Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο ( ) Σημειώσεις Μαθήματος Μέρος 3ο: Κλασσικός Έλεγχος. Γεώργιος Παπαλάμπρου

Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο (8.3.01.5) Σημειώσεις Μαθήματος 2012-2013 Μέρος 3ο: Κλασσικός Έλεγχος Γεώργιος Παπαλάμπρου

2 Δρ. Γεώργιος Παπαλάμπρου Λέκτορας ΕΜΠ Εργαστήριο Ναυτικής Μηχανολογίας Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο email: george.papalambrou@lme.ntua.gr http://www.lme.ntua.gr ενημέρωση: 21/12/2012 ΓΠ X L A TEX E

Περιεχόμενα 1 Κλασσικός Έλεγχος με Ελεγκτές PID και IMC 5 1.1 Εισαγωγή.................................. 5 1.2 Ελεγκτές PID................................ 5 1.2.1 Σχεδιασμός Ελεγκτών....................... 5 1.2.2 Ελεγκτές PID-Ιστορική αναδρομή................ 5 1.2.3 Ελεγκτές P, I, PI, PID....................... 6 1.2.4 Ελεγκτές και ανατροφοδότηση.................. 8 1.3 Ελεγκτές IMC............................... 10 1.3.1 Σχεδιασμός............................. 12 1.3.2 IMC για Σύστημα Δεύτερης Τάξης................ 14 1.4 Ρύθμιση Παραμέτρων Ελεγκτών PID................... 19 1.4.1 Ρύθμιση Παραμέτρων Ελεγκτών: Μέθοδος των Ziegler-Nichols 20 1.4.2 Ρύθμιση Παραμέτρων Ελεγκτών: Μέθοδος PID_IMC..... 23 1.5 Κριτήρια Σφάλματος........................... 24 1.6 Αναφορές.................................. 26 3

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Κεφάλαιο 1 Κλασσικός Έλεγχος με Ελεγκτές PID και IMC 1.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται μέθοδοι σχεδιασμού κλασσικών ελεγκτών όπως Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί-Διαφορικοί (PID) και ελεγκτές με εσωτερικό μοντέλο (IMC). 1.2 Ελεγκτές PID 1.2.1 Σχεδιασμός Ελεγκτών Οι εξισώσεις κατάστασης παριστάνoνται γραφικά όπως στην εικόνα 1.1 1.2.2 Ελεγκτές PID-Ιστορική αναδρομή... PID controllers date to 1890s governor design. PID controllers were subsequently developed in automatic ship steering. e rst published theoretical analysis of a PID controller was by Russian American engineer N. Minorsky in 1922. Minorsky was designing automatic steering systems for the US Navy, and based his analysis on observations of a helmsman, observing that the helmsman controlled the ship not only based on the current error, but also on past error and current rate of change; this was then made mathematical by Minorsky. e Navy ultimately did not adopt the system, due to resistance by personnel. Trials were carried out on the USS New Mexico, with the controller controlling the angular velocity of the rudder. PI control yielded sustained yaw (angular error) of ±2, while adding D yielded yaw of ±1/6, better than most helmsmen could achieve... [8]. 5

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΛΑΣΣΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΕ ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID ΚΑΙ IMC ref erence r error e Σ G C (s) controller control output u G(s) system output y P controller P I controller K P K P (1 + 1 T I s ) P D controller K P (1 + T D s) P ID controller K P (1 + 1 T I s + T D s) PIDgeneric.ipe Σχήμα 1.1: Γραφική παράσταση των εξισώσεων κατάστασης 1.2.3 Ελεγκτές P, I, PI, PID Παρουσιάζονται οι πιο διαδεδομένοι ελεγκτές στην βιομηχανία: Ελεγκτές Αναλογικοί- Ολοκληρωτικοί-Διαφορικοί (PID) Αναπτύχθηκαν την δεκαετία του 1930, έχοντας στην αρχή πνευματικό τρόπο λειτουργίας. Αργότερα (1950) άρχισαν τα πρώτα ηλεκτρονικά συστήματα. Αρχές δεκαετίας 1960 εμφανίστηκε ο έλεγχος με Η/Υ στην βιομηχανία χημ. διεργασιών. Από την δεκαετία του 1980 τα ψηφιακά ηλεκτρονικά κυριαρχούν στις εφαρμογές. Θεωρείται ότι στην βιομηχανία χημ. διεργασιών οι ελεγκτές PID αποτελούν το 98% των περιπτώσεων [Astrom, Hagglund 1995]. Παρόλα αυτά, το 2000 αναφέρθηκε ότι το 80% των PID είναι κακορυθμισμένοι, 30% λειτουργούν σε manual mode και 25% εξακολουθούν να έχουν τις αρχικές ρυθμίσεις (default factory settings). Θα δούμε κάθε ένα τύπο ελέγχου χωριστά. Όμως στην πράξη σπάνια χρησιμοποιούνται με αυτόν τον τρόπο. Έτσι, συνηθίζονται οι τύποι PI, PD και PID. Η ρύθμιση παραμέτρων τους παραμένει πρωταρχικής σημασίας. Ελεγκτές Αναλογικοί (P) Η σχέση μεταξύ εισόδου u και σήματος σφάλματος e είναι u(t)=k c e(t) Η συνάρτηση μεταφοράς είναι G c (s) = K c = constant Ο αναλογικός ελεγκτής είναι κατευθυντής προσαρμοζόμενου κέρδους. Όταν το κέρδος K C αυξάνει, η ευαισθησία στις διαταραχές μειώνεται, αλλά συγχρόνως ελαττώνεται ο βαθμός ευστάθειας. Επομένως πρέπει να γίνεται χρήση περιορισμένων τιμών του κέρδους K C. Ο αναλογικός έλεγχος εγκατάστασης που δεν διαθέτει ελεύθερο ολοκληρωτή στη συνάρτηση μεταφοράς δεν είναι ικανός να μηδενίσει το σφάλμα μόνιμης κατάστασης.

