ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΒΑΘΜΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ & ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ Γ. ΤΣΕΠΟΥΡΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΒΑΘΜΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ΠΑΤΡΑ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ

Στους γοείς ου Στο αδελφό ου Βασίλη

Από τη έση αυτή α ήελα α εκφάσω τις εές ου ευχαιστίες στους αώπους που είχα τη τύχη α γωίσω και τη τιή α συεγασω αζί τους κατά τη διάκεια τω εταπτυχιακώ ου σπουδώ και τω οποίω η συολή συετέλεσε στη ατιότητα της παούσας διδακτοικής διατιής. Στο επιλέποτα Καηγητή της παούσας διδακτοικής διατιής και δάσκαλό ου απληωτή Καηγητή ηοσέη Πολύζο για τη αδιάκοπη και πολύτιη οήεια και καοδήγησή του κα όλη τη διάκεια τω εταπτυχιακώ ου σπουδώ. Η παούσα διδακτοική διατιή είαι το αποτέλεσα της στεής ας συεγασίας και η ποσωπική του εγασία συέαλε σηατικά στη διεκπεαίωση της διατιής. Στο άωπο ηοσέη Πολύζο για το αέιστο εδιαφέο του και τη στήιη που ου παείχε στις δύσκολες στιγές τω εταπτυχιακώ ου σπουδώ. Στο Καηγητή ηήτιο Μπέσκο για τη πολύτιη συολή τω γώσεω και της επειίας του στη Μέοδο τω Συοιακώ Στοιχείω καώς και για τη τιή που ου έκαε α συεγαστούε. Στο Καηγητή Στέφαο Παϊπέτη για τη οικοοοτεχική υποστήιη που ου παείχε ως ιευυτής του Εγαστήίου Τεχικής Μηχαικής όπου εκποήηκε η παούσα διατιή. Στη Λέκτοα Σοφία Παπαγύη-Μπέσκου για τη συεγασία και τη οήειά της σε έατα που αφοού στη παούσα διατιή και για τις συουλές της σχετικά ε τις εταπτυχιακές σπουδές και τις δυσκολίες που αποτελού ααπόσπαστο έος τους. Στο ιδάκτοα Στέφαο Τσιόπουλο για τη στεή του συεγασία και στήιη κα όλη τη διάκεια τω εταπτυχιακώ ου σπουδώ. Στο υποψήφιο διδάκτοα Ευυπίδη Σελλούτο για τη σηατική οήειά του σε έατα πογαατισού και αιητικής αάλυσης. Τέλος εκφάζω τις ευχαιστίες ου στο Εευητικό Ιστιτούτο Χηικής Μηχαικής και Χηικώ ιεγασίω Υψηλής Θεοκασίας ΕΙΧΗΜΥΘ για τη οικοοική υποστήιη που ου παείχε ως εταπτυχιακή υπότοφό του κατά τη διάκεια τω σπουδώ ου. Κ. Τσέπουα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή. Θεωίες αοελαστικότητας.. Σύτοη παουσίαση τω κεφαλαίω και τω πωτότυπω στοιχείω της διδακτοικής διατιής Η Θεωία αοελαστικότητας ε επιφαειακή εέγεια 7. Εισώσεις και συοιακές συήκες γεικευέης γαικής αοελαστικότητας. Εισώσεις και συοιακές συήκες αοελαστικού έσου ε επιφαειακή εέγεια. Θεελιώδεις λύσεις στατικής αοελαστικότητας ε επιφαειακή εέγεια 8. ιατύπωση ολοκληωτικής ταυτότητας τύπου tti για αοελαστικό έσο ε επιφαειακή εέγεια. Ολοκληωτικές ααπααστάσεις ποληάτω αοελαστικότητας ε επιφαειακή εέγεια 9 Μέοδος Συοιακώ Στοιχείω. Αιητική επίλυση ολοκληωτικώ εισώσεω αοελαστικότητας ε τη έοδο τω Συοιακώ Στοιχείω.. Επιφαειακά Συοιακά Στοιχεία 7.. Ιακωιαή του ετασχηατισού από το κατεσιαό στο τοπικό πααετικό σύστηα συτεταγέω

.. Ολοκληωτικές εισώσεις αοελαστικότητας στο τοπικό σύστηα συτεταγέω - ιαόφωση τελικού αλγεικού συστήατος εισώσεω.. Συετία και ατισυετία ως πος τα επίπεδα του κατεσιαού συστήατος συτεταγέω. Αιητικός Υπολογισός Ολοκληωάτω.. Οαλά και σχεδό ιδιόοφα ολοκληώατα.. Ασεώς ιδιόοφα ολοκληώατα 8.. Ισχυώς ιδιόοφα ολοκληώατα 9.. Υπε-ιδιόοφα ολοκληώατα. Υπολογισός ετατοπίσεω πααοφώσεω και τάσεω σε εσωτεικά σηεία ε τη ΜΣΣ. Πιστοποίηση αιοπιστίας κώδικα ηλεκτοικού υπολογιστή.. Ααλυτικές εκφάσεις ετατοπίσεω πααοφώσεω και τάσεω σε πολήατα αοελαστικότητας ε ακτιική πααόφωση.. Εφελκυσός δοκού 8.. Ακτιική πααόφωση σφαίας στο πλαίσιο της στατικής αοελαστικότητας.. Το πόληα της σφαιικής κοιλότητας στο πλαίσιο της στατικής αοελαστικότητας Αοοσυετική Μέοδος Συοιακώ Στοιχείω 9. Μαηατική διατύπωση της αοοσυετικής εόδου συοιακώ στοιχείω 7.. Αοοσυετικές συοιακές ολοκληωτικές εισώσεις αοελαστικότητας 7.. Αάπτυη τω συοιακώ εταλητώ σε σειές Foi 7.. Αοοσυετικές ολοκληωτικές εισώσεις εκφασέες στο z επίπεδο 7. Αοοσυετική έοδος Συοιακώ Στοιχείω 77.. ιακιτοποίηση της γεέτειας σε συοιακά στοιχεία 77.. Μοοδιάστατα συοιακά στοιχεία 78.. Ιακωιαή του ετασχηατισού από το κατεσιαό στο τοπικό πααετικό σύστηα συτεταγέω 8

.. Αοοσυετικές ολοκληωτικές εισώσεις αο- ελαστικότητας στο τοπικό σύστηα συτεταγέω - ιαόφωση τελικού αλγεικού συστήατος εισώσεω. Υπολογισός τω πεδίω και σε οποιοδήποτε επιφαειακό σηείο τω πεδίω Y σε εωτεικά και εσωτεικά σηεία του αοελαστικού σώατος 8 8. Συετία και ατισυετία ως πος το επίπεδο X X του κατεσιαού συστήατος συτεταγέω 8. Αιητικός υπολογισός ολοκληωάτω 8.. Οαλά και σχεδό ιδιόοφα ολοκληώατα 87.. Ιδιόοφα και Υπε-ιδιόοφα ολοκληώατα 9. Πιστοποίηση αιοπιστίας κώδικα ηλεκτοικού υπολογιστή 9.. Ακτιική πααόφωση κυλίδου στα πλαίσια της στατικής αοελαστικότητας 9.. Ακτιική πααόφωση κυλιδικής κοιλότητας στα πλαίσια της στατικής αοελαστικότητας Αακεφαλαίωση Ποτάσεις για ελλοτική έευα 9 Παάτηα Α Παάτηα Β 7 Παάτηα Γ Παάτηα Θεελιώδεις λύσεις τισδιάστατης στατικής αοελαστικότητας Παάτηα Ε 8

Ε.Ι Μοοδιάστατο δευτεοάιο στοιχείο 8 Ε.Ι.Ι Συεχές οοδιάστατο στοιχείο Συατήσεις σχήατος 8 Ε.Ι.ΙΙ Ασυεχές οοδιάστατο στοιχείο Συατήσεις παεολής 8 Ε.ΙΙ Επιφαειακό τεταγωικό δευτεοάιο στοιχείο ε 9 κόους Ε.ΙΙ.Ι Συεχές επιφαειακό τεταγωικό δευτεοάιο στοιχείο ε 9 κόους Ε.ΙΙ.ΙΙ Ασυεχές επιφαειακό τεταγωικό δευτεοάιο στοιχείο ε 9 κόους Ε.ΙΙΙ Επιφαειακό τιγωικό δευτεοάιο στοιχείο ε κόους 8 8 88 9 Ε.ΙΙΙ.Ι Συεχές επιφαειακό τιγωικό δευτεοάιο στοιχείο ε κόους Ε.ΙΙΙ.ΙΙ Ασυεχές επιφαειακό τιγωικό δευτεοάιο στοιχείο ε κόους 9 9 Παάτηα ΣΤ 9 Ααφοές 7

