Μηχανική - Ρευστομηχανική Ενότητα 8: Ισορροπία Διδάσκων: Πομόνη Αικατερίνη, Αναπλ. Καθηγήτρια Επιμέλεια: Γεωργακόπουλος Τηλέμαχος, Υπ. Διδάκτωρ Φυσικής 2015 Θετικών Επιστημών Φυσικής
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης reatve ommons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Στατική και Δυναμική ισορροπία Ροπή ζεύγους δυνάμεων Κέντρο Βάρους
Ισορροπία Σώματα σε ισορροπία όταν Στατική ισορροπία: P Δυναμική ισορροπία: P 0, L 0 P. L.. 0 ήl. 0 0 Σώμα ηρεμεί πάνω σε τραπέζι P 0, L 0 Στατική ισορροπία. Σώμα κινείται πάνω σε λεία επιφάνεια με σταθερή ταχύτητα P. 0, L 0 Δυναμική ισορροπία
Ισορροπία συνέχεια. Τα πτερύγια ανεμιστήρα οροφής περιστρέφονται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα P 0, L. 0 Δυναμική ισορροπία. Τροχός ποδηλάτου κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα Δυναμική ισορροπία P., 0 L. 0
Ροπή ζεύγους δυνάμεων Υ F 2 Δύο αντίθετες δυνάμεις F1, F2 που δρουν στα σημεία Α και Β στερεού σώματος συνιστούν ζεύγος δυνάμεων Ο θ Α r r 1 2 F 1 θ r BA l Β Χ F 2 1 r F r F r F r ( F ) O F 1 1 2 2 1 1 2 1 ( r r ) F r F r F sn zˆ 1 2 1 BA 1 BA 1 r F sn zˆ F zˆ. BA 1 1 Επομένως η ροπή ζεύγους δυνάμεων είναι ανεξάρτητη του συστήματος αναφοράς που χρησιμοποιείται
Κέντρο Βάρους X Η ολική ροπή ως προς Ο των δυνάμεων της βαρύτητας ενός συστήματος σωματιδίων ισούται με τη ροπή του ολικού βάρους Mg Z O r αν αυτό ασκείται στο κέντρο μάζας του συστήματος Κ: σημείο εφαρμογής της συνισταμένης δύναμης βαρύτητας (κέντρο βάρους). m r mg rk K Υ : κέντρο μάζας του συστήματος των σωματιδίων. r m g Είναι γνωστό ότι r F ( mr ) /, επομένως o r g r g Η ροπή της F ολ ως προς το Ο είναι : r F r F r m g ( ), r r K r m g r m g r Mg Αν το σύστημα αναφοράς έχει αρχή το Κ: o o g. g, r m g ( m r ) g. o,. 0
Ισορροπία Παράδειγμα 1 Στη ράβδο μήκους l 1 στο άκρο τραπεζιού προσαρτώνται, όπως στο σχήμα, όμοιες ράβδοι με μήκη l 2 και l. Να υπολογιστεί η τιμή του μήκους l ώστε το σύστημα να ισορροπεί. Υ d d l r 3 Ο r 1 l 1 r 2 d 1 2 r1 xˆ yˆ, r ˆ ˆ 2 ( 1 ) x y 2 2 2 2 Χ r3 ( ˆ ˆ 1) x ( 2 d ) y 2 2 m1 m2 m3 d d d Για να ισορροπεί το σύστημα πρέπει O 0. Επομένως το κέντρο μάζας του r ˆ ˆ xx yy πρέπει να βρίσκεται πάνω στην κατακόρυφο που περνά από το Ο, δηλ. στον άξονα y, άρα x =0. l 2 1 2
Ισορροπία Παράδειγμα 1 συνέχεια r m r m r m r dr dr dr r r r m m m d d d 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 1 1 2 2 3 1 2 3 1 2 1 2 Για να είναι x c =0, πρέπει d ( ) ( ) 0 2 2 2 1 1 2 1 1 Η επίλυσή της δίνει τη ζητούμενη τιμή του l
