Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 7 η : Αναλογικός Ολοκληρωτικός Διαφορικός (PID) ελεγκτής Α. Στοιχεία ελεγκτή. Παναγιώτης Σεφερλής

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7 η : Αναλογικός Ολοκληρωτικός Διαφορικός (PID) ελεγκτής Α. Στοιχεία ελεγκτή Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Έλεγχος ανάδρασης Ελεγκτής PID Στόχοι της ενότητας (Μέρος Α) Κατανόηση των πλεονεκτημάτων και των αδυναμιών των τριών δράσεων ενός αναλογικούολοκληρωτικού-διαφορικού ελεγκτή (PID). Εδραίωση γενικών ιδιοτήτων του ελεγκτή PID από το μοντέλο του κλειστού βρόχου. Επιλογή παραμέτρων ελεγκτή PID. 4

5 Έλεγχος ανάδρασης Ελεγκτής PID Περίληψη της ενότητας (Μέρος Α) Γενικές ιδιότητες και ιστορία του ελεγκτή PID. Δράσεις του ελεγκτή PID Αναλογική (proportional, P) Ολοκληρωτική (integral, I) Διαφορική (differential, D) Δυναμική απόκριση συστημάτων ανάδρασης με PID. 5

6 Έλεγχος ανάδρασης Ελεγκτής PID Ιδιότητες που αναζητούμε από ένα ελεγκτή. Καλή επίδοση κριτήρια απόδοσης βρόχου ανάδρασης. Ευρεία προσαρμοστικότητα ρυθμιζόμενοι παράμετροι. Γρήγοροι υπολογισμοί αποφυγή προβλημάτων αριθμητικής σύγκλισης. Μετάβαση από/σε χειροκίνητο έλεγχο ομαλή. Επέκταση εύκολη βελτίωση. 6

7 Ελεγκτής PID Αναπτύχθηκε τη δεκαετία του 40, παραμένει η κοινή πρακτική της βιομηχανίας. Δεν είναι βέλτιστος καθώς στηρίζεται στις καλές ιδιότητες κάθε δράσης. Προγραμματίζεται σε κάθε ψηφιακό σύστημα ελέγχου. Απαιτεί ΜΙΑ ρυθμιζόμενη (CV) και ΜΙΑ ρυθμίζουσα μεταβλητή (MV). Πολλοί PID χρησιμοποιούνται σε μια βιομηχανική εγκατάσταση ή σύστημα. 7

8 Ελεγκτής PID U, έξοδος ελεγκτή M, Ενεργοποιητής Y, Ρυθμιζόμενη μεταβλητή ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ αισθητήρας + Αναλογική Ολοκληρωτική Διαφορική Y m, Μετρούμενη τιμή Y + Σφάλμα E R Y m R, Σημείο αναφοράς Τρεις δράσεις : Τρεις τρόποι χρησιμοποίησης της χρονικά μεταβαλλόμενης συμπεριφοράς της μετρούμενης μεταβλητής. 8

9 Ελεγκτής PID Αναλογική δράση Διόρθωση ανάλογη προς το σφάλμα. Δράση ελεγκτή: Συνάρτηση μεταφοράς: c U t K E t I U s GC s K E s p C K C = κέρδος ελεγκτή [=] μονάδες MV/μονάδες CV. 9

10 Ελεγκτής PID Αναλογική δράση Χρονική μεταβολή χειραγωγούμενης μεταβλητής, U. c U t K E t I p U(t) U(t) U max Μέγιστο όριο κλίση: Κ c Κ c E(t) U min Ελάχιστο όριο E(t) χρόνος, t E(t)=σταθερό 0

11 Ελεγκτής PID Αναλογική δράση Κύρια δυναμικά χαρακτηριστικά Επιτάχυνση της δυναμικής απόκρισης της διεργασίας. G s K K τs KK K c c K K τs KcK τ s c τs K K K K K τ τ K K c c c Μικρότερη σταθερά χρόνου από το σύστημα ανοικτού βρόχου.

12 Ελεγκτής PID Αναλογική δράση Κύρια δυναμικά χαρακτηριστικά Σφάλμα σε μόνιμη κατάσταση ισορροπίας υπό την επίδραση βηματικής διαταραχής. ΔD K lim d ΔD K Y t s d 0 t s K K K K s0 c p c p Δεν επιτυγχάνεται μηδενικό σφάλμα καθώς η ρυθμιζόμενη μεταβλητή δεν επιστρέφει στο σημείο αναφοράς. Πώς μπορούμε να επηρεάσουμε το μόνιμο σφάλμα αλλάζοντας κάποια παράμετρο του ελεγκτή; Ποια τα πιθανά προβλήματα από την αλλαγή;

13 Ελεγκτής PID Αναλογική δράση 3

14 Ελεγκτής PID Αναλογική δράση Απότομες μεταβολές στη χειραγωγούμενη μεταβλητή απαιτούνται για ταχύτερη απόκριση του συστήματος. 4

15 Ελεγκτής PID Ολοκληρωτική δράση Η επίμονη δράση Δράση ελεγκτή: Συνάρτηση μεταφοράς: I t K U c t E(t')dt' I τ G C s 0 U s E s KC τ s I I τ Ι = χρόνος ολοκλήρωσης [=] μονάδες χρόνου. 5

