ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΠΜΣ: "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ"

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΠΜΣ: "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ" ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Φωτεινή Αστεριώτη A.M. 304 Επιβλέπουσα Καθηγήτρια: Ευφροσύνη Μακρή Πάτρα, Μάϊος 2015

2

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΠΜΣ: "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ" ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Φωτεινή Αστεριώτη A.M. 304 Επιβλέπουσα Καθηγήτρια: Ευφροσύνη Μακρή Τριμελής εξεταστική επιτροπή Ευφροσύνη Μακρή Φίλιππος Αλεβίζος Νικόλαος Τσάντας Αναπλ. Καθηγήτρια Αναπλ. Καθηγητής Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Πανεπιστημίου Πατρών Πανεπιστημίου Πατρών Πάτρα, Μάϊος 2015 3

4

Φωτεινή Γ. Αστεριώτη Πτυχιούχος Μαθηματικός Πανεπιστημίου Πατρών Copyright Φωτεινή Γ. Αστεριώτη, 2015. Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευτεί ότι εκφράζουν τις επίσημες θέσεις του Πανεπιστημίου Πατρών. 5

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θα ήθελα να εκφράσω τις ευχαριστίες μου στην επιβλέπουσα καθηγήτριά μου κ. Ευφροσύνη Μακρή, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών, για την πολύτιμη βοήθεια και την καθοδήγηση που μου παρείχε για την ολοκλήρωση της εργασίας αυτής. Επίσης, θα ήθελα να απευθύνω τις ευχαριστίες μου και στα υπόλοιπα μέλη της τριμελούς επιτροπής, τον κ. Φίλιππο Αλεβίζο, Αναπληρωτή Καθηγητή του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών και τον κ. Νικόλαο Τσάντα, Καθηγητή του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών που δέχτηκαν να αξιολογήσουν την παρούσα εργασία. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω την οικογένεια μου για την υπομονή και την στήριξη τους σε όλη την διάρκεια των σπουδών μου. 6

7

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα εργασία παρουσιάζεται μία μελέτη ενός σημαντικού εργαλείου για την επίλυση μίας σειράς προβλημάτων στην αξιοπιστία συστημάτων, το οποίο ονομάζεται υπογραφή συστήματος (system sigature). Πιο συγκεκριμένα, στο πρώτο κεφάλαιο της εργασίας δίνονται εισαγωγικές έννοιες της Θεωρίας Αξιοπιστίας. Εισάγεται η έννοια του μονότονου συστήματος και χρησιμοποιείται η συνάρτηση δομής και οι ιδιότητές της, ως μέσο για την μελέτη της απόδοσης ενός συστήματος και την σύγκρισή του με ένα άλλο σύστημα. Στη συνέχεια, δίνονται οι σχέσεις υπολογισμού της συνάρτησης δομής με τη βοήθεια των ελαχίστων συνόλων διαδρομής (miimal path sets) και αποκοπής (miimal cut sets). Παρουσιάζεται επίσης, η αξιοπιστία ενός συστήματος μέσω της συνάρτησης δομής του, και δίνεται η έννοια του δυϊκού ενός συστήματος. Στο δεύτερο κεφάλαιο εισάγεται η έννοια της υπογραφής ενός μονότονου συστήματος αξιοπιστίας, η οποία ορίζεται με τη βοήθεια των διατεταγμένων χρόνων ζωής των συνιστωσών του. Στη συνέχεια, παρουσιάζονται οι υπογραφές γνωστών συστημάτων και ο τρόπος υπολογισμού τους. Δίνονται ακριβείς τύποι για τον υπολογισμό της συνάρτησης επιβίωσης, καθώς και άλλων χαρακτηριστικών ενός συστήματος, όπως είναι ο ρυθμός αποτυχίας. Επίσης, εισάγονται οι έννοιες της miimal και maximal υπογραφής ενός μονότονου συστήματος. Διατυπώνονται τρεις διαφορετικοί τρόποι σύγκρισης της απόδοσης μονότονων συστημάτων, τα αποτελέσματα των οποίων στηρίζονται στη διάταξη των διανυσμάτων των υπογραφών τους. Επιπλέον, χρησιμοποιείται η έννοια της υπογραφής για να μελετηθεί ένα παράδειγμα στοχαστικής σύγκρισης συστημάτων που βασίζονται στην αρχή του πλεονασμού. Το τρίτο κεφάλαιο επικεντρώνεται στην υπογραφή των συνεχόμενων k-από-τα- συστημάτων αποτυχίας. Αρχικά, παρουσιάζονται αναδρομικές σχέσεις που έχουν δοθεί για τον υπολογισμό της υπογραφής των συστημάτων αυτών, καθώς και εκφράσεις μέσω συνδυαστικής ανάλυσης. Δίνονται, επίσης, σχέσεις για την αξιοπιστία των συνεχόμενων συστημάτων, ως μίξη των αξιοπιστιών των διατεταγμένων χρόνων ζωής των συνιστωσών τους μέσω της υπογραφής του συστήματος. Τέλος, παρουσιάζονται συνθήκες διατήρησης της ιδιότητας γήρανσης IFR των συνεχόμενων k-από-τα- συστημάτων αποτυχίας και συγκρίσεις των χρόνων ζωής διαφόρων συνεχόμενων συστημάτων αξιοπιστίας. 8

ABSTRACT I this thesis a study of a importat tool for resolvig a variety of problems i system reliability, which is called system sigature, is preseted. More specifically, i the first chapter itroductory cocepts of Reliability Theory are give. The otio of a coheret system is itroduced, ad its structure fuctio ad its properties are used as a vehicle for studyig system performace ad for comparig it with aother system. I additio, formulae that facilitate the evaluatio of structure fuctio i terms of miimal path sets ad miimal cut sets are developed. Also, we preset the system reliability fuctio through structure fuctio ad we give the cocept of the dual of a system. I the secod chapter, we itroduce the otio of sigature of a coheret system, which is defied i terms of the ordered lifetimes of its compoets. Next, the sigatures of kow systems ad the way of their calculatio are preseted. Exact formulae for evaluatig survival fuctio ad additioal characteristics, such as failure rate, are give. Also, we itroduce the cocepts of miimal ad maximal sigature of a coheret system. Three differet ways of comparig coheret systems performace, the results of which are based o the orderigs of system sigatures, are formulated. Furthermore, the otio of sigature is utilized for studyig a example of stochastic compariso of systems based o the priciple of redudacy. The third chapter focuses o the sigature of cosecutive-k-out-of- system failure. At first, give recurrece relatios for the calculatio of the sigature of such systems ad formulae through combiatorial aalysis are preseted. Relatios for the reliability of cosecutive type systems as a mixture of the reliability of the ordered lifetimes of its compoets, through system sigature are give. Fially, coditios for the IFR preservatio property ad comparisos of several cosecutive reliability systems lifetimes are also preseted. 9

10

Πίνακας Περιεχομένων ΕΙΣΑΓΩΓΗ 12 1. ΜΟΝΟΤΟΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 15 1.1 ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 15 1.2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ 23 2. ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΜΟΝΟΤΟΝΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 25 2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΥΠΟΓΡΑΦΗΣ 25 2.2 ΒΑΣΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΥΠΟΓΡΑΦΗΣ 34 2.3 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 42 2.4 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΕΟΝΑΣΜΟΥ 48 3. ΣΥΝΕΧΟΜΕΝΟ k-απο-τα-: F ΣΥΣΤΗΜΑ 56 3.1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 56 3.2 Η ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΕΝΟΣ ΣΥΝΕΧΟΜΕΝΟΥ k-από-τα- ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 60 3.3 ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΙΔΙΟΤΗΤΑΣ IFR 72 3.4 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΣΥΝΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 77 ΑΝΑΦΟΡΕΣ 82 11

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σύστημα θεωρείται ένα σύνολο συνιστωσών συνδεδεμένων και τοποθετημένων με τέτοιο τρόπο ώστε να δημιουργείται μία δομή που εκτελεί μία συγκεκριμένη λειτουργία. Ένα σύστημα ενδέχεται να λειτουργεί ή να αποτυγχάνει σε κάθε δεδομένη χρονική στιγμή ή στη διάρκεια ενός χρονικού διαστήματος. Για να ποσοτικοποιηθεί το γεγονός αυτό, με το 1 θα παριστάνουμε την περίπτωση που το σύστημα λειτουργεί και με το 0 την περίπτωση που το σύστημα αποτυγχάνει. Στα πλαίσια της εργασίας αυτής θα επικεντρωθούμε σε μονότονα συστήματα, δηλαδή σε συστήματα, στα οποία η βελτίωση μιας συνιστώσας συνεπάγεται και την βελτίωση του συστήματος. Η απόδοση ενός συστήματος μπορεί να εξαρτάται εξ ολοκλήρου από την ταυτόχρονη απόδοση των συνιστωσών του ενώ κάθε συνιστώσα του μπορεί να συμβάλλει με διαφορετικό τρόπο στην λειτουργία του συστήματος. Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε ένα σύστημα που αποτελείται από δύο υποσυστήματα S 1 και S 2, συνδεδεμένα σε σειρά, όπου S 1 είναι ένα σειριακό σύστημα k συνιστωσών και S 2 είναι ένα παράλληλο σύστημα k συνιστωσών. Κάθε συνιστώσα του S 1 θεωρείται πιο σημαντική από τις συνιστώσες του S 2 διότι, με δεδομένο ότι οι άλλες συνιστώσες λειτουργούν, η αποτυχία μίας συνιστώσας του S 1 θα προκαλέσει την αποτυχία του συστήματος, ενώ η αποτυχία μίας συνιστώσας του S 2 δεν θα προκαλέσει απαραίτητα την αποτυχία του συστήματος. Επίσης, δεν είναι πάντα εύκολο να υπολογιστεί η αξιοπιστία ή ο αναμενόμενος χρόνος ζωής ενός μονότονου συστήματος, ειδικά όταν η κατανομή των συνιστωσών του δεν είναι γνωστή. Συνεπώς, είναι σημαντικό να υπάρχει ένα μέτρο για την προσέγγιση της συμπεριφοράς ενός συστήματος. Ένα τέτοιο μέτρο μας δίνει τη δυνατότητα να καθορίσουμε ποια συνιστώσα αξίζει περαιτέρω έρευνα και ανάπτυξη για την βελτίωση του συστήματος αξιοπιστίας. Η έννοια της υπογραφής αποτελεί ένα χρήσιμο εργαλείο για τον υπολογισμό διάφορων χαρακτηριστικών του συστήματος. Η υπογραφή ενός μονότονου συστήματος με ανεξάρτητες και ισόνομες συνιστώσες με συνεχή κατανομή F, ορίστηκε από τον Samaiego (1985) ως το διάνυσμα (s 1, s 2,, s ), όπου s i είναι η πιθανότητα αποτυχίας του συστήματος στην i-οστή αποτυχία συνιστώσας, i = 1,2,,. Μία επισκόπηση σχετικά με τις υπογραφές και τις εφαρμογές τους δίνεται στην μονογραφία του Samaiego (2007). 12