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Σκοπός της παούσας διδακτοικής διατιής είαι η αάπτυη εοδολογίας συοιακώ στοιχείω για τη αιητική επίλυση τισδιάστατω -D στατικώ ποληάτω στα πλαίσια ιας εωίας αοελαστικότητας που στηίζεται σε ια απλουστευέης οφής της εωίας του Mii και διατυπώηκε από τους okis η οποία λαάει υπόψη και τη επιφαειακή εέγεια και από τους iftis και συεγάτες. Η διδακτοική διατιή αποτελείται από δύο εότητες. Στη πώτη εότητα κεφάλαια και γίεται ία πλήης αασκόπηση της ιλιογαφίας ως πος τις εωίες αοελαστικότητας και στη συέχεια πειγάφεται διεοδικά η παούσα εωία αοελαστικότητας ε επιφαειακή εέγεια. Στη δεύτεη εότητα παουσιάζεται η έοδος τω Συοιακώ Στοιχείω ΜΣΣ όπως αυτή εφαόζεται για τη επίλυση τισδιάστατω και αοοσυετικώ αοελαστικώ ποληάτω ατίστοιχα. Η ΜΣΣ ασίζεται στη διατύπωση τω ολοκληωτικώ εισώσεω τω αοελαστικώ ποληάτω. Οι άγωστοι τω ολοκληωτικώ εισώσεω είαι οι συοιακές τιές του ασικού πεδίου τω εταλητώ και οι παάγωγοί τους που για τη αοελαστικότητα είαι τα διαύσατα τω ετατοπίσεω τω αίδω τω ετατοπίσεω και τα διαύσατα τω επιφαειακώ τάσεω. Η ποσέγγιση τω συατήσεω αυτώ πάω στο σύοο γίεται ε τη οήεια συατήσεω παεολής από τις ατίστοιχες τιές τους σε έα επιλεγέο αιό κόω. Η ταχύτητα και η ακίεια της ΜΣΣ κατά τη εφαογή της επηεάζεται σηατικά από τη ταχύτητα και τη ακίεια του υπολογισού τω ιδιόοφω και υπε-ιδιόοφω ολοκληωάτω. Στη παούσα διατιή τα ιδιόοφα και υπε-ιδιόοφα ολοκληώατα υπολογίζοται ε τη χήση τεχικώ ιδιόοφης και υπε-ιδιόοφης ολοκλήωσης Giii 99 και H t. 99 ατίστοιχα. Στα πλαίσια της παούσας διδακτοικής διατιής κατασκευάστηκε αλγόιος που επιλύει τισδιάστατα στατικά πολήατα αοελαστικότητας καώς και αλγόιος που επιλύει στατικά αοελαστικά πολήατα ε αοική συετία. Στο τέλος κάε κεφαλαίου επιλύοται ατίστοιχα στατικά αοελαστικά πολήατα ε ή χωίς α λαάεται υπόψη η επιφαειακή εέγεια και ε γωστές ααλυτικές λύσεις. Τα αιητικά αποτελέσατα τω πααπάω ποληάτω συγκίοται ε τα ατίστοιχα ααλυτικά. Τέλος γίεται ία αακεφαλαίωση της διδακτοικής διατιής και διατυπώοται ποτάσεις για ελλοτική έευα.

UMMY th pst Doto hsis o t thooo EM is vop i o to sov i -D is-sti stti it sti pos. Miostt ffts o th osopi hvio of th osi tis hv tk ito ot s of sip sti it tho with sf oti s spi s of th o to Mii popos okis. possi o oitios ssi o-ssi hv ti with th i of vitio sttt of th po. h ft sotio of th it sti with sf hs piit ti s to stish th o it psttio of th sotio of th po with th i of th ipo itit spifi ostt fo this it sti with sf s. h o it psttio osists of o tio fo th ispt oth o fo its o ivtiv. so th it fos of th it of ispt s w s th h tiv o tot stsss i th itio of th it sti o hv iv pst. h i ipttio of th it tios is opish with th i of ti isopti i is-st s sf -D s o ts. h opttio of th si hp-si its ivov is o with th i of hih t v oiths. HE EE DOO HE OUDY EEME MEHODOOGY EM DEEOED ODE O OE UMEY -D D X- YMME GDE E OEM. MOUU EFFE O HE MOO EHO OF HE ODEED ME HE EE KE O OU Y ME OF ME GDE HEOY WH UFE EEGY OED E E OF HE GEE OE DUE O MD OOED Y DOUK D UEM. OE OUDY ODO D O- HE EE DEEMED WH HE D OF O EME OF HE OEM. HE FUDME OUO OF HE GDE E WH UFE EEGY H EE EXY DEEMED D UED O EH HE OUDY EG EEEO OF HE OUO OF HE OEM WH HE D OF HE EO DEY EFY OUED FO H GDE E WH UFE EEGY E. HE OUDY EG EEEO O OF OE EQUO FO HE DEME D OHE OE FO OM DEE. O HE EG FOM OF HE GDE OF DEME WE HE UHY EE DOUE D O EE HE EO OF HE GDE E ODY HE EE DEED D EEED. HE UME MEMEO OF HE EG EQUO OMHED WH HE D OF QUD OME E X- YMMEY E D UFE -D E OUDY EEME. HE OMUO OF HE GU D HYE-GU EG OED DOE WH HE D OF HGHY UE DED GOHM.

ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ Συολισοί X X X κατεσιαές εταλητές [] U αποηκευέη εέγεια πααόφωσης του σώατος [] δ U εταολή της αποηκευέης εέγειας πααόφωσης του σώατος [] W πααγώεο έγο από τις εωτεικές δυάεις που ασκούται στο σώα [] δ W εταολή του πααγώεο έγου από τις εωτεικές δυάεις που ασκούται στο σώα [] σταεός όγκος ελέγχου [] σταεή επιφάεια ελέγχου [] στοιχειώδης όγκος [] στοιχειώδης επιφάεια [] γεωετικές ακές που σχηατίζοται τη τοή οαλώ επιφαειώ [] - σηείο υπολογισού της λύσης fi poit [] σηεία πηγώ στη επιφάεια so poit [] διάυσα έσης του σηείου παατήησης [] απόσταση εταύ τω σηείω πηγής και εύεσης της λύσης [] οαδιαίο διάυσα στη διεύυση της απόστασης [] - οαδιαίο κάετο διάυσα στο σηείο [] - οαδιαίο κάετο διάυσα στο σηείο [] - εωτεικό οαδιαίο κάετο διάυσα ιας επιφάειας [] ŝ εφαπτοεικό διάυσα επί ιας καπύλης [] - διάυσα του πεδίου ετατόπισης []

ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ ταυστής αηγέω πααοφώσεω [] - τ ταυστής τάσεω h [] ή / ή K/ s ταυστής διπλώ τάσεω [] ή / ή K/ s f πεδιακές δυάεις που ασκούται στο σώα [] ή K /s διάυσα διπλώ επιφαειακώ τάσεω [] ή / ή K/ s αίδα του διαύσατος τω ετατοπίσεω [] διάυσα επιφαειακώ τάσεω [] ή / ή K/ s E διάυσα επιφαειακώ τάσεω υπεπήδησης [] ή / ή K/ s τιή του διαύσατος τω ετατοπίσεω στη επιφάεια [] τιή του διαύσατος τω διπλώ επιφαειακώ τάσεω στη επιφάεια [] ή / ή K/ s τιή της αίδας τω ετατοπίσεω στη επιφάεια [] τιή του διαύσατος τω τάσεω στη επιφάεια [] ή / ή K/ s E τιή του διαύσατος τω επιφαειακώ τάσεω υπεπήδησης [] ή / ή K/ s σ ολικές τάσεις [] ή / ή K/ s s σχετικές τάσεις [] ή / ή K/ s E έτο ελαστικότητας του Yo [] ή / ή K/ s λ σταεές λόγος oisso [] -...... γωστοί συτελεστές [] - συτελεστής αίδας πααόφωσης [] συτελεστής επιφαειακώ τάσεω []

ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ γεική οφή γαικού τελεστή [] δ συάτηση δ -Di [] οαδιαίο ή ταυτοτικό δυαδικό [] - U εελιώδης λύση του πεδίου τω ετατοπίσεω [] εελιώδης πυήας του πεδίου τω διπλώ επιφαειακώ τάσεω [] ή / ή K/ s εελιώδης πυήας του πεδίου τω επιφαειακώ τάσεω [] ή / ή K/ s Q εελιώδης πυήας του πεδίου τω αίδω τω ετατοπίσεω [] E εελιώδης πυήας του πεδίου τω επιφαειακώ τάσεω υπεπήδησης [] ή / ή K/ s ταυστής ασυέχειας [] - εωτεικό εσωτεικό και ταυστικό γιόεο ατίστοιχα : M εσωτεικό δυαδικό και τιαδικό γιόεο ατίσοτιχα διαφοικός τελεστής της άωσης [] επιφαειακός διαφοικός τελεστής [] - κάετη παάγωγος στη διεύυση του οαδιαίου καέτου διαύσατος [] ϕ z κυλιδικές εταλητές [] τοπικό σύστηα συτεταγέω [] Φ συάτηση οφής shp ftio [] - συάτηση σχήατος itpotio ftio []