16 Ελεγκτής PID Ολοκληρωτική δράση τ Ι : χρόνος που απαιτείται ώστε η συμβολή του ολοκληρωτικού όρου να ισούται με αυτήν του αναλογικού όρου. I t K Ut c E t' dt' I τ U(t) 0 I U(t) Kc E(t) E(t')dt' I τ I 0 U(t) t I κλίση: Κ c E(t)/τ Ι κλίση: Κ c E(t)/τ Ι Κ c Κ c αναλογική δράση χρόνος, t E(t)=σταθερό τ Ι χρόνος, t E(t)=σταθερό 6

17 Ελεγκτής PID Ολοκληρωτική δράση Κύρια δυναμικά χαρακτηριστικά Αυξάνεται η τάξη του συστήματος. G s KKc KKc ττ I τ s τs KK s τs KK τ τ I c c I ω KK τ τ ζ τ τ τ KK n c I I c 7

18 Ελεγκτής PID Ολοκληρωτική δράση Κύρια δυναμικά χαρακτηριστικά Σφάλμα σε μόνιμη κατάσταση ισορροπίας υπό την επίδραση βηματικής διαταραχής. Y t t K lim d ΔD s 0 KK s sτ s0 c p I Επιτυγχάνετε μηδενικό σφάλμα σε μόνιμη κατάσταση καθώς η ρυθμιζόμενη μεταβλητή επιστρέφει στο σημείο αναφοράς. Σε ποια περίπτωση δεν έχουμε μηδενικό σφάλμα; 8

19 Ελεγκτής PID Διαφορική δράση Η προληπτική δράση Δράση ελεγκτή: Συνάρτηση μεταφοράς: de t Ut KcτD I dt U s GC s KcτDs E s D τ D = χρόνος διαφόρισης [=] μονάδες χρόνου. 9

20 Ελεγκτής PID Διαφορική δράση Κανονική συνάρτηση μεταφοράς για πρακτική εφαρμογή της διαφορικής δράσης. G C s KcτDs aτ s U s E s D τ D = χρόνος διαφόρισης [=] μονάδες χρόνου, 0<a<. 0

21 Ελεγκτής PID Διαφορική δράση Κύρια δυναμικά χαρακτηριστικά Σφάλμα σε μόνιμη κατάσταση ισορροπίας υπό την επίδραση διαταραχής. K lim d ΔD Y t s ΔD K t s0 K τ s s c D Δεν επιτυγχάνεται μηδενικό σφάλμα καθώς η ρυθμιζόμενη μεταβλητή δεν επιστρέφει στο σημείο αναφοράς. Προκαλεί ταλαντώσεις στη χειραγωγούμενη μεταβλητή (ανεπιθύμητες λόγω φθοράς και κόπωσης ενεργοποιητή). d

22 Ελεγκτής PID Διαφορική δράση Εναλλακτική μορφή εισαγωγής διαφορικού όρου. de t Ut KcτD ID dt Ποια θα είναι η συμπεριφορά της ρυθμίζουσας μεταβλητής σε μια βηματική μεταβολή του σημείου αναφοράς; Προτεινόμενη μεταβολή της δράσης: d Y t Ut KcτD I dt D

23 Ελεγκτής τριών δράσεων PID Συνδυασμός όλων των δράσεων δημιουργεί τον PID. E t R t Y t t dy Ut KcE t E t' dt' τd I τi dt 0 m 3

24 Έλεγχος ταχύτητας οχήματος Εφαρμογή PID στον έλεγχο ταχύτητας οχήματος. Y: ταχύτητα οχήματος U: δύναμη στην κατεύθυνση της κίνησης. Προδιαγραφές απόκρισης: Χρόνος ανόδου < 5 s. Ποσοστό υπερύψωσης < 0%. Σφάλμα σε μόνιμη κατάσταση < %. u by y Παραδοχές: ) Η οπισθέλκουσα δύναμη λόγω (ιξώδους) τριβής είναι ανάλογη της ταχύτητας. ) Η δυναμική του ταχύμετρου είναι αμελητέα. 3) Η δυναμική του ενεργοποιητή είναι αμελητέα. Y s U s ms b m=000 kg b=50 N s/m u=500 N 4

25 Έλεγxος ταχύτητας οχήματος P ελεγκτής Kc=00 Kc=000 Velocity Force, N Velocity (m/s) Kc=600, τ Ι = Time (sec) Force (N) PI ελεγκτής Velocity (m/s) System: untitled Time (s):.4 Velocity (m/s): Time (sec) Kc=400, τ Ι = Force (N) Time (s) Time (s) Time (s) Time (s) 5

26 Έλεγχος συστήματος ανάρτησης Εφαρμογή PID στο σύστημα ανάρτησης οχήματος. Ρυθμιζόμενη μεταβλητή Y = μετατόπιση Χ Χ. Χειραγωγούμενη μεταβλητή U: δύναμη που ασκείται από τον ενεργοποιητή. Προδιαγραφές συστήματος κλειστού βρόχου: Χρόνος αποκατάστασης < 5 s. Ποσοστό υπερύψωσης < 5%. (π.χ. για 0 cm διαταραχή πλάτος ταλάντωσης +/-5 mm). x x w k k Μάζα οχήματος m U Μάζα ανάρτησης, m b b Διαταραχή - τραχύτητα οδού. 6

