Σύνολα µοναδικότητας τριγωνοµετρικών σειρών και ϑεωρία συνόλων

Σύνολα µοναδικότητας τριγωνοµετρικών σειρών και ϑεωρία συνόλων Βλάσης Μαστραντώνης Περίληψη Το πρόβληµα της µοναδικότητας του αναπτύγµατος µιας συνάρτησης σε τριγωνοµετρική σειρά έχει µεγάλη ιστορία, η οποία ξεκινάει από τον 19ο αιώνα µε τη δουλειά των Riemann, Heine και Cantor. Ενα από τα πολύ ενδιαφέροντα σηµεία αυτής της ιστορίας είναι ότι σχετίζεται άµεσα µε την γέννηση της ϑεωρίας συνόλων : η προσπάθεια του Cantor να κατανοήσει την ϕύση των συνόλων για τα οποία δεν ισχύει η µοναδικότητα (των λεγόµενων συνόλων πολλαπλότητας) τον οδήγησε τελικά στη δηµιουργία της ϑεωρίας συνόλων. ύο ϑεµελιώδεις έννοιες της ϑεωρίας που ανέπτυξε ο Cantor, οι διατακτικοί αριθµοί και η υπερπεπερασµένη επαγωγή, εµφανίζονται για πρώτη ϕορά στις εργασίες του που είχαν ϑέµα τα σύνολα µοναδικότητας και πολλαπλότητας για τριγωνοµετρικές σειρές. Σκοπός αυτής της εργασίας είναι να παρουσιάσει τα πρώτα αποτελέσµατα πάνω σε αυτό το πρόβληµα, µέχρι και τη δουλειά του Cantor. 1 Το πρόβληµα της µοναδικότητας των τριγωνοµετρικών σει- ϱών Μια τριγωνοµετρική σειρά S είναι µια άπειρη σειρά της µορφής (1.1) S a + (a n cos nx + b n sin nx), όπου a n C, x R. Το N-οστό µερικό άθροισµα της σειράς είναι το τριγωνοµετρικό πολυώνυµο (1.) S N (x) = a N + (a n cos nx + b n sin nx). Εάν, για δεδοµένο x, S N (x) s C, τότε γράφουµε (1.3) s = a + (a n cos nx + b n sin nx) 1

και λέµε ότι ο s είναι το άθροισµα της σειράς στο x. Μια συνάρτηση f : R C αναπτύσσεται σε τριγωνοµετρική σειρά, εάν υπάρχει σειρά S της παραπάνω µορφής έτσι ώστε, για κάθε x R, (1.4) f(x) = a + (a n cos nx + b n sin nx). Είναι προφανές ότι κάθε τέτοια συνάρτηση είναι περιοδική µε περίοδο π. Το πρόβληµα του χαρακτηρισµού εκείνων των συναρτήσεων f οι οποίες επιδέχονται α- νάπτυγµα σε τριγωνοµετρκή σειρά είναι εξαιρετικά δύσκολο, αλλά ένα από τα κλασσικά αποτελέσµατα µας εξασφαλίζει ότι κάθε αρκετά «καλή» π-περιοδική συνάρτηση f, για πα- ϱάδειγµα µια συνεχώς παραγωγίσιµη συνάρτηση, αναπτύσσεται σε τριγωνοµετρική σειρά (1.5) f(x) = a + (a n cos nx + b n sin nx), όπου οι συντελεστές a n, b n δίνονται από τους τύπους του Fourier (1.6) a n = 1 π π f(t) cos nt dt και b n = 1 π π f(t) sin nt dt. Το ερώτηµα που ϕυσιολογικά προκύπτει είναι εάν ένα τέτοιο ανάπτυγµα είναι µοναδικό. ηλαδή, εάν υποθέσουµε ότι (1.7) f(x) = a + (a n cos nx + b n sin nx) = a + (a n cos nx + b n sin nx) για κάθε x, είναι σωστό ότι a n = a n και b n = b n για κάθε n; Παρατηρήστε ότι αν ϑέσουµε c n = a n a n και d n = b n b n τότε από την (1.7) µε αφαίρεση προκύπτει (1.8) = c + (c n cos nx + d n sin nx) για κάθε x. Οπότε το πρόβληµα είναι ισοδύναµο µε το εξής : Το πρόβληµα της µοναδικότητας. Εάν a + (a n cos nx + b n sin nx) είναι µια τριγωνοµετρική σειρά και (1.9) = a + (a n cos nx + b n sin nx) για όλα τα x R, αληθεύει ότι a n = b n = για όλα τα n;

