Πανεπιστήμιο Κρήτης. Ο χώρος των ολομόρφων διανυσματικών δεσμών σε μια επιφάνεια Riemann

Πανεπιστήμιο Κρήτης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Μεταπτυχιακή εργασία Ο χώρος των ολομόρφων διανυσματικών δεσμών σε μια επιφάνεια Riemann Γεώργιος Αθανασίου Κυδωνάκης Επιβλέποντες Καθηγητές Κωνσταντίνος Αθανασόπουλος, Αλέξανδρος Κουβιδάκης Ηράκλειο

University of Crete School of Sciences Department of Mathematics Master thesis The space of holomorphic vector bundles on a Riemann surface Georgios thanasiou Kydonakis Thesis advisers Konstantin thanassopoulos, lexandros Kouvidakis Iraklion

Επιτροπή Αξιολόγησης Κωνσταντίνος Αθανασόπουλος Αλέξανδρος Κουβιδάκης Ιωάννης Πλατής

Ευχαριστίες Θα ήθελα και από τη θέση αυτή να εκφράσω τις θερμότερες ευχαριστίες μου προς τους επιβλέποντες καθηγητές μου, κυρίους Κ. Αθανασόπουλο και Α. Κουβιδάκη. Η υπομονή και η βοήθειά τους προς την εκπλήρωση της εργασίας αυτής ήταν πολύ παραπάνω από σημαντικές, και η συνέπειά τους στις συναντήσεις μας κάθε φορά υπήρξε αξιοσημείωτη. Είμαι επίσης ευγνώμων για το ενδιαφέρον τους καθ όλη τη διάρκεια των μεταπτυχιακών μου σπουδών ως προς την προσφορά των εκάστοτε μαθημάτων μελέτης που τους ζητούσα. Δεν θα ήθελα ακόμη να παραλείψω την πολύ μεγάλη βοήθεια του κυρίου Ι. Πλατή στο τελευταίο κομμάτι της εργασίας, το οποίο αφορούσε την παραμετρικοποίηση των σύμμορφων δομών μιας επιφάνειας Riemann. Η βοήθεια και η συμβολή του στην κατανόηση αυτού του μέρους της εργασίας ήταν πολύ σπουδαίες και για τούτο επίσης τον ευχαριστώ θερμά. Γ. Κυδωνάκης

Περίληψη-Summary 4 Στην παρούσα εργασία μελετώνται οι ολόμορφες διανυσματικές δέσμες πάνω από επιφάνειες Riemann. Συγκεκριμένα, αναλύεται η δουλειά του N. J. Hitchin στο άρθρο του, Gauge theory on Riemann Surfaces. Στο άρθρο αυτό προσεγγίζεται η έννοια της stability από τη σκοπιά της Συμπλεκτικής Γεωμετρίας και γίνεται η συσχέτιση των stable δεσμών Higgs, δια μέσου της θεωρίας gauge, με τις αυτοσυζυγείς εξισώσεις Yang-Mills στον. Η μελέτη αυτή συνεισέφερε στην απόδειξη του non abelian Hodge theorem από τους K. Corlette και C. Simpson λίγα χρόνια αργότερα και έδωσε νέα αποτελέσματα στη γεωμετρία των 4-πολλαπλοτήτων αλλά και των επιφανειών Riemann. Λέξεις κλειδιά: Riemann surface, συνοχή, ολόμορφη δομή, gauge transformation, stability, symplectic, moment map, Higgs bundle, self-duality equations. In the present work are studied holomorphic vector bundles over Riemann surfaces. Particularly, we analyze the work of N. J. Hitchin in his article, Gauge theory on Riemann Surfaces. In this article, stability is approached by means of Symplectic Geometry and stable Higgs bundles are connected using gauge theory 4 with the self-dual Yang-Mills equations over. These studies have contributed to the proof of the non abelian Hodge theorem by K. Corlette and C. Simpson a few years later and have led to some new developments in the geometry of 4- manifolds and Riemann surfaces. Key words: Riemann surface, connection, holomorphic structure, gauge transformation, stability, symplectic, moment map, Higgs bundle, self-duality equations.

Περιεχόμενα Εισαγωγή......................................................... i C και ολόμορφες διανυσματικές δέσμες......................... Συνοχές και ολόμορφες δομές.................................... 9. Συνοχές σε διανυσματικές δέσμες................................ 9. Ολόμορφες δομές σε διανυσματικές δέσμες....................... Διαιρέτες και Chern Classes................................... 7. Διαιρέτες.................................................. 7. Διαιρέτες και line bundles.................................... 9.3 Το Θεώρημα Riemann-Roch................................... 3.4 Chern Classes.............................................. 33 3 Ταξινόμηση των διανυσματικών δεσμών βαθμού μηδέν............. 39 3. Ταξινόμηση των ολομόρφων line bundles βαθμού μηδέν............. 39 3. Το Θεώρημα Narasimhan-Seshadri............................. 4 4 Η προσέγγιση μέσω Συμπλεκτικής Γεωμετρίας.................... 47 4. Συμπλεκτικές δομές και η moment map......................... 47 4. Παραδείγματα.............................................. 5 4.3 Moment map για το χώρο των ολομόρφων δομών.................. 63 5 Self-duality equations......................................... 67 5. Η σύνδεση με τις αυτοσυζυγείς εξισώσεις Yang-Mills............... 67 5. Stability και self-duality equations............................. 7 5.3 Η παραμετρικοποίηση των ολομόρφων δομών μιας επιφάνειας Riemann μέσω gauge theory.................................. 73 Αναφορές........................................................ 83

Εισαγωγή Το πρόβλημα που μελετάμε σε αυτήν την εργασία σχετίζεται με τις αναπαραστάσεις της θεμελιώδους ομάδας μιας επιφάνειας Riemann. Συγκεκριμένα, έστω M μια επιφάνεια Riemann γένους g. Επιφάνειες Riemann του ιδίου γένους είναι τοπολογικά ισόμορφες. Η θεμελιώδης ομάδα g ( M π έχει g γεννήτορες α, β,, α, β οι οποίοι ικανοποιούν τη i i i i συνθήκη αβα β =. Θεωρούμε τώρα μια αναπαράσταση ρ : π M GL n. i= = Για n, η ρ : π M καθορίζεται πλήρως από την εικόνα των γεννητόρων γ, δηλ. από ένα στοιχείο του χώρου της ( M g i ( g π στη GL n παραμετρίζονται από το χώρο g. Επομένως σε αυτή την περίπτωση οι αναπαραστάσεις g. Σημειώνουμε ότι λόγω της αντιμεταθετικότητας του πολλαπλασιασμού στην ομάδα, η συνθήκη που ικανοποιούν οι γεννήτορες της π ικανοποιείται αυτομάτως. Επίσης, σε αυτήν την περίπτωση όλες οι ( M αναπαραστάσεις είναι ανάγωγες και η σχέση ισοδυναμίας που ορίζεται από τη συζυγία των αναπαραστάσεων είναι τετριμμένη. Όταν n η απάντηση είναι ανάλογη, με τη διαφορά ότι οι εικόνες θα πρέπει να ικανοποιούν τη συνθήκη που επάγεται από αυτή που ικανοποιούν οι γεννήτορες. Επομένως ο χώρος των αναπαραστάσεων είναι ένα υποσύνολο του g GL. Αν μάλιστα θέλουμε να μελετήσουμε το χώρο των αναπαραστάσεων μέχρι ισοδυναμίας, θα πρέπει να πάρουμε το πηλίκο του παραπάνω χώρου κάτω από τη διαγώνια n δράση της συζυγίας πινάκων και η εικόνα γίνεται ακόμα πιο σύνθετη. Στην παραπάνω προσέγγιση έπαιξε ρόλο μόνον η τοπολογική δομή της επιφάνειας Riemann M και όχι η μιγαδική (ολόμορφη δομή της. Το επόμενο (και πολύ πιο δύσκολο ερώτημα είναι το εξής: αντιστοιχούν οι αναπαραστάσεις της επιφάνειας Riemann M σε αντικείμενα που σχετίζονται με την ολόμορφη δομή της M ; Και ως συνέπεια αυτού, εφοδιάζεται ο χώρος των αναπαραστάσεων της π ( M στην GL n ( με μια ολόμορφη δομή που επάγεται από την ολόμορφη δομή της M ; Ειδικότερα, λαμβανομένου υπ όψιν ότι μια επιφάνεια Riemann είναι μια αλγεβρογεωμετρική πολλαπλότητα, επάγεται με τον παραπάνω τρόπο μια αλγεβρογεωμετρική δομή στον παραπάνω χώρο; Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα είναι καταφατική. Η απαρχή της σύνδεσης των ανα- π στην GL n με τη μιγαδική δομή στην M παραστάσεων της θεμελιώδους ομάδας ( M είναι το θεώρημα που αποδεικνύει την ύπαρξη μιας αντιστοιχίας ανάμεσα στις αναπαραστάσεις και τις επίπεδες δομές με τις οποίες εφοδιάζεται η τετριμμένη V = M n -δέσμη. Το θεμελιώδες θεώρημα, το λεγόμενο non-abelian Hodge Theorem, που C i