Κεφάλαιο Εισαγωγή Σκοπός της παούσας διδακτοικής διατιής είαι η αάπτυη εοδολογίας συοιακώ στοιχείω για τη αιητική επίλυση τισδιάστατω στατικώ ποληάτω γαικής αοελαστικότητας. Στο κεφάλαιο αυτό παουσιάζεται ία επειστατωέη αασκόπηση της διεούς ιλιογαφίας ως πος τις εωίες αοελαστικότητας it thois που κατά καιούς έχου ααπτυχεί και γίεται ααφοά τόσο στα πολήατα αοελαστικότητας που έχου επιλυεί ααλυτικά όσο και στις αιητικές εόδους που ααπτύχηκα για τη επίλυση ατιστοίχω ποληάτω. Στη συέχεια παουσιάζοται πειληπτικά τα κεφάλαια που απατίζου τη παούσα διδακτοική διατιή.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Θεωίες αοελαστικότητας Είαι πλέο γωστό ότι η κλασσική εωία της γαικής ελαστικότητας αδυατεί α πειγάψει ικαοποιητικά τη ηχαική συπειφοά γαικώ ελαστικώ υλικώ ε ικοδοή όπως είαι τα πολυεή τα πολυκυσταλλικά ή τα κοκκώδη υλικά αποτελούεα από όια κυσταλλίτες και κόκκους ατίστοιχα. Στη πείπτωση τω πααπάω υλικώ οι επιδάσεις της ικοδοής είαι σηατικές και ο ταυστής τω τάσεω σε έα υλικό σηείο εατάται όχι όο από το ταυστή τω πααοφώσεω αλλά και από τις χωικές πααγώγους της πααόφωσης. Η επίδαση της ικοδοής στη ακοσκοπική πειγαφή της ηχαικής συπειφοάς εός γαικά ελαστικού έσου λαάεται σηατικά υπόψη ε τη χήση εωιώ αώτεης τάης αίδω Mii 9 9 98 Mii Esh 98 Gi 97 iftis 99 t iftis 99 iftis 99 okis 99 Ektos okis Mii ist 9 ικοπολικώ εωιώ Ei hi 9 Ei 9 98 και εωιώ τάσεω ζεύγους osst osst 99 Mii ist 9 Koit 9 opi 9. Μεικά πααδείγατα που αποδεικύου τη αδυαία της κλασσικής εωίας ελαστικότητας α πολέψει τη συπειφοά υλικώ ε ικοδοή ή α εηεύσει ατίστοιχα πειαατικά αποτελέσατα είαι: α ο απειισός siit τάσεω και πααοφώσεω σε πολήατα ωγώ ή επιολής σηειακού φοτίου στη ελεύεη επιφάεια ελαστικού ηιχώου t iftis 99 okis t. 99 Ektos t. 99 Ektos 998 η αάπτυη και διάδοση ωγώ σε υλικά ε ικοδοή όπως πολυεή αφώδη πολυκυσταλλικά κοκκώδη υλικά έδαφος άχοι κεαικά σκυόδεα σύετα και ιώδη υλικά οστά κλπ. t iftis 99 t iftis 997 iftis 99 Ektos okis Ektos t. 99 M t. γ η ηχαική συπειφοά λεπτώ ταιιώ και λεπτώ ελαστικώ διεπιφαειώ ktzis k iftis δ η στέψη και κάψη ελαστικώ υλικώ ε ικοδοή όπως είαι τα οστά και τα αφώδη πολυεή Kish ktsi 978 ks 98 98 99 so ks 99 okis t. 998 skis ε η επίδαση του εγέους και τω άκω σε δοκούς πλάκες και κελύφη Mii ist 9 ktzis k iftis στ η ηχαική συπειφοά αοϋλικώ iftis ζ η διάδοση ωγώ σε αοϋλικά iftis η η εφάιση λαιού σε πολήατα εφελκυσού δοκώ t t. 99 t iftis 997 spo t. η διάδοση ov-κυάτω στο έδαφος και σε επιέατα h t. 998 ι η διάδοση και διασκόπιση κυάτω σε σύετα υλικά και σκυόδεα H hh

ΕΙΣΑΓΩΓΗ 98 h Go 998 t t. 99 t iftis 997 spo t.. Οι εωίες αίδω αώτεης τάης it thois εισάγου στις καταστατικές εισώσεις του συεχούς έσου αώτεης τάης χωικές πααγώγους τω πααοφώσεω αζί ε κάποιο εσωτεικό ήκος το οποίο ατιποσωπεύει το ήκος της ικοδοής σε σχέση ε τη ακοδοή. Η αχική ιδέα της εισαγωγής αώτεης τάης αίδω πααόφωσης στις καταστατικές εισώσεις του συεχούς έσου εφαίζεται σε ία εγασία του h το 8. Στη συέχεια ο oiht 887 υπέδειε ε συτοία το όλο τω αίδω πειστοφής και οι αδελφοί osst 99 αέπτυα τη πώτη σχετική εωία. Σύφωα αυτή κάε σηείο εός συεχούς έσου έχει έι αούς ελευείας που σηαίει τεις συιστώσες ετατόπισης και τεις συιστώσες πειστοφής. Εισάγεται έτσι η έοια της τάσης ζεύγους op stss. Η εφάιση τω τάσεω ζεύγους στις καταστατικές εισώσεις της κίησης έχει ως αποτέλεσα τη η-συετία του ταυστή τω τάσεω σε ατίεση ε τη κλασσική εωία ελαστικότητας. Η εωία τω αδελφώ osst 99 οοάζεται αλλιώς και ικοπολική εωία. Έπειτα και για πείπου πεήτα χόια δε δόηκε ιδιαίτεη ποσοχή σε τέτοιες γεικευέου τύπου εωίες συεχούς έσου. Αγότεα εικές εδιαφέουσες και σηατικές εωίες ασισέες στο osst συεχές osst oti εφαίστηκα στις αχές της δεκαετίας του. Χαακτηιστική είαι η εγασία τω s opi 9 οι οποίοι εωού για έα συεχές έσο τη εέγεια πααόφωσής του α εατάται από πώτης και δεύτεης τάης πααγώγους της ετατόπισης sti it. O opi 9 στη συέχεια παουσίασε τις καταστατικές εισώσεις για πεπεασέες πααοφώσεις τω υλικώ δεύτεης τάης και ποσδιόισε ε οό τόπο το ταυστή τάσεω ζεύγους osst. Στη πείπτωση αυτή οι εισώσεις ισοοπίας του συεχούς πειλαάου ία αώτεης τάης τάση τη τάση ζεύγους και γι αυτό το λόγο απαιτούται αώτεης τάης συοιακές συήκες για το διάυσα τω τάσεω ζεύγους και τη πααόφωση. Επίσης εωώτας τη συάτηση εέγειας πααόφωσης η τάση ζεύγους σχετίζεται ε τη αίδα πααόφωσης. Οι Mii ist 9 παουσίασα το ίδιο καιό κάποια εδιαφέοτα συπεάσατα σχετικά ε τη εαγωγή τω εισώσεω κίησης για το osst συεχές και κάποια σηατικά σχόλια για ποηγούεα αποτελέσατα σ αυτό το έα. Λίγο αγότεα ο Mii 9 πότειε ια γαική γεικευέη εωία για έα τισδιάστατο ελαστικό συεχές έσο ε ικοδοή. Επιπλέο ο Mii 9 έδειε πως οι γαικές εισώσεις της osst εωίας 99 όπως και τω επόεω εωιώ τάσεω ζεύγους Koit 9 opi 9 αποτελού ειδικές πειπτώσεις της δικής του εωίας. Όλες οι ποααφεόεες εωίες αζί ε τη γωστή ως η-τοπική εωία τω Ei hi 9 και Ei 98 συσχετίζου τις αώτεης τάης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ αίδες του πεδίου της ετατόπισης ε τις τάσεις έσω πολύπλοκω σχέσεω που επλέκου εκτός τω κλασσικώ ία πληώα έω σταεώ υλικού η φυσική έοια τω οποίω είαι δύσκολο α ποσδιοισεί εωητικά ή πειαατικά. Πειλαάου επίσης πολλούς συτελεστές που τις πεισσότεες φοές είαι αηατικά δύσκολο α ποσδιοιστού. Χαακτηιστικό παάδειγα αποτελεί η εωία του Mii 9 στη γεικότεή της οφή η οποία επλέκει 9 σταεές. Ο s 9 στη έκφαση της εέγειας πααόφωσης πόσεσε δύο επιπλέο όους επεκτείοτας έτσι τη οοδιάστατη κλασσική γαική ελαστικότητα. Ο πώτος όος επειέχει δεύτεης τάης αίδες ετατόπισης και έχει σχέση ε εταολές της εέγειας αά οάδα όγκου εώ ο δεύτεος επλέκει τη πααόφωση στα άκα του οοδιάστατου σώατος και έχει σχέση ε επιφαειακή εέγεια. Οι iftis και συεγάτες iftis 99 t iftis 99 iftis 99 πότεια ία γαική εωία ποσέτοτας στη συάτηση πυκότητας εέγειας πααόφωσης τη δεύτεης τάης αίδα της πααόφωσης εισάγοτας ταυτόχοα όο ια επιπλέο σταεά. Η εωία αυτή όπως α δούε είαι ία ειδική πείπτωση της εωίας του Mii 9. Οι okis 99 πόσφατα πότεια ια εωία αοελαστικότητας ασιζόεοι στο οοδιάστατο πότυπο του s 9 στις τεις διαστάσεις. Μποεί α εωηεί και αυτή ως ια ειδική πείπτωση της γεικευέης εωίας ελαστικότητας ε ικοδοή του Mii 9. Σύφωα ε τη εωία τω okis 99 στη κλασσική είσωση της πυκότητας εέγειας πααόφωσης ποστίεται δύο επιπλέο όοι αίδω αώτεης τάης. Ο πώτος όος αφοά στις εταολές της εέγειας αά οάδα όγκου και είαι αάλογος ε αυτό της εωίας iftis και συεγάτες iftis 99 t iftis 99 iftis 99. Ο δεύτεος όος ατιποσωπεύει ελεύεη επιφαειακή εέγεια και συπειλαάει τη κλίση του ταυστή της αηγέης πααόφωσης πολλαπλασιασέη ε έα χαακτηιστικό διάυσα κατεύυσης. Τη τελευταία εικοσαετία πείπου ια σειά ποληάτω συοιακώ τιώ της γαικής ελαστικότητας επιλύηκα ααλυτικά ε τη χήση διαφόω απλουστευέω εωιώ αοελαστικότητας iftis 99 t iftis 99 iftis 99 okis 99 Ektos okis Ei hi 9 και Ei 98. Τέτοια πολήατα είαι τα στατικά πολήατα εαόσεω της αυστοηχαικής τα πολήατα σε ηι-άπειο χωίο υπό ποικίλα επιφαειακά φοτία τα πολήατα οπώ υπό πίεση άδω υπό εφελκυσό και δοκώ σε κάψη t iftis 99 iftis 99 iftis Ektos okis Ektos t. 99 Gtki iftis 999 Gtki Ektos okis 998 spo t. pi-sko t. και τα δυαικά πολήατα που αφοού στη διάδοση κυάτω σε δοκούς και σε ηι-άπειο χωίο [spo t. t t. 99 h Go 997 h t. 998