27 Έλεγχος συστήματος ανάρτησης Εξισώσεις προτύπου συστήματος: Συναρτήσεις μεταφοράς: G s G X s X s m m s b s k Δ s Us 3 Ws Δ X s X s m b s m k s Δ m s b s k m s b b s k k b s k b s k Μάζα οχήματος m = 500 kg Μάζα ανάρτησης m = 30 kg Σταθερά ελατηρίου ανάρτησης k = N/m Σταθερά ελατηρίου τροχού και ελαστικού k = N/m Σταθερά απόσβεσης ανάρτησης b = 350 N s/m Σταθερά απόσβεσης τροχού και ελαστικού b = 500 N s/m 7

28 Έλεγχος συστήματος ανάρτησης W(s) G (s) R(s) + E(s) U(s) + G C (s) G (s) + X (s)-x (s) G s Us X s X s m m s b s k Δ G s 3 X s X s m b s m k s W s Δ Δ m s b s k m s b b s k k b s k b s k 8

29 Έλεγχος συστήματος ανάρτησης Απόκριση ανοικτού βρόχου. Open loop response to a step change in manipulated variable.5 x 0-5 Open loop response to a step change in disturbance Displacement (m).5 Displacement (m) Time (s) Time (s) Διαταραχή μεγέθους 0 cm προκαλεί μέγιστο πλάτος ταλάντωσης 0.5 cm! 9

30 Έλεγχος συστήματος ανάρτησης Απόκριση κλειστού βρόχου σε βηματική μεταβολή της διαταραχής w. x 0-3 Step Response 6 x 0-3 Step Response 5 4 Displacement (m) 0-5 Displacement (m) Time (s) Παράμετροι ελεγκτή PID: Κ c =8300 τ Ι =.333 τ D = Time (s) Παράμετροι ελεγκτή PID: Κ c =66400 τ Ι =.333 τ D =0.5 30

31 Έλεγχος συστήματος ανάρτησης Απόκριση ανοικτού βρόχου σε «λακούβα» μέγιστου βάθους 5cm, μήκους 0m με ταχύτητα οχήματος 50 km/hr. w=0.05sin(πs/0), s=[0,0] Displacement X-X (m) Open loop response to a road disturbance W Distance (m) 3

32 Έλεγχος συστήματος ανάρτησης Απόκριση κλειστού βρόχου (μετατόπιση) σε «λακούβα» μέγιστου βάθους 5cm, μήκους 0m με ταχύτητα οχήματος 50 km/hr. w=0.05sin(πs/0), s=[0,0] 4 x 0-4 PID closed loop output response Παράμετροι ελεγκτή PID: Κ c =66400 τ Ι =.333 τ D =0.5 Displacement (m) Time (s) 3

33 Έλεγχος συστήματος ανάρτησης Απόκριση κλειστού βρόχου (ενεργοποιητής) σε «λακούβα» μέγιστου βάθους 5cm, μήκους 0m με ταχύτητα οχήματος 50 km/hr. w=0.05sin(πs/0), s=[0,0] 500 PID closed loop input response Παράμετροι ελεγκτή PID: Κ c =66400 τ Ι =.333 τ D =0.5 Force (N) Time (s) 33

34 Έλεγχος ταχύτητας κινητήρα DC Εφαρμογή PID στο σύστημα ηλεκτρικού κινητήρα. Y = Tαχύτητα κινητήρα. V = Tάση πηγής. V + ~ R L + T θ T d b Προδιαγραφές συστήματος κλειστού βρόχου: Χρόνος αποκατάστασης < s. Ποσοστό υπερύψωσης < 5%. Σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση < %. 34

35 Έλεγχος ταχύτητας κινητήρα DC Εξισώσεις μοντέλου: Συνάρτηση μεταφοράς: K Y s V s Js b Ls R K Ροπή αδράνειας ρότορα: J = 0.0 kg m /s. Σταθερά απόσβεσης μηχανικού μέρους: b = 0. N s/m. Σταθερά αντιηλεκτρεγερτικής δύναμης: K=K e =K t = 0.0 N m/a. Ηλεκτρική αντίσταση: R = Ω. Ηλεκτρική αυτεπαγωγή: L = 0.5 H. Είσοδος: V: τάση πηγής. Έξοδος: θ =Y: ταχύτητα κινητήρα. 35

36 Έλεγχος ταχύτητας κινητήρα DC Απόκριση κλειστού βρόχου Παράμετροι ελεγκτή: Κ c =50 τ Ι =0.6 Παράμετροι ελεγκτή: Κ c =60 τ Ι =0.6 τ D =0. 36

37 Ελεγκτής PID Πώς υπολογίζεται η δυναμική απόκριση του κλειστού βρόχου; Σε ορισμένες περιπτώσεις μπορεί να γίνει αναλυτικά. Στις περισσότερες περιπτώσεις πρέπει να λυθούν οι εξισώσεις αριθμητικά. Σε κάθε χρονικό βήμα πρέπει να ολοκληρώσουμε: Τις διαφορικές εξισώσεις της διεργασίας. Τις διαφορικές εξισώσεις του ελεγκτή. Συνυπολογίζοντας τις πιθανές αλγεβρικές σχέσεις (όρια στις ρυθμίζουσες μεταβλητές). Πολλές αριθμητικές μέθοδοι είναι διαθέσιμες. 37

38 Επίτευξη μαθησιακών στόχων Στο τέλος αυτής της ενότητας ο/η εκπαιδευόμενος/η θα πρέπει να μπορεί να: Γνωρίζει τα χαρακτηριστικά της αναλογικής, ολοκληρωτικής και διαφορικής δράσης ενός ελεγκτή PID. Εφαρμόζει τον αλγόριθμο του ελεγκτή PID σε απλά δυναμικά συστήματα απλού βρόχου ανάδρασης. 38