Αυτό το πρόβληµα (που προέκυψε από την δουλειά του Riemann και του Heine) πρότεινε ο Heine, το 1869, στον 4-χρονο τότε Cantor, ο οποίος είχε µόλις δεχτεί µια ϑέση στο Πανεπιστήµιο του Halle, όπου ο Heine ήδη εργαζόταν. Στη συνέχεια ϑα περιγράψουµε την λύση του Cantor για το πρόβληµα της µοναδικότητας και ϑα δούµε πώς η αναζήτησή του για επεκτάσεις, οι οποίες να επιτρέπουν την εξαίρεση κάποιων σηµείων, τον οδήγησε στην δηµιουργία της Θεωρίας Συνόλων, στην έννοια του διατακτικού αριθµού και στη µέθοδο της υπερπεπερασµένης επαγωγής. Επίσης, ϑα δούµε πώς αυτή η µέθοδος µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να αποδειχθεί η πρώτη µεγάλη επέκταση αυτού του τύπου. Ας δώσουµε πρώτα µερικούς ϐολικούς συµβολισµούς. Κάθε σειρά (1.1) S a + (a n cos nx + b n sin nx) µπορεί επίσης να γραφεί ως (1.11) S όπου, b = και n= c n e inx (1.1) c n = a n ib n, c n = a n + ib n (n N). Συνεπώς a n = c n +c n και b n = i(c n c n ). Με αυτόν τον συµβολισµό, τα µερικά αθροίσµατα δίνονται από την (1.13) S N (X) = N n= N c n e inx, και, εάν αυτά τα µερικά αθροίσµατα συγκλίνουν στο s καθώς N, γράφουµε (1.14) s = n= c n e inx. Τα συνήθη παραδείγµατα τριγωνοµετρικών σειρών είναι οι σειρές Fourier των ολοκλη- ϱώσιµων συναρτήσων. εδοµένης µιας π-περιοδικής συνάρτησης f : R C, λέµε ότι η f είναι ολοκληρώσιµη αν είναι Lebesgue µετρήσιµη και (1.15) 1 π f(t) dt <. π 3

Σε αυτήν την περίπτωση ορίζουµε τους συντελεστές Fourier f(n), n Z, ως εξής : (1.16) f(n) = 1 π Ονοµάζουµε την τριγωνοµετρική σειρά (1.17) S(f) σειρά Fourier της f, και γράφουµε (1.18) S N (f, x) = για τα µερικά της αθροίσµατα. π + n= N n= N f(t)e int dt. f(n)e inx f(n)e inx Σηµείωση. Υπάρχουν τριγωνοµετρικές σειρές, όπως η + sin nx n= ln n, που συγκλίνουν παντού αλλά δεν είναι σειρές Fourier ολοκληρώσιµης (κατά Riemann) συνάρτησης. Αυτό ϕαίνεται ως εξής : έστω x [, π]. Αν x, π, έχουµε δει ότι N (1.19) sin(nx) = cos x cos ( N + 1 ) x sin x, δηλαδή, (1.) N sin(nx) sin x + 1 sin(x/). n= Άρα, η σειρά n= sin(nx) έχει ϕραγµένα µερικά αθροίσµατα. Το ίδιο ισχύει αν x = ή x = π, ( διότι, σε αυτήν την περίπτωση, έχουµε sin(nx) = για κάθε n. Αφού η ακολουθία 1 ) ln n είναι ϕθίνουσα και µηδενική, από το κριτήριο του Dirichlet συµπεραίνουµε ότι η n τριγωνοµετρική σειρά sin nx (1.1) ln n n= συγκλίνει για κάθε x R. Εστω ότι υπάρχει ολοκληρώσιµη (κατά Riemann) συνάρτηση f ώστε S(f) sin(nx) n= ln n, x R. Τότε, f(n) = ibn(f) = i ln n αν n, f(n) = ibn(f) i = ln( n) αν n και f(n) = αλλιώς. Από την ταυτότητα του Parseval, (1.) f = n= Αυτό είναι άτοπο, διότι 1 n= ln n = +. f(n) = 4 n= 1 4 ln n.

Η ϑεωρία του Riemann Ο Riemann ήταν ο πρώτος µαθηµατικός που µελέτησε σοβαρά τις τριγωνοµετρικές σειρές γενικότερα (και όχι τις σειρές Fourier αποκλειστικά) στην Υφηγεσία του, το 1854. Θα αποδείξουµε δύο από τα κύρια αποτελέσµατά του, που χρησιµοποιήθηκαν από τον Cantor. Τα αποτελέσµατα αυτά είναι όµορφες εφαρµογές στοιχειώδους Απειροστικού Λογισµού. Εστω S n= c ne inx αυθαίρετη τριγωνοµετρική σειρά µε ϕραγµένους συνελεστές. ηλαδή, υπάρχει M > ώστε c n M για κάθε n Z. Ο Riemann είχε την εξαιρετική ιδέα να ϑεωρήσει την συνάρτηση που προκύπτει αν ολοκληρώσουµε τυπικά δύο ϕορές την n= c ne inx. Αυτή η συνάρτηση ονοµαζεται συνάρτηση Riemann F S της S, και ορίζεται ώς εξής : (.1) F S (x) = c x 1 n c ne inx, x R, όπου σηµαίνει ότι το n = εξαιρείται. Προφανώς, αφού οι c n είναι ϕραγµένοι, η F S είναι συνεχής συνάρτηση στο R (αλλά δεν είναι περιοδική), αφού η παραπάνω σειρά συγκλίνει απολύτως και οµοιόµορφα, διότι 1 c n n e inx M n (M-κριτήριο του Weierstrass). Θα ήλπιζε κανείς, διαισθητικά, η F S άθροισµα υπάρχει. Αυτό δεν ισχύει, αλλά ισχύει κάτι παραπλήσιό του. Για δοθείσα συνάρτηση F : R C, ϑέτουµε να συµπίπτει µε το n= c ne inx, αν αυτό το (.) F (x, h) = F (x + h) + F (x h) F (x), και ορίζουµε την δεύτερη συµµετρική παράγωγο ή δεύτερη παράγωγο Schwartz της F στο x ως εξής : (.3) D F (x) = lim h F (x, h) h, αν αυτό το όριο υπάρχει. Σηµείωση. Αν η F S (x) υπάρχει, τότε υπάρχει και η D F S (x), και οι δύο ποσότητες είναι ίσες, αλλά το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει. Για παράδειγµα, η συνάρτηση 1 x > (.4) sgn(x) = x = 1 x < δεν έχει δεύτερη παράγωγο στο αφού δεν είναι συνεχής στο. Οµως, (.5) sgn(x, h) = sgn( + h) + sgn( h) sgn() = 1 + ( 1) =, 5

