Ελαστικότητες Ζήτησης

Ελαστικότητες Ζήτησης - Η ευαισθησία της ζητούμενης ποσότητας x σε μεταβολές της τιμής μπορεί να μετρηθεί άμεσα από το λόγο Δx / Δ (ήαπότην παράγωγο x / ). - Αυτό το μέτρο ευαισθησίας έχει το μειονέκτημα ότι εξαρτάται από τις χρησιμοποιούμενες μονάδες μέτρησης των μεταβλητών x,. Γιατολόγοαυτό, χρησιμοποιούμε ως μέτρο ευαισθησίας τις ποσοστιαίες μεταβολές των μεταβλητών x, (δηλαδή την ελαστικότητα της ζήτησης ως προς την τιμή). Γενικός Ορισμός Ελαστικότητας - Η ελαστικότητα μιας μεταβλητής y ως προς z είναι ο λόγος της ποσοστιαίας μεταβολής του y προς την ποσοστιαία μεταβολή του z: e yz, ποσοστιαία μεταβολή y Δy/ y Δy z y z = = = = ποσοστιαία μεταβολή z Δz/ z Δz y z y

( Ι ) Μαρσαλιανές Ελαστικότητες Ζήτησης - Ορισμός : Ελαστικότητα Ζήτησης ως προς την Τιμή e x, ποσοστιαία μεταβολή x Δx / x Δx x = = = = ποσοστιαία μεταβολή Δ / Δ x x H ελαστικότητα ζήτησης του αγαθού ως προς την τιμή δείχνει την ποσοστιαία μεταβολή της ζητούμενης ποσότητας x όταν η τιμή αυξάνεται κατά %. - Ορισμός 2: Ελαστικότητα Ζήτησης ως προς το Εισόδημα e x, M ποσοστιαία μεταβολή x Δx / x Δx M x M = = = = ποσοστιαία μεταβολή M ΔM / M ΔM x M x - Ορισμός 3: Σταυροειδής Ελαστικότητα Ζήτησης ως προς την Τιμή e x, j ποσοστιαία μεταβολή x Δx / x Δx j x = = = = ποσοστιαία μεταβολή Δ / Δ x x j j j j j j 2

Ελαστική και Ανελαστική Ζήτηση - Επειδή x (εκτός αν το αγαθό είναι αγαθό Gffen), η / < ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή είναι αρνητική. Ειδικότερα: -Aν ex, (δηλαδή, ), τότε η ζήτηση για το αγαθό < e x > είναι ελαστική. Παράδειγμα: Αν e x, 3, τότε μια αύξηση της τιμής κατά % = θα οδηγήσει σε μείωση της ζητούμενης ποσότητας κατά 3%. - Αν e > (δηλαδή e < ), τότε η ζήτηση για το αγαθό x, x, είναι ανελαστική. Παράδειγμα: Αν e x, /2, τότε μια αύξηση της τιμής κατά = % θα οδηγήσει σε μείωση της ζητούμενης ποσότητας κατά.5 %. - Αν ex, (δηλαδή, ), τότε η ζήτηση για το αγαθό = e x = έχει μοναδιαία ελαστικότητα. 3

Ελαστικότητα Ζήτησης ως προς την Τιμή και Συνολική Δαπάνη - Η συνολική δαπάνη για το αγαθό είναι: x (, M) ( (, )) x M x = x + = x ( + e ) x, ( e ) > e > δηλαδή < x, x, ( e ) ( e ) ( e x, < ) < e < δηλαδή > x, x, = e = δηλαδή = x, x, - Αν η ζήτηση για το αγαθό είναι ανελαστική, τότε μια αύξηση της τιμής θα οδηγήσει σε αύξηση της συνολικής δαπάνης για το αγαθό. ( e ) x, > - Αν η ζήτηση για το αγαθό είναι ελαστική, τότε μια αύξηση της τιμής θα οδηγήσει σε μείωση της συνολικής δαπάνης για το αγαθό. 4

( ΙI ) Αντισταθμιστικές Ελαστικότητες Ζήτησης - Ορισμός 4: Αντισταθμιστική Ελαστικότητα Ζήτησης ως προς την τιμή e h, ποσοστιαία μεταβολή h Δh / h Δh h = = = = ποσοστιαία μεταβολή Δ / Δ h h - Ορισμός 5: Αντισταθμιστική Σταυροειδής Ελαστικότητα ΖήτησηςωςπροςτηνΤιμή e h, j ποσοστιαία μεταβολή h Δh / h Δh j h = = = = ποσοστιαία μεταβολή Δ / Δ h h j j j j j j 5