39 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7 η : PID Ελεγκτής Β. Επιλογή παραμέτρων ελεγκτή για δυναμική επίδοση Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών

40 Στόχοι της ενότητας (Μέρος Β) Παράθεση στόχων απόκρισης κλειστού βρόχου με τη ρύθμιση του ελεγκτή. Εφαρμογή διαδικασίας ρύθμισης χρησιμοποιώντας την απόκριση της διεργασίας και κατάλληλες συσχετίσεις. Ακριβής ρύθμιση. Επιλογή παραμέτρων PID 40

41 Δοκιμή και σφάλμα γιατί δε συνίσταται. Ορισμός προβλήματος ρύθμισης παραμέτρων ελεγκτή. Επίλυση και ανάπτυξη συσχετίσεων. Ziegler-Nichols, Ciancone-Marlin, καμπύλη απόκρισης. Σύνθεση ελεγκτών με βάση την απόκριση κλειστού βρόχου. Επιλογή παραμέτρων με βελτιστοποίηση δυναμικής απόκρισης. Εφαρμογή συσχετίσεων σε παραδείγματα. Ακριβής ρύθμιση. Επιλογή παραμέτρων PID Περίληψη της ενότητας (Μέρος Β) 4

42 Επιλογή παραμέτρων PID Πώς εφαρμόζεται η ίδια εξίσωση σε διαφορετικές διεργασίες; Πώς επιτυγχάνεται η επιθυμητή δυναμική απόδοση; ΕΠΙΛΟΓΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΕΛΕΓΚΤΗ t dy Ut KcE t E t' dt' τd I τi dt 0 Οι παράμετροι ρυθμίζονται ανάλογα με τη διεργασία για να επηρεασθεί η δυναμική συμπεριφορά του συστήματος κλειστού βρόχου. 4

43 Επιλογή παραμέτρων PID Υπάρχει απλούστερος τρόπος από τη δοκιμή και σφάλμα;.5 x 04 Step Response Step Response Step Response Amplitude Amplitude Amplitude Time (sec) Time (sec) Time (sec) Δοκιμή : ασταθής, ζημιά Δοκιμή : πολύ αργή, ζημιά Δοκιμή n: Ικανοποιητική, αλλά μετά από πολλές προσπάθειες και υψηλό κόστος. 43

44 Επιλογή παραμέτρων PID Μέθοδος Ziegler-Nichols Trans ASME, v. 64, p. 759, 94 Διατηρείται μόνο ο αναλογικός όρος του ελεγκτή (δηλαδή μηδενίζεται ο ολοκληρωτικός και ο διαφορικός όρος). Επιβάλλεται μια μικρή βηματική μεταβολή στο σημείο αναφοράς. Απορυθμίζεται ο ελεγκτής, αυξάνοντας σταδιακά το αναλογικό κέρδος, Κ c, μέχρι να επιτευχθεί οριακή ταλάντωση σταθερού εύρους για τη ρυθμιζόμενη μεταβλητή για το οριακό κέρδος Κ c =Κ cu (ultimate gain). Μετράται η οριακή περίοδος της ταλάντωσης Τ u (ultimate period). Ορίζεται ως επιθυμητή απόκριση ένας λόγος απόσβεσης των ταλαντώσεων ίσος με /4. 44

45 Επιλογή παραμέτρων PID: Ziegler Nichols K c τ Ι τ D P K cu / - - PI K cu /. T u /. - PID* K cu /.7 T u / T u /8 Σχόλια: Κ c μικρότερο στον PI λόγω καθυστέρησης φάσης από ολοκληρωτικό όρο. Κ c μεγαλύτερο στον PID λόγω προήγησης φάσης από διαφορικό όρο. ' * ' τ Ds τ Ds G PID(s) Kc G ' ' PID(s) Kc τis aτds τi s aτds ' ' ' ' ' ' ' ' ' K K τ τ,τ τ τ,τ τ τ / τ τ c c D I I I D D I D I D 45

46 Επιλογή παραμέτρων PID: Tyreus-Luyben Tyreus and Luyben (Ind. & Eng. Chem. Research, 3, p 65, 99) K c τ Ι τ D PI 0.3K cu.t u - PID 0.45K cu.t u T u /6.3 46

47 Επιλογή παραμέτρων PID: Ziegler Nichols Χαρακτηριστική εξίσωση συστήματος: K s 3. 7s s K c cτd s.. Kc s. 0 τ Θέτουμε /τ Ι =0 και τ D =0: s 3. 7s s s K c 0 Ι Για τον υπολογισμό του απόλυτου κέρδους θέτουμε s=jω και Κ c =K cu Από την εξίσωση του πραγματικού και μιγαδικού μέρους με το μηδέν λαμβάνουμε ω u =.359 rad/s, K cu =0.44, T u =π/ω u K c τ Ι τ D PID

48 Επιλογή παραμέτρων PID Προσδιορισμός μοντέλου διεργασίας από πειραματικά δεδομένα. Pressure, kpa Time, min Ορισμός προβλήματος επιλογής παραμέτρων ελεγκτή. Δυναμική διεργασίας.. Μετρούμενη μεταβλητή. 3. Σφάλμα μοντέλου. 4. Εξαναγκασμένη διέγερση. 5. Τύπος ελεγκτή. 6. Δείκτες δυναμικής επίδοσης. Εφαρμογή ελεγκτή. 48