βασίστηκε κυρίως σε δουλειά των Hitchin-Corlette-Simpson και επέκτεινε προγενέστερα αποτελέσματα των Narasimhan-Seshadri, δείχνει την ύπαρξη μιας αντιστοιχίας ανάμεσα στις ανάγωγες αναπαραστάσεις (μέχρι συζυγίας της π ( M στην GL n ( και στις stable δέσμες Higgs (μέχρι ισομορφίας. Μια δέσμη Higgs είναι ένα ζεύγος ( E, θ, όπου είναι μια ολόμορφη διανυσματική δέσμη τάξης n και βαθμού στην M και θ είναι μια ολόμορφη απεικόνιση θ : E E Ω. Η έννοια της stability είναι μια αριθμητική συνθήκη που παίζει πρωτεύοντα ρόλο στη γεωμετρική θεωρία των αναλλοιώτων (GIT. Η τελευταία εισήχθη από τον Mumford και αφορά το πρόβλημα της κατασκευής καλών αλγεβρογεωμετρικών πηλίκων μιας πολλαπλότητας ως προς τη δράση μιας ομάδας. Βασικό πεδίο εφαρμογής αυτής της θεωρίας είναι η κατασκευή χώρων παραμέτρων αλγεβρογεωμετρικών αντικειμένων. Η παραπάνω αντιστοιχία επάγεται, με μη τετριμμένο τρόπο, από την ανάλυση της επίπεδης δομής που αντιστοιχεί στην αναπαράσταση στα (, και (, μέρη της. Το προγενέστερο αποτέλεσμα των Narasimhan-Seshadri, αποδείκνυε την ύπαρξη μιας αντιστοιχίας ανάμεσα στις ανάγωγες unitary αναπαραστάσεις (μέχρι συζυγίας της E π ( M στην U n και στις stable διανυσματικές δέσμες τάξης n και βαθμού (και αντιστοιχεί στην περίπτωση θ = του γενικού θεωρήματος. Για n = η παραπάνω αντιστοιχία εξάγεται από τη διάσπαση του Hodge στην πρώτη ομάδα συνομολογίας της M. Πιο συγκεκριμένα, θεωρούμε την τοπολογική διάσπαση (πολικές συντεταγμένες και επομένως + = S g g g + = S Τη διάσπαση ( μπορούμε να την ανυψώσουμε σε διάσπαση ολομόρφων δομών ως εξής. Θεωρούμε τη διάσπαση του Hodge: H ( M, = H ( M,O H ( M, Ω Η ομάδα H ( M, είναι η αβελιανοποίηση της ομάδας και είναι ισόμορφη με τον διανυσματικό χώρο ( M g π (. Μια εκλέπτυνση του παραπάνω θεωρήματος επάγει μια διάσπαση g της ομάδας ομολογίας H M, η οποία είναι ισόμορφη με την ομάδα και μπορεί, εξ ορισμού, να θεωρηθεί ως η ομάδα των αναπαραστάσεων της ( M Συγκεκριμένα έχουμε H ( M, = H ( M,O H ( M, Ω c = π στη. Η υποκείμενη τοπολογική διάσπαση που επάγει η παραπάνω σχέση είναι ακριβώς η ( διάσπαση. Πράγματι, η ομάδα H M,O παραμετρά ολόμορφες line bundles = βαθμού και είναι η ομάδα Picard g S Pic ( M c της. (που τοπολογικά είναι ισόμορφη με τον τόρο. Ο χώρος H των ολόμορφων διαφορικών είναι ένας μιγαδικός ( M, Ω M ii

διανυσματικός χώρος διάστασης g δια μέσου της απεικόνισης που καθίσταται τοπολογικά ισόμορφος με τον ω exp ω ω, exp ω ω + +, i =,, g. α β i i Επομένως, σε μια αναπαράσταση της ( M g + π στην, δηλαδή ένα στοιχείο της g H ( M,, αντιστοιχεί μια ολόμορφη line bundle L βαθμού και ένα ολόμορφο διαφορικό ω. Το ω μπορούμε, με τετριμμένο τρόπο, να θεωρήσουμε ότι αντιστοιχεί σε μια απεικόνιση θ : L L Ω (και αντίστροφα! Επομένως σε μια αναπαράσταση της π ( M στην αντιστοιχεί μια δέσμη Higgs ( L, θ. Σημειώνουμε, ότι για την περίπτωση n =, η g S (, συνθήκη της stability ικανοποιείται αυτομάτως και έτσι δεν υπεισέρχεται στην ανάλυση. Επιπλέον, λόγω της παραπάνω διάσπασης, τα ζεύγη L αντιστοιχούν στις αναπαραστάσεις με εικόνα στο, δηλ. στις unitary αναπαραστάσεις (θ. Narasimhan-Seshadri. Για να συνοψίσουμε επομένως την περίπτωση n = : Οι unitary αναπαραστάσεις της U αντιστοιχούν στις ολόμορφες line bundles L βαθμού. Αυτές π ( M στην ομάδα παραμετρίζονται μέχρι ισομορφίας από την ομάδα Pic ( M, ο οποίος είναι ένας αλγεβρογεωμετρικός τόρος (αβελιανή πολλαπλότητα. Οι αναπαραστάσεις της π ( M στην ομάδα παραμετρίζονται από την αλγεβρογεωμετρική πολλαπλότητα Pic ( M H ( M, Ω που μπορεί να θεωρηθεί ως ο συνεφαπτόμενος χώρος της Pic ( M. Pic Για να μελετήσουμε την περίπτωση n ( M n, θα πρέπει πρώτα να βρούμε το ανάλογο της δηλ. του χώρου που παραμετρά μέχρι ισομορφίας διανυσματικές δέσμες τάξης και βαθμού. Για να βρούμε όμως έναν καλό αλγεβρογεωμετρικό χώρο Ur ( n, που να τις παραμετρά θα πρέπει, σύμφωνα με τη GIT, να περιοριστούμε στις stable διανυσμα- n είναι ακριβώς τικές δέσμες. Σύμφωνα με το θεώρημα των Narasimhan-Seshadri o Ur (, ο χώρος που παραμετρά (μέχρι συζυγίας τις ανάγωγες unitary αναπαραστάσεις της π ( M στην U (. n Στη γενική περίπτωση, οι stable δέσμες Higgs παραμετρώνται, σύμφωνα με τη GIT, από έναν καλό αλγεβρογεωμετρικό χώρο H n, ο οποίος, σε αναλογία με την περίπτωση n =, ( μπορεί να θεωρηθεί ως ένας μεγάλος ανοιχτός υπόχωρος του συνεφαπτόμενου χώρου του n. Σύμφωνα με το non abelian Hodge theorem, ο παραπάνω χώρος είναι ακριβώς ο Ur (, χώρος που παραμετρά μέχρι ισομορφίας τις ανάγωγες αναπαραστάσεις (μέχρι συζυγίας της π ( M στη GL n (. Σε αυτή την εργασία επικεντρωνόμαστε κυρίως στη δουλειά του Hitchin σχετικά με το παραπάνω θεώρημα. Η συνεισφορά του στηρίζεται στην ερμηνεία που έδωσε για τη stability μιας δέσμης Higgs με όρους συμπλεκτικής γεωμετρίας και συγκεκριμένα τη συσχέτισή τους δια μέσου της θεωρίας gauge με τις αυτοσυζυγείς εξισώσεις Yang-Mills. iii

Η εργασία αυτή βασίστηκε στο άρθρο του N. J. Hitchin, Gauge theory on Riemann Surfaces, έτσι και η δομή των κεφαλαίων εδώ ακολουθεί τη δομή του εν λόγω άρθρου. Στο κεφάλαιο παραθέτουμε τους βασικούς ορισμούς γύρω από τις C και τις ολόμορφες διανυσματικές δέσμες, ώστε η παρουσίαση να είναι κατά το δυνατόν αυτοδύναμη. Στο κεφάλαιο αναλύονται οι έννοιες της συνοχής και της ολόμορφης δομής πάνω από μια διανυσματική δέσμη, καθώς και η σχέση μεταξύ των δύο δομών αυτών. Αποδεικνύεται επίσης εδώ το πολύ βασικό αποτέλεσμα, ότι οι αναπαραστάσεις της θεμελιώδους ομάδας μιας επιφάνειας Riemann M στη γενική γραμμική ομάδα παραμετρίζονται από τις επίπεδες συνοχές στην τετριμμένη διανυσματική δέσμη πάνω από την M. Για τη συνέχεια είναι απαραίτητο το σχετικό υπόβαθρο περί διαιρετών από την αλγεβρική γεωμετρία, το οποίο αποτελεί και το περιεχόμενο του κεφαλαίου. Το πολύ σπουδαίο θεώρημα Riemann-Roch συμπεριλαμβάνεται εδώ χωρίς απόδειξη, είναι όμως ένα αποτέλεσμα στο οποίο θα αναφερόμαστε συχνά στη συνέχεια. Ένα επίσης κεντρικό αποτέλεσμα που παρουσιάζεται, είναι το γεγονός ότι οι C μιγαδικές line bundles καθορίζονται έως C ισομορφισμού από την πρώτη Chern class τους. Από το κεφάλαιο 3 και μετά ασχολούμαστε με το κυρίως θέμα της εργασίας. Αποδεικνύεται αρχικά ότι οι unitary κλάσεις ισοδυναμίας επίπεδων συνοχών παραμετρίζονται από ολόμορφες line bundles βαθμού, ενώ η επέκταση αυτού, το θεώρημα Narasimhan- Seshadri, αποτελεί ένα από τα βασικότερα αποτελέσματα της εργασίας. Από αυτό το σημείο αρχίζει να φαίνεται και η σχέση που έχει η έννοια της stability με τις επίπεδες συνοχές. Η δουλειά του Hitchin αφορά την προσέγγιση της έννοιας αυτής με τη χρήση συμπλεκτικής γεωμετρίας, στοιχεία της οποίας παρουσιάζονται στο κεφάλαιο 4. Καταλήγουμε εδώ ότι η αριθμητική έννοια της stability με την απειροδιάστατη έννοια μέσω της moment map για το χώρο των συνοχών ταυτίζονται. Στο κεφάλαιο 5 που είναι και το τελευταίο, ασχολούμαστε με την περαιτέρω μελέτη αλλά και τις εφαρμογές που προκύπτουν από την προσέγγιση αυτή, το κομμάτι δηλαδή που αποτελεί τη βασική δουλειά του Hitchin στο άρθρο του. Αρχικά γίνεται η σύνδεση της έννοιας της stability με τις αυτοσυζυγείς εξισώσεις 4 Yang-Mills στον, ενώ στη συνέχεια ορίζεται stability αυτή τη φορά για ζεύγη ολομόρφων διανυσματικών δεσμών και ολομόρφων ομομορφισμών. Κλείνουμε την εργασία αυτή με μια εφαρμογή η οποία καταδεικνύει επιπλέον την ευρύτητα της δουλειάς του Hitchin, βρίσκοντας έναν διαφορετικό τρόπο, από ότι γίνεται στο θεώρημα του Teichmüller, να παραμετρίσουμε τις ολόμορφες δομές μιας επιφάνειας Riemann από το χώρο των holomorphic quadratic differentials. Ηράκλειο, Ιούνιος iv