1.2. ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID 7 Ελεγκτές Ολοκληρωτικοί (I) t Η σχέση μεταξύ εισόδου u και σήματος σφάλματος e είναι u(t)=k i e(t) dt 0 Η συνάρτηση μεταφοράς είναι G c (s) = K i s όπου η K i είναι προσαρμοζόμενη σταθερά. Διπλασιασμός τιμής σφάλματος e(t) σημαίνει διπλασιασμό ρυθμού μεταβολής (κλίσης) του u. Η ολοκλήρωση που κάνει ο ελεγκτής και η ακόλουθη δράση του σήματος u στην έξοδο y συνεχίζεται μέχρι η τιμή της εξόδου φθάσει πολύ κοντά στην τιμή αναφοράς r μόνιμης κατάστασης. Έτσι το σφάλμα μόνιμης κατάστασης οδηγείται στο μηδέν. Όμως ο Ι ελεγκτής μειώνει το βαθμό ευστάθειας του συστήματος, εφόσον αυξάνει η τάξη του όλου συστήματος. Ελεγκτές Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί (PI) Η σχέση μεταξύ εισόδου u και σήματος σφάλματος e είναι u(t)=k c e(t)+ Kc t T i 0 e(t)dt Η συνάρτηση μεταφοράς είναι G c (s) = K c (1 + 1 T i s ) K c είναι το αναλογικό κέρδος και T i είναι η σταθερά ολοκλήρωσης. Οι σταθερές μπορούν να προσαρμόζονται. Ελεγκτές Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί παριστάνoνται γραφικά όπως στην εικόνα 1.2 ref erence r error e Σ K p + T i s controller control output u G(s) system output y error 1 0 time u 2K c K c T i P I controller P controller time PI.ipe Σχήμα 1.2: Ελεγκτές Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί (PI) Ελεγκτές PD Η σχέση μεταξύ εισόδου u και σήματος σφάλματος e είναι u(t)=k c e(t)+k c T D de(t) dt Η συνάρτηση μεταφοράς είναι G c (s) = K c (1 + T D s) K c είναι το αναλογικό κέρδος και T D είναι ο χρόνος διαφόρισης. Οι σταθερές μπορούν να προσαρμόζονται.

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΛΑΣΣΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΕ ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID ΚΑΙ IMC Ελεγκτές Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί παριστάνoνται γραφικά όπως στην εικόνα 1.3 ref erence r control error output e u Σ K p + T D s P D controller G(s) system output y error 1 0 time u T D T i P D controller P controller time PD.ipe Σχήμα 1.3: Ελεγκτές Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί (PD) Ελεγκτές Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί-Διαφορικοί (PID) K c T i Η σχέση μεταξύ εισόδου u και σήματος σφάλματος e είναι u(t)=k c e(t)+k c T D de(t) t 0 e(t) dt Η συνάρτηση μεταφοράς είναι G c (s) = K c (1 + 1 T i s + T D s) όπου K c είναι το αναλογικό κέρδος, T D είναι ο χρόνος διαφόρισης και T i είναι ο χρόνος ολοκλήρωσης. Οι σταθερές μπορούν να προσαρμόζονται. Ελεγκτές Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί παριστάνoνται γραφικά όπως στην εικόνα 1.3 O Ελεγκτής PID πρακτικά dt + Προκύπτει ότι η δράση ελέγχου ενός PID είναι το άθροισμα τριών όρων που περιλαμβάνουν: το παρελθόν με την ολοκλήρωση του σφάλματος (παράγοντας I ), το παρόν (παράγοντας P) και το μέλλον με την προβολή του σφάλματος (παράγοντας D). Ελεγκτές Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί παριστάνoνται γραφικά όπως στην εικόνα 1.3 1.2.4 Ελεγκτές και ανατροφοδότηση Περίπτωση με βηματική είσοδο: Έλεγχος P βελτιώνει την απόκριση και μειώνει το offset. Έλεγχος PI αφαιρεί το offset αλλά προκαλεί ταλάντωση. Έλεγχος PID μειώνει την απόκριση αλλά και την ταλάντωση.

1.2. ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID 9 ref erence r error e Σ K P + T I s + T D s P ID controller control output u G(s) system output y error 1 u P ID controller P D controller P controller 0 time time PID.ipe Σχήμα 1.4: Ελεγκτές Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί (PID) Σχήμα 1.5: Ελεγκτές Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί (PID) Ελεγκτές Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί παριστάνoνται γραφικά όπως στην εικόνα 1.6 Περίπτωση με βηματική είσοδο-έλεγχος P: Αύξηση του κέρδους K C κάνει την απόκριση λιγώτερο αργή, αλλά για μεγάλες τιμές προκαλεί ταλάντωση ή και αστάθεια Ελεγκτές Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί παριστάνoνται γραφικά όπως στην εικόνα 1.7 Περίπτωση με βηματική είσοδο-έλεγχος PI: Αύξηση του χρόνου κάνει τους PI, PID πιο αργούς (συντηρητικούς). Θεωρητικά μειώνει το offset. Όμως για μεγάλες τιμές η ελεγχόμενη μεταβλητή θα επιστρέφει αργά στην επιθυμητή τιμή Ελεγκτές Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί παριστάνoνται γραφικά όπως στην εικόνα 1.8 Περίπτωση με βηματική είσοδο-έλεγχος PID: Για μικρές τιμές του T D, όταν αυξάνεται η απόκριση βελτιώνεται μειώνοντας τον χρόνο απόκρισης και την ταλάντωση. Για μεγάλες τιμές, υπάρχει ενίσχυση του θορύβου μέτρήσεων (παρεμβολών) και η απόκριση γίνεται ταλαντωτική

