: Θέμα 4 o από εξέταση της 4/9/7: α Σχετικά με τις οριακές συνθήκες των πεδίων B και H, αποδείξτε τα ακόλουθα α Η συνιστώσα του B κάθετα στην επιφάνεια διαχωρισμού δύο μέσων είναι συνεχής α Η εφαπτομενική συνιστώσα του H είναι συνεχής αν δεν υπάρχουν επιφανειακά ελεύθερα ρεύματα Δίδονται C dτ C d a και C d a C d l β Στο χώρο υπάρχει μαγνητικό πεδίο B και πεδίο H ταοποία σε σφαιρικές συντεταγμένες γράφονται B cos θ B ˆr B sin θ ˆθ, r < R λ r cos θ ˆr + λ 3 r sin θ ˆθ και, r > R 3 λb, r < R H λ 3B,, r > R όπου B, R, λ, λ, λ 3 σταθερά Με δεδομένο ότι δεν υπάρχουν ελεύθερα ρεύματα και ότι ο χώρος r > R είναι κενός, να προσδιοριστούν τα λ, λ, λ 3 τα B και R θεωρούνται γνωστά Ποια κατανομή μαγνήτισης δημιουργεί τα πεδία; : Θέμα 4 o από εξέταση της 6//: Δύο μαγνητισμένα ημισφαίρια ίδιας ακτίνας R είναι σε επαφή και σχηματίζουν μια σφαίρα Τα ημισφαίρια φέρουν σταθερή μαγνήτιση παράλληλη στον άξονα συμμετρίας τους, με φορά από τη βάση τους προς την ημισφαιρική επιφάνειά τους R O ο σετ ασκήσεων Ηλεκτρομαγνητισμού Ι M M M M α Για να βρούμε το μαγνητικό πεδίο μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε βαθμωτό δυναμικό και να αντιστοιχίσουμε τις H και H M στις H Φ m και Φ m M Στο εξωτερικό της σφαίρας ισχύει λοιπόν η εξίσωση Laplace Φ m Βρείτε το δυναμικό εκτός της σφαίρας για r > R αν γνωρίζετε ότι στον άξονα, για > R, είναι ] 3/ + R + R Φ m M [ 3 / + 3 Δίνεται το ανάπτυγμα 3 + ξ / + 3 + ξ 3/ ξ4 4 ξ 6 6 + 3 ξ 8 4 8 3 5 ξ 4 6 + [ ] k 3 5 k ξ k+4 για ξ < k + 4 4 6 k k }} c k Επίσης για τα πολυώνυμα Legendre P l ± ± l β Πως περιμένατε να ελαττώνεται το μαγνητικό πεδίο B σε μεγάλες αποστάσεις από τη σφαίρα, r R; Σαν αντιστρόφως ανάλογο του r 3 ή του r 4 ; Επαληθεύεται αυτό από τη λύση που βρήκατε; 3 : Θέμα 3 o από εξέταση της //4: α Για ευθύγραμμο αγωγό κατά τον άξονα που διαρρέεται από ρεύμα έντασης I, δείξτε ότι το πεδίο A A ẑ όπου A αποτελεί διανυσματικό δυναμικό β Άπειρη λωρίδα πάχους α, στο επίπεδο, εκτείνεται από α ως +α και διαρρέεται από σταθερό επιφανειακό ρεύμα έντασης K K ẑ, όπως στο σχήμα Να βρεθεί διανυσματικό δυναμικό µ I 4π ln + + σταθ α Υπόδειξη: Χωρίστε σε λωρίδες απειροστού πάχους d και ολοκληρώστε από α έως +α Μπορείτε να εκφράσετε το αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας την συνάρτηση fs, c s ln u + c du s ln s + c s + c arctan s c γ Βρείτε το μαγνητικό πεδίο της άπειρης λωρίδας του ερωτήματος β fs, c Δίνονται ln s + c fs, c, s c arctan s c 4 : Θέμα 3 o από εξέταση της 6//3: Το διανυσματικό δυναμικό για κυκλικό βρόχο ακτίνας ρ που διαρρέεται από ρεύμα έντασης I είναι A A φ r, θ ˆφ σε σφαιρικές συντεταγμένες, όπου, για r > ρ, A φ r, θ µ π I ρn+ P 4π r n+ n sin θ sin φ sin φ dφ n Να γραφεί η αντίστοιχη έκφραση για το διανυσματικό δυναμικό ενός ομοιόμορφα φορτισμένου δίσκου ακτίνας R με επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σ, που περιστρέφεται γύρω από τον άξονά του με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω η έκφραση ζητείται για r > R Υπολογίστε τους δυο πρώτους όρους της σειράς Δίνονται P u, P u u K O α Νεκτάριος Βλαχάκης, //5