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Goiis t.. Αποδείχηκε πως η χήση τέτοιω εωιώ οδηγεί στη εάλειψη του απειισού και τω ασυεχειώ της κλασσικής εωίας ελαστικότητας και ετοπίζει τις επιδάσεις εγέους και τη διασκόπιση τω κυάτω σε πειπτώσεις όπου αυτό δε ήτα εφικτό ε τη χήση της κλασσικής εωίας ελαστικότητας. Ωστόσο η επίλυση ε ααλυτικές εόδους πειοίστηκε σε πολήατα ε απλή γεωετία και απλές συοιακές συήκες. Όως εαλιστικά πολήατα ηχαικής ε πολύπλοκη γεωετία και συοιακές συήκες είαι δυατό α επιλυού όο ε τη χήση αιητικώ εόδω όπως είαι η έοδος Πεπεασέω Στοιχείω ΜΠΣ και η έοδος Συοιακώ Στοιχείω ΜΣΣ. Στο πλαίσιο τω αοελαστικώ εωιώ και ε τη έοδο τω πεπεαέω στοιχείω επιλύηκα ία σειά στατικώ ποληάτω. Μεταύ αυτώ ποεί α ααφεεί εδώ η εγασία τω H 98 στο πλαίσιο της εωίας τάσης ζεύγους k και συεγάτες 98 H i 99 και ovis Kttis για τη πείπτωση της ικοπολικής / osst εωίας ktzis k iftis για τη πείπτωση της εωίας αοελαστικότητας του iftis καώς και τις εγασίες τω h και συεγάτες 999 και tio vs για τη πείπτωση τω απλουστευέω εωιώ αοελαστικότητας του Mii. Ωστόσο όλες οι πιο πάω εγασίες ε τη χήση της εόδου πεπεασέω στοιχείω πειοίζοται στη επίλυση ποληάτω αοελαστικότητας στις δύο διαστάσεις -D. Η έοδος συοιακώ στοιχείω ΜΣΣ χησιοποιείται για τη επίλυση στατικώ ποληάτω στις δύο διαστάσεις - D και όο στο πλαίσιο της ικοπολικής εωίας ελαστικότητας. Ως τέτοιες ααφέοται οι εγασίες τω Dos 98 i H 99 H i 997 και k k. Στη παούσα διδακτοική διατιή παουσιάζεται η έοδος τω συοιακώ στοιχείω MΣΣ που ααπτύχηκε για τη επίλυση τισδιάστατω -D στατικώ ποληάτω στο πλαίσιο ιας εωίας αοελαστικότητας που αποτελεί ασίζεται σε ια απλουστευέη οφή της εωίας του Mii και διατυπώηκε από τους iftis και συεγάτες. Είαι επίσης δυατό α ληφεί υπόψη και η επιφαειακή εέγεια sf του έσου ε ικοδοή σύφωα ε τη εωία τω okis και συεγάτες.. Σύτοη παουσίαση τω κεφαλαίω και τω πωτότυπω στοιχείω της διδακτοικής διατιής Η παούσα διδακτοική διατιή αποτελείται από δύο εότητες. Στη πώτη εότητα κεφάλαια και γίεται ία πλήης αασκόπηση της ιλιογαφίας ως πος τις εωίες αοελαστικότητας και στη συέχεια πειγάφεται διεοδικά η παούσα εωία αοελαστικότητας ε επιφαειακή εέγεια.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Στο δεύτεο κεφάλαιο δίεται το εωητικό υπόαο που είαι απααίτητο για τη παακολούηση της διατιής. Παουσιάζεται η εωία αοελαστικότητας ε επιφαειακή εέγεια και διατυπώοται οι ασικές εισώσεις που χησιοποιούται στα επόεα κεφάλαια για τη αιητική επίλυση ατίστοιχω ποληάτω. Εάγοται οι εισώσεις ισοοπίας και κίησης καώς και οι συοιακές συήκες που πέπει α ικαοποιούται από οποιοδήποτε γαικό ελαστικό έσο ε ικοδοή. Παουσιάζοται οι εελιώδεις λύσεις της στατικής αοελαστικότητας ε επιφαειακή εέγεια και διατυπώεται η ολοκληωτική ταυτότητα τύπου tti για έα αοελαστικό έσο ε επιφαειακή εέγεια. Στη συέχεια κάοτας χήση της αοελαστικής ολοκληωτικής ταυτότητας έα τισδιάστατο στατικό αοελαστικό πόληα διατυπώεται ε τη οφή ολοκληωτικώ εισώσεω. Ολα τα πααπάω αποτελού πωτότυπα στοιχεία της παούσας διδακτοικής διατιής. Στα κεφάλαια και παουσιάζεται η έοδος τω Συοιακώ Στοιχείω ΜΣΣ όπως αυτή εφαόζεται για τη επίλυση τισδιάστατω και αοοσυετικώ αοελαστικώ ποληάτω ατίστοιχα. Η ΜΣΣ είαι ία αιητική έοδος η οποία ασίζεται στις διατυπώσεις ολοκληωτικώ εισώσεω τω ατίστοιχω ποληάτω. Οι άγωστοι τω ολοκληωτικώ εισώσεω είαι οι συοιακές τιές του ασικού πεδίου τω εταλητώ και οι παάγωγοί τους π.χ. για τη αοελαστικότητα είαι τα διαύσατα τω ετατοπίσεω τω αίδω τω ετατοπίσεω και τα διαύσατα τω επιφαειακώ τάσεω. Η ποσέγγιση τω συατήσεω αυτώ πάω στο σύοο γίεται ε τη οήεια συατήσεω παεολής από τις ατίστοιχες τιές τους σε έα επιλεγέο αιό κόω. Η ταχύτητα και η ακίεια της ΜΣΣ κατά τη εφαογή της επηεάζεται σηατικά από τη ταχύτητα και τη ακίεια του υπολογισού τω ιδιόοφω και υπε-ιδιόοφω ολοκληωάτω. Στη παούσα διατιή τα ιδιόοφα και υπε-ιδιόοφα ολοκληώατα υπολογίζοται ε τη έοδο τω Giii 99 και H t. 99. Στο πλαίσιο της παούσας διδακτοικής διατιής κατασκευάστηκε αλγόιος που επιλύει τισδιάστατα στατικά πολήατα αοελαστικότητας καώς και αλγόιος που επιλύει στατικά αοελαστικά πολήατα ε αοική συετία. Στο τέλος κάε κεφαλαίου επιλύοται ατίστοιχα στατικά αοελαστικά πολήατα ε ή χωίς α λαάεται υπόψη η επιφαειακή εέγεια και ε γωστές ααλυτικές λύσεις. Τα αιητικά αποτελέσατα τω πααπάω ποληάτω συγκίοται ε τα ατίστοιχα ααλυτικά. Στο πέπτο και τελευταίο κεφάλαιο γίεται ία αακεφαλαίωση της διδακτοικής διατιής και διατυπώοται ποτάσεις για ελλοτική έευα.

7 Κεφάλαιο Η εωία αοελαστικότητας ε επιφαειακή εέγεια Όπως ήδη έχει ααφεεί σκοπός της παούσας διδακτοικής διατιής είαι η επίλυση ποληάτω αοελαστικότητας στις τεις διαστάσεις. Στο παό κεφάλαιο παουσιάζοται όλα τα ασικά στοιχεία τα οποία αφοού στη εωία αοελαστικότητας και πιο συγκεκιέα δίοται: οι εισώσεις και οι συοιακές συήκες της γεικευέης γαικής αοελαστικότητας. οι εισώσεις και οι συοιακές συήκες της γαικής αοελαστικότητας ε επιφαειακή εέγεια. οι εελιώδεις λύσεις στατικής γαικής αοελαστικότητας. η διατύπωση της ολοκληωτικής ταυτότητας τύπου tti για τη εωία της αοελαστικότητας. οι ολοκληωτικές ααπααστάσεις στατικώ ποληάτω που ποκύπτου από τη εφαογή της αοελαστικής ολοκληωτικής ταυτότητας. Όπου είαι απααίτητο γίεται ααφοά σε ιλία και άα πειοδικώ εώ οι αηατικές εκφάσεις και τα απααίτητα αποτελέσατα δίοται σε ατίστοιχα παατήατα.

