σε ευκλείδειους χώρους και σε πολλαπλότητες Riemann

Κ Ε Ο μετασχηματισμός Riesz σε ευκλείδειους χώρους και σε πολλαπλότητες Riemann Διπλωματική Εργασία στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Μαθηματικών Αθήνα 213

Αφιερώνεται στην οικογένεια μου

iii Περίληψη Στην εργασία αυτή, μελετάμε την συνέχεια Ιδιάζοντων Ολοκληρωτικών Τελεστών (ΙΟΤ) και ειδικότερα του μετασχηματισμού Riesz αμφότερα σε ευκλείδειους χώρους και σε πολαπλότητες Riemann. Αρχικά αποδεικνύουμε ότι εάν ένας ΙΟΤ είναι φραγμένος στον L q (R d ), για κάποιο 1 < q + και ικανοποιεί την λεγόμενη συνθήκη Hörmander, τότε είναι ασθενώς L 1 -συνεχής. Επομένως, από το ϑεώρημα παρεμβολής του arcinkiewicz έπεται πως ο ΙΟΤ είναι φραγμένος στον L p (R d ), για κάθε 1 < p q. Εφόσον οι μετασχηματισμοί Riesz είναι αντισυμμετρικοί και ικανοποιούν τις ανωτέρω προϋποθέσεις, είναι L p (R d )- φραγμένοι, για κάθε 1 < p +. Στην συνέχεια, εξετάζουμε εάν η L p -συνέχεια των μετασχηματισμών Riesz μπορεί να επεκταθεί σε μία κλάση πλήρων μη συμπαγών πολλαπλοτήτων Riemann. Ειδικότερα, δίνουμε ϑετικά αποτελέσματα για 1 < p 2 υπό πολύ ασθενείς προϋποθέσεισ: την doubling volume property και μία εκτίμηση στην διαγώνιο του πυρήνα ϑερμότητας. Επίσης, δείχνουμε ότι τα αποτελέσματα αυτά δεν ισχύουν για p > 2, υπό τις ίδιες προϋποθέσεις.

v Abstract In this thesis, we study the boundedness of Singular Integral Operators (SIOs) and precisely the Riesz transform on L p (R d ), but also on Riemannian manifolds. In particular, we first prove that every bounded SIO on L q (R d ), for some 1 < q +, that satisfies a certain Hörmander property, is weakly L 1 -bounded. Thus, arcinkiewicz interpolation theorem implies that these SIOs are bounded on L p (R d ), for 1 < p q. Since the Riesz transforms are skew-adjoint and satisfy the above properties, they are L p (R d )-bounded, for every 1 < p +. Secondly, we prove that the L p -boundedness of the Riesz transforms can be extended to a reasonable class of complete non-compact Riemannian manifolds. Particularly, we give positive results for 1 < p 2 under very weak assumptions, namely the doubling volume property and an on-diagonal heat kernel estimate. We also prove that the result cannot hold for p > 2 under the same assumptions.

vi

vii Πρόλογος Στην αρμονική ανάλυση ο μετασχηματισμος Riesz είναι η γενίκευση του μετασχηματισμού Hilbert σε Ευκλείδειους χώρους διάστασης N > 1, ενώ επεκτείνεται και σε πολλαπλότητες Riemann. Θεωρείται βασικό εργαλείο στην αρμονική ανάλυση, στη ϑεωρία ελέγχου και στη διαδικασία σήματος. Ειδικότερα, ο μετασχηματισμός Hilbert χρησιμοποιείται στην αναλυτική αναπαράσταση ενός σήματος. Στην παρούσα διπλωματική εργασία παρουσιάζουμε την L p συνέχεια του μετασχηματισμού Riesz αμφότερα σε Ευκλείδειους χώρους και πολλαπλότητες Riemann. Και στις δύο περιπτώσεις, τα βασικά εργαλεία μας είναι το ϑεώρημα παρεμβολής του arcinkiewicz και η ανάλυση Calderon - Zygmund. Στους ευκλείδειους χώρους, οι συνιστώσες του τελεστή δίνονται μέσω της συνέλιξης με μία συνάρτηση, η οποία είναι ιδιάζουσα στο. Συνεπώς, χρησιμοποιούμε την ϑεωρία ιδιάζοντων ολοκληρωτικών τελεστών και πολλαπλασιαστών Fourier. Αντίθετα, σε πολλαπλότητες όπου δεν μπορεί να οριστεί ο μετασχηματισμός Fourier, πρωταγωνιστικό ρόλο παίζει ο πυρήνας ϑερμότητας, δηλαδή η ϑεμελιώδης λύση της εξίσωσης ϑερμότητας. Στοιχειώδεις γνώσεις αρμονικής, συναρτησιακής ανάλυσης και διαφορικής γεωμετρίας ϑεωρούνται γνωστές. Θα ήθελα κατ αρχάς να ευχαριστήσω ϑερμά τον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Μπαρμπάτη για την επιλογή του ϑέματος, την συστηματική συνεργασία καθώς και την συνεχή στήριξη που μου παρείχε κατά την διάρκεια της ακαδημαϊκής χρονιάς, η οποία υπήρξε προσωπικά ιδιαίτερα αγχωτική. Θεωρώ υποχρέωση μου να ευχαριστήσω και τους καθηγητές κ. Κατάβολο και κ. Στρατή για την συμμετοχή τους στην τριμελή επιτροπή. Χρωστώ ευγνωμοσύνη στην Βεατρίκη Βριτσίου για την πολλαπλή βοήθεια της, στην αρχή των μεταπτυχιακών μου σπουδών. Θέλω επίσης να ευχαριστήσω όλους τους συναδέλφους μου, και ιδιαιτέρως τον Ορέστη Παπούλια και την Βασιλική Μπιτσούνη, για τις ημέρες που μοιραστήκαμε τα ίδια ϑρανία στο πανεπιστήμιο. Τέλος, από τις ευχαριστίες μου, δεν μπορει να λείπει η Άννα, που ακόμα με αντέχει!

Περιεχόμενα 1 Στοιχεία Διαφορικής Γεωμετρίας 1 1.1 Εισαγωγή...................................... 1 1.2 Θεωρία Διαφορικών Πολλαπλότητων..................... 1 1.3 Ανάλυση σε πολλαπλότητες Riemann.................... 6 1.3.1 Καμπυλότητα............................... 9 1.3.2 Ολοκλήρωση σε πολλαπλότητες Riemann.............. 11 1.3.3 Διαφορικοί τελεστές........................... 12 2 Τα βασικά εργαλεία 17 2.1 Το ϑεώρημα Παρεμβολής του arcinkiewicz................. 18 2.1.1 Ασθενείς L p χώροι............................ 18 2.1.2 Το ϑεώρημα Παρεμβολής......................... 19 2.2 Ανάλυση Calderon- Zygmund.......................... 23 3 Πολλαπλασιαστές Fourier στον R n 27 3.1 Εισαγωγή...................................... 27 3.2 Ιδιάζοντες Ολοκληρωτικοί Τελεστές...................... 27 3.3 Πολλαπλασιαστές Fourier........................... 3 3.4 Ο Μετασχηματισμός Riesz σε χώρους L p (R n )................. 33 4 Ο μετασχηματισμός Riesz σε πολλαπλότητες Riemann 41 4.1 Εισαγωγή...................................... 41 4.2 Ο πυρήνας ϑερμότητας μίας πολλαπλότητας................. 42 4.2.1 Πυρήνες ϑερμότητας και doubling volume property......... 43 ix

x ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 4.3 Ο μετασχηματισμός Riesz στον L p (), 1 < p 2............... 44 4.3.1 Εκτιμήσεις της χωρικής μερικής παραγώγου του πυρήνα ϑερμότητας 45 4.3.2 Η απόδειξη του βασικού ϑεωρήματος................. 48 4.4 Ενα αντιπαράδειγμα για p > 2......................... 53

Κεφάλαιο 1 Στοιχεία Διαφορικής Γεωμετρίας 1.1 Εισαγωγή Στο πρώτο κεφάλαιο δίνουμε μία σύντομη εισαγωγή στη στοιχειώδη διαφορική γεωμετρία και στη συνέχεια επικεντρωνόμαστε στις πολλαπλότητες Riemann. Στόχος μας είναι να δωθεί στον αναγνώστη μία βασική ιδέα για τις διαφορές των πολλαπλοτήτων και των ευκλείδειων χώρων, καθώς και των απαιτούμενων ιδιοτήτων που ϑα πρέπει να πληροί μία πολλαπλότητα, ώστε να μπορούμε να αναπτύξουμε ϑεωρία συναρτησιακού λογισμού. Επομένως, το κεφάλαιο αυτό έχει μία περιγραφική δομή, ενώ οι αποδείξεις παραλείπονται (ο αναγνώστης μπορεί να ανατρέξει στο [11]). 1.2 Θεωρία Διαφορικών Πολλαπλότητων Ορισμός 1.1. Εστω (, τ) ένας δεύτερος αριθμήσιμος συνεκτικός τοπολογικός χώρος Hausdorff. Εάν U ανοιχτό υποσύνολο του, καλούμε χάρτη ή αναπαραμέτρηση (U, x) του, κάθε ομοιομορφισμό x : U x(u) R n. Γράφουμε x = (x 1,..., x n ). Οι απεικονίσεις x i : U R λέγονται συντεταγμένες. Δύο χάρτες (U, x), (V, ψ) του, είναι διαφορικά συμβιβαστοί, όταν ισχύει ένα από τα παρακάτω: U V = U V και η απεικόνιση ψ x 1 : x(u V) ψ(u V) είναι αμφιδιαφόριση 1

