Λύσεις θεμάτων Εξεταστικής Περιόδου Σεπτεμβρίου 2014

Transcript

1 Λύσεις θεμάτων Εξεταστικής Περιόδου Σεπτεμβρίου 204 ΘΕΜΑ Ο (2,0 μονάδες) Η διαδικασία διεύθυνσης ενός αυτοκινήτου κατά την οδήγησή του μπορεί να περιγραφεί με ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου κλειστού βρόχου. Κατά την οδήγηση, ο οδηγός ελέγχει συνεχώς την πραγματική πορεία του αυτοκινήτου και ρυθμίζει με το τιμόνι τη διεύθυνσή του στην περίπτωση που παρατηρεί οποιαδήποτε απόκλιση από την επιθυμητή πορεία. Να σχεδιαστεί το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα του συστήματος ελέγχου κλειστού βρόχου. Ένα Σύστημα Αυτομάτου Ελέγχου Κλειστού Βρόχου περιγράφεται από το ακόλουθο δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα: Είσοδος (σήμα εισόδου αναφοράς) _ Σφάλμα Διάταξη ελέγχου Ενεργοποιητής Ελεγχόμενη Διεργασία Έξοδος (ελεγχόμενη μεταβλητή) Μέτρηση εξόδου Αισθητήρας Σήμα ανάδρασης Στο σύστημα διεύθυνσης αυτοκινήτου, κατά την οδήγηση ο οδηγός (ελεγκτής) ελέγχει συνεχώς (οπτική παρατήρηση) την πραγματική πορεία του (ελεγχόμενο σύστημα) και ρυθμίζει με το τιμόνι (ενεργοποιητής) τη διεύθυνσή του στην περίπτωση που παρατηρεί οποιαδήποτε απόκλιση (σφάλμα) από την επιθυμητή πορεία. Επομένως, το ζητούμενο δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα είναι το ακόλουθο: Επιθυμητή κατεύθυνση _ Σφάλμα Οδηγός Μηχανισμός ελέγχου κατεύθυνσης (τιμόνι) Όχημα Πραγματική κατεύθυνση Μέτρηση: Οπτική παρατήρηση και κινήσεις ΘΕΜΑ 2 Ο (4,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα ενός συστήματος ελέγχου κλειστού βρόχου. α. Να προσδιοριστεί η συνάρτηση μεταφοράς / του συστήματος με κατάλληλους μετασχηματισμούς του δομικού διαγράμματος (2,0 μον.). β. Να σχεδιαστεί το ισοδύναμο διάγραμμα ροής σημάτων και να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς με εφαρμογή του κανόνα του Mason (2,0 μον.). G (s) G 2(s) G 3(s)

2 α. Υπάρχουν διάφοροι μετασχηματισμοί που μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Ενδεικτικά παρουσιάζεται η παρακάτω σειρά: G (s) G 2 (s) G 3 (s) G (s) G 2 (s) G 3 (s) /G 3 (s) G (s) G 2 (s)g 3 (s) /G 3 (s) G (s) G 2 (s)g 3 (s) / [ G 2 (s)g 3 (s)] /G 3 (s) G (s)g 2 (s)g 3 (s) / [ G 2 (s)g 3 (s)] [G 3 (s) ]/G 3 (s) Επομένως:

3 ή β. Ορίζουμε τα σήματα στο δομικό διάγραμμα, τα οποία θα αντιστοιχούν στους κόμβους του διαγράμματος ροής σημάτων: E (s) E 2 (s) E 3 (s) E 4 (s) E 5 (s) G (s) G 2 (s) G 3 (s) Οι εξισώσεις του συστήματος είναι: = E 5 (s)g 3 (s) E 5 (s) = E 4 (s)g 2 (s) E 4 (s) = E 3 (s) E 3 (s) = E 2 (s)g (s) E 2 (s) = E (s) E 5 (s) E (s) = Χ(s) Επομένως, το ισοδύναμο ΔΡΣ είναι: E (s) E 2 (s) E 3 (s) E 4 (s) E 5 (s) G (s) G 2 (s) G 3 (s) Υπάρχει μόνο ένας απευθείας δρόμος, ο E (s)e 2 (s)e 3 (s)e 4 (s)e 5 (s), με απολαβή: Q (s) = G (s)g 2 (s)g 3 (s) Υπάρχουν τρεις βρόχοι: Βρόχος : E (s)e 2 (s)e 3 (s)e 4 (s)e 5 (s)e (s), Βρόχος 2: E 2 (s)e 3 (s)e 4 (s)e 5 (s)e 2 (s), και Βρόχος 3: E 4 (s)e 5 (s)e 4 (s) με απολαβές αντίστοιχα: B (s) = G (s)g 2 (s)g 3 (s)() = G (s)g 2 (s)g 3 (s) B 2 (s) = G (s)g 2 (s)() = G (s)g 2 (s) B 3 (s) = G 2 (s)g 3 (s)() = G 2 (s)g 3 (s)