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΛΑΣΣΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΕ ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID ΚΑΙ IMC Σχήμα 1.6: Ελεγκτές Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί (PID) Σχήμα 1.7: Ελεγκτές Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί (PID) Ελεγκτές Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί παριστάνoνται γραφικά όπως στην εικόνα 1.9 O Ελεγκτής PID στο MATLAB/Simulink: τρόπος 1: ως block PID (αριστερά), τρόπος 2: ως άθροισμα των 3 όρων P + I + D xxxxxx παριστάνoνται γραφικά όπως στην εικόνα 1.10 xxxxxx παριστάνoνται γραφικά όπως στην εικόνα 1.11 1.3 Ελεγκτές IMC Η μέθοδος Internal Model Control (IMC) αναπτύχθηκε από τους Morari, Garcia και Rivera (1982, 1986), [6]. Γίνεται η βασική υπόθεση για την ύπαρξη μοντέλου (Internal Model) που περιγράφει ικανοποιητικά την διεργασία και υπολογίζονται αναλυτικά εκφράσεις για τον ελεγκτή. Πλεονέκτημα της μεθόδου είναι ότι λαμβάνεται υπόψη με συστηματικό τρόπο η αβεβαιότητα στο μοντέλο. Δομικό διάγραμμα για ένα βρόχο ελέγχου με ελεγκτή τύπου IMC φαίνεται στο Σχήμα 1.12. Ο ελεγκτής IMC περιλαμβάνεται στην σκιασμένη περιοχή.

1.3. ΕΛΕΓΚΤΕΣ IMC 11 Σχήμα 1.8: Ελεγκτές Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί (PID) Σχήμα 1.9: Ελεγκτές Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί (PID) Ως P θεωρούμε τη συνάρτηση μεταφοράς της εγκατάστασης, ˆP το μοντέλο της εγκατάστασης, d την διαταραχή στην έξοδο y. Ο ελεγκτής Q υπολογίζει την τιμή της εισόδου u (μεταβλητή ελέγχου). Στόχος του συστήματος ελέγχου είναι να κρατηθεί η έξοδος y κοντά στην αναφορά r. Θεωρούμε ότι η έξοδος y είναι γνωστή με ακρίβεια, δηλ. δεν υπάρχει θόρυβος και συνάρτηση μεταφοράς μετρητικής διάταξης. Γίνεται χρήση του μοντέλου συστήματος ˆP και της εξόδου u του ελεγκτή για να υπολογισθεί η απόκριση του μοντέλου, ŷ. Το σήμα πίσω-ανατροφοδότησης είναι ˆd = y ŷ = (P ˆP )u + d Στην περίπτωση που το μοντέλο είναι ακριβές (P = ˆP ) και δεν υπάρχει διαταραχή (d = 0), τότε η έξοδος του μοντέλου ŷ και η έξοδος της εγκατάστασης y είναι ίδιες και το σήμα ˆd είναι μηδέν. Έτσι το σύστημα είναι ανοιχτού βρόχου στην περίπτωση που δεν υπάρχει αβεβαιότητα μοντέλου (model uncertainty) και άγνωστες είσοδοι d.

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΛΑΣΣΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΕ ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID ΚΑΙ IMC Σχήμα 1.10: Ελεγκτές Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί (PID) 1.3.1 Σχεδιασμός Ο ελεγκτής IMC σχεδιάζεται σε δύο βήματα. Βήμα 1: Το μοντέλο εγκατάστασης αναλύεται σε παράγοντες ως ˆP = P + P (1.1) Ο παράγοντας P + περιλαμβάνει καθυστερήσεις (e θs ) και μηδενιστές στο δεξιό ημιεπίπεδο. Ο παράγοντας P περιλαμβάνει συνάρτηση που μπορεί να αντιστραφεί. Στο βήμα αυτό επιτυγχάνεται η επίδοση με το κανονικό μοντέλο (Nominal Performance). Βήμα 2: Υλοποιείται ο ελεγκτής Q(s) ως Q = 1 P f (1.2) όπου f είναι βαθυπερατό φίλτρο (low pass lter). Το φίλτρο έχει μορφή f(s) = 1 (λs + 1) n (1.3) Στο βήμα αυτό επιτυγχάνεται η επίδοση και η ευστάθεια με το μοντέλο που περιέχει αβεβαιόητα (Robust Performance, Robust Stability).