Σχέσεις μεταξύ των Ελαστικοτήτων Ζήτησης. Εξίσωση του Slutsky σε μορφή Ελαστικοτήτων - Αν u = V(,M), τότε για κάθε (,M) ισχύει: x(, M) h(, u) x(, M) = x (, M) M e ex, = eh, s ex, M, όπου s= x/ M () - Απόδειξη. Από την εξίσωση του Slutsky, γνωρίζουμε: ( / x ) h x h x M x = x = x x M x M x M x, - Είναι: x (, M) h[, V(, M)] = h(, u) (3) (3) h x M x - Άρα: (2) e = = e s e h M x M x, h, x, M (2) 6

e x - Ο όρος δείχνει τη συνολική ποσοστιαία μεταβολή της, ζητούμενης ποσότητας όταν η τιμή αυξάνεται κατά %. e h - Ο όρος δείχνει την ποσοστιαία μεταβολή της ζητούμενης, ποσότητας που οφείλεται στο αποτέλεσμα υποκατάστασης. - Ο όρος s ex, δείχνει την ποσοστιαία μεταβολή της ζητούμενης M ποσότητας που οφείλεται στο αποτέλεσμα εισοδήματος. - Αν το ποσοστό του εισοδήματος που δαπανάται για το αγαθό ( s ) είναι μικρό ή / και η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης για το αγαθό ( e x ) είναι μικρή, τότε η μεταβολή της ζητούμενης, M ποσότητας οφείλεται κυρίως στο αποτέλεσμα υποκατάστασης και η Μαρσαλιανή ελαστικότητα ζήτησης είναι περίπου ίδια με την αντισταθμιστική ελαστικότητα ζήτησης. 7

- Για να αποδείξουμε την επόμενη σχέση μεταξύ των ελαστικοτήτων ζήτησης, θα χρησιμοποιήσουμε το Θεώρημα του Euler. - Θεώρημα (Euler). Αν η συνάρτηση f ( x,..., x n ) είναι ομογενής βαθμού k, τότε: f f f x + x2 +... + xn = k f( x,..., xn) x x x 2 n 2. Ομογένεια των (Μαρσαλιανών) Συναρτήσεων Ζήτησης σε μορφή Ελαστικοτήτων - Πρόταση. Για κάθε αγαθό, το άθροισμα των ελαστικοτήτων ζήτησης ως προς όλες τις τιμές και το εισόδημα είναι μηδέν: e + e +... + e + e =, δηλαδή: e + e = (4) x, x, 2 x, n x, M x, j x, M j= n 8

- Απόδειξη. Γνωρίζουμε ότι η Μαρσαλιανή συνάρτηση ζήτησης είναι ομογενήςμηδενικούβαθμούωςπροςόλεςτιςτιμέςκαιτοεισόδημα: x ( t,..., t, tm) = x (,...,, M), t > n n - Εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Euler στη Μαρσαλιανή συνάρτηση ζήτησης x(,..., n, M) και παίρνουμε: : x x x x + 2 +... + n = ex,,... 2,, + ex + + ex + e n x M = 2 n - Δηλαδή: Οι ελαστικότητες ζήτησης για κάθε αγαθό πρέπει να επιδεικνύουν μια εσωτερική συνέπεια που αντανακλά τη διαδικασία μεγιστοποίησης της χρησιμότητας (από την οποία προκύπτει η ομογένεια των συναρτήσεων ζήτησης και, επομένως, η σχέση (4)). 9

3. Γενικευμένος Νόμος του Engel - Πρόταση: Το σταθμισμένο άθροισμα των εισοδηματικών ελαστικοτήτων ζήτησης για όλα τα αγαθά είναι ίσο με τη μονάδα: s e + s e +... + s e =, δηλαδή: s e = (5) x, M 2 x2, M n xn, M x, M = - Απόδειξη. Για να μεγιστοποιείται η χρησιμότητα του ατόμου, ο εισοδηματικός περιορισμός πρέπει να ισχύει με ισότητα: x( M, ) +... + x( M, ) = M - Παραγωγίζουμε ως προς M και παίρνουμε: x x x x M x x M +... + = +... + = M M M M x M M x n n n n n s e +... + s e = x, M n x, M - Παράδειγμα. n n n Αν n=2, s = / 4, e = / 2, τότε: x, M s e + s e = e = 7/6 x, M 2 x, M x, M 2 2 n n

4. Γενικευμένος Νόμος του Cournot - Πρόταση: Το σταθμισμένο άθροισμα των σταυροειδών ελαστικοτήτων ζήτησης για όλα τα αγαθά ως προς την τιμή του αγαθού ισούται με το εισοδηματικό μερίδιο του αγαθού : s e + s e +... + s e = s, δηλαδή: s e = s (6) x, 2 x2, n xn, j xj, j= (H απόδειξη παραλείπεται) n - Παράδειγμα. Έστω η συνάρτηση χρησιμότητας Cobb-Douglas: ux (, x2) xx α β = 2, αβ, >, α+ β=. Γνωρίζουμε: x(, M) = αm / P (Μαρσαλιανές Συναρτήσεις Ζήτησης) x (, M) = β M / P 2 2 β ( α β) ( ) α ( β α) ( ) h(, u) = / / u 2 h (, u) = / / u 2 2 β α (Αντισταθμιστικές Συναρτήσεις Ζήτησης)

-Υπολογίζουμε τις Μαρσαλιανές ελαστικότητες ζήτησης για το αγαθό : () Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή: e x M = = α = x, 2 x αm / () ΕλαστικότηταΖήτησηςωςπροςτοΕισόδημα: e x, M x M α Μ M x αm / = = = (Μοναδιαία ελαστικότητα) () Σταυροειδής Ελαστικότητα Ζήτησης (ως προς την τιμή): x 2 ex, = = 2 x 2 (όμοια: e =, e =, e = ) x, x, M x, 2 2 2 2 2

