Εργ.Αεροδυναμικής, ΕΜΠ. Καθ. Γ.Μπεργελές

ΠΡΟΤΥΠΑ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ (Υπολογιστική Ρευστομηχανική-Πεπεασμένες διαφοές) Γ. Μπεγελές Ιανουάιος 6 C 5 4 3 Z 3 3 4 5 6 7 ZC CON:..5..5.3.35.4.45.5.55.6.65.7.75.8.85.9.95 C

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Παάδειγμα ο Να υπολογισθεί η μεταβολή της θεμοκασίας σφαιικού σωματιδίου μέσα σε πειβάλλον διαφοετικής θεμοκασίας.. Παάδειγμα ο Να υπολογισθεί η μεταβολή της θεμοκασίας με το χόνο σφαιικού σωματιδίου μέσα σε πειβάλλον υψηλότεης θεμοκασίας, Τ. 3. Παάδειγμα 3 ο Να υπολογισθεί η διάμετος σταγόνας νεού με το χόνο καθώς αυτή κινείται μέσα σε αέα υψηλής θεμοκασίας και εξατμίζεται. 4. Παάδειγμα 4ο Να υπολογισθεί ο σταθεός υθμός καύσης σφαιικής σταγόνας καυσίμου σε αέα υψηλής θεμοκασίας. 5. Παάδειγμα 5 ο Να υπολογισθεί η ταχύτητα μετάδοσης επίπεδης φλόγας δεχόμενοι μονοδιάστατη ανάλυση. 6. Παάδειγμα 6ο Σταγόνα μεγάλου ιξώδους κτυπάει πάνω σε επίπεδη επιφάνεια και αχίζει να απλώνει. Να υπολογιστεί η μεταβολή της μοφής της σταγόνας με το χόνο καθώς και η τελική της μοφή. 7. Παάδειγμα 7 ο Ράβδος απείως λεπτή (ή μονωμένη κατά τη παάπλευο επιφάνειά της) μήκους βίσκεται σε θεμοκασία Τ ο. Ξαφνικά στα δύο άκα της άβδου επιβάλλονται θεμοκασίες Τ α και Τ δ. Να βεθεί η διανομή των θεμοκασιών στη άβδο με το χόνο καθώς και η τελική διανομή θεμοκασίας. 8. Παάδειγμα 8ο Ράβδος, κυκλικής διατομής Α και μήκους, βίσκεται αχικά σε θεμοκασία Το, οπότε και εμβαπτίζεται σε λουτό θεμοκασίας Τ Λ. Να ευεθεί η διανομή θεμοκασίας στη άβδο. Να δεχθείτε ότι η εγκάσια πος τον άξονα της άβδου θεμοκασία, είναι ομοιόμοφη. 9. Πόβλημα 9 ο : Πόβλημα Τύπου Stefan Να υπολογισθεί ο υθμός (παγοποίησης) στεεοποίησης κολώνας νεού (ή υγού μετάλλου) θεμοκασίας.. Πόβλημα ο : Καύση σωματιδίου άνθακα Σωματίδιο άνθακα διαμέτου 3μm εισάγεται σε εύμα αέα θεμοκασίας 5 Κ και πειεκτικότητας σε οξυγόνο % κ.ο. Να ποσδιοισθεί η θεμοκασία του σωματιδίου ως συνάτηση της διαμέτου του.. Πόβλημα ο : Υδοδυναμική λίπανση. Να υπολογισθεί η μεταβολή της θεμοκασίας του άξονα και του λιπαντικού με τον χόνο, δεχόμενοι ότι η θεμοκασία του κουζινέτου διατηείται σταθεή και ίση με.. Πόβλημα ο : Διάχυση Οξυγόνου 3. Παάδειγμα 3 ο : Διανομή θεμοκασίας και βαθμός απόδοσης πτευγίων ψύξης 4. Παάδειγμα 4ο: Το πόβλημα της Φυσικής κυκλοφοίας 5. Παάδειγμα 5 ο : Να υπολογισθεί η αναπτυσσόμενη χονικά αμετάβλητη οή ασυμπίεστου ευστού σε επίπεδο σωλήνα. 6. Παάδειγμα 6 ο : Να υπολογισθεί η διανομή θεμοκασίας σε πλήως αναπτυγμένη στωτή οή ευστού σε σωλήνα κυκλικής διατομής. 7. Παάδειγμα 7 ο : Ταλάντωση κολώνας σε σεισμό Να υπολογισθεί το εύος ταλάντωσης και η επιτάχυνση κολώνας σε εξωτεική διέγεση-σεισμό. 8. Παάδειγμα 8 ο : Κυκλοφοιακή Ροή 9. Πόβλημα 9 ο : Ταλάντωση δύο συζευγμένων μέσω ελαττηίων μαζών. Πόβλημα ο : Ταλάντωση δύο συζευγμένων μέσω ελαττηίων μαζών

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Τίτλος Συγγαφείς Εκδοτικός οίκος Τίτλος Συγγαφείς Εκδοτικός οίκος Τίτλος Συγγαφείς Εκδοτικός οίκος Τίτλος Συγγαφείς Εκδοτικός οίκος Τίτλος Συγγαφείς Εκδοτικός οίκος Α Mathematical Intoction to Fli Mechanics A.J. Choin & J.E. Masen Spinge-Velag, 979 Intoction to Mathematical Fli Mechanics R.E. Mee Doe Pblications, Inc, 98 An Infomal Intoction to theoetical Fli Dnamics J. ighthill Claeon Pess, Ofo, 986 enso Analsis an Continos Mechanics W. Flgge Spinge-Velag, 97 Υπολογιστική Ρευστομηχανική Γ. Μπεγελές ΣΥΜΕΩΝ, 994 3

Μαθηματικοποίηση Θεμοευστομηχανικών ποβλημάτων Παάδειγμα ο.: Λεκτική πειγαφή: Να υπολογισθεί η μεταβολή της θεμοκασίας σφαιικού σωματιδίου μέσα σε πειβάλλον διαφοετικής θεμοκασίας..: Μαθηματική θεμελίωση Υποθέτουμε ότι η αγωγιμότητα στη σφαία είναι πολύ μεγάλη, οπότε θεωούμε ότι η σφαία έχει σε κάθε χονική στιγμή την ίδια θεμοκασία στη μάζα της, σχήμα.. Σχήμα.: Ψύξη θέμανση σφαιικού σωματιδίου, Τ(t,)p(t) Τότε ο ενεγειακός ισολογισμός δίνει: ή 4 p 3 π R3 C p t p t ( ) 4πR h inf p ( ) h 3 p inf C p R όπου ο συντελεστής συναγωγής α οίζεται μέσω του αιθμού Nsselt : N h R k με R την ακτίνα της σφαίας και k τη θεμική αγωγιμότητα του πειβάλλοντος ευστού. Για σφαία σε οή Stokes (π.χ σφαία πίπτουσα με οιακή ταχύτητα μέσα στον αέα, Rep<.) οι Renz και Mashall δίνουν τη σχέση : Όπου ο αιθμός Renols οίζεται ως D P.5 3 N :..6 R ep P R P e P P (t) R Óõí áãù ãþ èåñì üôçôáò ì å ôï ðåñéâüëëï í s oo 4

και P ο αιθμός Pantl (για αέα P,7). Η οιακή συνθήκη του ποβλήματος εκφάζει την θεμοκασιακή κατάσταση της σφαίας στη χονική στιγμή μηδέν: t, p.3:αδιαστατοποίηση της διαφοικής εξίσωσης Η διαφοική εξίσωση μποεί να γαφεί και ως : p inf h 3 p inf t p inf C p R p inf Εισάγονται παάμετοι αδιαστατοποίησης του χόνου τ ( t t / τ ) και θεμοκασίας ΔΤ ο Τ ο -Τ inf οπότε η διαφοική εξίσωση γάφεται : 3aτ t CP R Επειδή υπάχει ελευθεία επιλογής κλίμακας χόνου επιλέγω χονική κλίμακα τ τέτοια οπότε ποκύπτει χονική κλίμακα: Η αδιάστατη θεμοκασία οίζεται ως : Με οπότε Οιακή συνθήκη : t hτ 3 C p R τ C p R 3h P ΔΤ Δ inf t.4: Επίλυση του ποβλήματος Η εξίσωση μποεί να ολοκληωθεί ln -t c ή c e -t για t άα C,οπότε e -t P t / τ e ή Τ P ( o - ) e -t/τ Πέπει να σημειωθεί οτι ο χόνος αποκατάστασης της θεμικής ισοοπίας μεταξύ της σφαίας και του πειβάλλοντος εκφάζεται με την παάμετο αδιαστατοποίησης τ, όπου διαπιστώνεται ότι μέσα σε χόνο t τ η θεμοκασία του σφαιικού σωματιδίου θα έχει μεταβληθεί και θα έχει θεμοκασιακή διαφοά με το πειβάλλον ίση με το 37% της αχικής. Η χαακτηιστική χόνου τ 5

τ C p R 3h C p k R 3 N υποδεικνύει ότι αυτή είναι ανάλογη της επιφάνειας της σταγόνας και αντιστόφως ανάλογη του συντελεστή θεμικής αγωγιμότητας του ευστού που την πειβάλλει. Το σχήμα. παουσιάζει τη καμπύλη θέμανσης σφαιικού σωματιδίου για διάφοες σταθεές χόνου. Διαπιστώνεται οτι τα σωματίδια με τη μικότεη χονική σταθεά θεμαίνονται ταχύτεα, δηλαδή τα σωματίδια τα οποία έχουν τη μικότεη επιφάνεια (διάμετο) ή πειβάλλονται από αέιο μεγάλης θεμικής αγωγιμότητας. p ( t, ) p ( t, ) p ( t, 3) 4 38 36 34 3 3 4 6 8 t Σχήμα.: Θέμανση σφαιικού σωματιδίου από 3 K στους 4 K για διάφοες τιμές χονικής σταθεάς τ (τ,,3) 6