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Εισώσεις και συοιακές συήκες γεικευέης γαικής αοελαστικότητας Θεωούε έα γαικό ελαστικό έσο όγκου και επιφάειας. Το έσο αυτό χαακτηίζεται από ικοδοή η οποία ακοσκοπικά πειγάφεται ε τη εφάιση αίδω της πααόφωσης στη έκφαση της ελαστικής εέγειας του έσου. Η γεωετία του έσου πειγάφεται ε το οαδιαίο κάετο διάυσα πάω στη επιφάεια και το κατεσιαό σύστηα συτεταγέω OX X X ε τη αχή του α ίσκεται στο εσωτεικό του όγκου. Σύφωα ε τη εωία ελαστικότητας ε ικοδοή του Mii 9 η αποηκευέη εέγεια πααόφωσης δε είαι όο συάτηση της πααόφωσης αλλά και τω πώτης τάης χωικώ αίδω της πααόφωσης U [ τ : M ] τ ij ij ijk i jk. όπου τ είαι ο ταυστής τάσης του h h stss ο ταυστής αηγέης πααόφωσης sti ο διαφοικός τελεστής κλίσης αίδας και έας ταυστής τίτης τάης που οοάζεται ταυστής διπλής τάσης o stss tso. Οι 7 συιστώσες του ijk αποτελού τις διπλές δυάεις αά οάδα επιφάειας ε το πώτο δείκτη α υποδηλώει τη διεύυση του οαδιαίου καέτου της επιφάειας στη οποία αυτές δου και οι άλλοι δύο υποδηλώου τις χωικές συιστώσες στη διεύυση k για έα στοιχειώδες επίπεδο κάετο στη διεύυση j όοια ε αυτούς του κλασικού ταυστή τάσεω τ jk. Σηειώεται εδώ ότι οι διπλές τάσεις συεισφέου όο στη δυαική εέγεια του έσου ε ικοδοή και στις συοιακές συήκες του πολήατος χωίς α δίου οποιαδήποτε συιστώσα τάσης ή διπλής τάσης στη επιφάεια του έσου. Τέλος οι διπλές και τιπλές τελείες υποδηλώου δυαδικά και τιαδικά εσωτεικά γιόεα ατίστοιχα σύφωα ε τις σχέσεις : M. όπου είαι διαύσατα στις τεις διαστάσεις το σύολο υποδηλώει δυαδικό γιόεο και το σύολο o σηαίει. Λαάοτας υπόψη ότι ο ταυστής πααόφωσης γάφεται.

ΘΕΩΡΙΑ ΒΑΘΜΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 9 η εταολή της εέγειας πααόφωσης του έσου U ποεί α γαφεί ως συάτηση του διαύσατος ετατόπισης ispt ως εής δu [ τ : δ M δ]. Με τη χήση τω ταυτοτήτω [ : ] : M [ ] [ ] :. τ τ τ : όπου το σύολο υποδηλώει ααστοφή και τη σχέση συετίας του ταυστή διπλής τάσης ή ijk ikj.7 η είσωση. λαάει τη οφή δu [ τ δ] [ τ ] δ [ : δ ].8 Μέσω του εωήατος της απόκλισης του Gss η εταολή της εέγειας πααόφωσης γάφεται τελικά ως δ U [ τ ] δ τ δ : δ.9 Ωστόσο σύφωα ε το Mii 9 το τελευταίο ολοκλήωα της είσωσης.9 πειέχει το όο δ ο οποίος δε είαι αεάτητος του όου δ στη επιφάεια. Ο όος όος που είαι αεάτητος του δ στη επιφάεια είαι η κάετη συιστώσα δ. Έτσι διασπώτας το διαφοικό τελεστή αίδας σε εφαπτοεικά και κάετα έη στη επιφάεια το τελευταίο ολοκλήωα της είσωσης.9 γάφεται ή : δ : δ.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : δ [ δ] : δ. όπου είαι ο επιφαειακός τελεστής αίδας ο οποίος γάφεται ως. όπου είαι ο οαδιαίος ταυστής. Με τη οήεια τω ταυτοτήτω [ ] [ δ ] : [ δ : ] δ. και της είσωσης.7 από τη οποία ποκύπτει ότι ισχύει το τελευταίο ολοκλήωα της είσωσης. γάφεται : { [ ] [ δ : [ ]] δ} δ. Επιπλέο όπως αποδεικύεται στο Παάτηα Α.Ι ο πώτος υπό ολοκλήωση όος στο δεί έλος της είσωσης. ισούται ε [ δ] [ δ ] [ : ] δ. Επίσης το ολοκλήωα [ ] δ εαλείφεται στη πείπτωση που η επιφάεια είαι οαλή Παάτηα Α.ΙΙ εώ στη πείπτωση που η είαι ηοαλή γάφεται [ ] { δ : δ}. όπου είαι οι ακές που σχηατίζοται από τη τοή α... οαλώ επιφαειώ s ŝ είαι το οαδιαίο εφαπτοεικό διάυσα στις και οι αγκύλες υποδηλώου ότι η ποσότητα που επειέχου είαι η διαφοά τω ατίστοιχω τιώ της που λαάει εκατέωε τω. Ατικαιστώτας τις εισώσεις. και. στη είσωση. και το ποϊό της ατικατάστασης στη είσωση. η είσωση.9 γάφεται

ΘΕΩΡΙΑ ΒΑΘΜΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ δu [ τ ] δ τ : [ δ] ] δ : : δ { : δ} [.7 Η αποηκευέη εέγεια πααόφωσης οφείλεται στο πααγώεο έγο τω εωτεικώ δυάεω που ασκούται στο αοελαστικό έσο και είαι οι πεδιακές δυάεις f o fos οι επιφαειακές τάσεις ttio οι διπλές επιφαειακές τάσεις o ttio καώς και οι επιφαειακές τάσεις υπεπήδησης E sf jp ttio δ W { E δ } f δ [ δ] δ.8 Ως εκ τούτου χησιοποιώτας τη ισότητα δu δw οι εισώσεις. και.8 δίου τελικά τη είσωση ισοοπίας του γαικού ελαστικού έσου ε ικοδοή τ f.9 τις κλασικές συοιακές συήκες που πέπει α ικαοποιούται στη επιφάεια τ : [ : : ή/και ]. καώς επίσης και τις η-κλασικές συοιακές συήκες E : E ή/και. όπου και E είαι γωστές ποσότητες. Ο Mii 9 εωώτας έα ισότοπο ελαστικό υλικό ε ικοδοή και λαάοτας υπόψη ία ειδική πείπτωση της εωίας του Mii 9 ότι η πααόφωση σε ακοσκοπικό επίπεδο συπίπτει ε τη πααόφωση της ικοδοής πότειε ία τοποποιηέη οφή του όου του Hook εκφασέη ε τη οήεια τω παακάτω εισώσεω

ΚΕΦΑΛΑΙΟ σ τ s τ λ. s [ λ λ ] όπου είαι ο τελεστής του p σ ο ταυστής τάσεω τ και s ο ταυστής τάσης του h h stss και ο ταυστής σχετικώ τάσεω ατίστοιχα και ο ταυστής τω πααοφώσεω. Ο ταυστής συολικώ τάσεω συδέεται ε τη πααόφωση και τη αίδα της πααόφωσης ε τη οήεια πέτε αεάτητω σταεώ του υλικού λ ε τις δύο πώτες α ατιποσωπεύου τις γωστές ελαστικές σταεές του é.. Εισώσεις και συοιακές συήκες αοελαστικού έσου ε επιφαειακή εέγεια Στη ποηγούεη παάγαφο ε τη χήση του λογισού τω εταολώ ποέκυψε η είσωση ισοοπίας εός γαικού ελαστικού έσου ε ικοδοή καώς επίσης και οι συοιακές συήκες κλασικές και η-κλασικές εός πολήατος γεικευέης γαικής αοελαστικότητας Mii9. Στη παάγαφο αυτή δίοται οι ασικές εισώσεις και οι συοιακές συήκες που πέπει α ικαοποιούται από οποιοδήποτε γαικό ελαστικό υλικό ε ικοδοή όπως αυτό πειγάφεται ε τη εωία αοελαστικότητας τω okis 99. Η εωία αυτή ποεί α εωηεί ως ία ειδική πείπτωση της γεικευέης εωίας ελαστικότητας ε ικοδοή του Mii 9 και αποτελεί γείκευση του οοδιάστατου οτέλου του s 9 97 στις τεις διαστάσεις. Με άση τα πααπάω η εαγωγή της είσωσης ισοοπίας και τω συοιακώ συηκώ επιτυγχάεται λαάοτας αχικά τη εταολή της εέγειας πααόφωσης παάγαφος. και στη συέχεια εισάγοτας τις ασικές εισώσεις που ποτάηκα από τους okis 99. Η εωία αοελαστικότητας ε επιφαειακή εέγεια τω okis 99 συδέει το ταυστή τω διπλώ τάσεω ε το ταυστή τω σχετικώ τάσεω s σύφωα ε τις σχέσεις τ τ λt λ.