Η συνάρτηση επιβίωσης ενός συστήματος μπορεί να γραφεί ως μίξη των συναρτήσεων επιβίωσης των διατεταγμένων χρόνων ζωής των συνιστωσών του και του διανύσματος της υπογραφής του. Οι Navarro, Ruiz και Sadoval (2007) εισήγαγαν τις έννοιες των miimal και maximal υπογραφών, βάσει των οποίων η συνάρτηση αξιοπιστίας ενός συστήματος μπορεί να εκφραστεί ως μίξη των αξιοπιστιών σειριακών και παράλληλων συστημάτων. Επιπλέον, ενδιαφέροντα συμπεράσματα σχετικά με τις στοχαστικές σχέσεις μεταξύ των χρόνων ζωής μονότονων συστημάτων τεκμηριώνονται με την χρήση των ιδιοτήτων του διανύσματος της υπογραφής των συστημάτων. Για παράδειγμα, οι Kochar, Mukerjee και Samaiego (1999) απέδειξαν επαρκείς συνθήκες για την τεκμηρίωση στοχαστικών συγκρίσεων μεταξύ συστημάτων αξιοπιστίας, αποτελούμενων από ανεξάρτητες και ισόνομες συνιστώσες. Οι Chiag και Niu (1981) εισήγαγαν την έννοια των συνεχόμενων k-από-τα- συστημάτων αξιοπιστίας, τα οποία κατά τις τελευταίες δεκαετίες έχουν προκαλέσει έντονο ενδιαφέρον, λόγω της πληθώρας εφαρμογών που έχουν βρει σε πρακτικά προβλήματα. Τα συνεχόμενα kαπό-τα- συστήματα μπορούν να ταξινομηθούν σε σχέση με την διάταξη των συνιστωσών τους (γραμμικά ή κυκλικά) και την απόδοση τους (είτε ως συστήματα αποτυχίας είτε ως συστήματα επιτυχίας). Οι συγκεκριμένες δομές αξιοπιστίας εφαρμόζονται συχνά σε συστήματα τηλεπικοινωνιών, σε δίκτυα μεταφοράς υγρών, σε συστήματα επιταχυντών σωματιδίων υπό κενό, σε δίκτυα υπολογιστών και σε διαστημικούς σταθμούς. Ας θεωρήσουμε ένα γεωργικό αρδευτικό σύστημα μήκους 200 μέτρων, το οποίο αποτελείται από 10 αντλίες τοποθετημένες 20 μέτρα μακριά η μία από την άλλη. Υποθέτουμε ότι κάθε αντλία μπορεί να μεταφέρει νερό μέχρι 40 μέτρα. Εάν μία αντλία δεν λειτουργεί τότε η προηγούμενη της μπορεί να διοχετεύσει το νερό στην επόμενη αντλία αλλά αν αποτύχουν δύο συνεχόμενες αντλίες, το νερό δεν θα φτάσει στον προορισμό του, έτσι το σύστημα αποτυγχάνει. Το σύστημα αυτό είναι ένα παράδειγμα ενός συνεχόμενου 2-από-τα- συστήματος αποτυχίας. Η εκτίμηση της αξιοπιστίας είναι πάρα πολύ σημαντική στον σχεδιασμό και τη λειτουργία συνεχόμενων συστημάτων. Όμως, ο υπολογισμός της συνάρτησης αξιοπιστίας δεν είναι απλός, ιδίως όταν το σύστημα αποτελείται από μεγάλο αριθμό συνιστωσών. Η έννοια της υπογραφής διευκολύνει στον υπολογισμό αυτό. Οι Triatafyllou και Koutras (2008) παρουσιάζουν μία μέθοδο εύρεσης της γεννήτριας των συντεταγμένων του διανύσματος της υπογραφής ενός συνεχόμενου k-από-τα- συστήματος αποτυχίας με τη βοήθεια της συνάρτησης αξιοπιστίας του. Ενώ ο Eryilmaz (2010) διατυπώνει και αποδεικνύει εκφράσεις για τον υπολογισμό της miimal και maximal υπογραφής ενός συνεχόμενου k-από-τα- συστήματος αποτυχίας με 13

ανεξάρτητες και ισόνομες συνιστώσες. Οι εκφράσεις αυτές, μας δίνουν την δυνατότητα να υπολογίσουμε την συνάρτηση αξιοπιστίας ενός συνεχόμενου k-από-τα- συστήματος αποτυχίας. Ο ρυθμός αποτυχίας αποτελεί μία σημαντική έννοια για την αξιοπιστία και συγκεκριμένα για τις ιδιότητες γήρανσης. Ένα πρόβλημα που σχετίζεται με τον ρυθμό αποτυχίας των συνεχόμενων k-από-τα- συστημάτων είναι η διατήρηση της ιδιότητας IFR. Οι Triatafyllou και Koutras (2008) εξετάζουν εάν η συγκεκριμένη ιδιότητα γήρανσης των συνιστωσών διατηρείται ή όχι όταν με αυτές σχηματίζεται ένα μονότονο σύστημα με τη χρήση του διανύσματος της υπογραφής του. Συγκεκριμένα μελετώνται τα συνεχόμενα 2-από-τα- συστήματα, για τα οποία υπολογίζεται η υπογραφή τους και διατυπώνονται συνθήκες διατήρησης της ιδιότητας IFR για άρτιο και περιττό αριθμό συνιστωσών. 14

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. ΜΟΝΟΤΟΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Κάθε σύστημα αξιοπιστίας αποτελείται από μία δομή συνιστωσών και κάθε συνιστώσα του δύναται να λειτουργεί ή όχι. Για να περιγράψουμε την κατάσταση κάθε συνιστώσας ορίζουμε μία δείκτρια μεταβλητή ως εξής x i 1, αν η συνιστώσα i λειτουργεί 0, αν η συνιστώσα i δεν λειτουργεί Αντίστοιχα, για την περιγραφή της κατάστασης του συστήματος σύμφωνα με τη λειτουργία των συνιστωσών ορίζουμε μία δείκτρια συνάρτηση ως εξής 1, αν τοσύστημα λειτουργεί φ 0, αν τοσύστημα δεν λειτουργεί Ορισμός 1.1.1 Η συνάρτηση φ: {0,1} {0,1}, η οποία σε κάθε διάνυσμα x απεικονίζει την κατάσταση του συστήματος φ(x) = φ(x 1, x 2, x ), λέγεται συνάρτηση δομής του συστήματος. Έστω το διάνυσμα ( i, x), το οποίο ορίζουμε ως εξής: ( i, x) = (x 1,, x i 1, i, x i+1,, x ). Ορισμός 1.1.2 Η συνιστώσα i του συστήματος καλείται «άσχετη» στην δομή φ εάν φ(1 i, x) = φ(0 i, x) για όλα τα ( i, x) Ορισμός 1.1.3 Η συνιστώσα i του συστήματος καλείται «σχετική» στην δομή φ εάν φ(1 i, x) φ(0 i, x) για ένα τουλάχιστον διάνυσμα ( i, x). Λήμμα 1.1.1 Για κάθε συνάρτηση δομής φ ισχύει φ(x) = x i φ(1 i, x) + (1 x i )φ(0 i, x), για οποιοδήποτε διάνυσμα κατάστασης x, i = 1,2,,, όπου (1 i, x) = (x 1, x 2,, 1 i,, x ) και (0 i, x) = (x 1, x 2,, 0 i,, x ). 15