Υπόδειξη: Χωρίστε το δίσκο σε δακτυλίους πάχους dρ και ολοκληρώστε από ρ ως ρ R 5 : Θέμα 3 o από εξέταση της /3/5: Χρησιμοποιώντας την αρχή της επαλληλίας βρείτε το μαγνητικό πεδίο στην κεντρική περιοχή του παρακάτω μαγνήτη αριστερό σχήμα, το υλικό του οποίου είναι ομογενώς μαγνητισμένο με μαγνήτιση M N S N S M π + ο σετ ασκήσεων Ηλεκτρομαγνητισμού Ι Οπως φαίνεται στο σχήμα, πρέπει να αθροίσετε α το πεδίο μιας πλάκας μεγάλων διαστάσεων και πάχους R με μαγνήτιση M π M παράλληλη στις βάσεις της και β το πεδίο κυλίνδρου μεγάλου μήκους και ακτίνας R με μαγνήτιση M κ M κάθετη στον άξονά του Υποδείξεις: Για το α δείξτε πρώτα ότι το πεδίο H π μηδενίζεται Για το β βρείτε πρώτα τα δέσμια ρεύματα και το διανυσματικό δυναμικό το οποίο έχει μορφή A κ A κ ϖ, φ ẑ με A κ ϖ, φ Cϖ sin φ, ϖ R Dϖ sin φ, ϖ R και δίνει πεδίο B κ A κ ϖ, φ ˆϖ A κϖ, φ ˆφ ϖ φ ϖ Δίνονται ˆ ˆϖ sin φẑ και cos φ ˆr sin φ ˆφ ˆ 6 : Θέμα 4 o από εξέταση της 6//3: Βρείτε το μαγνητικό πεδίο στην κεντρική περιοχή του παρακάτω μαγνήτη, το υλικό του οποίου είναι ομογενώς μαγνητισμένο με μαγνήτιση M M ˆ Θεωρήστε ότι το μαγνητισμένο υλικό γεμίζει το χώρο < <, R < < R, < <, εκτός της κυλινδρικής κοιλότητας απείρου μήκους και ακτίνας R γύρω από τον άξονα S N S N M κ Ενας τρόπος βασίζεται στην αναλογία ηλεκτρισμού/μαγνητισμού απουσία ελεύθερων φορτίων/ρευμάτων που συνοψίζεται στον παρακάτω πίνακα ηλεκτρισμός με ρ f μαγνητισμός με J f E H E P /ε H M E V H Φm V P /ε Φ m M D ε E + P B µ H + M V V Φ m Φ m D D B B Επομένως το πεδίο H που δημιουργεί μια μαγνήτιση M βρίσκεται όπως το ηλεκτρικό πεδίο που δημιουργεί μια πόλωση, με τις αντιστοιχίες P M, ε E H, ε V Φ m, D B/µ α Βρείτε την πυκνότητα χωρικού ρ m M και επιφανειακού σ m M ˆn «μαγνητικού φορτίου» όπου αυτό υπάρχει και δείξτε ότι το δυναμικό Φ m ικανοποιεί την εξίσωση Laplace στους χώρους ϖ < R και R < ϖ < β Η κατάλληλη λύση της εξίσωσης Laplace είναι Φ m Νεκτάριος Βλαχάκης, //5 a ϖ cos φ, ϖ R, b ϖ cos φ, ϖ R Χρησιμοποιώντας τις οριακές συνθήκες βρείτε τις σταθερές a και b γ Βρείτε το πεδίο H και το μαγνητικό πεδίο B στο εσωτερικό της κυλινδρικής κοιλότητας 7 : Πρόβλημα 67 από Griffiths: Ενα μαγνητικό δίπολο m τοποθετείται στο κέντρο μιας σφαίρας ακτίνας R από γραμμικό μαγνητικό υλικό διαπερατότητας µ Δείξτε ότι το μαγνητικό πεδίο στο εσωτερικό της σφαίρας < r < R είναι µ 4π r [3 m