Παάδειγμα ο. Λεκτική πειγαφή : Να υπολογισθεί η μεταβολή της θεμοκασίας με το χόνο σφαιικού σωματιδίου μέσα σε πειβάλλον υψηλότεης θεμοκασίας, Τ. Η αχική θεμοκασία του σωματιδίου είναι: t P Po Óõí áãù ãþ èåñì üôçôáò ì å ôï ðåñéâüëëï í Σχήμα..: Ψύξη-Θέμανση σωματιδίου, Τ(). Μαθηματική θεμελίωση : Έστω σφαία ακτίνας R. Δεχόμαστε για απλοποίηση του ποβλήματος ότι η θεμοκασία του σωματιδίου μεταβάλλεται μέσα στο σωματίδιο, αλλά είναι ίδια σε ακτίνα (σφαιική συμμετία). Σε πάχος της σφαίας ο ενεγειακός ισολογισμός οδηγεί στην ακόλουθη εξίσωση : Θεμότητα πος τα έξω του σφαιικού κελύφους : q K Θεμότητα πος τα μέσα του σφαιικού κελύφους : 4π q K 4π Όπου Κ ο συντελεστής θεμικής αγωγιμότητας του υλικού της σφαίας. Ρυθμός αύξησης της θεμοχωητικότητας του σφαιικού κελύφους είναι : t ( 4 π C p ) Ενεγειακός ισολογισμός στο σφαιικό κέλυψος δίνει: ( 4 πc p ) K4π K4π t Αν η πυκνότητα και ο συντελεστής θεμοχωητικότητας C p του υλικού του σωματιδίου είναι σταθεές ποσότητες, ανεξάτητες της θεμοκασίας, τότε, t P (t,) k C p Οι οιακές συνθήκες του ποβλήματος γάφονται: R 7

α) t, p για <<R β) για t>, / R, k h( R ) όπου h ο συντελεστής συναγωγής θεμότητας και Τ R η θεμοκασία στην επιφάνεια της σφαίας. 3. Αδιαστατοποίηση του ποβλήματος : Ως κλίμακα αδιαστατοποίησης μηκών λαμβάνεται η ακτίνα R της σφαίας, ενώ για τους χόνους μια υπό ποσδιοισμό κλίμακα χόνου t. H θεμοκασία αδιαστατοποιείται με ΔΤΤ -Τ P. Έτσι οίζονται τα αδιάστατα μεγέθη: P /R, tt/t και Τ P Η αδιαστατοποίηση της εξίσωσης ενεγειακού ισολογισμού γάφεται : ( P) K ( P) t t CP R K t t CP R K t C Εκλέγω κλίμακα χόνου t τέτοια ώστε ή t R P CP R K Οι αδιαστατοποιημένες οιακές συνθήκες γάφονται : ( t) ar ( S) S B ( ) i Bi s ( t) K P P όπου Β ι o αιθμός BiothR/K και Τ S η θεμοκασία στην επιφάνεια της σφαίας. Η αχική συνθήκη γάφεται : t, Έτσι το αδιαστατοποιημένο πόβλημα (μετά τη αφαίεση του δείκτη ) γάφεται : ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ( ) ϑt ϑ ϑ ϑ ϑ με οιακές συνθήκες: ϑ ϑ ϑ Bi ( ) ϑ t H αδιαστατοποίηση του ποβλήματος υπέδειξε έμμεσα την κλίμακα των χόνων t, ενώ εισήγαγε και τη μοναδική παάμετο ελέγχου του ποβλήματος, τον αιθμό Biot. Αν το σφαιικό σωματίδιο κινείται ως πος τον αέα πειβάλλοντος με σχετική ταχύτητα, τότε ο αιθμός Nsselt N δίνεται από τη σχέση: N.6 Re.5 P.33 Όπου Re ο αιθμός Renols της οής γύω από το σφαιικό σωματίδιο και P ο αιθμός Pantl του ευστού. Από τον αιθμό Nsselt ποκύπτει ο συντελεστής συναγωγής θεμότητας h. 8

4. Αιθμητική επίλυση Χησιμοποιώντας πογαμματισμό σε Mathca επιλύεται αιθμητικά το πόβλημα, όπως ενδεικτικά φαίνεται στη συνέχεια. t : Αιθμός Biot Πλήθος χωικών διαμείσεων n Πλήθος χονικών διαμείσεων m Συνολικός χόνος ολοκλήωσης Αδιάστατη ακτίνα σφαίας R Heat( f,, i, n, m, Biot) : n i t m emp : Heat( f,, i, n, m, Biot) 3 t fo i.. n i i fo j.. m t t j j fo i.. n t t i i t t i i fo i.. n f i, ( i ) fo j.. m fo i.. n 3 i, j i, j i i, j i i, j, j, j ( Biot n, j ) n, j Biot 5. Παουσίαση των αποτελεσμάτων 9

Στο σχήμα. παουσιάζεται η μεταβολή της θεμοκασίας μέσα στο σφαιικό σωματίδιο για τείς χονικές στιγμές. Διαπιστώνεται η σταδιακή μεταβολή της θεμοκασίας στο σωματίδιο με τη πάοδο του χόνου και οτι το σωματίδιο αποκτά θεμική ισοοπία εντός χόνου t,8. emp m 8, i.8 emp m 4, i emp 3 m, i 4.6.4. 4 6 8 Σχήμα.: Διανομή θεμοκασίας εντός σφαιικού σωματιδίου για τείς χονικές στιγμές. i

Παάδειγμα 3 ο 3.: Λεκτική πειγαφή Να υπολογισθεί η διάμετος σταγόνας νεού με το χόνο καθώς αυτή κινείται μέσα σε αέα υψηλής θεμοκασίας και εξατμίζεται. Óõí áãù ãþ èåñì üôçôáò ì å ôï ðåñéâüëëï í ÄéÜ õó ç õäñáôì þ í c oo oo D P P (t) s Σχήμα 3.: Εξάτμιση σταγόνας 3.: Μαθηματική θεμελίωση Η κινητήια δύναμη εξάτμισης της σταγόνας είναι η διαφοά συγκέντωσης των ατμών μεταξύ της επιφάνειας της σταγόνας και των ατμών στο πειβάλλον. Ο υθμός απαγωγής των ατμών στο πειβάλλον εκφάζεται με το νόμο του Fick. Έτσι η μαθηματική διατύπωση του ποβλήματος έχει : m t ( ) 4πR h C inf C s kg q& ( m s ) c ( ) h π ( D D )D C inf C s D (3.) όπου h ο συντελεστής συναγωγής μάζας (kg/m s) και D o συντελεστής διάχυσης ατμών στο πειβάλλον και η πυκνότητα των ατμών στις συνθήκες πειβάλλοντος. Στην πααπάνω σχέση C είναι η συγκέντωση των ατμών πολύ μακιά από τη σταγόνα-συγκέντωση πειβάλλοντος (μποεί να θεωηθεί μηδέν) και C s η συγκέντωση των ατμών στην επιφάνεια της σταγόνας (η συγκέντωση οίζεται ως kg ατμών ανά kg μίγματος, δηλαδή αδιάστατος αιθμός). Ο συνετελεστής συναγωγής μάζας συνδέεται με τον αιθμό Shewoo (αντίστοιχος του αιθμού Nsselt για συναγωγή θεμότητας) με τη σχέση h. D Sh (3.) D Ο αιθμός Shewoo ισούται με για ακίνητη σταγόνα που εξατμίζεται ομοιόμοφα. Η συγκέντωση ατμών στην επιφάνεια της σταγόνας C s σχετίζεται με τη μεική πίεση των ατμών στην επιφάνεια της σταγόνας. M P C s A (3.3) M P αεα όπου Μ το μοιακό βάος των ατμών και Μ αέα το μοιακό βάος του μίγματος αέα-ατμών πού για μικές συγκεντώσεις ατμών ισούται με το μοιακό βάος του αέα, P A η μεική πίεση των ατμών στη θεμοκασία της επιφάνειας της σταγόνας και P η ολική πίεση (ο λόγος P A /P εκφάζει το (γαμ)μοιακό ποσοστό των ατμών στο mole του μίγματος). Συνήθως δεχόμαστε οτι η κατάσταση στη διεπιφάνεια νεού αέα είναι κοεσμένη και έτσι η μεική πίεση P A των ατμών στη διεπιφάνεια λαμβάνεται ίση με τη μεική πίεση κεκοεμένων ατμών στη θεμοκασία της επιφάνειας του νεού. J q& ( m s )

Για ατμούς νεού το μοιακό βάος είναι Μ8 και το μοιακό βάος του αέα Μ αέα 9. Για θεμοκασία νεού 3 Κ, η μεική πίεση κεκοεμένων ατμών είναι P,64 5 Pa. Για πίεση πειβάλλοντος P ba ( 5 Pa), η μοιακή συγκέντωση ατμών στον αέα είναι,64, οπότε και η συγκέντωση ατμών C s στην επιφάνεια της σταγόνας είναι: 8 kg C s.,64, 396,64.8 (,64).9 kg Στην πείπτωση που η σταγόνα δεν είναι ακίνητη μέσα στο χώο, τότε ο αιθμός Shewoo εκφάζεται με την ακόλουθη ημιεμπειική σχέση :,5,33 Sh,6 Re S c (3.4) όπου Re ο σχετικός αιθμός Renols βασισμένος στη σχετική ταχύτητα Δ σταγόνας μέσα στον DΔ αέα Re ν και S c ο αιθμός Schmit. ν S c D ν Η μάζα της σταγόνας είναι : πd 3 m 6 Οπότε, αντικατάσταση στη σχέση του υθμού εξάτμισης, εξίσωση (3.), δίνει m t π D D t D D t ( ) ShπD D C inf C s ( ) ShπD D C inf C s D Sh ( C inf C s ) (3.5) Σε πώτη ποσέγγιση το δεξιό μέλος μποεί να θεωηθεί σταθεό (δεχόμενοι θεμοκασία σταγόνας σταθεή, οπότε και συγκέντωση υδατμών στην επιφάνεια της σταγόνας σταθεή), οπότε ποκύπτει : D D λt (3.6) όπου λ η σταθεά εξάτμισης της σταγόνας ίση με λ Sh D C s C inf Για πλήη εξάτμιση της σταγόνας ( διάκεια ζωής της σταγόνας) (D) είναι ποσεγγιστικά ίση με τ ( ) λ Κατά τη διάκεια εξάτμισης της σταγόνας η θεμότητα που απαιτείται για την εξάτμιση πααλαμβάνεται από το πειβάλλον ή αφαιείται από τη σταγόνα. Έτσι ο ενεγειακός ισολογισμός της σταγόνας δίνει :. m (mc p) Q h t t όπου m ο υθμός εξάτμισης της σταγόνας, h η λανθάνουσα θεμότητα εξάτμισης και Q & ο t υθμός συναλλαγής θεμότητας μεταξύ σταγόνας και πειβάλλοντος. D. (3.7)