Ένα σύστημα δεν θα ήταν καλά σχεδιασμένο αν η βελτίωση της απόδοσης μίας συνιστώσας οδηγούσε στην υποβάθμιση της απόδοσης του συστήματος. Για το λόγο αυτό θα περιορίσουμε την μελέτη μας σε συναρτήσεις δομής, οι οποίες είναι αύξουσες ως προς κάθε συνιστώσα, δηλαδή η βελτίωση της απόδοσης μιας συνιστώσας δεν συνεπάγεται τη μείωση της απόδοσης του συστήματος. Επιπλέον θα μελετήσουμε μόνο συστήματα, των οποίων η κατάσταση εξαρτάται από την κατάσταση των συνιστωσών τους. Επομένως οδηγούμαστε στον ακόλουθο ορισμό. Ορισμός 1.1.4 Ένα σύστημα συνιστωσών ονομάζεται συνεπές ή μονότονο (coheret system) εάν ισχύουν οι συνθήκες α) Η συνάρτηση δομής του είναι αύξουσα ως προς κάθε μεταβλητή της, δηλαδή αν x i y i, i = 1,2,, τότε φ(x) = φ(x 1, x 2, x ) φ(y 1, y 2, y ) = φ(y). β) Κάθε συνιστώσα του συστήματος είναι «σχετική». Για κάθε συνάρτηση φ: {0,1} {0,1}, η οποία ικανοποιεί τις συνθήκες του παραπάνω ορισμού, υπάρχει τουλάχιστον ένα συνεπές σύστημα με συνάρτηση δομής φ. Η συνάρτηση δομής κάθε μονότονου συστήματος έχει κάτω φράγμα την συνάρτηση δομής ενός σειριακού συστήματος και άνω φράγμα την συνάρτηση δομής ενός παράλληλου συστήματος, όταν όλα αποτελούνται από το ίδιο πλήθος συνιστωσών. Σύμφωνα με τους Barlow και Proscha (1975) διατυπώνεται ως εξής: Θεώρημα 1.1.1 Έστω φ μια συνεπής δομή. Ορίζουμε ότι Τότε ισχύει x i x i = 1 (1 x i ) φ(x) x i για κάθε x {0,1}. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε στη διάθεσή μας συνιστώσες με διάνυσμα κατάστασης x και συνιστώσες με διάνυσμα κατάστασης y που αντιστοιχούν σε συνεπή συστήματα με συγκεκριμένη συνάρτηση δομής. Τότε σύμφωνα με το ακόλουθο Θεώρημα των Barlow και Proscha (1975) είναι προτιμότερο να θεωρήσουμε δύο παράλληλα συνδεδεμένες συνιστώσες 16

x i και y i σαν μία συνιστώσα παρά να συνδέσουμε παράλληλα δύο όμοια συνεπή συστήματα συνιστωσών. Θεώρημα 1.1.2 Έστω φ η συνάρτηση δομής ενός μονότονου συστήματος και x = (x 1, x 2,, x ), y = (y 1, y 2,, y ) διανύσματα κατάστασης. Ορίζουμε x y = (x 1 y 1, x 2 y 2,, x y ), όπου x i y i = 1 (1 x i )(1 y i ), για κάθε i = 1,2,, και xy = (x 1 y 1, x 2 y 2,, x y ). Τότε ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις: α) φ(x y) φ(x) φ(y), η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν η φ είναι παράλληλη δομή. β) φ(xy) φ(x)φ(y), η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν η φ είναι σειριακή δομή. Απόδειξη α) Έχουμε ότι x i y i = max(x i, y i ) x i x i y i = max(x i, y i ) y i για κάθε i = 1,2,, } φ( x y) φ(x) φ( x y) φ(y) } φ( x y) max(φ(x), φ(y)) = φ(x) φ(y). Αν η δομή φ είναι παράλληλη ισχύει ότι φ(x) = x i = 1 (1 x i ). Συνεπώς, φ( x y) = φ(x 1 y 1,, x y ) β) Έχουμε ότι = φ(1 (1 x 1 )(1 y 1 ),, 1 (1 x )(1 y )) = 1 [1 (1 (1 x i )(1 y i ))] = 1 (1 x i )(1 y i ) = 1 [1 (1 (1 x i ))] [1 (1 (1 y i ))] = [1 (1 x i )] [1 (1 x i )] = φ(x) φ(y). x i y i = mi(x i, y i ) x i φ(xy) φ(x) για κάθε i = 1,2,, } x i y i = mi(x i, y i ) y i φ(xy) φ(y) } φ(xy) mi( φ(x), φ(y)) = φ(x)φ(y) Αν η δομή φ είναι σειριακή ισχύει ότι φ(x) = x 1 x 2 x. Συνεπώς, 17

φ(xy) = φ(x 1 y 1, x 2 y 2,, x y ) = (x 1 y 1 )(x 2 y 2 ) (x y ) = (x 1 x 2 x )(y 1 y 2 y )= φ(x)φ(y). Για να υπολογίσουμε την συνάρτηση δομής ενός συστήματος αξιοπιστίας θα χρειαστεί να γνωρίζουμε τις ακόλουθες έννοιες. Ένα διάνυσμα x λέγεται διάνυσμα διαδρομής εάν φ(x) = 1. Αν φ(x) = 1 και φ(y) = 0, για κάθε y < x τότε το x καλείται ελάχιστο διάνυσμα διαδρομής (miimal path vector). Σύνολο διαδρομής P(x) που αντιστοιχεί στο διάνυσμα διαδρομής x ενός μονότονου συστήματος καλείται ένα σύνολο των συνιστωσών του συστήματος, των οποίων η λειτουργία συνεπάγεται τη λειτουργία του συστήματος. Δηλαδή ισχύει P(x) = {i: x i = 1} {1,2,, } με x διάνυσμα διαδρομής. Εάν το διάνυσμα x είναι ελάχιστο διάνυσμα διαδρομής τότε το σύνολο P(x) λέγεται ελάχιστο σύνολο διαδρομής (miimal path set). Ένα διάνυσμα x λέγεται διάνυσμα αποκοπής εάν φ(x) = 0. Αν φ(x) = 0 και φ(y) = 1, για κάθε y > x τότε το x καλείται ελάχιστο διάνυσμα αποκοπής (miimal cut vector). Σύνολο αποκοπής C(x) που αντιστοιχεί στο διάνυσμα αποκοπής x ενός μονότονου συστήματος καλείται ένα σύνολο των συνιστωσών του συστήματος, των οποίων η μη λειτουργία συνεπάγεται τη μη λειτουργία του συστήματος. Δηλαδή ισχύει C(x) = {i: x i = 0} {1,2,, } με x διάνυσμα αποκοπής. Εάν το διάνυσμα x είναι ελάχιστο διάνυσμα αποκοπής τότε το σύνολο C(x) λέγεται ελάχιστο σύνολο αποκοπής (miimal cut set). Μεταξύ της συνάρτησης δομής του συνεπούς συστήματος και των ελάχιστων συνόλων διαδρομής (ε.σ.δ.) και των ελάχιστων συνόλων αποκοπής (ε.σ.α.) του συστήματος υπάρχει μία σχέση η οποία μας διευκολύνει στον αλγεβρικό υπολογισμό της. Συνεπώς, παρατηρούμε ότι για να λειτουργήσει ένα συνεπές σύστημα αρκεί όλες οι συνιστώσες κάποιου ε.σ.δ. να λειτουργούν. Παρόμοια, ένα συνεπές σύστημα θα λειτουργεί εάν τουλάχιστον μία από τις συνιστώσες κάθε ε.σ.α. λειτουργεί. Έτσι για τον αλγεβρικό υπολογισμό της συνάρτησης δομής του συνεπούς συστήματος αξιοπιστίας θα έχουμε την ακόλουθη Πρόταση. 18

Πρόταση 1.1.1 (α) Εάν θεωρήσουμε P 1, P 2,, P r να είναι τα ελάχιστα σύνολα διαδρομής του συστήματος τότε η συνάρτηση δομής θα δίνεται από την σχέση r r φ(x) = max x i = x i = 1 (1 x i j {1,2,..,r} i P j ) j=1 i P j j=1 i P j (1.1) (β) Εάν θεωρήσουμε C 1, C 2,, C k να είναι τα ελάχιστα σύνολα αποκοπής του συστήματος τότε η συνάρτηση δομής θα δίνεται από την σχέση φ(x) = mi (1 (1 x i) ) = (1 (1 x i ) j {1,2,,k} i C j j=1 k i C j ) k = x i j=1 i C j (1.2) Η αναπαράσταση της συνάρτησης δομής στις σχέσεις (1.1) και (1.2) μας δείχνει ότι ένα συνεπές σύστημα μπορεί να θεωρηθεί σαν μία παράλληλη σύνδεση σειριακών δομών των ελαχίστων συνόλων διαδρομής ή σαν μία σειριακή σύνδεση παράλληλων δομών των ελαχίστων συνόλων αποκοπής, αντίστοιχα. Παράδειγμα 1.1.1 Θα αναφέρουμε την συνάρτηση δομής κάποιων χαρακτηριστικών συστημάτων αξιοπιστίας. I. Σειριακό σύστημα Ένα σύστημα το οποίο λειτουργεί όταν λειτουργούν όλες οι συνιστώσες του, ή ισοδύναμα αποτυγχάνει όταν αποτύχει μία τουλάχιστον από τις συνιστώσες του καλείται σειριακό σύστημα. Επομένως, η συνάρτηση δομής του θα είναι φ(x) = mi{x 1, x 2,, x } = x i 1 2 Σχήμα 1 19

II. Παράλληλο σύστημα Ένα σύστημα το οποίο λειτουργεί όταν τουλάχιστον μία από τις συνιστώσες του λειτουργεί, ή ισοδύναμα αποτυγχάνει όταν όλες οι συνιστώσες του αποτύχουν καλείται παράλληλο σύστημα. Συνεπώς, η συνάρτηση δομής του θα είναι φ(x) = max{x 1, x 2,, x } = 1 (1 x i ) 1 2 Σχήμα 2 III. Γέφυρα Το σύστημα της Γέφυρας, που δίνεται στο ακόλουθο Σχήμα 3 αποτελείται από 5 συνιστώσες και λειτουργεί όταν υπάρχει μία συνεχής διαδρομή από το Α στο Β μέσω των συνιστωσών που βρίσκονται σε λειτουργία. Αυτό επιτυγχάνεται αν λειτουργούν οι συνιστώσες 1,2 ή οι συνιστώσες 4,5 ή οι συνιστώσες 1,3,5 ή οι συνιστώσες 4,3,2, δηλαδή τα ε.σ.δ είναι τα P 1 = {1,2}, P 2 = {4,5}, P 3 = {1,3,5}, P 4 = {4,3,2}. Συνεπώς, η συνάρτηση δομής της θα είναι 4 φ(x) = 1 (1 x i. j=1 i P j ) 20