ˆr ˆr m] + µ } µ m 3 µ + µ R 3 Πόσο είναι το πεδίο στο εξωτερικό της σφαίρας; 8 : Θέμα 4 o από εξέταση της 5/5/4: Εστω φύλλο ρεύματος στο επίπεδο, με σταθερή επιφανειακή πυκνότητα K f K f ŷ Στο χώρο λίγο κάτω από το φύλλο τόσο το μαγνητικό πεδίο B όσο και το πεδίο H είναι μηδενικά K α Χρησιμοποιώντας οριακές συνθήκες βρείτε το μαγνητικό πεδίο B στο χώρο λίγο πάνω από το φύλλο αν αυτός είναι κενός β Ποιο είναι το μαγνητικό πεδίο που δημιουργεί το φύλλο ρεύματος και ποιο το πεδίο B άλλα που δημιουργούν στην περιοχή άλλα ρεύματα εκτός του f
φύλλου; Ποια η δύναμη ανά επιφάνεια που δέχεται το φύλλο ρεύματος; γ Αν ο χώρος λίγο πάνω από το φύλλο είναι γεμάτος από γραμμικό μαγνητικό υλικό με μαγνητική διαπερατότητα µ, ποια είναι τα πεδία H και B στο χώρο αυτό; Ισως χρειαστείτε τη διανυσματική ταυτότητα a b c a c b b c a 9 : Σωληνοειδές απείρου μήκους και ακτίνας R έχει ο σετ ασκήσεων Ηλεκτρομαγνητισμού Ι ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ N σπείρες ανά μήκος και διαρρέεται από ρεύμα I Στο εσωτερικό του έχει ένα R R R μόνιμο μαγνήτη που καλύπτει το χώρο ϖ < R και φέρει μαγνήτιση M παράλληλη στον άξονά του, ενώ ο χώρος R < ϖ < R είναι γεμάτος με γραμμικό μαγνητικό υλικό επιδεκτικότητας χ Να βρεθούν τα πεδία H και B σε όλο το χώρο καθώς και τα δέσμια ρεύματα όπου υπάρχουν Καρτεσιανές,, Κυλινδρικές ϖ, φ, Σφαιρικές r, θ, φ ϖ cos φ r sin θ cos φ ϖ sin φ r sin θ sin φ r cos θ v v ˆ + v ŷ + v ẑ v ϖ ˆϖ + v φ ˆφ + v ẑ v rˆr + v θ ˆθ + vφ ˆφ f f f ˆ + ŷ + f ẑ f ϖ ˆϖ + f ϖ φ ˆφ + f ẑ f r ˆr + f r θ ˆθ + f r sin θ φ ˆφ v v + v + v ϖv ϖ ϖ ϖ + v φ ϖ φ + v r v r r + v θ sin θ + r r sin θ θ r sin θ v v v ˆ+ v v v ϖ φ v [ φ vφ sin θ ˆϖ+ v ] θ ˆr+ vϖ ŷ+ v v v r sin[ θ θ φ v r ˆφ+ [ ϖ ϖvφ ẑ ϖ ϖ v ] r sin θ φ rv ] φ ˆθ+ [ r ϖ rvθ ẑ v ] r ˆφ φ r r θ f f + f + f ϖ f + f ϖ ϖ ϖ ϖ φ + f r r f + r r r sin θ f + sin θ θ θ d l dˆ + dŷ + dẑ dϖ ˆϖ + ϖdφ ˆφ + dẑ drˆr + rdθˆθ + r sin θdφ ˆφ d a ddˆ + ddŷ + ddẑ ϖdφd ˆϖ + dϖd ˆφ + ϖdϖdφẑ r sin θdθdφˆr + r sin θdrdφˆθ + rdrdθ ˆφ dτ ddd ϖdϖdφd r sin θdrdθdφ v φ φ f r sin θ φ Νεκτάριος Βλαχάκης, //5
: α β Η συνέχεια της κάθετης B r συνιστώσας στην σφαιρική επιφάνεια r R δίνει B cos θ λ R 3 cos θ λ B R 3 Ο χώρος r >R είναι κενός, άρα B µ H λ3 µ Αφού δεν υπάρχουν ελεύθερα ρεύματα η εφαπτομενική συνιστώσα του πεδίου H στην σφαιρική επιφάνεια r R η H θ συνιστώσα πρέπει να είναι συνεχής, οπότε λ B θ rr λ 3 B θ rr + λ B sin θ λ λ 3 R sin θ λ 3 µ Η μαγνήτιση είναι μηδέν για r > R όπου ο χώρος είναι κενός, ενώ για r < R είναι M B H µ και αντικαθιστώντας προκύπτει M 3B cos θ ˆr sin θ µ ˆθ για ομογενώς μαγνητισμένη σφαίρα Μπορεί να ελεγχθεί ότι ισχύουν οι B και H στο εσωτερικό των περιοχών r < R και r > R ο σετ ασκήσεων