C και ολόμορφες διανυσματικές δέσμες Το κεφάλαιο αυτό είναι προπαρασκευαστικό. Παραθέτουμε αρχικά τους βασικούς ορισμούς και τις κυριότερες εκφάνσεις γύρω από τις διανυσματικές δέσμες πάνω από μια επιφάνεια Riemann που θα αναφερόμαστε στη συνέχεια. Το βασικό αποτέλεσμα αυτού του κεφαλαίου είναι η περιγραφή της ισομορφίας δύο διανυσματικών δεσμών πάνω από την ίδια βάση σε σχέση με τους αντίστοιχους σύγκυκλους των δεσμών (Πρόταση.. Κατόπιν, με C τρόπο ανάλογο προς τις C, εισάγονται οι ολόμορφες διανυσματικές δέσμες, με τις οποίες θα ασχοληθούμε διεξοδικότερα στο επόμενο κεφάλαιο. EpM Ορισμός.. Έστω EM, δύο διαφορίσιμες πολλαπλότητες και p : E M λεία απεικόνιση. Ορίζουμε ως χάρτη διανυσματικής δέσμης (vector bundle chart πάνω στην τριάδα (,, ένα ζεύγος U, ϕ, όπου U είναι ένα ανοιχτό υποσύνολο της M και ϕ μία αμφιδιαφόριση τέτοια ώστε το παρακάτω διάγραμμα να είναι μεταθετικό ϕ p U U k p Ορισμός.. Δύο χάρτες διανυσματικής δέσμης ( U, ϕ και U pr ( V, ψ ονομάζονται συμβατοί, αν η απεικόνιση ϕ ψ είναι γραμμικός ισομορφισμός, δηλαδή k ϕ ψ ( x, λ = x, g UV ( x λ για κάποια απεικόνιση g : U V GL( και UV k για x, λ V. Η απεικόνιση αυτή g είναι τότε μοναδική και λεία, και UV καλείται απεικόνιση μετάβασης (transition function μεταξύ των δύο χαρτών διανυσματικής δέσμης. Ορισμός.3. Ένας άτλας διανυσματικής δέσμης (vector bundle atlas, ϕ για την τριάδα ( EpM,, ορίζεται να είναι ένα σύνολο από συμβατούς U α α α

C και ολόμορφες διανυσματικές δέσμες ανά δύο χάρτες διανυσματικής δέσμης έτσι ώστε { U α } α να είναι ανοιχτό κάλυμμα της M. Επιπλέον, δύο άτλαντες διανυσματικής δέσμης λέγονται συμβατοί αν η ένωσή τους αποτελεί ξανά άτλαντα. Ορισμός.4. Μια C διανυσματική δέσμη (vector bundle τάξης k είναι μια τριάδα ( EpM,, η οποία αποτελείται από δύο διαφορίσιμες πολλαπλότητες E και M, και μια λεία απεικόνιση p : E M μαζί με μια κλάση ισοδυναμίας από άτλαντες. Η πολλαπλότητα E καλείται ολικός χώρος (total space, η M βάση (base space και η p προβολή (projection mapping. i Οι μιγαδικοί διανυσματικοί χώροι { } (fibers της δέσμης. i Η αμφιδιαφόριση : ϕ U p U U E όπου E = E λέγονται ίνες x x M x M k η οποία απεικονίζει το διανυσματικό x k χώρο E ισομορφικά επί του { x } για κάθε x U καλείται τετριμμενοποίηση (local trivialization της δέσμης E πάνω από το U. i Η ομάδα G στην οποία παίρνουν τιμές οι απεικονίσεις μετάβασης για μια διανυσματική δέσμη καλείται ομάδα δομής (structure group της δέσμης. i Μια διανυσματική δέσμη τάξης καλείται ειδικότερα line bundle. Αν ( U, ϕ και χάρτες της διανυσματικής δέσμης τότε για τις απεικονίσεις μετάβασης ( V, ψ ( k g : U V GL με g UV ( x ( ϕ ψ = UV ικανοποιούν- { } k ται οι ταυτότητες g ( x g ( x = I, x U V UV VU ( g ( x g ( x g ( x = I, x U V W UV VW WU Η παραπάνω συνθήκη ( λέγεται συνθήκη συγκύκλου (cocycle condition, ενώ επιπλέον ονομάζουμε την οικογένεια U α, ϕ α α μετάβασης ως προς τον άτλαντα. { g UV } σύγκυκλο των απεικονίσεων Αντίστροφα, δεδομένων ανοιχτού καλύμματος U α της M και C απεικονί- α k σεων g : U U GL που ικανοποιούν τις παραπάνω ταυτότητες υπάρχει αβ α β μια μοναδική C μιγαδική διανυσματική δέσμη ( EpM,, με απεικονίσεις μετάβασης τις { g αβ }. Θεωρούμε ως σύνολο E = ( U α k και α { } k g ( x, λ = ( x, g ( x λ U αβ αβ α k k Για ( x, λ και ( y, μ, ορίζουμε ( x, λ ( y, U α, όπου η σχέση ισοδυναμίας ορίζεται ως εξής: U β x x μ αν και μόνο αν

C και ολόμορφες διανυσματικές δέσμες x = y U U α β και g αβ λ = μ. Το σύνολο E εφοδιάζεται με δομή C πολλα- k πλότητας, η οποία επάγεται από τις ενθέσεις U E. Η παρατήρηση αυτή βοηθάει στο να κατασκευάσει κανείς καινούργιες διανυσματικές δέσμες από δεδομένες. Για παράδειγμα έστω ( EpM,, και ( FqM,, είναι { g αβ } { } δύο C διανυσματικές δέσμες με απεικονίσεις μετάβασης και. Τότε μπορούμε να ορίσουμε τις εξής C διανυσματικές δέσμες i E, εναλλακτικά E, η δυϊκή δέσμη (dual bundle με απεικονίσεις μετάβασης τις t = j x g x αβ αβ g x i E F, με απεικονίσεις μετάβασης j ( x αβ = GL αβ h ( x αβ l i E F, με απεικονίσεις μετάβασης j ( x = g h GL( i α k αβ αβ αβ r k E, με απεικονίσεις μετάβασης r r j x = g ( x GL αβ αβ ( h αβ ( k l i Ειδικότερα, k E είναι μια line bundle με απεικονίσεις μετάβασης τις j x = det g x GL, = και καλείται η determinant bundle της αβ E. αβ Ορισμός.5. Μια υποδέσμη (subbundle F E μιας δέσμης E είναι μια συλλογή { F E } από υποχώρους των ινών E της E έτσι ώστε F = F να x x x M x x είναι υποπολλαπλότητα της E. Ορισμός.6. Ένας ομομορφισμός διανυσματικών δεσμών (vector bundle homomorphism μεταξύ των C διανυσματικών δεσμών E και F είναι μια C απεικόνιση f : E F τέτοια ώστε f ( E F και f = f : E F να είναι x x x γραμμική απεικόνιση μιγαδικών διανυσματικών χώρων. Επιπλέον, δύο διανυσματικές δέσμες EF, θα λέγονται ισόμορφες (isomorphic εάν υπάρχει ένας ομομορφισμός διανυσματικών δεσμών f : E F με f : E F ισομορφισμός μιγαδικών διανυσματικών χώρων x M. x x x Ex x x C C Ορισμός.7. Μια διανυσματική δέσμη τάξης k καλείται τετριμμένη k (trivial αν είναι ισόμορφη με την M. Ορισμός.8. Θα ονομάζουμε section μιας C διανυσματικής δέσμης τάξης k πάνω από ένα υποσύνολο U M μια C απεικόνιση σ :U E τέτοια ( EpM,, 3