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Η συνάρτηση ψ x 1 καλείται συνάρτηση μεταφοράς. Ενας άτλας του είναι μια οικογένεια χαρτών A = {(U i, x i ) : i I} του, τέτοια ώστε : (i) U i =. i I (ii) Υπάρχει n N, τέτοιο ώστε x i (U i ) R n, για κάθε i I. (iii) ανά δύο οι χάρτες του A είναι διαφορικά συμβιβαστοί. Εστω A ένας άτλας του. οικογένεια χαρτών Ο μεγιστικός άτλας που αντιστοιχεί στον A είναι η A = { (U, x) } (U, x)διαφορικα συμβιβαστός με κάθε στοιχείο του A. η οποία αποτελεί μεγιστικό στοιχείο του συνόλου των ατλάντων ως προς την. Το ζεύγος (, A) καλείται (διαφορική) πολλαπλότητα διάστασης n. Όταν δεν υπάρχει σύγχυση, ϑα συμβολίζουμε την διαφορική πολλαπλότητα (, A ), όπου Η απόδειξη της δομής πολυπλότητας σε ένα τυχόν υποσύνολο ευκλείδειου χώρου απλοποιείται αρκετά από το ακόλουθο ϑεώρημα: Θεώρημα 1.2. Εστω U υποσύνολο του R n+m και F : U R n λεία απεικόνιση. Επιλέγουμε ένα σημείο c R n και υποθέτουμε ότι για κάθε x F 1 ({c}) η παράγωγος DF(x) είναι επί. Τότε το σύνολο F 1 ({c}) είναι διαφορική πολλαπλότητα διάστασης m. Παράδειγμα 1.3. 1. Κάθε υποσύνολο Ω του R n είναι πολλαπλότητα διάστασης n με άτλα την ταυτοτική απεικόνιση. Μάλιστα, η οικογένεια A = {(U, id U ) : U ανοιχτό υποσύνολο του Ω} αποτελεί μεγιστικό άτλα του Ω. 2. Εστω S n η μοναδιαία σφαίρα διάστασης n. Θεωρούμε την απεικόνιση F : R n+1 R : x x 2. 2 Η απεικόνιση F είναι λεία, με F 1 ({1}) = S n, και για κάθε x F 1 ({1}) προκύπτει ότι ο τελεστής DF(x) : DF(x)(h) = 2 x, h είναι επί. Συνεπώς από το ϑεώρημα 1.2, έπεται ότι η μοναδιαία σφαίρα είναι διαφορική πολλαπλότητα διάστασης n.

1.2. ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΩΝ 3 3. Θεωρούμε τον προβολικό χώρο P n (R), δηλαδή το σύνολο των ευθειών του R n+1, οι οποίες διέρχονται από την αρχή των αξόνων. Θα εισάγουμε μία διαφορική δομή στο σύνολο αυτό. Αρχικά, ϑεωρούμε για κάθε (y 1,..., y n+1 ) R n+1 \ {} την σχέση ισοδυναμίας, όπου : (y 1,..., y n+1 ) (λy 1,..., λy n+1 ), λ R \ {} Επομένως, το P n (R) μπορεί να ταυτοποιηθεί συνολοθεωρητικά με τον χώρο πηλίκο ( R n+1 \ {} ) /, οπότε κάθε στοιχείο του P n (R) ϑα το συμβολίζουμε ως [y 1,..., y n+1 ]. Παρατηρούμε μάλιστα ότι εάν y i, τότε [ y1 [y 1,..., y n+1 ] =,..., y i 1, 1, y i+1,..., y ] n+1 y i y i y i y i Ορίζουμε για κάθε i = 1,..., n + 1, τα υποσύνολα V i του P n (R), όπου V i = {[y 1,..., y n+1 ] P n (R) y i }. Γεωμετρικά, τα Vi είναι οι ευθείες του R n+1, οι οποίες διέρχονται από την αρχή των αξόνων και δεν ανήκουν στο υπερεπίπεδο y i =. Επιπλέον, για κάθε i = 1,..., n + 1, ορίζουμε την απεικόνιση : [ x i : V i R n y1 : [y 1,..., y n+1 ] =,..., y i 1, 1, y i+1,..., y ] n+1 (y 1,..., y i 1, y i+1..., y n+1 ). y i y i y i y i Αποδεικνύεται ότι το σύνολο {(V i, x i ) i = 1,..., n+1} αποτελεί άτλαντα του P n (R). Ορισμός 1.4. Μία συνάρτηση f : R καλείται C r διαφορίσιμη, και γράφουμε ότι f C r (), όπου r =, 1, 2,..., όταν για κάθε χάρτη (U, x) της, η απεικόνιση f x 1 : x(u) R είναι C r -διαφορίσιμη. Αντίστοιχα, μία απεικόνιση f : (, A) (N, B) καλείται C r - διαφορίσιμη, όταν για κάθε επιλογή χαρτών (U, x) A, (V, ψ) B, η απεικόνιση ψ f x 1 : x(u) ψ(v) είναι C r -διαφορίσιμη. Ο αντίστοιχος συμβολισμός είναι f C r (, N) Ορισμός 1.5. Ενα εφαπτόμενο διάνυσμα του m είναι μία σημειακή παραγώγιση ξ m : C () R, δηλαδή μία γραμμική απεικόνιση, η οποία πληροί τον κανόνα του Leibniz : ξ m ( f g) = f (m)ξ m (g) + g(m)ξ m ( f ), για κάθε f, g C ().

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Το σύνολο T(, m) των εφαπτόμενων διανυσμάτων στο m, εφοδιασμένο με τις πράξεις κατά σημείο, αποκτάει δομή διανυσματικού χώρου διάστασης n, και καλείται εφαπτόμενος χώρος της στο m. Η ένωση των εφαπτόμενων χώρων T = T(, m), m καλείται εφαπτόμενη δέσμη. Αποδεικνύεται ότι η T δέχεται δομή πολλαπλότητας διάστασης 2n. Παράδειγμα 1.6. Εστω (U, x) χάρτης με συντεταγμένες x 1,..., x n και x(m) = p R n. Ορίζουμε για κάθε i = 1,..., n τα εφαπτόμενα διανύσματα i m T(, m), ως εξής : i m = ( f x 1 ) x i Είναι εύκολο να δείξει κανείς ότι το σύνολο { 1 m,..., n m } αποτελεί βάση του T(, m). Παρατήρηση 1.7. Εστω διάστημα I R, ώστε I. Κάθε απεικόνιση α : I καλείται καμπύλη στην. Θεωρούμε το σύνολο C(, m) = { α : I α : α διαφορίσιμη καμπύλη και α() = m }. Εάν α, β C(, m), γράφουμε α m β και λέμε ότι οι α, β εφάπτονται στο m, εάν υπάρχει χάρτης (U, x) στην, ώστε m U και (x α) () = (x β) (). Μάλιστα, η σχέση m είναι σχέση ισοδυναμίας και είναι ανεξάρτηση επιλογής χάρτη. / Θεωρούμε για κάθε κλάση ισοδυναμίας u = [a] m στον χώρο πηλίκο C(, m) m την σημειακή παραγώγιση p u (t) f = ( f a) (t). Αποδεικνύεται ότι για κάθε πολλαπλότητα / (πεπερασμένης) διάστασης n, η συνάρτηση C(, m) m T(, m) : u u είναι καλά ορισμένη και μάλιστα συνολοθεωρητικός ισομορφισμός. Ορισμός 1.8. Εστω f : (, A) (N, B) διαφορίσιμη συνάρτηση και εφαπτόμενο διάνυσμα u = [a] m T(, m). Τότε η απεικόνιση f a είναι διαφορίσιμη και ( f a)() = f (m), συνεπώς [ f a] f (m) T(N, f (m)). Η συνάρτηση d f m : T(, m) T(N, f (m)) : [a] m [ f a] f (m) είναι γραμμική, ανεξάρτητη της επιλογής του αντιπροσώπου a, και καλείται σημειακό διαφορικό της f στο σημείο m.

1.2. ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΩΝ 5 Ορισμός 1.9. Εστω διαφορική πολλαπλότητα. Ενα διαφορίσιμο διανυσματικό πεδίο της είναι μία παραγώγιση της C (), δηλαδή μία γραμμική απεικόνιση ξ : C () C (), για την οποία ισχύει: ξ( f g) = f ξ(g) + gξ( f ). Το σύνολο των διαφορίσιμων διανυσματικών πεδίων συμβολίζεται με X(). Παρατήρηση 1.1. (i) Για κάθε m, ϑέτουμε ξ m f = (ξ f )(m) και παρατηρούμε ότι ξ m T(, m). Εάν συμβολίσουμε D() = { ξ ξ C (, T ) : ξ(m) T(, m)}, τότε έπεται πως η απεικόνιση X() D() : ξ ξ, όπου ξ(m) = ξ m είναι γραμμικός ισομορφισμός. (ii) Το σύνολο X() με τις κατά σημείο πράξεις αποκτά δομή C ()-προτύπου. Παράδειγμα 1.11. Εστω (U, x) χάρτης της με συντεταγμένες x 1,..., x n. Στον χάρτη αυτόν αντιστοιχούν τοπικά τα διανυσματικά πεδία i Γ(U). Τα πεδία αυτά καλούνται βασικά διανυσματικά πεδία συντεταγμένων, και για κάθε f C (), γράφουμε : ( i f )(m) = i m f, m U. Ορισμός 1.12. Αγγύλη Lie δύο διανυσματικών πεδίων ξ, η X() καλείται το διανυσματικό πεδίο [ξ, η] : C () C () το οποίο ορίζεται ως εξής : [ξ, η] f = ξ(η( f )) η(ξ( f )). Παρατήρηση 1.13. Η απεικόνιση [, ] : X() X() X() ικανοποιεί τις ακόλου- ϑες ιδιότητες : (i) είναι διγραμμική (ii) [ξ, η] = [η, ξ], (iii) [ξ, [η, ζ]] + [η, [ζ, ξ]] + [ζ, [ξ, η]] =, για κάθε ξ, η, ζ X() (ταυτότητα Jacobi)

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Το σύνολο X() εφοδιασμένο με την πράξη [, ] δέχεται δομή άλγεβρας Lie. Σε μία πολλαπλότητα, όπου δεν υπάρχει ολικό σύστημα συντεταγμένων, ϑέλουμε να εισάγουμε την έννοια της διαφόρισης διανυσματικών πεδίων, κατά τρόπο αναλλοίωτο, ώστε να μην εξαρτάται από την επιλογή χαρτών. Ορισμός 1.14. Μία απεικόνιση : X() X() X() : (ξ, η) ξ η, η οποία πληροί τις ακόλουθες ιδιότητες : (i) f ξ+gη ζ = f ξ ζ + g η ζ, ξ, η, ζ X(), f, g C (), (ii) ξ (η + ζ) = ξ η + ξ ζ, ξ, η, ζ X(), (iii) ξ ( f η) = f ξ η + ξ( f )η, ξ, η, ζ X(), f C (), καλείται (γραμμική) συνοχή. Το διανυσματικό πεδίο ξ η καλείται συναλλοίωτη παράγωγος του η στην διεύθυνση ξ, ως προς την συνοχή. 1.3 Ανάλυση σε πολλαπλότητες Riemann Ορισμός 1.15. Μία μετρική Riemann g στην είναι μία απεικόνιση, : X() X() C () η οποία ϑα είναι διγραμμική, συμμετρική, ϑετικά ορισμένη και μετρήσιμη με την εξής έννοια: εάν ξ, η X(), τότε η απεικόνιση m ξ, η (m) είναι μετρήσιμη. Το ζεύγος (,, ) καλείται (μετρήσιμη) πολλαπλότητα Riemann. Παρατήρηση 1.16. (i) Στην διαφορική γεωμετρία, ο ορισμός μίας πολλαπλότητας Riemann απαιτεί η μετρική να είναι διαφορίσιμη. Όμως, όπως ϑα δούμε, αυτή η επιπλέον συνθήκη δεν είναι αναγκαία στην ανάπτυξη της ϑεωρίας μας, ενώ όταν κρίνεται αναγκαίο, ϑα αναφέρουμε ότι η μετρική είναι διαφορίσιμη ή λεία. (ii) Από τον ορισμό της μετρικής Riemann, προκύπτει ότι για κάθε m, η απεικόνιση, (m) : X() X() R : (ξ, η) ξ, η (m) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στον χώρο T(, m).