Ηλεκτρομαγνητισμού Ι 3B µ ẑ Πρόκειται λοιπόν : Η λύση της Laplace στο εξωτερικό της σφαίρας b l είναι Φ m a + r P lcos θ l+ l Οι συντελεστές θα βρεθούν από την απαίτηση η λύση αυτή πάνω στον ημιάξονα, δηλ για θ, να είναι ίση με το δοσμένο δυναμικό: a + b l r l+ [ l / M r 3 + R + ] 3/ + R θέσαμε r 3 r r κάτι που ισχύει αν θ Θα μπορούσαμε να εργαστούμε όμοια στον ημιάξονα θ π Χρησιμοποιώντας το δοσμένο ανάπτυγμα με ξ R r b l k+4 R ξ <, είναι a + r M r c l+ k r l k Επομένως υπάρχουν μόνο συντελεστές b l με l k +, k,,, και είναι ίσοι με b k+ M c k R k+4 b l για περιττά l και για l Το δυναμικό είναι λοιπόν σε όλο το χώρο r R R k+3 Φ m M R c k r P k+cos θ, ή k+3 k k k!! R k+3 Φ m M R k + 4k!! r P k+cos θ k+3 k Θα μπορούσαμε να βρούμε το δυναμικό επεκτείνοντας την μορφή του που ισχύει στον ημιάξονα θ ΛΥΣΕΙΣ: Νεκτάριος Βλαχάκης, //5 σε όλα τα υπόλοιπα θ Κάθε όρος A n r n+ που ισχύει για θ επεκτείνεται σε A n r P ncos θ σε όλα τα θ n+ αφού αυτή είναι η λύση της Laplace που είναι ανάλογη του /r n+ Ετσι το δυναμικό για θ, που με χρήση του αναπτύγματος γράφεται επεκτείνεται σε M c k R k+4 r k++ k M c k R k+4 Φ m r P k+cos θ k++ k β Αφού η συνολική διπολική ροπή της σφαίρας είναι μηδέν δεν υπάρχει διπολικός όρος στο πολυπολικό r 3 ανάπτυγμα ο οποίος θα ήταν αντιστρόφως ανάλογο του r 3 Συνεπώς το μαγνητικό πεδίο σε μεγάλες αποστάσεις από τη σφαίρα ελαττώνεται σαν αντιστρόφως ανάλογο του r 4 λόγω του τετραπολικού όρου Αυτό επαληθεύεται από τη λύση που βρήκαμε, αφού ο σημαντικότερος όρος σε μεγάλες αποστάσεις είναι ο k, δηλ Φ m M c R 4 P cos θ Αφού το δυναμικό ελαττώνεται σαν αντιστρόφως ανάλογο του r 3, το μαγνητικό πεδίο B µ Φm ελαττώνεται σαν αντιστρόφως ανάλογο του r 4 3 : α B [A, ẑ] A ˆ A ŷ Αντικαθιστώντας βρίσκουμε B µ I ˆ ŷ π +, ή σε κυλινδρικές με ϖ cos φ, ϖ sin φ, B µ I πϖ sin φˆ + cos φŷ µ I πϖ ˆφ, δηλ βρήκαμε το πεδίο ευθύγραμμου αγωγού κατά τον άξονα που διαρρέεται από ρεύμα έντασης I β Κάθε λωρίδα απειροστού πάχους d στη θέση αντιστοιχεί σε ευθύγραμμο αγωγό κατά τον άξονα που διαρρέεται από ρεύμα έντασης di Kd Το αντίστοιχο διανυσματικό δυναμικό είναι da ẑ µ Kd ln [ + ] 4π Ολοκληρώνοντας, το διανυσματικό δυναμικό της λωρίδας είναι A ẑ µ a K ln [ + ] d 4π a Θέτοντας u, μπορούμε να γράψουμε το αποτέλεσμα σαν A ẑ µ a K ln u + du 4π +a ẑ µ K [f a, f + a, ] 4π γ Το μαγνητικό πεδίο της λωρίδας είναι B [A, ẑ] A ˆ A ŷ µ [ ] K f a, f + a, ˆ 4π
