ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ 5: ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ Salviati: Εκεί που δεν μας βοηθούν οι αισθήσεις πρέπει να παρέμβει η λογική, γιατί μόνο αυτή θα επιτρέψει να εξηγήσουμε τα φαινόμενα ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ Η μαθηματική θεωρία της κίνησης, όπως κάθε ορθολογική θεωρία, θεμελιώνεται σε αξιώματα, δηλαδή σε αποδεκτές αλήθειες που συμφωνούν με τα πειραματικά δεδομένα της φυσικής πραγματικότητας Η κλασική θεωρία της κίνησης βασίζεται σε δυο θεμελιώδη αξιώματα που είναι γνωστά ως Γαλιλαϊκή Αρχή της Σχετικότητας και Νευτώνεια Αρχή του Ντετερμινισμού Η Αρχή του Ντετερμινισμού δηλώνει ότι αν σε μια χρονική στιγμή γνωρίζουμε τη θέση και την ταχύτητα ενός σώματος τότε μπορούμε να προβλέψουμε την εξελικτική του πορεία στο μέλλον και να μάθουμε το παρελθόν της Το γενικό σχήμα του επιστημονικού ντετερμινισμού, βασιζόμενο στη σχέση αιτίας και αποτελέσματος, αποδέχεται την επικράτηση της προδιαγεγραμμένης τάξης Ο Pierre Simn Laplace έγραψε: Πρέπει να αντιμετωπίζουμε την παρούσα κατάσταση του σύμπαντος ως αποτέλεσμα της προηγούμενης κατάστασής του και ως αιτία της επόμενης Μια διάνοια που, σε μια δεδομένη στιγμή, θα γνώριζε όλες τις δυνάμεις που κινούν τη φύση και την αντίστοιχη κατάσταση των όντων που την αποτελούν, ενώ ταυτόχρονα θα ήταν τόσο ευρεία ώστε να μπορεί να αναλύει όλα τα δεδομένα, θα είχε τη δυνατότητα να συμπεριλάβει σε ένα σχήμα τόσο τις κινήσεις των μεγαλύτερων σωμάτων του σύμπαντος όσο και εκείνες των ελάχιστων ατόμων Τίποτε δεν θα ήταν αβέβαιο για αυτήν, το μέλλον και το παρελθόν θα ήταν πάντα παρόντα μπροστά της

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Αρχή του Ντετερμινισμού: Η θέση και η ταχύτητα ενός σώματος σε μια χρονική στιγμή ορίζουν μονοσήμαντα τη μελλοντική και παρελθούσα εξέλιξή του Η αξιωματική αυτή αρχή διασφαλίζει, ως προς την κίνηση ενός υλικού σημείου, την ύπαρξη μιας συνάρτησης ορισμένης στο καρτεσιανό γινόμενο του χώρου των θέσεων, του χώρου των ταχυτήτων και του χρονικού άξονα, με τιμές στο χώρο των θέσεων: f : που, για κάθε δεδομένη αρχική θέση xt ( ) και αρχική ταχύτητα xt ( ), ορίζει την κίνηση ως λύση της θεμελιώδους εξίσωσης: f ( xxt,, ) Αρχή της Σχετικότητας: Υπάρχει μια κλάση προνομιούχων συστημάτων αναφοράς, των καλούμενων αδρανειακών συστημάτων αναφοράς, όπου οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί διατηρούν αναλλοίωτη τη θεμελιώδη εξίσωση της κίνησης Η αξιωματική αυτή αρχή διασφαλίζει την ύπαρξη των αδρανειακών συστημάτων αναφοράς όπου οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί μετατρέπουν κάθε κίνηση που διέπεται από τη θεμελιώδη εξίσωση σε κίνηση που διέπεται από την ίδια εξίσωση αλλά με άλλες αρχικές συνθήκες Ο Γαλιλαίος πρώτος δήλωσε ότι οι νόμοι της κίνησης είναι ίδιοι σε όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς και, λίγο αργότερα, ο Νεύτωνας έδωσε τη θεμελιώδη εξίσωση της κίνησης που ισχύει σε αυτά τα συστήματα αναφοράς Η θεμελιώδης εξίσωση της κίνησης ενός υλικού σημείου αποσυντίθεται σε τρεις διαφορικές εξισώσεις: όπου i f (, ) i xx, i 1,, f ( xx, ) f( xx, ), f( xx, ), f( xx, ) 1 Όταν πρόκειται για N υλικά σημεία που κινούνται ως ενιαίο σύστημα, η θεμελιώδης εξίσωση που διέπει την κίνηση του συστήματός τους στο χώρο συγκροτείται από N διαφορικές εξισώσεις που ορίζονται από μια συνάρτηση της μορφής: N N N f :