άρα (.6) D sgn(x, h) sgn(x) = lim h h = lim h h =. Θεώρηµα.1 (το πρώτο λήµµα του Riemann). Εστω S n= c ne inx τριγωνοµετρική σειρά µε ϕραγµένους συνελεστές. Αν το s = n= c ne inx υπάρχει, τότε η D F S (x) υπάρχει, και D F S (x) = s. Απόδειξη. Με υπολογισµούς προκύπτει ότι (.7) F S (x, h) 4h = + n= [ ] sin nh c n e inx nh (για n = συµφωνούµε ότι Λήµµα.. Αν n= a n = a τότε sin nh nh = 1). Οπότε, είναι αρκετό να αποδείξουµε το εξής : lim h [ [ ] ] sin nh a n = a. nh n= Απόδειξη. Θέτουµε A N = N n= a n. Τότε, ( ) [ sin nh (sin ) nh (.8) a n = nh nh n= n= ( ) ] sin (n + 1)h A n. (n + 1)h Εστω h k, h k >. Θέτουµε ( ) sin ( ) nhk sin (n + 1)hk (.9) s kn =. nh k (n + 1)h k Τότε, αρκεί να δείξουµε ότι n k (.1) A n a = A n s kn a. Βλέπουµε τον άπειρο πίνακα (s kn ) ως µια µέθοδο άθροισης, δηλαδή σαν έναν τρόπο να µετασχηµατίσουµε την ακολουθία (x n ) στην ακολουθία n= (.11) (y k ) = (s kn ) (x n ). Με άλλα λόγια, (.1) y k = s kn x n. n= 6

Παράδειγµα.3. Αν s kn = 1 k+1 για n k, s kn = για n > k, τότε y k = x + + x k. k + 1 Μία µέθοδος άθροισης καλείται κανονική αν x n n x = yk k x. Ο Toeplitz απέδειξε το εξής ϑεώρηµα, η απόδειξη του οποίου παραλείπεται. Λήµµα.4. (α) Εστω ότι ο πίνακας (s kn ) ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες, οι οποίες ονο- µάζονται συνθήκες Toeplitz: (i) Για κάθε n N ισχύει s kn k. (ii) Για κάθε k N ισχύει n= s kn c <. (iii) n= s kn k 1. Τότε, ο πίνακας (s kn ) ορίζει κανονική µέθοδο άθροισης. (ϐ) Αν ο πίνακας (s kn ) ικανοποιεί τις (i), (ii) και x n, τότε έχουµε y n. Με ϐάση το λήµµα, είναι αρκετό να ελέγξουµε τις (i), (ii), (iii) για την ( ) sin ( ) nhk sin (n + 1)hk (.13) s kn =. nh k (n + 1)h k Προφανώς, οι (i), (iii) ισχύουν. Για την (ii), ϑέτοντας u(x) = ( ) sinx x έχουµε : αφού (.14) u (x) dx <, ϐλέπουµε ότι (.15) s kn = n= n= (n+1)hk nh k u (x) dx u (x) dx = C <. Συνεπώς, η µέθοδος άθροισης (s kn ) ικανοποιεί τις συνθήκες Toeplitz, άρα είναι κανονική. Επεται ότι : n k (.16) A n a = A n s kn a. Μπορούµε τώρα να δείξουµε την (.1). Αν h k είναι ακολουθία ϑετικών πραγµατικών αριθµών k µε h k, έχουµε [ (sin ) ( ) ] nhk sin (n + 1)hk (.17) lim A n = a, k nh n= k (n + 1)h k 7 n=

και αφου η (s kn ) είναι κανονική, έχουµε [ [ ] ] sin nhk (.18) lim a n = a. k nh k n= Συνεπώς, αν s = c n e inx, εφαρµόζοντας το παραπάνω µε a n = c n e inx και a = s για την τυχούσα (h k ) µε h k > και h k, έχουµε ότι lim + h n= [ sin nh nh ] c n e inx F S (x, h) = s = lim h 4h = s = D F S (x) = s, το οποίο αποδεικνύει το πρώτο λήµµα του Riemann. Θεώρηµα.5 (το δεύτερο λήµµα του Riemann). Εστω S c n e inx τριγωνοµετρική σειρά µε c n. Τότε (.19) F S (x, h) h οµοιόµορφα ως προς x καθώς το h. = F S(x + h) + F S (x h) F S (x) h, Απόδειξη. Κάνοντας πράξεις, έχουµε (.) F S (x, h) 4h = sin nh n h c ne inx, (όπου, για n =, το sin nh n h γίνεται h). Εστω < h k 1, h k και (.1) t kn = sin (nh k ) n h k. Πρέπει να δείξουµε ότι (c n e inx t kn ) καθώς k, οµοιόµορφα ως προς x. Επειδή c n e inx, οµοιόµορφα ως προς x, αρκεί να επαληθεύσουµε ότι η (t kn ) ικανοποιεί τις δύο πρώτες συνθήκες του Toeplitz (i), (ii). Προφανώς η (i) ισχύει. Για να δείξουµε την (ii) σταθεροποιούµε k και επιλέγουµε N > 1 µε (.) N 1 h 1 k < N. 8