+ µ [ K 4π µ K π f a, + arctan a + a + a + ŷ ο σετ ασκήσεων Ηλεκτρομαγνητισμού Ι f + a, + arctan a + ] ŷ ˆ + µ K π ln Το επόμενο σχήμα δείχνει τις δυναμικές γραμμές του μαγνητικού πεδίου êa - - - Μπορεί να ελεγχθεί ότι η ασυνέχεια του B στην επιφάνεια ικανοποιεί την σωστή οριακή συνθήκη Είναι lim arctan a π/ αν < a + π/ αν > a και lim arctan a + π/ αν > a επομένως lim B µ K + π/ αν < a αν < a αν a < < a + αν > a Η συνάρτηση B είναι περιττή ως προς, επομένως αν < a lim B µ K αν a < < a αν > a Ετσι η συνιστώσα B είναι ασυνεχής στο επίπεδο μόνο στην περιοχή της λωρίδας a < < a, με την ασυνέχεια να ικανοποιεί την B + B µ K ŷ Η ˆ συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου γράφεται B µ K a A + B, όπου A arctan και π B arctan a + Χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα tan A + tan B tana + B tan A tan B a + a θα μπορούσαμε να απλοποιήσουμε το άθροισμα A + B και κατά συνέπεια την έκφραση της B Χρειάζεται όμως προσοχή γιατί μια σχέση tan ξ η αντιστρέφεται και δίνει ξ arctan η μόνο αν ξ π, π Στο διάστημα > a τα tan A a, tan B êa a + είναι αντίθετα Επομένως από τις γωνίες A και B η μία ανήκει στο διάστημα π, και η άλλη στο, π Το άθροισμά τους ανήκει στο π, π a και άρα η tana + B + a αντιστρέφεται a και δίνει A + B arctan + a Αν < a και > τα tan A a, tan B a + είναι και τα δύο θετικά, οπότε A+B, π, ή A+B π λοιπόν να αντιστρέψουμε την tan π, π Μπορούμε A + B π tana + B + a και να γράψουμε a A + B π arctan + a a Ομοια αν < a και <, οπότε A + B π, βρίσκουμε A + B π arctan + a a Ετσι μπορούμε να γράψουμε την ˆ συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου σαν B µ K π arctan αν > a π a + a arctan + a a αν < a Στην οριακή περίπτωση a η λύση γίνεται B µ K π lim arctan a + arctan a + ˆ a + µ K π + a + ŷ Αν > εί- a + ναι lim ln a lim arctan a ± a π, αν < είναι lim arctan a ± π, ενώ το όρισμα του λογαρίθμου είναι μονάδα Ετσι βρίσκουμε το πεδίο από a άπειρο φύλλο ρεύματος B µ K ˆ για > και B µ K Νεκτάριος Βλαχάκης, //5 ˆ για < Στην άλλη οριακή περίπτωση a, αλλά με πεπερασμένο ολικό ρεύμα I ak, η λύση γίνεται B µ I 4π lim arctan a + arctan a + ˆ a a + µ I 8π lim a a ln + a + ŷ Και τα δύο όρια είναι της μορφής / Με κανόνα L Hôpital a + βρίσκουμε
lim arctan a + arctan a + a a και lim a a ln + a + 4 a + + ο σετ ασκήσεων Ηλεκτρομαγνητισμού Ι +, οπότε βρίσκουμε το πεδίο ευθύγραμμου αγωγού απείρου μή- κους B µ I ˆ + ŷ π + 4 : Το επιφανειακό ρεύμα που δημιουργείται λόγω της περιστροφής του δίσκου είναι K σ v σωr ˆφ Κάθε δακτύλιος ακτίνας ρ και πάχους dρ διαρρέεται από ρεύμα di Kdρ σωρdρ και δημιουργεί πεδίο με διανυσματικό δυναμικό da ˆφ µ π di ρn+ P 4π r n+ n sin θ sin φ sin φ dφ σε n αποστάσεις r > ρ Αντικαθιστώντας το di σωρdρ και ολοκληρώνοντας σε όλη την έκταση του δακτυλίου βρίσκουμε το συνολικό διανυσματικό δυναμικό A ˆφ µ σω R π ρ n+ dρ P 4π r n+ n sin θ sin φ sin φ dφ n R n+3 π A ˆφ µ σω 4π n + 3r n+ n σε αποστάσεις r > R σω Ο πρώτος όρος είναι ˆφµ 4π R 3 π sin φ dφ 3r μηδενίζεται όπως αναμέναμε καθώς δεν υπάρχει