- Υπολογίζουμε τις αντισταθμιστικές ελαστικότητες ζήτησης για το αγαθό : () Αντισταθμιστική Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή: h eh, = = β h () Αντισταθμιστική Σταυροειδής Ελαστικότητα Ζήτησης (ως προς την τιμή): e h, 2 h h 2 = = 2 β - Άρα: Για τη συνάρτηση Cobb-Douglas, οι ελαστικότητες ζήτησης είναι σταθερές. - Επαληθεύουμε τις σχέσεις που συνδέουν τις ελαστικότητες ζήτησης:. Εξίσωση του Slutsky σε μορφή ελαστικοτήτων: ex, = eh, s ex, M= β α =, πράγματι. 3

2. Ομογένεια σε μορφή ελαστικοτήτων: ex, + ex, + ex, M= + + =, πράγματι. 2 3. Γενικευμένος Νόμος του Engel: s ex, M+ s2 ex, M= α + β =, πράγματι. 2 4. Γενικευμένος Νόμος του Cournot: s e + s e = α ( ) + β = α = s, πράγματι. x, 2 x, 2 4

Ατομικές Καμπύλες Ζήτησης.Μαρσαλιανή Καμπύλη Ζήτησης - Ορισμός: Η Μαρσαλιανή καμπύλη ζήτησης x ( ; -, M) δείχνει διαγραμματικά τη σχέση μεταξύ της τιμής και της ζητούμενης ποσότητας του αγαθού, υποθέτοντας ότι οι τιμές των άλλων αγαθών και το εισόδημα παραμένουν σταθερά. (Δηλαδή: H Μαρσαλιανή καμπύλη ζήτησης είναι η γραφική παράσταση της Μαρσαλιανής συνάρτησης ζήτησης για το αγαθό.) Εξαγωγή Μαρσαλιανής Καμπύλης Ζήτησης (με n=2 αγαθά) - Υποθέτουμε ότι η τιμή 2 και το εισόδημα M παραμένουν σταθερά. - Αν η τιμή του αγαθού είναι, η γραμμή του εισοδηματικού περιορισμού είναι ΒC και το άτομο επιλέγει το συνδυασμό A για να μεγιστοποιήσει τη χρησιμότητά του. A => Το σημείο A( x, ) στο κάτω μέρος του Διαγράμματος ανήκει στη Μαρσαλιανή καμπύλη ζήτησης του αγαθού. 5

x 2 U U 2 U 3 BC BC BC A A B Γ Γ x ( ) A A B x h B = h h Γ x Γ x A A B x Γ Γ A x A B h x Γ h Γ B ( = h ) h ( ; 2,U 2 ) X ( ; 2,M) x 6

- Αν η τιμή του αγαθού μειωθεί σε, ηγραμμήτου εισοδηματικού περιορισμού μετατοπίζεται στη θέση ΒC και το άτομο επιλέγει το συνδυασμό Β για να μεγιστοποιήσει τη χρησιμότητά του. B => Το σημείο B( x, ) στο κάτω μέρος του Διαγράμματος ανήκει επίσης στη Μαρσαλιανή καμπύλη ζήτησης του αγαθού. - Αν η τιμή του αγαθού μειωθεί σε, ηγραμμήτου εισοδηματικού περιορισμού μετατοπίζεται στη θέση ΒC και το άτομο επιλέγει το συνδυασμό Γ για να μεγιστοποιήσει τη χρησιμότητά του. Γ => Το σημείο Γ( x στο κάτω μέρος του Διαγράμματος ανήκει, ) επίσης στη Μαρσαλιανή καμπύλη ζήτησης του αγαθού. - Επαναλαμβάνουμε αυτή τη διαδικασία για όλα τα δυνατά επίπεδα της τιμής => Ενώνουμε όλα τα σημεία-συνδυασμούς Α, Β, Γ, και παίρνουμε τη Μαρσαλιανή καμπύλη ζήτησης x ( ; 2,M) για το αγαθό.

- Κάθε μεταβολή της τιμής οδηγεί σε μια μετακίνηση κατά μήκος της Μαρσαλιανής καμπύλης ζήτησης. Παράγοντες που μετατοπίζουν τη Μαρσαλιανή Καμπύλη Ζήτησης () Μεταβολές του Εισοδήματος - Αν αυξηθεί το εισόδημα Μ, τότε: Αν το αγαθό είναι κανονικό ( x / M > ), τότε η ζητούμενη ποσότητα x αυξάνεται για κάθε επίπεδο τιμής, δηλαδή η Μαρσαλιανή καμπύλη ζήτησης μετατοπίζεται προς τα δεξιά. Αν το αγαθό είναι κατώτερο ( x / M < ), τότε η ζητούμενη ποσότητα x μειώνεται για κάθε επίπεδο τιμής, δηλαδή η Μαρσαλιανή καμπύλη ζήτησης μετατοπίζεται προς τα αριστερά. 8