Σχήμα 3 IV. Σύστημα k-από-τα- Ένα σύστημα το οποίο λειτουργεί όταν λειτουργούν τουλάχιστον k από τις συνιστώσες του, ή ισοδύναμα αποτυγχάνει όταν αποτύχουν τουλάχιστον k + 1 συνιστώσες του καλείται σύστημα k-από-τα-. Ειδικές περιπτώσεις αυτού του συστήματος αποτελούν το παράλληλο σύστημα (για k = 1) και το σειριακό σύστημα (για k = ). Συνεπώς, η συνάρτηση δομής του θα είναι φ(x) = 1, αν x i k 0, αν x i < k { όπου x i είναι το πλήθος των συνιστωσών του συστήματος που λειτουργούν. V. Συνεχόμενο σύστημα k-από-τα-: F Ένα σύστημα συνιστωσών το οποίο αποτυγχάνει όταν αποτύχουν τουλάχιστον k συνεχόμενες συνιστώσες από τις καλείται συνεχόμενο σύστημα k-από-τα- αποτυχίας. Η διάταξη του συστήματος αυτού φαίνεται στο Σχήμα 4. Ειδικές περιπτώσεις αυτού του συστήματος αποτελούν το σειριακό σύστημα (για k = 1) και το παράλληλο σύστημα (για k = ). Τα ελάχιστα σύνολα αποκοπής του συνεχόμενου συστήματος k-από-τα- είναι όλα τα υποσύνολα του συνόλου {1,2,, } με k διαδοχικά στοιχεία, δηλαδή είναι τα σύνολα {1,2,, k}, {2,3,, k + 1},, { k + 1, k + 2,, }. Η συνάρτηση δομής του συνεχόμενου συστήματος k-από-τα-: F χρησιμοποιώντας την σχέση (1.2) μπορεί να γραφεί ως 21

k+1 j+k 1 k+1 j+k 1 φ(x) = (1 (1 x i )) = (1 x i ). j=1 i=j j=1 i=j Όπως έχουμε ήδη αναφέρει το σύστημα θα λειτουργεί εφόσον φ(x) = 1. Στην περίπτωση του συνεχόμενου συστήματος k-από-τα-: F, αυτό επιτυγχάνεται αν και μόνο αν όλοι οι παράγοντες 1 j k 1 i j (1 x ) 1, j 1,2,..., k 1. Κάθε παράγοντας 1 (1 x ) θα i j k 1 i j i j k 1 ισούται με 1 αν (1 x ) 0, j 1,2,..., k 1 και αυτό θα συμβαίνει αν και μόνο αν i j i σε κάθε σύνολο k συνεχόμενων συνιστωσών υπάρχει τουλάχιστον μία συνιστώσα που λειτουργεί. Σχήμα 4: συνεχόμενο 3-από-τα- σύστημα Μία άλλη σημαντική έννοια που θα ορίσουμε είναι η έννοια του δυϊκού συστήματος. Ορισμός 1.1.5 Έστω ένα συνεπές σύστημα αξιοπιστίας συνιστωσών με συνάρτηση δομής φ. Τότε η δυϊκή της θα ορίζεται ως φ D (x) = 1 φ(1 x), δηλαδή φ D (x 1, x 2,, x ) = 1 φ(1 x 1, 1 x 2,,1 x ). Συνεπώς το σύστημα με συνάρτηση δομής την φ D (x) αποτελεί το δυϊκό σύστημα του συστήματος με συνάρτηση δομής φ. Για τα διανύσματα αποκοπής και τα διανύσματα διαδρομής του δυικού συστήματος ισχύουν τα ακόλουθα: Αν το x είναι διάνυσμα διαδρομής για την φ, τότε το 1 x είναι διάνυσμα αποκοπής για την φ D. Αν το x είναι διάνυσμα αποκοπής για την φ, τότε το 1 x είναι διάνυσμα διαδρομής για την φ D. Τα ελάχιστα σύνολα διαδρομής για την φ είναι ελάχιστα σύνολα αποκοπής για την φ D. Τα ελάχιστα σύνολα αποκοπής για την φ είναι ελάχιστα σύνολα διαδρομής για την φ D. 22

1.2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ Στην προηγούμενη παράγραφο προσπαθήσαμε να προσδιορίσουμε ένα σύστημα μέσω της συνάρτησης δομής του. Μελετήσαμε, δηλαδή, την εξάρτηση της κατάστασης ενός συστήματος από τις καταστάσεις των συνιστωσών του. Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε την αντίστοιχη στοχαστική εξάρτηση. Ας θεωρήσουμε ότι κάθε συνιστώσα X i του συστήματος είναι μία τυχαία μεταβλητή με κατανομή Beroulli, η οποία παριστάνει τη λειτουργία της συνιστώσας σε συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Αυτό που μας ενδιαφέρει είναι η μελέτη της πιθανότητας λειτουργίας του συστήματος, η οποία ορίζεται ως αξιοπιστία (reliability) του συστήματος στη συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Η πιθανότητα λειτουργίας της i-συνιστώσας, η αξιοπιστία της i-συνιστώσας, είναι p i = P(X i = 1), i = 1,2,,. Επειδή όμως τα συστήματα που θα μελετήσουμε αποτελούνται από ανεξάρτητες και ισόνομες συνιστώσες θέτουμε p i = p, i = 1,2,,. Αν φ είναι η συνάρτηση δομής του συστήματος και Χ το διάνυσμα κατάστασης των συνιστωσών του, η αξιοπιστία του συστήματος R(p) μπορεί να υπολογιστεί μέσω της σχέσης R(p) = P(φ(X) = 1) = E(φ(X)). Λήμμα 1.2.1 Για κάθε συνάρτηση αξιοπιστίας R, ισχύει R(p) = p i R(1 i, p) + (1 p i )R(0 i, p), για κάθε i = 1,2,,, όπου (1 i, p) = (p 1, p 2,, 1 i,, p ) και (0 i, p) = (p 1, p 2,, 0 i,, p ). Μία σημαντική ιδιότητα της συνάρτησης αξιοπιστίας παρουσιάζεται στο ακόλουθο Θεώρημα. Θεώρημα 1.2.1 Έστω ένα συνεπές σύστημα συνιστωσών με χρόνους και R η συνάρτηση αξιοπιστίας του. Τότε για κάθε 0 < p < 1, 0 < p < 1 ισχύει (α) R(p p ) R(p) R (p ) και (β) R(pp ) R(p)R(p ), όπου η ισότητα ισχύει στο (α) για όλα τα p, p αν και μόνο αν το σύστημα είναι παράλληλο και στο (β) για όλα τα p, p αν και μόνο αν το σύστημα είναι σειριακό. Παράδειγμα 1.2.1 Ας δούμε τώρα την αξιοπιστία τριών γνωστών συστημάτων: Α) Σειριακό σύστημα 23

R(p) = E(φ(X)) = E ( X i ) = E(X 1 )E(X 2 ) E(X ) = p p p = p Β) Παράλληλο σύστημα R(p) = E(φ(X)) = E ( X i ) = E (1 (1 X i )) = 1 E ( (1 X i )) Γ) Σύστημα k-από-τα- = 1 E(1 X i ) = 1 (1 E(X i )) = 1 (1 p) = 1 (1 p) R(p) = P(φ(X) = 1) = P(Y k) = P(Y = i) = ( i ) pi (1 p) i, i=k i=k όπου Y = X 1 + X 2 + + X είναι το πλήθος των επιτυχιών σε ανεξάρτητες δοκιμές Beroulli, με πιθανότητα επιτυχίας p η καθεμία. Για παράδειγμα, αν θεωρήσουμε = 3 και k = 2, η αξιοπιστία του 2-από-τα-3 συστήματος θα είναι 3 h(p) = ( 3 2 ) pi (1 p) 3 i = 3p 2 (1 p) + p 3 = 3p 2 2p 3. i=2 24

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 2. ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΜΟΝΟΤΟΝΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΥΠΟΓΡΑΦΗΣ Η συνάρτηση δομής ενός συστήματος είναι μοναδική για κάθε σύστημα. Παρόλα αυτά είναι δύσκολο να υπολογιστούν αυτές οι αλγεβρικές παραστάσεις για την σύγκριση δύο συστημάτων αξιοπιστίας. Γι αυτόν τον λόγο ο Samaiego (1985) εισήγαγε την έννοια της υπογραφής ως έναν εναλλακτικό δείκτη της κατάστασης του συστήματος. Ο ορισμός που δίνεται από τον Samaiego (1985) περιλαμβάνει την υπόθεση ότι οι συνιστώσες του συστήματος είναι ανεξάρτητες και ισόνομες. Έστω ότι έχουμε ένα συνεπές σύστημα με συνιστώσες των οποίων οι χρόνοι ζωής X 1, X 2,, X είναι ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές με συνεχή κατανομή F. Αν Τ είναι ο χρόνος αποτυχίας του συστήματος, τότε η αποτυχία του συστήματος θα συμπίπτει με τον χρόνο ζωής κάποιας εκ των συνιστωσών του i, i = 1,2,,. Επίσης, εάν Χ i: είναι η iοστή διατεταγμένη τ.μ. μεταξύ των χρόνων ζωής, X 1, X 2,, X τότε T = Χ i:, i = 1,2,,. Ορισμός 2.1.1 (Samaiego (1985)) Υπογραφή (sigature) ενός συνεπούς συστήματος με ανεξάρτητες και ισόνομες συνιστώσες ονομάζεται το διάνυσμα πιθανοτήτων s = (s 1, s 2, s ) με s i = P(T = Χ i: ), i = 1,2,,, όπου X i: είναι η i-οστή διατεταγμένη τ.μ. των τ.μ. X 1, X 2,, X που παριστάνουν τους χρόνους ζωής των συνιστωσών του συστήματος. Η ιδέα της υπογραφής αναπτύχθηκε από μία ιδιότητα των μονότονων συστημάτων, στα οποία οι συνιστώσες είναι ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές. Στα συστήματα αυτά η πιθανότητα ότι το σύστημα αποτυγχάνει κατά την i-οστή αποτυχία συνιστώσας δεν εξαρτάται από την κατανομή F. Για τον λόγο αυτό η υπογραφή αποτελεί ένα «καθαρό» μέτρο της δομής του συστήματος. Επίσης, η υπόθεση για ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές σε ένα σύστημα διευκολύνει στην σύγκριση συστημάτων αξιοπιστίας καθώς αποφεύγονται παράδοξα συμπεράσματα. Για παράδειγμα ένα σειριακό σύστημα με συνιστώσες καλής απόδοσης μπορεί να υπερισχύσει ενός παράλληλου συστήματος με συνιστώσες χαμηλής απόδοσης, ενώ είναι προφανές ότι ως προς τον σχεδιασμό το παράλληλο σύστημα είναι καλύτερο από το σειριακό. 25

