ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Θερμοδυναμική Ενότητα 7 : Εντροπία Δρ Γεώργιος Αλέξης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί Ενότητας Η ενότητα αυτή στοχεύει στην εισαγωγή των φοιτητών στη σημασία της έννοιας της εντροπίας τόσο για τα ιδανικά αέρια όσο και για τις καθαρές ουσίες. Με την εμπέδωση της έννοιας αυτής και την επιλογή των κατάλληλων εξισώσεων εκ μέρους των φοιτητών επιλύονται προβλήματα της ειδικότητας του μηχανολόγου μηχανικού. Τέλος, στόχος της ενότητας αυτής αποτελεί η κατανόηση από τους φοιτητές της σημασίας των εν λόγω εννοιών στην μελέτη αφενός και στην επίλυση αφετέρου ενεργειακών προβλημάτων. 4
Περιεχόμενα Ενότητας Εντροπία Διάγραμμα (t-s) Κύκλος Carnot σε Διάγραμμα (-s) Διάγραμμα Mollier (h-s) ds Εξισώσεις Ελεύθερη ενέργεια Gibbs Ελεύθερη ενέργεια Helmholtz Εξισώσεις Maxwell Εντροπία Ιδανικών Αερίων Εξίσωση Claudius-Clapeyron Εξίσωση Bernoulli 5
Εντροπία Η εντροπία όπως και η ενέργεια, είναι αφηρημένες θερμοδυναμικές έννοιες. δw pdv ds ds S Αυτή είναι μεταβολή εντροπίας λόγω μεταφοράς θερμότητας. Η μεταβολή της εντροπίας ενός συστήματος μπορεί όμως να προέλθει είτε από την πρόσδοση θερμότητας (αύξηση της εντροπίας), είτε από την απόρριψη θερμότητας (μείωση της εντροπίας), είτε τέλος από διάφορες αναντιστρεπτότητες του συστήματος οι οποίες παράγουν εντροπία. S
Εντροπία () Δηλαδή έχουμε παραγωγή εντροπίας αφ ενός από μεταφορά θερμότητας και αφ ετέρου από εσωτερικές αναντιστρεπτότητες (τριβή, χημικές αντιδράσεις κ.λπ.). Επομένως όταν δεν προσδίδεται ή απορρίπτεται σ ένα σύστημα θερμότητα, δηλαδή =0 αυτό δεν σημαίνει ότι η διεργασία στην οποία υποβάλλεται το σύστημα είναι ισεντροπική, αυτό ισχύει εάν η διεργασία είναι και αντιστρεπτή, δηλαδή: ΑΔΙΑΒΑΤΙΚΗ + ΑΝΤΙΣΤΡΕΠΤΗ = ΙΣΕΝΤΡΟΠΙΚΗ
Εντροπία (3) Όσον αφορά μια διεργασία η οποία δεν περιλαμβάνει αντιστρεπτότητες η παραγόμενη εντροπία οφείλεται στη μεταφορά θερμότητας και ισχύει: S S 0 Σε αδιαβατική και αντιστρεπτή διεργασία S S >0 Διεργασία με πρόσδοση θερμότητας S S <0 Διεργασία με απόρριψη θερμότητας Σε κυκλική διεργασία ισχύει η ανισότητα του Clausius: 0 σε αντιστρεπτές διεργασίες <0 σε μη αντιστρεπτές διεργασίες
Εντροπία (4) Η εντροπία είναι θερμοδυναμική ιδιότητα? α γ β a a α α β β γ γ 0 0 x( ) β β γ γ Η εντροπία καθαρής ουσίας υπολογίζεται από πίνακες κεκορεσμένου υγρού-ατμού με τη σχέση s=xs g +(-x)s f για κατάσταση εντός της καμπύλης κορεσμού και από πίνακες υπέρθερμου ατμού με γνωστή συνήθως την πίεση και τη θερμοκρασία.