(2) Μεταβολές στις τιμές των άλλων αγαθών - Αν αυξηθεί η τιμή του αγαθού 2 ( 2 ), τότε: Αν τα αγαθά,2 είναι ακαθάριστα υποκατάστατα ( x/ 2 > ), τότε η ζητούμενη ποσότητα x αυξάνεται για κάθε επίπεδο τιμής, δηλαδή η καμπύλη ζήτησης μετατοπίζεται προς τα δεξιά. Αν τα αγαθά,2 είναι ακαθάριστα συμπληρωματικά ( x/ 2 < ) τότε η ζητούμενη ποσότητα x μειώνεται για κάθε επίπεδο τιμής, δηλαδή η καμπύλη ζήτησης μετατοπίζεται προς τα αριστερά. (3) Μεταβολές των προτιμήσεων - Αν ενισχυθεί η προτίμηση του ατόμου για το αγαθό (π.χ. λόγω μιας διαφημιστικής καμπάνιας), τότε η ζητούμενη ποσότητα x αυξάνεται για κάθε επίπεδο τιμής, δηλαδή η καμπύλη ζήτησης μετατοπίζεται προς τα δεξιά. 9

2. Αντισταθμιστική Καμπύλη Ζήτησης - Ορισμός: Η αντισταθμιστική καμπύλη ζήτησης h ( ; -, u) δείχνει διαγραμματικά τη σχέση μεταξύ της τιμής και της ζητούμενης ποσότητας του αγαθού, υποθέτοντας ότι οι τιμές των άλλων αγαθών και η χρησιμότητα παραμένουν σταθερές. - H αντισταθμιστική καμπύλη ζήτησης είναι η γραφική παράσταση της αντισταθμιστικής συνάρτησης ζήτησης για το αγαθό. - H αντισταθμιστική καμπύλη ζήτησης ενσωματώνει μόνο το αποτέλεσμα υποκατάστασης (υποθέτει ότι η χρησιμότητα παραμένει σταθερή, δηλαδή παριστάνει μετακινήσεις κατά μήκος μιας δεδομένης καμπύλης αδιαφορίας). - Κατασκευάζουμε την αντισταθμιστική καμπύλη ζήτησης που αντιστοιχεί σε επίπεδο (στόχο) χρησιμότητας U 2. 2

Εξαγωγή Αντισταθμιστικής Καμπύλης Ζήτησης (με n=2 αγαθά) - Υποθέτουμε ότι η τιμή 2 και η χρησιμότητα-στόχος U 2 παραμένουν σταθερές. - Αν η τιμή του αγαθού είναι, τότε η αντισταθμιστική ζήτηση B B είναι ίση με τη Μαρσαλιανή ζήτηση: h = x. Εξήγηση: Για =, είναι V=u=U 2 (και Μ=e) => h =x B Το σημείο B( h, ) στο κάτω μέρος του Διαγράμματος ανήκει στην αντισταθμιστική καμπύλη ζήτησης του αγαθού (το σημείο Β είναι το σημείο τομής μεταξύ της Μαρσαλιανής και της αντισταθμιστικής καμπύλης ζήτησης). - Αν η τιμή του αγαθού αυξηθεί σε >, τότε η αντισταθμιστική ζήτηση (η οποία ενσωματώνει μόνο το αποτέλεσμα υποκατάστασης) A είναι h. => Το σημείο A ( h, ) στο κάτω μέρος του Διαγράμματος ανήκει επίσης στην αντισταθμιστική καμπύλη ζήτησης του αγαθού. Α

- Αν η τιμή του αγαθού μειωθεί σε <, τότε η αντισταθμιστική ζήτηση είναι. h Γ Γ Το σημείο Γ ( h, ) στο κάτω μέρος του Διαγράμματος ανήκει επίσης στην αντισταθμιστική καμπύλη ζήτησης του αγαθού. - Επαναλαμβάνουμε αυτή τη διαδικασία για όλα τα δυνατά επίπεδα της τιμής => Ενώνουμε όλα τα σημεία-συνδυασμούς Α, Β, Γ, και παίρνουμε την αντισταθμιστική καμπύλη ζήτησης για το αγαθό. Σχέση μεταξύ Μαρσαλιανής και Αντισταθμιστικής Καμπύλης Ζήτησης - Η αντισταθμιστική καμπύλη ζήτησης h ( ; 2, u) είναι λιγότερο ευαίσθητη σε μεταβολές της τιμής από τη Μαρσαλιανή καμπύλη ζήτησης x ( ; 2, M). - Εξήγηση: Η αντισταθμιστική καμπύλη ενσωματώνει μόνο το αποτέλεσμα υποκατάστασης, ενώ η Μαρσαλιανή καμπύλη ζήτησης ενσωματώνει και το αποτέλεσμα εισοδήματος από μια μεταβολή της 22 τιμής.

