Modular καµπύλες. Αριστείδης Κοντογεώργης. 1 εκεµβρίου Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. , 1/26

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Modular καµπύλες. Αριστείδης Κοντογεώργης. 1 εκεµβρίου Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. , 1/26"

Νίκη Γαλάνη
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Modular καµπύλες Αριστείδης Κοντογεώργης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. 1 εκεµβρίου 2014, 1/26

2 Το υπερβολικό επίπεδο H = {z : I(z) > 0} Το Θεώρηµα σύµµορφης απεικόνισης του Riemann (Riemann mapping theorem) µας λέει ότι οι απλά συνεκτικές επιφάνειες Riemann είναι πολύ συγκεκριµµένεσ: Θεώρηµα Κάθε απλά συνεκτική επιφάνεια Riemann είναι ισόµορφη µε ακριβώς µία εκ των H (ισοδύναµα τον µοναδιαίο δίσκο D), C και C = P 1 (C)., 2/26

3 Αυτοµορφισµοί του H Αν γ SL 2 (R) και z H τότε έχουµε ότι γ(z) H, δηλαδή η SL 2 (R) δρα στο H. Πράγµατι, αν: ( ) a b γ = c d τότε I(γ(z)) = I(z) cz + d 2. ίνοντας τώρα στην SL 2 (R) και στο H τις συνήθεις τοπολογίες, η δράση αυτή είναι συνεχής. {( ) } cos θ sin θ SO 2 (R) =, θ R. sin θ cos θ Παρατηρούµε ότι η SO 2 (R) είναι κλειστή υποοµάδα της SL 2 (R), συνεπώς ότι το πηλίκο SL 2 (R)/SO 2 (R) είναι Hausdorff., 3/26

4 ράση της SL 2 (R) Θεώρηµα 1. Η SL 2 (R) δρα µεταβατικά στο R : για κάθε z 1, z 2 H υπάρχει γ SL 2 (R) τέτοιο ώστε γ(z 1 ) = z Η δράση της SL 2 (R) στο H επάγει ισοµορφισµό: SL 2 (R)/±I Aut(H) 3. Η σταθεροποιούσα του i είναι η SO 2 (R) 4. Η απεικόνιση φ : SL 2 (R)/SO 2 (R) H µε φ(γso 2 (R)) = γ(i) είναι οµοιοµορφισµός., 4/26

5 ράση της SL 2 (R) 1. Ο πίνακας ( y x 0 1 απεικονίζει το i στο z = x + yi. Αν γ 1, γ 2 είναι οι πίνακες που απεικονίζουν το i στα z 1 και z 2 αντίστοιχα, τότε ο γ 2 γ 1 1 απεικονίζει το z 1 στο z Αν A SL 2 (R) δρα ταυτοτικά στο H τότε είναι άµεσο να ότι ϑα πρέπει να είναι διαγώνιος και η συνθήκη της ορίζουσάς του επιβάλει A = ±I. Εστω τώρα ένας αυτοορφισµός γ του H. Απ ο το προηγούµενο ερώτηµα, υπάρχει α SL 2 (R τέτοιο ώστε α(i) = γ(i), άρα µπορούµε να υποθέσουµε πως γ(i) = i. Η απεικόνιση ) f : H D : f(z) = z i z + i είναι ισοµορφισµός µε f(i) = 0. Αρα, η απεικόνιση f γ f 1 είναι, ισοµορφισµός του D που σταθεροποιεί το 0. 5/26

6 ράση της SL 2 (R) Οι αυτοµορφισµοί του D που σταθεροποιούν το 0 είναι, γνωστό ότι είναι της µορφής z λz µε λ = 1. Αρα, f γ f 1 (z) = e 2θi z, το οποίο σηµαίνει ότι ( ) cos θ sin θ γ(z) = z, sin θ cos θ δηλαδή γ SO 2 (R). 3. Παρατηρούµε ότι γ(i) = a(i) + b c(i) + d = i a = d, b = c δηλαδή, επειδή η ορίζουσα είναι 1, αν και µόνο αν γ SO 2 (R)., 6/26

7 Οµάδες Fuchsian και η δράση τους στο H Ορισµός Μια διακριτή υποοµάδα της SL 2 (R) ονοµάζεται οµάδα Fuchsian. Η (full) modular group ειναι η οµάδα των 2 2 πινάκων µε ακέραια στοιχεία και διακρίνουσα 1, {( ) } a b SL 2 (Z) =, a, b, c, d Z, ad bc = 1. c d Συχνά, ορίζουµε τα παραπάνω µε τον ίδιο τρόπο modulo ±I (γιατί είδαµε ότι αυτό απαιτείται για την δράση στο άνω µιγαδικό επίπεδο). Οι αντίστοιχες οµάδες συµβολίζονται µε PSL 2 (R) και PSL 2 (Z)., 7/26