Τότε, t kn = και η (ii) αποδείχθηκε. N 1 sin nh k n h k + (N 1) h k + 1 h k 1 + 1 h k n=n n=n n=n sin nh k n h k 1 n 1 n(n 1) = 1 + 1 1 3, h k N 1 Αυτό συνεπάγεται ότι το γράφηµα της F S δεν µπορεί να έχει γωνίες, για παράδειγµα, αν η αριστερή και η δεξιά παράγωγος της F S υπάρχουν σε ένα σηµείο x, τότε πρέπει να είναι ίσες. 3 Το ϑεώρηµα µοναδικότητας του Cantor Το ακόλουθο αποτέλεσµα αποδείχθηκε αρχικά από τον Cantor, ο οποίος αναφερόταν σε «διαστήµατα» αντί για «σύνολα ϑετικού µέτρου». Θεώρηµα 3.1 (λήµµα Cantor-Lebesgue). Αν a n cos (nx) + b n sin (nx) για όλα τα x σε ένα σύνολο ϑετικού µέτρου (Lebesgue), τότε a n, b n. Συνεπώς, εάν n= c ne inx = για όλα τα x σε ένα σύνολο ϑετικού µέτρου, τότε c n. Απόδειξη. Μπορούµε να υποθέσουµε ότι a n, b n R. Θέτουµε ρ n = a n + b n και ϑεωρούµε ϕ n τέτοιο ώστε (3.1) a n cos (nx) + b n sin (nx) = ρ n cos(nx + ϕ n ). Από την υπόθεση, ρ n cos (nx + ϕ n ) για όλα τα x σε ένα σύνολο E [, π) ϑετικού µέτρου. Υποθέτουµε ότι ρ n για να καταλήξουµε σε άτοπο. Τότε, υπάρχουν ε > και n < n 1 < n < τέτοια ώστε ρ nk ε. Τότε, cos (n k x + ϕ nk ), άρα cos (n k x + ϕ nk ), δηλαδή 1+cos (n k x+ϕ nk ) για κάθε x E. Από το ϑεώρηµα κυριαρχηµένης σύγκλισης του Lebesgue έχουµε (1 + cos (n k x + ϕ nk )) dx, E δηλαδή, αν χ E είναι η χαρακτηριστική συνάρτηση του E στο διάστηµα [, π), επεκτεταµένη ώστε να είναι π-περιοδική σε όλο το R, και αν λ(e) είναι το µέτρο Lebesgue του E, έχουµε (3.) λ(e) + π χ E (x) cos (n k x + ϕ nk ) dx = λ(e) + π [Re χ E ( n k ) cos ϕ nk Im χ E ( n k ) sin ϕ nk ]. 9

Θα χρησιµοποιήσουµε το λήµµα Riemann-Lebesgue: Λήµµα 3.. Αν f είναι µια ολοκληρώσιµη π-περιοδική συνάρτηση, τότε f(n) καθώς n. Επεται τώρα από την (3.) ότι λ(e) =, που είναι άτοπο. Αρκεί να δείξουµε ένα ακόµα λήµµα για να δείξουµε το ϑεώρηµα του Cantor. Το λήµµα αποδείχθηκε από τον Schwartz, ο οποίος απήντησε σε σχετικό ερώτηµα του Cantor. Λήµµα 3.3 (Schwartz). Εστω F : (a, b) R συνεχής συνάρτηση, τέτοια ώστε D F (x) για κάθε x (a, b). Τότε, η F είναι κυρτή στο (a, b). Ειδικότερα, αν η F : (a, b) R είναι συνεχής και D F (x) = για κάθε x (a, b), τότε η F είναι γραµµική στο (a, b). Απόδειξη. Αντικαθιστώντας την F µε την F + εx, όπου ε >, και αφήνοντας το ε, µπορούµε να υποθέσουµε ότι D F (x) > για όλα τα x (a, b). Υποθέτουµε ότι η F δεν είναι κυρτή και ϑα καταλήξουµε σε άτοπο. Τότε, υπάρχουν γραµµική συνάρτηση µx + ν και a < c < d < b τέτοια ώστε για την G(x) = F (x) (µx + ν) να έχουµε G(c) = G(d) = και G(x) > για κάποιο x (c, d). Εστω x το σηµείο στο οποίο η G παίρνει µέγιστη τιµή στο [c, d]. Τότε c < x < d. Για αρκετά µικρό h, F (x, h), και άρα D F (x ), το οποίο είναι άτοπο. Τώρα µπορούµε να δείξουµε το εξής : Θεώρηµα 3.4 (Cantor, 187). Αν c n e inx = για κάθε x, τότε c n = για κάθε n Z. Απόδειξη. Εστω S c n e inx. Από το λήµµα Cantor-Lebesgue έχουµε c n καθώς n. Ειδικότερα, η (c n ) είναι ϕραγµένη. Από το πρώτο λήµµα του Riemann έχου- µε D F S (X) = για κάθε x R, και συνεπώς, από το λήµµα του Schwartz η F S είναι γραµµική, δηλαδή, (3.3) c x 1 n c ne inx = ax + b. Θέτοντας x = π, x = π και αφαιρώντας, ϐλέπουµε ότι a =. Θέτοντας x =, x = π και αφαιρώντας, παίρνουµε c =. Άρα, 1 n c ne inx = b. Αφού αυτή η σειρά συγκλίνει οµοιόµορφα, αν m έχουµε = π = c m m, be imx dx = 1 n c n και συνεπώς c m =. Αυτό αποδεικνύει το ϑεώρηµα. π e i(n m)x dx 1