Για την πληέστεη επίλυση του ποβλήματος απαιτείται η συνδυασμένη λύση με το πόβλημα ώστε συγχόνως να υπολογίζεται και η θεμοκασία της σταγόνας. 3.3. Παουσίαση αποτελεσμάτων. Η σχέση (3.7) παουσιάζει τη γαμμική μείωση του τεταγώνου της διαμέτου της σταγόνας με τον χόνο, με υθμό μείωσης που δίνεται από την σταθεά εξάτμισης λ. Το σχήμα 3. δίνει τυπική μεταβολή της διαμέτου συνατήσει του χόνου για διάφοους συντελεστές εξάτμισης (λ.,.,.5) (χόνος σε ms). Διαπιστώνεται οτι όσο μεγαλύτεη είναι η παάμετος εξάτμισης λ τόσο συντομότεα εξατμίζεται η σταγόνα.. 8. 4 D(., t) 6. 4 D(., t) 4. 4 D(.5, t). 4..4.6.8. t Σχήμα 3.: Μεταβολή της διαμέτου σταγόνας που εξατμίζεται με τον χόνο, ως συνάτηση της πααμέτου εξάτμισης λ 3

Παάδειγμα 4ο. Λεκτική πειγαφή Να υπολογισθεί ο σταθεός υθμός καύσης σφαιικής σταγόνας καυσίμου σε αέα υψηλής θεμοκασίας. Ì Ýôù ðï öëüãáò O O Ä f R f O O O Σχήμα 4.: Καύση σταγόνας καυσίμου. Μαθηματική τοποθέτηση του ποβλήματος Η απλούστεη θεωία καύσης σταγόνας είναι αυτή της υπόθεσης της αμετάβλητης χονικής κατάστασης, όπου οι ατμοί καυσίμου που ποέχονται από την επιφάνεια της εξατμιζόμενης σταγόνας καυσίμου διαχέονται πος το μέτωπο της φλόγας σε απόσταση R f όπου και αναφλέγονται. Η γενική μοφή της μονοδιάστατης εξίσωσης διατήησης της ενέγειας στην αέια φάση μεταξύ της επιφάνειας της σταγόνας και του μετώπου της φλόγας έχει ως εξής : ( CP ) i( CP k ga ) (4.) t όπου ο πώτος όος εκφάζει το υθμό μεταβολής της θεμοκασίας στο χώο, ενώ ο δεύτεος τη μεταφοά θεμότητας με συναγωγή και με αγωγή. Για χονικά αμετάβλητη κατάσταση, η εξίσωση (4.) γάφεται: ( 4 πc P ) 4 πk ( ) (4.) Αν m είναι η μάζα της σταγόνας (οπότε Μm/t ο υθμός εξάτμισης) τότε η εξίσωση της συνέχειας δίνει την ταχύτητα κίνησης των ατμών, R Óôáãüí á êáõóéìïõ ÄéÜ õó ç áôì þ í êáõóßì ïõ-åîüôìéóç m : 4 π ñ t O S o ÄéÜ õóç ï î õãüí ï õ ãéá ôç í êá ý ó ç H εξίσωση (4.) μποεί να ολοκληωθεί και οδηγεί στη σχέση : MC p 4πk C (4.3) 4

Η σταθεά C ολοκλήωσης υπολογίζεται με την επιβολή της οιακής συνθήκης πάνω στην επιφάνεια της σταγόνας, η οποία εκφάζει οτι το ποσόν θεμότητας που φθάνει στην επιφάνεια της σταγόνας με αγωγή (από την αέια φάση) ισούται με το ποσόν θεμότητας που απαιτείται για την εξάτμιση: k Mh 4π s Όπου h η λανθάνουσα θεμότητα ατμοποίησης. Συνεπώς η σταθεά C ισούται με: C MC ( MC ( p p s s h C h C p p ) ) 4πk (4.4) Η εξίσωση (4.4) μποεί να ολοκληωθεί μεταξύ της σταγόνας ( ) και της θέσης ( f ) του μετώπου της φλόγας : MC p 4πk h ( s C C pδ πk ln( ) h M C p( ) f (ΔΤ Τ c - s ) ΔΤ η διαφοά θεμοκασίας μεταξύ της σταγόνας και του μετώπου της φλόγας ( ΔΤ Τ comp - sface ). Οίζοντας δ f - ποκύπτει m : Δ πkd ln C p h C p Η διάμετος της σταγόνας μειώνεται με τον χόνο γεγονός που αγνοήθηκε στην ποηγούμενη ανάλυση. Η μείωση αυτή οδηγεί σε ένα πόβλημα τυύπου Stefan. Δεχόμενοι μική επίδαση της κίνησης της επιφάνειας της σταγόνας (λόγω μείωσης της διαμέτου) μποούμε να γάψουμε:. m m t πd [ t 6 3 δ D p ) D ] π D t 5

ή όπου λ η σταθεά υθμού καύσης. cpδτ πκ ln[ ] cd D D h π t δ cp[ ] cpδτ 8K ln[ ] c D h λ t δ cp[ ] Η διάμετος της σταγόνας με το χόνο δίνεται από τη σχέση : D D λt ο δε χόνος καύσης σταγόνας αχικής διαμέτου D είναι Για οισμένα καύσιμα η σταθεά υθμού καύσης λ (m /s) παίνει τιμές ως εξής : τ D Καύσιμο λ 7 m /s Βενζίνη 9,9 Κηοζίνη 9,6 Πετέλαιο Diesel 7,9 λ Ισο-οκτάνιο,4 ( s o C και P α kpa ) Στο παάδειγμά μας θεωούμε σταγόνα βενζίνης με λ9,9-7 m /sec Η αιθμητική της λύση παιστάνεται γαφικά στο σχήμα 4. (αχική διάμετος σταγόνας.m, χόνοι σε ms) 6

..8.6 Dt ().4..3.6.9..5 t Σχήμα 4. : Μεταβολή της διαμέτου σφαιικής σταγόνας καυσίμου συνατήσει του χόνου. 7

Παάδειγμα 5 ο. Λεκτική πειγαφή Να υπολογισθεί η ταχύτητα μετάδοσης επίπεδης φλόγας δεχόμενοι μονοδιάστατη ανάλυση. êáõóôï ì ßãì á,î î-t. Μαθηματική θεμελίωση t Η εξίσωση συναγωγής σε D εκφάζεται ως : ( C P ) C P K SΦ t Σχήμα 5.: Μετάδοση επίπεδου μετώπου φλόγας Έχει διαπιστωθεί πειαματικά ότι το μέτωπο της φλόγας κινείται πος το άκαυστο μείγμα με σταθεή ταχύτητα. Έτσι για σύστημα συντεταγμένων κινούμενο με το μέτωπο της φλόγας, η εξίσωση μετάδοσης ποκύπτει με το μετασχηματισμό συντεταγμένων : ξ - t τt οπότε η μετασχηματισμένη εξίσωση παίνει την έκφαση: Ì Ýôù ðï öëüãáò Τ Κ qδξ ( ) t ξ C ξ P όπου q δ(ξ - ) η ποσότητα θεμότητας που απελευθεώνει το μέτωπο καύσης. Η διανομή θεμοκασίας για το κινούμενο σύστημα αναφοάς είναι σταθεή με το χόνο, έτσι : 8

Κ ξ C ξ P ή Κ ξ Cξ P Οιακές συνθήκες : ξ Τ Τ inf ξ Τ Τ ign 3. Αδιαστατοποίηση Δέχομαι ότι : με οιακές συνθήκες : ξ Τ ξ Τ Οπότε η εξίσωση γάφεται : ξ ξ, ξ ΤΤinf Τ ignit P ξ inf Κ ξ C ξ Κ Κ ή ξ C ξ C P P Τ Τ ξ ξ 4. Φυσικά χαακτηιστικά Το ποσόν θεμότητας που παάγεται κατά τη καύση ισούται με αυτό που μεταφέεται ανάντι με αγωγή. Έτσι : 9

( ignit inf ) ξ q K K K ξ ξ ξ 5. Ολοκλήωση της διαφοικής εξίσωσης Πώτη ολοκλήωση της διαφοικής εξίσωσης ως πος ξ οδηγεί Τ ξ Τ c για ξ, Τ, άα c Τ ξ Τ, ολοκλήωση : Για ξ Τ c Συνεπώς Τ e ξ Τ και ( ) ξ ξ ξ ξ c e Τ Συνεπώς η θεμότητα που παάγεται λόγω καύσης και που οδηγεί στην ταχύτητα είναι : q'' k ign ξ inf Σχήμα 5.: Μεταβολή της θεμοκασίας συνατήσει του χαακτηιστικού μήκους

Πόβλημα 6 ο : Διάχυση Οξυγόνου. Λεκτική πειγαφή Α) Η πίεση και η θεμοκασία σε ένα κύλινδο που πειέχει αέα είναι σταθεή. Το ένα άκο του κυλίνδου είναι ανοικτό ενώ το άλλο κλειστό. Η συγκέντωση κάποιου αείου στην ατμόσφαια είναι C. Στη χονική στιγμή t> το αέιο αχίζει να διαχέεται στον κύλινδο δια του ανοικτού του άκου. Βείτε την ποσότητα του αείου μέσα στον κύλινδο με την πάοδο του χόνου, αν η αχική συγκέντωσή του στον κύλινδο είναι μηδέν. Β). Λύστε το ίδιο πόβλημα δεχόμενοι οτι σε κάποια χονική στιγμή και τα δύο άκα του κυλίνδου κλείνουν με μεμβάνη που είναι ημιδιαπεατή στο αέιο. O % O t O Çì éðåñáôþ ìåìâñüíç ÄéÜ õóç ï î õãüí ï õ Σχήμα 6.: Μονοδιάστατη Διάχυση αείου

Πόβλημα 7 ο : Υδοδυναμική λίπανση. Λεκτική πειγαφή ποβλήματος Στο σχήμα 7. παουσιάζεται άξονας διαμέτου να πειστέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω μέσα σε κουζινέτο διαμέτου D υδοδυναμικά λιπαινόμενο. ù D o D s Σχήμα.: Υδοδυναμική λίπανση Να υπολογισθεί η μεταβολή της θεμοκασίας του άξονα και του λιπαντικού με τον χόνο, δεχόμενοι ότι η θεμοκασία του κουζινέτου διατηείται σταθεή και ίση με. Ποιός ο υθμός απαγωγής θεμότητας από το κουζινέτο; τ ω δq ω π [ c p ] τ ] t ( D t Αχική θεμοκασία άξονα λαδιού κουζινέτου