8 SL(2, Z) Θεώρηµα Η modular ( group ) παράγεται ( από τα) στοιχεία T = και S = , 8/26

9 Η οµάδα Γ(N) Ορισµός Για κάθε N N ορίζουµε την οµάδα {( ) } a b Γ(N) = : a d 1modN, b c 0modN. c d Η Γ(N) ονοµάζεται πρωταρχική οµάδα ισοτιµίας ύψους N. Μια υποοµάδα της modular group ονοµάζεται υποοµάδα ισοτιµιάς ύψους N αν περιέχει την Γ(N)., 9/26

10 Οµάδες ισοτιµίας ύψους N {( ) } a b Γ 0 (N) = : c 0modN c d {( ) } a b Γ 0 (N) = : b 0modN c d {( ) } a b Γ 1 (N) = : a d 1modN, c 0modN c d {( ) } a b Γ 1 (N) = : a d 1modN, b 0modN c d, 10/26

11 Αριθµητικές οµάδες Fuchs Θα συµβολίζουµε µε H f G όταν η υποοµάδα H της G έχει πεπερασµένο δείκτη στην G. Ορισµός ύο υποοµάδες H 1, H 2 της G λέγονται commensurable αν H 1 H 2 f H 1 και H 1 H 2 f H 2. Ορισµός Μια υποοµάδα της SL 2 (Q) που είναι commensurable µε την SL 2 (Z) καλείται αριθµητική Fuchsian οµάδα., 11/26

12 Παραδείγµατα Πρόταση Οι πρωταρχικές οµάδες ισοτιµίας είναι αριθµητικές Fuchsian οµάδες. Απόδειξη: Η ϕυσική απεικόνιση επάγει έναν ισοµορφισµό SL 2 (Z) SL 2 (Z/NZ) SL 2 (Z)/Γ(N) SL 2 (Z/NZ). Οπότε υπολογίζουµε τον πεπερασµένο δείκτη [SL 2 (Z) : Γ(N)] = SL 2 (Z/NZ) = N 3 p N (1 1p2 )., 12/26

13 Πηλίκα του υπερβολικού χώρου Ορισµός Μια ϑεµελιώδης περιοχή για την Γ είναι ένα ανοικτό συννεκτικό χωρίο D του H τέτοιο ώστε να µην υπάρχουν Γ-ισοδύναµα στοιχεία του (δηλαδή στην ίδια τροχιά), και να ισχύει H = γ D όπου η ένωση διατρέχει τα στοιχεία της Γ. Πρόταση Εστω η modular οµάδα SL 2 (Z). Μια ϑεµελιώδης περιοχή της είναι το χωρίο D = {z H : z > 1, R(z) < 1 2 }, 13/26

14 Πηλίκα του υπερβολικού χώρου Η γνώση µιας ϑεµελιώδης περιοχής για µια διακριτή υποοµάδα της SL 2 (R) µας επιτρέπει να κατασκευάσουµε, µια ϑεµελιώδη περιοχή για µια πεπερασµένου δείκτη υποοµάδα της. Πρόταση Εστω Γ µια διακριτή υποοµάδα της SL 2 (R) µε ϑεµελιώδη περιοχή D, και Γ 1 µια υποοµάδα [G : G 1 ] <. Συµβολίζουµε µε Γ και Γ 1 τις εικόνες τους στην Aut(D). Τότε, αν διαλέξουµε γ i Γ, i = 1, 2, 3,...m, τέτοια ώστε m Γ = Γ 1 γ i i=1 ϕτιάχνουµε µια ϑεµελιώδη περιοχή D 1 της Γ 1 ως εξής D 1 = m γ i D i=1, 14/26

15 Cusps ιαισθητικά µιλώντας, τα cusps είναι τα σηµεία που οι ϑεµελιώδεις περιοχές ακουµπάνε στο τοπολογικό σύνορο του H. Αρα, το P 1 (Q) αποτελεί το σύνολο που οι ϑεµελι χδεις περιοχές της ακουµπούν στο R. Ενα cusp τώρα για την Γ είναι µια τροχιά της στο P 1 (Q)., 15/26