ΜΑΘΗΜΑ 5 ο : ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ 45 Στην Κλασική Μηχανική, τα συστήματα αναφοράς είναι χωρικής φύσης * και παραμένουν ανεπηρέαστα από το χρόνο ο οποίος έχει απόλυτη υπόσταση και υπεισέρχεται ως παράμετρος για την καταγραφή των κινήσεων σε κάθε σύστημα αναφοράς Η ανάγκη αξιωματικής εισαγωγής των αδρανειακών συστημάτων αναφοράς οφείλεται στην αδυναμία απόλυτης πειραματικής επαλήθευσης της ύπαρξής τους στη φυσική πραγματικότητα Η αξιωματική εισαγωγή της θεμελιώδους εξίσωσης, ως διαφορικής εξίσωσης ης τάξης, καθορίζει την ορθολογική βάση ανάπτυξης μιας μαθηματικής θεωρίας της κίνησης ανταποκρινόμενης στα πειραματικά δεδομένα της φυσικής πραγματικότητας Η συνάρτηση που υπεισέρχεται στη θεμελιώδη εξίσωση καθορίζεται από τα φυσικά δεδομένα και, εφόσον πληροί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος ύπαρξης και μοναδικότητας των λύσεων των διαφορικών εξισώσεων, ορίζεται μονοσήμαντα η κίνηση, για κάθε δεδομένη αρχική θέση και ταχύτητα, σε ένα διάστημα του χρονικού άξονα Η θεμελιώδης εξίσωση που ισχύει στα αδρανειακά συστήματα αναφοράς διατηρείται αναλλοίωτη από τους γαλιλαϊκούς μετασχηματισμούς και προκύπτουν οι εξής συνέπειες: Συνέπεια 1: Χρονική ομογένεια Οι νόμοι της φύσης παραμένουν αναλλοίωτοι στο πέρασμα του χρόνου και αυτό δηλώνεται μαθηματικά με το ότι οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί χρονικής μεταφοράς: g ( x, t) ( x, t t ), t, διασφαλίζουν ότι αν η θεμελιώδης εξίσωση αποδέχεται ως λύση την x () t, θα αποδέχεται επίσης ως λύση την x ( tt ), για κάθε t Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση που ορίζει τη θεμελιώδη εξίσωση εξαρτάται έμμεσα και όχι άμεσα από το χρόνο, οπότε, με την προϋπόθεση ότι η κίνηση είναι αυτόνομη και δεν επηρεάζεται από εξωτερικούς παράγοντες, ο χρόνος υπεισέρχεται στη θεμελιώδη εξίσωση ως παράμετρος και όχι ως ανεξάρτητη μεταβλητή Όταν η κίνηση ενός συστήματος υλικών σημείων δεν είναι αυτόνομη και επηρεάζεται από εξωτερικούς παράγοντες, η επίδραση αυτή υποκαθίσταται από μια χρονική μεταβολή των παραμέτρων που επηρεάζουν τη θεμελιώδη εξίσωση και τότε ο χρόνος μπορεί να εμφανιστεί ως ανεξάρτητη μεταβλητή Συνεπώς, στις αυτόνομες κινήσεις, η συνάρτηση αυτή ορίζεται στο καρτεσιανό γινόμενο του χώρου των θέσεων και του χώρου των ταχυτήτων και η θεμελιώδης εξίσωση διατυπώνεται ως εξής: f ( xx, ) * Στη Θεωρία της Σχετικότητας, η φύση των συστημάτων αναφοράς είναι χωροχρονική και οι μετρήσεις επηρεάζονται από την κινητική τους κατάσταση όταν η ταχύτητά τους πλησιάζει την ταχύτητα του φωτός