Ισορροπία Παράδειγμα 2 Ομογενής κώνος ακτίνας r και ύψους h=10r ισορροπεί πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο με γωνία κλίσης θ. Ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ κώνου και κεκλιμένου επιπέδου είναι μ s =0.75. α) Να βρεθεί σε πόση απόσταση x από το άκρο Γ εφαρμόζεται η κάθετη δύναμη από το κεκλιμένο επίπεδο. β) Όταν η γωνία θ αυξηθεί με αργό ρυθμό, να βρεθεί η τιμή της για την οποία επίκειται ολίσθηση και η τιμή της για την οποία επίκειται ανατροπή του κώνου. Ποιο από τα δύο θα συμβεί πρώτο; γ) Τι θα αλλάξει αν μ s =0.3;
Ισορροπία Παράδειγμα 2 συνέχεια Α α) Ο κώνος ισορροπεί: ΣF x =0 Βsnθ=Τ s, ΣF y =0 Bcosθ=Ν, N T S Δ ( ) 0 Nx+Bsnθ(h/4)-rBcosθ=0, r xbcosθ+bsnθ(h/4)- x rbcosθ=0 x=r-(h/4)tanθ=r- Γ 2.5rtanθ= r(1-2.5tanθ) θ Bcosθ β) Στη γωνία θ 1 για την οποία Β επίκειται ολίσθηση: Βsnθ 1 =T sορ =μ s N=μ s Bcosθ 1, tanθ 1 =μ s =0.75 θ 1 =36.9 ο Bsnθ Στη γωνία θ 2 για την οποία επίκειται ανατροπή: x=0, 1-2.5tanθ 2 =0 θ 2 =21.8 o. Άρα ο κώνος θα ανατραπεί πριν του δοθεί η δυνατότητα να ολισθήσει. γ) Με μ s =0.3, tanθ 1 =0.3 θ 1 =16.7 ο. Επομένως τότε ο κώνος θα ολισθήσει πριν του δοθεί η δυνατότητα να ανατραπεί.
Ισορροπία Παράδειγμα 3 Ο κύλινδρος του σχήματος με ακτίνα R συγκρατείται σε αυτή τη θέση με ένα σχοινί το οποίο ασκεί δύναμη Fκαι με τη στατική τριβή. Ποια η ελάχιστη τιμή του συντελεστή στατικής τριβής μ s έτσι ώστε ο κύλινδρος να παραμείνει σε ισορροπία όταν η F σχηματίζει γωνία θ με το οριζόντιο επίπεδο; F y W F θ F x N T s Fx 0 N Fx (1) Fy 0 Fy Ts W (2) c 0 F T 0 s T R RF 0 F T (3) s Ts sn sfx sf cos (3) F Fcos 1 cos s s s s 1 cos
Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Φυσική Hallday-Resnck-Krane 4 η έκδοση Τόμος 1 Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς Serway: απόδοση στα ελληνικά Λεωνίδα Κ. Ρεσβάνη, τόμος I Μηχανική 3 η έκδοση Θεμελιώδης Πανεπιστημιακή Φυσική, Μηχανική και Θερμοδυναμική, Alonso/Fnn 2 η έκδοση Τόμος 1 Πανεπιστημιακή Φυσική, Μηχανική- Θερμοδυναμική, H. D. Young Τόμος Α Physcs, Foundatons and Applcatons" Robert M. Esberg, Lawrence S. Lerner, combned volume, McGraw-Hll, Inc. Φυσική τόμος 1 Μηχανική, Berkeley
Σημείωμα Αναφοράς opyrght Πανεπιστήμιο Πατρών, Αικατερίνη Πομόνη. «Μηχανική- Ρευστομηχανική. Ενότητα 8». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/courses/phy1901/
Τέλος Ενότητας