16 Ταξινόµιση πινάκων Κάθε 2 2 πίνακας που δεν είναι ϐαθµωτός έχει κανονική µορφή Jordan µια εκ των εξής δύο: ( a 1 0 a ) ( a 0, a C, 0 b ), a b, a, b C Στην πρώτη περίπτωση ο πίνακας είναι συζυγής µε µια απεικόνιση µεταφοράς κατά a 1, και ο πίνακας ονοµάζεται παραβολικός. Στην δεύτερη περίπτωση, ο πίνακας αντιστοιχεί σε πολλαπλασιασµό µε έναν έναν αριθµό c 1. Αν έχουµε ότι c = 1, ο πίνακας ονοµάζεται ελλειπτικός, αν είναι ϑετικός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται υπερβολικός, ενώ αλλιώς ονοµάζεται λοξοδροµικός., 16/26

17 Ταξινόµιση πινάκων Πρόταση Εστω ένας πίνακας ( a b γ = c d ) SL 2 (C). Τότε, ο γ είναι: 1. παραβολικός Tr(γ) = ±2 2. ελλειπτικός Tr(γ) R και Tr(γ) < 2 3. υπερβολικός Tr(γ) R και Tr(γ) > 2 4. λοξοδροµικός Tr(γ) C - R., 17/26

18 Σταθερά σηµεία Πρόταση Αν γ SL 2 (R) και δεν είναι λοξοδροµικός, τότε µπορούµε να κάνουµε την εξής διάκριση για τα σταθερά του σηµεία: 1. Αν ο γ είναι παραβολικός και δεν είναι ένας εκ των ±I, τότε έχει ακριβώς ένα σταθερό σηµείο, το οποίο ανήκει στο R { }. 2. Αν ο γ είναι ελλειπτικός, τότε έχει ένα σταθερό σηµείο στο H και ένα συµµετρικό του στο κάτω µιγαδικό ηµιεπίπεδο. 3. Αν ο γ είναι υπερβολικός, τότε έχει ακριβώς δύο σταθερά σηµεία στο R { }., 18/26

19 Σταθερά σηµεία εφινιτιον Εστω Γ µια οµάδα Fuchsian. Τότε, ένα z H λέγεται ελλειπτικό αν µένει σταθερό από κάποιο ελλειπτικό σηµείο της Γ, και ένα σηµείο z R { } λέγεται cusp αν µένει σταθερό από κάποιο παραβολικό στοιχείο της Γ. Πρόταση Αν το z είναι ελλειπτικό σηµείο µιας Γ τότε η υποοµάδα της Γ z = {γ Γ : γ(z) = z} είναι πεπερασµένη κυκλική. Απόδειξη: Εστω ένα α SL 2 (R) τέτοιο ώστε α(i) = z. Τότε η συζυγία επάγει ισοµορφισµό γ α 1 γα Γ z = (γ Γ : γ(z) = z) SO 2 (R) (α 1 Γα)., 19/26

20 Σταθερά σηµεία Η οµάδα SO 2 (R) (α 1 Γα) είναι διακριτή και συµπαγής, άρα πεπερασµένη. Εχουµε τους ισοµορφισµούς άρα R/Z = S 1 = SO2 (R) Q/Z = SO 2 (R) tors Αρα η Γ z είναι ισόµορφη µε κάποια πεπερασµένη υποοµάδα της Q/Z και άρα κυκλική., 20/26

21 Παράδειγµα Μας ενδιαφέρει να κατατάσσουµε τα cusps και τα ελλειπτικά σηµεία της Γ µέχρις Γ-ισοδυναµίας. Τα cusps της modular οµάδας είναι το P 1 (Q) = Q { }, και όλα αυτά τα σηµεία είναι SL 2 (Z)-ισοδύναµα, άρα η SL 2 (Z) έχει ένα cusp. Τα ελλειπτικά σηµεία της SL 2 (Z) είναι (µέχρις SL 2 (Z)- ισοδυναµίας) τα i και ρ = (1 + 3i)/2. Τα cusps της τυχαίας Γ υποοµάδας της πεπερασµένου δείκτη είναι τα ίδια, όπου τώρα οι κλάσεις της Γ-ισοδυναµίας είναι περισσότερες., 21/26

22 Modular καµπύλες H το επεκτεταµένο µιγαδικό επίπεδο H P 1 (Q) ή το H {i } (δηλαδή το επ άπειρον σηµείο στην κατέυθυνση του κάθετου άξονα). Για την modular group οι δύο συµβολισµοί αυτοί δεν έχουν ουσιαστικά διαφορά. SL 2 (Z) = Γ(1)., 22/26

