγ ¼. Να βρεθεί τ µήκς της χρδής αυτής. 7. Η πρέκταση της διαµέσυ ΑΜ τριγώνυ ΑΒΓ τέµνει τν περιγεγραµµέν κύκλ τυ στ σηµεί. Να υπλγίσετε τ µήκς τυ ευθύγραµµυ τµήµατς Μ συναρτήσει των πλευρών τυ τριγώνυ. 8. ίνεται κύκλς (Ο,ΟΑ) και µε διάµετρ την ΟΑ γράφυµε δεύτερ κύκλ. Αν από ένα σηµεί Β τυ µικρύ κύκλυ φέρυµε µια χρδή Γ τυ µεγάλυ κύκλυ, να δείξετε ότι ΒΓ.Β =ΑΒ. 9. Αν Η είναι τ ρθόκεντρ ενός ξυγώνιυ τριγώνυ ΑΒΓ, να υπλγιστεί τ ευθύγραµµ τµήµα ΑΗ συναρτήσει των πλευρών τυ τριγώνυ. 30. Θεωρύµε µια γωνία χο Λ ψ και δύ σηµεία Α,Β της πλευράς Οχ. Να πρσδιρίσετε σηµεία Γ, της πλευράς Οψ τέτια, ώστε να ισχύει ΟΑ.ΟΒ=ΟΓ.Ο 31. ίνεται τρίγων ΑΒΓ. Αν κύκλς διαµέτρυ ΒΓ τέµνει τις πλευρές ΑΒ,ΑΓ στα σηµεία,ε αντίστιχα, τότε α =βγε+γβ. 3. Να δείξετε ότι τ εµβαδόν ενός τετραπλεύρυ τυ πίυ ι διαγώνιες τέµννται κάθετα, είναι ίσ µε τ ηµιγινόµεν των διαγωνίων τυ. 33. (α) ίνεται τρίγων ΑΒΓ µε εµβαδόν Ε. Τότε: = 90 E=τ(τ-α). (β) Αν είναι τ σηµεί επαφής τυ εγγεγραµµένυ κύκλυ ρθγωνίυ τριγώνυ ΑΒΓ µε την υπτείνυσα ΒΓ αυτύ, τότε (ΑΒΓ)= Β. Γ 34. Σε ένα τρίγων ΑΒΓ µε ΒΓ=6, η διάµεσς ΑΜ είναι κάθετη στην πλευρά ΑΒ και ίση µε αυτή. είξτε ότι (ΑΒΓ)=9/. Α Λ
35. Να κατασκευάσετε τετράγων µε εµβαδόν πενταπλάσι τυ εµβαδύ δεδµένυ τετραγώνυ. 36. Να υπλγιστεί τ εµβαδόν τραπεζίυ ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) στις παρακάτω περιπτώσεις: Α Λ Λ, Β Λ (α) = = 90 = 10 και ΒΓ=Γ =α. (β) ΑΒ=4, Γ =10 και Α =ΒΓ=5. 37. Σε τρίγων ΑΒΓ ισχύει: υ α =3ρ (όπυ ρ η ακτίνα τυ εγγεγραµµένυ κύκλυ τυ β +γ τριγώνυ ΑΒΓ). Να βρεθεί λόγς. α 38. Να χωρίσετε ένα παραλληλόγραµµ σε τέσσερα ισδύναµα χωρία µε ευθείες πυ διέρχνται από µια κρυφή τυ. 39. ίνεται τρίγων ΑΒΓ εµβαδύ Ε και κύκλς (Κ,ρ) πυ έχει τ κέντρ τυ στην πλευρά α και εφάπτεται στις πλευρές β,γ. Να απδείξετε ότι (β+γ)ρ=ε. 40. ίνεται ένα τετράγων ΑΒΓ πλευράς α και κέντρυ Ο. Κατασκευάζυµε ένα τετράγων ΟΕΖΗ µε πλευρά β, όπυ β>α. Να υπλγιστεί τ εµβαδόν τυ κινύ χωρίυ των δύ τετραγώνων. 41. Σε ένα τρίγων ΑΒΓ ισχύει: Α Λ = 90 (ρ β -ρ α )(ρ γ -ρ α )=ρ β ρ γ. 4. Σε τρίγων ΑΒΓ να δειχθεί ότι: ρ α ρ β +ρ β ρ γ +ρ α ρ γ =τ. 43. Ένα ρθγώνι παραλληλόγραµµ ΑΒΓ έχει εµβαδόν ίσ µε ΑΓ, 4 όπυ ΑΓ η µια διαγώνιός τυ. Να απδείξετε ότι η ξεία γωνία των διαγωνίων τυ είναι 30. Λ Λ Λ 44. Θεωρύµε τρεις ίσες διαδχικές γωνίες χοψ, ψοz, zοχ και επί των πλευρών Οχ,Οψ,Οz τα σηµεία Α,Β,Γ αντίστιχα τέτια, ώστε ΟΑ=1,ΟΒ=4,ΟΓ=8. είξτε ότι (ΑΒΓ)=11 3. 