Αν =, τότε h = x (οι καμπύλες τέμνονται στο σημείο Β). Αν >, τότε h > x (διότι το άτομο λαμβάνει θετική εισοδηματική αντιστάθμιση για να διατηρηθεί σταθερή η χρησιμότητα U 2 ). Αν <,τότε h < x (διότι το άτομο υφίσταται αρνητική εισοδηματική αντιστάθμιση για να διατηρηθεί σταθερή η χρησιμότητα U 2 ). - Κάθε μεταβολή της τιμής οδηγεί σε μια μετακίνηση κατά μήκος της αντισταθμιστικής καμπύλης ζήτησης. Παράγοντες που μετατοπίζουν την Αντισταθμιστική Καμπύλη Ζήτησης () Μεταβολές του στόχου χρησιμότητας - Αν αυξηθεί ο στόχος χρησιμότητας u, τότε αυξάνεται η αντισταθμιστική ζήτηση για κάθε επίπεδο τιμής, δηλαδή η αντισταθμιστική καμπύλη ζήτησης μετατοπίζεται προς τα δεξιά. 23

(2) Μεταβολές στις τιμές των άλλων αγαθών - Αν αυξηθεί η τιμή του αγαθού 2 ( 2 ), τότε: Αν τα αγαθά,2 είναι καθαρά υποκατάστατα ( h ), τότε / 2 > η ζητούμενη ποσότητα h αυξάνεται για κάθε επίπεδο τιμής, δηλαδή η αντισταθμιστική καμπύλη ζήτησης μετατοπίζεται προς τα δεξιά. Αν τα αγαθά,2 είναι καθαρά συμπληρωματικά ( h/ 2 < ) τότε η ζητούμενη ποσότητα h μειώνεται για κάθε επίπεδο τιμής, δηλαδή η αντισταθμιστική καμπύλη ζήτησης μετατοπίζεται προς τα αριστερά. 24

- Παράδειγμα. Έστω η συνάρτηση χρησιμότητας Cobb-Douglas: ux (, x2) xx α β = 2, αβ, >, α+ β=. Γνωρίζουμε: x(, M) = αm / P (Μαρσαλιανές Συναρτήσεις Ζήτησης) x (, M) = β M / P 2 2 α α β V(, M) = 2 β h(, u) = / / u β ( α β) ( ) α ( β α) ( ) 2 h (, u) = / / u 2 2 β Μ (Έμμεση Συνάρτηση Χρησιμότητας) α (Αντισταθμιστικές Συναρτήσεις Ζήτησης) () Η Μαρσαλιανή καμπύλη ζήτησης για το αγαθό είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης: x ( ;, M) = αm / 2 - Μετατοπίσεις της Μαρσαλιανής καμπύλης ζήτησης. Αφού x / M > => Η αύξηση του εισοδήματος μετατοπίζει τη Μαρσαλιανή καμπύλη ζήτησης προς τα δεξιά. 25

2. Αφού x/ 2 = => Η αύξηση της 2 αφήνει αμετάβλητη τη Μαρσαλιανή καμπύλη ζήτησης. 3. Αφού x / α > => Ηαύξησητου α (δηλαδή η ενίσχυση της προτίμησης για το αγαθό ) μετατοπίζει τη Μαρσαλιανή καμπύλη ζήτησηςπροςταδεξιά. - Αριθμητικό παράδειγμα. Έστω α=β=/2, Μ=8, 2 =4 x ( ) = 4/ (Μαρσαλιανή καμπύλη ζήτησης για το αγαθό ) - Ανητιμήτουαγαθού είναι =, τότε: x =4, x 2 =, u=2 - Η αντισταθμιστική καμπύλη ζήτησης που αντιστοιχεί σε επίπεδο (στόχο) χρησιμότητας u=2 είναι: h( ; u = 2) = 4/ - Έχουμε: x =h (= 4) για = x <h για > x >h για < 26

- Αν η τιμή του αγαθού αυξηθεί σε = 4, τότε: x = 4 / =, x =, u =, h = 4 / = 2 2 Δ x = x x = 3 : Συνολική επίπτωση στη ζητούμενη ποσότητα. (Μετακίνηση από το σημείο Β στο Α κατά μήκος της Μαρσαλιανής καμπύλης ζήτησης) Αποτέλεσμα Υποκατάστασης: Δ h = h h = 2 4= 2 (Μετακίνηση από το σημείο Β στο Α κατά μήκος της αντισταθμιστικής καμπύλης ζήτησης) Αποτέλεσμα Εισοδήματος = Συνολική Επίπτωση Αποτέλεσμα Υποκατάστασης = Δx Δh = ( 3) ( 2) = (Μετακίνηση από το σημείο Α στο Α) 4 A A h ( ;u=2) = 4/ B X ( ) = 4/ 2 4 x 27

Επιπτώσεις στην Ευημερία από μια Μεταβολή της Τιμής (Αντισταθμιστική Απόκλιση, ΙσοδύναμηΑπόκλισηκαι το Πλεόνασμα του Καταναλωτή) - Θέλουμε να μετρήσουμε τις επιπτώσεις από μια μεταβολή της τιμής στην ευημερία του καταναλωτή. Παράδειγμα : Έστω ότι η κυβέρνηση επιβάλει στον καταναλωτή ένα φόρο t για κάθε μονάδα του αγαθού που αγοράζει. => Η τιμή που αντιμετωπίζει ο καταναλωτής αυξάνεται από σε +t => Η ευημερία του καταναλωτή μειώνεται. Παράδειγμα 2: Έστω ότι μια τεχνολογική πρόοδος μειώνει το κόστος παραγωγής και τις τιμές των αγαθών => Η ευημερία του καταναλωτή αυξάνεται. 28

