ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Υποστήριξης Αποφάσεων Ενότητα # 5: Βασικές Έννοιες της Πολυκριτήριας Ανάλυσης Διονύσης Γιαννακόπουλος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Να γίνουν κατανοητές οι Βασικές Έννοιες της Πολυκριτήριας Ανάλυσης 4
Περιεχόμενα ενότητας Μοντελοποίηση μέσω διμερών σχέσεων Μοντέλα μη αντισταθμιστικά Συναρτησιακές μέθοδοι σύνθεσης κριτηρίων Η περίπτωση του σταθμισμένου μέσου 5
Μοντελοποίηση μέσω διμερών σχέσεων Η πιο κλασσική οικογένεια μοντέλων της κατηγορίας αυτής κάνει χρήση της σχέσης υπεροχής S (αγγλ. outranking relation, γαλλ. relation de surclassement). Εννοιολογικά για δυο δράσεις του συνόλου, asb σημαίνει a τουλάχιστον εξίσου καλή με τη b. Τρεις θεμελιώδεις καταστάσεις μπορούν να μοντελοποιηθούν με τη βοήθεια της διμερούς σχέσης S ή ακόμη μέσω ενός γραφήματος υπεροχής. 1. αsb και b$a (όχι bsα): α προτιμάται της b 2. αsb και bsa: a ισοδύναμη της b asb 3. και : α και b είναι ασύγκριτες (μη συγκρίσιμες) bsa 6
Μοντελοποίηση μέσω διμερών σχέσεων Συνήθως, εισάγουμε δυο διμερείς σχέσεις P και I για να παραστήσουμε τις καταστάσεις 1 και 2 παραπάνω: 1. αpb αsb και bsa (προτίμηση, preference) 2. αib αsb και bsa (αδιαφορία, indifference) 3. αrb bsa και a$b (ασυγκρισιμότητα) 7
Μοντέλα μη αντισταθμιστικά Η βασική αρχή στα μοντέλα πολυκριτήριας ανάλυσης είναι εκείνη της αποζημίωσης (compensation), μια αρχή που θέτει το ακόλουθο ερώτημα: «υπό ποίους όρους η βελτίωση σε ένα κριτήριο μπορεί να αποζημιώσει την απώλεια μονάδων σε ένα άλλο κριτήριο;» Σε ορισμένα μοντέλα η αποζημίωση αυτή δεν είναι επιτρεπτή. Τα μοντέλα αυτού του τύπου ονομάζονται μη αντισταθμιστικά (non compensatory models). Αντίθετα, τα μοντέλα στα οποία ένα κριτήριο μπορεί να αποζημιώσει κάποιο άλλο ονομάζονται αντισταθμιστικά μοντέλα (compensatory models). 8
Συζευκτικό μοντέλο ή μοντέλο με επίπεδα προσδοκίας (1) Στο μοντέλο αυτό, για κάθε κριτήριο της συνεπούς οικογένειας κριτηρίων (θεωρείται ότι είναι πραγματικό κριτήριο) ορίζεται από τον αποφασίζοντα ένα επίπεδο προσδοκίας (aspiration level) g iπ. Τότε, για κάθε δράση a του συνόλου A υπάρχουν δυο δυνατές κρίσεις: g i (a) g π i i = 1,2,,n είναι αποδεκτή ( a B) Υπάρχει δείκτης i / g i (a) < g i π a είναι μη αποδεκτή (a B) 9