Πόβλημα 8 ο : Καύση σωματιδίου άνθακα. Λεκτική πειγαφή Σωματίδιο άνθακα διαμέτου 3μm εισάγεται σε εύμα αέα θεμοκασίας 5 Κ και πειεκτικότητας σε οξυγόνο % κ.ο. Να ποσδιοισθεί η θεμοκασία του σωματιδίου ως συνάτηση της διαμέτου του και ως εκ τούτου να εκτιμήσετε τον χόνο που απαιτείται για να καεί. Δεχθείτε συντελεστή αποοφητικότητας ακτινοβολίας ε,9 και ότι η ενέγεια που απελευθεώνεται κατά την καύση είναι ΔΗ c 3,94 8 J/kmol κάβουνου που καταναλίσκεται. O ÄéÜ õó ç Ï óôçí åð éöüíåéá O O Σχήμα.: Καύση σφαιικού σωματιδίου άνθακα. Μαθηματικοποίηση ποβλήματος: Ο υθμός καύσης του σφαιικού σωματιδίου εξατάται από τον υθμό διάχυσης του οξυγόνου από τον εξωτεικό αέα πος την επιφάνεια του σφαιικού σωματιδίου. Η χημική αντίδαση είναι τόσο γήγοη ώστε η συγκέντωση Ο στην επιφάνεια των σωματιδίων να είναι μηδέν, οπότε ο υθμός απαγωγής θεμότητας καθοίζει και την θεμοκασία του σωματιδίου καύσης N, O %, CO %, e, e C O CO (το σωματίδιο καίγεται στη θεμοκασία -6 Κ). Η οή μάζας του Οξυγόνου πος την επιφάνεια s J, s g m (, s, e ) g m, e O αιθμός Shewoο για σχεδόν ακίνητο σωματίδιο είναι ίσος με g m D Sh C D m Ως εκ τούτου C D C D m m, e g m, J, s D D Ενα mole άνθακα απαιτεί mole O, έτσι η εξίσωση οής οξυγόνου δίνει και τον υθμό οξείδωσης άνθακα σε kmol / m s. Ισοζύγιο μάζας άνθακα 3 π D c J, s M c π D t 6 R(t) O O O S 3

όπου c η πυκνότητα του άνθακα, M c το μοιακό βάος του. Η ανωτέω εξίσωση δίνει τον υθμό μείωσης της διαμέτου του σφαιικού σωματιδίου άνθακα D t 4C D m M D c c, e Επειδή τόσο το C όσο και το D m εξατώνται από την θεμοκασία, πέπει να υπολογισθεί και η θεμοκασία του σωματιδίου. Αν δεχθούμε ότι η αγωγή θεμότητας πος το σωματίδιο είναι αμελητέα, τότε ενεγειακός ισολογισμός... Q συναγ Qακτιν Qκαυση 4 4 h A ( s e ) εσ A ( s e ) J, s Δ H c A όπου ΔΗ c η ποσότητα θεμότητας που απελευθεώνεται για κάθε kmol Οξυγόνου ή άνθακα που οξειδούται. h D Ο αιθμός Νsselt N ισούται με. Αα ο συντελεστής συναγωγής μποεί να ληφθεί k ίσος με: k h D και η εξίσωση ισολογισμού ενέγειας γάφεται: k C D m 4 4, e ( s e ) σε ( s e ) Δ Η c D D Η εξίσωση αυτή δίνει την θεμοκασία s του σωματιδίου. Για την θεμοκασία αυτή (υπολογίζονται) ποκύπτει η τιμή CD m οπότε είναι δυνατή τότε η βηματική ολοκλήωση της εξίσωσης του υθμού μεταβολής της διαμέτου του σωματιδίου. Ποσεγγιστικά, μποεί να θεωηθεί ότι η ποσότητα CD m είναι σταθεή, τότε η ολοκλήωση της διαμέτου του σωματιδίου δίνει: D τ D D 4 M c, e t CD Do m c o ή c Do τ 8 (CDm ) M c, e όπου (CD m ) εκτιμάται σε θεμοκασία σωματιδίου που έχει διαστάσεις πείπου,7 D o. 8 w π.χ. e 5 K,. e,, ε,9 σ 5,67 m K p 33 Δ H c 3,94 8 J / kmol, c k 834 3 3 6 P c 8 kg / m, c,3 kmol / m, D 9 m / s τ 9,8s 4

Πόβλημα 9 ο : Πόβλημα Τύπου Stefan. Λεκτική πειγαφή ποβλήματος Να υπολογισθεί ο υθμός (παγοποίησης) στεεοποίησης κολώνας νεού (ή υγού μετάλλου) θεμοκασίας, όπως φαίνεται στο σχήμα. s? s - Σχήμα 9.: Στεεοποίηση νεού- Κινούμενη διεπιφάνεια. Μαθηματική θεμελίωση του ποβλήματος Το πόβλημα μποεί να θεωηθεί μονοδιάστατο, χονικά μεταβαλλόμενο. Η μαθηματική θεμελίωση του ποβλήματος θα βασισθεί στον ενεγειακό ισολογισμό (θεμότητας) που εκφάζεται μαθηματικά με t ( c p ) ( K ) () Η εξίσωση αυτή πέπει να λυθεί στην πειοχή του χώου που καταλαμβάνεται από τον πάγο, πειοχή και χωιστά στην πειοχή του χώου που καταλαμβάνεται από το νεό, πειοχή. Οι δύο πειοχές θα συνδέονται μέσω κοινών οιακών συνθηκών στην διεπιφάνεια, η θέση της οποίας s (t) μεταβάλλεται με τον χόνο καθώς το μέτωπο παγοποίησης κινείται πος τα δεξιά με ταχύτητα s t Οιακές συνθήκες: πειοχή (πάγος) : t h ( ) K () ( ( t)) (3) s s Ðåñéï Þ s (ðüãï ò) s (t) Ðåñéï Þ (õãñü) Êßíçóç ìåôþðïõ? s Πειοχή (νεού) : 5

t ( ), (4) ( ( t)) (5) s s s (6) s s ( K ) ( K ) (7) t Τα ποβλήματα στα οποία η μιά οιακή συνθήκη εκφάζεται σε θέση η οποία αποτελεί άγνωστο του ποβλήματος (θέση s (t) της διεπιφάνειας) ονομάζονται ποβλήματα τύπου Stefan. Η θέση της διεπιφάνειας (βασικά η ταχύτητα κίνησης του μετώπου της στεοποίησης) καθοίζεται από τον ενεγειακό ισολογισμό στο μέτωπο της στεοποίησης, όπως εκφάζεται από την οιακή συνθήκη (7). Υπάχουν διάφοες απλουστευτικές πααδοχές οι οποίες μποεί να οδηγήσουν σε αναλυτική s λύση του ποβλήματος (π.χ Τ ο Τ s, ( K ), σταθεή ταχύτητα κλπ). Στη t γενικότητα το πόβλημα μποεί να λυθεί μόνον αιθμητικά, είτε κατά τόπο σχεδόν αμετάβλητο χονικά (qasi stea) είτε κατά ενιαίο τόπο εισάγοντας την έννοια της ενθαλπίας. Στην πώτη μεθοδολογία, δεχόμαστε την θέση s (t) γνωστή σε κάποια χονική στιγμή ( t, s ) και επιλύονται τα αντίστοιχα ποβλήματα. Ακολούθως υπολογίζεται η ταχύτητα κίνησης του μετώπου στεοποίησης, οιακή συνθήκη (7) και βίσκεται η θέση του μετώπου μετά από χόνο Δt. Η επίλυση του ποβλήματος επαναλαμβάνεται για τα δύο χώια και. Στη δεύτεη μεθοδολογία η επίλυση είναι ενιαία εισάγοντας την έννοια της ενθαλπίας. Η ενθαλπία του υλικού μέσου οίζεται ως: H [ C p ( )] s C p s για s (φυσικά χαακτηιστικά νεού) H C για s (φυσικά χαακτηιστικά πάγου) Η διαφοική εξίσωση διατήησης γάφεται H ( H ) ( k ) t H / C p s s για s ( C p s k νεού) C p H / για s ( C p,, k πάγου) C p Οι οιακές συνθήκες του ποβλήματος γάφονται t H C p t H h ( H o H o ) K (πάγος) H H (νεό) Η αιθμητική επίλυση της διαφοικής εξίσωσης απαιτεί διακιτοποίηση υψηλής τάξης ακίβειας ώστε να πειοίσει σημαντικά το εύος της μεταβατικής ζώνης από πάγο στο νεό. Ειδική πείπτωση 6

Στην ειδική πείπτωση, η θεμοκασία της υψηλής φάσης είναι σταθεή και ίση με την Τ s και η ποσότητα θεμότητας που αφαιείται δι αγωγούς στην διεπιφάνεια (k ) s ισούται με αυτήν που αφαιείται από την παγοποίηση, τότε ( k ) και η οιακή συνθήκη στην διεπιφάνεια απλοποιείται στην s ( k ) s t Τότε η θεμοκασία στην υγή φάση είναι σταθεή και ίση με Τ s και το θεμοκασιακό πόβλημα πειοίζεται μόνο στην στεεά φάση. 7