- Αν η τιμή του αγαθού αυξηθεί, το άτομο επιλέγει έναν νέο καταναλωτικό συνδυασμό και μετακινείται σε μια χαμηλότερη καμπύλη αδιαφορίας (δηλαδή η χρησιμότητά του μειώνεται). Μπορούμε να μετρήσουμε την απώλεια ευημερίας από τη μείωση της χρησιμότητας του καταναλωτή. - Αλλά: Το μέγεθος της μεταβολής της χρησιμότητας δεν έχει καμία οικονομική σημασία. => Θέλουμε να μετρήσουμε την απώλεια ευημερίας σε χρηματικές μονάδες (όχι σε μονάδες χρησιμότητας). 29

e (,, u)/ 2 2 CV / e (, 2, u)/ 2 = e (, 2, u)/ 2 ( = M / 2) EV / e (,, u)/ 2 2 2 2 BC : x + x = M = e (,, u) 2 2 2 2 BC : x + x = M = e(,, u ) Β 2 2 2 BC : x + x = M = e(,, u ) BC : x x M e (,, u) Γ Δ 2 2 2 3 + 2 2 = = 2 u Α u B x x Δ x Γ A x x h ( ; 2, u ) h ( ; 2, u ) Β Γ Δ Α B A x x Δ x Γ x x ( ; 2, M) x 3

- H τιμή του αγαθού 2 είναι 2 και το εισόδημα είναι Μ. - Η αρχική τιμή του αγαθού είναι => Ο καταναλωτής επιλέγει αρχικά το συνδυασμό Α και η αρχική χρησιμότητά του είναι u. - Ανητιμήτουαγαθού αυξηθεί σε >, τότε ο BC μετατοπίζεται στη θέση BC και ο καταναλωτής επιλέγει το συνδυασμό Β => H χρησιμότητα μειώνεται σε u < u. - Για να υπολογίσουμε σε χρηματικούς όρους την απώλεια ευημερίας από αυτή την αύξηση της τιμής του αγαθού, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τρία διαφορετικά μέτρα: () Την Αντισταθμιστική Απόκλιση (Comensatng Varaton CV) (2) Την Ισοδύναμη Απόκλιση (Equvalent Varaton EV) (3) Τη Μεταβολή στο (Μαρσαλιανό) Πλεόνασμα του Καταναλωτή [Change n Consumer s Surlus Δ(CS)] 3

. Αντισταθμιστική Απόκλιση (CV) - Η αντισταθμιστική απόκλιση είναι ίση με: CV= e (,, u) e (,, u) (7) 2 2 - Η CV δείχνει την πρόσθετη δαπάνη που πρέπει να καταβάλει ο καταναλωτής για να διατηρήσει το αρχικό επίπεδο χρησιμότητας ( u ) μετά την αύξηση της τιμής από σε. - Δηλαδή, η CV δείχνει τη (χρηματική) αποζημίωση που πρέπει να εισπράξει το άτομο για να αντισταθμιστεί η αύξηση της τιμής και να διατηρηθεί το αρχικό επίπεδο χρησιμότητας u. - Αν το άτομο εισπράξει αυτή τη θετική εισοδηματική αντιστάθμιση (αποζημίωση ίση με CV), τότε το εισόδημά του γίνεται : M = e (,, u) > M => ΟΒC μετατοπίζεται στη θέση BC 2 και 2 ο καταναλωτής επιλέγει το συνδυασμό Γ, παραμένοντας στην αρχική καμπύλη αδιαφορίας ( u ).

- Μπορούμε να υπολογίσουμε αλγεβρικά και να απεικονίσουμε διαγραμματικά την CV από την αντισταθμιστική καμπύλη ζήτησης, ως εξής: eu (, ) CV = e(, 2, u) e(, 2, u) = [ e( ; 2, u) ] = d Λήμμα Shehard CV = h ( ;, u ) d = ( ΓΑ ) (8) 2 - Άρα, η CV ισούται με την περιοχή ( ΓΑ) στο κάτω μέρος του διαγράμματος (δηλαδή, την περιοχή αριστερά της αντισταθμιστικής καμπύλης ζήτησης h( ; 2, u) που οριοθετείται από τα επίπεδα τιμών και ). 33

(α) Εναλλακτική Προσέγγιση: Το Αντισταθμιστικό Πλεόνασμα του Καταναλωτή r r 2 r 3 2 3... Γ x Γ A A x h ( ; 2, u ) x - Αν η τιμή του αγαθού είναι, το άτομο ζητάει και A καταναλώνει x μονάδες πληρώνοντας την επικρατούσα τιμή στην αγορά ( ). - Η καμπύλη ζήτησης δείχνει την τιμή που είναι διατεθειμένο να πληρώσει το άτομο σε κάθε επίπεδο κατανάλωσης του αγαθού. 34