C και ολόμορφες διανυσματικές δέσμες x ώστε σ x E για κάθε x U. Ένα (λείο τοπικό πλαίσιο (smooth local frame για τη δέσμη E πάνω από το U M είναι μια συλλογή σ,, σ από k sections έτσι ώστε { σ ( x,, σ k ( x } είναι μια βάση του μιγαδικού διανυσματικού χώρου E για κάθε x U. x Παρατήρηση.9. Ένα πλαίσιο μιας C διανυσματικής δέσμης E τάξεως k πάνω από ένα σύνολο U είναι ουσιαστικά μια τετριμμενοποίηση της E πάνω στο U. k ϕ : E = p U U, τα sections Πράγματι, δεδομένης τετριμμενοποίησης U U σ ( x ϕ ( x, i = U i e αποτελούν τότε ένα λείο πλαίσιο. Αντίστροφα, αν σ,, σ λείο k πλαίσιο τότε μπορούμε να ορίσουμε μια τετριμμενοποίηση όπου λ = λσ x E. i i x U = ( x, (,, k ϕ λ λ λ Παρατήρηση.. Έστω ένα ανοιχτό κάλυμμα της και C U α ψ α α μια, { U α } M α ( EpM,, διανυσματική δέσμη, εφοδιασμένη με τη δομή από έναν άτλαντα. Υποθέτουμε τώρα ότι η C διανυσματική δέσμη αυτή περιγράφεται και από έναν ισοδύναμο άτλαντα U, ϕ α α θεωρώντας το ίδιο ανοιχτό κάλυμμα α της M. Τότε έχουμε εξ ορισμού ότι οι χάρτες ( U, α ϕ α και ( U α, ψ α είναι συμβατοί για κάθε α οπότε έχουμε ότι ϕ ψ ( x, λ = ( x, τ ( x α α α λ για μια λεία απεικόνιση τ k : U GL α α (. Καθώς όμως είναι g ( x GL( k, αντικαθι- αβ στώντας στην παραπάνω σχέση βλέπουμε ότι ( x, τ ( x g ( x λ ( ϕ ψ = ( x, g ( x α αβ α α αβ λ ( x = ϕ ψ ψ ψ, λ = ( ϕ ψ ( x, λ α α α β α β = ( ϕ ϕ ϕ ψ ( x, λ = ( x, g ( x τ ( x α β β β αβ β λ Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι αν { g και { } είναι οι απεικονίσεις μετάβασης για αβ } g αβ μια C διανυσματική δέσμη ως προς άτλαντες ( U α, ψ α και αντίστοιχα, τότε υπάρχουν λείες απεικονίσεις τ k α ( U α, ϕ α α : U GL α α ( έτσι ώστε g = τ g τ στο U U αβ α αβ β α ϕ U β με 4

C και ολόμορφες διανυσματικές δέσμες Ορισμός.. Υπό τις παραπάνω συνθήκες, δύο σύγκυκλοι και θα λέγονται ισοδύναμοι (equivalent αν ικανοποιείται η συνθήκη (. Φτάνουμε λοιπόν αμέσως στην επόμενη { g αβ } { g αβ } Πρόταση.. Δύο C διανυσματικές δέσμες E και E πάνω από την ίδια βάση M είναι ισόμορφες αν και μόνο αν υπάρχει ένα ανοιχτό κάλυμμα της M ως προς το οποίο οι αντίστοιχοι σύγκυκλοι των δεσμών είναι ισοδύναμοι. Θα δούμε αναλυτικά την απόδειξη για την ειδική περίπτωση των line bundles. Λήμμα.3. Δύο ολόμορφες line bundles L και L πάνω από μια επιφάνεια Riemann M με αντίστοιχες απεικονίσεις μετάβασης g αβ και g αβ είναι ισόμορφες αν και μόνο αν υπάρχουν συναρτήσεις f O ( U για κάθε στοιχείο του καλύμματος { } U α της M τέτοιες ώστε f g α αβ = gαβ στο Uα U f β Απόδειξη. Ας υποθέσουμε πρώτα ότι L L. Τότε αν φ : L U U και φ L U είναι τετριμενοποιήσεις για τις LL, αντίστοιχα ως προς ένα α : U α α { } U α ανοιχτό κάλυμμα της M, τότε η ισομορφία των line bundles είναι ισοδύνα- ( μη με τη συνθήκη ότι υπάρχουν fα O Uα ώστε φ α = φα f α όπου οι f α επάγονται από τους ισομορφισμούς στις ίνες. α α β α α α U α L α L U α f M U φ α φ α Επιπλέον στην περίπτωση των ολομόρφων line bundles αν είναι απεικονίσεις μετάβασης της ως προς τετριμενοποιήσεις με g ( z ( φ φ = Lz αβ α β, τότε έχουμε ότι οι είναι ολόμορφες, πουθενά μηδενιζόμενες και ικανοποιούν τις σχέσεις Αν λοιπόν { } g αβ g α g : U U αβ α β φ α L { } αβ g αβ g = βα g g g = αβ βγ γα είναι απεικονίσεις μετάβασης ως προς { φ της L τότε α } 5

C και ολόμορφες διανυσματικές δέσμες φ β fα fα g αβ φ α φ β ( φα fα = = = ( φα φβ = α f g β fβ f β β Αντίστροφα τώρα αν { g },{ για τις δέσμες U α U β LL, αβ } g είναι οικογένειες από απεικονίσεις μετάβασης αβ αντίστοιχα, για τις οποίες συμβαίνει f g α αβ = g f β αβ σε κάθε τότε αν φ είναι τετριμμενοποίηση της L έχουμε ότι οι φ : = φ f α είναι τετριμμενοποίηση της L και οι οικογένειες αυτών των τετριμμενοποιήσεων καθορίζουν τον ισομορφισμό L L. Ορισμός.4. Έστω τον άτλαντα (, U i i i I C = { g ij } ο σύγκυκλος των απεικονίσεων μετάβασης ως προς ϕ για ένα ανοιχτό κάλυμμα U της M και f : M M μια λεία απεικόνιση μεταξύ των διαφορισίμων πολλαπλοτήτων M και M. Τότε ο σύγκυκλος fc: = g } που ορίζεται για το ανοιχτό κάλυμμα U f U της M με { UV ij ij U U i j { } i i I i α α = g = g f καλείται ο σύγκυκλος που επάγεται (cocycle indu- ced από τον C μέσω της απεικόνισης f. i α Παρατήρηση.5. Αν C και C είναι δύο ισοδύναμοι σύγκυκλοι πάνω από την ίδια διαφορίσιμη πολλαπλότητα M και f : M M είναι μια λεία απεικόνιση, τότε οι επαγόμενοι σύγκυκλοι fc και fc είναι επίσης ισοδύναμοι σύγκυκλοι πάνω από την M. Ορισμός.6. Έστω τώρα ( EpM,, ξ = η C μιγαδική διανυσματική δέσμη που κατασκευάζεται από το σύγκυκλο C και f : M M μια λεία απεικόνιση μεταξύ λείων πολλαπλοτήτων. Η διανυσματική δέσμη f ξ = ( E, p, M η οποία κατάσκευάζεται από το σύγκυκλο fc καλείται η διανυσματική δέσμη που επάγεται από τη δέσμη ξ μέσω της απεικόνισης f. Συγκεκριμένα είναι E = ( m, x M E, με f ( m = p( x p : E M m, x m και με. Έστω τώρα { i } i I { } { } W ένα ανοιχτό κάλυμμα της M το οποίο εκλεπτύνει το κάλυμμα U α. Υπάρχει δηλαδή μια απεικόνιση ε : I ώστε W U για α i ε ( i κάθε i I. Τότε για κάθε σύγκυκλο { } ως προς το κάλυμμα { } θεωρούμε g αβ U α α 6

C και ολόμορφες διανυσματικές δέσμες το σύγκυκλο { } ϕ ij με ϕ : = g ij ε (( i ε. Η απεικόνιση τότε με ε j διατηρεί τις κλάσεις συνομολογίας και έτσι επάγει έναν ομομορφισμό Wij k k ({ } ( α ({ i } ( # : H U, ε GL H W, GL g αβ = ϕ } ε { } { ij ο οποίος τελικά δεν εξαρτάται από την επιλογή της απεικόνισης ε. Ορίζεται λοιπόν έτσι η p -τάξης ομάδα συνομολογίας Čech πάνω στην M, ως p το direct limit των ομάδων H ({ U }, GL(, καθώς το κάλυμμα α α U α λεπταίνει ολοένα και περισσότερο: (, ( = lim ({ }, ( k α { } H p M GL k dir H p U GL Uα k { } α Πρόταση.7. Η συλλογή όλων των (κλάσεων ισομορφίας μιγαδικών line bundles πάνω από μια πολλαπλότητα M ταυτίζεται με φυσικό τρόπο προς την ομάδα συνομολογίας στην M. (, C H M, όπου οι μη μηδενικές συναρτήσεις Απόδειξη. Παραπέμπουμε στο βιβλίο του K. Yang, Compact Riemann Surfaces and lgebraic Curves, p.7. C Παρακάτω ορίζουμε τις ολόμορφες μιγαδικές διανυσματικές δέσμες με τρόπο ανάλογο προς τις C. Ξεκινάμε κατ αρχήν με τον επόμενο Ορισμός.8. Μια μιγαδική πολλαπλότητα (complex manifold μια διαφορίσιμη πολλαπλότητα, η οποία επιδέχεται ανοιχτό κάλυμμα M είναι απεικονίσεις συντεταγμένων ϕ n : U, τέτοιες ώστε ϕ ϕ ολόμορφη πάνω α β n στο ϕ U U για όλα τα α και β. β α β α α { U α } α Μια μιγαδική πολλαπλότητα διάστασης καλείται επιφάνεια Riemann. Ορισμός.9. Έστω M μια μιγαδική πολλαπλότητα. Μια ολόμορφη μιγαδική διανυσματική δέσμη τάξεως k (holomorphic complex vector bundle ( EpM,, είναι μια C μιγαδική διανυσματική δέσμη με την επιπλέον ιδιότητα, ότι η E εφοδιάζεται με τη δομή μιγαδικής πολλαπλότητας, έτσι ώστε x M k υπάρχει ανοιχτό U M με x U και τετριμμενοποίηση ϕ : E U, η οποία είναι αμφιολόμορφη απεικόνιση μιγαδικών πολλαπλοτήτων. Μια τέτοια τετριμμενοποίηση καλείται ολόμορφη τετριμμενοποίηση (holomorphic trivialization. Επίσης, ανάλογα προς την περίπτωση των C μιγαδικών διανυσματικών δεσμών, δεδομένης μιας οικογένειας { ϕ k : E U α U α } U α U και 7