Συζευκτικό μοντέλο ή μοντέλο με επίπεδα προσδοκίας (2) Ένα τέτοιο μοντέλο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την περιγραφική μελέτη μιας διαδικασίας απόφασης, κυρίως για την ανεύρεση ικανοποιητικών λύσεων στα προβλήματα απόφασης. Στην περίπτωση αυτή, ο κανόνας απόφασης διατυπώνεται ως εξής: «Επιλογή της πρώτης ανευρεθείσας δράσης a για την οποία: g i (a) g i π i= 1,2,,n» Παράδειγμα του μοντέλου αυτού αποτελεί η αγορά αυτοκινήτου που δεν κοστίζει πάνω από 12.000, έχει μέγιστη ταχύτητα τουλάχιστον 180 χλμ. την ώρα, είναι Eυρωπαϊκής προέλευσης, έχει τέσσερις πόρτες, διαθέτει κλιματιστικό μηχάνημα, ζάντες αλουμινίου, κλπ. 10
Συζευκτικό μοντέλο ή μοντέλο με επίπεδα προσδοκίας (3) Προφανώς ένα τέτοιο μοντέλο απόφασης είναι μη αντισταθμιστικό, αφού η παραβίαση ενός επιπέδου προσδοκίας σε ένα κριτήριο είναι απορριπτική της δράσης και δεν μπορεί να αντισταθμιστεί από βελτιώσεις της δράσης σε άλλα κριτήρια. Τα προβλήματα που υπεισέρχονται είναι της εξής μορφής: είτε ο αποφασίζων θέτει υψηλά (αυστηρά) επίπεδα προσδοκίας g iπ, οπότε το σύνολο Β των αποδεκτών δράσεων κινδυνεύει να είναι κενό ( B ), είτε ο αποφασίζων θέτει χαμηλά (χαλαρά) επίπεδα προσδοκίας, οπότε το σύνολο Β είναι πολυπληθές και δεν δίνει λύση στο πρόβλημα. 11
Συζευκτικό μοντέλο ή μοντέλο με επίπεδα προσδοκίας (4) Για την αντιμετώπιση των προβλημάτων αυτών προτείνονται δυο ενδιαφέρουσες επεκτάσεις του μοντέλου: 1. Αλληλεπιδραστική (διαλογική) μεταβολή των επιπέδων προσδοκίας, μέσα από διάλογο αναλυτή-αποφασίζοντος που θα βασίζεται στην εξέλιξη του συνόλου Β. 2. Επιλογή δράσης η οποία δεν ικανοποιεί όλους τους περιορισμούς που θέτουν τα επίπεδα προσδοκίας αλλά είναι «όσο πιο γειτονική γίνεται» του διανύσματος προσδοκίας g π. Το μοντέλο αυτό υλοποιείται μέσω του προγραμματισμού στόχων (goal programming). 12
Συζευκτικό μοντέλο ή μοντέλο με επίπεδα προσδοκίας (5) Παράδειγμα: Δίκτυο πωλήσεων Ας υποθέσουμε ότι ο αποφασίζων βιομήχανος θέλει να επιλέξει ένα και μοναδικό κατάστημα-αντιπρόσωπο στο Νομό Αττικής (προβληματική α). Για τα δυο κριτήρια διάταξης g2: κατάστημα και g3: μάνατζμεντ, θέτουμε συμβατικά: Α=3, Β=2,Γ=1. Κατάστημα Τζίρος (χιλ. ) Κρ. κατάστημα Μάνατζμεντ Κ 1 40 Α(3) Β(2) Κ 2 130 Γ(1) Α(3) Κ 3 80 Β(2) Α(3) Κ 4 30 Α(3) Α(3) Κ 5 70 Β(2) Γ(1) Κ 6 150 Γ(1) Γ(1) Κ 7 60 Β(2) Β(2) Κ 8 180 Γ(1) Β(2) 13