ΘΕΩΡΙΑ ΒΑΘΜΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ s όπου t είαι ο συτελεστής αίδας πααόφωσης και συτελεστής επιφαειακής εέγειας. είαι ο ιαπιστώεται εδώ πως η απλουστευέη εωία αοελαστικότητας ε επιφαειακή εέγεια τω okis 99 είαι ία ειδική πείπτωση της εωίας ελαστικότητας ε ικοδοή του Mii 9 και ποκύπτει εύκολα α κάποιος στις εισώσεις. έσει. Υιοετώτας έτσι τη απλουστευέη εωία τω okis 99 ε ατικατάσταση τω εισώσεω. στη είσωση.9 ποκύπτει η είσωση ισοοπίας εός γαικού ελαστικού έσου ε ικοδοή συατήσει του πεδίου ετατοπίσεω λ f λ. Η είσωση. σε συδυασό ε τις συοιακές συήκες. και. συιστού έα καλά τοποετηέο πόληα συοιακώ τιώ. Οι Ektos okis 998 απέδεια πως η λύση του πααπάω πολήατος συοιακώ τιώ είαι οαδική ότα όπως και στη κλασική ελαστικότητα ισχύει < < λ. καώς και < <. εασφαλίζοτας έτσι τη απαίτηση ότι κάε η ηδεική πααόφωση αποηκεύει στο έσο ετική ετατική εέγεια ε τους πειοισούς της είσωσης. α είαι ίδιοι ε αυτούς της κλασικής ελαστικότητας και το πειοισό της είσωσης. α υποδηλώει πως ο όος της επιφαειακής εέγειας δε υφίσταται δίχως το όο αίδας πααόφωσης δηλαδή δε επιτέπεται και. Ωστόσο είαι επιτεπτή η πείπτωση κατά τη οποία ο όος της επιφαειακής εέγειας είαι ηδεικός ταυτόχοα ε. Σηειώεται εδώ πως η τελευταία πείπτωση αποτελεί ία ειδική πείπτωση της εωίας αοελαστικότητας τω okis 99 και διατυπώηκε από τους iftis και συεγάτες iftis 99 t iftis 99 iftis 99 και ποκύπτει από τη είσωση. α εαλειφού οι όοι της επιφαειακής εέγειας. Σηειώεται πως οι εωίες τω okis 99 και iftis και συεγάτες iftis 99 t iftis 99 iftis 99

ΚΕΦΑΛΑΙΟ αποτελού τις πιο απλές -από αηατικής πλευάς- εωίες αοελαστικότητας αφού στη πώτη εισάγοται επιπλέο σταεές υλικού εκτός από τις σταεές εώ στη δεύτεη εισάγεται όο ία επιπλέο σταεά υλικού. Για λόγους σύγκισης αίζει α ααφεεί πως η πιο απλή οφή της εωίας του Mii 9 πειλαάει επιπλέο σταεές υλικού και η γεικότεή της οφή επλέκει 9 σταεές εώ η εωία τω Ε. F. osst 99 ή η ικοπολική ελαστική εωία του Ei Ei hi 9 Ei 9 98 πειλαάου επιπλέο ελαστικές σταεές. Τέλος παατηώτας τις εισώσεις... και. διαπιστώεται ότι οι όοι της επιφαειακής εέγειας εφαίζοται όο στις συοιακές συήκες γεγοός που καιστά καταστατικό το χαακτήα τω συηκώ.. Θεελιώδεις λύσεις στατικής αο-ελαστικότητας ε επιφαειακή εέγεια Στη εότητα αυτή παουσιάζοται οι εελιώδεις λύσεις εός άπεια εκτειόεου γαικού ελαστικού έσου ε ικοδοή. Ως εελιώδες διάυσα ετατόπισης οίζεται η ετατόπιση που δηιουγείται σε έα σηείο του απείως εκτειόεου έσου ε ικοδοή από τη δάση εός συγκετωέου οαδιαίου φοτίου σ έα σηείο. Η στατική εελιώδης λύση αποτελεί στη ουσία τη λύση της ακόλουης εικής διαφοικής είσωσης δ.7 όπου δ είαι η συάτηση δ-di το διάυσα έσης fi poit του σηείου υπολογισού του πεδίου τω ετατοπίσεω το οποίο οφείλεται σε οαδιαίο φοτίο που εφαόζεται στο σηείο και ο γαικός τελεστής λ λ.8 Σύφωα ε τη αποσύεση τω ταυστώ κατά Hhotz Dssios i η εελιώδης λύση όπου είαι δυατό α αποσυτεεί σε πειστοφικά iottio και σωληοειδή sooi έη ϕ.9 G

ΘΕΩΡΙΑ ΒΑΘΜΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ όπου ϕ το αωτό έγεος το διαυσατικό έγεος και G ία δυαδική συάτηση. Ατικαιστώτας τη είσωση.9 στη είσωση.7 και λαάοτας υπόψη τη σχέση δ π. όπου και τη ταυτότητα iv ot. η είσωση.7 παίει τη οφή [ λ ϕ ϕ ] λ [ G G ] π π. Εαιτίας τω πειστοφικώ και σωληοειδώ συατήσεω ϕ και G ατίστοιχα η είσωση. ικαοποιείται ταυτόσηα α ισχύει ότι και οι ϕ G αποτελού λύσεις τω παακάτω εισώσεω. π λ ϕ ϕ [ G G ]. π Το αωτό έγεος G που ικαοποιού τις εισώσεις. και. ατίστοιχα αποδεικύεται στο Παάτηα Β ότι έχου τη οφή ϕ και ο ταυστής ϕ π λ. G Ι Ι π. όπου και είαι σταεές και ίσες ε το ηδέ εφόσο για οι συατήσεις ϕ και G α πέπει α δίου έσω της είσωσης.9 τη εελιώδη λύση της κλασικής στατικής ελαστικότητας. Ατικαιστώτας τις εισώσεις. και. στη είσωση.9 και εωώτας ότι η στατική εελιώδης λύση της είσωσης.9 παίει τη τελική της οφή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ [ Ψ Ι Χ ].7 π όπου είαι ο λόγος oisso το οαδιαίο διάυσα στη διεύυση Ψ αωτές συατήσεις της οφής Χ και Χ.8 Ψ.9 Στη πείπτωση που ο συτελεστής αίδας πααόφωσης λαάει τη ηδεική τιή αποδεικύεται εύκολα πως οι συατήσεις Χ και Ψ έχου τη οφή Χ Ψ. οι οποίες αποτελού τις αωτές συατήσεις της εελιώδους λύσης της τισδιάστατης κλασικής ελαστοστατικότητας. Με τη ασυπτωτική αάλυση κατά o!!!. αποδεικύεται εύκολα ότι οι συατήσεις Χ και Ψ τω εισώσεω.8 και.9 ατίστοιχα είαι οαλές στη πείπτωση που και σύφωα ε τις ασυπτωτικές τους εκφάσεις Χ Ο Ψ Ο.. ιατύπωση ολοκληωτικής ταυτότητας τύπου tti για αοελαστικό έσο ε επιφαειακή εέγεια Στο πλαίσιο της γαικής εωίας ελαστικότητας η ολοκληωτική ταυτότητα του tti i Doiz 99 αποτελεί τη εελιώδη ολοκληωτική έκφαση από τη οποία ποκύπτου οι ολοκληωτικές ααπααστάσεις τω γαικώ ελαστικώ ποληάτω συοιακώ τιώ.

ΘΕΩΡΙΑ ΒΑΘΜΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 7 Στη παάγαφο αυτή παουσιάζεται η ολοκληωτική ταυτότητα για τη πείπτωση εός γαικού ελαστικού έσου ε ικοδοή. Θεωούε έα διάυσα w που πειγάφεται ως εής w σ σ. όπου σ και είαι ο ταυστής τω ολικώ τάσεω και το πεδίο τω ετατοπίσεω εός ελαστικού συεχούς σώατος ε ικοδοή όγκου και επιφάειας ατίστοιχα και σ σ είαι δύο πααοφωσιακές καταστάσεις του ιδίου σώατος. Με άση τις εισώσεις.α και.α η απόκλιση του διαύσατος w γάφεται [ τ τ ] w. Με τη χήση της ταυτότητας και πάλι [ τ ] τ τ :. η είσωση. ποεί γάφεται w [ τ s ] [ τ s ] τ : τ :. Ωστόσο όπως αποδεικύεται στο Παάτηα Γ.Ι ισχύει τ : τ :.7 και έτσι η είσωση. παίει τη οφή w [ τ ] [ τ ] : :.8 Στη συέχεια λαάοτας υπόψη το εώηα απόκλισης του Gss w w.9 και ατικαιστώτας τις εισώσεις. και.8 στη είσωση.9 ποκύπτει {[ ] [ ] } { : τ s τ s τ τ : } {[ ] [ τ s τ s ] }.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Τα πεδία σ και σ ικαοποιού τη είσωση ισοοπίας.9 ε πεδιακές δυάεις f και f ατίστοιχα και έτσι η σχέση. γάφεται { } { } { } : : t t τ τ f f. όπου s τ t είαι το διάυσα τω επιφαειακώ τάσεω που ατιστοιχεί στο ταυστή τω ολικώ τάσεω s τ σ και δα στη επιφάεια του σώατος. Η είσωση. ε τη χήση της δεύτεης ολοκληωτικής ταυτότητας του G γάφεται { } { } : : t t τ τ f f. και ε άση τη είσωση. η σχέση. παίει τη οφή Παάτηα Γ.ΙΙ { } { } { } : : t t f f. Λαάοτας υπόψη πως ο ταυστής δε είαι αεάτητος του διαύσατος τω ετατοπίσεω στη επιφάεια και πως όο η κάετη συιστώσα είαι αεάτητη του διαύσατος ε τη οήεια τω εισώσεω.-. η ολοκληωτική ταυτότητα αποκτά τη τελική της οφή { } { } f f. για οαλή επιφάεια συεχές οαδιαίο κάετο διάυσα και { } { } { } E E f f. για η-οαλή επιφάεια όπου τα διαύσατα τω επιφαειακώ τάσεω και E έχου τη οφή