Παάδειγμα 6ο. Άπλωμα μιας σταγόνας με μεγάλο ιξώδες. Σταγόνα μεγάλου ιξώδους κτυπάει πάνω σε επίπεδη επιφάνεια και αχίζει να απλώνει. Να υπολογιστεί η μεταβολή της μοφής της σταγόνας με το χόνο καθώς και η τελική της μοφή. Z R. Μαθηματική θεμελίωση του ποβλήματος. Σχήμα 6.: Άπλωμα σταγόνας μεγάλου ιξώδους Η κίνηση του ευστού στη σταγόνα είναι πολύ αγή, οπότε μποεί να θεωηθεί ως οή Stokes. Τότε κατά την ακτινική κατεύθυνση υπάχει ισοοπία διατμητικών δυνάμεων και πιέσεων : p z ν Αν δεχθούμε υδοστατική ισοοπία τότε : g h ν z (6.) (6.) Η εξίσωση της συνέχειας για ασυμπίεστο ευστό σε αξονοσυμμετική οή : h() z ( ) z (6.3) Η εξίσωση (6.3) μποεί να ολοκληωθεί από z ως z h ( h) () z z z z Μποούμε να γάψουμε h 8

h z (h) t οπότε ποκύπτει h h [ zz] t (6.4) Μια άλλη έκφαση διατήησης της μάζας είναι : π Rt () h V (6.5) Η εξίσωση (6.) μποεί να ολοκληωθεί με οιακές συνθήκες, z και τz μ z h z και να δώσει g h z( hz) ν Η σχέση αυτή μποεί να εισαχθεί στην εξίσωση της συνέχειας (6.4) και να οδηγήσει στη σχέση : h g 3 h h t 3ν Η διαφοική αυτή εξίσωση έχει αναλυτική λύση με οιακές συνθήκες : h για R και h για. 4 3 3ν V ht ( ),53 gt R (6.6) (6.7) Έτσι η ακτίνα απλώματος της σταγόνας ως συνάτησης του χόνου δίνεται από τα σχέση : 3ν 3 gv 8 8 R( t),894 t (6.8) Το μέσο ύψος της σταγόνας h ποκύπτει : 9

h V (6.9) π R 3. Αιθμητική επίλυση και πααμετική ανάλυση. Η εξίσωση που μας δίνει την ακτίνα απλώματος της σταγόνας συνατήσει του χόνου είναι η εξής : 3ν 3 gv 8 8 g R( t),894 t R( t).894 ( V ) t 3ν 3 /8 /8 (6.) Τα χαακτηιστικά της σταγόνας είναι τα εξής : R, m V4/3 π R 3 4,88-6 m 3 Ο συντελεστής ιξώδους ν για διαφοα υλικά παατίθεται στον παακάτω πίνακα : Α/Α Υλικό Συντελεστής ιξώδους ν (mpa s). Νεό,. Οινόπνευμα, 3. Υδάγυος,55 4. Γλυκείνη 393 Η εξίσωση (6.) λύνεται πααμετικά για διάφοες τιμές του συντελεστή ιξώδους ν και τα αποτελέσματα παουσιάζονται γαφικά στα σχήματα 6. και 6.. R(m).5.4.3.. Rf(t), 393 mpasec γλυκείνη..5..5 t(sec) Rf(t),, mpasec.5 νεό.4 R(m).5.4.3.. Rf(t),,55 mpasec δάγυος.6.8.. t(sec) Rf(t),, mpasec.5 οινόπνευμα.4 R(m).3...6.7.8.9 t(sec) R(m).3...6.7.8.9 t(sec) Σχήμα 6. : Μεταβολή της ακτίνας απλώματος της σταγόνας R συνατήσει του χόνου για διάφοες τιμές του συντελεστή ιξώδους ν. 3

.5.45 οινόπνευμα νεό δάγυος.4.35.3 R(m).5..5..5.5.55.6.65.7.75.8.85.9.95 t(sec) Παάδειγμα 7 ο. Λεκτική πειγαφή : Ράβδος απείως λεπτή (ή μονωμένη κατά τη παάπλευο επιφάνειά της) μήκους βίσκεται σε θεμοκασία Τ ο. Ξαφνικά στα δύο άκα της άβδου επιβάλλονται θεμοκασίες Τ α και Τ δ. Να βεθεί η διανομή των θεμοκασιών στη άβδο με το χόνο καθώς και η τελική διανομή θεμοκασίας. Óõí áãùãþ èåñì üôçôáò Σχήμα 6. : Μεταβολή της ακτίνας απλώματος της σταγόνας R συνατήσει του χόνου για διάφοα υλικά. Q ÐëåõñÝò èåñì éêü ìïíùìýíåò Q Ä Ä (,t) Σχήμα 7.: Μονοδιάστατη μετάδοση θεμότητας (, t) t (,) t > (,t) α Τ(,t) β. Μαθηματική τοποθέτηση του ποβλήματος 3

Η εξίσωση διατήησης θεμικής ενέγειας για μονοδιάστατη κατάσταση με απουσία εσωτεικών πηγών θεμότητας και με μηδενική απώλεια θεμότητας από τη παάπλευο επιφάνεια λόγω συναγωγής και ιδιότητες υλικών, Cp και Κ ανεξάτητες της θεμοκασίας γάφεται : ( C P ) K t ή C P t K Οι οιακές συνθήκες που συνοδεύουν τη διαφοική εξίσωση είναι οι πααπάνω αναγαφόμενες (Η Δ.Ε είναι πααβολικού τύπου, άα απαιτεί οιακές συνθήκες στα άκα για κάθε χονική στιγμή και αχικές συνθήκες για κάθε στην αχή των χόνων, t, βλέπε σχήμα) ΤΤ α 3. Αδιαστατοποίηση εξισώσεων Έστω ότι οι κλίμακες αδιαστατοποίησης μηκών είναι το ο και χόνων το τ, ενώ για τη θεμοκασία οίζεται ΔΤ ο Τ δ -Τ α Έτσι έχουμε : / t t / τ ( - ) / Δ Η διαφοική εξίσωση γάφεται : Τ Τ δ C ή P ΔΤ Τ K Τ ΔΤ τ t Τ K τ Τ t C P Αν ως κλίμακα μήκους o ληφθεί το μήκος της άβδου ( o ), τότε ως κλίμακα χόνου τ μποεί ελεύθεα να ληφθεί μια τιμή τέτοια ώστε ως : 3

Kτ CP ή τ K C a ( ) / P όπου α η διαχυτότητα της θεμότητας. Με την εκλογή των πααμέτων αδιαστατοποίησης για μήκος, και χόνο / α, η πος επίλυση διαφοική εξίσωση γάφεται : t (<<) με οιακές συνθήκες :,, ΔΤ a a ΔΤ δ δ (για τις ίδιες αδιάστατες οιακές συνθήκες, η λύση που λαμβάνεται ισχύει για διάφοους συνδυασμούς ιδιοτήτων και μηκών του υλικού). 4. Θεμικές παάμετοι οισμένων υλικών : Υλικό Θεμική Ειδική Πυκνότητα αγωγιμότητα (kg/m 3 θεμότητα C ) p Κ ( J / kg oc ) ( Watts/m oc ) Αλουμίνιο,77 896 4 Σίδηος 7,897 45 73 3 Χάλυβας 7,833 446,5 54 4 Χαλκός 8,954 383 386 5 Τούβλο,6 84,69 6 Τσιμέντο, 88,37 7 Γανίτης,6 88,5 8 Χώμα (μέσο),54 85,96 9 Ξύλο (οξιά),54,4,66 Νεό,9998 4,5,566 Αέας,7,6,6 33

Παάδειγμα 8 ο Ψύξη - Θέμανση Ράβδου. Λεκτική πειγαφή : Ράβδος, κυκλικής διατομής Α και μήκους, βίσκεται αχικά σε θεμοκασία Το, οπότε και εμβαπτίζεται σε λουτό θεμοκασίας Τ Λ. Να ευεθεί η διανομή θεμοκασίας στη άβδο. Να δεχθείτε ότι η εγκάσια πος τον άξονα της άβδου θεμοκασία, είναι ομοιόμοφη. óõí áãùãþ Ô Á A ð Ä Σχήμα 8.: Μονοδιάστατη θέμανση ψύξη άβδου κυκλικής διατομής. Μαθηματική θεμελίωση : Το πόβλημα πέπει να ποσαμοσθεί ώστε στον ενεγειακό ισολογισμό να ληφθεί υπόψη η μετάδοση θεμότητας με συναγωγή από τη άβδο πος το λουτό. Έτσι ο ενεγειακός ισολογισμός γάφεται : CP A KA πra( Λ ) t όπου R η ακτίνα της διατομής και α ο συντελεστής συναγωγής. Οι οιακές συνθήκες του ποβλήματος είναι : t (,) t > πr α ( - Λ ) K π R, πr α ( - Λ ) Λ - K π R Λ 3. Αδιαστατοποίηση του ποβλήματος : 34

Κατ' αναλογία με τα ποηγούμενα : t t / τ, /, ΤΤ Τ Τ Λ Λ Αντικατάσταση στη διαφοική εξίσωση δίνει : ( Τ Τ ) Τ ( ) Λ A π ( Λ ) Α CP τ t KA Ra Τ ή τ π τ K t C C A Ra P Επιλέγω κλίμακα χόνου τ τέτοια ως τ K C P ή ή K t R ή a a ή t KR P CP τ K ar t K R Ο αδιάστατος αιθμός ar K ar είναι ο αιθμός Nsset ( N ) K Οιακές συνθήκες : t (,) 35

t > a K a K Παάδειγμα 3 ο : Διανομή θεμοκασίας και βαθμός απόδοσης πτευγίων ψύξης.. Πειγαφή του φυσικού ποβλήματος Για την αποδοτικότεη ψύξη επιφανειών και γενικότεα για την αύξηση του υθμού συναλλαγής θεμότητας από επιφάνεια πος τον πειβάλλοντα χώο χησιμοποιούνται πτεύγια ψύξης της επιφάνειας. Παάδειγμα, τα πτεύγια ψύξης των αεόψυκτων εμβολοφόων κινητήων των μοτοποδηλάτων ή και τα πλέον σύνθετης μοφής πτεύγια ψύξης ή επαύξησης συναλλαγής θεμότητας των εναλλακτών θεμότητας. Τα πτεύγια ψύξης μποεί να είναι οθογωνικής διατομής, τιγωνικής, ελλειπτικής κλπ., βλέπε σχήμα 9.. B Q Ä Ä Ô ïï óõí áãù ãþ Σχήμα 3.: Τιγωνικής μοφής πτεύγιο ψύξης s Q A() B B Σχήμα 3.: Πααβολικής μοφής Ι πτεύγιο ψύξης Ô ïï A() B B Σχήμα 3.3: Πααβολικής μοφής ΙΙ πτεύγιο ψύξης Ô ïï Στο παόν πόβλημα θα εξετασθούν μεικές μοφές πτευγίων και θα αξιολογηθούν από την άποψη αποδοτικότητάς των ως πος τη δυνατότητά τους να επαυξήσουν τη συναλλαγή θεμότητας... Κατάστωση μαθηματικού ποβλήματος Ο νόμος θεμικής αγωγιμότητας του Foie μαζί με τη διατήηση της θεμικής ενέγειας αποτελεί τη βάση της μαθηματικής ποσομοίωσης του ποβλήματος που λεκτικά πειγάφηκε στην παάγαφο.. Στο σχήμα. παουσιάζεται πτεύγιο ψύξης τιγωνικής μοφής με το σχετικό σύστημα συντεταγμένων και τις θεμοκασίες πειβάλλοντος και βάσης πτευγίου. 36

