Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8 Ασκήσεις προς λύση 1-50
1. Θεωρούμε τα σημεία Α(1,2), Β(4,1). Να βρείτε σημείο Μ του άξονα x'x, ώστε η γωνία ΑΜΒ να είναι ορθή στο Μ. 2. Αν για τα μη μηδενικά διανύσματα α, γ " α 2β + γ = 0, να δείξετε ότι: α) α = 4 3 β ισχύουν α 2 = 2 β = γ 3 5. β) β / /γ. και 3. Δίνονται τα διανύσματα α = (1,1) = (1, 1). Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων x, y, αν ισχύουν 2x + y = α, x + 2y = β "! "!. 4. Για τα διανύσματα α, γ ισχύουν α + β + γ " = 0, α = 13, β Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α = α β + β γ + γ α. = 14, γ = 15. " 5. Αν α 0 και ισχύει α + β = α + β, να δείξετε ότι είναι συγγραμμικά. 6. Αν η γωνία των μοναδιαίων διανυσμάτων α είναι ϕ = 2π 3 παραστάσεις Α = (3α + 2β) (α + 2β) και Β = (3α + 2β) 2., να υπολογίσετε τις 7. Αν είναι α = β, να δείξετε ότι (α + β ) (α β). " " " " 8. Να βρείτε τον λ!, ώστε τα διανύσματα α = (λ 2 3λ) i + j = i + 2j ορθογώνια. να είναι " " " " 9. Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων α = 4i + j = i 2j. 10. Να αποδείξετε τις παρακάτω σχέσεις: α) α β α + β 2 = α 2 + β 2. β) α γ) α + β 2 α β 2 = 4α β. δ) αν α β β = 1 2 α + β 2 α 2 β 2 ( ). = 0, τότε α + β = α β. 11. Δίνονται τα διανύσματα α = (3, 2) = (1,2), γ = ( 1, 4). Να βρείτε τα διανύσματα δ = κα + λβ, κ,λ #, που είναι κάθετα στο γ και έχουν μέτρο! "! "! 1. 12. Έστω α δύο διανύσματα = 4, β = 3 και μεταξύ τους γωνία 45. Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων α + β, α β.
13. Θεωρούμε τα μοναδιαία διανύσματα u, ν. Αν τα α κάθετα μεταξύ τους, να βρείτε την γωνία των u, ν. " " " " = 3u + 2ν = 7u + 8ν είναι 14. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, με Α( 2, 1), Β( 2,3), Γ(x, 1), x!. α) Να βρείτε το x, ώστε το ΑΒΓ να είναι ορθογώνιο στο Α. β) Αν (ΑΓ) = 3, να βρείτε το μήκος της υποτείνουσας του ΑΒΓ. 15. Τα διανύσματα α σχηματίζουν γωνία 60 και έχουν μέτρα 3 και 4 αντίστοιχα. Να υπολογίσετε την τιμή των ακόλουθων παραστάσεων: α) α β. β) (2α + β) 2. γ) (2α β) 2. δ) (3α β) (α 3β). 16. Αν τα διανύσματα α είναι ορθογώνια, να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) (2α 3β) 2 (2α + 3β) 2. β) (2α + 3β) (α 2β). γ) α + β 2 + α β 2., να βρεί-!!!! 17. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ = 2, ΑΓ = 4 και η γωνία τους είναι π 3 τε το συνημίτονο της γωνίας που σχηματίζει η διάμεσος ΑΜ με την ΑΒ. " " 18. Δίνονται τα α = (λ 3) i +(λ + 3) j του λ, ώστε αυτά να είναι: α) συγγραμμικά. " " = (6 3λ) i +(λ + 4) j. Να βρείτε την τιμή β) ορθογώνια. 19. Να βρείτε το διάνυσμα β, που έχει μέτρο 1 και είναι κάθετο στο α = (1,2). 20. Δίνονται τα διανύσματα α = 2, β των παραστάσεων: α) (5α 2β) ( 2α + 3β). β) = 3, α β 2 5 α = 4. Να βρείτε τις τιμές 2 + β 25 2 α β. 21. Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Oxy, θεωρούμε τα σημεία Α(2, 3), Β( 6, 4), Γ( 5,3). α) Συναρτήσει των μοναδιαίων διανυσμάτων i, j, να γράψετε τα διανύσματα θέσης των Α, Β, Γ, αν θεωρήσουμε ως αρχή το Ο. β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα θέσης των Α, Β δεν είναι συγγραμμικά.!!!!!! γ) Να βρείτε τα μέτρα των ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ.!!!! δ) Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας των ΟΑ, ΟΒ.!!!!!! ε) Να βρείτε τα κ,λ!, ώστε ΟΓ = κ ΟΑ + λ ΟΒ.
22. Να βρείτε σημείο Γ του άξονα x'x, ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ, με Α(3,2), Β(1,5), να είναι ορθογώνιο στο Β. 23. Αν το τρίγωνο ΑΒΓ, όπου Β(3,2), Γ(1,0), είναι ορθογώνιο στο Α και ισοσκελές, να βρείτε τις συντεταγμένες του Α. 24. Αν τα μη μηδενικά διανύσματα α και α είναι π 3, να βρείτε την γωνία των α έχουν ίσα μέτρα, ενώ η γωνία των α. β 25. Αν για τα συνεπίπεδα διανύσματα α, γ των α είναι π 6, ενώ των β, γ είναι α = β = γ = 1, η γωνία είναι 2π 3, να βρείτε τα 2α + 4γ, α + β 2γ. 26. Θεωρούμε τα διανύσματα α λ!, ώστε (α + λβ) (α 4β). = 1, β = 2 και γωνία 60. Να βρείτε τον 27. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ, με πλευρά α = 2. Αν ΑΔ είναι ύψος του, να!!!!!!!!!!!! υπολογίσετε τα γινόμενα: α) ΑΒ ΑΓ. β) ΑΒ ΔΒ. γ) ΑΓ ΔΒ. 28. Για τα διανύσματα α ισχύει β α = α β α + β α β.. Να δείξετε ότι ισχύει!! 29. Να βρεθούν τα μήκη των διαγωνίων του ρόμβου ΑΒΓΔ, αν ΑΒ = 2 και η γωνία!!! των ΒΓ, ΒΑ είναι π 3. 30. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ = 2, β!! = 2, όπου ΑΒ = γ!, ΒΓ = α γωνία Γ είναι 60, να βρείτε το μήκος της ΑΒ και της διαμέσου ΓΜ. 31. Δίνονται τα διανύσματα α = 2, β = 1. Αν ισχύει και (3α 5β) (2α + β), να βρείτε την γωνία των α.!, ΓΑ = β. Αν η
32. Δίνονται τα διανύσματα α, γ, με τα α να είναι μοναδιαία, το γ να έχει + 2β, 5α 4β είναι κάθετα με- : μέτρο 3 και η γωνία των α, γ είναι 60. Αν τα α ταξύ τους και το β δεν είναι παράλληλο στο γ α) να βρείτε την γωνία των α. β) να αναλύσετε το γ σε δύο, μη μηδενικές, συνιστώσες, παράλληλες των α. 33. Θεωρούμε τα διανύσματα α = 2, β = 1 και γωνία 120. Να βρείτε το διάνυσμα γ, για το οποίο ισχύουν γ / /(α β), α (β + γ). 34. Θεωρούμε τα διανύσματα α στο α β Ασκήσεις διανυσµάτων - Κατηγορία 8 (εκφωνήσεις 1-50) και το μέτρο του 3α + 2β, με μεταξύ τους γωνία 2π 3, το α + β είνα κάθετο είναι 7. Να βρείτε τα μέτρα των α. 35. Αν για τα α ισχύουν α 3 = β 4 = 1, α + β = 5, να δείξετε ότι α β. 36. Αν είναι α = 1, β = 4 και η γωνία τους είναι π 3, να βρείτε το διάνυσμα γ το οποίο ισχύουν γ / /(α β), α (β γ)., για 37. Θεωρούμε τα διανύσματα α α 2β, α + 2β 38. Δίνονται τα διανύσματα α 2β = 5, α + 2β είναι 60. Να βρείτε τα μέτρα των α. = (2,3) " για τα οποία ισχύουν α = γ δ, γ / /β, δ α. 39. Αν α = 3, β = 2 και η γωνία τους είναι 5π, να βρείτε την γωνία που σχη- 6 με το 2α + β, καθώς και το μέτρο του 2α + β. ματίζει το α = 1, ενώ η γωνία των = ( 1, 4). Να βρείτε τα διανύσματα γ " ", δ, 40. Αν τα διανύσματα α έχουν μέτρα 5 και 3 αντίστοιχα και σχηματίζουν γωνία 60, να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας των α + β, α β. 41. Αν τα α είναι κάθετα μεταξύ τους και έχουν μέτρα 1 και 2 αντίστοιχα, να! βρείτε το διάνυσμα δ, που διχοτομεί την γωνία των α και έχει μέτρο 3 2.
42. Αν τα μη μηδενικά διανύσματα α είναι κάθετα μεταξύ τους και έχουν ίσα μέτρα, να δείξετε ότι το ίδιο ισχύει και για τα 2α + β, α 2β. 43. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ, πλευράς 10, και ΑΔ ύψος του. Να υπολογίσετε!!!!!!!!!!! τα γινόμενα: α) ΑΒ ΑΓ. β) ΑΒ ΔΓ. γ) ΓΑ ΑΔ.!!!! 44. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, με ΑΒ = 4, ΒΓ = 5, ΑΓ = 6. Να βρείτε το ΑΒ ΑΓ. 45. Τα διανύσματα α έχουν μέτρα t, 4t (t > 0) αντίστοιχα. Να βρείτε την γωνία τους σε κάθε περίπτωση: α) α β = 2t 2. β) α β = 4t 2. γ) 2 2 t 2. δ) α β = 2 3 t 2. ε) α β = 4t 2. 46. Να βρείτε την γωνία που σχηματίζουν μεταξύ τους τα ακόλουθα διανύσματα: α) α = (2,3) = ( 1,5). β) α = ( 1, 4) = 3 2 6, 3 2 2 3. 47. Να βρείτε τον λ!, ώστε τα παρακάτω διανύσματα να είναι μεταξύ τους κάθετα: α) α = (λ,2) = (λ 3, 1). β) α = λ λ +1, λ = (3λ +1, 1 3λ). 48. Δίνονται τα διανύσματα α = (2, 4) οποίο ισχύουν α γ = 18 γ = 8. 49. Δίνονται τα διανύσματα α = ( 3,1). Να βρείτε το διάνυσμα γ, για το = 2, β α) το συνημίτονο της γωνίας τους.! "! β) το εσωτερικό γινόμενο των u = 2α γ) τα μέτρα των u, ν του ερωτήματος (β). " + 3β, ν = 3, α β = 5. Να βρείτε: "! "! = α 2β. www.dimoshopoulos.gr
50. Δίνονται τα διανύσματα α Ασκήσεις διανυσµάτων - Κατηγορία 8 (εκφωνήσεις 1-50) σχηματίζουν τα α + β, 2α 3β + β = 1, 2α 3β είναι π 3. Να βρείτε τα μέτρα των α = 3, ενώ η γωνία που.