Για να αποκτήσει την η μονάδα του αγαθού, το άτομο είναι διατεθειμένο να πληρώσει τιμή r, αλλά πληρώνει μόνο την τιμή => Ο καταναλωτής έχει πλεόνασμα (r ) για την η μονάδα που καταναλώνει. Για να αποκτήσει τη 2 η μονάδα του αγαθού, το άτομο είναι διατεθειμένο να πληρώσει τιμή r 2, αλλά πληρώνει μόνο την τιμή => Ο καταναλωτής έχει πλεόνασμα (r 2 ) για τη 2 η μονάδα που καταναλώνει. Επαναλαμβάνουμε αυτή τη διαδικασία και αθροίζουμε όλα τα επιμέρους πλεονάσματα που αποκομίζει το άτομο για κάθε μονάδα που καταναλώνει => Παίρνουμε το συνολικό (αντισταθμιστικό) πλεόνασμα του καταναλωτή: 2 CSh = ( Α ) = h ( ;, u ) d.. 35

-Το CS h δείχνει το πρόσθετο όφελος που αντλεί ο καταναλωτής όταν μπορεί να πραγματοποιεί συναλλαγές στην επικρατούσα τιμή της αγοράς. - Το CS h είναι η περιοχή που βρίσκεται κάτω από την αντισταθμιστική καμπύλη ζήτησης και πάνω από την τιμή αγοράς. - Αν η τιμή αυξηθεί από σε, τότε το αντισταθμιστικό πλεόνασμα του καταναλωτή γίνεται: 2 CS h = ( Γ ) = h ( ;, u ) d - Μπορούμε να μετρήσουμε την απώλεια ευημερίας (που οφείλεται στην αύξηση της τιμής) υπολογίζοντας τη μεταβολή στο πλεόνασμα του καταναλωτή: Δ ( CS ) = CS CS = ( Α ) ( Γ ) = ( ΓΑ ) = ( ; 2, ) = h h h h u d CV 36

- Δηλαδή: Η αντισταθμιστική απόκλιση (CV) ισούται με τη μεταβολή στο αντισταθμιστικό πλεόνασμα του καταναλωτή. 2. Ισοδύναμη Απόκλιση - Η ισοδύναμη απόκλιση είναι ίση με: EV = e(,, u ) e(,, u ) (9) 2 2 - Η EV δείχνει την πρόσθετη δαπάνη που πρέπει να καταβάλει το άτομο για να πετύχει το τελικό επίπεδο χρησιμότητας ( u ) μετά την αύξηση της τιμής από σε. - Δηλαδή, ηεv δείχνει το χρηματικό ποσό που πρέπει να πληρώσει το άτομο όταν αντιμετωπίζει την αρχική τιμή προκειμένου να αποκομίσει την ίδια χρησιμότητα ( u ) με την περίπτωση όπου αντιμετωπίζει την τελική τιμή με το αρχικό του εισόδημα. - Αυτό το χρηματικό ποσό αποτελεί μια αρνητική εισοδηματική αντιστάθμιση ισοδύναμη (σε όρους μεταβολής της χρησιμότητας) με 37 την αύξηση της τιμής.

- Αν το άτομο πληρώσει αυτή την αρνητική εισοδηματική αντιστάθμιση (ίση με EV), τότε το εισόδημά του γίνεται: M = e (, 2, u) < M => Ο BC μετατοπίζεται στη θέση BC 3 και ο καταναλωτής επιλέγει το συνδυασμό Δ επί της καμπύλης αδιαφορίας u. - Μπορούμε να υπολογίσουμε αλγεβρικά και να απεικονίσουμε διαγραμματικά την EV από την αντισταθμιστική καμπύλη ζήτησης, ως εξής: eu (, ) EV= e (, 2, u) e (, 2, u) = [ e ( ; 2, u) ] = d Λήμμα Shehard EV = h ( ;, u ) d = ( ΒΔ ) () 2 - Άρα, η EV ισούται με την περιοχή ( ΒΔ) στο κάτω μέρος του διαγράμματος (δηλαδή, την περιοχή αριστερά της αντισταθμιστικής καμπύλης ζήτησης h( ; 2, u) που οριοθετείται από τα επίπεδα τιμών και ). 38

- Γενικά, η CV δεν είναι ίση με την EV δηλαδή η περιοχή διαφέρει από την περιοχή ( ΒΔ ). ( ΓΑ ) => Ερώτημα: Πρέπει να χρησιμοποιούμε την CV (που εστιάζει στην αρχική χρησιμότητα u ) ήτηνev (που εστιάζει στην τελική χρησιμότητα u ) για να μετράμε τη μεταβολή της ευημερίας; - Η επιλογή εξαρτάται από το επίπεδο χρησιμότητας (u ή u ) που θεωρείται ως κατάλληλος στόχος. - Μειονέκτημα των CV, EV: Ο υπολογισμός τους προϋποθέτει γνώση της συνάρτησης δαπανών ή / και των αντισταθμιστικών συναρτήσεων ζήτησης, οι οποίες δεν είναι άμεσα παρατηρήσιμες (οι εμπειρικές μελέτες εκτιμούν τις Μαρσαλιανές συναρτήσεις ζήτησης). => Συνήθως, μετράμε την απώλεια ευημερίας (που οφείλεται στην αύξηση της τιμής ) από τη μεταβολή στο Μαρσαλιανό πλεόνασμα του καταναλωτή. 39