23 Μιγαδική δοµή Θεωρούµε την προβολή P : H Γ(1)\H, Q p(q) = P Αν το Q δεν είναι ελλειπτικό σηµείο, διαλέχουµε περιοχή U του Q τέτοια ώστε ο p να είναι οµοιοµορφισµός U p(u). Τότε το (p(u), p 1 ) είναι τοπικός χάρτης για το P. Αν ϐρούµε έναν χάρτη για το ελλειπτικό i, τότε µε Γ(1)-µεταφορές ϐρίσκουµε χάρτες και για κάθε άλλο ελειπτικό σηµείο. Η απεικόνιση z z i z + i ορίζει ισοµορφισµό ανάµεσα σε κάποια S-σταθερή ανοιχτή περιοχή U του i και έναν ανοικτό δίσκο D του 0, και η δράση του S στην U µεταφέρεται στον D-αυτοµορφισµό σ : z z., 23/26

24 Μιγαδική δοµή Οι S \U και σ \D είναι οµοιοµορφικοί και τροφοδοτούµε τον S \U µε την µιγαδική δοµή ώστε η παραπάνω απεικόνιση να είναι αµφιολόµορφος ισοµορφισµός. Αρα η απεικόνιση ( z i z z + i είναι ολόµορφη ορισµένη σε µια περιοχή του i που είναι S-αναλλοίωτη, κι άρα ορίζει ολόµορφη συνάρτηση σε µια περιοχή του p(i). Μπορούµε να πάρουµε αυτήν σαν τοπικό χάρτη στο p(i). Τα άλλα ελλειπτικά σηµεία αντιµετωπίζονται οµοίως. ) 2, 24/26

25 Συµπαγοποίηση, Γ(1)\H 1ος τρόπος Προσθέτουµε το επ άπειρον σηµείο στο H παίρνοντας έτσι το επεκτεταµένο άνω µιγαδικό ηµιεπίπεδο H και ϑεωρούµε τον χώρο των τροχιών Γ(1)\H. 2ος τρόπος Για τον χώρο πηλίκο Γ(1)\H ϑεωρούµε το ϑεµελιώδες χωρίο του D και του επισυνάπτουµε το επ άπειρον σηµείο που αντιστοιχεί στον κάθετο άξονα. Σε κάθε µία από τις παραπάνω περιπτώσεις λαµβάνουµε την ίδια συµπαγή επιφάνεια Riemann, µε περιοχές του επ άπειρον σηµείου να είναι οι U α, = {z H : R(z) > α} Την µη συµπαγή επιφάνεια Riemann Γ(1)\H που ορίσαµε την συµβολίζουµε µε Y(1) Y(Γ(1)). Την συµπαγοποίηση Γ(1)\H της Y(1) που ορίσαµε την συµβολίζουµε µε X(1) X(Γ(1))., 25/26

26 Συµπαγοποίηση, Γ(1)\H Πρόταση Η συµπαγής επιφάνεια Riemann X(1) έχει γένος 0, άρα είναι ισόµορφη µε την σφαίρα του Riemann. Θεωρούµε τώρα µια οποιαδήποτε υποοµάδα Γ της Γ(1) πεπερασµένου δείκτη σε αυτήν. Με παρόµοιο τρόπο ορίζεται µιγαδική δοµή και στις επιφάνειες Γ\H και Γ\H. Το συµπλήρωµα της Γ\H στην Γ\H είναι το σύνολο των ξένων κλάσεων ισοδυναµίας των cusps της Γ, και συµβολίζονται µε Y(Γ) και X(Γ) αντίστοιχα. Υιοθετούµε τον συµβολισµό X(N) για την X(Γ(N)), X 0 (N) για την X(Γ 0 (N)) κ.ο.κ. Ορισµός Κάθε συµπαγής επιφάνεια Riemann της µορφής X(Γ) ονοµάζεται Modular Καµπύλη., 26/26

Σχετικά έγγραφα

Modular καµπύλες. Αριστείδης Κοντογεώργης. 9 εκεµβρίου Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. , 1/41

Modular καµπύλες. Αριστείδης Κοντογεώργης. 9 εκεµβρίου Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. , 1/41 Modular καµπύλες Αριστείδης Κοντογεώργης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. 9 εκεµβρίου 2014, 1/41 Το υπερβολικό επίπεδο H = {z : I(z) > 0} Aut(H) = SL(2, R) Η απεικόνιση µε φ : SL 2 (R)/SO 2 (R)