C και ολόμορφες διανυσματικές δέσμες από τετριμμενοποιήσεις της ολόμορφης μιγαδικής διανυσματικής δέσμης, οι απεικονίσεις μετάβασης ως προς την οικογένεια αυτή είναι τότε ολόμορφες. Αντίστροφα, δεδομένων ολομόρφων απεικονίσεων οποίες ικανοποιούν τις ταυτότητες (, μπορούμε να κατασκευάσουμε μια ολόμορφη διανυσματική δέσμη με απεικονίσεις μετάβασης τις g. k g : U U GL αβ α β αβ οι C Όλες οι πτυχές των μιγαδικών διανυσματικών δεσμών που μελετήσαμε προηγουμένως μεταφέρονται στην κατηγορία των ολομόρφων μιγαδικών διανυσματικών δεσμών με τη διαφορά ότι εδώ οι απεικονίσεις των ορισμών από C είναι επιπλέον ολόμορφες. Η Πρόταση.7 ισχύει και στην περίπτωση των ολομόρφων line bundles: Πρόταση.. Η συλλογή όλων των (κλάσεων ισομορφίας ολομόρφων μιγαδικών line bundles πάνω από μια μιγαδική πολλαπλότητα M ταυτίζεται με φυσικό τρόπο προς την ομάδα συνομολογίας H ( M, O, όπου O οι ολόμορφες συναρτήσεις στην M. 8

Συνοχές και ολόμορφες δομές Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε τις δομές εκείνες πάνω σε διανυσματικές δέσμες που θα μελετήσουμε στο υπόλοιπο μέρος της εργασίας. Ξεκινάμε στην παράγραφο. περιγράφοντας τις συνοχές πάνω από τις διανυσματικές δέσμες ως έναν τρόπο παραγώγισης των sections της δέσμης. Η θεμελιώδης αναλλοίωτος μιας συνοχής είναι η καμπυλότητα ως προς τη συνοχή αυτή. Συνδέοντας την ύπαρξη μιας επίπεδης συνοχής για τη δέσμη, με την C τοπική ύπαρξη n το πλήθος γραμμικά ανεξάρτητων λύσεων της εξίσωσης ds=, καταλήγουμε στην πολύ βασική πρόταση.6. Σύμφωνα με την πρόταση αυτή, οι αναπαραστάσεις της θεμελιώδους ομάδας μιας επιφάνειας Riemann M πάνω στη γενική γραμμική ομάδα παραμετρίζονται από τις επίπεδες συνοχές με τις οποίες μπορεί να εφοδιαστεί η τετριμμένη διανυσματική δέσμη πάνω από την M. Αυτό είναι το πρώτο βήμα προς την εύρεση ενός τρόπου να εφοδιαστεί ο χώρος των αναπαραστάσεων αυτών με μια ολόμορφη δομή, η οποία επάγεται φυσιολογικά από την ολόμορφη δομή της M. Προς την κατεύθυνση αυτή είναι επίσης αναγκαία η σύνδεση των συνοχών με ολόμορφα αντικείμενα πάνω από τις διανυσματικές δέσμες, τις ολόμορφες δομές. Αφού εισάγουμε τις ολόμορφες δομές στην παράγραφο. και ορίσουμε μια κατάλληλη σχέση ισοδυναμίας μεταξύ των ολομόρφων δομών, κλείνουμε το κεφάλαιο αυτό με την απόδειξη ότι κάθε unitary συνοχή αντιστοιχίζεται σε μια ολόμορφη δομή και αντίστροφα, ένα αποτέλεσμα το οποίο θα μας φανεί αρκετά χρήσιμο στη συνέχεια. d. Συνοχές σε διανυσματικές δέσμες Ορισμός.. Έστω V μια C μιγαδική διανυσματική δέσμη τάξεως n πάνω σε μια επιφάνεια Riemann M. Ορίζουμε ως συνοχή (connection μια -γραμμική απεικόνιση ( V C M d : M; V M; V M M, η οποία ικανοποιεί τον κανόνα του Leibnitz d fs df s fd s = + για κάθε C συνάρτηση f και section s ( M;, όπου ( M V C ( M οι C συναρτήσεις και οι C διαφορικές -μορφές στην M αντίστοιχα. και

Συνοχές και ολόμορφες δομές Έστω τώρα ένα τοπικό πλαίσιο (local frame e = ( e,, e n για τη δέσμη V. Γράφουμε τότε το de i Ο πίνακας ij ως γραμμικό συνδυασμό των στοιχείων του πλαισίου de = i e ij j = από -μορφές καλείται ο πίνακας της συνοχής (connection matrix ως προς το πλαίσιο e. Μπορούμε να δούμε τώρα ότι το πλαίσιο και ο πίνακας της συνοχής καθορίζουν τη συνοχή: Γράφοντας ένα τυχόν section s ( M; V στη μορφή s = s i e i με i s C M είναι i ds= ds e + s de i i i = ds + s e j j i ij j i Καταλήγουμε έτσι στην εξής Παρατήρηση.. Θεωρώντας ένα τοπικό πλαίσιο (local frame για την δέσμη V, τοπικά η συνοχή γράφεται στη μορφή e ( e,, e n d = d + = d + Bdz + Cdz d e = e,, e n όπου ο είναι ένας πίνακας από -μορφές, ενώ οι BC, είναι πίνακες οι οποίοι έχουν ως στοιχεία C συναρτήσεις. Ωστόσο, ο πίνακας της συνοχής σε ένα σημείο z M εξαρτάται από την επιλογή του πλαισίου γύρω από το σημείο z : Αν = είναι ένα άλλο πλαίσιο σε μια γειτονιά του z με e z = e z g z, τότε ji i j j de = e dg + d e g i j ji j ji j j = e dg + e g j j ji k kj ji k, j Βλέπουμε λοιπόν ότι ο πίνακας της συνοχής d περνώντας σε ένα άλλο πλαίσιο e με απεικονίσεις μετάβασης g = ( g ij e έχει τη μορφή = g dg + g g Ορισμός.3. Θα ονομάζουμε gauge transformation (μετασχηματισμός βαθμίδας έναν C αυτομορφισμό της δέσμης V. e

. Συνοχές σε διανυσματικές δέσμες Συνεπώς, τοπικά, έχοντας επιλέξει ένα πλαίσιο της δέσμης V, gauge transformation είναι μια C συνάρτηση με τιμές στην GL( n,. Λήμμα.4. Οι gauge transformations δρουν δια της συζυγίας στο χώρο των συνοχών. Απόδειξη. Αν g είναι gauge transformation τότε καθώς g είναι C = df s + f g d g ( s g dg fs g d fg s = = g df g s + fd g s = -γραμμική στα sections. Παρατήρηση.5. Θεωρώντας συνοχή d = d +, τοπικά η συνοχή g d g έχει τότε τη μορφή = + = + + g dg g d g g d g d g dg g g καθώς τοπικά ο πίνακας της συνοχής περνώντας σε ένα άλλο πλαίσιο όπως είδαμε. θα έχει τη μορφή g dg + g g Έστω τώρα μια πολλαπλότητα και V, p, M μια μιγαδική M C διανυσματική δέσμη εφοδιασμένη με μια συνοχή : V V η οποία ικανοποιεί τον κανόνα του Leibniz. X ( M X ev : Ω X ( M C ( M είναι C ( M ( Για κάθε C διανυσματικό πεδίο στο, γραμμική απεικόνιση C X στην M, η συνάρτηση εκτίμησης -γραμμική και έτσι ορίζεται η - : X MV, MV, με την ιδιότητα X fs = Xf s + f s για κάθε f C ( M, s Ω ( V καθώς είναι Xf df ( X Θέλουμε να επεκτείνουμε τον τελεστή d X =. σε έναν τελεστή i ( V i + : M απαιτώντας αυτός να ικανοποιεί έναν κατάλληλο κανόνα Leibniz όπως ο. Πράγματι, ορίζεται μοναδικά ένας τέτοιος -γραμμικός τελεστής, ο οποίος μάλιστα επεκτείνει τον τελεστή, υπό την έννοια ότι είναι d = για i = (βλ. Ib Madsen and J. Tornehave, From Calculus to Cohomology, p.7. Έχουμε λοιπόν μια ακολουθία d V V ( V d

