Σκέδαση
Δομή Διάλεξης Κλασσική Θεωρία Σκέδασης Ορισμοί μεγεθών σκέδασης Κβαντική θεωρία σκέδασης Πλάτος σκέδασης Υπολογισμός διατομής σκέδασης με την μέθοδο στοιχειωδών κυμάτων (partial waves) Υπολογισμός διατομής σκέδασης με την προσέγγιση Born. Σύνοψη Λυμένες Άλυτες Ασκήσεις
Κλασσική Θεωρία Σκέδασης Βασικές παράμετροι: Γωνία σκέδασης Παράμετρος κρούσης Κέντρο σκέδασης Βασικό πρόβλημα: Με δεδομένη παράμετρο κρούσης να βρεθεί η γωνία σκέδασης
Παράδειγμα: Σκέδαση από Ελαστική σκέδαση σε σκληρή σφαίρα: σκληρή σφαίρα Εκφράζουμε την γωνία σκέδασης θ συναρτήσει της παραμέτρου κρούσης b: +12a
Διαφορική διατομή σκέδασης Σωμάτια προερχόμενα από στοιχειώδη επιφάνεια dσ σκεδάζονται σε στερεά γωνία dω Διαφορική διατομή σκέδασης (scattering cross-section): Από την συνάρτηση b(θ) στην D(θ): +12b Απαίτηση για θετικά ορισμένη ποσότητα
Διαφορική Διατομή Σκέδασης Ελαστική σκέδαση σε σκληρή σφαίρα: Σκληρής Σφαίρας Εκφράζουμε την γωνία σκέδασης θ συναρτήσει της παραμέτρου κρούσης b: +12c +12d Ολική Διατομή Σκέδασης: +12e
Διαφορική Διατομή Σκέδασης Συναρτήσει Φωτεινότητας Φωτεινότητα (luminosity) προσπιπτόντων σωματίων : Αριθμός προσπιπτόντων σωματίων ανά μονάδα χρόνου ανά μονάδα επιφανείας.
Κβαντική Θεωρία Σκέδασης Εισερχόμενο επίπεδο κύμα (ελεύθερο σωμάτιο) -> Εξερχόμενο σφαιρικό κύμα: Σε μεγάλα r Πλάτος σκέδασης -> πιθανότητα σκέδασης σε γωνία θ ~ D(θ) Πρέπει ψ 2 ~1/r 2 σε μεγάλα r για διατήρηση της πιθανότητας Σχέση κυματάριθμου k με ενέργεια προσπίπτοντος σωματίου :
Σύνδεση f(θ) με D(θ) Εισερχόμενο επίπεδο κύμα (ελεύθερο σωμάτιο) -> Εξερχόμενο σφαιρικό κύμα: Σε μεγάλα r Πιθανότητα να περάσει το εισερχόμενο σωμάτιο ταχύτητας υ από την στοιχειώδη επιφάνεια dσ μέσα σε χρόνο dt: Πιθανότητα σκέδασης σωματίου σε στερεά γωνία dω: dv Εξισώνοντας τα δύο dp αντιστοιχούμε το dσ στο dω και βάσει του ορισμού έχουμε την διαφορική διατομή σκέδασης dσ/dω.
Σύνδεση f(θ) με D(θ) Πιθανότητα να περάσει το εισερχόμενο σωμάτιο ταχύτητας υ από την στοιχειώδη επιφάνεια dσ μέσα σε χρόνο dt: Πιθανότητα σκέδασης σωματίου σε στερεά γωνία dω: Εξισώνοντας τα δύο dp αντιστοιχούμε το dσ στο dω και βάσει του ορισμού έχουμε την διαφορική διατομή σκέδασης dσ/dω. Σωμάτια προερχόμενα από στοιχειώδη επιφάνεια dσ σκεδάζονται σε στερεά γωνία dω Βασικό πρόβλημα: Υπολογισμός πλάτους σκέδασης f(θ). Δύο τεχνικές: 1. Ανάλυση σε στοιχειώδη κύματα (partial waves), 2. Προσέγγιση Born.