ΘΕΩΡΙΑ ΒΑΘΜΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 9 τ : [ : : E : ]. Παατηείται εύκολα πως οι εισώσεις... και. για παέχου τη ολοκληωτική ταυτότητα του tti { f f } { t t }.7 όπου t είαι το διάυσα επιφαειακώ τάσεω t τ.. Ολοκληωτικές ααπααστάσεις ποληάτω αοελαστικότητας ε επιφαειακή εέγεια Η διατύπωση εός πολήατος ε τη οφή ολοκληωτικώ εισώσεω αποτελεί το οικοοικότεο τόπο έκφασής του αεάτητα από τη δυσκολία επίλυσης. Εα αοελαστικό πόληα ποεί α διατυπωεί ε τη οφή ολοκληωτικώ εισώσεω κάοτας χήση της ολοκληωτικής ταυτότητας όπως αυτή διατυπώηκε στη παάγαφο.. Στη παάγαφο αυτή παουσιάζοται οι ολοκληωτικές ααπααστάσεις του πολήατος αοελαστικότητας για τη γεική πείπτωση εός πεπεασέου τισδιάστατου αοελαστικού σώατος όγκου και η-οαλής επιφάειας η οποία πειλαάει για λόγους απλότητας και χωίς λάη της γεικότητας δύο οαλές επιφάειες και που τέοται σε ια κλειστή καπύλη. Θεωούε πως το πεδίο τω ετατοπίσεω το οποίο εφαίζεται στη ολοκληωτική ταυτότητα. είαι το αποτέλεσα ίας δύαης που δα στο σώα και είαι της οφής f δ.8 όπου δ είαι η συάτηση δ του Di και ê η διεύυση ιας οαδιαίας δύαης που δα στο σηείο του σώατος. Με άση το οισό της εελιώδους λύσης όπως αυτός δόηκε στη ποηγούεη παάγαφο ποκύπτει πως το πεδίο τω ετατοπίσεω ποεί α ααπαασταεί έσω του εελιώδους ταυστή τω ετατοπίσεω ο οποίος δίεται από τη είσωση.7 σύφωα ε τη σχέση.9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Με άση τη είσωση.9 και εωώτας ηδεικές πεδιακές δυάεις f η ολοκληωτική ταυτότητα. παίει τη οφή { } { } { } E E ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ δ. ή { } { } { } E E ] [ ] [ ] [ δ. Εά εωηεί πως η είσωση. ισχύει για κάε διεύυση ê και λαάοτας υπόψη τη συετία της εελιώδους ετατόπισης ποκύπτει η ολοκληωτική είσωση { } { } E E ] [ ] [ ] [. όπου ο ταυστής οοάζεται ταυστής ασυέχειας εατάται από τη έση του σηείου και ισούται ε.

ΘΕΩΡΙΑ ΒΑΘΜΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Στη πείπτωση που γίει χήση τω συολισώ U Q και E ατί τω και E ατίστοιχα η ολοκληωτική είσωση. λαάει τη οφή { } { } E E U Q U. Ότα η επιφάεια είαι οαλή η ολοκληωτική είσωση. έχει τη οφή { } Q U. Ααλυτικές εκφάσεις για τη εελιώδη λύση U καώς και για τους υπόλοιπους εελιώδεις πυήες τω εισώσεω. και. δίοται στο Παάτηα.Ι. Παατηείται ωστόσο πως η ολοκληωτική είσωση.8 πειέχει τία άγωστα πεδία και /. Αυτό γίεται αέσως ατιληπτό εά για παάδειγα στο σύοο πειγάφεται το επιφαειακό διάυσα τάσεω κλασικές συοιακές συήκες καώς και τα πεδία και E η-κλασικές συοιακές συήκες. Τότε τα άγωστα πεδία στη είσωση. είαι το πεδίο τω ετατοπίσεω και η αίδα ετατόπισης /. Συπεαίεται πως για το υπολογισό τω άγωστω πεδίω και απαιτείται η ύπαη ίας επιπλέο ολοκληωτικής είσωσης. Η τελευταία ποκύπτει εά στη ολοκληωτική είσωση. εφαοστεί ο τελεστής E E U Q U.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Για οαλό σύοο η ολοκληωτική είσωση. γάφεται Q U.7 Οι εελιώδεις πυήες που εφαίζοται στις εισώσεις. και.7 δίοται ααλυτικά στο Παάτηα.ΙΙ. Οι ολοκληωτικές εισώσεις. και. οοάζοται συοιακές ολοκληωτικές εισώσεις και σε συδυασό ε τις συοιακές συήκες κλασικές και η-κλασικές. και. αποτελού έα καλά τοποετηέο πόληα συοιακώ τιώ στη αοελαστικότητα. Τέλος σύφωα ε τις σχέσεις.γ και. ο υπολογισός τω πααοφώσεω και τω h τάσεω τ ατίστοιχα επιτυγχάεται ε τη οήεια της αίδας της ετατόπισης είσωση. { } { } E E U Q U.8 όπου όλοι οι πυήες της πααπάω ολοκληωτικής είσωσης δίοται στο Παάτηα.ΙΙΙ. Οι h τάσεις τ διπλές τάσεις οι σχετικές τάσεις s και οι ολικές τάσεις σ υπολογίζοται ε τη οήεια αώτεης τάης πααγώγω της ολοκληωτικής είσωσης. καώς και ε τη οήεια τω σχέσεω. και.α ατίστοιχα { } { } E U Q U E τ.9

ΘΕΩΡΙΑ ΒΑΘΜΟΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ { } { } E U Q U E.7 { } { } E U Q U E s.7 { } { } E E U U Q Q U U E σ.7 Οι πυήες.7 U U U U.7 Q Q Q Q.7.7 E E E E.77 δίοται στο Παάτηα.Ι. Όλες οι αώτεης τάης αίδες τω πααπάω πυήω που είαι απααίτητες για το υπολογισό τω διπλώ τάσεω είσωση.7 τω σχετικώ τάσεω s είσωση.7 και τω ολικώ τάσεω σ είσωση.7 δίοται στα Παατήατα. και..

Κεφάλαιο Μέοδος Συοιακώ Στοιχείω Με τη έοδο τω Συοιακώ Στοιχείω επιτυγχάεται η αιητική επίλυση του συστήατος τω ολοκληωτικώ εισώσεω.8 και.88 που πειγάφει έα τισδιάστατο πόληα αοελαστικότητας. Στο παό κεφάλαιο παουσιάζοται τα ασικά στοιχεία του αλγοίου που χησιοποιήηκε για τη επίλυση ποληάτω αοελαστικότητας. Πεισσότεες πληοφοίες για τη έοδο τω Συοιακώ Στοιχείω ποεί α ει κάποιος στα ιλία τω j 98 Mois skos 988 i Doiz 99 και o iv 99 καώς και στις εγασίες skos 987 997.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Αιητική επίλυση ολοκληωτικώ εισώσεω αοελαστικότητας ε τη έοδο τω Συοιακώ Στοιχείω Έα καλά οισέο πόληα συοιακώ τιώ στο πλαίσιο της εωίας της αοελαστικότητας πειγάφεται από το σύστηα τω δύο ολοκληωτικώ εισώσεω. και. ε τις συοιακές συήκες. και.. Η αιητική επίλυσή του επιτυγχάεται ε τη εφαογή της εόδου τω Συοιακώ Στοιχείω. Κύιος στόχος της επίλυσης είαι ο ποσδιοισός τω ετατοπίσεω της αίδας τω ετατοπίσεω τω επιφαειακώ τάσεω και τω διπλώ επιφαειακώ τάσεω. Το σύστηα τω ολοκληωτικώ εισώσεω της αοελαστικότητας γάφεται { } U { Q }. Q U. Με σκοπό τη αιητική επίλυση του συστήατος τω εισώσεω. και. ε τη ΜΣΣ η επιφάεια ποσεγγίζεται από ία σειά στοιχείω σχήα.α. Στις τεις διαστάσεις τα συοιακά στοιχεία είαι καπύλα τετάπλευα it ή τίγωα ti δευτέου αού σχήα.. Έτσι α ο συολικός αιός τω συοιακώ στοιχείω είαι E ισχύει E.