1.3. ΕΛΕΓΚΤΕΣ IMC 13 Σχήμα 1.11: Ελεγκτές Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί (PID) Επιλογή του λ: Η επιλογή τιμή της παραμέτρου λ του φίλτρου είναι σημαντική. Γενικά αυξάνοντας το λ παράγεται συντηρητικός ελεγκτής εφόσον αυξάνει το K c και μειώνεται το T i. Για σύστημα FOPTD, στην βιβλιογραφία προτείνονται εναλλακτικά οι εξής περιπτώσεις: λ/θ > 0.8 και λ > 0.1τ τ > λ > θ λ = θ Εφαρμόζοντας ελεγκτή IMC σε συστήματα πρώτης και δεύτερης τάξης με καθυστέρηση, προκύπτουν ελεγκτές με δομή όμοια με αυτή των ελεγκτών PI, PID, με αναλυτικές εκφράσεις των τριών παραμέτρων. Χρησιμοποιώντας τις αναλυτικές εκφράσεις των παραμέτρων, γίνεται ρύθμιση των παραμέτρων των ελεγκτών PI, PID. Εναλλακτική παράσταση κλασσικού ελέγχου στο Σχήμα 1.20. Ο συνδιασμός των Q, ˆP που αποτελούν μέρος του συστήματος ελέγχου σε ένα στοιχείο C, δίνει κλασσικό σύστημα ελέγχου με ανατροφοδότηση, όπου C(s) = Οι αλλαγές δεν επηρεάζουν τα σήματα u, y. Q 1 ˆP Q.

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΛΑΣΣΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΕ ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID ΚΑΙ IMC Q r Controller Σ e Q u System P d Σ y Internal model ˆP ŷ Σ ˆd = y ŷ imc.ipe Σχήμα 1.12: Internal Model Control (IMC) 1.3.2 IMC για Σύστημα Δεύτερης Τάξης Εφαρμόζεται ελεγκτής IMC σε σύστημα δεύτερης τάξης με καθυστέρηση. Το σύστημα έχει συνάρτηση μεταφοράς Ο ελεγκτής έχει τη μορφή P (s) = e 2s s 2 + 2s + 1 (1.4) Q(s) = (s 2 1 + 2s + 1) (2s + 1) 2 (1.5) με φίλτρο δεύτερης τάξης (n = 2), με παράμετρο φίλτρου λ = 2. Δομικό διάγραμμα για ένα βρόχο ελέγχου με ελεγκτή τύπου IMC φαίνεται στο Σχήμα 1.14. Δίνεται μοναδιαία βηματική είσοδος σε t = 1sec. και διαταραχή με μορφή μοναδιαίας βηματικής εισόδου σε t = 40sec. Στο ίδιο διάγραμμα φαίνεται επίσης η απόκριση του συστήματος σε λειτουργία ανοιχτού βρόχου. Στον ανοιχτό βρόχο το σύστημα έχει πιο γρήγορη αρχική απόκριση, όμως η διαταραχή παραμένει στο τελικό αποτέλεσμα. Με την εφαρμογή του συγκεκριμένου ελεγκτή, το σύστημα αντιμετωπίζει με επιτυχία τη διαταραχή αλλά έχει πιο αργή απόκριση στην αρχή. Παράδειγμα 1.3.1 Σχεδιασμός ελεγκτή IMC Εξετάζεται σύστημα ελέγχου θερμοκρασίας νερού σε εναλλάκτη αντιρροής, με ατμό. Η παροχή ατμού γίνεται μέσω ρυθμιστικής αναλογικής βαλβίδας και η θερμοκρασία του

1.3. ΕΛΕΓΚΤΕΣ IMC 15 Σχήμα 1.13: Εναλλακτική παράσταση κλασσικού ελέγχου Σχήμα 1.14: Ελεγκτής IMC σε σύστημα δεύτερης τάξης με καθυστέρηση εξερχόμενου νερού μετριέται με αισθητήριο θερμοκρασίας, όπως στο Σχήμα 1.15. Ο Η/Υ μεταβάλει τη θέση της ρυθμιστικής βαλβίδας ώστε να διατηρεί το εξερχόμενο νερό την θερμοκασία του στην τιμή αναφοράς. Αντί για τη συνάρτηση μεταφοράς δίνεται η απόκριση συστήματος ανοιχτού βρόχου σε μοναδιαία βηματική είσοδο, όπως μετρήθηκε πειραματικά και φαίνεται στο Σχήμα 1.16. Ζητείται: α) να σχεδιαστεί ελεγκτής IMC για έλεγχο της θερμοκρασίας, β) να συγκριθούν ελεγκτές IMC, PID_IMC, classical. Λύση Θα γίνουν οι ακόλουθες ενέργειες: Για τον υπολογισμό και τη λειτουργία ενός ελεγκτή IMC, απαιτείται η ύπαρξη κατάλληλου μοντέλου της διεργασίας. Έτσι κατ αρχήν θα εκτιμηθεί το μοντέλο του συστήματος. Κατόπιν θα υπολογιστούν οι παράμετροι ελεγκτή IMC και θα υλοποιηθεί η διάταξη ελέγχου. Τέλος, για σύγκριση θα υπολογιστεί επίσης κλασσικός ελεγκτής. Η επίδοση των ελεγκτών θα αξιολογηθεί με εισαγωγή αλλαγών στις τιμές αναφοράς καθώς και στην εξωτερική διέγερση. Η διατύπωση μοντέλου μιας διεργασίας από την πειραματική καμπύλη απόκρισης είναι γνωστή ως μέθοδος καμπύλης απόκρισης (process reaction curve method). Παρατηρώντας την καμπύλη απόκρισης του συστήματος θεωρούμε ότι το σύστημα περιγράφεται επαρκώς