Στοιχειώδη κύματα Έχουμε δει ότι για κεντρικό δυναμικό η λύση της εξίσωσης Schrodinger διαχωρίζεται ως: Και το ακτινικό μέρος ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση: όπου Απόδειξη: Έχουμε δείξει ότι (Διάλεξη 4): +12f +12g +12h +12h
Στοιχειώδη κύματα: kr>>1 Έχουμε δει ότι για κεντρικό δυναμικό η λύση της εξίσωσης Schrodinger διαχωρίζεται ως: Και το ακτινικό μέρος ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση: όπου Για μεγάλα r (kr>>1) το δυναμικό και ο φυγοκεντρικός όρος μπορούν να αγνοηθούν: όπου Απαιτούμε μόνο εξερχόμενο σκεδαζόμενο κύμα (D=0): +12i Σε ποιοτική συμφωνία με:
Στοιχειώδη κύματα: Ενδιάμεσα r Αγνοούμε το δυναμικό αλλά κρατάμε τον φυγόκεντρο όρο: Γενική λύση (διάλεξη 4) σφαιρικές συναρτήσεις Bessel j l (r)~sin(r) και n l (r)~cos(r) : +12j Για να αναπαραστήσουμε ασυμπτοτικά εξερχόμενα και εισερχόμενα σφαιρικά κύματα χρειαζόμαστε τις σφαιρικές συναρτήσεις Hankel: kr 1 kr 1 Σφαιρικές συναρτήσεις Hankel: +12k
Στοιχειώδη κύματα: Ενδιάμεσα r Για να αναπαραστήσουμε ασυμπτωτικά εξερχόμενα και εισερχόμενα σφαιρικά κύματα χρειαζόμαστε τις σφαιρικές συναρτήσεις Hankel: kr 1 kr 1 Σφαιρικές συναρτήσεις Hankel: Για συνοριακές συνθήκες σκέδασης (εξερχόμενα σφαιρικά κύματα σε μεγάλα r) χρειαζόμαστε: +12l Άρα η ακριβής κυματοσυνάρτηση σκέδασης στην περιοχή όπου V(r)=0 έχει την μορφή:
Διατομή Σκέδασης Άρα η ακριβής κυματοσυνάρτηση σκέδασης στην περιοχή όπου V(r)=0 έχει την μορφή: kr 1 όπου Οι συντελεστές C lm (πλάτη στοιχειωδών κυμάτων) υπολογίζονται από τις συνοριακές συνθήκες στην r όπου μηδενίζεται το δυναμικό (πρέπει να λυθεί η εξίσωση Schrodinger και στο εσωτερικό). +12m Για την διαφορική διατομή σκέδασης dσ/dω έχουμε: Και για την ολική διατομή σκέδασης σ: +12n
Αζιμουθιακή Συμμετρία Άρα η ακριβής κυματοσυνάρτηση σκέδασης στην περιοχή όπου V(r)=0 έχει την μορφή: Για κεντρικό δυναμικό (αζιμουθιακή συμμετρία σκέδασης) έχουμε ανεξαρτήσία από το φ και συνεισφέρει μόνο η Y l0 : Πλάτος σκέδασης +12o Ολική διατομή σκέδασης +12p
Κυματοσυνάρτηση σκεδασης σε σφαιρικές συν/νες Άρα η ακριβής κυματοσυνάρτηση σκέδασης στην περιοχή όπου V(r)=0 έχει την μορφή: Για να χρησιμοποιήσουμε συνοριακές συνθήκες με την περιοχή του δυναμικού πρέπει να εκφράσουμε την ψ πλήρως σε σφαιρικές συν/νες με την μορφή: +12q
Σκέδαση σε σκληρή σφαίρα Έστω ότι το δυναμικό V(r) έχει την μορφή: Συνοριακές συνθήκες στο όριο του δυναμικού: Προσέγγιση ολική διατομής για μικρές ενέργειες z=ka<<1: +12r
Σκέδαση σε σκληρή σφαίρα Ολική διατομή σκέδασης για σκληρή σφαίρα: Προσέγγιση ολική διατομής για μικρές ενέργειες z=ka<<1: +12s Τετραπλάσιο από το κλασσικό αποτέλεσμα!
Προσέγγιση Born I: Ολοκληρωτική μορφή εξίσωσης Schrodinger Χρονοανεξάρτηση εξίσωση Schrodinger: +12t Επίλυση με την μέθοδο συναρτήσεων Green: Συνάρτηση Green: Διάνυσμα r Απόδειξη: Άρα αρκεί να βρούμε την συνάρτηση Green G(r)
Εύρεση συνάρτησης Green Έστω ο μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης Green: Τότε έχουμε: +12u
Εύρεση συνάρτησης Green Η συνάρτηση Green είναι της μορφής: Το ολοκλήρωμα στο φ δίνει 2π. Για το ολοκλήρωμα στο θ έχουμε: +12u +12u
Υπολογισμός Ολοκληρωμάτων (ολοκλήρωση κατά Cauchy) Η συνάρτηση Green είναι της μορφής: Χρήση σχέσης Cauchy για ολοκλήρωση: oλοκληρωτικό υπόλοιπο (Residue) +12v +12w Κλείνουμε στο πάνω μέρος για να μηδενίζεται το ολοκλήρωμα στο ημικύκλιο στο άπειρο. +12x Κλείνουμε στο κάτω μέρος για να μηδενίζεται το ολοκλήρωμα στο ημικύκλιο στο άπειρο λόγω της μορφής της φάσης.