Παρατήρηση 3.5. Ο Kronecker (όταν ακόµα είχε καλές σχέσεις µε τον Cantor) του επισήµανε ότι δεν ήταν απαραίτητο να χρησιµοποιήσει κανείς την c n, δηλαδή, αν κανείς µπορεί να αποδείξει ότι (3.4) cn e inx = για κάθε x R και ότι c n = c n = για κάθε n Z, τότε έπεται ότι (3.5) cn e inx = για κάθε x R = c n = για κάθε n Z. Για να αποδειξουµε αυτόν τον ισχυρισµό, υποθέτουµε το (3.4) και ϑεωρούµε µια σειρά cn e inx τέτοια ώστε c n e inx = για κάθε x R (χωρίς καµία παραπάνω υπόθεση για τους c n ). Θέτοντας x, x + u, x u, προσθέτοντας και διαιρώντας µε, παίρνουµε (3.6) cn e inx cos nu = για κάθε x, u R. Ισοδύναµα, (3.7) c + (a n cos nx + b n sin nx) cos nu = για κάθε x, u R. Σταθεροποιώντας τώρα το x, παρατηρούµε ότι a n cos nx + b n sin nx, διότι c + (a n cos nx + b n sin nx) =. Εφαρµόζοντας την (3.4) παίρνουµε a n cos nx + b n sin nx = για κάθε x και n N, από το οποίο εύκολα ϐλέπουµε ότι a n = b n = για κάθε n N. 4 Σύνολα µοναδικότητας Στη συνέχεια ο Cantor επεξέτεινε το ϑεώρηµα της µοναδικότητας, το 1871, επιτρέποντας πεπερασµένο αριθµό εξαιρουµένων σηµείων. Θεώρηµα 4.1 (Cantor, 1871). Εστω ότι c n e inx = για όλα εκτός από πεπερασµένα το πλήθος x T. Τότε, c n = για κάθε n Z. Απόδειξη. Εστω S c n e inx. Υποθέτουµε ότι για κάποια x 1 < x < < x n < π = x n+1 ισχύει ότι : για κάθε x x i έχουµε c n e inx =. Τότε, από το λήµµα του Schwartz, η F S είναι γραµµική σε κάθε διάστηµα (x n, x n+1 ). Από το δεύτερο λήµµα του Riemann, το γράφηµα της F S δεν έχει γωνίες, και έπεται ότι F S είναι γραµµική στο [, π). Το ίδιο ισχύει ϕυσικά για κάθε διάστηµα µήκους π, οπότε η F S είναι γραµµική και έτσι, όπως και απόδειξη του Θεωρήµατος 3.4, ϐλέπουµε ότι c n = για κάθε n Z. 11

Στα επόµενα ϑα είναι ϐολικό να ταυτίσουµε τον µοναδιαίο κύκλο T = {e ix : x < π} µε το R/πZ µέσω της απεικόνισης x e ix. Συχνά ϐολεύει να σκεφτόµαστε το T ώς το [, π), ή το [, π] µε το και το π να ταυτίζονται. Συναρτήσεις ορισµένες στο T µπορούµε επίσης να τις σκεφτόµαστε ώς π-περιοδικές συναρτήσεις στο R. Συµβολίζουµε µε ν το µέτρο Lebesgue στο T κανονικοποιηµένο έτσι ώστε ν(t) = 1. Τώρα ϑα εισάγουµε την έννοια του συνόλου µοναδικότητας. Ορισµός 4.. Εστω E T. Λέµε ότι το E είναι σύνολο µοναδικότητας αν για κάθε τριγωνοµετρική σειρά c n e inx η οποία συγκλίνει στο σε όλα τα σηµεία που δεν ανήκουν στο E (δηλαδή, c n e inx = αν e ix / E, για το οποίο απλώς ϑα γράφουµε «x E») είναι ταυτοτικά µηδέν. ιαφορετικά, το E καλείται σύνολο πολλαπλότητας. Με αυτήν την ορολογία, το Θεώρηµα 3.4 µας λέει ότι το είναι σύνολο µοναδικότητας, ενώ το Θεώρηµα 4.1 µας λέει ότι κάθε πεπερασµένο σύνολο είναι σύνολο µοναδικότητας. Συµβολίζουµε µε U την κλάση των συνόλων µοναδικότητας και µε M την κλάση των συνόλων πολλαπλότητας. Επόµενος στόχος µας είναι να αποδείξουµε την παρακάτω επέκταση του ϑεωρήµατος του Cantor. Θεώρηµα 4.3 (Cantor, Lebesgue). Κάθε αριθµήσιµο κλειστό σύνολο είναι σύνολο µοναδικότητας. Θα αποδείξουµε το Θεώρηµα 4.3 χρησιµοποιώντας τη µέθοδο της υπερπεπερασµένης επαγωγής. 4.1 Το ϑεώρηµα Cantor-Bendixson Εστω E T κλειστό σύνολο. Ορίζουµε την Cantor-Bendixson παράγωγο E του E ως εξής : (4.1) E = {x E : x είναι σηµείο συσσώρευσης του E}. Παρατηρήστε ότι E E και ότι το E είναι επίσης κλειστό. Για κάθε διατακτικό αριθµό α ορίζουµε µε υπερπεπερασµένη επαγωγή ένα κλειστό σύνολο E (α) ως εξής : E () = E E (α+1) = (E (α) ) E (λ) = α<λ E (α), αν ο λ είναι οριακός διατακτικός. Τα σύνολα E (α) σχηµατίζουν µια ϕθίνουσα ακολουθία κλειστών συνόλων που περιέχονται στο E: (4.) E () E (1) E () E (α) E (β), α β. 1