45. Αν Ι τ έγκεντρ ρθγωνίυ τριγώνυ ΑΒΓ ( Α Λ = 90 ΙΒ.ΙΓ=ΙΑ.ΒΓ ) να δειχτεί ότι 46. ίνεται τρίγων ΑΒΓ. Από ένα σηµεί Ο εσωτερικό τυ τριγώνυ ΑΒΓ φέρνυµε κάθετες στις πλευρές ΑΒ,ΒΓ,ΓΑ και πάνω σε αυτές παίρνυµε τµήµατα Ο =ΑΒ,ΟΕ=ΒΓ,ΟΖ=ΓΑ αντίστιχα. Να δείξετε ότι: (α) ( ΟΕ)=(ΑΒΓ) (β) ( ΕΖ)=3.(ΑΒΓ)
47. Έστω ρθγώνι τρίγων ΑΒΓ ( Α Λ = 90 ). Κατασκευάζυµε επί των τριών πλευρών τυ και εκτός αυτύ τετράγωνα ΒΓ Ε,ΓΑΘΙ,ΑΒΚΛ. Να υπλγισθύν: (α) τα εµβαδά (ΚΒΕ),( ΓΙ),(ΛΑΘ) (β) τ εµβαδόν ( ΕΚΛΘΙ) συναρτήσει των πλευρών α,β,γ τυ τριγώνυ ΑΒΓ. 48. Έστω τ µέσ της πλευράς ΒΓ τριγώνυ ΑΒΓ και σηµεί Ε της πλευράς επίσης ΒΓ διαφρετικό από τα,β,γ. Από τ η παράλληλη ευθεία πρς την ΑΕ τέµνει την ευθεία ΑΒ στ σηµεί Ζ. Να δείξετε ότι (ΖΒΕ)=(ΑΒΓ)/. 49. Να απδείξετε ότι από πιδήπτε σηµεί µιας πλευράς ενός τριγώνυ διέρχεται ευθεία πυ χωρίζει τ τρίγων σε δύ ισδύναµα χωρία. 50. Αν είναι Α,ΒΕ,ΓΖ τα ύψη ξυγώνιυ τριγώνυ ΑΒΓ και Η τ ρθόκεντρό τυ, Η ΗΕ ΗΖ να δείξετε ότι + + = 1. υ υ υ α β γ 51. Σε τρίγων ΑΒΓ ι διχτόµι τυ Α και ΓΕ τέµννται στ σηµεί Ι. Αν (β+γ).(αει)=α.(αιγ) να δείξετε ότι τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισσκελές. 5. ίνεται τρίγων ΑΒΓ και τ έγκεντρό τυ Ι. Αν ισχύει (β+γ)(ιβγ)=β.(αβγ), να δείξετε ότι τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισσκελές. 53. Σε τρίγων ΑΒΓ φέρνυµε τη διχτόµ Α και τη διάµεσ ΓΕ. Αν ισχύει η σχέση 4γ.(Β Ε)=β.(ΑΒΓ) να δείξετε ότι τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισσκελές. 54. ίνεται τρίγων ΑΒΓ και ι διχτόµι τυ Β,ΓΕ. Αν ισχύει η σχέση ( Α Ε) ( ΑΒΓ ) =, να δείξετε ότι τ τρίγων ΑΒΓ είναι ισσκελές. α (1+ ) β 55. ίνεται τρίγων ΑΒΓ και η διάµεσός τυ Α. Πρεκτείνυµε την πλευρά ΑΒ πρς τ µέρς τυ Α κατά τµήµα ΑΕ=ΑΒ.Να απδείξετε ότι (Β Ε)=3(Α Γ). 56. ίνεται τρίγων ΑΒΓ µε β=γ. Αν Α η εσωτερική διχτόµς της γωνίας Λ Α και ΒΜ=µ β, δείξτε ότι: (α).(βμ )=( ΜΓ) (β) 3.(Μ Γ)=(ΑΒΓ). 57. Αν Μ,Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ,Γ ενός παραλληλγράµµυ ΑΒΓ, να απδείξετε ότι (ΑΜΝ)= 8 3 (ΑΒΓ ).