49 Controlled Variable Controlled Variable Controlled Variable Controlled Variable Controlled Variable Επιλογή παραμέτρων PID Ορισμός προβλήματος. Δυναμική διεργασίας. Μετρούμενη μεταβλητή 3. Σφάλμα μοντέλου 4. Εξαναγκασμένη είσοδος 5. Ελεγκτής 6. Δείκτες απόδοσης DYNAMIC SIMULATION ης τάξης με νεκρό χρόνο Time Ο ελεγκτής PID λειτουργεί επιτυχώς για μια μεγάλη ομάδα διεργασιών ανάδρασης. DYNAMIC SIMULATION ν-τάξης με νεκρό χρόνο Time DYNAMIC SIMULATION.5 ασταθής Time DYNAMIC SIMULATION.5 ολοκληρωτής Time DYNAMIC SIMULATION.5 υποκρίσιμη Time Marlin ΤΕ, Process Control, McGraw-Hill,

50 Controlled Variable Controlled Variable Controlled Variable Επιλογή παραμέτρων PID Ορισμός προβλήματος. Δυναμική διεργασίας DYNAMIC SIMULATION Αναπτύσσονται συσχετίσεις επιλογής παραμέτρων για αυτές τις δυναμικές.. Μετρούμενη μεταβλητή 3. Σφάλμα μοντέλου 4. Εξαναγκασμένη είσοδος Time DYNAMIC SIMULATION Time DYNAMIC SIMULATION Πιο συχνά εμφανιζόμενες. Παλινδρόμηση μοντέλου με βάση την καμπύλη απόκρισης. 5. Ελεγκτής 6. Δείκτες απόδοσης Time Λοιπές διεργασίες χρειάζονται ίσως περισσότερες προσπάθειες. Marlin ΤΕ, Process Control, McGraw-Hill,

51 Επιλογή παραμέτρων PID Ορισμός προβλήματος. Δυναμική διεργασίας. Μετρούμενη μεταβλητή 3. Σφάλμα μοντέλου 4. Εξαναγκασμένη είσοδος 5. Ελεγκτής 6. Δείκτες απόδοσης Πραγματική κατάσταση: Η μετρούμενη μεταβλητή περιλαμβάνει το θόρυβο του αισθητήρα και την επίδραση διαταραχών υψηλής συχνότητας. Pressure, kpa Marlin ΤΕ, Process Control, McGraw-Hill, Time, min 5

52 Manipulated Variable Controlled Variable Επιλογή παραμέτρων PID Ορισμός προβλήματος. Δυναμική διεργασίας. Μετρούμενη μεταβλητή 3. Σφάλμα μοντέλου 4. Εξαναγκασμένη είσοδος 5. Ελεγκτής 6. Δείκτες απόδοσης Marlin ΤΕ, Process Control, McGraw-Hill, Πραγματική κατάσταση: Tο μοντέλο δεν αντιπροσωπεύει τη διεργασία ακριβώς. Θεωρείται ότι το μοντέλο έχει 5% σφάλμα στο κέρδος, τη σταθερά χρόνου και το νεκρό χρόνο. Παράδειγμα: Time G P s Κέρδος.5.5 CV s MV s s 0. e 0 s DYNAMIC SIMULATION Time Νεκρός χρόνος Σταθερά χρόνου

53 Επιλογή παραμέτρων PID Ορισμός προβλήματος. Δυναμική διεργασίας. Μετρούμενη μεταβλητή 3. Σφάλμα μοντέλου 4. Εξαναγκασμένη είσοδος 5. Ελεγκτής 6. Δείκτες απόδοσης Marlin ΤΕ, Process Control, McGraw-Hill, 995 Πραγματική κατάσταση: Δυο τύποι σήματος εισόδου χρησιμοποιούνται, βηματικές μεταβολές στο σημείο αναφοράς και στη διαταραχή. T F Ρεύμα θερμαντικού μέσου T3 L T F Σημείο αναφοράς 53

54 Επιλογή παραμέτρων PID Ορισμός προβλήματος. Δυναμική διεργασίας. Μετρούμενη μεταβλητή 3. Σφάλμα μοντέλου 4. Εξαναγκασμένη είσοδος 5. Ελεγκτής 6. Δείκτες απόδοσης Πραγματική κατάσταση: Χρησιμοποιούμε τον ελεγκτή PID που ενδείκνυται για κάθε απλό βρόχο (-ΡΜ, -ΧΜ). T F T3 L TC F Σημείο αναφοράς Marlin ΤΕ, Process Control, McGraw-Hill,

55 Χειραγωγούμενη μεταβλητή Ρυθμιζόμενη μεταβλητή Επιλογή παραμέτρων PID Ορισμός προβλήματος. Δυναμική διεργασίας. Μετρούμενη μεταβλητή 3. Σφάλμα μοντέλου 4. Εξαναγκασμένη είσοδος 5. Ελεγκτής 6. Δείκτες απόδοσης Marlin ΤΕ, Process Control, McGraw-Hill, 995 ΡΜ δυναμική συμπεριφορά: Ευσταθής, μηδενικό σφάλμα, ελάχιστο IAE. Οι ΧΜ μπορούν να είναι πιο απότομες στο πρώτο στάδιο της απόκρισης. ΧΜ δυναμική συμπεριφορά: ταλαντώσεις και μικρές διακυμάνσεις λόγω σφάλματος (ΙΑΕ, ΙSE). Όριο στη ΧΜ 55