Λήµµα 4.4. Εστω F α, όπου α διατακτικός αριθµός, µια ϕθίνουσα ακολουθία κλειστών συνόλων. Τότε, υπάρχει αριθµήσιµος διατακτικός α τέτοιος ώστε (4.3) F α = F α +1. Απόδειξη. Σταθεροποιούµε µια ϐάση {U n } της τοπολογίας του T και ορίζουµε (4.4) A α = {n : U n F α = }. Τότε, αν α β έχουµε A α A β. Ας υποθέσουµε ότι το A α είναι γνήσιο υποσύνολο του A α+1 για όλους τους αριθµήσιµους διατακτικούς α. Θέτουµε f(α) τον ελάχιστο ϕυσικό n που ανήκει στο A α+1 \ A α. Τότε, αν συµβολίσουµε µε ω 1 τον πρώτο υπεραριθµήσιµο διατακτικό, τον οποίο µπορούµε να ταυτίσουµε και µε το σύνολο {α : α < ω 1 } όλων των αριθµήσιµων διατακτικών, έχουµε ότι η απεικόνιση f : ω 1 N είναι 1-1, το οποίο είναι άτοπο. Άρα, για κάποιον α < ω 1 έχουµε A α = A α +1, και αυτό σηµαίνει ότι F α = F α +1. Ετσι, για κάθε κλειστό σύνολο E T υπάρχει ένας ελάχιστος αριθµήσιµος διατακτικός α τέτοιος ώστε E (α) = E (α+1). Επεται ότι E (α) = E (β) για κάθε β α. Συµβολίζουµε αυτόν τον διατακτικό µε rk CB (E) και τον καλούµε δείκτη Cantor-Bendixson του E. Επίσης, ορίζουµε E () = E (rk CB(E)). Παρατηρούµε ότι (E () ) = E (), δηλαδή το E () είναι τέλειο σύνολο (κάθε σηµείο του είναι και σηµείο συσσώρευσής του). Το ενδεχόµενο να έχουµε E () = δεν αποκλείεται. Θεώρηµα 4.5. Εστω E T κλειστό σύνολο. Τότε, το σύνολο E \ E () είναι αριθµήσιµο. Ειδικότερα, το E είναι αριθµήσιµο αν και µόνο αν E () =. Απόδειξη. Εστω x E \ E (). Υπάρχει µοναδικός διατακτικός α < rk CB (E) τέτοιος ώστε x E (α) \ E (α+1). Αφού υπάρχουν αριθµήσιµοι το πλήθος τέτοιοι α, αρκεί να δείξουµε ότι : Για κάθε κλειστό σύνολο F, το σύνολο F \ F είναι αριθµήσιµο. Πράγµατι, σταθεροποιούµε µια ϐάση {U n } της τοπολογίας του T και παρατηρούµε ότι αν x F \ F τότε υπάρχει ϕυσικός n ώστε F U n = {x}. Άρα, F \ F = {F U n : το F U n είναι µονοσύνολο}, και το τελευταίο σύνολο είναι προφανώς αριθµήσιµο. 13

4. Απόδειξη του Θεωρήµατος 4.3 Εστω E ένα αριθµήσιµο κλειστό σύνολο. Ας υποθέσουµε ότι η τριγωνοµετρική σειρά S cn e inx ικανοποιεί την cn e inx = για κάθε x / E. Αφού κάθε µεταφορά ενός συνόλου µοναδικότητας είναι σύνολο µοναδικότητας, µπορούµε να κάνουµε την υπόθεση ότι / E. Ετσι, µπορούµε να ϐλέπουµε το E σαν ένα κλειστό σύνολο το οποίο περιέχεται στο (, π). Το συµπλήρωµα οποιουδήποτε κλειστού F E στο (, π) είναι µια ξένη ένωση ανοικτών διαστηµάτων που τα άκρα τους ανήκουν στο F {, π}. Θα ονοµάζουµε τα διαστήµατα αυτά «συµπληρωµατικά διαστήµατα» του F. Θα δείξουµε, µε υπερπεπερασµένη επαγωγή ως προς α, ότι η F S είναι γραµµική σε κάθε συµπληρωµατικό διάστηµα του E (α). Αφού E (α) = για κάποιον α, αυτό ϑα δείξει ότι η F S είναι γραµµική στο (, π) και, όπως στις προηγούµενες αποδείξεις, ϑα µπορέσουµε να συµπεράνουµε ότι c n = για κάθε n Z. 1. Θεωρούµε πρώτα την περίπτωση α = : το Ϲητούµενο ισχύει διότι c n e inx = σε κάθε συµπληρωµατικό διάστηµα του E () = E.. Το ϐήµα α = α + 1: Υποθέτουµε ότι η F S είναι γραµµική σε κάθε συµπληρωατικό διάστηµα του E (α). Εστω (a, b) ένα συµπληρωµατικό διάστηµα του E(α + 1). Τότε, σε κάθε κλειστό διάστηµα [c, d] (a, b) υπάρχουν µόνο πεπερασµένα το πλήθος σηµεία c x < x 1 < < x n d του E (α). Άρα, τα (c, x ), (x, x 1 ),..., (x n, d) περιέχονται σε συµπληρωµατικά διαστήµατα του E (α), και από την επαγωγική υπόθεση η F S είναι γραµµική σε καθένα από αυτά. Από το δεύτερο λήµµα του Riemann, η F S είναι γραµµική στο [c, d], άρα και στο (a, b). 3. Το ϐήµα α < λ = λ, όπου ο λ είναι οριακός διατακτικός. Χρησιµοποιούµε ένα επιχείρηµα συµπάγειας. Σταθεροποιούµε ένα συµπληρωµατικό διάστηµα (a, b) του E (λ) και ένα κλειστό υποδιάστηµα [c, d] (a, b). Τότε, [c, d] (, π) \ E (λ) = (, π) \ α<λ E (α) = α<λ[(, π) \ E (α) ]. Αφού το (, π) \ E (α) είναι ανοικτό και το [c, d] είναι συµπαγές, υπάρχουν πεπερασµένοι το πλήθος α 1,..., α n < λ τέτοιοι ώστε [c, d] [(, π) \ E (α) ] (, π) \ E (β) α {α 1,...,α n} για κάποιον (οποιονδήποτε) β µε α 1,..., α n β < λ. Τότε το [c, d] περιέχεται σε κάποιο συµπληρωµατικό διάστηµα του E (β), και από την επαγωγική υπόθεση η F S είναι γραµµική στο [c, d], άρα και στο (a, b). 14