58. Στις πλευρές γ,α,β τριγώνυ ΑΒΓ παίρνυµε αντίστιχα τα σηµεία,ε,ζ τέτια, ώστε Α =λγ, ΒΕ=λα και ΓΖ=λβ (0<λ<1). Να υπλγισθεί λόγς ( ΕΖ) ( ΑΒΓ) συναρτήσει τυ λ και να βρεθεί η τιµή τυ λ ώστε τ τρίγων ΕΖ να έχει τ ελάχιστ δυνατό εµβαδό. βγ 59. ίνεται τρίγων ΑΒΓ µε πλευρές β=1+, γ= και εµβαδόν Ε=. υπλγίσετε την πλευρά α. 4 Να 60. Έστω Α ύψς και Η τ ρθόκεντρ ξυγώνιυ τριγώνυ ΑΒΓ. Να απδείξετε βγ Α ότι =. ΗΒΗΓ. Η 61. Σε κάθε καννικό ν-γων να δειχτεί ότι κάθε µια από τις εξωτερικές τυ γωνίες είναι ίση µε την κεντρική γωνία τυ. 6. ίνεται καννικό εξάγων ΑΒΓ ΕΖ. Έστω Κ τµή των διαγωνίων ΑΕ,ΓΖ και Λ η τµή των ευθειών ΒΚ,ΕΖ. Τότε: (α) 1 ΚΖ= ΓΖ 4 ΛΖ ΛΕ 1 (β) =. 63. Να δειχτεί ότι τα σηµεία πυ τριχτµύν (χωρίζυν σε τρία ίσα µέρη) τις πλευρές ισόπλευρυ τριγώνυ ΑΒΓ πλευράς α, είναι κρυφές καννικύ εξαγώνυ και να βρεθεί τ εµβαδόν τυ συναρτήσει τυ α. 64. Σε κάθε καννικό ν-γων πλευράς λ ν,απστήµατς α ν και κεντρικής γωνίας ω ν, να δειχθεί: ων (α) λ Rηµ ( ) ν ων = (β) αν = Rσυν ( ). 65. Σε ένα καννικό ν-γων Α 1 Α Α ν, αν Α 1 είναι η διχτόµς της γωνίας A3A Λ 1A και ισχύει Λ A ν A1 =135 Ο, να δειχτεί ότι ν=10. ^ 66. Σε κύκλ (Ο,R) θεωρύµε τα τόξα ΑΒ=60 ^ και ΑΓ = «µικρό» τόξ ΒΓ). Να βρεθεί τ εµβαδόν τυ τριγώνυ ΑΒΓ. 90 (τ Α ανήκει στ 67. Σε κύκλ (Ο,R) είναι εγγεγραµµέν καννικό ν-γων µε εµβαδόν Ε και περιγεγραµµέν καννικό ν-γων µε εµβαδόν Ε έτσι, ώστε να ισχύει =. Να δείξετε ότι ν=6. E E 3 4