Συνοχές και ολόμορφες δομές η οποία όμως δεν αποτελεί ένα αλυσωτό σύμπλεγμα, δηλαδή δεν ισχύει γενικά ότι d = και d d =. Έχουμε ωστόσο ότι η απεικόνιση είναι C ( M F = d : V V -γραμμική ενώ παράλληλα έχουμε και ότι (, ( (, M Hom V V Hom V V (βλ. Ib Madsen and J. Tornehave, From Calculus to Cohomology, p.7. Ορισμός.6. Η -μορφή F ( Hom( V, (curvature form της δέσμης ( V,. Τώρα για κάθε V λέγεται μορφή καμπυλότητας XY, X ( M = ( TM, η απεικόνιση εκτίμησης ( M C ( M ω ω( XY, C ( M ( Hom ( V, V ( Hom ( V, V είναι C M -γραμμική και συνεπώς επάγει μια -γραμμική απεικόνιση Η d : ( V ( V ειδικότερα για ω ( M και s ( V ικανοποιεί F F XY, d ( ω s = dω s ω ( s Κατά συνέπεια για κάθε XY, X ( M είναι d ( ω s( X Y = Xω( Y Yω( X ω( X Y s ω( X s ω( Y = ω + ω X ω ω Y ω (, = X ( ω( Y s Y ( ω( X s ω ( X, Y s όπου χρησιμοποιήσαμε ότι X( fs = ( Xf s + f Xs και ( ω( Y s = Xω( Y s + ω( Y s. X Προκύπτει λοιπόν,, Y Xs X Y s Y s Y X s X s X Y s X (, F s = d s X Y = s s s XY, X Y Y X XY, για κάθε XY, X ( M και s ( V.

. Συνοχές σε διανυσματικές δέσμες Ορισμός.7. Ορίζουμε ως καμπυλότητα (curvature της συνοχής τελεστή d τον ο οποίος είναι του F = d : MV ; MV ; C -γραμμική απεικόνιση και μπορεί να θεωρηθεί ως ένα στοιχείο ( MEndV ; = ( HomVV (,, ή τοπικά μια -μορφή με τιμές πίνακες. Ανάλογα τώρα προς τις συνοχές, μπορούμε να παραστήσουμε τον τελεστή καμπυλότητας τοπικά ως προς ένα πλαίσιο για τη δέσμη. Έστω λοιπόν ένα τοπικό πλαίσιο (local frame e = ( e,, e n για τη δέσμη V. Γράφουμε τότε το Fe i ως γραμμικό συνδυασμό των στοιχείων του πλαισίου F( ei = Θijej Ο πίνακας αυτός των -μορφών Θ ( Θ e = ij (curvature matrix της συνοχής. Αν επιλέξουμε πάλι ένα άλλο πλαίσιο e ( e,, e n με τότε είναι Με άλλα λόγια = = Θ = j k, j k, j, l καλείται πίνακας καμπυλότητας = i j ji j = e ( z e ( z g ( z F e F e g e g eg Θ g i j ji k kj ji l lk kj ji Θ = g Θ g e Μπορούμε επίσης να εκφράσουμε τον πίνακα της καμπυλότητας ως προς τον πίνακα της συνοχής. Για ένα τυχόν section s = se M; V έχουμε i i Fs= d+ d+ s= ds+ d s + ds+ s = ds+ ds+ ds+ ds+ s= d+ s Δηλαδή με όρους πινάκων είναι e Θ = d + e e e e (Cartan structure equation Ορισμός.8. Αν η καμπυλότητα είναι επίπεδη (flat. F μηδενίζεται παντού, θα λέμε ότι η συνοχή Ορισμός.9. Ένα local section s θα λέγεται παράλληλο (parallel ως προς μια συνοχή d αν ds=. 3

Συνοχές και ολόμορφες δομές Πρόταση.. Αν d είναι μια επίπεδη συνοχή, τότε υπάρχουν τοπικά n το πλήθος γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της εξίσωσης ds=. Απόδειξη. Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει ένα τοπικό πλαίσιο s = s,, s n από παράλληλα sections. Ο πίνακας της συνοχής d ως προς ένα τέτοιο τοπικό πλαίσιο είναι μηδενικός. Έστω s = ( s,, s n ένα τυχόν τοπικό πλαίσιο και ο πίνακας της συνοχής d ως προς το s. Όπως αναφέραμε προηγουμένως, η μετάβαση από το πλαίσιο s στο s καθορίζεται από τη σχέση = g ( dg + g g μεταξύ των αντιστοίχων πινάκων για τα πλαίσια. Τότε η συνθήκη =, ισοδυναμεί με το σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων g dg + g g = Έχουμε δηλαδή ότι η εύρεση μιας λύσης g για αυτό το σύστημα ισοδυναμεί με την απόδειξη της ύπαρξης ενός πλαισίου από παράλληλα sections. μέσω της g έχουμε Παίρνοντας την εικόνα της g + dg = και παραγωγίζοντας παίρνουμε τη συνθήκη ολοκληρωσιμότητας ( ( ( = d g dg = d g + g = Θ g χρησιμοποιώντας ότι dg = g και την εξίσωση του Cartan παραπάνω. Βλέπουμε λοιπόν ότι η συνθήκη της ολοκληρωσιμότητας για αυτό το σύστημα είναι ακριβώς ο μηδενισμός του πίνακα Θ, ιδιότητα ανεξάρτητη της επιλογής τοπικού πλαισίου. Αν επομένως η συνοχή είναι επίπεδη τότε προφανώς ο πίνακας της καμπυλότητας είναι ο μηδενικός, άρα από το θεώρημα ύπαρξης λύσης για ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων υπάρχει η ζητούμενη λύση g. Παρατήρηση.. Στην περίπτωση όπου υπάρχουν δύο τέτοιες βάσεις λύσεων ( s,, s n και ( s,, s n με s i = a ij s j, έχουμε ( = ds = d as = da s + ads i ij j ij j ij j οπότε da = και άρα a είναι σταθερές συναρτήσεις. ij ij Καταλήγουμε λοιπόν ότι μια επίπεδη συνοχή επάγει μια οικογένεια τοπικά σταθερών απεικονίσεων μετάβασης για τη δέσμη V. Ισχύει όμως και το αντίστροφο: Αν η V έχει τοπικά σταθερές απεικονίσεις μετάβασης τότε επιδέχεται επίπεδης συνοχής. 4

. Συνοχές σε διανυσματικές δέσμες Πράγματι, αν { Ue, U } είναι μια οικογένεια από τοπικά πλαίσια της δέσμης που συνδέονται με σταθερές απεικονίσεις μετάβασης, ορίζουμε συνοχή d με de =. Τότε, καθώς οι απεικονίσεις μετάβασης είναι σταθερές, έπεται ότι η συνθήκη de = είναι συμβατή με την de = στο U W V και έτσι η συνοχή είναι U W καλά ορισμένη. Τώρα είναι προφανές ότι αυτή η συνοχή είναι επίπεδη. Θα δούμε τώρα ότι από μια αναπαράσταση (, ρ : π M GL n U της θεμελιώδους ομάδας μιας διαφορίσιμης πολλαπλότητας M, ορίζεται μια επίπεδη C μιγαδική διανυσματική δέσμη E τάξεως n πάνω από την M. Η εικόνα της ρ, H = Im ρ καλείται ομάδα ολονομίας (holonomy group. Έστω λοιπόν ρ : π ( M GL( n, μια αναπαράσταση. Θεωρούμε την π ( M ως την ομάδα των μετασχηματισμών επικάλυψης που δρα πάνω στον καθολικό χώρο επικάλυψης M n της M, π ( M M, με τη δράση να δίδεται από την n ( M Homeo( M δ : π με δ( γ( xv, = ( γ( x, ρ( γ v Η δράση αυτή επάγει το μεταθετικό διάγραμμα n pr M M E π n = M δ p όπου pr είναι η κανονική προβολή που είναι προφανώς equivariant, π είναι η απεικόνιση πηλίκο, q η απεικόνιση επικάλυψης και η p επάγεται με μοναδικό τρόπο από την pr. M q ( Πρόταση.. Για το παραπάνω διάγραμμα ( n i Η απεικόνιση π : M E είναι απεικόνιση επικάλυψης. ii Αν η ομάδα ολονομίας H = Im ρ εφοδιάζεται με την επαγόμενη τοπολογία από την GL ( n, τότε η ξ = ( EpM,, είναι μια επίπεδη C μιγαδική διανυσματική δέσμη με διακριτή ομάδα δομής την H. H Απόδειξη. i Καθώς η δράση δ είναι μια ελεύθερη και γνήσια ασυνεχής δράση, συνεπάγεται ότι η απεικόνιση π είναι απεικόνιση επικάλυψης. ii Διαλέγουμε ένα ανοιχτό κάλυμμα { της M από συσταλτά σύνολα. U i Επιπλέον για κάθε i, διαλέγουμε ένα σημείο b U και ένα μονοπάτι c από το } i i i M π b ( M = π ( M, στο b, όπου b είναι ένα βασικό σημείο, δηλαδή. i bo 5