Συζευκτικό μοντέλο ή μοντέλο με επίπεδα προσδοκίας (6) Κατά τον βιομήχανο, ένας αντιπρόσωπος πρέπει να έχει μηνιαίο τζίρο τουλάχιστον 100 Κ και να έχει αξιολογηθεί στα άλλα κριτήρια τουλάχιστον με Β(2). Τούτο σημαίνει ότι τα επίπεδα προσδοκίας είναι: g 1 π = 100, g 2 π = 2, g 3 π = 2 Επειδή κανένα κατάστημα δεν «πιάνει» ταυτόχρονα τις τιμές αυτές, έχουμε: B Με την υπόδειξη του αναλυτή, ο αποφασίζων προτίθεται να χαμηλώσει εναλλακτικά τον τζίρο στα 80 Κ ή τον βαθμό του καταστήματος από Β σε Γ, όχι όμως και το μάνατζμεντ. Τότε: g π 1 = 80, g π 2 = 2, g π 3 = 2 Β=(Κ3) g π 1 = 100, g π 2 = 1, g π 3 = 2 Β=(Κ2,Κ8) 14
Λεξικογραφικό μοντέλο (1) Ο όρος «λεξικογραφικό» προέρχεται από τη λέξη «λεξικό» επειδή η συγκεκριμένη μέθοδος σύνθεσης των κριτηρίων αντιστοιχεί πράγματι σε εκείνη που χρησιμοποιείται για να ταξινομηθούν οι λέξεις σε ένα λεξικό. Το πρώτο γράμμα εκλαμβάνεται ως το πρώτο κριτήριο ταξινόμησης των λέξεων, το δεύτερο γράμμα ως το δεύτερο κριτήριο, κοκ. Στη μέθοδο αυτή γίνεται η υπόθεση ότι ο αποφασίζων έχει ιεραρχήσει ως προς τη σημαντικότητα τους όλα τα κριτήρια και η ιεραρχία αυτή είναι μια διάταξη (χωρίς ισοδυναμίες). 15
Λεξικογραφικό μοντέλο (2) Στην περίπτωση της προβληματικής α (επιλογή μιας δράσης), ο αλγόριθμος λειτουργεί ως εξής: Βελτιστοποιείται το σημαντικότερο στην ιεραρχία κριτήριο. 1 Έστω A A το σύνολο των δράσεων με την καλύτερη τιμή στο 1 πρώτο κριτήριο. Εάν το σύνολο A περιέχει μια μόνο δράση, ο αλγόριθμος περατώνεται και η δράση αυτή προτείνεται στον αποφασίζοντα για επιλογή. Αλλιώς, βελτιστοποιείται το δεύτερο στην ιεραρχία κριτήριο 1 2 1 πάνω στο σύνολο A. Έστω τώρα A A το σύνολο των νέων βέλτιστων δράσεων (ως προς τα δυο πρώτα κριτήρια). Εάν το A περιέχει μια μόνο δράση, αυτή είναι και η βέλτιστη, αλλιώς βελτιστοποιείται το επόμενο κριτήριο, κοκ. 2 16
Λεξικογραφικό μοντέλο (3) Στην περίπτωση της προβληματικής γ (κατάταξη δράσεων), η εφαρμογή του λεξικογραφικού αλγόριθμου γίνεται όπως στην προβληματική α αλλά επαναληπτικά. Κάθε φορά δηλαδή που προκύπτει η καλύτερη λεξικογραφικά δράση, αυτή αφαιρείται από το σύνολο A, παίρνει τη θέση της στην κατάταξη και ο αλγόριθμος συνεχίζεται με τις υπόλοιπες, έως ότου καταταγούν όλες ανεξαίρετα οι δράσεις. 17
Λεξικογραφικό μοντέλο (4) Παράδειγμα: Κατάταξη χωρών σε μια Ολυμπιάδα Οι χώρες που μετέχουν σε μια Ολυμπιάδα αξιολογούνται, μετά το πέρας της Ολυμπιάδας, σε τρία ιεραρχημένα κριτήρια: g 1 : αριθμός χρυσών μεταλλίων g 2 : αριθμός αργυρών μεταλλίων g 3 : αριθμός χάλκινων μεταλλίων Η κατάταξη των χωρών γίνεται λεξικογραφικά, με βάση τον αριθμό των χρυσών μεταλλίων, και σε περίπτωση ισοβαθμίας, με βάση τον αριθμό των αργυρών και ενδεχομένως με βάση τον αριθμοί των χάλκινων μεταλλίων. Κατάταξη των είκοσι πρώτων χωρών της Ολυμπιάδας της Αθήνας 2004 18