56 Manipulated Variable Επιλογή παραμέτρων PID Ορισμός προβλήματος. Δυναμική διεργασίας. Μετρούμενη μεταβλητή 3. Σφάλμα μοντέλου 4. Εξαναγκασμένη είσοδος 5. Ελεγκτής 6. Δείκτες απόδοσης Marlin ΤΕ, Process Control, McGraw-Hill, 995 Ο κύριος στόχος είναι η διατήρηση της ΡΜ κοντά στο σημείο αναφοράς. Ωστόσο επιβάλλεται και η τήρηση στόχων για τη ΧΜ Παροχή καυσίμου Time Μεγάλη, ταχεία μεταβολή στην παροχή του καυσίμου μπορεί να δημιουργήσει υπερβολική θερμική τάση στους σωλήνες και τα υλικά του καυστήρα. 56

57 G s G s G s θs Ke τs Επιλογή παραμέτρων PID τ s τ s τ s Ke Ke θs θs G C (s) ζτs G v (s) D(s) Η διεργασία G(s)=G v (s)g p (s)g s (s) χαρακτηρίζεται από ένα μοντέλο ης ή ης τάξης με νεκρό χρόνο. G d (s) R(s) E(s) U(s) + + Μέθοδος Καμπύλης Απόκρισης Y m (s) G P (s) G S (s) + Y(s) 57

58 Μέθοδος Καμπύλης Απόκρισης G C (s) G v (s) D(s) G d (s) R(s) E(s) U(s) + + Y m (s) G P (s) G S (s) + Y(s) Τίθεται το σύστημα σε χειροκίνητο έλεγχο (ανοικτός βρόχος). Εφαρμόζεται μια βηματική μεταβολή στο σήμα του ενεργοποιητή, αρκετά μεγάλη ώστε να γίνει αισθητή στην έξοδο του συστήματος αλλά όχι να προκαλέσει την εμφάνιση μη γραμμικών φαινομένων. Καταγράφεται η καμπύλη απόκρισης της μεταβλητής εξόδου. Προσεγγίζεται η καμπύλη απόκρισης με μία συνάρτηση ης τάξης με νεκρό χρόνο. C s θs Ke τs Δm s C t KΔmu t- q e t θ /τ 58

59 G s Μέθοδος Καμπύλης Απόκρισης Ke θs 0s 30s 3s τs G A s 7. s 08. e 54. 3s G B s 7. s 08. e 37. s Φέρεται την εφαπτόμενη από το σημείο μέγιστης κλίσης της σιγμοειδούς καμπύλης απόκρισης. Η τομή της εφαπτομένης με τον άξονα του χρόνου προσδιορίζει προσεγγιστικά το νεκρό χρόνο, θ. Η ασύμπτωτος στην καμπύλη απόκρισης για t χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του κέρδους Κ=ΔΥ m /ΔU. Προσεγγίζεται η σταθερά χρόνου από το χρόνο που η απόκριση χρειάζεται για να φθάσει το 63.% της τελικής τιμής (αφαιρούμε την καθυστέρηση χρόνου). Εναλλακτικά υπολογίζεται από το σημείο τομής της καθέτου από το σημείο τομής της εφαπτομένης με την τελική τιμή της διεργασίας με τον οριζόντιο άξονα. 59

60 G s Μέθοδος Καμπύλης Απόκρισης Ke θs 0s 30s 3s τs G A s 7. s 08. e 54. 3s G B s 7. s 08. e 37. s 60

61 Μέθοδος Καμπύλης Απόκρισης Εμπειρικές συσχετίσεις με βάση καμπύλη απόκρισης ης τάξης με νεκρό χρόνο Ziegler-Nichols, Κριτήριο ¼ λόγος απόσβεσης ταλαντώσεων. K c τ Ι τ D P (τ/θ)/k - - PI 0.9(τ/θ)/K 3.33θ - PID.(τ/θ)/K.0θ.θ Cohen-Coon, Κριτήριο ¼ λόγος απόσβεσης ταλαντώσεων. K c τ Ι τ D P (τ/θ)(+θ/3τ)/k - - PI (τ/θ)(0.9+θ/τ)/k θ(30+3θ/τ)/(9+0θ/τ) - PID (τ/θ)(6τ+3θ)/(kτ) θ(3+6θ/τ)/(3+8θ/τ) 4θ/(+θ/τ) 6

62 Μέθοδος Καμπύλης Απόκρισης Εμπειρικές συσχετίσεις με βάση καμπύλη απόκρισης ης τάξης με νεκρό χρόνο Ελαχιστοποίηση δείκτη ISE για μεταβολές στις διαταραχές. K c τ Ι τ D P 0.90(θ/τ) /Κ - - PI 0.984(θ/τ) /Κ τ(θ/τ) / PID.435(θ/τ) -0.9 /Κ τ(θ/τ) / τ (θ/τ).37 Ελαχιστοποίηση δείκτη ISE για μεταβολές του σημείου αναφοράς. K c τ Ι τ D PI 0.758(θ/τ) /Κ τ/[ (θ/τ)] - PID.086(θ/τ) /Κ τ/[ (θ/τ)] 0.348τ(θ/τ)

63 Συστήματα ης τάξης + νεκρό χρόνο G s τ s K e p θs ζτs K c τ Ι τ D IMC- Chien ζτ ζτ τ Κ λ θ ζ p ΙΜC- ζτ λ θ Mac p Κ λ θ ζτ λ θ τ τ τ τ Ι θ 6 λ θ λ=max(0.5θ, 0.τ) Panda et al, ISA Trans, v. 43, p. 83, Ι 63