Παράδειγμα 2.1.1 Η υπογραφή ενός σειριακού συστήματος συνιστωσών δίνεται από το διάνυσμα s Σ = (1,0,0,,0) καθώς η πιθανότητα αποτυχίας του συστήματος ταυτίζεται με τον πρώτο διατεταγμένο χρόνο ζωής των συνιστωσών και ισούται με 1. Αντίθετα η πιθανότητα το σύστημα να λειτουργήσει αφού έχει αποτύχει μία συνιστώσα του ισούται με 0. Παράδειγμα 2.1.2 Θα υπολογίσουμε την υπογραφή του k-από-τα- συστήματος. Το σύστημα αυτό αποτυγχάνει όταν αποτύχουν τουλάχιστον k + 1 συνιστώσες. Συνεπώς η πιθανότητα ο χρόνος ζωής του συστήματος Τ να ταυτίζεται με το χρόνο ζωής της i-οστής διατεταγμένης συνιστώσας Χ i: για i = 1,2,, k ισούται με μηδέν, δηλαδή P(T = Χ i: ) = 0, i = 1,2,, k. Επίσης η πιθανότητα το σύστημα να αποτύχει κατά την αποτυχία της i-οστής συνιστώσας για i = k + 2,, είναι ίση με μηδέν, δηλαδή P(T = Χ i: ) = 0, i = k + 2,,. Το σύστημα αποτυγχάνει κατά την αποτυχία της ( k + 1)-οστής συνιστώσας, καθώς μόνο k 1 συνιστώσες βρίσκονται σε λειτουργία. Έτσι η πιθανότητα ο χρόνος ζωής του συστήματος να ταυτίζεται με το χρόνο ζωής της ( k + 1)-οστής συνιστώσας ισούται με 1, δηλαδή P(T = Χ k+1: ) = 1. Συνεπώς το διάνυσμα της υπογραφής του k-από-τα- συστήματος εκφράζεται ως εξής: s k = (0,0, 0,1,0,,0). Tο διάνυσμα της υπογραφής εξαρτάται αποκλειστικά από τον σχεδιασμό του συστήματος και όχι από την κατανομή F, γεγονός που οφείλεται στις ισοπίθανες! διατάξεις των χρόνων ζωής των συνιστωσώνx 1, X 2,, X. Ένας εναλλακτικός ορισμός για την υπογραφή του συστήματος αναφέρεται από τους Kochar, Mukerjee και Samaiego (1999). Ορισμός 2.1.2 Η υπογραφή ενός συνεπούς συστήματος είναι το διάνυσμα πιθανοτήτων s = (s 1, s 2, s ) με στοιχεία s i = A!, όπου Α είναι το πλήθος των μεταθέσεων των διατεταγμένων χρόνων ζωής για τις οποίες η αποτυχία της i-οστής συνιστώσας προκαλεί την αποτυχία του συστήματος. Σύμφωνα με τον ορισμό για να υπολογίσουμε το i-οστό στοιχείο της υπογραφής αρκεί να εξετάσουμε τα ελάχιστα σύνολα αποκοπής και να βρούμε το πλήθος των συνδυασμών μεταξύ των ισοπίθανων μεταθέσεων των χρόνων ζωής X 1, X 2,, X που συμπίπτουν με την αποτυχία κάποιου ελάχιστου συνόλου αποκοπής όταν το σύστημα αποτυγχάνει κατά την αποτυχία της i-οστής διατεταγμένης συνιστώσας, δηλαδή, Τ = X i:. Παράδειγμα 2.1.3 Το παρακάτω σύστημα 4 ης τάξης με συνάρτηση δομής φ(x) = x 1 (x 2 x 3 x 4 ) έχει ως ελάχιστα σύνολα αποκοπής τα {1}, {2,4} και {3,4}. Σε κάθε περίπτωση ο χρόνος 26

ζωής του συστήματος θα ισούται με T = mi{x 1, max(x 2, X 4 ), max(x 3, X 4 )} έτσι η υπογραφή του συστήματος αυτού δίνεται από το διάνυσμα ( 1, 7, 1, 0). Στον επόμενο πίνακα δίνονται οι 4 12 6 διατεταγμένοι χρόνοι ζωής των συνιστωσών (οι διατάξεις είναι 4!=24), οι οποίοι προκαλούν την αποτυχία του συστήματος. Σχήμα 5 Διατεταγμένοι χρόνοι ζωής των συνιστωσών Χρόνος ζωής του συστήματος Τ X 1 < X 2 < X 3 < X 4 X 1:3 X 1 < X 2 < X 4 < X 3 X 1:3 X 1 < X 3 < X 2 < X 4 X 1:3 X 1 < X 3 < X 4 < X 2 X 1:3 X 1 < X 4 < X 2 < X 3 X 1:3 X 1 < X 4 < X 3 < X 2 X 1:3 X 2 < X 1 < X 3 < X 4 X 2:3 X 2 < X 1 < X 4 < X 3 X 2:3 X 2 < X 3 < X 1 < X 4 X 3:3 X 2 < X 3 < X 4 < X 1 X 3:3 X 2 < X 4 < X 1 < X 3 X 2:3 X 2 < X 4 < X 3 < X 1 X 2:3 X 3 < X 1 < X 4 < X 2 X 2:3 X 3 < X 1 < X 2 < X 4 X 2:3 X 3 < X 2 < X 4 < X 1 X 3:3 X 3 < X 2 < X 1 < X 4 X 3:3 X 3 < X 4 < X 1 < X 2 X 2:3 X 3 < X 4 < X 2 < X 1 X 2:3 X 4 < X 1 < X 2 < X 3 X 2:3 X 4 < X 1 < X 3 < X 2 X 2:3 X 4 < X 2 < X 1 < X 3 X 2:3 X 4 < X 2 < X 3 < X 1 X 2:3 X 4 < X 3 < X 1 < X 2 X 2:3 X 4 < X 3 < X 2 < X 1 X 2:3 27

Οπότε οι συνιστώσες του διανύσματος της υπογραφής θα είναι s 1 = 6 24 = 1 4, s 2 = 14 24 = 7 12, s 3 = 4 24 = 1 6, s 4 = 0. Θα εισάγουμε την έννοια των ελάχιστων διατεταγμένων συνόλων αποκοπής σύμφωνα με τον Bolad (2001) για να την χρησιμοποιήσουμε σε μία εναλλακτική διατύπωση του διανύσματος της υπογραφής. Ορισμός 2.1.3 Έστω ένα συνεπές σύστημα συνιστωσών και C = {c 1, c 2,, c } το σύνολο αυτών. Ένα διατεταγμένο υποσύνολο K = {c π(1), c π(2),, c π(k) } (όπου π κάποια διάταξη των 1,2,..,, με k ) του C ορίζεται ως διατεταγμένο σύνολο αποκοπής αν οι σχέσεις Χ 1: = Χ π(1),, Χ k: = Χ π(k) υποδηλώνουν ότι T X π(k). Το Κ είναι ελάχιστα διατεταγμένο σύνολο αποκοπής αν είναι σύνολο αποκοπής αλλά το σύνολο {c π(1), c π(2),, c π(k 1) } δεν είναι διατεταγμένο σύνολο αποκοπής. Αν διαιρέσουμε αριθμητή και παρονομαστή της προηγούμενης σχέσης στον Ορισμό 2.1.2 με την ποσότητα ( i)! θα προκύψει μία διαφορετική διατύπωση για το διάνυσμα της υπογραφής όπως αναφέρει στην εργασία του ο Bolad (2001). Ορισμός 2.1.4 Η υπογραφή ενός συνεπούς συστήματος ορίζεται ως s i = πλήθος ελαχίστων διατεταγμένων συνόλων αποκοπής μεγέθους i () i, όπου () i =! ( i)!. Παράδειγμα 2.1.4 Θα χρησιμοποιήσουμε τα ελάχιστα διατεταγμένα σύνολα αποκοπής για να υπολογίσουμε την υπογραφή ενός παράλληλου συστήματος συνιστωσών. Το παράλληλο σύστημα δεν έχει ελάχιστα διατεταγμένα σύνολα αποκοπής με 1,,3,2 ή 1 στοιχεία. Το μόνο ελάχιστο διατεταγμένο σύνολο αποκοπής είναι το {1,2,3,, } και όλες οι δυνατές μεταθέσεις των στοιχείων είναι!. Συνεπώς έχουμε s 1 = 0 = 0, s! 2 = ( 1)! 0! ( 2)! = 0,, s 1 = 0 = 0, s! 1 = ( ( 1))!! = 1.! ( )! Οπότε το διάνυσμα της υπογραφής του παράλληλου συστήματος είναι s Π = (0,0,,0,1). 28