Λεξικογραφικό μοντέλο (5) Χώρα Θέση Χρυσά μετ/λια Αργυρά μετ/λια Χάλκινα μετ/λια Η.Π.Α. 1 35 39 29 Κίνα 2 32 17 14 Ρωσία 3 27 27 38 Αυστραλία 4 17 16 16 Ιαπωνία 5 16 9 12 Γερμανία 6 14 16 18 Γαλλία 7 11 9 13 Ιταλία 8 10 11 11 Κορέα 9 9 12 9 Μεγ. Βρετ. 10 9 9 12 Κούβα 11 9 7 11 Ουκρανία 12 9 5 9 Ουγγαρία 13 8 6 3 Ρουμανία 14 8 5 6 Ελλάδα 15 6 6 4 Νορβηγία 16 5 0 1 Ολλανδία 17 4 9 9 Βραζιλία 18 4 3 3 Σουηδία 19 4 1 2 Ισπανία 20 3 11 5 19
Λεξικογραφικό μοντέλο (6) Παρατηρήσεις 1. Στη λεξικογραφική βελτιστοποίηση μειώνεται δραστικά (ουσιαστικά καταργείται) η πολυκριτήρια φύση του προβλήματος, αφού το πρώτο ή τα πρώτα στην κατάταξη κριτήρια αποφασίζουν για την επιλογή ή την κατάταξη των δράσεων. 2. Το μοντέλο είναι προφανώς μη αντισταθμιστικό. Στο παράδειγμα της Ολυμπιάδας, ένα χρυσό μετάλλιο δεν αντισταθμίζεται από κανένα αριθμό αργυρών ή χάλκινων μεταλλίων, όπως συμβαίνει στην περίπτωση της Σουηδίας (19η) έναντι της Ισπανίας (20ή) στον πίνακα κατάταξης. 20
Συναρτησιακές μέθοδοι σύνθεσης κριτηρίων (1) Ένας κλασσικός τρόπος σύνθεσης των κριτηρίων συνίσταται στον προσδιορισμό μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών (κριτηρίων) u(g1,g2, gn), τέτοιας ώστε η u να έχει επίσης την ιδιότητα του κριτηρίου (ολικό κριτήριο): u[ g( a)] u[ g( b)] a b 21
Συναρτησιακές μέθοδοι σύνθεσης κριτηρίων (2) a b Η σχέση είναι μια ολική προδιάταξη επί του Α και σημαίνει «α προτιμάται ή είναι αδιάφορη της b χωρίς διάκριση». Μια τέτοια συνάρτηση ονομάζεται στη διεθνή βιβλιογραφία είτε συνάρτηση αξίας ή αξιών (value function), όταν όλες οι αξιολογήσεις των δράσεων στα κριτήρια είναι βέβαιες, είτε συνάρτηση χρησιμότητας (utility function), όταν σε κάποια κριτήρια (τουλάχιστον ένα) οι αξιολογήσεις είναι αβέβαιες, αλλά με πιθανότητα γνωστές (πιθανοτικά κριτήρια). 22
Μοναδιαία παραχώρηση Έστω ένα κριτήριο αναφοράς. Ονομάζουμε μοναδιαία παραχώρηση s ir g την προσαύξηση μονάδων του κριτηρίου g r που πρέπει να επιτευχθεί στο σημείο-διάνυσμα g για να αποζημιωθεί ακριβώς η απώλεια μιας μονάδας στο κριτήριο g i. Άρα λοιπόν, s ir g είναι μια ποσότητα για την οποία οι παρακάτω δράσεις-διανύσματα είναι αδιάφορες: g 1 2 i1 r ir n 1 2 n ( g, g,..., g,..., g s,..., g ) ( g, g,..., g ) 23