1.3. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ RIEANN 7 Παράδειγμα 1.17. (i) Εστω (, ) το σύνηθες (ευκλείδειο) εσωτερικό γινόμενο στον R n. Για το τυχόν x R n, ορίζουμε ξ, η (x) = (ξ(x), η(x)), για κάθε ξ, η X(R n ). Προκύπτει ότι η απεικόνιση, είναι μία διαφορίσιμη μετρική Riemann. (ii) Εστω F : R n R και q R, τέτοιο ώστε το διαφορικό DF(m) να είναι επί, για κάθε m F 1 ({q}). Τότε η υποπολλαπλότητα = F 1 ({q}) του R n αποκτάει δομή πολλαπλοτητας Riemann, κληρονομώντας το εσωτερικό γινόμενο του R n. Συνεπώς, από το παράδειγμα 1.3, η μοναδίαια σφαίρα S n δέχεται δομή πολλαπλοτητας Riemann. (iii) Στην ανοιχτή μοναδιαία μπάλα B R n ξ, η (m) = του R n ορίζουμε την μετρική 4(ξ(m), η(m)) (1 m 2 ) 2, ξ, η C (B R n), m B R n Ο χώρος (B R n,, ) καλείται υπερβολικός χώρος και συμβολίζεται με H n. (iv) Εστω R n και συναρτήσεις a i j L (), τέτοιες ώστε για κάθε m, ( ο πίνακας a i j (m) ) να είναι συμμετρικός και ϑετικά ορισμένος. Ορίζουμε την i j μετρική Riemann, στα βασικά διανυσματικά πεδία του, ως εξής : n { ξ, η (m) = a i j (m) } x i x j Τότε, η (,, ) είναι μία μετρήσιμη πολλαπλότητα Riemann. i=1 Από τον ορισμό της μετρικής Riemann και της παρατήρησης 1.1, μπορούμε να επεκτείνουμε τον ορισμό των διανυσματικών πεδίων : Ορισμός 1.18. Μία απεικόνιση ξ : T, όπου για κάθε m έπεται ότι ξ(m) T(, m), καλείται (μετρήσιμο) διανυσματικό πεδίο, εάν η απεικόνιση : είναι μετρήσιμη. m ξ, ξ (m) Αντίστοιχα, ορίζονται τα ολοκληρώσιμα διανυσματικά πεδία. Εστω (,, ) μία πολλαπλότητα Riemann και ξ m T(, m). Συμβολίζουμε ξ m = ξ m, ξ m

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Ορισμός 1.19. Μία κατά τμήματα λεία καμπύλη γ : [a, b] έχει μήκος L(γ): L(γ) = b a γ (t) dt Εφόσον η πολλαπλότητα είναι συνεκτικός τοπολογικός χώρος, για κάθε m, n ορίζουμε : d(m, n) = sup{ f (m) f (n) f : R Lipschitz συνεχής με σταθερά L( f ) 1} κι έχουμε το παρακάτω ϑεώρημα : Θεώρημα 1.2. Ο χώρος (, d) είναι μετρικός χώρος. Μάλιστα η τοπολογία που ορίζει η μετρική d συμπίπτει με την αρχική τοπολογία της πολλαπλότητας. Ορισμός 1.21. Εστω διαφορική πολλαπλότητα. Μια συνοχή στην πολλαπλότητα καλείται: μετρική, έαν η ξ, ζ = η ξ, ζ + ξ, η ζ, ξ, η, ζ X() ελευθέρας στρέψης, εάν η ξ ξ η = [η, ξ], η, ξ X() Εστω τώρα πολλαπλότητα Riemann (,, ), και συνοχή στην. Εάν υποθέσουμε επιπλέον ότι η συνοχή αυτή είναι μετρική και ελευθέρας στρέψης, τότε ισχύει ο τύπος 2 η ξ, ζ = η ζ, ξ + ξ η, ζ ζ ξ, η + [η, ξ], ζ + [ζ, η], ξ [ξ, ζ], η και κατά συνέπεια προκύπτει η ακόλουθη πρόταση: Πρόταση 1.22. Σε κάθε πολλαπλότητα Riemann υπάρχει μοναδική ελευθέρας στρέψης μετρική συνοχή, η οποία καλείται συνοχή Levi - Civita. Δουλεύοντας τώρα τοπικά σε μία πολλαπλότητα, δηλαδή σε ένα χάρτη (U, x), όπου ορίζονται τα βασικά διανυσματικά πεδία, ϑεωρούμε τις συναρτήσεις g i j := i, j. Επεται λοιπόν ότι για κάθε m U, ο πίνακας (g i j (m)) i j είναι συμμετρικός και ϑετικά ορισμένος, ενώ ϑα γράφουμε g = det(g i j ). Τέλος, ορίζονται τα σύμβολα Cristoffel Γ k i j από τον τύπο i j = Γ k i j k. Μάλιστα, εάν συμβολίσουμε (g i j ) = (g i j ) 1, προκύπτει η σχέση: Γ k i j = 1 2 gkm ( i (g jm ) + j (g im ) m (g i j ) ) k

1.3. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ RIEANN 9 1.3.1 Καμπυλότητα Ορισμός 1.23. Εστω (,, ) μία λεία πολλαπλότητα Riemann. Η απεικόνιση: R :X() 3 X() : R(ξ, η, ζ) R(ξ, η)ζ = [ξ,η] ζ [ ξ, η ]ζ καλείται τελεστής καμπυλότητας. Επιπλέον, εάν ξ m, η m T(, m), γράφουμε R ξm,η m : T(, m) T(, m) : R ξm,η m ζ m = R(ξ, η, ζ)(m) όπου ξ, η, ζ X() με ξ(m) = ξ m, η(m) = η m, ζ(m) = ζ m. Ο τελεστής καμπυλότητας R πληροί τις ακόλουθες ιδιότητες για κάθε διανυσματικά πεδία ξ, η, ζ, θ X() : (i) Η απεικόνιση R είναι C () γραμμική ως προς κάθε μεταβλητή. (ii) R(ξ, η) = R(η, ξ) (iii) R(ξ, η)ζ, θ = R(ξ, η)θ, ζ (iv) R(ξ, η)ζ + R(η, ζ)ξ + R(ζ, ξ)η = (ταυτότητα Bianchi) (v) R(ξ, η)ζ, θ = R(ζ, θ)ξ, η Εστω τώρα m και ξ m, η m T(, m). Θεωρούμε την ποσότητα ξ m, ξ m ξ m, η m Q(ξ m, η m ) = det η m, ξ m η m, η m Παρατηρούμε ότι η ορίζουσα Q(ξ m, η m ) εκφράζει το εμβαδόν του παραλληλογράμμου Π που ορίζουν τα δύο διανύσματα ξ m, η m στον εφαπτόμενο χώρο T(, m). Μάλιστα, αποδεικνύεται πως ο αριθμός K m (Π) = K m (ξ m, η m ) = R(ξ, η)ξ, η (m) Q(ξ m, η m ) δεν εξαρτάται από τα διανύσματα ξ m, η m, αλλά μόνο από το επίπεδο Π.

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Ορισμός 1.24. Δοθέντος ενός σημείου m και ενός διδιάστατου υποχώρου Π του T(, m), ο πραγματικός αριθμός K m (Π) καλείται καμπυλότητα τομής του Π στο m. Παράδειγμα 1.25. Οι πολλαπλότητες Riemann με σταθερή καμπυλότητα τομής παίζουν πρωταγωνιστικό ρόλο στην γεωμετρία Riemann. Αλλάζοντας κλίμακα στην μετρική, υπάρχουν τρεις πιθανές περιπτώσεις : (i) Αρνητική καμπυλότητα K = 1 (υπερβολική γεωμετρία) (ii) Μηδενική καμπυλότητα (ευκλείδεια γεωμετρία) (iii) Θετική καμπυλότητα K = 1 (ελλειπτική γεωμετρία) Τα πρότυπα των πολλαπλοτήτων είναι ο υπερβολικός χώρος, ο ευκλείδειος και η μοναδιαία σφαίρα, αντίστοιχα. Αποδεικνύεται μάλιστα ότι κάθε πλήρης, απλά συνεκτική πολλαπλότητα Riemann σταθερής καμπυλότητας τομής, είναι πηλίκο των παραπάνω προτύπων με κάποια ομάδα ισομετριών. Ορισμός 1.26. Εστω (,, ) μία πολλαπλότητα Riemann διάστασης n. Εάν x και {e 1,..., e n } μία ορθομοναδίαια βάση του εφαπτόμενου χώρου T(, m). Ορίζουμε ως βαθμωτή καμπυλότητα της την διγραμμική μορφή : S c : T(, m) 2 R : (x, y) n R(e i, x)y, e i, i=1 ενώ καμπυλότητα Ricci καλείται η τετραγωνική μορφή Ric : T(, m) R : x S c(x, x). Παρατήρηση 1.27. (i) Εύκολα αποδεικνύεται πως οι τιμές της βαθμωτής καμπυλότητας είναι ανεξάρτητες της επιλογής της ορθομοναδιαίας βάσης του T(, m). (ii) Εάν {e 1,..., e n } μία ορθοκανονική βάση του T(, m) τότε έχουμε την σχέση : Ric(e i ) = S c(e i, e i ) = n R(e j, e i )e i, e j = j=1 n K m (e i, e j ) j=1