Μία σημαντική ιδιότητα της υπογραφής ενός συστήματος, η οποία παρουσιάζεται εκτενώς από τον Samaiego (2007), είναι ότι η κατανομή του χρόνου ζωής του συστήματος Τ, με ανεξάρτητες και ισόνομες συνιστώσες μπορεί να εκφραστεί μέσω του διανύσματος υπογραφής s και της κοινής συνάρτησης κατανομής των χρόνων ζωής των συνιστωσών F. Πριν προχωρήσουμε στην διατύπωσή της, δίνουμε την ακόλουθη Πρόταση. Πρόταση 2.1.1 Έστω X 1, X 2,, X ανεξάρτητες και ισόνομες τ.μ. με κοινή συνάρτηση κατανομής F(t), t R. Τότε η συνάρτηση κατανομής της i τάξης διατεταγμένης τ.μ., X i:, 1 i, δίνεται από την σχέση F Xi: (t) = ( j ) (F(t))j (1 F(t)) j, t R. j=i Θεώρημα 2.1.1 Έστω X 1, X 2,, X οι ανεξάρτητες και ισόνομες τ.μ. που παριστάνουν τους χρόνους ζωής των συνιστωσών ενός συνεπούς συστήματος με διάνυσμα υπογραφής s και Τ ο χρόνος ζωής του συστήματος. Τότε i 1 F T(t) = P(T > t) = s i ( j ) (F(t))j (F (t)) j, (2.1) j=0 όπου F (t) = 1 F(t), t > 0. Απόδειξη Επειδή το σύστημα αποτυγχάνει κατά την αποτυχία μιας εκ των συνιστωσών του, ο χρόνος λειτουργίας του T θα ισούται με μία εκ των τιμών των διατεταγμένων τ.μ. X 1:, X 2:,, X :. P(T > t) = P(T > t, T = X i: ) = P(T > t T = X i: )P(T = X i: ) = s i P(X i: > t) i 1 = s i ( j ) (F(t))j (F (t)) j j=0 Στη συνέχεια θέτοντας στην σχέση (2.1) c j = ( j ) (F(t))j (F (t)) j προκύπτει ότι 29

i 1 P(T > t) = s i c j j=0 = s 1 c 0 + s 2 (c 0 + c 1 ) + s 3 (c 0 + c 1 + c 2 ) + + s (c 0 + c 1 + + c 1 ) 1 = c 0 s i + c 1 s i + c 2 s i + + c 1 s i i=2 i=3 i= = c j s i j=0 i=j+1 1 = ( s i ) ( j ) (F(t)) j (F (t)) j, j=0 i=j+1 (2.2) η οποία αποτελεί μία εναλλακτική έκφραση της συνάρτησης επιβίωσης του χρόνου ζωής του συστήματος T. Επίσης θέτοντας p = F (t 0 ) και q = 1 p = F(t 0 ), για συγκεκριμένη χρονική στιγμή t 0, προκύπτουν δύο ισοδύναμες εκφράσεις της συνάρτησης αξιοπιστίας, ως πολυώνυμο του p και 1 R(p) = ( s i ) ( j ) q j p j j=0 i=j+1 R(p) = ( s i ) ( j ) p j q j. j=1 i= j+1 (2.3) Επίσης, επισημαίνεται ότι η P(T > t) δύναται να εκφραστεί συναρτήσει της υπογραφής του συστήματος και των συναρτήσεων επιβίωσης των διατεταγμένων τ.μ. Χ i:, i = 1,2,,. P(T > t) = s i P(X i: > t) (2.4) Αφού η T είναι τ.μ. μη αρνητικών τιμών έπεται ότι E(T) = (1 F(t))dt 0 = F (t)dt. 0 Οπότε χρησιμοποιώντας την σχέση (2.4) έχουμε ότι o μέσος χρόνος αποτυχίας του συστήματος Ε(Τ) = 0 s i P(X i: > t) = s i P(X i: > t) = s i E(X i: ), δεδομένου ότι και οι X i: είναι τ.μ. μη αρνητικών τιμών. 0 (2.5) 30

Στην ακόλουθη Πρόταση που αποδείχτηκε από τον Bolad (2001) δίνεται η σχέση της υπογραφής ενός συστήματος με τα σύνολα διαδρομής του. Δοθέντος ενός συνεπούς συστήματος με χρόνο ζωής Τ μπορούμε να ορίσουμε το διάνυσμα Α Τ = (a 1, a 2,, a ), όπου a i = πλήθος συνόλων διαδρομής μεγέθους i ( i ) = ( i ) 1 r i (), όπου r i () είναι το πλήθος των συνόλων διαδρομής του συστήματος με i στοιχεία. Δηλαδή το a i εκφράζει την αναλογία των υποσυνόλων μεγέθους i, τα οποία αποτελούν σύνολα διαδρομής για το σύστημα. Πρόταση 2.1.2 Αν θεωρήσουμε ένα συνεπές σύστημα με ανεξάρτητες και ισόνομες συνιστώσες, τότε η υπογραφή του s και τα σύνολα διαδρομής του συνδέονται με την σχέση a i = s j, για κάθε i = 1,2,, (σύμβαση: a 0 = 0) j= i+1 ή ισοδύναμα s j = a j+1 a j, για κάθε j = 0,1,, 1. Απόδειξη Για την απόδειξη της Πρότασης θα χρησιμοποιήσουμε το Θεώρημα 2.1.1 και τις σχέσεις που προέκυψαν ως συνέπεια αυτού. Έτσι έχουμε ότι η αξιοπιστία του συστήματος μπορεί να εκφραστεί ως P(T > t) = s i P(X i: > t) ή ισοδύναμα i 1 = s i ( j ) (F(t))j (F (t)) j j=0 P(T > t) = ( s i ) ( j ) (F (t)) j (F(t)) j j=1 i= j+1 = ( s i ) ( j ) p j (1 p) j. j=1 i= j+1 (2.6) Επειδή η ποσότητα a i ( ) εκφράζει το πλήθος των συνόλων διαδρομής μεγέθους i, i 31

i = 1,2,, η συνάρτηση αξιοπιστίας του συστήματος θα είναι ίση με P(T > t) = a i ( i ) (F (t)) i (F(t)) i = a i ( i ) pi (1 p) i Αντιστοιχίζοντας τους συντελεστές των σχέσεων (2.6) και (2.7) και λαμβάνοντας υπόψη ότι a 0 = 0 προκύπτει η σχέση a i = s j, i = 1,2,,. j= i+1 (2.7) Επίσης παρατηρούμε ότι a j+1 a j = s i s i i= j+1 1 i= j+1 = (s j + s j+1 + s j+2 + + s ) (s j+1 + s j+2 + + s ) = s j. Άρα s j = a j+1 a j, j = 0,1,, 1 Έστω T ο χρόνος ζωής ενός μονότονου συστήματος με ανεξάρτητες και ισόνομες συνιστώσες με χρόνους ζωής Χ 1, Χ 2,, Χ. Τότε, σύμφωνα με την Πρόταση 2.1.2 το i-οστό στοιχείο του διανύσματος της υπογραφής μπορεί να υπολογιστεί ως s i = a i+1 a i = r i+1() ( i + 1 ) r i () ( i ), i = 1,2,,, όπου r i+1 () είναι το πλήθος των συνόλων διαδρομής με i + 1 στοιχεία και r i () είναι το πλήθος των συνόλων διαδρομής με i στοιχεία. (2.8) Παράδειγμα 2.1.5 Η υπογραφή της γέφυρας δίνεται από το διάνυσμα s Γ = (0, 1 5, 3 5, 1 5, 0). Πράγματι, θα χρησιμοποιήσουμε την Πρόταση 2.1.2 για να το δείξουμε. Αρχικά θα βρούμε τα σύνολα διαδρομής μεγέθους i της γέφυρας, για i = 0,1 δεν υπάρχουν σύνολα διαδρομής, για i = 2 υπάρχουν δύο σύνολα διαδρομής, για i = 3 υπάρχουν 8 σύνολα διαδρομής, για i = 4 υπάρχουν 5 σύνολα διαδρομής και για i = 5 έχουμε ένα σύνολο διαδρομής. Συνεπώς, οι συνιστώσες του διανύσματος Α Τ θα είναι a 0 = 0 ( 5 0 ) = 0, a 1 = 0 ( 5 1 ) = 0, a 2 = 2 ( 5 2 ) = 1 5, a 3 = 8 ( 5 3 ) = 4 5, a 4 = 5 ( 5 4 ) = 1, 32

a 5 = 1 ( 5 5 ) = 1 Άρα, από τον τύπο s j = a j+1 a j, j = 0,1,, 1 προκύπτουν οι συνιστώσες του διανύσματος της υπογραφής. s 5 = a 1 a 0 = 0, s 4 = a 2 a 1 = 1 5, s 3 = a 3 a 2 = 3 5, s 2 = a 4 a 3 = 1 5, s 1 = a 5 a 4 = 0. Παρατήρηση 2.1.1 Αξίζει να αναφέρουμε ότι συστήματα με διαφορετική δομή μπορεί να έχουν το ίδιο διάνυσμα υπογραφής. Για παράδειγμα, το συνεπές σύστημα 4 ης τάξης με ελάχιστα σύνολα αποκοπής {1,2}, {3,4} έχει διάνυσμα υπογραφής s 1 = (0, 1, 2, 0), αλλά αυτό είναι 3 3 επίσης το διάνυσμα υπογραφής του συνεπούς συστήματος 4 ης τάξης με ελάχιστα σύνολα αποκοπής {1,2}, {1,3}, {2,3,4}. Οι Navarro, Ruiz και Sadoval (2007) έδειξαν ότι η αξιοπιστία ενός μονότονου συστήματος μπορεί να γραφεί ως μίξη των αξιοπιστιών σειριακών και παράλληλων συστημάτων. Ας θεωρήσουμε T τον χρόνο ζωής ενός μονότονου συστήματος, το οποίο αποτελείται από ανεξάρτητες και ισόνομες συνιστώσες με χρόνους ζωής Χ 1, Χ 2,, Χ. Η συνάρτηση αξιοπιστίας του συστήματος εκφράζει την πιθανότητα λειτουργίας του συστήματος μέχρι τη χρονική στιγμή t και ορίζεται ως R φ(x) = 1 F(t) = P(T > t). Ορισμός 2.1.5 Έστω ένα μονότονο σύστημα με ανεξάρτητες και ισόνομες συνιστώσες και συνάρτηση δομής φ(χ). Ορίζουμε ως miimal υπογραφή το διάνυσμα α = (α 1, α 2,, α ) έτσι ώστε R φ(x) = α i R 1:i (t), όπου R 1:i (t) = P(Χ 1:i > t) = P(Χ 1 > t,, Χ i > t) = P(Χ 1 > t) P(Χ i > t) = p i η συνάρτηση αξιοπιστίας της Χ 1:i = mi(χ 1, Χ 2,, Χ ). Ορισμός 2.1.6 Έστω ένα μονότονο σύστημα με ανεξάρτητες και ισόνομες συνιστώσες και συνάρτηση δομής φ(χ). Ορίζουμε ως maximal υπογραφή το διάνυσμα β = (β 1, β 2,, β ) έτσι ώστε R φ(x) = β i R i:i (t), 33