μονοπολικός όρος στο πολυπολικό ανάπτυγμα μαγνητικού πεδίου π ˆφ συμπεραί- Ο δεύτερος όρος είναι ˆφ µ σω R 4 4π 4r µ σωr 4 6r Συγκρίνοντας με την έκφραση µ m sin θ 4πr νουμε ότι m σωπr4 sin θ sin φ dφ sin θ ˆφ και αντιστοιχεί σε διπολικό πεδίο Η διπολική ροπή του δίσκου 4 R είναι πράγματι m πr di πr σωrdr σωπr4 4 5 : α H π και H π M, αφού M Mˆ Άρα το πεδίο H π είναι μηδέν και το μαγνητικό πεδίο της πλάκας είναι B π µ M Β τρόπος: Τα δέσμια ρεύματα είναι J b M και Kb M ±ŷ ±Mẑ Αυτά δημιουργούν μαγνητικό πεδίο της μορφής B π B π ˆ και πεδίο H π της μορφής H π H π ˆ Μέσω ολοκληρωτικού νόμου Ampére για το H π σε κατάλληλο ορθογώνιο βρόχο και λόγω του ότι H π για ± δείχνουμε ότι H π, οπότε B π µ M Μπορούμε να βρούμε το B π και μέσω ολοκληρωτικού νόμου Ampére για το B π σε κατάλληλους ορθογώνιους βρόχους, λαμβάνοντας υπόψη τα δέσμια ρεύματα β Τα δέσμια ρεύματα είναι Jb M κ και Kb M κ ˆϖ M ˆ ˆϖ M sin φẑ Αυτά δημιουργούν πεδίο με A κ A κ ϖ, φ ẑ, όπου A κ Για την κατάλληλη λύση της Laplace δίνεται ισχύουν οι οριακές συνθήκες: A κ ϖr + A κ ϖr D CR και A κ ϖ ϖr + A κ ϖ µ K b D ϖr + R C µ M με λύση C µ M/, D µ MR / Ισοδύναμα, θα μπορούσαμε να χρησιμοποιούσαμε την οριακή συνθήκη ϖr B κ ϖr B κ µ Kb ˆϖ + Άρα, μέσα στον κύλινδρο είναι Aκ µ M/ẑ και B κ A κ µ M/ˆ µ M/ Το ίδιο από A κ Bκ ϖ φ ˆϖ A κ ϖ ˆφ µ M cos φˆr sin φ ˆφ µ M ˆ Το συνολικό πεδίο στην κεντρική περιοχή του μαγνήτη προ- P n sin θ sin φ sin φ dφ κύπτει µ M + Νεκτάριος Βλαχάκης, //5 µ M µ M 6 : α ρ m M αφού M σταθερό Στις επιφάνειες ±R είναι σ m διότι M ˆn Επομένως τα μόνα «φορτία» είναι τα επιφανειακά στην κυλινδρική επιφάνεια ϖ R, με σ m M ˆn M ˆ ˆϖ M cos φ Υπάρχουν και επιφανειακά φορτία M ±ˆ ±M στις πλευρές ±, R < < R, τα οποία όμως δεν επηρεάζουν αφού είναι στο άπειρο και το πλάτος R της φορτισμένης λωρίδας είναι πεπερασμένο Το δυναμικό Φ m ικανοποιεί την εξίσωση Laplace στους χώρους ϖ < R και R < ϖ < αφού σε αυτές δεν υπάρχουν φορτία a ϖ cos φ, ϖ R β Φ m b ϖ cos φ, ϖ R H Φ a cos φ ˆϖ sin φ ˆφ, ϖ < R m b cos φ ˆϖ + sin φ ϖ ˆφ, ϖ > R B µ H + M με M M ˆ για ϖ > R και ˆ ˆ ˆϖ ˆϖ+ˆ ˆφ ˆφ cos φ ˆϖ sin φ ˆφ, B επομένως µ a cos φ ˆϖ sin φ ˆφ, ϖ < R b ϖ + M b cos φ ˆϖ+ ϖ M sin φ ˆφ, ϖ > R Οι σταθερές θα βρεθούν από την συνέχεια του δυνα-
μικού και την συνέχεια της κάθετης συνιστώσας του μαγνητικού πεδίου στην επιφάνεια ϖ R Ετσι προκύπτουν a R b R και a b + M, η λύση R των οποίων δίνει a M, b MR Αντί της συνέχειας της κάθετης συνιστώσας του μαγνητικού πεδίου στην επιφάνεια ϖ R θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε την ασυνέχεια της κάθετης συνιστώσας του πεδίου H, δηλ την οριακή συνθήκη H ϖ ϖr + H ϖ ϖr σ m γ Στο εσωτερικό της κοιλότητας προκύπτουν ομογενή πεδία H M cos φ ˆϖ sin φ ˆφ M και B µ M 7 : Εκτός από τη λύση του Griffiths, το πρόβλημα μπορεί να λυθεί και με τη βοήθεια του βαθμωτού δυναμικού στον μαγνητισμό: Το μαγνητικό πεδίο του διπόλου m θα μαγνητίσει τη σφαίρα και η μαγνήτιση M θα αντιστοιχεί σε δέσμια ρεύματα J b στο εσωτερικό και Kb στην επιφάνεια r R Αφού το μέσο είναι γραμμικό θα ισχύει Jb M χ H για r < R όπου η επιδεκτικότητα χ είναι σταθερή Άρα J b χj f και αφού το μόνο ελεύθερο ρεύμα είναι αυτό που αντιστοιχεί στη διπολική ροπή m στο κέντρο της σφαίρας, θα υπάρχει ένα ανάλογο δέσμιο ρεύμα που θα δημιουργεί «δέσμιο» δίπολο ροπής m b χ m στο ίδιο σημείο Ετσι στο κέντρο της σφαίρας θα υπάρχει συνολική διπολική ροπή m oλ +χ m µ µ m ο σετ ασκήσεων Ηλεκτρομαγνητισμού Ι Παρότι υπάρχουν και επιφανειακά δέσμια ρεύματα στην ακτίνα r R, το μαγνητικό πεδίο σε αποστάσεις r R κυριαρχείται από το πεδίο της m oλ, δηλ B r R µ 4πr [3 m 3 oλ ˆr ˆr m oλ ] µ 4πr [3 m ˆr ˆr m] Για το πεδίο B H 3 µ είναι H r R [3 m ˆr ˆr m] ή σε σφαιρικές συντεταγμένες συστήματος με κέντρο το 4πr3 κέντρο της σφαίρας και ẑ ομόρροπο της m, H r R m cos θ ˆr+sin θ 4πr ˆθ m cos θ 3 4πr Αφού H σε όλο το χώρο r > μόνο στο r υπάρχει το ελεύθερο ρεύμα που αντιστοιχεί στη διπολική ροπή m μπορούμε να ορίσουμε βαθμωτό δυναμικό Φ m και να γράψουμε το πεδίο H σαν H Φ m Είναι H }} µ + χ } B } Φ m Φ m για r < R όπου το χ σταθερό και όμοια H }} Φ m B µ }} Φ m για r > R Το δυναμικό Φ m δηλ ικανοποιεί την εξίσωση Laplace στις δύο περιοχές < r < R, r > R και λόγω συμμετρίας είναι συνάρτηση Φ m r, θ Η γενική λύση της Laplace γράφεται μέσω των πολυωνύμων Legendre Αφού γράψουμε λύση τέτοιας μορφής στις δυο περιοχές, οι συντελεστές θα προσδιοριστούν από τις οριακές συνθήκες: ❶ στην επιφάνεια r R η εφαπτομενική συνιστώσα του H είναι συνεχής, δηλ H θ rr + H θ rr Φ m θ Φ m rr + θ ή ισοδύναμα το δυναμικό rr, είναι συνεχές: Φ m rr + Φ m rr ❷ στην επιφάνεια r R η κάθετη συνιστώσα του B είναι συνεχής, δηλ B r rr + Φ m B r rr µ H r rr +µh r rr µ r rr + µ Φ m r rr ❸ κοντά στο σημείο r : Φ m m cos θ ώστε το 4πr πεδίο B µ H µ Φ m να είναι το πεδίο της m oλ το οποίο θέλουμε να απειρίζεται όπως απειρίζεται το πεδίο του διπόλου ❹ σε μεγάλες αποστάσεις r R το πεδίο μηδενίζεται, Φ m r γενικότερα το δυναμικό μπορεί να είναι σταθερό μπορούμε να επιλέξουμε αυτή τη σταθερά ίση με μηδέν χωρίς βλάβη της γενικότητας ❺ Πρέπει επίσης να εξασφαλίσουμε ότι ισχύει B B d a δεν υπάρχουν μαγνητικά μονόπολα Αυτό αντικατοπτρίζεται στην απουσία του μονοπολικού όρου σε μεγάλες αποστάσεις Το πρόβλημα η εξίσωση και οι οριακές συνθήκες είναι μαθηματικά ισοδύναμο με το πρόβλημα όπου ηλεκτρικό δίπολο ροπής p είναι εμφυτευμένο στο κέντρο σφαίρας ακτίνας R από διηλεκτρικό υλικό ηλεκτρικής επιδεκτικότητας ε, αν κάνουμε τις αντικαταστάσεις p ε m, ε µ, V Φ m, E H, ε µ D B Η οριακή ❸ είναι η μόνη που «επιλέγει» την θ εξάρτηση της λύσης, άρα η μορφή του Φ m που ικανοποιεί αυτόματα τις οριακές ❸, ❹ και την απαίτηση ❺ είναι a + a r cos θ + m cos θ, r < R Φ m 4πr B cos θ, r > R r Οι οριακές ❶, ❷ δίνουν a, B a R 3 + m 4π, µ µ B m 4π a R 3 Νεκτάριος Βλαχάκης, //5 η λύση των οποίων οδηγεί στις