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Συνέπεια : Χωρική ομογένεια Ο χώρος είναι ομογενής, δηλαδή έχει παντού ίδιες φυσικές ιδιότητες και αυτό δηλώνεται μαθηματικά με το ότι οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί χωρικής μεταφοράς: g ( x, t) ( x x, t), x, διασφαλίζουν ότι αν η θεμελιώδης εξίσωση αποδέχεται ως λύση την x () t, θα αποδέχεται επίσης ως λύση την x () t x, για κάθε x Συνέπεια : Χωρική ισοτροπία Ο χώρος είναι ισότροπος, δηλαδή δεν διαθέτει κάποια προνομιούχο διεύθυνση και αυτό δηλώνεται μαθηματικά με το ότι οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί χωρικής στροφής: g ( x, t) ( Sx, t), S (), διασφαλίζουν ότι αν η θεμελιώδης εξίσωση αποδέχεται ως λύση την x () t, θα αποδέχεται επίσης ως λύση την x S () t, για κάθε S () Συνεπώς, η συνάρτηση που ορίζει τη θεμελιώδη εξίσωση πληροί τη συνθήκη: Συνέπεια 4: Αδρανειακή κίνηση f ( Sx, Sx) Sf( x, x ), S () Οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί αδρανειακής μετατόπισης: g ( x, t) ( x v t, t), v, υποδεικνύουν ότι η θεμελιώδης εξίσωση διατηρείται άθικτη στα συστήματα αναφοράς που κινούνται ευθύγραμμα ομαλά ως προς κάποιο αδρανειακό σύστημα αναφοράς Αυτό σημαίνει ότι κάθε σύστημα αναφοράς που κινείται ευθύγραμμα ομαλά ως προς κάποιο αδρανειακό σύστημα αναφοράς είναι και αυτό αδρανειακό σύστημα αναφοράς Εντοπισμός της θέσης ενός σώματος από δυο παρατηρητές σε αντίστοιχα συστήματα αναφοράς

ΜΑΘΗΜΑ 5 ο : ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ 47 Συγκεκριμένα, αν κάποια χρονική στιγμή, η θέση ενός υλικού σημείου καταγράφεται σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς ως εξής: x() t x (), t x (), t x () t 1 και, την ίδια στιγμή, καταγράφεται σε ένα σύστημα αναφοράς που κινείται ευθύγραμμα ομαλά ως προς το ως εξής: τότε προκύπτει: x() t x(), t x(), t x() t, 1 x() t x () t v t x ()= t x ()+ t v x()= t x () t, 1,, i i i i i i i i i Συνεπώς, η θεμελιώδης εξίσωση της κίνησης έχει ίδια έκφραση σε όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς Δυο παρατηρητές που βρίσκονται σε αδρανειακά συστήματα αναφοράς και καταγράφουν μια συγκεκριμένη κίνηση, ο καθένας στο δικό του σύστημα αναφοράς, κάθε χρονική στιγμή, της αποδίδουν διαφορετική θέση και διαφορετική ταχύτητα αλλά ίδια επιτάχυνση και έτσι δηλώνουν ότι η κίνηση διέπεται από την ίδια θεμελιώδη εξίσωση Αν όμως κάποιος από αυτούς βρίσκεται σε μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς τότε αντιλαμβάνεται και ερμηνεύει διαφορετικά την επιτάχυνση άρα την κίνηση και για το λόγο αυτό διαφωνεί για τη μορφή της συνάρτησης η οποία ορίζει τη θεμελιώδη εξίσωση που διέπει την κίνηση: * f ( xx, ) Αδρανειακό σύστημα αναφοράς Μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς Τροχιές κινήσεων όπως τις αντιλαμβάνεται ένας αδρανειακός και ένας μη αδρανειακός παρατηρητής * Σε ένα σύστημα αναφοράς που εκτελεί πχ ευθύγραμμη επιταχυνόμενη κίνηση ως προς ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς, η μορφή της θεμελιώδους εξίσωσης αλλοιώνεται αφού ισχύει: x() t x () t v () t t x () t x () t v () t v () t t x() t x () t v () t v () t t, i 1,, i i i i i i i i i i i