Το πτεύγιο βίσκεται σε πειβάλλοντα χώο θεμοκασίας Τ και ψύχεται έχοντας συντελεστή συναγωγής θεμότητας με το πειβάλλον ίσο με α. Η θεμοκασία στη βάση του πτευγίου λαμβάνεται σταθεή και ίση με Τ Β. Για απλοποίηση του ποβλήματος δεχόμαστε ότι η θεμοκασία στο πτεύγιο μεταβάλλεται μόνο κατά την κατεύθυνση, μετατέποντας έτσι το πόβλημα σε μονοδιάστατο. Ο νόμος αγωγής του Foie δίνει ότι δια την επιφάνειας Α() (ανά μονάδα βάθους) διέχεται το ποσόν θεμότητας (πος μεγαλύτεα το ποσόν θεμότητας θεωείται θετικό) Q K A ενώ δια της επιφάνειας A( Δ) εξέχεται το ποσόν θεμότητας Q Δ K A Δ Ο διαγαμισμένος χώος στον οποίο γίνεται ο ενεγειακός ισολογισμός αποδίδει θεμότητα στο πειβάλλον από την παάπλευη επιφάνειά του, ίση με Q πειβ όπου Κ α Α Δs ( ) α Δ s ο συντελεστής θεμικής αγωγιμότητας ο συντελεστής θεμικής συναγωγής η εγκάσια επιφάνεια (ανά μονάδα βάθους) συναλλαγής θεμότητας η παάπλευη (ανά μονάδα βάθους) επιφάνεια συναλλαγής θεμότητας του πτευγίου. Αν θεωήσουμε ότι η θεμική κατάσταση του πτευγίου είναι αμετάβλητη με το χόνο, τότε ο θεμικός ενεγειακός ισολογισμός γάφεται K A K A Δ ( ) α Δs ή σε διαφοική μοφή S K A α ( ) ή για σταθεό συντελεστή θεμικής αγωγιμότητας Κ A A α S K ( ) (.) Οιακές συνθήκες 37

Η βάση του πτευγίου διατηείται σε σταθεή θεμοκασία Τ Β, οπότε η αντίστοιχη οιακή συνθήκη γάφεται B, (.) Στην κουφή του πτευγίου,, λόγω της μηδενικής εγκάσιας επιφάνειας, το πσόν θεμότητας που μεταφέεται με αγωγή θα είναι μηδέν, οπότε,, (η οιακή αυτή συνθήκη είναι ασθενής από φυσική άποψη. Τα αποτελέσματα δεν αλλάζουν αν τοποθετηθεί ως οιακή συνθήκη ο μηδενισμός της δευτέας πααγώγου, που όμως κάνει το πόβλημα να μην είναι σωστά τοποθετημένο από μαθηματική άποψη). Για πτεύγιο οθογωνικής διατομής η οιακή συνθήκη θα είναι ( K ) a( ) Η διαφοική εξίσωση (.) μαζί με τις οιακές συνθήκες (.) και (.3) αποτελούν τη μαθηματική έκφαση του φυσικού ποβλήματος. Η γενική μοφή της εξίσωσης (.) είναι η Φ Φ C ( ) D ( ) E ( ) Φ F ( ) Η εξίσωση αυτή μαζί με τις κατάλληλες οιακές συνθήκες στα άκα ( και ) εκφάζει διάφοα φυσικά ποβλήματα..3. Αδιαστατοποίηση του μαθηματικού ποβλήματος Η αδιαστατοποίηση του μαθηματικού ποβλήματος οδηγεί πολλές φοές στην εμφάνιση αδιαστάτων αιθμών που ελέγχουν το πόβλημα, δηλαδή την εξέλιξη του φυσικού φαινομένου. Τέτοιοι αιθμοί είναι οι γνωστοί αιθμοί της Ρευστομηχανικής Renols, Mach, Foe κλπ. Και οι αιθμοί Nsselt, Bio, Ecket για φαινόμενα που έχουν σχέση με συναλλαγή θεμότητας. Στη συγκεκιμένη πείπτωση, το φυσικό φαινόμενο ελέγχεται από τη διαφοά των θεμοκασιών ( B ), από τις ιδιότητες του υλικού (συντελεστής θεμικής αγωγιμότητας), του συντελεστή συναγωγής α και τέλος από γεωμετία του πτευγίου. Η διαφοική εξίσωση (.) εύκολα γάφεται ως A α s A K όπου (.3) ( ) ( ) B Χησιμοποιώντας το ύψος του πτευγίου ως μήκος αδιαστατοποίησης των μηκών, οπότε γάφεται (με αστεάκια συμβολίζονται τα αδιαστατοποιημένα μεγέθη) A A α S K ή (για A < < )) 38

39 S A K A A α οπότε ποκύπτει η αδιαστατοποιημένη διαφοική εξίσωση s A K A A α (όπου για απλούστευση αγνοήθηκε ο συμβολισμός με το αστεάκι, όμως υπονοείται). Η ποσότητα K α εκφάζει το γνωστό αιθμό Nsselt, K N α. Είναι όμως A A s Οπότε ( ) ( ),, < < E D με ( ) ( ) A A A K E A A D α.4. Τυπικά μεγέθη του φυσικού ποβλήματος Τα πτεύγια ψύξης κατασκευάζονται από διάφοα υλικά, ανάλογα με τις πειοχές εφαμογής των, όπως κάματα αλουμινίου (πτεύγια ψύξης ΜΕΚ) ή από χαλκό (πτεύγια εναλλακτών θεμότητας). Ο πίνακας που ακολουθεί δίνει τυπικές τιμές θεμικής αγωγιμότητας κάποιων υλικών. Υλικά Κ (Wm - Κ - ) Cp (J g - Κ - ) Αλουμίνιο 9,9 Χαλκός 39,39 Σίδηος 78,45 Μόλυβδος 37,3 Χάλυβας 46,49

4 Ψευδάγυος 6,3,3 Γανίτης,5,88 Στον πίνακα επίσης δίνονται τιμές του συντελεστή θεμοχωητικότητας του υλικού Cp μέγεθος που θα χησιμοποιηθεί σε επόμενη άσκηση μαθηματικής ποσομοίωσης. Ποκειμένου να συγκιθεί η αποδοτικότητα ψύξης των πτευγίων συγκίνονται οι βαθμοί απόδοσης των πτευγίων (ίδιου ύψους). Οίζεται βαθμός απόδοσης του πτευγίου, η ποσοστιαία επαύξηση της εναλλασσόμενης ποσότητας θεμότητας. Ετσι, ( ) ( ) B s B α α η ή s B B s η Επίσης ο βαθμός απόδοσης μποούσε να οισθεί ως ( ) ) ( N B kb B α η.5. Ειδικές πειπτώσεις.5.. Πτεύγιο τιγωνικής μοφής Η έκφαση της συνάτησης Α() είναι ( ) B A B A B A, ) (, οπότε οι συντελεστές ( ) B B D ( ) ( ) B B B K E α ( ) B K E α

4.5.. Πτεύγιο πααβολικής μοφής Ι ( ) B A ( ) B D β ( ) 3 4 B K A A A K E β α α.5.3. Πτεύγιο πααβολικής μοφής ΙΙ Το πτεύγιο αυτό έχει αναλυτική έκφαση ( ) B A.5.4. Πτεύγιο οθογωνικής μοφής Στην πείπτωση αυτή η οιακή συνθήκη στην κουφή του πτευγίου ( ) είναι για ) Επίσης ( ) K B K B α α ( ) S A B A

Παάδειγμα 4ο: Το πόβλημα της Φυσικής κυκλοφοίας. Λεκτική πειγαφή του ποβλήματος Να υπολογισθεί η διανομή ταχυτήτων και θεμοκασιών σε ευστό που είναι σε επαφή με κατακόυφη πλάκα υψηλότεης θεμοκασίας. Ô W. Μαθηματική θεμελίωση του ποβλήματος Σχήμα 4.: Φυσική κυκλοφοία σε κατακόυφη πλάκα Το ευστό θεωείται ασυμπίεστο και η οή διδιάστατη πααβολικού τύπου. Εξίσωση συνέχειας: g oo Εξίσωση ομής: ν Δ g k Εξίσωση ενέγειας: C p p Δ Δεχόμενοι, ποκύπτει Δ Δ B Δ R R Όπου Β /Τ ο συντελεστής θεμικής διαστολής. p 4

43 3. Οιακές συνθήκες Απαιτούνται Ο.Σ. για και για και για ( ) ( ),,, ( ), ( ) ( ),,, (συνθήκες μη ολίσθησης), ( ) π, ( ) ( ),,, (ακίνητο ευστό), ( ), 4. Αδιαστατοποίηση των εξισώσεων Έστω κλίμακες αδιαστατοποίησης ( ) Δ V π,,,, Εξίσωση συνέχειας V V Εξίσωση ομής ( ) ( ) ( ) g B V π π ή ( ) g B π Εξίσωση ενέγειας ' C k V p Δ Δ Δ ή P C K C k p p ν ν όπου ο αιθμός Pantl ισούται με Pν/α.