3. Μεταβολές στο Μαρσαλιανό Πλεόνασμα του Καταναλωτή - Ορισμός: Το Μαρσαλιανό πλεόνασμα του καταναλωτή (CS) είναι η περιοχή που βρίσκεται κάτω από τη Μαρσαλιανή καμπύλη ζήτησης και πάνω από την τιμή αγοράς του αγαθού. - Επομένως, αν η τιμή του αγαθού στην αγορά είναι, τότε: 2 CS = ( Α ) = x ( ;, M ) d - Το CS είναι το επιπλέον όφελος που αντλεί το άτομο όταν μπορεί να πραγματοποιεί συναλλαγές στην επικρατούσα τιμή της αγοράς. - Ανητιμήτουαγαθού αυξηθεί από σε, τότε το Μαρσαλιανό πλεόνασμα του καταναλωτή γίνεται: 2 CS ( B ) x ( ;, M) d = = 4

- Μπορούμε να μετρήσουμε την απώλεια ευημερίας (που οφείλεται στην αύξηση της τιμής) υπολογίζοντας τη μεταβολή στο Μαρσαλιανό πλεόνασμα του καταναλωτή: Δ ( CS) = CS CS = ( Α ) ( B ) 2 Δ ( CS) = ( ΒΑ ) = x ( ;, M ) d () - Παρατήρηση: EV = ( ΒΔ ) <Δ ( CS) = ( ΒΑ ) < CV = ( ΓΑ ) => Το Δ(CS) αποτελεί έναν βολικό συμβιβασμό μεταξύ των CV, EV. 4

- Παράδειγμα. Έστω η συνάρτηση Cobb-Douglas (με α=β=/2): /2 /2 ux (, x2) = x x2. Έχουμε βρει: x (, M) = M / 2 x (, M) = M /2 2 2 V(, M) M /2 h(, u) = u / 2 h (, u) = u / 2 (Μαρσαλιανές Συναρτήσεις Ζήτησης) = (Έμμεση Συνάρτηση Χρησιμότητας) 2 2 eu (, ) 2u 2 (Αντισταθμιστικές Συναρτήσεις Ζήτησης) = (Συνάρτηση Δαπανών) - Έστω ότι 2 =4, M=8. - Ζητείται: Να υπολογιστεί η CV, η EV και το Δ(CS) όταν η τιμή του αγαθού αυξάνεται από = σε = 4. 42

Μεθοδολογία Υπολογισμού των CV, EV και Δ(CS). Γράφουμε τη Μαρσαλιανή καμπύλη ζήτησης για το αγαθό. x ( ) = 4 / (2) 2. Υπολογίζουμε τις αρχικές ζητούμενες ποσότητες και την αρχική χρησιμότητα u (δηλαδή τις ζητούμενες ποσότητες και τη χρησιμότητα όταν η τιμή είναι ). Για = =, είναι: x = 4, x =, u = 2 2 3. () Γράφουμε την αντισταθμιστική καμπύλη ζήτησης που αντιστοιχεί στο αρχικό επίπεδο χρησιμότητας u. h( ; = 4, u = 2) = 4 / h( ; u ) = 4 / (3) 2 () Γράφουμε τη συνάρτηση δαπανών που αντιστοιχεί στο αρχικό επίπεδο χρησιμότητας u. e ( ; = 4, u = 2) = 8 eu ( ; ) = 8 (4) 2 43

4. Υπολογίζουμε τις τελικές ζητούμενες ποσότητες και την τελική χρησιμότητα u (δηλαδή τις ζητούμενες ποσότητες και τη χρησιμότητα όταν η τιμή αυξάνεται σε ). Για = = 4, είναι: x =, x =, u = 2 5. () Γράφουμε την αντισταθμιστική καμπύλη ζήτησης που αντιστοιχεί στο τελικό επίπεδο χρησιμότητας u. h( ; = 4, u = ) = 2 / h( ; u ) = 2 / (5) 2 () Γράφουμε τη συνάρτηση δαπανών που αντιστοιχεί στο τελικό επίπεδο χρησιμότητας u. e ( ; = 4, u= ) = 4 eu ( ; ) = 4 (6) 2 44

6. Υπολογίζουμε τα CV, EV και Δ(CS) από τους τύπους (7) έως () () Υπολογισμός CV. Από την (7): (4) CV = e( ; u ) e( ; u ) = 8 8 = 8 4 8 = 8 - Εναλλακτικά, από την (8): (3) 4 4 /2 4 CV = h ( ; u ) d = d = 8 = 8( 4 ) = 8 () Υπολογισμός EV. Από την (9): (6) EV = e( ; u ) e( ; u ) = 4 4 = 4 4 4 = 4 - Εναλλακτικά, από την (): (3) 4 2 /2 4 EV = h ( ; u ) d = d = 4 = 4( 4 ) = 4 45

() Υπολογισμός Δ(CS). Από την (): 4 4 4 ( CS) x ( ) d d 4 ln =4(ln4 ln) 4ln4 5,5 [ ] Δ = = = = = Σύνοψη: EV = ( ΒΔ ) = 4 <Δ ( CS) = ( BΑ ) = 5,5 < CV = ( ΓΑ ) = 8 h ( ;u )= 2/ h ( ;u )= 4/ = 4 Β Γ = Δ A 4 x ( )=4/ x 46