Συνοχές και ολόμορφες δομές n Για κάθε U ζητάμε να βρούμε τετριμμενοποίηση φ : p i i ( Ui U. Έστω c i i η ανύψωση του μονοπατιού c από το βασικό σημείο b q και έστω i ( b M U i q ( U i η συνιστώσα εκείνη του η οποία περιέχει το τελικό σημείο του μονοπατιού c. Καθώς κάθε μη τετριμμένο στοιχείο της π ( Mb, μεταθέτει τις συνιστώσες i του ( pr q U i είναι ομοιομορφισμός. Τότε, προκύπτει ότι ( U n π : = π : U p i n i i U i φ = q π : p U U i n i i i U i είναι τοπική τετριμμενοποίηση της δέσμης ξ πάνω από το U, από τη μεταθετικότητα του διαγράμματος. Έστω τώρα στοιχεία του καλύμματος της με. Σε κάθε b U U b. U, U M U U i j i j θεωρούμε μονοπάτια w στο U από το b στο b και i j ib i H i n i w από το b στο jb j Τότε το στοιχείο γ = c w w c ( M, b π ij i ib jb j, όπου εδώ συμβολίζουμε την αλληλουχία (concatenation των μονοπατιών, δεν εξαρτάται από την επιλογή των w και w. Έτσι λοιπόν η απεικόνιση ib jb g : U U Imρ ij i j b ρ γ είναι τοπικά σταθερή. Κατασκευάσαμε λοιπόν μια διανυσματική δέσμη με τοπικά σταθερές απεικονίσεις μετάβασης, και άρα από την παρατήρηση. η δέσμη αυτή είναι επίπεδη. Είδαμε ότι μια αναπαράσταση ρ: π M GL n, καθορίζει μια C μιγαδική διανυσματική δέσμη E τάξεως n πάνω από την M με απεικονίσεις μετάβα- ij 6

. Συνοχές σε διανυσματικές δέσμες σης τοπικά σταθερές. Θα δούμε παρακάτω ότι όλες οι C διανυσματικές δέσμες με τοπικά σταθερές απεικονίσεις μετάβασης κατασκευάζονται με αυτόν τον τρόπο. Ορισμός.3. Έστω EpM,, μια C μιγαδική διανυσματική δέσμη με τοπικά σταθερές απεικονίσεις μετάβασης, οι οποίες παίρνουν τιμές σε μια ομάδα δομής G GL n, και F, F τα fibers πάνω από τα σημεία b b M αντίστοιχα. Αν, c :, είναι ένα μονοπάτι από το b στο, τότε για κάθε, υπάρχει M b y F μια μοναδική ανύψωση c του μονοπατιού c από το y (βλ. G. Hector and U. y Hirsch, Introduction to the Geometry of Foliations, Part, p. 37-38. Ορίζεται έτσι ένας ομοιομορφισμός T : F F c ο οποίος καλείται η μεταφορά του F στο F κατά μήκος του μονοπατιού c (translation along c και εξαρτάται μόνο από την κλάση ομοτοπίας του (με σταθερά άκρα. Αν τώρα πάρουμε b φ με = b και σταθεροποιήσουμε τετριμμενοποίηση ( U, b U, τότε αντιστοιχίζεται σε κάθε γ π ( M ένας ομοιομορφισμός T G. γγ γ γ Εύκολα βλέπει κανείς ότι T = T T. Αν ορίσουμε λοιπόν H = T, τότε γ ξ γ γ η απεικόνιση H : π ( M G ξ είναι ομομορφισμός και λέγεται αναπαράσταση ολονομίας (holonomy representation της δέσμης ξ. = ( EpM,, Λήμμα.4. Μια C διανυσματική δέσμη n ξ με fiber και τοπικά σταθερές απεικονίσεις μετάβασης μέσα σε μια ομάδα δομής G GL n,, είναι τετριμμένη αν και μόνο αν η αναπαράσταση ολονομίας της είναι τετριμμένη. Απόδειξη. Η ευθεία κατεύθυνση είναι προφανής. Για την αντίστροφη, ας υποθέσουμε ότι H : π ( M G ξ για κάθε μονοπάτι c στην T : F F c b b είναι τετριμμένη. Τότε με αρχικό σημείο b και τελικό σημείο b η μεταφορά είναι ανεξάρτητη του μονοπατιού c και θα τη συμβολίζουμε στο εξής n ως T. Μπορούμε να ταυτίσουμε το fiber F με το μέσω του αντίστοιχου χάρτη, b και τότε η απεικόνιση είναι ισομορφισμός. M b h : E M n (, px x p x T x 7

Συνοχές και ολόμορφες δομές Θεώρημα.5. Κάθε διανυσματική δέσμη ( EpM,, απεικονίσεις μετάβασης στην ομάδα G GL( n, : ξ = με τοπικά σταθερές είναι ισόμορφη με τη διανυσματική δέσμη που επάγεται από μια αναπαράσταση H π M G. ξ Απόδειξη. Έστω ξ = ( EpM,, η επαγόμενη διανυσματική δέσμη από την καθολική επικάλυψη q : M M. Έχουμε δηλαδή το μεταθετικό διάγραμμα π p E M p E M Καθώς ο καθολικός χώρος επικάλυψης M είναι απλά συνεκτικός, έχουμε ότι H ξ id και άρα από το προηγούμενο λήμμα η δέσμη ξ είναι ισόμορφη με την n τετριμμένη δέσμη ( M, pr,m. Χρησιμοποιώντας τον ισομορφισμό αυτό το παραπάνω διάγραμμα γίνεται n pr M M π E p Τότε η π είναι κανονική επικάλυψη με την ομάδα των deck transformations να n δίδεται από την π με τη δράση της πάνω στην M να δίδεται από την ( M δ : π q M n n ( M ( M M ( γ, ( my, ( γ( m, H ( γ( y ξ Συνοψίζοντας τα προηγούμενα αποτελέσματα έχουμε Πρόταση.6. Αν E είναι μια διανυσματική δέσμη τάξεως n πάνω από μια C πολλαπλότητα M τότε τα εξής είναι ισοδύναμα. i Υπάρχει οικογένεια από τοπικά σταθερές απεικονίσεις μετάβασης που ορίζουν την E. ii Η E είναι επίπεδη, δηλαδή δέχεται επίπεδη συνοχή. iii Η E ορίζεται από μια αναπαράσταση ρ : π ( M GL( n,. q Η ολονομία μιας επίπεδης διανυσματικής δέσμης μπορεί να περιγραφεί γεωμετρικά κατ ευθείαν από τη συνοχή. 8

. Συνοχές σε διανυσματικές δέσμες Έστω c = c( t, t a μια καμπύλη στην M. Ένα section s που ορίζεται κατά μήκος της c θα λέγεται παράλληλο κατά μήκος της c αν ( d c ( t s =. Ως προς ένα τοπικό πλαίσιο, η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφεί ως ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων dsi + aij ( c ( t sj = dt j V Αν λοιπόν s είναι ένα στοιχείο του αρχικού νήματος (fiber c (αρχική συνθήκη για το σύστημα δ.ε., τότε αυτό επεκτείνεται μοναδικά σε ένα παράλληλο section s κατά μήκος της c (μοναδικότητα της λύσης του συστήματος δ.ε., το οποίο ορίζουμε ως την παράλληλη μετατόπιση (parallel displacement του κατά μήκος της c. Αν τώρα το αρχικό με το τελικό σημείο της καμπύλης ταυτίζονται, δηλαδή είναι x = c( = c( a, τότε η παράλληλη μετατόπιση κατά μήκος της καμπύλης c επάγει ένα γραμμικό μετασχηματισμό πάνω στο νήμα ομάδα, η οποία καλείται ομάδα ολονομίας (holonomy group της αναφο-ράς το x. Vc( s (από τη γραμμικότητα των λύσεων του συστήματος δ.ε.. Το σύνολο των ενδομορφισμών του Vc( που επάγονται με αυτόν τον τρόπο από όλες τις κλειστές καμπύλες από το x αποτελεί d με σημείο Παρατηρήσαμε αμέσως μετά τον ορισμό.6, ότι για κάθε XY, ( M s ( V είναι F ( s = d ( s( X, Y = ( s ( s s XY, X Y Y X XY, Επομένως αν η συνοχή είναι επίπεδη, τότε έχουμε ότι s = s s Επιπροσθέτως, αν τα διανυσματικά πεδία X =, Y = i x x j XY, X Y Y X XY, n για κάποιον χάρτη ( x,, x είναι βασικά, δηλαδή X και της M, τότε XY, =. Άρα προκύπτει ότι ( s ( s = X Y Y X Καταλήγουμε λοιπόν τώρα ότι αν V( y, t είναι ένα λείο διανυσματικό πεδίο κατά μήκος μιας λείας καμπύλης γ πάνω στην επιφάνεια Riemann M τότε 9