1.3. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ RIEANN 11 1.3.2 Ολοκλήρωση σε πολλαπλότητες Riemann Εστω μία πολλαπλότητα Riemann και χάρτης (U, x) στην. μετρήσιμη συνάρτηση, τότε ορίζουμε το ολοκλήρωμα : f dv = ( f x 1 ) g x 1 dx U x(u) Εάν f : U R Μάλιστα, η μεθόδος αλλαγής μεταβλητής μας εξασφαλίζει ότι το ολοκλήρωμα αυτό είναι καλά ορισμένο στις τομές των χαρτών. Για να ορίσουμε τώρα το μέτρο καθολικά στην πολλαπλότητα, ϑα χρησιμοποιήσουμε τις διαμερίσεις της μονάδας. Ορισμός 1.28. Μια διαμέριση της μονάδας για μια τοπικά πεπερασμένη ανοιχτή κάλυψη {U a } a A της είναι μία οικογένεια συναρτήσεων φ a C (), τέτοια ώστε: (i) φ a 1, a A (ii) supp(φ a ) U a (iii) φ a = 1 a Ενας τοπολογικός χώρος ο οποίος σε κάθε ανοιχτό του κάλυμμα έχει μία διαμερίση της μονάδας, που κυριαρχείται από αυτό, καλείται παρασυμπαγής. Αποδεικνύεται μάλιστα ότι κάθε παρασυμπαγής χώρος, δέχεται δομή πολλαπλότητας Riemann ([12]). Αντίστροφα, κάθε μετρικός χώρος είναι παρασυμπαγήσ([13]), οπότε κάθε πολλαπλότητα Riemann είναι παρασυμπαγής χώρος. Εστω λοιπόν μία πολλαπλότητα Riemann και μία τοπικά πεπερασμένη κάλυψη της από χάρτες (U a, x a ) a A. Επιλέγοντας μία διαμέριση της μονάδας {φ a } a, με suppφ a U a, για κάθε μετρήσιμη f : R ορίζουμε: f dv = φ a f dv. U a a Μάλιστα, το ολοκλήρωμα αυτό είναι καλά ορισμένο, καθώς είναι ανεξάρτητο επιλογής χαρτών και διαμέρισης της μονάδας.

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Ορισμός 1.29. Μία πλήρης πολλαπλότητα Riemann πληροί την doubling volume property εάν υπάρχει σταθερά C > 1, τέτοια ώστε : όπου V(x, r) = B(x,r) dv. V(x, 2r) C V(x, r), για κάθε x, r >, Λήμμα 1.3. Εστω πολλαπλότητα Riemann, η οποία πληροί την doubling volume property. Τότε υπάρχει D >, τέτοιο ώστε για κάθε θ > : V(x, θr) θ D V(x, r) Απόδειξη. Αφού θ >, υπάρχει k Z, τέτοιο ώστε 2 k 1 θ 2 k. Εχουμε λοιπόν : 2 k 1 θ 2 k k 1 log 2 θ k log 2 θ k log 2 θ + 1 C k Clog 2θ+1 Συνεπώς, για κάθε x και r > γράφουμε = C c lnθ = e c lnθ lnc = e D lnθ = θ D V(x, θr) V(x, 2 k r) C k V(x, r) θd V(x, r). Παρατήρηση 1.31. Κάθε ευκλείδειος και ελλειπτικός χώρος πληροί την doubling volume property, ενώ ο υπερβολικος χώρος του παραδείγματος 1.17 δεν πληροί αυτήν την ιδιότητα, καθώς έχει στοιχείο όγκου dh n = 1 1 m 2. 1.3.3 Διαφορικοί τελεστές Η μετρική Riemann και η συνοχή Levi - Civita είναι τα απαιτούμενα εργαλεία, ώστε να γενικεύσουμε τις έννοιες των διαφορικών τελεστών του διανυσματικού λογισμού. Ορισμός 1.32. Κλίση μίας συνάρτηση f C () είναι το μοναδικό διανυσματικό πεδίο grad f, για το οποίο ισχύει η σχέση: grad f, ξ = ξ( f ) για κάθε διανυσματικό πεδίο ξ X(). Τοπικά, αποδεικνύεται ότι n grad f = g i j i f j. i, j=1

1.3. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ RIEANN 13 Ορισμός 1.33. Εστω ξ X(). Απόκλιση του διανυσματικού πεδίου ξ καλείται η απεικόνιση divξ C (), η οποία ορίζεται ως εξής : divξ = trace(η η ξ). Εστω λεία 1 πολλαπλότητα και (U, x) μία τοπική αναπαραμέτρηση της. Τότε για n κάθε ξ = ξ i i γράφουμε i=1 divξ = 1 n i ( g ξ i ). g i=1 Εστω ξ X() με φορέα στον χάρτη (U, x). Εχουμε : divξdv = = = U n i=1 1 g n i=1 x(u) x(u) n i ( g ξ i ) dv = i=1 ( i gξi ) x 1 dx 1... dx n = x i ( gξ i ) x 1 dx 1... dx n =. Χρησιμοποιώντας ένα επιχείρημα διαμέρισης της μονάδας, προκύπτει το ϑεώρημα απόκλισης. Θεώρημα 1.34. Εστω ξ X() διανυσματικό πεδίο στην με συμπαγή φορέα. Τότε divξ dv =. Η σύνθεση των τελεστών της κλίσης και της απόκλισης μας δίνει την δυνατότητα να δώσουμε τώρα τον ορισμό του τελεστή Laplace, μέσω του οποίου ϑα εκφράσουμε στην συνέχεια τον μετασχηματισμό Riesz. Ορισμός 1.35. Ο τελεστής Laplace ορίζεται ως η γραμμική απεικόνιση : C () C () : f div(grad f ), 1 Στην γενική περίπτωση, περιορίζομαστε σε διανυσματική πεδία ξ, τέτοια ώστε gξ X().

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ενώ εάν (U, x) χάρτης στην, τότε παίρνει την μορφή f = 1 n i ( g g i j i f ) g i=1 Οπως και στον διανυσματικό λογισμό, το ϑεώρημα απόκλισης μας οδηγεί στον τύπο του Green. Πράγματι, εάν f, h C (), ξ X(), τότε εύκολα ελέγχεται ότι: οπότε έχουμε τον τύπο: div( f ξ) = f divξ + grad f, ξ div( f gradh) = f h + grad f, gradh Θεώρημα 1.36 (Green). Εστω f, h C (), ώστε τουλάχιστον μία εκ των δύο συναρτήσεων να έχει συμπαγή φορέα. Τότε : h f dv = grad f, gradh dv = f h dv Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Green μπορούμε να επεκτείνουμε τον ορισμό του τελεστή Laplace σε συναρτήσεις, οι οποίες δεν είναι διαφορίσιμες. Αρχικά, δίνουμε τον ακόλουθο ορισμό. Ορισμός 1.37. Εστω διανυσματικό πεδίο ξ, τέτοιο ώστε ξ L 1 loc (). Θα λέμε ότι το διανυσματικό πεδίο ξ είναι η ασθενής κλίση μίας συνάρτησης u L 1 loc (), και ϑα συμβολίζουμε ξ = u, εάν για κάθε η X() με συμπαγή φορέα, ισχύει η σχέση u divη dv = ξ, η dv Πρόταση 1.38. Εστω μία πολλαπλότητα Riemann. Τότε για κάθε Lipschitz συνεχή f C() υπάρχει η ασθενής της κλίση f, η οποία μάλιστα είναι L -διανυσματικό πεδίο της και όπου L( f ) η σταθερά Lipschitz της f. f L L( f ), Προφανώς, εάν u C 1 (), τότε gradu = u.

1.3. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ RIEANN 15 Ορισμός 1.39. Ορίζουμε λοιπόν τον τελεστή Laplace - Beltrami ως εξής : L : D(L) L 2 () όπου D(L) = { u W 1,2 () f L 2 () : u, φ dv = } f φdv, φ CC () Εάν u D(L), τότε η f είναι μοναδική και ορίζουμε Lu = f Αποδεικνύεται ότι ο τελεστής Laplace - Beltrami είναι αυτοσυζυγής τελεστής, και μάλιστα ϑετικός, καθώς : Lu, u L2 () = ulu dv = u, u dv = u 2 dv Επομένως, σύμφωνα με τον τύπο του Green,κάθε u C 2 () L 2 () με u 2 dv < + ανήκει στο D(L) και μάλιστα ισχύει η σχέση Lu = u. Επομένως, ο τελεστής L αποτελεί επέκταση του, και για τον λόγο αυτόν, ϑα τον συμβολίζουμε στο εξής ως.

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

Κεφάλαιο 2 Τα βασικά εργαλεία Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζουμε τα βασικά εργαλεία, που ϑα χρησιμοποιήσουμε στα επόμενα κεφάλαια, ώστε να αποδείξουμε τη συνέχεια του μετασχηματισμού Riesz σε χώρους συναρτήσεων, οι οποίες είναι ορισμένες αρχικά σε ευκλείδειους χώρους και στην συνέχεια σε πολλαπλότητες. Τα εργαλεία αυτά είναι το ϑεώρημα παρεμβολής του arcinkiewicz και η ανάλυση Calderon - Zygmund. Τα ϑεωρήματα παρεμβολής αποτελούν ένα βασικό πεδίο έρευνας της Αρμονικής Ανάλυσης. Το διάσημο ϑεώρημα παρεμβολής του Riesz για παράδειγμα, μας επιτρέπει να συμπεράνουμε την συνέχεια ενός τελεστή επί του L r, για κάθε r (p, q), μόνο από την συνέχεια του στους χώρους L p και L q. Το ϑεώρημα παρεμβολής του arcinkiewicz από αυτήν την άποψη γενικεύει το προηγούμενο ϑεώρημα, καθώς απαιτεί, όπως ϑα δούμε, μία ασθενέστερη συνθήκη συνέχειας επί των χώρων L p και L q. Στην επόμενη παράγραφο, δίνουμε μία απόδειξη του ϑεωρήματος στον L p (X) όπου X τυχόν μετρικός χώρος κανονικού μέτρου. Η ανάλυση Calderon -Zygmund μας επιτρέπει να διασπάσουμε κάθε ολόκληρώσιμη συνάρτηση σε μία καλή ουσιωδώς φραγμένη συνάρτηση και σε μία κακή συνάρτηση, η οποία όμως έχει μηδενική μέση τιμή στο φορέας της. Στο τέλος του κεφαλαίου δίνουμε μία απόδειξη στον χώρο των ολοκληρωσίμων συναρτήσεων πάνω 17