Προσθετική συνάρτηση αξίας (1) Μία συνάρτηση αξίας είναι προσθετική όταν μπορεί να γραφεί υπό την εξής μορφή: u( g) ui( gi) n i1 u ( g ) όπου κάθε όρος, συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής, i i i ονομάζεται περιθώρια συνάρτηση αξίας (marginal value function) του κριτηρίου. g i g 24
Προσθετική συνάρτηση αξίας (2) g i Συνεπώς όταν είναι ένα κριτήριο, λόγω της συνθήκης μονοτονίας η περιθώρια συνάρτηση αξίας ui( gi) είναι μια μονότονη συνάρτηση αξίας, μη φθίνουσα. Περιθώρια συνάρτηση αξίας (συνεχής και διακριτή) του κριτηρίου g i 25
Η περίπτωση του σταθμισμένου μέσου Όταν οι περιθώριες συναρτήσεις αξιών είναι γραμμικές, το μοντέλο u( g) ui( gi) ονομάζεται σταθμισμένος i1μέσος (weighted sum) και γράφεται: u [ g ( a)] p g ( a) i i i i n i1 Εδώ υποτίθεται ότι όλα τα κριτήρια είναι κριτήρια μέτρου (ποσοτικά). Στο μοντέλο αυτό, οι μοναδιαίες παραχωρήσεις n u[ g( a)] p g ( a) p g ( a)... p g ( a) i i 1 1 n n s g îj P i P j είναι σταθερές 26
Υπολογισμός των βαρών του σταθμισμένου μέσου (1) Υποθέτουμε ότι ο αναλυτής υιοθετεί το μοντέλο του σταθμισμένου μέσου και διαθέτει τις αριθμητικές ολικές προτιμήσεις y k, κ=1, 2,...,κ ενός συνόλου δράσεων αναφοράς Α κ ={α 1, α 2,...,α κ }. Στην ειδική αυτή περίπτωση που τα δεδομένα είναι αριθμητικές προτιμήσεις ενός συνόλου δράσεων αναφοράς, αρκετοί ερευνητές, κυρίως από το χώρο της εμπειρικής ψυχολογίας πρότειναν την έμμεση εκτίμηση των βαρών των κριτηρίων μέσω πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης. n min y pigi( a) n 1 i1 ( p, p,..., p ) 1 2 Ένα τέτοιο μοντέλο εφαρμόζεται με τους γνωστούς περιοριστικούς όρους της στατιστικής εκτιμητικής των ελαχίστων τετραγώνων 2 27
Υπολογισμός των βαρών του σταθμισμένου μέσου (2) Μια εναλλακτική τεχνική, πιο ευέλικτη αυτή τη φορά, είναι εκείνη του προγραμματισμού στόχων (goal programming) στην οποία ελαχιστοποιούνται οι απόλυτες αποκλίσεις από τους στόχους y κ. Εδώ χρησιμοποιούνται τεχνικές γραμμικού προγραμματισμού, όπου οι απόλυτες αποκλίσεις εισάγονται σε περιορισμούς, ως διαφορές δυο θετικών σφαλμάτων σ + και σ - τα οποία ελαχιστοποιούνται στην αντικειμενική συνάρτηση ενός γραμμικού προγράμματος. 28
Υπολογισμός των βαρών του σταθμισμένου μέσου (3) Τα βάρη των κριτηρίων εκτιμώνται από την επίλυση του παρακάτω γραμμικού προγράμματος (γ.π.): min z 1 υπό τους περιορισμούς: m g ( ), i a pi y 1,2,..., i1, p 0 i1,2,..., n i,, 0 0 1,2,..., Στο γραμμικό πρόγραμμα μπορούν να ενσωματωθούν πρόσθετοι περιορισμοί, ανάλογα με τη φύση του προβλήματος και την ιδιομορφία των δεδομένων, όπως στο παράδειγμα που ακολουθεί. 29