Με τα 1, και 3, η απόδειξη είναι πλήρης. Ιστορικά σχόλια. Ο Cantor δηµοσίευσε, το 187, µια απόδειξη του Θεωρήµατος 4.3, µόνο στην περίπτωση που rk CB (E) < ω, δηλαδή στην περίπτωση που η διαδικασία Cantor- Bendixson τερµατίζεται σε πεπερασµένα το πλήθος ϐήµατα. Σε αυτό το σηµείο, είχε όπως ϕαίνεται (τουλάχιστον διαισθητικά) την ιδέα να επεκτείνει αθτήν την διαδικασία επ άπειρον, στα επίπεδα ω, ω + 1,.... Αυτό όµως το πρόγραµµα παρουσίαζε εννοιολογικά εµπόδια, τα οποία τον ώθησαν να επανεξετάσει τα ϑεµέλια του συστήµατος των πραγµατικών αριθµών και τελικά να δηµιουργήσει την ϑεωρία συνόλων και, ανάµεσα σε άλλα (και πολύ αργότερα), την αυστηρή ανάπτυξη της ϑεωρίας των διατακτικών αριθµών και την υπερπεπερασµένη ε- παγωγή. Οµως, µετά το 187 ο Cantor δεν επανήλθε στο πρόβληµα της µοναδικότητας των τριγωνοµετρικών σειρών και δεν δηµοσίευσε ποτέ µια πλήρη απόδειξη του Θεωρήµατος 4.3. Αυτό έγινε πολύ αργότερα, από τον Lebesgue το 193. Το Θεώρηµα 4.1 επεκτάθηε από τον Bernstein (198) και τον W. H. Young (199) οι οποίοι απέδειξαν ότι κάθε αριθµήσιµο σύνολο είναι σύνολο µοναδικότητας. Τέλος, η Bari (193) απέδειξε ότι η ένωση αριθµήσιµων το πλήθος κλειστών συνόλων µοναδικότητας είναι σύνολο µοναδικότητας. 5 Σύνολα µοναδικότητας και µέτρο Lebesgue Σε αυτήν την παράγραφο δείχνουµε ότι τα σύνολα µοναδικότητας έχουν µηδενικό µέτρο Lebesgue. Θα χρειαστούµε την «αρχή της τοπικότητας» για τις σειρές Fourier. Πρόταση 5.1. Εστω f : T C µια ολοκληρώσιµη συνάρτηση. Τότε, η σειρά Fourier της f συγκλίνει στο σε κάθε ανοικτό διάστηµα στο οποίο η f µηδενίζεται. Απόδειξη. Εχουµε S N (f, x) = N k= N π = 1 π = (f D N )(x), N ( 1 π ) f(n)e inx = f(t)e int dt e inx π n= N ( N ) f(t) e in(x t) dt = 1 π f(t)d N (x t) dt π n= N όπου D N είναι ο πυρήνας του Dirichlet που ορίζεται ως εξής : N D N (u) = e inx = sin ( N + 1 ) u sin u = cos Nu + cot ( u) sin Nu. n= N Αλλάζοντας το [, π] σε [ π, π] έχουµε S N (f, ) = 1 π π π f(t) cos Nt dt + 1 π 15 π π f(t) cot ( u) sin Nt dt.