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Παραδείγματα καταγραφής κινήσεων σε διαφορετικά συστήματα αναφοράς Αν σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς η συνάρτηση που ορίζει τη θεμελιώδη εξίσωση της κίνησης είναι μηδενική τότε το ίδιο ισχύει σε όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς και αυτό σημαίνει ότι στα αδρανειακά συστήματα αναφοράς καταγράφεται ευθύγραμμη ομαλή κίνηση και σε κάποια από αυτά κατάσταση ακινησίας: 0 x() t x v t, x, v Στα μη αδρανειακά συστήματα αναφοράς η εξίσωση που διέπει αυτή την κίνηση παύει να έχει μηδενικό δεύτερο μέλος και εκεί εμφανίζονται οι λεγόμενοι αδρανειακοί όροι που οφείλονται αποκλειστικά στη μη αδρανειακή φύση του συστήματος αναφοράς Έτσι, ο παρατηρητής που βρίσκεται σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς βεβαιώνει ότι η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλή, αλλά ο παρατηρητής που βρίσκεται σε ένα μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς δηλώνει ότι η κίνηση δεν είναι ευθύγραμμη ομαλή Αν σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς η συνάρτηση που ορίζει τη θεμελιώδη εξίσωση της κίνησης είναι σταθερή τότε το ίδιο ισχύει σε όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς και αυτό σημαίνει ότι στα αδρανειακά συστήματα αναφοράς καταγράφεται ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση: * c 1 x() t x vt ct,, x v Αν σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς η συνάρτηση που ορίζει τη θεμελιώδη εξίσωση της κίνησης είναι γραμμική τότε το ίδιο ισχύει σε όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς, αλλά δεν ισχύει στα μη αδρανειακά συστήματα αναφοράς αφού σε αυτά εμφανίζονται αδρανειακοί όροι οι οποίοι υπεισέρχονται στη θεμελιώδη εξίσωση Στα αδρανειακά συστήματα αναφοράς, οι απλές και χαρακτηριστικές περιπτώσεις γραμμικότητας της θεμελιώδους εξίσωσης έχουν ως εξής: x x x() t x chtv sht, x, v, x() t x cstv sint, x, v * Σε αυτή την περίπτωση υπάγεται ο γαλιλαϊκός νόμος της ελεύθερης πτώσης: v 0 και c (0,0, g ), και η βαλλιστική κίνηση στο πεδίο βαρύτητας κοντά στην επιφάνεια της γης: v 0 και c (0,0, g ), όπου με εξαίρεση τις κατακόρυφες αρχικές ταχύτητες η τροχιά είναι παραβολική

ΜΑΘΗΜΑ 5 ο : ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ 49 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΙΑ ΤΗ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΤΟΝ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟ Ερωτήματα ενός μαθηματικού προς ένα φυσικό: Στην επόμενη εικόνα δίνονται σχηματικά οι τροχιές ενός σωματιδίου όπως καταγράφονται σε ένα αδρανειακό και ένα μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς Πες μου, πώς θα αντιληφθώ το είδος της κίνησης του μη αδρανειακού συστήματος αναφοράς ως προς το αδρανειακό; Ερωτήματα ενός φυσικού προς ένα μαθηματικό: Στην επόμενη εικόνα φαίνεται, σε σμίκρυνση 10 :1, η τροχιά που διέγραψε ένα σωματίδιο από το μεσημέρι μέχρι τα μεσάνυχτα μιας μέρας Δεν γνωρίζουμε το νόμο που διέπει την κίνηση, αλλά ξέρουμε ότι η τροχιά εξελίσσεται σε ένα επίπεδο, η γωνιακή ταχύτητα είναι σταθερή και η ακτινική ταχύτητα είναι κάθε στιγμή ανάλογη προς την απόσταση του σωματιδίου από ένα συγκεκριμένο άγνωστο σε μας σημείο του επιπέδου της κίνησης Πες μου, πώς θα προβλέψω τη μελλοντική πορεία της τροχιάς και θα μάθω το παρελθόν της;