Παράδειγμα: Μισθοδοτική Πολιτική (1) Ο μελετητής θα εκτιμήσει τώρα τα βάρη της γραμμικής συνάρτησης αξίας (Στάδιο 3 της μεθοδολογίας) χρησιμοποιώντας τα δεδομένα ολικής προτίμησης που του έχει δώσει ο διευθυντής της επιχείρησης και αφορούν τα εικονικά στελέχη α 1, α 2 και α 3. Η μέθοδος που θα τεθεί σε εφαρμογή είναι ένα μοντέλο τύπου «προγραμματισμού στόχων». Πράγματι για τα στελέχη α 1 και α 3 των οποίων δίνονται οι ετήσιες αποδοχές εισάγονται δυο ζεύγη θετικών σφαλμάτων ως εξής: 30
Παράδειγμα: Μισθοδοτική Πολιτική (2) Κατά συνέπεια οι τρεις προτιμησιακές απόψεις του αποφασίζοντος γράφονται κατά σειρά: Θα έπρεπε να τεθεί για το ίδιο προτιμησιακό δεδομένο και η σχέση: Τούτο όμως αποφεύχθηκε σκόπιμα, επειδή το προφίλ α 2 έχει καλύτερες ή ίσες βαθμολογίες με το προφίλ α 3 σε όλα τα κριτήρια (α 2 κυριαρχεί του α 3 ) και άρα είναι βέβαιο ότι επαληθεύεται η σχέση. 31
Παράδειγμα: Μισθοδοτική Πολιτική (3) Εν συνεχεία, κατά το μοντέλο του προγραμματισμού στόχων, θα επιλυθεί το ακόλουθο γραμμικό πρόγραμμα: υπό τους περιορισμούς: Η βέλτιστη λύση του γ.π. (μετά από την ανάλυση ευστάθειας της λύσης) είναι: p 1 = 1,974, p 2 = 0,891, p 3 = 0,854, p 4 = 3,017 32
Παράδειγμα: Μισθοδοτική Πολιτική (4) Οπότε το μοντέλο μισθοδοτικής πολιτικής γράφεται ως: Εφαρμόζοντας το παραπάνω μοντέλο στα τέσσερα στελέχη αναφοράς βρίσκουμε: 33
Παράδειγμα: Μισθοδοτική Πολιτική (5) Επειδή το μοντέλο που εκτιμήθηκε είναι μια γραμμική συνάρτηση αξίας, τα εκτιμηθέντα βάρη υπέχουν θέση μοναδιαίων παραχωρήσεων και οφείλουν να είναι σταθερά ανεξαρτήτως των τιμών του g. Στο μοντέλο μισθοδότησης κάθε βάρος κριτηρίου δίνει σε χιλιάδες ευρώ την αξία μιας μονάδας στο αντίστοιχο κριτήριο. Για παράδειγμα, μια μονάδα υπευθυνότητας (g 1 ) πριμοδοτείται με 1,974 ευρώ. Διακριτηριακά τώρα, εάν πάρουμε τυχαία το κριτήριο g 1 ως κριτήριο αναφοράς (r = 1), το διάνυσμα των μοναδιαίων παραχωρήσεων μεταξύ των κριτηρίων βρίσκεται ως ακολούθως: 34
Παράδειγμα: Μισθοδοτική Πολιτική (6) Άρα για να κερδηθεί μια μονάδα αποτελεσματικότητας (g 2 ) πρέπει να δαπανηθούν s 21 =0,451 μονάδες υπευθυνότητας, ενώ μια μονάδα εμπειρίας και μια μονάδα προσόντων ισοδυναμούν, αντίστοιχα, με s 31 =4,333 και s 41 =1,528 μονάδες υπευθυνότητας. Αυτό φυσικά λειτουργεί και αντίστροφα: η απώλεια μιας μονάδας αποτελεσματικότητας αποζημιώνεται ακριβώς από το κέρδος s 21 =0,451 μονάδων υπευθυνότητας κλπ. 35
Τέλος Ενότητας