Διάγραμμα (t-s) Διάγραμμα (t-s) t: θερμοκρασία (oc) s: ειδική εντροπία (kj/kgk) h: ειδική ενθαλπία (kj/kg) υ: ειδικός όγκος (m3/kg) p: πίεση (bar) x: ποιότητα t h c p υ h x υ p s
Κύκλος Carnot σε Διάγραμμα (-s) Τ Επιφάνεια (α34βα) Q H Επιφάνεια (αβα) Q L Επιφάνεια (34) W Τ H Τ L 3 W 4 Βαθμός απόδοσης: α s =s 3 β s =s 4 s η Q Q L H L H (s (s 4 s s 3 ) ) L H
Διάγραμμα Mollier (h-s) t: θερμοκρασία (οc) h υ p s: ειδική εντροπία (kj/kgk) h: ειδική ενθαλπία (kj/kg) c t υ: ειδικός όγκος (m3/kg) p: πίεση (bar) x: ποιότητα p, t υ x s
ds εξισώσεις δq-δw=du...ds=du+pdυ ή du=ds-pdv Ενθαλπία: h=u+pυ ή dh=du+pdυ+υdp ή dh=ds+υdp ή ds=dh-υdp ή dη=ds+vdp
Ελεύθερη ενέργεια Gibbs Ελεύθερη ενέργεια Helmholtz Ελεύθερη ενέργεια Gibbs: g=h-s ή dg=dh-ds-sd.dg=υdp-sd αφού ds=dh-υdp ή dg=vdp-sd (κατά την αλλαγή της φάσης από την υγρή στην αέρια και αντιστρόφως, η ελεύθερη ενέργεια Gibbs παραμένει σταθερή) Ελεύθερη ενέργεια Helmholtz: a=u-s ή da=du-ds-sd.da=-pdυ-sd αφού ds=du+pdυ ή da=-pdv-sd
Εξισώσεις Maxwell Είναι σχέσεις που συνδέουν τις ποσότητες (p,v,) με την εντροπία S. Έστω U=U(S,V) ή Αλλά: du=ds-pdv Επομένως: Θα πρέπει δε να ισχύει: Επομένως:
Εξισώσεις Maxwell () Ομοίως για H=H(S,p) και dη=ds+vdp προκύπτει: οπότε: Για G=G(p,) και dg=vdp-sd: οπότε: Για Α=Α(V,) και da=-pdv-sd: οπότε:
Εντροπία ιδανικών αερίων Από τις εξισώσεις ds, έχουμε: c v ()=du()/d c p ()=dh()/d pυ=r ds du pdυ ds c s s και s s ds c V ds dh υdp P d dυ () R υ υ cv()ln Rln υ () c d P R ()ln dp p! p Rln p
Εντροπία ιδανικών αερίων () Όταν c p, c v σταθερά, τότε: s s s s c c v p ln ln Στην περίπτωση των ιδανικών αερίων μπορούμε να θεωρήσουμε, για μεγαλύτερη ακρίβεια, ότι τα c p και c v είναι συναρτήσεις της θερμοκρασίας, οπότε c p =c p () και c v =c v (). π.χ. c v ()=A+B+C +D 3 Και τότε θα πρέπει να υπολογίζονται τα σχετικά ολοκληρώματα. υ Rln υ p Rln p
Εξίσωση Clausius-Clapeyron p dp 4 3 d 4 3 υ f υ g υ s f s g s δw=(υ g -υ f )dp δq=δw=(s g -s f )d
Εξίσωση Clausius-Clapeyron () Συγκρίνοντας τα δύο εμβαδά στα παραπάνω διαγράμματα, έχουμε: Αλλά στην περιοχή της αλλαγής της φάσης: Επομένως: dp d sat h g υ υ υ R R g h f διότι υ g >>υ f και pυ=r f h g h g f h g h p f dp pd sat h g h f ή dlnp d sat h g h R f
δq-δw=dh+d(ke)+d(δε) Εξίσωση Bernoulli Επειδή ds=dh-υdp ή dh= ds+ υdp έχουμε: ds-δw=ds+υdp+ d(ke)+d(δε) -δw= υdp+ d(ke)+d(δε) Για αδιαβατική, άεργο και ασυμπίεστη ροή, μετά την ολοκλήρωση προκύπτει: V V g g g υ c c p p y y 0
Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΑΕΙ Πειραιά ΤΤ, Αλέξης Γεώργιος, 06. «Θερμοδυναμική. Ενότητα 7: Εντροπία». Έκδοση:.0. Αθήνα 06.
Τέλος Ενότητας