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΛΑΣΣΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΕ ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID ΚΑΙ IMC Computer e Σ T ref Controller Measurement System Sensor u Water In Water Out Heat Exchanger Steam Out System Valve Steam In Actuator Σχήμα 1.15: Σύστημα ελέγχου κλειστού βρόχου του εναλλάκτη Σχήμα 1.16: Απόκριση συστήματος ανοιχτού βρόχου εναλλάκτη από συνάρτηση μεταφοράς πρώτης τάξης με καθυστέρηση (FOPTD), με μορφή y(s) u(s) = k e θs τ s+1. Οι παράμετροι k, θ, τ προσδιορίζονται με γραφικό τρόπο. Το κέρδος Κ στην μόνιμη κατάσταση υπολογίζεται ως K = Y u = 3.5 0 1 0 = 3.5. Η καθυστέρηση ευρίσκεται απο την καμπύλη ως θ = 3 sec. Η σταθερά χρόνου τ αντιστοιχεί σε απόκριση ίση με το 63.2% της τελικής τιμής στην μόνιμη κατάσταση, δηλ. y 63.2 = 0.632 3.5 = 2.212. Έτσι τ = 13 3 = 10 sec. Ο χρόνος για να φτάσει το σύστημα στην μόνιμη κατάσταση αντιστοιχεί σε περίπου 4τ. Το σύστημα τελικά προκύπτει ως P = 3.5 e 3s 10 s+1.

1.3. ΕΛΕΓΚΤΕΣ IMC 17 Τώρα προχωρούμε στον υπολογισμό ελεγκτή IMC. Ο ελεγκτής IMC προκύπτει ως Q(s) = ˆP 1 f = 10s + 1 3.5 1 2s + 1 (1.6) όπου η παράμετρος του φίλτρου είναι λ = 2, για n = 1. Στο Σχήμα 1.17 φαίνεται η απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου σε βηματική είσοδο αναφοράς στην θερμοκρασία, από 40 0 C σε 35 0 C. Παράμετρος είναι το τ c. Σχήμα 1.17: Απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου σε βηματική είσοδο αναφοράς στην θερμοκρασία Στο Σχήμα 1.18 φαίνεται η απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου σε διαταραχή στη θερμοκρασία με σταθερή είσοδο αναφοράς στους 35 0 C. Παράμετρος είναι το τ c. Σχήμα 1.18: Απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου σε διαταραχή στη θερμοκρασία Τέλος στο Σχήμα 1.19 φαίνεται η απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου σε διαταραχή στη θερμοκρασία με σταθερή είσοδο αναφοράς στους 35 0 C, με χρήση ελεγκτων IMC, PID_IMC.

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΛΑΣΣΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΕ ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID ΚΑΙ IMC Σχήμα 1.19: Απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου σε διαταραχή στη θερμοκρασία, με χρήση ελεγκτων IMC, PID_IMC Εναλλακτική παράσταση κλασσικού ελέγχου φαίνεται στο Σχήμα 1.20. Σχήμα 1.20: Εναλλακτική παράσταση κλασσικού ελέγχου Ο συνδιασμός των Q, ˆP που αποτελούν μέρος του συστήματος ελέγχου σε ένα στοιχείο C, δίνει κλασσικό σύστημα ελέγχου με ανατροφοδότηση, όπου C(s) = Q 1 ˆP Q Οι αλλαγές δεν επηρεάζουν τα σήματα u, y. Για να υπολογιστεί ένας κλασσικός ελεγκτής γίνονται τα ακόλουθα. Πρώτα αντικαθιστούμε τον παράγοντα καθυστέρησης e θs με παράγοντα 1st order P ade Έτσι η συνάρτηση του συστήματος P γίνεται e θs 1 θ 2 s 1 + θ 2 s = 1 3 2 s 1 + 3 2 s (1.7) P (s) = 3.5 10s + 1 Κατόπιν υπολογίζεται ο κλασσικός ελεγκτής ως C = Q 1 P Q = 15s2 + 11.5s + 1 10.5s 2 + 17.5s 1 3 2 s 1 + 3 2 s (1.8) (1.9) Απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου σε αλλαγή στην είσοδο αναφοράς, με χρήση ελεγκτων IMC, PID_IMC, classic φαίνεται στο Σχήμα 1.21. Όπως φαίνεται, οι αποκρίσεις των IMC, classic είναι παρόμοιες.

1.4. ΡΥΘΜΙΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΕΛΕΓΚΤΩΝ PID 19 Σχήμα 1.21: Απόκριση συστήματος κλειστού βρόχου σε αλλαγή στην είσοδο αναφοράς, με χρήση ελεγκτων IMC, PID_IMC, classic 1.4 Ρύθμιση Παραμέτρων Ελεγκτών PID Ο προσδιορισμός τιμών παραμέτρων ελεγκτών PID είναι από τα πιο σπουδαία προβλήματα στην πράξη. Το Σχήμα 1.22 παρουσιάζει την απόκριση συστήματος πρώτης τάξης με καθυστέρηση (First Order Plus Time Delay-FOPTD): G = Ke θs τs+1, για διάφορες τιμές παραμέτρων ελεγκτή PID, [1]. Σχήμα 1.22: Απόκριση συστήματος πρώτης τάξης με καθυστέρηση (FOPTD) για διάφορες τιμές παραμέτρων ελεγκτή PID, [1] Οι ρυθμίσεις παραμέτρων ελεγκτών PID μπορούν να γίνουν με διάφορους τρόπους όπως: Απευθείας σύνθεση (Direct Synthesis-DS), λαμβάνοντας υπόψη τις επιθυμητές προδιαγραφές του τελικού συστήματος Μέθοδος Internal Model Control (PID_IMC), για ελεγκτές τύπου PI, PID