64 Μέθοδος Καμπύλης Απόκρισης Παρατηρήσεις: Η Κ c επιλέγεται αντιστρόφως ανάλογη του κέρδους του ανοικτού βρόχου Κ p K v K s. Η K c ελαττώνεται με την αύξηση του θ/τ. Οι τ Ι και τ D αυξάνονται καθώς ο λόγος θ/τ αυξάνεται (συνήθως έχουμε τ D =0.5τ Ι ). Μείωση της Κ c αν αυξηθεί η ολοκληρωτική δράση (αποφυγή αστάθειας). Αύξηση της Κ c αν αυξηθεί η διαφορική δράση (καθώς η διαφορική δράση βελτιώνει το περιθώριο ευστάθειας). Για μείωση των ταλαντώσεων μειώνουμε την Κ c και αυξάνουμε την τ Ι. Συσχετίσεις για άλλα κριτήρια απόδοσης (ελαχιστοποίηση ΙΑΕ, ISE, ITAE). 64

65 Επιλογή παραμέτρων PID: Ciancone Marlin Ορισμός προβλήματος. Δυναμική διεργασίας. Μετρούμενη μεταβλητή 3. Σφάλμα μοντέλου 4. Εξαναγκασμένη είσοδος 5. Ελεγκτής 6. Δείκτες απόδοσης Marlin ΤΕ, Process Control, McGraw-Hill, 995 Κατάστρωση συσχετίσεων Μοντέλο διεργασίας: ης τάξης με νεκρό χρόνο. Θορυβώδες σήμα μέτρησης. ± 5% σφάλμα μεταξύ μοντέλου διεργασίας. Ελεγκτής PID: προσδιορισμός K c, τ I, τ d. Ελαχιστοποίηση IAE σε ΡΜ με ΧΜ εντός ορίων. Επίτευξη στόχων με ρύθμιση των K c, τ I και τ D. Η ρύθμιση του ελεγκτή δεν είναι η βέλτιστη για μια συγκεκριμένη περίπτωση, αλλά είναι η βέλτιστη για μια ομάδα πιθανών δυναμικών συμπεριφορών. Ενισχύει τη σθεναρότητα του ελεγκτή. 65

66 Μέθοδος Ciancone Marlin Η επίλυση κάθε προβλήματος θα οδηγούσε σε χρονοβόρα διαδικασία. Οι Ciancone και Marlin δημιούργησαν συσχετίσεις με αδιάστατες μεταβλητές. Μέθοδος Ciancone-Marlin Ανεξάρτητη μεταβλητή θ s' T θ τ d e KcKp s' TI τ s' θ τ s' CV s θ τ θ τ MV s θ s' T θ τ d e KcKp s' TI θ τ τ s' s' θ τ θ τ Παράμετροι ελεγκτή σε αδιάστατη μορφή 66

67 Γραφήματα για PID ελεγκτές Επιλογή παραμέτρων PID: Ciancone Marlin Μεταβολή στη διαταραχή θ/(θ+τ) Κ c K p τ Ι /(θ+τ) τ D /(θ+τ) Μεταβολή στο σημείο αναφοράς θ/(θ+τ) Κ c K p τ Ι /(θ+τ) τ D /(θ+τ) Marlin ΤΕ, Process Control, McGraw-Hill, 995 Τα γραφήματα συνοψίζουν ένα μεγάλο αριθμό περιπτώσεων (Οι τιμές στους πίνακες είναι κατά εκτίμηση από τα αντίστοιχα διαγράμματα). 67

68 Γραφήματα για PI ελεγκτές Επιλογή παραμέτρων PID: Ciancone Marlin Μεταβολή στη διαταραχή θ/(θ+τ) Κ c K p τ Ι /(θ+τ) Μεταβολή στο σημείο αναφοράς θ/(θ+τ) Κ c K p τ Ι /(θ+τ) Marlin ΤΕ, Process Control, McGraw-Hill, 995 Τα γραφήματα συνοψίζουν ένα μεγάλο αριθμό περιπτώσεων (Οι τιμές στους πίνακες είναι κατά εκτίμηση από τα αντίστοιχα διαγράμματα). 68

69 Επιλογή παραμέτρων PID Ακριβής Ρύθμιση: Οι μέθοδοι που παρουσιάστηκαν δίνουν τιμές για τις παραμέτρους του PID με αρκετά ικανοποιητική δυναμική επίδοση. Ωστόσο, καθώς οι συσχετίσεις προέρχονται από γενικευμένες μεθόδους χρειάζεται η προσαρμογή των παραμέτρων στην επιμέρους διεργασία και στην παρούσα επίδοση του βρόχου. Μερικοί βρόχοι έχουν διαφορετικά κριτήρια απόδοσης. Μερικοί βρόχοι μπορεί να έχουν διαφορετική δυναμική από σύστημα ης τάξης με νεκρό χρόνο. Η απόκριση του συστήματος μπορεί να έχει σφάλματα λόγω διαταραχής κατά τη διάρκεια του πειράματος. Η δυναμική του συστήματος μπορεί να αλλάξει με αλλαγή στο σημείο λειτουργίας. 69