68. είξτε ότι τ εµβαδόν τετραγώνυ εγγεγραµµέν σε ηµικύκλι ακτίνας R είναι τα τυ εµβαδύ τυ εγγεγραµµένυ τετραγώνυ σε κύκλ ακτίνας R. 5 69. Ένα καννικό εξάγων είναι εγγεγραµµέν σε κύκλ ακτίνας R. Έξω από τ εξάγων κατασκευάζυµε τετράγωνα µε πλευρές τις πλευρές τυ εξαγώνυ. (α) απδείξτε ότι ι κρυφές των τετραγώνων, πυ δεν είναι κρυφές τυ εξαγώνυ, σχηµατίζυν καννικό 1-γων και (β) να βρεθεί τ εµβαδόν τυ παραπάνω 1-γώνυ συναρτήσει τυ R. 70. Ένα καννικό εξάγων ΑΒΓ ΕΖ είναι εγγεγραµµέν σε κύκλ ακτίνας R Αν ι πρεκτάσεις των ΑΒ και Γ τέµννται στ σηµεί Μ, να βρεθύν συναρτήσει τυ R τα εµβαδά των τριγώνων ΜΒΓ και ΜΕΖ. 71. Να υπλγισθεί τ µήκς τυ εγγεγραµµένυ και τυ περιγεγραµµένυ κύκλυ (α) ρθγωνίυ τριγώνυ µε κάθετες πλευρές 3cm και 4cm (β) ισόπλευρυ τριγώνυ πλευράς α. 7. ύ κύκλι µε ακτίνες R και 3R εφάπτνται εξωτερικά στ σηµεί Α. Αν ΒΓ είναι µια κινή εξωτερική εφαπτµένη των κύκλων, να υπλγισθεί η περίµετρς τυ καµπυλόγραµµυ τριγώνυ ΑΒΓ ως συνάρτηση της ακτίνας R. 73. ίννται δύ µόκεντρι κύκλι (O,R), (O,R) και µια χρδή ΑΒ τυ (O,R) πυ εφάπτεται στν(o,r). Να βρεθεί τ µήκς τυ «µικρύ» τόξυ κύκλυ(o,r). ^ ΑΒτυ 74. Ένα ισόπλευρ τρίγων ΑΒΓ είναι περιγεγραµµέν σε κύκλ (Ο,ρ). Θεωρύµε τυς τρεις κύκλυς πυ εφάπτνται τυ (Ο,ρ) και δύ πλευρών τυ τριγώνυ. Να δειχτεί ότι τ άθρισµα των µηκών αυτών των τριών κύκλων ισύται µε τ µήκς τυ κύκλυ (Ο,ρ). 75. ίνεται κύκλς (Ο,R) και δύ παράλληλες χρδές τυ ΑΒ=λ 3 και Γ =λ 6 ώστε τ Ο να µην είναι µεταξύ αυτών. Να βρεθεί η περίµετρς τυ µεικτόγραµµυ τραπεζίυ πυ έχει κρυφές τα σηµεία Α,Β,Γ. 76. ίνεται κύκλς (Ο,R=1) και ένα τετράγων ΑΒΓ µε πλευρά 1,τπθετηµέν όπως φαίνεται στ διπλανό σχήµα. Στρέφυµε τ τετράγων περί τ Γ και κατά τη φρά στρφής των δεικτών τυ ρλγιύ, µέχρι τ να γίνει σηµεί τυ κύκλυ. Να βρεθεί τ µήκς τυ τόξυ πυ διαγράφεται από τ σηµεί Α.