Συνοχές και ολόμορφες δομές D DV D DV = ds dt dt ds Ισχυριζόμαστε τώρα ότι τότε η παράλληλη μετατόπιση με οποιονδήποτε τρόπο πάνω σε ένα πλέγμα για την επιφάνεια Riemann δεν αλλάζει την κατεύθυνση του διανύσματος (μονοδρομία. Πράγματι, έστω H :,, μια (κατά τμήματα C ομοτοπία M rel {, } με H ( t, = x και H ( t, = x, t, και H( t, :, M τόξο απ το x στο x. Έστω X ένα διάνυσμα στο fiber της V πάνω από το x M και X t, η παράλληλη μεταφορά του κατά μήκος του H = H t,. Θέλουμε να δείξουμε ότι το X t,, t, είναι σταθερό. Έχουμε DX ds = και συνεπώς X D DX D DX ds = = dt dt ds αφού η δέσμη είναι επίπεδη. Άρα το DX είναι παράλληλο κατά μήκος της H. Όμως είναι dt t DX ( t, H X X dt = = = ( t, καθώς η ομοτοπία είναι Κατά συνέπεια DX dt της H(, s. Ειδικά το rel {, } t δηλαδή με σταθερά άκρα. t = που σημαίνει ότι το X(, s είναι παράλληλο κατά μήκος (, H ( t, = x (, = X(,, πράγμα που αποδεικνύει τον ισχυρισμό. X t είναι η παράλληλη μεταφορά του κατά μήκος του σταθερού τόξου. Άρα X t, = X,, t, και ειδικά X X (, Επομένως αφού κάθε κλάση ομοτοπίας με σταθερά άκρα καθορίζει και ένα πλέγμα μεταξύ δύο loops πάνω στην επιφάνεια Riemann, η παράλληλη μετατόπιση καθορί-

. Ολόμορφες δομές σε διανυσματικές δέσμες ζει ένα μοναδικό στοιχείο για κάθε κλάση ομοτοπίας. Έτσι παίρνουμε τον ομομορφισμό ρ : π M GL n, που είναι η αναπαράσταση της ολονομίας.. Ολόμορφες δομές σε διανυσματικές δέσμες Ορισμός.7. Ορίζουμε ως ολόμορφη δομή (holomorphic structure πάνω σε μια μιγαδική C διανυσματική δέσμη V, μια -γραμμική απεικόνιση, d : Ω M; V Ω M; V B η οποία ικανοποιεί τον κανόνα του Leibnitz d fs = d f s + fd s B f όπου df = dz. Τοπικά μπορούμε να γράψουμε όπως και για τον τελεστή της z συνοχής d = d + Bdz B B όπου ο B είναι πίνακας συναρτήσεων. Παρατήρηση.8. Με τον ίδιο τρόπο που είδαμε πώς μεταβάλλει η αλλαγή ενός τοπικού πλαισίου τον πίνακα της συνοχής, έτσι και εδώ αν e με e = eg είναι ένα άλλο ολόμορφο τοπικό πλαίσιο, τότε B g ( d = g + g B g e Ο συνήθης ορισμός της ολόμορφης δομής σε μια διανυσματική δέσμη είναι μέσω τοπικών τετριμενοποιήσεων που σχετίζονται με ολόμορφες απεικονίσεις μετάβασης. Ο ορισμός αυτός είναι ισοδύναμος με τον ορισμό που δώσαμε προηγουμένως, βρίσκοντας τοπικά μια βάση από λύσεις της εξίσωσης d s =. Έτσι λοιπόν έχουμε Λήμμα.9. Έστω V μια C διανυσματική δέσμη. Η V είναι ολόμορφη διανυσματική δέσμη τότε και μόνο τότε ορίζεται μια ολόμορφη δομή για τη V. Απόδειξη. ( Αν V είναι ολόμορφη με ολόμορφες απεικονίσεις μετάβασης τότε παίρνουμε τα ολόμορφα τοπικά πλαίσια ορίζουμε την ολόμορφη δομή με ds =. ( Αν B s e B ως προς τις τετριμμενοποιήσεις και d ολόμορφη δομή πάνω στη V τότε αυτή επιδέχεται ολόμορφο τοπικό B πλαίσιο που ορίζεται από τη λύση της εξίσωσης ds =, δηλαδή οι απεικονίσεις B μετάβασης είναι ολόμορφες άρα V ολόμορφη.

Συνοχές και ολόμορφες δομές Παρατήρηση.. Αυτό βέβαια που απομένει να δείξει κανείς είναι ότι μια εξίσωση της μορφής ds + Bs=, έχει πράγματι αρκετές γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις, ούτως ώστε να επαληθευτεί ότι η κλάση των n το πλήθος γραμμικά ανεξάρτητων λύσεων της εξίσωσης δεν είναι κενή. Μια πλήρης απόδειξη για τούτο, χρησιμοποιώντας το θεώρημα πεπλεγμένης συνάρτησης για χώρους Banach για τον μη-γραμμικό τελεστή g d g, υπάρχει στο άρθρο των tiyah-bott στη σελίδα 555. ( Η απόδειξη βασίζεται στις εξής παρατηρήσεις: Αν s για U M είναι το τοπικό πλαίσιο που θέλουμε να κατασκευάσουμε και θ U ο πίνακας της d ως προς αυτό το πλαίσιο, τότε αν μετασχηματίσουμε το s σε gs U B όπου g είναι gauge transformation, προκύπτει η ( θ d gs = d g + g s B U U Οπότε το πρόβλημα ανάγεται στην εύρεση λύσης της g d g + θ = Θεωρώντας αυτήν ολικά πάνω από την S και χρησιμοποιώντας τις βασικές ιδιότηk τες των χώρων Sobolev H, προκύπτει ότι η P : H H με P g = g d g είναι λεία. Επιπλέον η παράγωγός της στο g = (ο ταυτοτικός πίνακας είναι ο γραμμικός ελλειπτικός τελεστής d, ο οποίος στην S είναι επί και έχει πυρήνα τους σταθερούς πίνακες. Από το θεώρημα πεπλεγμένης συνάρτησης για χώρους Banach προκύπτει τότε ότι η P g = θ έχει κοντά στο g = μοναδική λύση g H, κάθετη προς τις σταθερές, δεδομένου ότι θ είναι κοντά στο μηδέν στον H. Αν θ είναι C, τότε και g είναι. Ορισμός.. Δύο ολόμορφες δομές d, d θα ονομάζονται ισοδύναμες (equivalent, αν υπάρχει gauge transformation g τέτοιος ώστε g d g = d. B B B B Παρατήρηση.. Εύκολα βλέπουμε από την παραπάνω σχέση ότι αν s είναι λύση της d B s =, τότε gs είναι λύση της d B s =. Επομένως ένας τέτοιος gauge transformation απεικονίζει λύσεις της εξίσωσης d s = σε λύσεις gs της d s =. B Έστω τώρα V μια C μιγαδική διανυσματική δέσμη και d, d δύο ολόμορφες δομές πάνω στη V. Ορίζονται τότε ολόμορφες διανυσματικές δέσμες VV, από τις δομές d, d αντίστοιχα πάνω από την ίδια υποκείμενη δέσμη V, καθώς είδαμε ότι θα υπάρχει πάντα τοπικά μια βάση από λύσεις της εξίσωσης B U d s =, πράγμα το οποίο ισοδυναμεί με την ολομορφία των απεικονίσεων μετάβασης για τη δέσμη. B

. Ολόμορφες δομές σε διανυσματικές δέσμες Αυτό που θα δούμε τώρα είναι ότι οι ολόμορφες δομές αυτές είναι gauge ισοδύναμες εάν και μόνο εάν οι επαγόμενες ολόμορφες διανυσματικές δέσμες είναι ισόμορφες. Πρόταση.3. Έστω V μια C μιγαδική διανυσματική δέσμη τάξεως n και d, d δύο ολόμορφες δομές πάνω στη V, από τις οποίες επάγονται οι ολόμορφες διανυσματικές δέσμες VV, αντίστοιχα. Τότε d d V V ολόμορφος ισομορφισμός. Απόδειξη. Έστω g : V V ο C αυτομορφισμός από την gauge ισοδυναμία των ολομόρφων δομών. Έστω s = ( s,, s n ένα τοπικό πλαίσιο με πίνακες μετάβασης a, οι οποίοι καθορίζονται από την ανάλυση s W i ij j. Αν εφαρμό- { UW s = } U a { UW } σουμε την απεικόνιση g στη σχέση αυτή, παίρνουμε (από τη γραμμικότητα του g i ij j ότι g( s = a g, που σημαίνει ότι οι πίνακες μετάβασης του πλαισίου U { UW } ( sw n (,, j g s = gs gs είναι οι ίδιοι με αυτούς του πλαισίου s. Άρα λοιπόν η απεικό- i νιση που στέλνει s gs είναι συμβατή με τους πίνακες μετάβασης και ο πίνακας αναπαράστασης της g ως προς τα πλαίσια s και gs είναι ο ταυτοτικός (που έχει ολόμορφα στοιχεία. Ο ολόμορφος ισομορφισμός g : V V απεικονίζει ολόμορφα sections σε ολό- i μορφα sections, με άλλα λόγια απεικονίζει λύσεις s της εξίσωσης dt = σε λύσεις gs της εξίσωσης d t =. Τότε επιλέγοντας ένα τυχόν ολόμορφο τοπικό πλαί- σιο s = ( s,, s n, έχουμε ότι ds = = g dgs για όλα τα στοιχεία του πλαισί- i i ου. Έχουμε λοιπόν έναν C αυτομορφισμό g της υποκείμενης δέσμης V, τέτοιον ώστε d g d g, δηλαδή d. = d i j Κάθε συνοχή σε μια διανυσματική δέσμη V επάγει μια ολόμορφη δομή, ορίζοντας d ds = ( ds, Δηλαδή, εάν η τοπική παράσταση της συνοχής τότε η τοπική παράσταση της ολόμορφης δομής είναι Προς το αντίστροφο ερώτημα τώρα, εισάγουμε τους εξής ορισμούς d είναι d = d + Bdz + Cdz, d = d + Bd z. 3