ο σετ ασκήσεων Ηλεκτρομαγνητισμού Ι m µ µ m cos θ r cos θ +, r R Φ m 4πR 3 µ + µ 4πr m 3µ cos θ, r R 4π µ + µ r Το πεδίο H στο εσωτερικό της σφαίρας είναι επαλληλία [ του πεδίου από το δίπολο ] m με ομογενές m µ µ 4πR 3 µ + µ } r cos θ } µ µ m µ + µ 4πR, 3 ενώ στο εξωτερικό της σφαίρας είναι πεδίο διπόλου 3µ διπολικής ροπής µ + µ m µ µ m 3 m ˆrˆr m Είναι H +, r < R µ + µ 4πR3 4πr 3 3µ 3 m ˆrˆr m, r > R µ + µ 4πr 3 µµ µ m ˆrˆr m + µ3 m, r < R B µ + µ 4πR3 4πr 3 3µµ 3 m ˆrˆr m, r > R µ + µ 4πr 3 ενώ η μαγνήτιση της σφαίρας είναι για r < R M µ µ m µ + µµ 4πR + µ µ 3 m ˆrˆr m 3 µ 4πr 3 8 : α Από την οριακή B + B µ K ẑ, με K K f ŷ και B προκύπτει B µ K f ˆ β Το φύλλο ρεύματος δημιουργεί πεδίο µ K f ˆ στο χώρο > και µ K f ˆ στο χώρο < Αφού το συνολικό πεδίο είναι µ K f ˆ στο χώρο > και στο χώρο < είναι B άλλα µ K f ˆ Η δύναμη ανά επιφάνεια είναι K f ddŷ B άλλα d d Id l B άλλα επιφάνεια K f B άλλα µ K f ẑ B + µ ẑ γ Τώρα υπάρχει και δέσμιο επιφανειακό φορτίο στο επίπεδο Αυτό όμως δεν επηρεάζει την ασυνέχεια της εφαπτομενικής συνιστώσας του πεδίου H: H + H K f ẑ Άρα, μηδενίζοντας το πεδίο κάτω από το φύλλο προκύπτει H + K f ˆ και B + µ H + µk f ˆ Η κάθετη συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου είναι συνεχής, άρα B + αφού κάτω από το φύλλο είναι μηδέν Συνολικά λοιπόν B + µk f ˆ 9 : Λόγω συμμετρίας θα είναι H Hϖẑ με lim Hϖ Εφαρμόζοντας τον ολοκληρωτικό ϖ νόμο Ampére H d l I f,εγκ σε ορθογώνιους βρόχους ϖ < ϖ < ϖ, < < και λαμβάνοντας υπόψη ότι τα μόνα ελεύθερα ρεύματα βρίσκονται στην επιφάνεια του σωληνοειδούς ϖ R, προκύπτουν τα εξής: Αν ϖ > R και ϖ + προκύπτει Hϖ Αν ϖ < R και ϖ > R προκύπτει Hϖ NI Δηλ H NIẑ, ϖ < R, ϖ > R Από τη σχέση B µ H + M μέσα στον μόνιμο μαγνήτη και B µ + χ H στο γραμμικό μαγνητικό υλικό και στο κενό βρίσκουμε B µ NI + M ẑ, ϖ < R µ + χniẑ, R < ϖ < R µ NIẑ, R < ϖ < R, ϖ > R Στον μόνιμο μαγνήτη τα δέσμια ρεύματα είναι Jb M και Kb M ˆϖ M ˆφ στην επιφάνειά του ϖ R Η μαγνήτιση στο γραμμικό υλικό είναι M χ H χniẑ Τα δέσμια ρεύματα είναι Jb M, K b M ˆϖ χni ˆφ στην εσωτερική επιφάνειά του ϖ R και Kb M ˆϖ χni ˆφ στην εξωτερική επιφάνειά του ϖ R Εύκολα μπορεί να ελεγχθεί ότι οι ασυνέχειες του μαγνητικού πεδίου στις ακτίνες R, R και R συμφωνούν με τα επιφανειακά ρεύματα το άθροισμα δέσμιων και ελεύθερων Νεκτάριος Βλαχάκης, //5