70 Επιλογή παραμέτρων PID με σύνθεση ελεγκτή Y s Gc s G s Ts R s G s G s Βήμα ο: Ορίζεται η επιθυμητή απόκριση του κλειστού βρόχου. Y s R s T Βήμα ο: Προσδιορίζεται το μοντέλο της διεργασίας. g G s G s G s G s Βήμα 3ο: Λύνεται ως προς G c (s). G c s c g s v p s s Tg T s G s g 70

71 Επιλογή παραμέτρων PID με σύνθεση ελεγκτή Επιλέγεται ο ελεγκτής PID με βάση την επιθυμητή απόκριση του συστήματος κλειστού βρόχου Τ(s). sgs Gc T s Tg s G s G s λs c cl c cl cl Gc s G s ω T s Tg s G s G s s ξω ω R(s) E(s) U(s) + G C (s) G(s) Y(s) Λύνοντας ως προς G c (s): G c s s Tg T s G s g Αντιστροφή μοντέλου Διεργασίας. 7

72 Επιλογή παραμέτρων PID με σύνθεση ελεγκτή Σύστημα ελέγχου ανάδρασης D(s) R(s) E(s) U(s) + G C (s) G(s) + + Y(s) Σύστημα ελέγχου ανάδρασης με «εσωτερικό μοντέλο» διεργασίας. D(s) R(s) E(s) U(s) + G C (s) G(s) G m (s) Y(s) 7

73 Επιλογή παραμέτρων PID με σύνθεση ελεγκτή Μοντέλο διεργασίας: G s K τs Επιθυμητή απόκριση κλειστού βρόχου: T s λs g G c s T g T s λs τs s Gs K λs K g λs τ G c s λk λks τs PI ελεγκτής Κ τ λκ, τ τ c Ι 73

74 Έλεγχος ταχύτητας οχήματος Εφαρμογή PID στον έλεγχο ταχύτητας οχήματος. Y = ταχύτητα οχήματος. U = δύναμη στην κατεύθυνση της κίνησης. Προδιαγραφές απόκρισης κλειστού βρόχου. Χρόνος ανόδου < 5 sec. Ποσοστό υπερύψωσης < 0%. Σφάλμα σε μόνιμη κατάσταση < %. u Υ Παραδοχές:. Η οπισθέλκουσα δύναμη λόγω (ιξώδους) τριβής είναι ανάλογη της ταχύτητας.. Η δυναμική του ταχύμετρου είναι αμελητέα. 3. Η δυναμική του ενεργοποιητή είναι αμελητέα. Y U m=000 kg b=50 N s/m u=500 N s s ms b bυ K=/b=0.0 m/(n s), τ=m/b=0 s Matlab αρχείο: cruise.m 74

75 Έλεγχος ταχύτητας οχήματος Σύνθεση ελεγκτή (ρύθμιση PI). K c =500, τ Ι =0 Κ τ λκ, τ τ c λ=0 s Κ c =00, τ Ι =0 λ=5 s Κ c =00, τ Ι =0 λ= s Κ c =500, τ Ι =0 Ι b+50% b-50% 75

76 Επιλογή παραμέτρων PID με σύνθεση ελεγκτή Μοντέλο διεργασίας μεσαίας απόσβεσης ζ > 0.6. K Gs s ζω s ω Επιθυμητή απόκριση κλειστού βρόχου: T g s s ω a cl ξωcls ωcl as s G c s T g T s s s Gs a s a s K g ζωs ω G c s K P K I s K D τ D s s Ισοδύναμος με PID ελεγκτή. 76

77 Επιλογή παραμέτρων PID με σύνθεση ελεγκτή cl cl D D I P ω ξ a, ω a a a τ, Ka ω a a ζωa a K Ka ω K, Ka ω a ζωa K 3 77

78 Επιλογή παραμέτρων PID με σύνθεση ελεγκτή Παρατηρήσεις: Η επίδοση του ελεγκτή στηρίζεται στην καλή γνώση του μοντέλου της διεργασίας. Η επιλογή της επιθυμητής απόκρισης πρέπει να οδηγεί σε σύνθεση ενός ευσταθούς και κανονικού (βαθμός αριθμητή βαθμός παρονομαστή) ελεγκτή. Η αντιστροφή του μοντέλου δεν είναι πάντα εφικτή (π.χ. παρουσία νεκρού χρόνου στη διεργασία). Απαιτείται ειδικός χειρισμός. Η παρουσία μηδενικών στο ΔΗΕ στο μοντέλο της διεργασίας οδηγεί σε μη σταθερό ελεγκτή (ανεπιθύμητη συμπεριφορά). Απαιτείται ειδικό χειρισμός. Η συμπεριφορά της χειραγωγούμενης μεταβλητής πρέπει να συμπεριληφθεί στην επιλογή των παραμέτρων. 78

79 Επίτευξη μαθησιακών στόχων Στο τέλος αυτής της ενότητας ο/η εκπαιδευόμενος/η θα πρέπει να μπορεί να: Γνωρίζει τα χαρακτηριστικά της αναλογικής, ολοκληρωτικής και διαφορικής δράσης ενός ελεγκτή PID. Εφαρμόζει τον αλγόριθμο του ελεγκτή PID σε απλά δυναμικά συστήματα απλού βρόχου ανάδρασης. Επιλέγει τις κατάλληλες τιμές των παραμέτρων του ελεγκτή για την επίτευξη της επιθυμητής συμπεριφοράς του κλειστού βρόχου. 79

80 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Δρ Παπαδόπουλος Αθανάσιος Δρ Αγγελική Μονέδα Θεσσαλονίκη, Μάιος 04