44 Επιλογές,, Δ Bg V Από την ποκύπτει V ή V, V Δ Bg ή Bg Δ οπότε με ποκύπτει: 4 Bg Δ ή 4 Bg Δ ή G όπου G ο αιθμός Gashof που οίζεται ως 4 Bg G Δ Σύνοψη Οι κλίμακες αδιαστατοποίησης 4 4 4, Bg Bg V G Bg Bg G Bg Δ Δ Δ Δ Δ Δ ν

45 Οι αδιαστατοποιημένες εξισώσεις έχουν τις ακόλουθες μοφές P Με οιακές συνθήκες ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),,,,,,,,,,,,,,, Παάμετος του ποβλήματος ο αιθμός Pantl. Παάδειγμα 5 ο :. Να υπολογισθεί η αναπτυσσόμενη χονικά αμετάβλητη οή ασυμπίεστου ευστού σε επίπεδο σωλήνα. Σχήμα 5.: Η αναπτυσσόμενη στωτή οή σε επίπεδο σωλήνα. Μαθηματική θεμελίωση του ποβλήματος D ÐëÞñù ò áí åðôõãì Ýí ç ñï Þ o

46 Η γενικευμένη εξίσωση διατήησης σε κατεσιανό διδιάστατο (, ) σύστημα συντεταγμένων γάφεται: ( ) ( ) Φ Φ Φ g a i t μ ή εξίσωση συνέχειας γάφεται Φ.,, σταθ t Εξίσωση ομής ( ) ( ) P ή με χήση της εξίσωσης της συνέχειας όπου ν η κινηματική συνεκτικότητα του ευστού μ Οι οιακές συνθήκες του ποβλήματος συνοψίζονται ως ακολούθως:,,,,, ) ( R ϑ ϑ ϑ ϑ 3. Αδιαστατοποίηση του ποβλήματος Έστω μεγέθη αδιαστατοποίησης μηκών, τα και και ταχυτήτων και V. Η πίεση αδιαστατοποιείται με το P. Τότε έχουμε:,,,, P p p V

47 Εισαγωγή των αδιάστατων μεγεθών αυτών στην εξίσωση της συνέχειας δίνει: V ή V Λόγω της ελευθείας που υπάχει στην επιλογή των κλιμάκων αδιαστατοποίησης εκλέγεται κλίμακα τέτοια ώστε V Έτσι η εξίσωση της συνέχειας πααμένει αμετάβλητη στη μοφή της. Η αδιαστατοποίηση της εξίσωσης της ομής οδηγεί: P P V P P V η & Συνήθως << Οπότε ποκύπτει: P P Επιλέγω P και Άα Αν δεχθούμε ως κλίμακα αδιαστατοποίησης κατά την κατεύθυνση,, D τότε D D Re

48 τότε τα μήκη κατά την κατεύθυνση αδιαστατοποιούνται με D.Re D, δηλαδή το μήκος αποκατάστασης της οής είναι: D D Re. λ αποκ όπου λ κάποιος σταθεός αιθμός. Παάδειγμα 6 ο : Διανομή θεμοκασίας σε αναπτυσσόμενο θεμοκασιακό πεδίο σε κυκλικό σωλήνα. Να υπολογισθεί η διανομή θεμοκασίας σε πλήως αναπτυγμένη στωτή οή ευστού σε σωλήνα κυκλικής διατομής. Μαθηματική θεμελίωση του ποβλήματος. Εξίσωση ενέγειας κατά την διάσταση. K K Cp Έχει αμεληθεί η πααγωγή ενέγειας λόγω συνεκτικότητας του ευστού. Οιακές συνθήκες K q / / (πλήως αναπτυγμένες συνθήκες) m p m p m C q C q π π Διανομή ταχύτητας ma ( ) m ma Μέση θεμοκασία διατομής m m Αδιαστατοποίηση K q ma ' l Αντικαθιστώντας παίνουμε: ' ' ' K C p m l l K C Pe K C A p m p m μ μ P, Re P Re l l l Για τις οιακές συνθήκες:

49 ' ' ' Για πλήως αναπτυγμένες συνθήκες θα πέπει Pe Pe..5 l Ακιβής λύση Το πόβλημα που εξετάζουμε έχει ακιβή (αναλυτική) λύση για τις πλήως αναπτυγμένες συνθήκες. 6 3 6 3 6 4 4 s s α όπου S Θεμοκασία τοιχώματος Τ α Θεμοκασία στον άξονα Αιθμός Nsselt Η τοπική συναγωγιμότητα δίνεται από τον τύπο: ( ) m s m s K K h ' ' άα m s K h N ' με ' ' 4 m (αδιάστατη μέση θεμοκασία) Η αναλυτική λύση δίνει 36 4. N ανεξάτητη του P e.

Ταλάντωση μάζας σε ελαττήιο με απόσβεση Έστω μάζα m που ανατάται από ελατήιο με σταθεά ελατηίου k. Η αχική θέση ισοοπίας της μάζας έστω οτι οίζεται η αχή των αξόνων. Η μάζα τίθεται σε ταλάντωση με αχική απόκλιση από τη θέση ισοοπίας και αχική ταχύτητα ίση με μηδέν. Το ελατήιο έχει απόσβεση ανάλογή της ταχύτητας κίνησης της μάζας και χαακτηίζεται από μια σταθεά απόσβεσης ίση με c. Ζητείατι να υπολογισθέι η ταλάντωση της μάζας στις ακόλουθες πειπτώσεις. α. Ελεύθεη ταλάντωση χωίς απόσβεση β. Ελεύθεη ταλάντωση με απόσβεση. γ. Εξαναγκασμένη ταλάντωση με απόσβεση υπό την επίδαση εξωτεικής διέγεσης με δύναμη FF cos(ωt). δ. Εξαναγκασμένη ταλάντωση με εξωτεική διέγεση μη γαμμική της μοφής FF 3 Μαθηματικοποίηση του ποβλήματος Η μάζα κινείται υπό την επίδαση της εξωτεικής διέγεσης (αν υπάχει), του βάους της, της αντίδασης του ελατηίου (στην έκταση ή συμπίεσή του) και της δύναμης απόσβεσης. Σύμφωνα με τον δεύτεο νόμο του Newton η κίνηση της μάζας θα υπακούει στην ακόλουθη διαφοική εξίσωση κίνησης m c k Ft (, ) t t H διαφοική εξίσωση κίνησης είναι δεύτεης τάξης, οπότε απαιτούνται δύο οιακές-αχικές συνθήκεςι: Αχική συνθήκη: t,, t Αδιαστατοποίηση του ποβλήματος Η ανεξάτητη μεταβλητή είναι ο χόνος, ενώ εξατημένη μεταβλητή είναι η θέση της μάζας. Δεχόμαστε ώς κλίμακα αδιαστατοποίησης χόνου την Τn και κλίμακα αδιαστατοποίησης θέσης την. Τότε η αδιαστατοποιημένη εξίσωση κίνησης γάφεται: c n k n F n t m t m m όπου τα μεγέθη και t έχουν αδιαστατοποιηθεί. Επιλέγω κλίμακα χόνου τέτοια ώστε η ποσότητα k n m ( π) οπότε ποκύπτει οτι η κλίμακα αδιαστατοποίησης του χόνου είναι:.5 m n π k 5

Η αδιασατοποιημένη εξίσωση κίνησης γάφεται τότε ως: C ( π) F( π) t t k n όπου C c m Oι αδιαστατοποιημένες αχικές συνθήκες γάφονται: t,, t Επίλυση της διαφοικής εξίσωσης C: Gien ( ) t '' () t C't () π () ( ) ' ( ).6 : Oesole ( t,,.) t ().. ' () t.6 : t t () t ( ) : ' () t 3 4 5 6 7 8 9 Διάγαμμα φάσεων t 5

5 t () 5.5.5 t () 5

Παάδειγμα 6 ο : Ταλάντωση κολώνας σε σεισμό. Λεκτική πειγαφή: Να υπολογισθεί το εύος ταλάντωσης και η επιτάχυνση κολώνας σε εξωτεική διέγεση-σεισμό. m Σχήμα 6.: Απλοποίηση ποβλήματος. Μαθηματική πειγαφή: Έστω κολώνα ύψους l, πυκνότητας υλικού, υλικό μέτου ελαστικότητας Ε και ακτίνα αδάνειας της διατομής Κ. Αν είναι η μετατόπιση της κολώνας στην οιζόντια διεύθυνση, τότε αυτή υπακούει στη διαφοική εξίσωση 4 E k για < < l 4 t Η συνάτηση ( t) (, t) α sinω t m, ικανοποιεί τις ακόλουθες οιακές συνθήκες (εξωτεική διέγεση σεισμός) g (, t) (πάκτωση) ( l, t) (δύναμη διάτμησης στο ελεύθεο άκο) 53

54 ( ), 3 3 t l (οπή κάμψης στο ελεύθεο άκο) Αν η διατομή της κολώνας αλλάζει με το ύψος τότε η εξίσωση γάφεται Να υπολογισθούν οι διατμητικές δυνάμεις κατά τη διάκεια μιας πειόδου. ος Νόμος Νεύτωνα t A t ή t A t Ισοοπία οπών: M M M M Εξίσωση ελαστικής γαμμής M EI ή E I II όπου Ι η οπή αδανείας της διατομής Ποκύπτει E I t A t Οι μονάδες των διαφόων μεγεθών που υπεισέχονται στο πόβλημα είναι: ( ) ( ) ( ) K A E t A

[ E] M [ ] M 3 [ K] Μια κυλινδικής διατομής κολώνα διαμέτου και λεπτού πάχους, έχει ακτίνα αδάνειας της διατομής K 4 Το μέτο ελαστικότητας του ong Ε για ατσάλι είναι 7 E. kg / m / s και η πυκνότητα του ατσαλιού είναι 3 3 7,8 kg / m Ο σεισμός του 99 της Αθήνας είχε πείοδο Τ 3ms και πλάτος ταλάντωσης,m. Αδιαστατοποίηση ποβλήματος Τα μήκη αδιαστατοποιούνται με το ύψος της κολώνας, πείοδο της εξωτεικής διέγεσης t τ /ω ενώ το εύος ταλάντωσης με το εύος ταλάντωσης της εξωτεικής διέγεσης, α Έτσι η εξίσωση αδιαστατοποιείται στην lξ, και ο χόνος t με την (κυκλική) α ω τ E k α 4 l 4 4 ξ τ 4 J 4 ξ [αναλυτική λύση ( ξ, τ ) A i( ωτ k ξ )] όπου E k J ω l 4 Εισαγωγή της αδιάστατης πααμέτου J στη γενίκευση του ποβλήματος δεδομένου ότι η παάμετος συνδυάζει ιδιότητες υλικών, γεωμετικά στοιχεία της κολώνας αλλά και στοιχεία της εξωτεικής διέγεσης. Η παάμετος J καλείται και παάμετος ομοιότητας του ποβλήματος. 55