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΛΑΣΣΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΕ ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID ΚΑΙ IMC Πειραματικές μεθόδους, μετά την εγκατάσταση του ελεγκτή στο σύστημα. Είναι ιδιαίτερο πρόβλημα στην περίπτωση που δεν υπάρχει λεπτομερές μοντέλο εγκατάστασης. Τότε χρησιμοποιούνται πειραματικές μέθοδοι για την αρχική εκτίμηση παραμέτρων κατευθυντή. Τέτοιοι μέθοδοι είναι των Ziegler-Nichols (Z-N), Cohen-Coon (C- C), καθώς και auto-relay Μέθοδος απόκρισης συχνότητας (frequency response) Ρύθμιση σε πραγματικό χρόνο, μετά την εγκατάσταση του συστήματος και κατά τη λειτουργία του (self-tuning/adaptive control) Στα πλαίσια του κεφαλαίου αυτού, εξετάζονται στην συνέχεια οι μεθοδολογίες Ziegler- Nichols και PID_IMC. 1.4.1 Ρύθμιση Παραμέτρων Ελεγκτών: Μέθοδος των Ziegler-Nichols Η μέθοδος των Ziegler-Nichols (1942), είναι απλή αλλά πολύ επιτυχημένη. Θεωρούμε σύστημα κλειστού βρόχου, με άγνωστο μοντέλο εγκατάστασης, με μοναδιαία ανατροφοδότηση. Η συνάρτηση μεταφοράς του κατευθυντή είναι G c (s) = K C (1 + T D s + 1 T I s ) (1.10) Ζητάμε αρχικό σύνολο τιμών για τα K C, T D και T I. Υπάρχουν δύο μέθοδοι, για εγκαταστάσεις με νωθρή απόκριση (Μέθοδος 1) και για εγκαταστάσεις που μπορεί να εμφανίζουν φαινόμενα συντονισμού (Μέθοδος 2). Μέθοδος 1η: Για εγκαταστάσεις με νωθρή απόκριση, σε ανοιχτό βρόχο, με < 25% υπερακόντιση Απομονώνουμε την εγκατάσταση και δίνουμε είσοδο μοναδιαίας βαθμίδας Καταγράφουμε την απόκριση της εξόδου Στη μέθοδο αυτή η δυναμική κατάσταση της εξόδου περιγράφεται απο τις παραμέτρους R, L. Παράμετρος R: μέγιστη κλίση εφαπτομένης. Παράμετρος L: ο χρόνος που προκύπτει απο την τομή της εφαπτομένης με τον άξονα του χρόνου. Η μέθοδος 1 Ζ-Ν γραφικά φαίνεται στο Σχήμα 1.23. Οι Ziegler-Nichols προτείνουν τις ακόλουθες τιμές ελεγκτών Πίνακας Z-N 1. Για P έλεγχο: Για P I έλεγχο: K c = 1 RL (1.11) K c = 0.9 RL, T i = 3.3 L (1.12)

1.4. ΡΥΘΜΙΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΕΛΕΓΚΤΩΝ PID 21 output y u time u G P y 1 R L time Σχήμα 1.23: Μέθοδος 1 Ζ-Ν Για P ID έλεγχο: K c = 1.2 RL, T i = 2 L, T D = 0.5 L (1.13) Μέθοδος 2η: Για εγκαταστάσεις που εμφανίζουν φαινόμενα συντονισμού Τοποθετούμε στοιχείο αναλογικού κατευθυντή τύπου P με κέρδος K c μπροστά από την εγκατάσταση και κλείνουμε το βρόχο Εφαρμόζουμε μικρή βηματική αλλαγή και αυξάνουμε σταδιακά το κέρδος K c μέχρι να αποκτήσει η έξοδος διαρκή ταλάντωση (continuous cycling) Καταγράφουμε την τιμή του κέρδους K c = K u στο όριο της ευστάθειας καθώς και την περίοδο της ταλάντωσης P u. Η μέθοδος 2 Ζ-Ν γραφικά φαίνεται στο Σχήμα 1.24. u output y time r K C u G P y time P u Σχήμα 1.24: Μέθοδος 2 Ζ-Ν Οι Ziegler-Nichols προτείνουν τις ακόλουθες τιμές ελεγκτών. Πίνακας Z-N 2. Για P έλεγχο: K c = 0.5K u (1.14)