όπου R i:i (t) = P(Χ i:i > t) = P(max(Χ 1,, Χ i ) > t) = 1 P(max(Χ 1,, Χ i ) t) = 1 P(Χ 1 t,, Χ i t) = 1 P(Χ 1 t) P(Χ i t) = 1 [1 P(Χ 1 > t)] [1 P(Χ i > t)] = 1 (1 p) i η συνάρτηση αξιοπιστίας των Χ i:i = max(χ 1, X 2,, Χ ). Παρατηρούμε ότι οι τ.μ. Χ 1:i, Χ i:i αντιπροσωπεύουν τους χρόνους ζωής ενός σειριακού και ενός παράλληλου συστήματος i συνιστωσών, αντίστοιχα. Επίσης αξίζει να σημειώσουμε ότι οι miimal και maximal υπογραφές δεν εξαρτώνται από την από κοινού κατανομή και ότι μπορούν να περιέχουν και αρνητικές συνιστώσες. 2.2 ΒΑΣΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΥΠΟΓΡΑΦΗΣ Ένα συνεπές σύστημα αξιοπιστίας, κατ επέκταση και κάθε συνιστώσα αυτού, έχει πολλά χαρακτηριστικά, τα οποία είναι δυνατόν να επηρεάζουν την κατάσταση λειτουργίας του. Ορισμός 2.2.1 Αν Τ είναι ο χρόνος ζωής ενός συστήματος με ανεξάρτητες και ισόνομες συνιστώσες με συνεχή κατανομή F τότε το πηλίκο r T (t) = f T(t), F T(t) (2.9) όπου f T (t) = F T (t) και F T(t) δίνεται από την σχέση (2.1) ορίζεται ως ο ρυθμός αποτυχίας του συστήματος. Το Θεώρημα 2.1.1 ακολουθεί το επόμενο Πόρισμα, στο οποίο δίνεται μία έκφραση της συνάρτησης πυκνότητας f(x) ενός μονότονου συστήματος. Πόρισμα 2.2.1 Αν X 1, X 2,, X είναι οι ανεξάρτητες και ισόνομες μεταβλητές που παριστάνουν τους χρόνους ζωής των συνιστωσών ενός συνεπούς συστήματος με συνεχή κατανομή F, τότε f T (t) = i s i ( i ) (F(t))i 1 (F (t)) i f(t). (2.10) Απόδειξη Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση πυκνότητας ισούται με f T (t) = F T (t) = ( t)p(t > t). Επίσης F (t) = 1 F(t) F (t) = F (t). Οπότε διαφορίζοντας την σχέση (2.1) έχουμε ότι 34

i 1 f T (t) = t ( s i ( j ) (F(t))j (F (t)) j ) j=0 = t {s 1(F (t)) + s 2 [(F (t)) + F(t)(F (t)) 1 ] + + s [(F (t)) + F(t)(F (t)) 1 + + ( 1 ) (F(t)) F (t)]} = {s 1 (F (t)) 1 F (t) +s 2 [(F (t)) 1 F (t) + (F (t)) 1 F (t) + ( 1)F(t)(F(t)) 2 F (t)] + + s [(F (t)) 1 F (t) + (F (t)) 1 F (t) + ( 1)F(t)(F(t)) 2 F (t) + + ( 1 ) ( 1)(F(t)) 2 F (t)f (t) + ( 1 ) (F(t)) 1 F (t)]} = F (t) {s 1 (F (t)) 1 +s 2 [(F (t)) 1 (F (t)) 1 F (t) + ( 1)F(t)(F(t)) 2 ] + + s [(F (t)) 1 (F (t)) 1 + ( 1)F(t)(F(t)) 2 ( 1 ) ( 1)(F(t)) 2 F (t) + ( 1 ) (F(t)) 1 ]} = i s i ( i ) (F(t))i 1 (F (t)) i f(t). Είναι λοιπόν ενδιαφέρον να εξετάσουμε πως μπορούμε να εκφράσουμε τον ρυθμό αποτυχίας του συστήματος μέσω του διανύσματος της υπογραφής. Πόρισμα 2.2.2 Έστω ένα συνεπές σύστημα συνιστωσών με διάνυσμα υπογραφής s. Θεωρούμε ότι οι χρόνοι ζωής των συνιστωσών X 1, X 2,, X είναι ανεξάρτητες και ισόνομες μεταβλητές με συνεχή κατανομή F και συνάρτηση πυκνότητας f. Αν Τ είναι ο χρόνος ζωής του συστήματος τότε ο ρυθμός αποτυχίας του συστήματος δίνεται από την σχέση r Τ (t) = f T(t) F (t) = i s i( i )(F(t))i 1 (F (t)) i f(t) s i i 1 ( j ) (F(t))j (F (t)) j j=0 35

= i s i( i )(F(t))i 1 (F (t)) i+1 1 ( i=j+1 s i ) ( j=0 j ) (F(t)) j (F (t)) j f(t) F (t) = i s i( i )(F(t))i 1 (F (t)) i+1 1 ( i=j+1 s i ) ( j=0 j ) (F(t)) j r(t), j (F (t)) όπου r(t) είναι ο ρυθμός αποτυχίας κάθε συνιστώσας. Ή ισοδύναμα r T (t) = 1 ( i)s i+1( i )(F(t))i (F (t)) i i=0 1 ( s j )( i ) (F(t)) i r(t). i (F (t)) i=0 j=i+1 (2.11) (2.12) Όπως θα διαπιστώσουμε στη συνέχεια, οι υπογραφές των συστημάτων είναι χρήσιμες στην σύγκριση δύο μονότονων συστημάτων. Σε αυτήν την παράγραφο θα αναπτύξουμε κάποιες χρήσιμες σχέσεις για την εύρεση των διανυσμάτων υπογραφών για μονότονα συστήματα όταν ήδη γνωρίζουμε τα διανύσματα υπογραφών άλλων συστημάτων. Συνήθως συγκρίνουμε συστήματα ίδιας τάξης, όμως υπάρχουν περιπτώσεις που θα χρειαστεί να συγκρίνουμε συστήματα διαφορετικής τάξης. Έστω ένα σύστημα και ανεξάρτητες και ισόνομες τ.μ. X 1, X 2,, X που παριστάνουν τους χρόνους ζωής των συνιστωσών και ένα σύστημα και m ανεξάρτητες και ισόνομες τ.μ. Y 1, Y 2,, Y m που παριστάνουν τους χρόνους ζωής των m συνιστωσών του, < m. Τα συστήματα καλούνται ισοδύναμα εάν έχουν ίδια συνάρτηση κατανομής των χρόνων ζωής των συνιστωσών F. Η προσέγγιση που δίνεται από τον Samaiego (2007) στην σύγκριση δύο συστημάτων διαφορετικής τάξης είναι η μετατροπή του μικρότερου συστήματος σ ένα ισοδύναμο σύστημα τάξης m. Για να το πετύχουμε αυτό χρειάζονται m διαδοχικές εφαρμογές του παρακάτω Θεωρήματος. Θεώρημα 2.2.1 Έστω s το διάνυσμα της υπογραφής ενός συνεπούς συστήματος με ανεξάρτητες και ισόνομες συνιστώσες. Τότε το ισοδύναμο σύστημα με + 1 συνιστώσες θα έχει ως υπογραφή το διάνυσμα s s = ( s 1 +1 1, s +1 1 + 1 s 2 +1 2, s +1 2 + 2 s +1 3,, 1 s +1 1 + 1 s +1, s +1 ). (2.13) Το πλήθος των συνεπών συστημάτων με συνιστώσες είναι αρκετά μεγάλο, έτσι το ακόλουθο Θεώρημα των Kochar, Mukerjee και Samaiego (1999) μας βοηθάει να μειώσουμε το υπολογιστικό βάρος της υπογραφής στο μισό. 36