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ σε μία πλήρη doubling πολλαπλότητα Riemannn. 2.1 Το ϑεώρημα Παρεμβολής του arcinkiewicz 2.1.1 Ασθενείς L p χώροι Εστω (X, d) μετρικός χώρος και m κανονικό μέτρο Borel στον X. Ορισμός 2.1. Εστω 1 p <. Μία μετρήσιμη συνάρτηση f : X R ανήκει στον χώρο L p w(x), εάν υπάρχει c( f ) >, τέτοιο ώστε m({x X : f (x) > a}) m([ f > a]) c( f ) a p, για κάθε a >. Τον χώρο L p w(x) ϑα τον αποκαλούμε ασθενή L p. Παρατήρηση 2.2. Για κάθε p [1, + ), ο χώρος L p (X) είναι υποσύνολο του ασθενούς L p w(x). Πράγματι, εάν υποθέσουμε τυχαίο a > και f L p (X), επαναλαμβάνοντας τα βήματα της απόδειξης της ανισότητας του arkov έχουμε a p m([ f > a]) = a p dm(x) f (x) p dm(x) f p p < + [ f >a] [ f >a] Μάλιστα, είναι εύκολο να δούμε ότι ο χώρος L p (X) είναι και γνήσιο υποσύνολο του L p w(x). Ενδεικτικά, ϑα δείξουμε ότι η συνάρτηση f (x) = χ (1,+ ) (x) 1 x ανήκει στον L1 w(r, λ), ενώ όπως γνωρίζουμε δεν είναι στοιχείο του L 1 (R, λ), όπου με λ συμβολίζουμε το μέτρο Lebesque στο R. Παρατηρούμε αρχικά ότι για κάθε a 1, ισχύει ότι [ f > a] =, οπότε λ([ f > a]) = < 1 a. Όταν a (, 1), έχουμε ότι [ f > a] = {x R : χ (1,+ ) (x) 1 > a} = (1, 1 ), οπότε x a οπότε πράγματι έπεται ότι f L 1 w(r). λ([ f > a]) = 1 a 1 < 1 a, Πρόταση 2.3. Ο χώρος L p w(x) είναι διανυσματικός χώρος για κάθε 1 p <. Απόδειξη. Εστω 1 p <. Θα δείξουμε ότι ο χώρος L p w(x) είναι κλειστός ως προς τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού.

2.1. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ ΤΟΥ ARCINKIEWICZ 19 Εστω f 1, f 2 L p w(x), οπότε υπάρχουν c( f 1 ) > και c( f 2 ) > τέτοια ώστε m([ f 1 > a]) c( f 1) και m([ f a p 2 > a]) c( f 2) a p αντίστοιχα. Εάν x X, έτσι ώστε a < f 1 (x) + f 2 (x) f 1 (x) + f 2 (x), τότε έχουμε λοιπόν ότι f 1 (x) > a 2 ή f 2(x) > a 2. Συνεπώς, [ f 1 + f 2 > a] [ f 1 > a 2 ] [ f 2 > a 2 ] m([ f 1 + f 2 > a]) m([ f 1 > a 2 ]) + m([ f 2 > a 2 ]) 2p c( f 1 ) a p + 2p c( f 2 ) a p = 2p (c( f 1 ) + c( f 2 )) a p. Εστω τώρα µ R και x X, έτσι ώστε a < µ f 1 (x). Τότε [ µ f 1 > a] = [ f 1 > a µ ] m([ µ f 1 > a]) = m([ f 1 > a c µ p ]) µ a p Ορισμός 2.4. Εάν ένας τελεστής T : L p (X) L p (X), p [1, + ], είναι συνεχής, ϑα γράφουμε ότι ο Τ είναι L p -συνεχής. Ενας τελεστής T : L p (X) L p w(x), p [1, + ), ϑα λέγεται ασθενώς L p -συνεχής, εάν για κάθε a > ισχύει η σχέση : ( ) f p p m([ T f > a]) c. a Παρατήρηση 2.5. Κάθε L p -συνεχής τελεστής είναι ασθενώς L p - συνεχής, καθώς από την παρατήρηση 2.2, έχουμε m([ T f > a]) T f p p a p c f p p a p. 2.1.2 Το ϑεώρημα Παρεμβολής Εστω τώρα f L p (X). Ορίζουμε την συνάρτηση κατανομής m f : [, + ) [, + ) : a m([ f > a]). Λήμμα 2.6. Η συνάρτηση m f είναι ϑετική και μετρήσιμη, και επιπλέον ισχύει η ιδιότητα f p p = p a p 1 m f (a)dλ(a)

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Απόδειξη. Αρκεί να αποδείξουμε το λήμμα για f L p (X) ϑετική. Υποθέτουμε αρχικά ότι η f είναι απλή, δηλαδή ότι f = χ B όπου B Borel υποσύνολο του X. Τότε 1 p a p 1 m f (a)dλ(a) = p a p 1 m([χ B > a])dλ(a) = p a p 1 m(b)dλ(a) = 1 ( 1 ) d = m(b)p a p 1 dλ(a) = m(b) da (ap )dλ(a) = m(b) = χ B p dm = χ B p p 1 X Εάν τώρα η f είναι ϑετική απλή, δηλαδή είναι της μορφής f = τότε έχουμε n µ k χ Bk, όπου µ k > k=1 p = p = = a p 1 m f (a)dλ(a) = p a p 1 n k=1 n k=1 ( p µk n a p 1 m µ k χ Bk > a dλ(a) = k=1 n m ( [µ k χ Bk > a] ) dλ(a) = k=1 a p 1 m ( µk m(b k ) ]) ) ([χ Bk > aµk dλ(a) = ) d da (ap )dλ(a) = n k=1 n k=1 ( p ( p µk n µ p k m(b k) = k=1 X ]) ) a p 1 m ([χ Bk > aµk dλ(a) = ) a p 1 m(b k )dλ(a) = p n µ k χ Bk dm = f p p Στην γενική περίπτωση όπου f L p (X) ϑετική, υπάρχει ακολουθία απλών μετρησίμων {s n }, ώστε s n f, οπότε από το ϑεώρημα μόνοτονης σύγκλισης έπεται ότι f p p = lim s n p dm = lim (p n n ([ = p a p 1 m lim n ]) s n > a dλ(a) = p k=1 ) a p 1 m([s n > a])dλ(a) = a p 1 m f (a)dλ(a) Ορισμός 2.7. Εάν μία συνάρτηση f γράφεται στην μορφή f = f 1 + f 2, όπου f 1 L p 1 (X) και f 2 L p 2 (X), τότε γράφουμε f Lp 1 (X) + Lp 2 (X). Πρόταση 2.8. Εάν 1 p 1 p p 2 +, τότε L p (X) L p 1 (X) + Lp 2 (X).

2.1. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ ΤΟΥ ARCINKIEWICZ 21 Απόδειξη. Εστω f L p (X) και a >. Θεωρούμε τις συναρτήσεις f 1 = f χ [ f a] και f 2 = f χ [ f <a]. Προφανώς f = f 1 + f 2, και μάλιστα παρατηρούμε ότι: f 1 p 1 p 1 = f 1 (x) p 1 dm(x) = f 1 (x) p f 1 (x) p1 p dm(x) p 1 p X X 1 a p p 1 X f 1 (x) p dm(x) f p p a p p 1 < + ενώ διαχωρίζοντας τις περιπτώσεις όπου p 2 = + και p 2 < + έχουμε αντίστοιχα : f 2 = sup { f (x) } a [ f <a] f 2 p 2 p 2 = f 2 (x) p 2 dm(x) = X a p 2 p f p p < + X f 2 (x) p f 2 (x) p2 p dm(x) p p 2 a p 2 p X f 2 (x) p dm(x) οπότε f 1 L p 1 και f 2 L p 2. Θεώρημα 2.9 (arcinkiewicz). Εστω ένας υπογραμμικός τελεστής T, ο οποίος είναι ασθενώς L p 1 -συνεχής και ασθενώς L p 2 -συνεχής, για κάποια 1 p 1 < p 2 +. Τότε ο T είναι L r -συνεχής, για κάθε r (p 1, p 2 ). Απόδειξη. Εστω f L r (X), όπου r (p 1, p 2 ) και a >. Αναλύουμε την συνάρτηση f στις f a 1 = f χ [ f a] και f a 2 = f χ [ f <a], οπότε από την προηγούμενη πρόταση προκύπτει ότι f a 1 L p 1 και f a 2 Lp 2. Εφόσον T f (x) T f a(x) + T f a 1 2 (x), έχουμε ότι [ T f > a] [ T f a > ] [ a 1 2 T f a > a 2 2]. Επεται λοιπόν η σχέση ([ m T f (a) = m([ T f > a]) m T f a > a ]) ([ 1 + m T f a 2 2 > a ]) ( f a c ) p1 ( 1 p 1 f a 1 + c ) p2 2 p 2 2 2 a a καθώς ο τελεστής Τ είναι ασθενώς L p 1 -συνεχής και ασθενώς L p 2 w -συνεχής. Συνεπώς, έχουμε ότι m T f (a) c 1 ( 1 a ) p1 ( f (x) p 1 1 dm(x) + c 2 [ f a] a ) p2 f (x) p 2 dm(x) [ f <a] Χρησιμοποιώντας την ανωτέρω σχέση, μπορούμε να δώσουμε μία εκτίμηση για την