Ολοκληρωτική μορφή εξίσωσης Η συνάρτηση Green είναι της μορφής: Schrodinger +12y Επιλογή διαφορετικής παράκαμψης πόλων οδηγεί σε διαφορετική συνάρτηση Green λόγω της αυθαιρεσίας που υπάρχει στο να προσθέσουμε στην G(r) οποιαδήποτε λύση της ομογενούς G 0 (r). όπου Ολοκληρωτική μορφή εξίσωσης Schrodinger
Προσέγγιση Born Για n προσπίπτοντα σωμάτια η κανονικοποίηση της προσπίπτουσας κυματοσυνάρτησης είναι: Έχουμε δείξει ότι (νέος συμβολισμός): +12z 2 2 2 r r r 1 2 r r / r r / r r r r / r ανιχνευτής μοναδιαίο στην διεύθυνση του ανιχνευτή Ορισμός του k όπου το πλάτος σκέδασης είναι +12α
Προσέγγιση Born Έχουμε δείξει ότι: όπου το πλάτος σκέδασης είναι Για ασθενές δυναμικό μπορούμε να υποθέσουμε ότι: προσέγγιση Born +12β q στην διεύθυνση z +12y
Προσέγγιση Born Έχουμε δείξει ότι: +12δ Ακόμα έχουμε: +12ε διατήρηση ενέργειας ανιχνευτής
Παράδειγμα: Δυναμικό Yukawa Έχουμε δείξει ότι: Δυναμικό Yukawa: +12ζ +12η
Σκέδαση από δυναμικό Coulomb Coulomb +12θ Διαφορική Διατομή Σκέδασης Rutherford
Σύνοψη Το βασικό ζητούμενο σε προβλήματα σκέδασης είναι η διαφορική διατομή σκέδασης dσ/dω όπου dσ στοιχειώδη επιφάνεια από όπου σκεδάζονται σωμάτια σε στερεά γωνία dω Η ολική διατομή σκέδασης για κλασσική σκέδαση από σκληρή σφαίρα είναι σ=πr 2 όπου R η ακτίνα της σφαίρας. Η ασυμπτοτική συμπεριφορά κυματοσυνάρτησης καθορίζεται από το πλάτος σκέδασης f(θ) από το οποίο προκύπτει η διαφορική διατομή σκέδασης dσ/dω= f(θ) 2 Κατά την μέθοδο των στοιχειωδών κυμάτων (partial waves) το πλάτος σκέδασης υπολογίζεται λύνοντας την εξίσωση Schrodinger στην περιοχή του δυναμικού σκέδασης και απαιτώντας συνέχεια με την ασυμπτωτική συμπεριφορά συναρτήσει του πλάτους σκέδασης Κατά την προσέγγιση Born το πλάτος σκέδασης υπολογίζεται θεωρώντας την ολοκληρωτική μορφή της εξίσωσης Schrodinger και προσεγγίζοντας την λύση με αυτοσυνεπή τρόπο υποθέτοντας μικρή επίδραση του δυναμικού στην κυματοσυνάρτηση.
Άσκηση 1 Θεωρείστε σκέδαση από το δυναμικό μαλακής σφαίρας. Βρείτε την ολική και την διαφορική διατομή σκέδασης για σκέδαση χαμηλής ενέργειας χρησιμοποιώντας την προσέγγιση Born. q 0 +12ι
Άσκηση 2 Λύστε την προηγούμενη άσκηση για αυθαίρετη ενέργεια. q όπου Για σκέδαση χαμηλής ενέργειας ka<<1 έχουμε Σε συμφωνία με την προηγούμενη άσκηση.
Άσκηση 3 Βρείτε την ασυμπτωτική μορφή σκέδασης για κυματοσυνάρτηση σε 2 και σε 1 διάσταση. Δύο διαστάσεις: Μία διάσταση:
Άσκηση 4 Δείξτε με απ ευθείας αντικατάσταση ότι η συνάρτηση για την διαφορική εξίσωση Helmholtz. είναι η συνάρτηση Green Αλλά: +12κ Άρα :
Άσκηση 4 Δείξτε με απ ευθείας αντικατάσταση ότι η συνάρτηση για την διαφορική εξίσωση Helmholtz. είναι η συνάρτηση Green Άρα : Άρα :