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΛΑΣΣΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΕ ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID ΚΑΙ IMC Για P I έλεγχο: K c = 0.45K u, T i = 0.83 P u (1.15) Για P ID έλεγχο: K c = 0.6K u, T i = 0.5 P u, T D = 0.125 P u (1.16) Παράδειγμα 1.4.1 Μέθοδος 2 των Ziegler-Nichols 2 e Θεωρούμε σύστημα με G = s (10s+1)(5s+1). Ζητάμε τις τιμές ελεγκτών PI και PID, με μέθοδο Z-N. Το σύστημα κλειστού βρόχου φτιάχνεται στο Simulink, όπως φαίνεται στο Σχήμα 1.25. Στον ελεγκτή PID θέτουμε I = 0, D = 0. Ξεκινάμε με τιμή κέρδους P = 6, για unit step input (0 1). Καταγράφουμε τις τιμές εξόδου και περιόδου ταλάντωσης. Το όριο της ευστάθειας βρίσκεται για τιμή κέρδους K c = K u = 7.6. Η περίοδος της ταλάντωσης P u είναι 12 sec. Οι αποκρίσεις εξόδου για τιμές K c = 6, 7, 8, φαίνονται στο Σχήμα 1.26. Σχήμα 1.25: Σύστημα κλειστού βρόχου για Z-N Σύμφωνα με τον πίνακα Z-N 2, έχουμε για P I έλεγχο: K c = 0.45K u = 0.45 8 = 3.42, T i = 0.83 P u = 0.83 12 = 10 (1.17) Για P ID έλεγχο αντίστοιχα έχουμε: K c = 0.6K u = 4.6, T i = 0.5 P u = 6, T D = 0.125 P u = 1.5 (1.18) Για την υλοποίηση στο MATLAB οι τιμές των ελεγκτών γίνονται P I : K C (1 + 1 3.42 T I s ) = 3.42 + 10s P = 3.42, I = 0.342 (στο block PID) P ID : K C (1 + 1 T I s + T Ds) = 4.6 + 4.6 6s + 4.6 1.5 P = 4.6, I = 0.8, D = 6.9 Οι αποκρίσεις κλειστού βρόχου για τους PI, PID μετά τις ρυθμίσεις κατα Ζ-Ν φαίνονται στο Σχήμα 1.27. O ελεγκτής PID υπερτερεί εφόσον η συμπεριφορά του συστηματος είναι λιγότερο ταλαντωτική σε σ χεση μετον PI.

1.4. ΡΥΘΜΙΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΕΛΕΓΚΤΩΝ PID 23 Σχήμα 1.26: Αποκρίσεις συστήματος για τις διάφορες τιμές Κ 1.4.2 Ρύθμιση Παραμέτρων Ελεγκτών: Μέθοδος PID_IMC Με τη μέθοδο ρύθμισης PI, PID κατά IMC προκύπτουν παράμετροι για ελεγκτές PI, PID για διάφορες συναρτήσεις μεταφοράς συστημάτων. Οι πίνακες στα Σχήματα 1.28, 1.29 δείχνουν τις διάφορες τιμές παραμέτρων ελεγκτών PI, PID με βάση τον ελεγκτή τύπου IMC. Το σύστημα περιγράφεται με το μοντέλο (Model), για περιπτώσεις (Cases) Α-Η και Ι-Ο. Έχει εκλεγεί φίλτρο τάξης n = 1. Η σταθερά χρόνου του φίλτρου τ c είναι παράμετρος σχεδιασμού. Παράδειγμα 1.4.2 Ρύθμιση Παραμέτρων Ελεγκτών PID_IMC Δίνεται σύστημα αποθήκευσης υγρού που περιγράφεται ως σύστημα ολοκληρωτή με καθυστέρηση G(s) = Ke θs (1.19) s όπου K το κέρδος και θ η καθυστέρηση. Οι τιμές των παραμέτρων είναι: K = 0.2, θ = 7.4 sec, με τιμή παραμέτρου του φίλτρου IMC τ c = 8 και τ c = 15. Ζητείται: 1. Να υπολογιστούν οι ελεγκτές τύπου PI_IMC, PID_IMC, με ρύθμιση παραμέτρων IMC. 2. Να γίνει προσομείωση των ελεγκτών PI_IMC, PID_IMC σε μοναδιαία βηματική αλλαγή α) σημείου αναφοράς και β) διαταραχής, εάν θεωρήσουμε ότι G d = G. Το σύστημα και η διαταραχή σε ανοικτό βρόχο στο Simulink φαίνονται στο Σχήμα 1.30. Η συνάρτηση μεταφοράς του ελεγκτή P ID είναι G c (s) = K C (1 + 1 τ i s + τ D s) (1.20)

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΛΑΣΣΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΕ ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID ΚΑΙ IMC Σχήμα 1.27: Αποκρίσεις κλειστού βρόχου μετά τις ρυθμίσεις κατα Ζ-Ν Για τον υπολογισμό παραμέτρων ελεγκτών χρησιμοποιείται ο πίνακας 2. Έτσι για τους PI_IMC, PID_IMC επιλέγονται αντίστοιχα οι περιπτώσεις Μ, Ν. Η περίπτωση Μ δίνει για τον PI_IMC τις τιμές K c = 2τc+θ (τ c+θ) 2, τ i = 2τ c + θ. Έτσι για τ c = 8 έχουμε K C = 0.493, τ i = 23.4 και για τ c = 15 έχουμε K p = 0.373, τ I = 37.4. Η περίπτωση Ν δίνει για τον P ID IMC τις τιμές K C = 2τ c+θ (τ c +θ/2) 2, τ i = 2τ c + θ, τ D = τcθ+θ2 /4 2τ c +θ. Έτσι για τ c = 8 έχουμε K C = 0.857, τ I = 23.4, τ D = 3.12 και για τ c = 15 έχουμε K C = 0.535, τ I = 37.4, τ D = 3.33. Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι αποκρίσεις ελεγκτών PI_IMC, PID_IMC για τ C = 8. Δίνεται μοναδιαία βηματική αλλαγή α) σημείου αναφοράς σε χρόνο t = 0 και β) διαταραχής σε χρόνο t = 150s, θεωρώντας G d = G, στο Σχήμα 1.31. Αποκρίσεις ελεγκτών PI_IMC, PID_IMC για τ C = 15 παρουσιάζονται στο Σχήμα 1.32. Παρατηρούμε ότι ο ελεγκτής με τ c = 15 δίνει πιό αργή και λιγώτερο ταλαντωτική απόκριση. Επίσης η υπερακόντιση είναι μικρότερη για αλλαγή στο σημείο αναφοράς και η μέγιστη απόκλιση είναι μεγαλύτερη μετά την διαταραχή. Ο ελεγκτής PID_IMC έχει καλύτερη απόκριση στη διαταραχή, εφόσον είναι μικρότερη η μέγιστη απόκλιση. Επιπλέον, ο ελεγκτής PID_IMC έχει μικρό χρόνο αποκατάστασης για τ c = 8, έχοντας έτσι την καλύτερη απόδοση από τους 5 ελεγκτές που συγκρίθηκαν. Ο PID_IMC στο Simulink φαίνεται στο Σχήμα 1.33. 1.5 Κριτήρια Σφάλματος Τα κριτήρια σφάλματος (ISE, IAE, ITAE) επιτρέπουν τη ρύθμιση παραμέτρων ενός ελεγκτή. Θεωρούν τη ελαχιστοποίηση του ολοκληρώματος του σφάλματος μέχρι να