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ T f r r. Πράγματι, από το λήμμα 2.6 έχουμε T f r r = r c 1 r c 1 r a r 1 m T f (a)dλ(a) f (x) p 1 dm(x)dλ(a) + c 2 r a r 1 p 1 [ f a] ( f (x) X = c 1r r p 1 = c 1r r p 1 f r r + a r 1 p 2 [ f <a] ) ( f (x) p 1 a r 1 p 1 dλ(a) dm(x) + c 2 r f (x) p 2 X f (x) p 1 f (x) r p 1 dm(x) + c 2r f (x) p 2 f (x) r p 2 dm(x) = X c p 2 r X 2r p 2 r f r r C f r r f (x) p 2 dm(x)dλ(a) a r 1 p 2 dλ(a) f (x) ) dm(x) = Θεώρημα 2.1 (arcinkiewicz). Εστω ένας υπογραμμικός τελεστής T, ο οποίος είναι ασθενώς L p 1 -συνεχής και L -συνεχής. Τότε ο T είναι L r -συνεχής, για κάθε r (p 1, + ). Απόδειξη. Εστω f L r, όπου r (p 1, + ) και a >. Εφόσον ο τελεστής T είναι ασθενώς L p 1 -συνεχής και L -συνεχής, έχουμε ότι: ( ) f p1 p1 m([ T f > a]) c 1 και T f c 2 f. a Ορίζουμε τις συναρτήσεις f a 1 = f χ [ f a 2c 2 ] και f a 2 = f χ [ f < a 2c 2 ] Από την πρόταση 2.8, έπεται ότι f a 1 L p 1 (X) και f a 2 L (X). Μάλιστα, εφόσον f 2 a 2c 2, έχουμε την εκτίμηση T f 2 a, οπότε m ([ T f 2 2 > 2]) a =. Συνεπώς, ([ m([ T f > a]) m T f 1 > a ]) 2 = c 1 ( 2 a) p1 [ f > a 2c 2 ] f (x) p 1 dm(x) ([ + m T f 2 > a ]) ( p1 2 c 1 f 1 2 a) p 1 = Πλέον, αρκεί να επαναλάβουμε την βήματα της προηγούμενης απόδειξης για να εκτιμήσουμε την νόρμα T f r r. Πράγματι : T f r r = r 2 p 1 c 1 r f (x) p 1 X a r 1 m T f (a)dλ(a) 2 p 1 c 1 r ( 2c2 f (x) a r 1 p 1 [ f a 2c 2 ] ) a r 1 p 1 dλ(a) dm(x) = 2c 1c r p 1 r p 1 2 r f (x) p 1 dm(x)dλ(a) X f (x) p 1 f (x) r p 1 dm(x) C f r r

2.2. ΑΝΑΛΥΣΗ CALDERON- ZYGUND 23 2.2 Ανάλυση Calderon- Zygmund Εστω (,,, dv) πλήρης πολλαπλότητα Riemann, η οποία ικανοποιεί την doubling volume property με σταθερά C. Ορισμός 2.11. Εάν f L 1 loc (), τότε ορίζουμε : f (x) = sup f (y) dv(y). x B όπου παίρνουμε το supremum στις ανοιχτές μπάλες που περιέχουν το x. Η συνάρτηση f καλείται έκκεντρη μεγιστική. Παρατήρηση 2.12. Ο υπογραμμικός τελεστής δεν είναι L 1 -συνεχής. Πράγματι, εάν f = χ B(,1), τότε f L 1 (R n ). B Για να αποδείξουμε ότι η f δεν είναι ολοκληρώσιμη, τότε για κάθε x R n, με νόρμα μεγαλύτερη της μονάδας, έχουμε : λ(b(, 1) B(x, r)) λ(b(, 1)) f (x) sup f (y) dy = sup r> r> λ(b(x, r)) λ(b(x, x )) 1 x n B(x,r) Συνεπώς, παίρνοντας σφαιρικές συντεταγμένες έχουμε ότι : r n 1 f (x)dλ(x) f (x)dλ(x) dr = + B(,ε) c B(,1) c 1 rn Πρόταση 2.13. Ο τελεστής είναι L p -συνεχής, για κάθε p (1, + ], καθώς και ασθενώς L 1 -συνεχής. Απόδειξη. Αρχικά παρατηρούμε ότι για κάθε f L έχουμε : f (x) = sup x B f (y) dv(y) sup x B f dv(y) = f B Εφαρμόζοντας, λοιπόν, το ϑεώρημα του arcinkiewicz, αρκεί να δείξουμε ότι ο τελεστής Μ είναι ασθενώς L 1 -συνεχής. Εστω f L 1 και K συμπαγές υποσύνολο του [ f > a]. Εάν x K, τότε υπάρχει ανοιχτή μπάλα B x, η οποία περιέχει το x, ώστε f (y) dv(y) > a (2.1) B Εφόσον το K είναι συμπαγές, υπάρχουν μπάλες B x1, B x2,..., B xn, για τις οποίες ισχύει η σχέση (2.1), ώστε K N n=1 B n. Από το λήμμα κάλυψης του Vitali [17], υπάρχουν B 1, B 2,..., B m ξένες ανά δύο, ώστε B

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ m m V(K) C 2 V(B i ) C2 V(B i ) f (y) dv(y) C2 a k=1 k=1 B k a f 1. καθώς οι B k, k = 1,..., m ικανοποιούν την σχέση (2.1). Αφού [ f > a] = sup{k K συμπαγές υποσύνολο του [ f > a]}, έχουμε το ζητούμενο. Συμβολισμός : Εστω ανοιχτή μπάλα B r = B(x, r). Συμβολίζουμε με nb r την μπάλα με την n-πλάσια ακτίνα B(x, nr). Λήμμα 2.14. Εστω F κλειστό μη κενό υποσύνολο της, τότε υπάρχουν μπάλες B 1, B 2,..., B κ,..., τέτοιες ώστε : (i) B m B n =, όταν m n (ii) 4B k = F c k=1 (iii) 8B k F, για κάθε k N. Απόδειξη. Ορίζουμε για κάθε x F τις μπάλες B(x, d(x,f) ). Εφαρμόζοντας το λήμμα 4 του Zorn, επιλέγουμε μία μεγιστική οικογένεια μπαλών B k = B(x k, d(x k,f) ), τέτοια ώστε 4 B i B j =, όταν i j. Εφόσον 8B k F, για κάθε k N, αρκεί να δείξουμε ότι 4B k = F c. k=1 Εστω x F. Αφού η οικογένεια {B k : k N} είναι μεγιστική, υπάρχει k N, ώστε B(x, d(x,f) 4 ) B(x k, d(x k,f) 4 ), οπότε d(x, x k ) < d(x,f) 4 + d(x k,f) 4. Εφόσον το F είναι κλειστό, υπάρχει y F, ώστε d(x k, F) = d(x k, y), οπότε d(x, F) = inf y F {d(x, y )} d(x, y) d(x, x k ) + d(x k, y) < d(x, F) < 5 3 d(x k, F) d(x, F) 4 + d(x k, F) 4 + d(x k, F) Συνεπώς, d(x, x k ) d(x k, F) 4 d(x, F) + 4 d(x k, F) 4 + 5d(x k, F) 12 άρα x B(x k, d(x k, F)) = 4B k, οπότε η απόδειξη είναι πλήρης. = 2d(x k, F), 3 Πόρισμα 2.15. Ορίζουμε επαγωγικά τα σύνολα Q k = 4B k ( j<k Q j ) c ( j>k B j ) c, k N. Τότε :

2.2. ΑΝΑΛΥΣΗ CALDERON- ZYGUND 25 (i) Q m Q n =, όταν m n (ii) Q k = F c k=1 (iii) B k Q k 4B k. Θεώρημα 2.16 (Calderon-Zygmund). Εστω f L 1 και a >. Υπάρχει ακολουθία μπαλών B k και ανάλυση της f, τέτοια ώστε : ώστε: (i) g(x) ca, σχεδόν για κάθε x f = g + b, όπου b = (ii) suppb k 4B k, για κάθε k N, και επιπλέον (α) b k (x) dv(x) ca V(4B k ) (β) b k (x)dv(x) = (iii) k=1 V(4B k ) c a f 1 b k, Απόδειξη. Εστω x, τέτοιο ώστε f (x ) > a, δηλαδή υπάρχει ανοιχτή μπάλα B x, τέτοια ώστε B x f (y) dv(y) > a. Τότε, έπεται ότι για κάθε x B x, έχουμε : k=1 f (x) B x f (y) dv(y) > a. Συνεπώς, το σύνολο [ f > a] είναι ανοιχτό, καθώς κάθε σημείο του είναι εσωτερικό. Οπότε από το λήμμα 2.14 και το πόρισμα 2.15 υπάρχουν σύνολα B k και Q k, όπου Q n Q m = όταν n m, τέτοια ώστε : Θέτουμε g(x) = B k Q k 4B k και Q k = [ f > a]. k=1 f (x), εάν x [ f > a] Q k f (y)dv(y), εάν x Q k και b k (x) = χ Qk (x) ( f (x) g(x)). (i) Αν x [ f a], τότε από το ϑεώρημα διαφόρισης του Lebesgue, προκύπτει g(x) = f (x) = lim f (y)dv(y) r sup f (y) dv(y) = f (x) a B(x,r) x B B

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Οταν x [ f > a], τότε υπάρχει k N, τέτοιο ώστε g(x) = f (y)dv(y). Q k Εφόσον 8B k [ f > a] c, υπάρχει x 8B k [ f > a] c, οπότε έχουμε : f (y) dv(y) f (x ) a. 8B k Συνεπώς, f (y) dv(y) f (y) dv(y) a V(8B Q k 8B k ) C 3 k a V(B k) C 3 a V(Q k), άρα, g(x) ca, σχεδόν για κάθε x. (ii) Προφανώς, suppb k (x) Q k και bk (x)dv(x) = ( Qk f (x) f (y)dv(y) ) dv(x) = f (x)dv(x) f (y)dv(y) =. Q k Q k Q k Επιπλέον, b k (x) dv(x) 2 f (x) dv(x) 2a V(8B Q k ) = C a V(4B k ). k (iii) Εφόσον Q n Q m =, όταν n m, από την πρόταση 2.13 έχουμε: V(4B k ) = C 2 k=1 V(B k ) C 2 k=1 k=1 V(Q k ) = C 2 V( Q c k=1 k) = C 2 [ f > a] C 2 a f 1. Παρατήρηση 2.17. Αν μία συνάρτηση f L 1 αναλύεται κατά Calderon - Zygmund ως f = g + b, τότε g L q, για κάθε q [1, + ], και g ca g q q ca q 1 f 1, εάν q [1, + ). Πράγματι, για q = +, τότε πρόκειται για το (i) του ϑεωρήματος 2.16. Εάν q < +, έχουμε : g q q = g(x) q dv(x) = g(x) q dv(x) + g(x) q dv(x) k 4B k ( k 4B k ) c (ca) q V(4B k ) + g(x) q 1 f (x) dv(x) (iii) (ca) q 1 f 1 + (ca) q 1 f 1 = 2c q 1 a q 1 f 1. k ( k 4B k ) c