Αν υποθέσουµε ότι η f µηδενίζεται σε ένα διάστηµα γύρω από το, τότε η t f(t) cot ( ) t είναι ολοκληρώσιµη, άρα τα δύο αυτά ολοκληρώµατα τείνουν στο από το λήµµα Riemann- Lebesgue. Συνεπώς, S N (f, ). Ετσι, έχουµε δείξει ότι αν η f µηδενίζεται σε ένα διάστηµα γύρω από το, τότε η σειρά Fourier της συγκλίνει στο στο σηµείο. Χρησιµοποιώντας κατάλληλη µεταφορά (της f) δείχνουµε ότι το ίδιο ισχύει για κάθε άλλο σηµείο. Θεώρηµα 5.. Εστω A T ένα µετρήσιµο σύνολο µοναδικότητας. Τότε, ν(a) =. Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι ν(a) > και ϑα καταλήξουµε σε άτοπο. Λόγω της κανονικότητας του µέτρου Lebesgue, υπάρχει κλειστό F A µε ν(f ) >. Θεωρούµε την χαρακτηριστική συνάρτηση χ F του F και την σειρά Fourier της, S(χ F ). Από την Πρόταση 5.1 ϐλέπουµε ότι S N (χ f, x) σε κάθε x / F (πράγµατι, αφού το F είναι κλειστό, αν x / F τότε υπάρχει διάστηµα I, στο οποίο ανήκει το x, µε I F =, άρα χ F στο I). ηλαδή, S(F, x) = για κάθε x / F. Αφού το F είναι σύνολο µοναδικότητας, συµπεραίνουµε ότι χ F (n) = για κάθε n Z. Ειδικότερα, χ F () =. Οµως, χ F () = 1 χ F (x) dx = ν(f ) >, π και έχουµε καταλήξει σε άτοπο. T Παρατηρήσεις 5.3. Στις αρχές του ου αιώνα, πολλοί άνθρωποι πίστευαν ότι κάθε σύνολο µέτρου είναι σύνολο µοναδικότητας. ηλαδή ότι, αν µια τριγωνοµετρική σειρά c n e inx συγκλίνει στο σχεδόν παντού τότε όλοι οι συντελεστές c n µηδενίζονται. Αξίζει εδώ να ση- µειώσουµε ότι, από το ϑεώρηµα Féjer-Lebesgue, οι Cesàro µέσοι της σειράς Fourier µιας ολοκληρώσιµης συνάρτησης f συγκλίνουν στην f σχεδόν παντού. Ειδικότερα, αν µια σειρά Fourier συγκλίνει σχεδόν παντού στο, τότε όλοι οι συντελεστές της µηδενίζονται. Στην διδακτορική διατριβή του Luzin (Integraion and trigonometric series, 1915) γίνεται µελέτη αυτού του προβλήµατος για τις τριγωνοµετρικές σειρές. Ο Luzin ϑεωρούσε απίθανο να υπάρχει µια µη-µηδενική τριγωνοµετρική σειρά η οποία να συγκλίνει στο σχεδόν παντού. Προς µεγάλη έκπληξη πολλών, το 1916, ο Menshov απέδειξε ότι, πράγµατι, υπάρχουν µη-µηδενικές τριγωνοµετρικές σειρές που συγκλίνουν στο σχεδόν παντού. Μια συνέπεια αυτού του αποτελέσµατος είναι ότι κάθε συνάρτηση που έχει ανάπτυγµα σε τριγωνοµετρική σειρά, έχει στην πραγµατικότητα περισσότερα από ένα τέτοια αναπτύγµατα, αν αυτό που µας ενδιαφέρει είναι µόνο η σχεδόν παντού σύγκλιση στη συνάρτηση. Ο Menshov απέδειξε επίσης ότι κάθε µετρήσιµη συνάρτηση έχει ένα (σχεδόν παντού) τριγωνοµετρικό ανάπτυγµα : αν f είναι µια π-περιοδική µετρήσιµη συνάρτηση τότε υπάρχει τριγωνοµετρική σειρά c n e inx τέτοια ώστε f(x) = c n e inx σχεδόν παντού (και, από τα προηγούµενα, η f έχει περισσότερα από ένα τέτοια αναπτύγµατα). 16

Μάλιστα, ο Menshov κατασκεύασε παράδειγµα κλειστού συνόλου πολλαπλότητας µε µηδενικό µέτρο, ϑεωρώντας κατάλληλη τροποποίηση του συνόλου του Cantor. Στο πρώτο ϐήµα αφαίρεσε το µεσαίο 1/-ανοικτό διάστηµα του [, π], στο δεύτερο ϐήµα τα µεσαία 1/3- ανοικτά διαστήµατα των κλειστών διαστηµάτων που είχαν αποµείνει, στο τρίτο ϐήµα τα µεσαία 1/4-ανοικτά διαστήµατα των κλειστών διαστηµάτων που είχαν αποµείνει, και ούτω καθεξής. Το οριακό σύνολο E M είναι το σύνολο του Menshov. Εύκολα ελέγχεται ότι λ(e M ) =. Ο Menshov απέδειξε ότι το E M είναι σύνολο πολλαπλότητας, αντιστοιχίζοντας στο E M ένα µέτρο πιθανότητας µ M στο [, π] µε µ M (E M ) = 1, το οποίο είχε την ιδιότητα (5.1) µ M (n) := e int dµ M (t) n. Από αυτήν την ιδιότητα µπορεί κανείς να δείξει ότι (5.) µm (n)e inx = για κάθε x [, π] \ E M. Αφού το µ M είναι µέτρο πιθανότητας, οι συντελεστές µ M (n) δεν είναι όλοι, όµως, αφού λ(e M ) =, η τριγωνοµετρική σειρά c n e inx συγκλίνει στο σχεδόν παντού. Τέλος, από την κατασκευή, το E M είναι κλειστό. 17