1.5. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ 25 Σχήμα 1.28: Τιμές παραμέτρων ελεγκτών PI, PID με βάση τον ελεγκτή τύπου IMC, Μέρος 1ο, περιπτώσεις Α-Η λάβει η διεργασία την επιθυμητή τιμή αναφοράς. Σε αντίθεση με τα κριτήρια που λαμβάνουν υπόψη μεμονωμένα χαρακτηριστικά της δυναμικής απόκρισης (όπως ο χρόνος ανύψωσης ή ο χρόνος αποκατάστασης) τα κρίτηρια της κατηγορίας σφάλματος εξετάζουν όλη την διάρκεια απόκρισης της διεργασίας. Ολοκλήρωμα τετραγωνικού σφάλματος (Integral of square error-ise), όπου ISE = 0 e 2 (t) dt (1.21) Ολοκλήρωμα απόλυτης τιμής σφάλματος (Integral of absolute error-iae), όπου IAE = 0 e(t) dt (1.22) Ολοκλήρωμα γινομένου του χρόνου επί της απόλυτης τιμής σφάλματος (Integral of time-weighted absolute error-itae), όπου IT AE = 0 t e(t) dt (1.23) Ως σφάλμα θεωρούμε τη διαφορά της απόκρισης από την τιμή αναφοράς, e = y sp y. Η επιλογή του κριτηρίου εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά του συστήματος που θα ελεχθεί. Προτείνονται τα εξής. Σε περίπτωση που είναι επιθυμητό να μειωθούν μεγάλα σφάλματα, το ISE είναι πιο κατάλληλο από το IAE, εφόσον τα σφάλματα υψώνονται στο τετράγωνο και έτσι επηρεάζουν σημαντικά την τιμή του ολοκληρώματος.

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΛΑΣΣΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΕ ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID ΚΑΙ IMC Σχήμα 1.29: Τιμές παραμέτρων ελεγκτών PI, PID με βάση τον ελεγκτή τύπου IMC, Μέρος 2ο, περιπτώσεις Ι-Ο Στην περίπτωση μικρών σφαλμάτων, το IAE είναι πιο κατάλληλο από το ISE, εφόσον υψώνοντας στο τετράγωνο έναν αριθμό μικρότερο της μονάδας, αυτός γίνεται ακόμη μικρότερος. Τέλος στην περίπτωση που τα σφάλματα εμφανίζονται για μεγάλο χρονικό διάστημα, το κριτήριο του ITAE είναι το πιο κατάλληλο, εφόσον ο μέγαλος χρόνος t ενισχύει ακόμη και μικρές τιμές σφαλμάτων στο ολοκλήρωμα. 1.6 Αναφορές

1.6. ΑΝΑΦΟΡΕΣ 27 Σχήμα 1.30: Το σύστημα και η διαταραχή σε ανοικτό βρόχο Σχήμα 1.31: Αποκρίσεις ελεγκτών PI_IMC, PID_IMC για τ C = 8 Σχήμα 1.32: Αποκρίσεις ελεγκτών PI_IMC, PID_IMC για τ C = 15

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΛΑΣΣΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΕ ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID ΚΑΙ IMC Σχήμα 1.33: Ελεγκτές Αναλογικοί-Ολοκληρωτικοί (PID)

Βιβλιογραφία [1] Seborg, Edgar, Mellichamp, Process Dynamics and Control, 2nd Edition, Willey, 1989. [2] Κρικέλης Ν., Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο, Συμμετρία, 2000. [3] Franklin, G., Powel, D., Enami-Naeimi, A., Feedback Control of Dynamic Systems, Addison Wesley Longman, 5th edition, 2005. [4] Dorf, R., Bishop, R., Modern Control Systems, Prentice-Hall, 2001. [5] Ogata, K., Modern Control Engineering (3rd Edition), Prentice Hall, 1997. [6] Morari, M., Za riou, E., Robust Process Control, Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1989. [7] Bequette, W., Process Control: Modeling, Design and Simulation, Prentice Hall, 2003. [8] Wikipedia, PID, 10/2010. 29