Κεφάλαιο 3 Πολλαπλασιαστές Fourier στον R n 3.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό, ορίζουμε τον μετασχηματισμό Riesz R σε ευκλείδειους χώρους. Εκφράζοντας κάθε συνιστώσα του τελεστή αυτού, ως ένα πολλαπλασιαστή Fourier, χρησιμοποιούμε ϑεωρία ιδιάζοντων ολοκληρωτικών τελεστών [14]. Στο βασικό ϑεώρημα παρουσιάζουμε την συνέχεια ενός ιδιάζοντος ολοκληρωτικού τελεστή, ο οποίος είναι συνεχής στον L q (R n ) για κάποιο q (1, ), και πληροί την λεγόμενη ιδιότητα Hörmander. Στην συνέχεια, λόγω της αντισυζυγίας των μετασχηματισμών R j και της ισότητας Parseval δείχνουμε ότι οι τελεστές αυτοί είναι συνεχείς στον L p (R n ), για κάθε p (1, ) 3.2 Ιδιάζοντες Ολοκληρωτικοί Τελεστές Ορισμός 3.1. Ιδιάζων ολοκληρωτικός τελεστής καλείται ένας ολοκληρωτικός τελεστής (T f )(x) = K(x, y) f (y)dλ(y), R n όπου ο πυρήνας K εκρήγνυται επί της διαγωνίου x = y. Ακριβέστερα, απαιτούμε το ολοκλήρωμα να ορίζεται σε ένα πυκνό υπόχωρο των L p για κάθε p [1, + ), με την εξής έννοια : 27

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ FOURIER ΣΤΟΝ R N Εστω ε >. Ορίζουμε τον πυρήνα K ε : R n R n : (x, y) και τον ολοκληρωτικό τελεστή T ε ( f (x)) = R n K ε (x, y) f (y)dλ(y). K(x, y), εάν x y > ε, αλλιώς Από την αρχή ομοιόμορφου φράγματος, ο τελεστής T ορίζεται ως το όριο T( f ) = lim T ε ( f ) = lim K ε (, y) f (y)dλ(y) K(, y) f (y)dλ(y) ε ε R n R n Θεώρημα 3.2. Εστω T ιδιάζων ολοκληρωτικός τελέστής με πυρήνα K, ο οποίος πληροί τις ιδιότητες : (i) Ο T είναι L q φραγμένος, για κάποιο q (1, + ). (ii) Ο πυρήνας Κ πληροί την συνθήκη Hormander, δηλαδή υπάρχει A >, τέτοιο ώστε: x y 2 y y K(x, y) K(x, y ) dλ(x) A, για κάθε y R n. Τότε, ο τελεστής T είναι ασθενώς L 1 -συνεχής και L p -συνεχής, για κάθε p (1, q). Απόδειξη. Αρκεί να δείξουμε ότι ο τελεστής T είναι ασθενώς L 1 -συνεχής, και να εφαρμόσουμε το ϑεώρημα του arcinkiewicz. Εστω f L 1. Εστω ε >. Αρκεί να δείξουμε ότι λ([ T f > ε]) c f 1. Θεωρούμε την ε ανάλυση Calderon - Zygmund, ως προς το a = ε, οπότε 2 f = g + b, όπου b = k=1 b k Ισχυρισμός : λ([ Tg > a]) c 1 f 1 a Πράγματι, λ([ Tg > a]) = [ Tg >a] dλ(x) Rn Tg(x) q a q dλ(x) T g q q a q a q g q q εφόσον ο τελεστής T είναι L q -φραγμένος. Άρα, από την παρατήρηση 2.17, έχουμε λ([ Tg > a]) a q g q q caq 1 a q f 1 = c a f 1

3.2. ΙΔΙΑΖΟΝΤΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ 29 κι ο ισχυρισμός αποδείχτηκε. f Πρέπει πλέον να δείξουμε ότι λ([ Tb > a]) c 1 2 a (. Εχουμε λ([ Tb > a]) = λ [ Tb > a] ) (2Q k ) + λ ([ Tb > a] (2Q k ) c ) k όπου suppb k Q k 4B k. Μάλιστα λ [ Tb > a] (2Q k ) λ 2Q k λ(8b k ) c a f 1 από την (iii) της ανάλυσης Calderon-Zygmund. k Οπότε, αρκεί να εκτιμήσουμε την ποσότητα λ ([ Tb > a] (2Q k ) c ). Εστω Q k 4B k = 4B(y k, r k ) και x 2Q k, τότε k k Tb k (x) = R n K(x, y)b k (y)dλ(y) = R n (K(x, y) K(x, y k )) b k (y)dλ(y), αφού R n b k (y)dy =. Εφόσον suppb k Q k, έπεται ότι ( ) Tb k (x) dλ(x) K(x, y) K(x, y k ) b k (y) dλ(y) dλ(x) x 2Q k x 2Q k R ( n ) K(x, y) K(x, y k ) b k (y) dλ(y) dλ(x) x 2Q k y Q ( k ) b k (y) K(x, y) K(x, y k ) dλ(x) dλ(y) y Q k x y k 2 y y k caaλ(4b k ) από την συνθήκη Hörmander και την ιδιότητα (ii) της ανάλυσης Calderon - Zygmund. Εφόσον λ(4b k ) c a f 1, έχουμε οπότε k Tb(x) dλ(x) Tb k (x) dλ(x) caa λ(4b k ) ca f 1, k (2Q k ) c x 2Q k k λ ([ Tb > a] (2Q k ) c Tb(x) ) dλ(x) [ Tb >a] (2Q k ) c [ Tb >a] (2Q k ) a c Tb(x) dλ(x) ca f 1. (2Q k ) a a c k dλ(x)

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ FOURIER ΣΤΟΝ R N Συνεπώς λ([ T f > ε]) λ([ Tg > ε 2 ]) + λ([ Tb > ε ]) λ([ Tg > a]) + λ([ Tb > a]) 2 c f ( 1 c f 1 + + ca f ) 1 c(a + 2) f 1 a a a a και η απόδειξη ολοκληρώθηκε. 3.3 Πολλαπλασιαστές Fourier Ορισμός 3.3. Εάν m L, από την ταυτότητα Plancherel γνωρίζουμε ότι ορίζεται ο φραγμένος γραμμικός τελεστής T : L 2 L 2 : T f (ξ) = m(ξ) f (ξ), οπότε αντιστρέφοντας τον μετασχηματισμό Fourier, έχουμε T f (x) = (K f )(x) = K(x y) f (y)dλ(y), R n όπου K = m. Η συνάρτηση m καλείται πολλαπλασιαστής Fourier. Σκοπός μας είναι να εξετάσουμε υπό ποιες συνθήκες, ο πυρήνας K ικανοποιεί την συνθήκη Hörmander, ώστε να ελέγξουμε την συνέχεια του τελεστή T αυτού σε χώρους L p, p 2. Πρόταση 3.4. Εάν K C (R n \ {}) και ικανοποιεί την σχέση a xk(x) c a, για κάθε a 1 (3.1) x n+ a τότε ο πυρήνας ικανοποιεί την συνθήκη Hörmander. Απόδειξη. Εστω y, y R n και δ = y y. Τότε : K(x y) K(x y ) dλ(x) = K(x y) K(x y ) dλ(x) = x y 2 y y B(y,2δ) C = K(x y) K(x y ) dλ(x) S k k=1 όπου S k = {x R n : 2 k δ x y 2 k+1 δ}, k = 1, 2,.... Από το ϑεώρημα μέσης τιμής, υπάρχει y B(y, δ), τέτοιο ώστε : K(x y) K(x y ) = y K(x y ), y y y K(x y δ ) y y c x y n+1

3.3. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ FOURIER 31 Εάν x S k, τότε x y 2 k δ δ 2 k 1 δ, οπότε : δ K(x y) K(x y ) dλ(x) c dλ(x) c S k S k x y n+1 cδ ( 2 k 1 δ ) λ(s n+1 k) = ( c(n)δ (( 2 k 1 δ ) n+1 2 k+1 δ ) n ( 2 k δ ) n) 1 = c(n) Συνεπώς, x y y y = c(n) k=1 1 K(x y) K(x y ) dλ(x) = k=1 2 k S k δ ( 2 k 1 δ ) n+1 dλ(x) = S k K(x y) K(x y ) dλ(x) = 2 k = c(n). Επόμενως στόχος μάς είναι να εξετάσουμε τις συνθήκες, που πρέπει να ικανοποιεί ο πολλαπλασιαστής Fourier m, ώστε να ικανοποιείται η σχέση (3.1). Άρχικά πρέπει να εισάγουμε την δυαδική ανάλυση μιας συνάρτησης. 1, Εστω η C (R n εάν ξ 1 ), τέτοια ώστε η(ξ) =, εάν ξ 2. Θέτουμε φ(ξ) = η(ξ) η(2ξ), κι έχουμε φ(2 j ξ) = 1 Πράγματι l 2 l 1 j Z φ(2 j ξ) = η(2 l2 ξ) η(2 l1+1 ξ) η() = 1, καθώς l 1 και l 2 +. Παρατηρούμε μάλιστα ότι suppφ(ξ) = { ξ R n : 1 2 ξ 2}, οπότε έπεται suppφ(2 j ξ) = { ξ R n : 2 j 1 ξ 2 j+1} Η δυαδική ανάλυση μίας συνάρτησης f προκύπτει από την σχέση f (ξ) = + φ(2 j ξ) f (ξ) Πρόταση 3.5. Εάν m C (R n \ ), η οποία ικανοποιεί την σχέση a ξ m(ξ) c a, για κάθε a, (3.2) ξ a τότε ο μετασχηματισμός Fourier K της m, ικανοποίει την σχέση a xk(x) c a, για κάθε a x n+ a