77. ίνεται κύκλς (Ο,R) και δύ κάθετες διάµετρι αυτύ ΑΒ και Γ. Γράφυµε τ τόξ τυ κύκλυ (Α,ΑΓ) πυ έχει άκρα τα Γ, και τέµνει την ΑΒ στ σηµεί Ε. Να βρεθεί τ εµβαδόν τυ µηνίσκυ ΓΕ ΒΓ. 78. Με κέντρα τις κρυφές τετραγώνυ ΑΒΓ πλευράς α και ακτίνας α/ γράφυµε τεταρτκύκλια εντός τυ τετραγώνυ. Να υπλγίσετε τ εµβαδόν τυ καµπυλόγραµµυ σταυρύ πυ σχηµατίζεται. 79. Με κέντρα τις κρυφές Α,Γ τετραγώνυ ΑΒΓ πλευράς α και µε την ίδια ακτίνα α, γράφυµε κυκλικά τόξα στ εσωτερικό τυ τετραγώνυ. Να βρεθεί τ εµβαδόν τυ «φύλλυ» πυ σχηµατίζεται µεταξύ των δύ αυτών τόξων. 80. Να βρεθεί λόγς των εµβαδών των δύ κυκλικών τµηµάτων στα πία διαιρείται ένας κύκλς (Ο,R) από µια πλευρά εγγεγραµµένυ σ αυτόν καννικύ εξαγώνυ. 81. Να βρεθεί λόγς των εµβαδών των δύ κυκλικών τµηµάτων στα πία διαιρείται ένας κύκλς (Ο,R) από µια χρδή πυ είναι µεσκάθετη µιας ακτίνας τυ. 8. Να δειχθεί ότι τ εµβαδό ενός κύκλυ πυ είναι εγγεγραµµένς σε τεταρτκύκλι ακτίνας R είναι ίσ µε πr (3- ). (Υπόδ.: υπλγίστε πρώτα την ακτίνα τυ εγγεγραµµένυ κύκλυ) 83. ύ κύκλι µε ακτίνες (Ο,R) και (Κ,3R) εφάπτνται εξωτερικά στ σηµεί Α. Αν ΜΝ είναι µια κινή εξωτερική εφαπτµένη των κύκλων, να υπλγισθεί τ εµβαδόν τυ καµπυλόγραµµυ τριγώνυ ΑΜΝ ως συνάρτηση της ακτίνας R. ^ 84. ίνεται τεταρτκύκλι ΟΒΓ ακτίνας R. είξτε ότι η χρδή ΒΓ δε χωρίζει τ τεταρτκύκλι σε δύ ισδύναµα χωρία. 85. Να απδείξετε ότι αν ένα καννικό πλύγων έχει δύ κάθετες διαγώνιες, τότε τ πλήθς των πλευρών τυ είναι άρτις αριθµός. 86. ύ κύκλι (O 1,R 1 ) και (O,R ) εφάπτνται εξωτερικά και έστω Ε 1,Ε τα εµβαδά των κύκλων αυτών αντίστιχα. Αν Ε είναι τ εµβαδόν τυ κύκλυ πυ έχει διάµετρ τ κινό εξωτερικό εφαπτόµεν τµήµα των δύ κύκλων, να δείξετε ότι Ε =Ε 1.Ε 87. ίνεται κύκλς (Ο,R) και σηµεί Α µε ΟΑ=R. Αν ΑΒ,ΑΓ είναι τα εφαπτόµενα τµήµατα στν κύκλ, να βρεθεί τ εµβαδόν τυ µεικτόγραµµυ τριγώνυ ΑΒΓ. (όπυ ^ ΒΓ τ µικρότερ τόξ).
88. ίνεται κύκλς (Ο,R) στν πί είναι εγγεγραµµέν τρίγων ΑΒΓ µε Λ A =60. Αν εκτός τυ τριγώνυ γραφεί ηµικύκλι διαµέτρυ ΒΓ, να βρεθεί τ εµβαδόν τυ σχηµατιζόµενυ µηνίσκυ. 89. ίνεται τετράγων πλευράς α και ι πέντε ίσι κύκλι µέσα σε αυτό, όπως φαίνεται στ διπλανό σχήµα. Να βρεθεί ως συνάρτηση τυ α τυ εµβαδόν τυ γραµµσκιασµένυ µέρυς τυ τετραγώνυ. 90. ίννται τρεις ίσι κύκλι ακτίνας 1 πυ εφάπτνται εξωτερικά ανά δύ. ίνεται επίσης ένας κύκλς πυ εφάπτεται στυς παραπάνω τρεις κύκλυς, όπως στ διπλανό σχήµα.. Να βρεθεί τυ εµβαδόν τυ γραµµσκιασµένυ µέρυς τυ εξωτερικύ κύκλυ. -----------------------------------