4 Παρατηρούμε ότι, όλοι οι βρόχοι ανά δύο, έχουν κοινούς κόμβους μεταξύ τους. Αυτό φαίνεται από το γεγονός ότι έχουν κοινά γράμματα στην ονομασία τους (τα γράμματα αντιστοιχούν σε κόμβους). Επομένως ΣL 2 = 0 και ΣL 3 = 0. Οπότε έχουμε: Δ(s) = ΣL = [B (s) B 2 (s) B 3 (s)] = = [ G (s)g 2 (s)g 3 (s) G (s)g 2 (s G 2 (s)g 3 (s)] = = G (s)g 2 (s)g 3 (s) G (s)g 2 (s G 2 (s)g 3 (s) Επίσης παρατηρούμε ότι δεν υπάρχουν μη εγγίζοντες βρόχοι, αφού όλοι οι βρόχοι έχουν κοινούς κόμβους με τον απευθείας δρόμο. Επομένως: Δ (s) = Σύμφωνα με τον κανόνα του Mason η ολική συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι: ή ΘΕΜΑ 3 Ο (3,0 μονάδες) Δίνεται σύστημα κλειστού βρόχου με μοναδιαία αρνητική ανάδραση και απολαβή απευθείας κλάδου: G(s) = [0(s 4)]/[s(s )(s 3)(s 8)]. Να προσδιοριστεί το σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση λειτουργίας του συστήματος όταν η είσοδός του διεγείρεται από: α. μια βηματική συνάρτηση x(t) = Au(t), όπου Α το πλάτος της συνάρτησης (σφάλμα θέσης). β. μια συνάρτηση ράμπας x(t) = Atu(t), όπου Α η κλίση της ράμπας (σφάλμα ταχύτητας). α. Για βηματική συνάρτηση εισόδου x(t) = Au(t), όπου Α το πλάτος της συνάρτησης, το σφάλμα μόνιμης κατάστασης e ss (σφάλμα θέσης), όταν έχουμε μοναδιαία αρνητική ανάδραση, δίνεται από τη σχέση: όπου Επομένως: και β. Όταν η είσοδος είναι μια συνάρτηση ράμπας x(t) = Atu(t), όπου Α η κλίση της ράμπας, το σφάλμα μόνιμης κατάστασης e ss (σφάλμα ταχύτητας), και για μοναδιαία αρνητική ανάδραση, δίνεται από τη σχέση: όπου

5 Επομένως και ΘΕΜΑ 4 Ο (3,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό λειτουργικό διάγραμμα του συστήματος ελέγχου πέδησης για ανελκυστήρες υψηλής ταχύτητας που χρησιμοποιούνται στους ουρανοξύστες. Να προσδιοριστεί το απαιτούμενο εύρος τιμών της παραμέτρου k ώστε το σύστημα να είναι ευσταθές. Επιθυμητή κατακόρυφη μετατόπιση Ελεγκτής k Δυναμική του ανελκυστήρα s(s 2 3s 3) Πραγματική κατακόρυφη μετατόπιση (θέση) Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος θα είναι: Επομένως το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος είναι: Για να προσδιοριστεί το εύρος τιμών του k για τις οποίες το σύστημα είναι ευσταθές θα πρέπει να συμπληρώσουμε τον πίνακα Routh: s 3 3 s 2 3 k s 0 s 0 k Για να είναι το σύστημα ευσταθές θα πρέπει όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα να είναι θετικοί αριθμοί, επομένως θα πρέπει: 8 k > 0 και k > 0 Άρα το εύρος τιμών του k για τις οποίες το σύστημα είναι ευσταθές είναι: < k < 8