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ FOURIER ΣΤΟΝ R N Απόδειξη. Εφαρμόζουμε την δυαδική ανάλυση της m και γράφουμε m(ξ) = + φ(2 j ξ)m(ξ) + m j (ξ) Θέτουμε K j (x) e 2πixξ m j (ξ)dλ(ξ) = e 2πixξ m j (ξ)dλ(ξ) R n 2 j 1 ξ 2 j+1 Θέλουμε να εκτιμήσουμε την έχουμε a xk j (x), για a >. Για όλους τους πολυδείκτες a, b x b a xk j (x) = ( 2πiξ) a x b e 2πixξ m j (ξ)dλ(ξ) = R n b = ( 2πiξ) a ξ e 2πixξ 2 j 1 ξ 2 ( 2πi) m j(ξ)dλ(ξ) = b j+1 = c e 2πixξ b ξ (ξa m j (ξ))dλ(ξ) 2 j 1 ξ 2 j+1 Από τον τύπο του Leibniz και την σχέση (3.2) έχουμε Επεται λοιπόν b ξ (ξa m j (ξ)) b k = c k ξ a k b k ξ m j (ξ) b k = c k ξ a k ξ b k = c ξ a b x b a xk j (x) c e 2 2πixξ b ξ (ξ a m j (ξ)) dλ(ξ) j 1 ξ 2 j+1 c ξ a b dλ(ξ) = c r a b +n 1 dλ(r) = 2 j 1 ξ 2 j+1 2 j 1 r 2 {( j+1 = c ) a b +n ( ) } a b +n 2 j+1 2 j 1 c ( 2 j+1) a b +n Οπότε εάν ϑέσουμε b =, τότε έχουμε a xk j (x) c x (2 j+1 ) a +n, j, N Για την εκτιμηση της ποσότητας a xk j (x) διακρίνουμε δύο περιπτώσεις, όταν x 1 κι όταν x > 1. j Z

3.4. Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ RIESZ ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ L P (R N ) 33 Εάν x 1, χωρίζουμε το άθροισμα σε δύο επιμέρους αθροίσματα. Στο πρώτο αθροίζουμε για j, τα οποία ικανοποιούν 2 j+1 < x 1, ενώ στο δεύτερο για j, για τα οποία ισχύει 2 j+1 x 1. Αν 2 j+1 < x 1 ή ισοδύναμα j < log 2 x 1, ϑεωρούμε την διάταξη j > j 1 > > j i >..., για αυτά τα j. Επιλέγοντας =, παίρνουμε a xk ji (x) c i N i N(2 ji+1 ) a +n = c(2 j+1 ) a +n (2 j i j ) a +n c x a +n i N αφού j i j < για κάθε i >. Αν 2 j+1 x 1 ή ισοδύναμα j log 2 x 1, ϑεωρούμε την διάταξη j < j 1 < < j i <..., για αυτά τα j. Επιλέγουμε τώρα > a + n κι έχουμε a xk ji (x) i N αφού a + n <. c x (2 ji+1 ) a +n = c (2 j +1 ) a +n x (2 j i j ) a +n i N c (2 j +1 ) a +n x c x x a +n i N c x a +n Εάν x > 1, επιλέγουμε > a + n, και έχουμε όπως πριν a xk ji (x) c x (2 ji+1 ) a +n c x i N i N c x a +n κι η απόδειξη είναι πλήρης. 3.4 Ο Μετασχηματισμός Riesz σε χώρους L p (R n ) Ορισμός 3.6. Μετασχηματισμός Riesz R j στον L 2 (R n ), όπου j = 1, 2,..., n, καλείται ο τελεστής R j : L 2 (R n ) L 2 (R n ) : f ( i ξ ) j f ξ ˆ Εάν n = 1 τότε ο μετασχηματισμός Riesz ανάγεται στον μετασχηματισμό Hilbert αφού sign(ξ) = ξ ξ. R j : L 2 (R) L 2 (R n ) : f ( isign( ) f ˆ )

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ FOURIER ΣΤΟΝ R N Ο μετασχηματισμός Riesz είναι L 2 -συνεχής γραμμικός τελεστής, αφού ο πολλαπλασιαστής Fourier είναι φραγμένος, καθώς m(ξ) = i ξ j ξ < 1. Εξ άλλου, ο μετασχηματισμός Riesz έχει συζυγή τον αντίθετο του εαυτού του, δηλαδή R j = R j. Πράγματι, για κάθε f, g L 2, έχουμε R j f, g Plancherel = R j f, ĝ = R j f (ξ)ĝ(ξ)dλ(ξ) = R n = i ξ j f R ξ ˆ (ξ)ĝ(ξ)dλ(ξ) = n = = R n R n ˆ f (ξ) ( i ξ ) j ξ ĝ(ξ) dλ(ξ) = ˆ f (ξ) ( R j g ) (ξ)dλ(ξ) = = ˆ f, R j g Plancherel = f, R j g Αρχικά, στόχος μας είναι να γράψουμε τον μετασχηματισμό Riesz, ως ιδιάζοντα ολοκληρωτικό τελεστή, ώστε να εξετάσουμε την συνέχεια του στους χώρους L p (R n ), p (1, + ). Λήμμα 3.7. Η συνάρτηση P : R n R : t 1 e ξ e itξ dλ(ξ) (2π) n καλείται πυρήνας R του Poisson. Για κάθε t R n, έχουμε n P(t) = Γ [(n + 1)/2] π (n+1)/2 1 (1 + t 2 ) (n+1)/2 + Απόδειξη. Ισχυρισμός : e β = 1 e u π u e β2 4u dλ(u) Εφαρμόζοντας ϑεωρία ολοκληρωτικών υπολοίπων έχουμε ότι: 2 + όπου cosβx + 1 + x dλ(x) = 2 ( cosβx + dλ(x) = Re 1 + x2 ( ) ] e iβz + Res 1 + z, i = lim [(z i) eiβz = e β 2 z i 1 + z 2 2i, άρα 2 ) ( ( )) e iβx e iβz 1 + x dλ(x) = Re 2πi Res 2 1 + z, i 2 cosβx dλ(x) = Re 1 + x2 ) (2πi e β = e β π. 2i

3.4. Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ RIESZ ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ L P (R N ) 35 + Οπότε e β = 2 cosβx dλ(x) π 1+x 2 Χρησιμοποιώντας τον τύπο 1 = + e u e ux2 dλ(u), γράφουμε : 1+x 2 e β = 2 + cosβx π 1 + x dλ(x) = 2 + { + } cosβx e u e ux2 du 2 π = 2 + { + } e u cosβx e ux2 dx dλ(u) = 2 + { 1 e u π π 2 dλ(x) Fubini = + } e iβx e ux2 dx dλ(u) αφού Im ( + eiβx e ux2 dλ(x) ) =. Θεωρώντας τον μετασχηματισμό x 2πy, ώστε να σχηματίσουμε το ολοκλήρωμα Euler - Poisson dλ(z) = R e z2 π, έπεται ότι : e β = 2 + + } e {π u e 4uπ2 y 2 e 2πiβy dλ(y) dλ(u) = π = 2 π = 2 π = 1 π + + + + e {π u π κι ο ισχυρισμός μας αποδείχτηκε. { 1 e u 2 u e e u e β2 4u dλ(u) u Επομένως, έχουμε P(t) = 1 e ξ e itξ dλ(ξ) ξ 2πy = (2π) n R n = = 1 π = 1 π = 1 π ( e 2 uπy+ iβ 2 u } β 2 4u R n + + dλ(u) = ) 2 e β2 /4u dλ(y)} dλ(u) = e 2π y e 2πity dλ(y) Ισχυρισμός = R { n 1 + } e u e 4π2 y 2 4u dλ(u) e 2πity dλ(y) Fubini = π u { } e u u e 2πity dλ(y) dλ(u) = u + { e u u e π 2 y 2 R n R n e { e u e u t 2 u ( yπ u it ) 2 u e dλ(y)} u t 2 dλ(u) = ( e yπ R n u it u ) 2 dλ(y)} dλ(u) Εφόσον η συνάρτηση e z2, z C, τείνει στο, όταν το z τείνει στο μιγαδικό άπειρο, προκύπτει από το ολοκλήρωμα Euler - Poison πάλι ότι ) 2 dλ(y) = R n e ( yπ u it u R n e ( yπ u ) 2 dλ(y) = ( u π)n 2

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ FOURIER ΣΤΟΝ R N Οπότε, επιστρέφοντας στον υπολογισμό του P(t) έχουμε ( u 2 1 + π)n P(t) = 1 π = + e u u e u t 2 dλ(u) 1 1 π (n+1)/2 ( ) 1 + t 2 n+1/2 + = π (n+1)/2 e s s (n 1)/2 dλ(s) = e u(1+ t 2 ) u (n 1)/2 dλ(u) u(1+ t 2 ) s = Γ [(n + 1)/2] π (n+1)/2 1 ( 1 + t 2 ) n+1/2 Πρόταση 3.8. Για κάθε f S(R n ) ισχύει ότι όπου c n = Γ[(n+1)/2] π (n+1)/2. (R j f )(x) = c n f (x y) dλ(y), R y n n+1 y j Απόδειξη. Εφόσον f S(R n ), έπεται ότι και μάλιστα εφόσον i ξ j R j f (ξ) = i ξ j f ξ ˆ (ξ) = lim δ ξ ˆ ( iξ j e ξ δ e ξ /δ ξ ) f ˆ(ξ), f (ξ) f ˆ(ξ), και ο χώρος του Schwarz παραμένει αναλλοίωτος από τον μετασχηματισμό Fourier, από το ϑεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης έπεται πως η σύγκλιση είναι στον L 1. Εχουμε λοιπόν ) e ( iξ ξ δ e ξ /δ j fˆ (x) = 1 ) e (iξ ξ δ e ξ /δ ξ (2π) n/2 j f ˆ(ξ)e iξx dλ(ξ) = R ξ n = 1 ( e [iξ ξ δ e ξ /δ ) ] 1 (2π) n/2 j f (y)e iξy dλ(y) e iξx dλ(ξ) x y y = R ξ (2π) n n/2 R n = 1 e (iξ ξ δ e ξ /δ ) (2π) n j f (x y)e iξy dλ(y) dλ(ξ) Fubini = R ξ n R n = 1 [ (Rn )] e ξ δ e ξ /δ f (x y) iξ (2π) n j e iξy dλ(ξ) dλ(y) = R ξ { n [ ( 1 δ ) ]} = f (x y) iξ R (2π) n n j e ξ z dz e iξy dλ(ξ) dλ(y) R n 1/δ ( ) Για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα 1 δ iξ (2π) n R n j 1/δ e ξ z dz e iξy dλ(ξ), γράφουμε ( δ ) ( δ 1 (2π) n = δ 1/δ iξ j R n ( y j 1 (2π) n e ξ z dλ(z) 1/δ e iξy dλ(ξ) = 1 (2π) n ) e ξ z e iξy dλ(ξ)dλ(z) = R n R n δ 1/δ e ξ z dλ(z) 1/δ y j P 1/z (y)dλ(z) ) e iξy dλ(ξ) Fubini = y j