Αδιαστατοποίηση οιακών συνθηκών Η λύση της εξίσωσης, δηλαδή η πέπει να είναι πειοδική με πείοδο π (γωνιακή ταχύτητα ω ) Οιακές συνθήκες ξ ξ 3 3 (, τ ), (, τ ), (, τ ) (, τ ) sinτ ( ξ,) ξ Η λύση της διαφοικής εξίσωσης θα είναι ( ξ,τ, J ) ενώ η παγματική απόκλιση ( t) (, t) α (, ω t J ), l, θα είναι Η παάμετος ομοιότητας J μειώνεται σημαντικά με το ύψος της κολώνας. Έτσι αύξηση της σεισμικής αντοχής της κολώνας σημαίνει ότι η παάμετος ομοιότητας παίνει μεγάλες τιμές, ενώ για μειωμένη αντοχή το J παίνει μικές τιμές. Επίσης με αύξηση του ω αυξάνει και ο σεισμικός κίνδυνος. Έτσι οι σεισμοί μικής πειόδου είναι πλέον επικίνδυνοι. Ποσεγγιστικές λύσεις () Μεγάλη τιμή του J (άκαμπτοι πύγοι) Για J, η διαφοική εξίσωση παίνει οιακή μοφή 4 4 ξ Η πώτη ολοκλήωση οδηγεί 3 3 C ξ ( τ ) αλλά η οιακή συνθήκη στο ελεύθεο άκο (ξ ) επιβάλει 3 3 ξ Δεύτεη ολοκλήωση, λόγω της οιακής συνθήκης στο ελεύθεο άκο οδηγεί (ξ ) 56

ξ και τελικά A( τ ) B( τ )ξ όπου A( τ ) και B( τ ) άγνωστες ποσότητες. Οι οιακές συνθήκες για ξ για κάθε τ οδηγεί στη λύση sinτ (ποφανής λύση με σφάλμα) Μία δεύτεη ποσέγγιση της Δ.Ε είναι αν γαφεί 4 4 ξ J τ sinτ J όπου στο δεξιό μέλος χησιμοποιήθηκε η ποσεγγιστική λύση που βέθηκε. Επανάληψη της διαδικασίας οδηγεί σε ακιβέστεη λύση. 4 3 ξ ξ J 4 6 ξ sinτ 4 Η διαδικασία μποεί να επαναληφθεί αλγοιθμικά με κάποιο εμποικό κώδικα (MathCAD) και να οδηγήσει στη λύση της Δ.Ε. Λύση για μικά J τ Η λύση υποδεικνύει ότι είναι γαμμική συνάτηση του χόνου γεγονός που είναι ασυνεπές με την απαίτηση η λύση να είναι πειοδική ως πος το χόνο (λόγω εξωτεικής ημιτονοειδούς διέγεσης) καθώς και με την οιακή συνθήκη στο ξ. 4 Άα στην πείπτωση αυτή δεν οδηγούμεθα στη λύση του ποβλήματος διότι θα πέπει το J 4 ξ 4 να τείνει στο μηδέν πάγμα που απαιτεί ότι και το 4 πααμένει φαγμένο, γεγονός που δεν ξ ισχύει. Η ποσεγγιστική λύση για ( ξ, τ ) ( ξ ) sinτ J οδήγησε σε αναλυτική λύση της μοφής 57

Θα δοκιμάσουμε να δούμε αν μια λύση της μοφής αυτής είναι εφικτή για όλες τις τιμές του J. Αντικατάσταση στη Δ.Ε οδηγεί J //// ( ξ ) ( ξ ) με οιακές συνθήκες / // /// ( ), ( ) () () 58

Παάδειγμα 7 ο. Κυκλοφοιακή Ροή Έστω οή αυτοκινήτων σε αυτοκινητόδομο ταχείας κυκλοφοίας, με πυκνότητα αυτοκινήτου (αυτοκίνητα ανά km δόμου) και αντίστοιχη ταχύτητα. Είναι φανεό ότι η πυκνότητα μεταβάλλεται από μηδέν ως ma (ελάχιστη απόσταση μεταξύ αυτοκινήτων τυπικό μήκος αυτοκινήτου) καθώς και η ταχύτητα των οχημάτων από μηδέν μέχι μέγιστη (π.χ. όιο ταχύτητας). Να υπολογισθεί η πυκνότητα των αυτοκινήτων και η αντίστοιχη ταχύτητά των για διάφοα σενάια κυκλοφοιακής μεταβολής.. Μαθηματική τοποθέτηση του ποβλήματος Ποσομοιάζοντας τα αυτοκίνητα με «στοιχεία ευστού» είναι φανεό ότι τα αυτοκίνητα θα διατηούνται (μάζα πλήθος). Συνεπώς για τη οή των αυτοκινήτων θα ισχύει η εξίσωση της συνέχειας, αντίστοιχη της ευστομηχανικής, για μονοδιάστατη οή συμπιεστού ευστού. ( ) t Ποκειμένου να επιλυθεί η πααπάνω εξίσωση απαιτείται και μια σχέση μεταξύ ταχύτητας και πυκνότητας (σε αντιστοιχία με την εξίσωση διατήησης της ομής). Μια απλή σχέση που μποεί να γαφεί είναι: ma ma σχέση που σημαίνει ότι για (άδειος δόμος) τα αυτοκίνητα κινούνται με το όιο ταχύτητας, ενώ για ma, η ταχύτητα των αυτοκινήτων είναι μηδέν. Αντικατάσταση της ταχύτητας στην εξίσωση συνέχειας δίνει: ma t ma ή γενικότεα () t f όπου ( ) f ma ma 3. Οιακές συνθήκες 59

Έστω ότι τα αυτοκίνητα είναι σταθμευμένα σε σηματοδότη ή γενικότεα για t Επειδή f (), μποεί να γαφεί ( ) ( ) ( ) t, οπότε η εξίσωση παίνει τη μοφή (,) όπου l < > < < < l ma Η λύση του πααπάνω μαθηματικού ποβλήματος εκφάζεται με τη ύπαξη κύματος που κινείται ανάντι με ταχύτητα ( ) f ( ) f l l S ma ma e Μαθηματική επίλυση Η γενική θεωία επίλυσης μεικών διαφοικών εξισώσεων πώτης τάξης αναπτύχθηκε για πώτη φοά από τον Gach. Οποιαδήποτε συνάτηση G θα πααμένει σταθεή κατά μήκος τοχιών (t) στο επίπεδο (, t) υπό τον όο ότι η ολική παάγωγος ως πος το χόνο t είναι μηδέν, δηλαδή: ή D Dt [ G ( () t, t) ] G G t t ή G t G () t Από την παατήηση αυτή ποκύπτει ότι η λύση της διαφοικής εξίσωσης (η συνάτηση παίνει σταθεή τιμή πάνω στις γαμμές ( t ) ) είναι η 6

( ) () t (χαακτηιστικές Gach) στο επίπεδο (, t) δηλαδή πάνω στη γαμμή ( t ) η συνάτηση πυκνότητας έχει σταθεή τιμή. Έτσι ξεκινώντας ( ) για t και οιζόντια την κλίση για t και για κάθε, ευίσκεται το για κάθε άλλη χονική στιγμή ή θέση μετατοπιζόμενοι κατά Δt. 6

Πόβλημα 8 ο : Ταλάντωση δύο συζευγμένων μέσω ελαττηίων μαζών Μαθηματικοποίηση ποβλήματος & οιακές συνθήκες. Το σύστημα των εξισώσεων που πειγάφει το σύστημα μαζών-ελατηίων δίνεται στη συνέχεια: m k k( ) t m k( ) t ενώ οι αχικές συνθήκες που χειάζονται είναι αυτές που αφοούν την αχική θέση και ταχύτητα των μαζών τη χονική στιγμή t, δηλαδή τα ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) Οι τιμές αυτές θα δίνονται ως παάμετοι κατά την επίλυση του ποβλήματος, μαζί με τις τιμές για τις μάζες και τα ελατήια. Αδιαστατοποίηση εξισώσεων & οιακών συνθηκών Οι μεταβλητές που εμφανίζονται στο πόβλημα, και οι οποίες θα αδιαστατοποιηθούν, είναι οι παακάτω. Ανεξάτητες: t t Εξατημένες: t Επομένως θα έχουμε t,, t Οι διαφοικές εξισώσεις θα γαφτούν στην παακάτω μοφή: k k m k k( ) ( ) t t m m k m k( ) ( ) t t m Στις πααπάνω εκφάσεις οι εκθέτες με τον αστείσκο έχουν πααλειφθεί για λόγους απλότητας. Όπως βλέπουμε ο συντελεστής αδιαστατοποίησης για τις μετατοπίσεις απλοποιείται, οπότε πολύ απλά μποούμε να θεωήσουμε Υ, επομένως θα είναι και. Εάν k m m k θεωήσουμε ακόμη ότι και a, b θα καταλήξουμε στην m k m k αδιάστατη μοφή των εξισώσεων: a b b( ) t ( ) t Για τις οιακές συνθήκες θα έχουμε: 6

63 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' t D t C B A D C B A

Πόβλημα 9 ο : Υπολογισμός απόκισης εκκεμούς Focalt. Μαθηματικοποίηση ποβλήματος & οιακές συνθήκες. Το σύστημα των εξισώσεων που πειγάφει το σύστημα μαζών-ελατηίων δίνεται στη συνέχεια: ω sin ψ k t t ω sin ψ k t t ενώ οι αχικές συνθήκες που χειάζονται είναι αυτές που αφοούν την αχική θέση και ταχύτητα του εκκεμούς τη χονική στιγμή t, δηλαδή τα ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) Οι τιμές αυτές θα δίνονται ως παάμετοι κατά την επίλυση του ποβλήματος, μαζί με τις τιμές για τα υπόλοιπα μεγέθη που χειάζονται. Αδιαστατοποίηση εξισώσεων & οιακών συνθηκών Οι μεταβλητές που εμφανίζονται στο πόβλημα, και οι οποίες θα αδιαστατοποιηθούν, είναι οι παακάτω. Ανεξάτητες: t t Εξατημένες: t Επομένως θα έχουμε t,, t Οι διαφοικές εξισώσεις θα γαφτούν στην παακάτω μοφή: sin sin ωt ω ψ k ψ k t t t t t t t t sin sin ωt ω ψ k ψ k t t t t t t t t Στις πααπάνω εκφάσεις οι εκθέτες με τον αστείσκο έχουν πααλειφθεί για λόγους l απλότητας. Θεωούμε ότι k t t όπου l το μήκος του εκκεμούς και g η k g επιτάχυνση της βαύτητας. Ακόμη θεωούμε ότι ωt ω. Επομένως μένει μονάχα η k ψ ωψ παάμετος Ω, όπου ψ είναι το γεωγαφικό πλάτος της πειοχής όπου βίσκεται το t k εκκεμές και ω η γωνιακή ταχύτητα πειστοφής της Γης, η οποία είναι ίση με ω7.9-5 a/sec. Τελικά θα καταλήξουμε στην παακάτω αδιάστατη μοφή των εξισώσεων: sin Ω t t sin Ω t t 64