Θεώρημα 2.2.2 Έστω s το διάνυσμα της υπογραφής ενός συστήματος με ανεξάρτητες και ισόνομες συνιστώσες και συνάρτηση δομής φ. Αν υποθέσουμε ότι το δυϊκό του σύστημα έχει διάνυσμα υπογραφής s D και συνάρτηση δομής φ D D τότε ισχύει η ακόλουθη σχέση s i = s i+1 i = 1,2,,., Απόδειξη Έστω X 1, X 2,, X οι τ.μ. που παριστάνουν τους χρόνους ζωής των συνιστωσών και T, T D οι χρόνοι ζωής των συστημάτων με συναρτήσεις δομής φ και φ D αντίστοιχα. Αρκεί να αποδείξουμε ότι T = X i: αν και μόνο αν T D = X ( i+1):. Ας θεωρήσουμε π μια μετάθεση των θετικών ακεραίων {1,2,, } και Α i το σύνολο των μεταθέσεων των {1,2,, } για τις οποίες T = X πi, όπου Χ π1 < Χ π2 < Χ π. Δηλαδή π Α i αν και μόνο αν T = X i:. Έστω ότι το σύνολο Α i. Για π Α i το x π {0,1} είναι το διάνυσμα κατάστασης των συνιστωσών τη χρονική στιγμή της αποτυχίας του που ορίζεται ως 1, εάν j > i x πj = { 0, εάν j i. Έτσι προκύπτει ότι το x π έχει i μηδενικά και i μονάδες. Επιπλέον, φ(x π ) = 0 και φ(y) = { 1, εάν y > x π 0, εάν y x π. Εξ ορισμού το 1 x π έχει i μηδενικά και i μονάδες. Επίσης, και φ D (1 x π ) = 1 φ(x π ) = 1 φ D (y) = { 1, εάν y 1 x π 0, εάν y < 1 x π. Επομένως, συμπεραίνουμε ότι η ( i + 1) αποτυχία προκαλεί την αποτυχία του δυικού συστήματος φ D. Δεδομένου ότι αυτό ισχύει για κάθε π Α i, έχουμε ότι T D = X ( i+1):. Συνεπώς, εάν s i = P(T = X i: ) και s i D = P(T D = X i: ) τότε D δηλαδή s i = s i+1, i = 1,2,,. (s 1, s 2,, s ) = (s D, s D 1,, s D 1 ), Παράδειγμα 2.2.1 Η υπογραφή ενός παράλληλου συστήματος όπως δείξαμε και στο Παράδειγμα 2.1.4 δίνεται από το διάνυσμα s Π = (0,0,,0,1). Είναι γνωστό ότι ένα παράλληλο σύστημα είναι το δυϊκό ενός σειριακού συστήματος. Έτσι, από το Θεώρημα 2.2.2 προκύπτει ότι 37

s Π Σ 1 = s 1+1 = s Σ = 0, s Π Σ 2 = s 2+1 Π s 1 Σ = s 1 = 0, Σ = s +1+1 = s Σ 2 = 0, s 1 Π = s Σ = 1. Στο ακόλουθο Θεώρημα του Samaiego (2007) παρουσιάζεται μία σημαντική σχέση για την σύγκριση μονότονων συστημάτων μέσω του διανύσματος της υπογραφής τους και των διατεταγμένων χρόνων ζωής των συνιστωσών. Θεώρημα 2.2.3 Έστω T 1 και T 2 οι χρόνοι ζωής δύο συνεπών συστημάτων τάξης και m, με υπογραφές s 1 και s 2, αντίστοιχα. Ας θεωρήσουμε τους διατεταγμένους χρόνους ζωής (X 1:, X 2:,, X : ) των ανεξάρτητων και ισόνομων συνιστωσών με κατανομή F 1 και τους διατεταγμένους χρόνους ζωής (Υ 1:m, Υ 2:m,, Υ m:m ) των ανεξάρτητων και ισόνομων m συνιστωσών με κατανομή F 2. Επίσης τα δύο δείγματα είναι ανεξάρτητα.τότε, m P(T 1 T 2 ) = s 1i s 2j P(X i: Y j:m ). j=1 (2.14) Απόδειξη Στην απόδειξη αυτή θα χρησιμοποιήσουμε το νόμο ολικής πιθανότητας και την υπόθεση για ανεξάρτητες και ισόνομες μεταβλητές. Έτσι, m P(T 1 T 2 ) = P(T 1 = X i: )P(T 2 = Y j: )P(T 1 T 2 T 1 = X i:, T 2 = Y j: ) j=1 m = s 1i s 2j P(X i: Y j:m ). j=1 Το ακόλουθο Λήμμα (Samaiego (2007)) μας επιτρέπει τον υπολογισμό της πιθανότητας, η οποία εμφανίζεται στο προηγούμενο Θεώρημα για την σύγκριση δύο συνεπών συστημάτων. Λήμμα 2.2.1 Ας θεωρήσουμε X 1, X 2,, X ένα ανεξάρτητο δείγμα παρατηρήσεων με συνεχή κατανομή F και έστω X 1:, X 2:,, X : οι διατεταγμένες παρατηρήσεις του. Επίσης θεωρούμε Y 1, Y 2,, Y ένα ανεξάρτητο δείγμα m παρατηρήσεων με συνεχή κατανομή F και έστω Υ 1:m, Υ 2:m,, Υ m:m οι διατεταγμένες παρατηρήσεις του. Τότε για κάθε συνεχή κατανομή F ισχύει: 38

P(X i: Y j:m ) = ( k ) (m j ) j ( +m k+j ) k + j. k=i Ένα ενδιαφέρον και σημαντικό επακόλουθο του παραπάνω Λήμματος είναι το γεγονός ότι η πιθανότητα P(T 1 T 2 ) δεν εξαρτάται από την κατανομή F, συνεπώς για όλες τις συνεχείς κατανομές F παίρνει την ίδια τιμή. Το γεγονός όμως αυτό δεν γενικεύεται στην περίπτωση που τα δείγματα X και Y προέρχονται από διαφορετικές κατανομές F 1 και F 2 αντίστοιχα. Στην περίπτωση αυτή η πιθανότητα P(T 1 T 2 ) θα εξαρτάται από τις κατανομές F 1 και F 2. Για την περίπτωση ενδιαφέροντος, όπου F 1 = F 2 = F, ο τύπος υπολογισμού της πιθανότητας P(T 1 T 2 ) διατυπώνεται στο παρακάτω Θεώρημα. Θεώρημα 2.2.4 Έστω T 1 και T 2 οι χρόνοι ζωής δύο συνεπών συστημάτων τάξης και m, με υπογραφές s 1 και s 2 αντίστοιχα. Ας θεωρήσουμε τους διατεταγμένους χρόνους ζωής των συνιστωσών (X 1:, X 2:,, X : ) και (Υ 1:m, Υ 2:m,, Υ m:m ) από ανεξάρτητα τυχαία δείγματα μεγέθους και m με κοινή κατανομή F. Τότε, m P(T 1 T 2 ) = s 1i s 2j ( k ) (m j ) j k + j. j=1 ( +m k=i k+j ) Στο ακόλουθο παράδειγμα φαίνεται η χρησιμότητα του Θεωρήματος αυτού στην σύγκριση μονότονων συστημάτων. Παράδειγμα 2.2.2 Έστω s 1 = ( 1, 1, 1, 0) το διάνυσμα της υπογραφής του συστήματος 4ης 4 4 2 τάξης με ελάχιστα σύνολα αποκοπής {1}, {2,3,4} και s 2 = (0, 2, 1, 0) το διάνυσμα της 3 3 υπογραφής του συστήματος 4 ης τάξης με ελάχιστα σύνολα αποκοπής {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}. Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 2.2.4, υπολογίζουμε την πιθανότητα P(T 1 T 2 ). P(T 1 T 2 ) = 4 4 = s 1i s 2j (4 k ) (4 j ) j k + j j=1 4 ( 8 k=i k+j ) ( 4 = 0 + s 11 s 22 { 1 ) (4 2 ) ( 8 2 ( 4 3 ) 3 + 2 ) (4 2 ) ( 8 2 ( 4 4 ) 4 + 3 ) (4 2 ) ( 8 2 ( 4 5 ) 5 + 4 ) (4 2 ) ( 8 2 6 ) 6 } + + 39

( 4 +s 13 s 22 { 3 ) (4 2 ) ( 8 2 ( 4 5 ) 5 + 4 ) (4 2 ) ( 8 2 6 ) 6 } ( 4 +s 13 s 23 { 3 ) (4 3 ) ( 8 3 ( 4 6 ) 6 + 4 ) (4 3 ) ( 8 3 7 ) 7 } + 0 = 1 4 2 3 (24 56 2 3 + 36 70 2 4 + 24 56 2 5 + 6 28 2 6 ) + + + 1 2 2 3 (24 56 2 5 + 6 28 2 6 ) + 1 2 1 3 (16 28 3 6 + 4 8 3 7 ) = 1 6 11 14 + 1 12 13 14 + 1 6 1 2 + 1 12 53 70 + 1 3 17 70 + 1 6 1 2 = 0.519. s 1 = ( 1 4, 1 4, 1 2, 0) s 2 = (0, 2 3, 1 3, 0) Σχήμα 6 Παράδειγμα 2.2.3 Έστω s 1 = (s 11, s 12, s 13, s 14, s 15 ) το διάνυσμα της υπογραφής του 3-απότα-5 συστήματος και s 2 = (s 21, s 22, s 23, s 24, s 25 ) το διάνυσμα της υπογραφής του συστήματος 5 ης τάξης με μοναδικά ελάχιστα σύνολα αποκοπής τα {1,2,3,4} και {1,2,3,5} (Σχήμα 7). 40

Η υπογραφή του 3-από-τα-5 συστήματος, όπως έχουμε δείξει στο παράδειγμα 2.1.2 θα είναι s 1 = (0,0,1,0,0), ενώ η υπογραφή, s 2, του δεύτερου συστήματος μπορεί να υπολογιστεί από την σχέση (2.8) ως εξής: s 21 = r 5 ( 5 5 ) r 4 ( 5 4 ) = 1 1 5 5 = 0 s 22 = r 4 ( 5 4 ) r 3 ( 5 3 ) = 5 5 10 10 = 0 s 23 = r 3 ( 5 3 ) r 2 ( 5 2 ) = 10 10 10 10 = 0 s 24 = r 2 ( 5 2 ) r 1 ( 5 1 ) = 10 10 3 5 = 2 5 s 25 = r 1 ( 5 1 ) r 0 ( 5 0 ) = 3 5 0 1 = 0, όπου r i τα σύνολα διαδρομής με i = 0,1, 5 στοιχεία. Συνεπώς s 2 = (0,0,0, 2 5, 3 5 ). Σύμφωνα με τον τύπο του θεωρήματος 2.2.3, υπάρχουν μόνο δύο μη μηδενικοί συντελεστές της μορφής s 1i s 2j. Αρκεί λοιπόν να υπολογίσουμε τις ποσότητες P(X i: Y j:m ). Τα αποτελέσματα των υπολογισμών αυτών φαίνονται παρακάτω. 5 ( 5 P(X 3:5 Y 4:5 ) = k ) (5 4 ) 4 ( 10 k=3 k + 4 ) k + 4 = 50 120 4 7 + 25 45 4 8 + 5 10 4 9 = 31 42 41