ΜΕΘΟ ΟΣ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ 7 X X X X X X α Σχήα.: α ιακιτοποίηση της επιφάειας σε συοιακά στοιχεία καπύλα τετάπλευα και τίγωα συοιακά στοιχεία. Με άση τη είσωση. το σύστηα τω ολοκληωτικώ εισώσεω. και. γάφεται ως εής E { U } E { Q }. E U E Q... Επιφαειακά συοιακά στοιχεία Μέσα σε κάε στοιχείο του συόου εωείται πως η εταολή τω διαυσατικώ πεδίω και του διαύσατος έσης ποεί α ποσεγγιστεί ε τη οήεια πολυωυικώ συατήσεω. Για α επιτευχεί η ποσέγγιση αυτή σε κάε στοιχείο οίζεται έας αιός Q κόω πάω στους οποίους οι τιές του διαύσατος έσης είαι γωστές εώ οι τιές τω πεδίω είαι είτε γωστές είτε πέπει α υπολογιστού. Παάλληλα ε τη διακιτοποίηση του συόου εισάγεται και έα τοπικό πααετικό σύστηα συτεταγέω. Με το τόπο αυτό κάε στοιχείο ετασχηατίζεται σε οαδιαίο τετάγωο ή οαδιαίο ισόπλευο τίγωο αάλογα ε το είδος του σχήα.. Οι τοπικές αεάτητες συτεταγέες παίου τιές

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ στο διάστηα [ ] ότα πόκειται για τετάπλευο στοιχείο και στο διάστηα [ ] ότα πόκειται για τιγωικό στοιχείο. - 7 8 9 - - - α 8 7 9 Σχήα.: α Συεχή δευτεοάια στοιχεία στο τοπικό πααετικό σύστηα συτεταγέω Πλήως ασυεχή δευτεοάια στοιχεία στο τοπικό πααετικό σύστηα συτεταγέω. Με τη εισαγωγή του τοπικού συστήατος συτεταγέω το διάυσα έσης και οι συατήσεις και ποσεγγίζοται σε οποιοδήποτε σηείο του στοιχείου έσω τω παακάτω σχέσεω Q Φ Q. Q Q.7 Q.8

ΜΕΘΟ ΟΣ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ 9 Q Q Q.9 όπου Q. είαι το διάυσα έσης του κόου και οι επικόιες τιές τω ατίστοιχω συατήσεω. Οι πολυωυικές συατήσεις Φ και οοάζοται συατήσεις οφής shp ftios και συατήσεις παεολής itpotio ftios ατίστοιχα. Έχου δε τη ιδιότητα α παίου τη τιή πάω στο κόο και τη τιή πάω σε οποιοδήποτε άλλο κόο και α εασφαλίζεται έτσι ότι οι επικόιες τιές τω συατήσεω είαι αεάτητες η ία από τη άλλη. Επίσης για τις συατήσεις Φ και ισχύει Q Φ και Φ Q i i i. Γεικά η ποσέγγιση της γεωετίας και τω πεδίω ποεί α γίει ε πολυώυα διαφοετικού αού και συεπώς ε στοιχεία ε διαφοετικό αιό κόω. Στη παούσα εοδολογία χησιοποιείται η ισοπααετική διατύπωση δηλαδή η ποσέγγιση της γεωετίας και τω πεδίω ε ίσου αού πολυώυα. Πιο συγκεκιέα τα πολυώυα που χησιοποιούται είαι δευτέου αού ως πος κάε τοπική εταλητή και τα στοιχεία οοάζοται δευτεοάια ti συοιακά στοιχεία. Ο αιός τω κόω τω δευτεοάιω στοιχείω είαι Q 9 για τα τετάπλευα και Q για τα τιγωικά. Οι έσεις τω κόω τω δευτεοάιω στοιχείω όπως και η τοπική αίησή τους φαίοται στο σχήα.. Η ποσέγγιση της γεωετίας γίεται δυατή ε τη χήση συεχώ στοιχείω otios ts όπου οι πλευές συπίπτου ε τα όια του στοιχείου σχήα.α. Ωστόσο για τη ποσέγγιση τω πεδίω εκτός από τα συεχή χησιοποιούται και τα ασυεχή στοιχεία οι πλευές τω οποίω υπάχει πείπτωση α η οίζοται στα όιά τους. Τα στοιχεία αυτά οοάζοται εικώς ή πλήως ασυεχή στοιχεία pti o f isotios ts αάλογα ε το α εικές ή όλες οι πλευές τους δε συπίπτου ε τα όια του γεωετικού στοιχείου. Οι έσεις τω κόω τω ασυεχώ στοιχείω φαίοται στο σχήα.. Η ακιής έση τω κόω εός ασυεχούς στοιχείου καοίζεται από τις σταεές i ε i E όπου E είαι ο αιός τω πλευώ του στοιχείου. Η τιή του i ποσδιοίζεται αιητικά και οι τιές που έχου ποταεί από τους ttso hikh 98 ως έλτιστες είαι για τα τετάπλευα και τα οοδιάστατα στοιχεία και για τα τιγωικά. i i

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τα ασυεχή στοιχεία χησιοποιούται στις πειπτώσεις που το οαδιαίο κάετο διάυσα δε οίζεται. Τέτοιες πειπτώσεις είαι η απότοη εταολή της γεωετίας η αλλαγή τω συοιακώ συηκώ η αλλαγή τω ιδιοτήτω του υλικού κ.α. Επιπλέο ε τη χήση τω ασυεχώ στοιχείω σε γωίες αποφεύγεται ο υπολογισός του ταυστή είσωση.8 γιατί στο εσωτεικό του στοιχείου το σύοο είαι οαλό εταάλλεται ως συάτηση δευτέου αού και τότε ο ταυστής ασυέχειας υπολογίζεται ε άση τη είσωση.8γ. Ααλυτικά οι εκφάσεις τω συατήσεω οφής Φ τω συατήσεω παεολής καώς και τω πααγώγω τους δίοται στο Παάτηα Ε... Ιακωιαή του ετασχηατισού από το κατεσιαό στο τοπικό πααετικό σύστηα συτεταγέω Στη ποηγούεη υποπαάγαφο πειγάφεται ο τόπος ε το οποίο εκφάζοται στο τοπικό σύστηα συτεταγέω τόσο η γεωετία όσο και τα διαυσατικά πεδία. Είαι όως απααίτητο α εκφαστού στο τοπικό σύστηα τα όια ολοκλήωσης και το ολικό διαφοικό. Το ολικό διαφοικό στο τοπικό σύστηα συτεταγέω γάφεται. όπου είαι το έτο της Ιακωιαής του ετασχηατισού. Γεωετικά οι ποσότητες που επλέκοται στο ετασχηατισό από το ολικό στο τοπικό σύστηα συτεταγέω φαίοται στο σχήα.. X X X Σχήα.: Μετασχηατισός από το ολικό στο τοπικό σύστηα συτεταγέω στις τεις διαστάσεις.

ΜΕΘΟ ΟΣ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ.. Ολοκληωτικές εισώσεις αοελαστικότητας στο τοπικό σύστηα συτεταγέω - ιαόφωση τελικού αλγεικού συστήατος εισώσεω Με τη διακιτοποίηση της συοιακής επιφάειας σε δευτεοάια στοιχεία τόσο η γεωετία όσο και τα πεδία ποού α πειγαφού ε τη οήεια τω τιώ τους στους κόους τω στοιχείω. Έτσι οι δύο ολοκληωτικές εισώσεις. και. οι οποίες ααφέοται σε κάποιο συοιακό σηείο ποού α γαφού για έα τυχαίο κόο k ε το k α παίει τιές από έως όπου είαι ο συολικός αιός τω κόω όλω τω στοιχείω. Με ατικατάσταση τω εισώσεω.7.8.9. και. οι ολοκληωτικές εισώσεις. και. παίου τη εής οφή E Q E Q E Q E Q k Hk Kk Gk k. E Q E Q E Q E Q k k k k Wk. όπου k H. k k K. k k G U.7 k k Q.8 k k k.9 k k. k U k. k Q W k.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Σε κάε ζεύγος τιώ ατιστοιχεί έας οαδικός αιός κόου της συολικής αίησης τω κόω της διακιτοποιηέης επιφάειας. Ωστόσο ε τη χήση συεχώ ή και εικώς ασυεχώ στοιχείω υπάχου κοιοί κόοι εταύ τω στοιχείω. Στη πείπτωση αυτή έας κόος ατιστοιχεί σε πεισσότεα από έα ζεύγη. Όως αιοποιώτας το γεγοός ότι οι τιές τω πεδίω και είαι οαδικά οισέες στους κοιούς κόους το διπλό άοισα τω σχέσεω ποεί α ατικατασταεί από έα άοισα πάω στους κόους της συολικής αίησης. Έτσι οι εισώσεις. και. γάφοται G K H k k k k k. W k k k k k. όπου είαι ο αιός του κόου που ατιστοιχεί στο κόο του στοιχείου της διακιτοποιηέης επιφάειας. Έτσι οι ολοκληωτικές εισώσεις της αοελαστικότητας έχου γαφτεί για έα τυχαίο κόο k. Εά η διαδικασία επααληφεί για όλους τους κόους ποκύπτει έα διπλό γαικό σύστηα αλγεικώ εισώσεω που έχει τη ακόλουη ητωική οφή { } {} { } { } G K H. { } {} { } { } W. ή { } {} { } { } G K H.7 { } {} { } { } W.8 όπου οι συιστώσες τω διαυσάτω { } { } { } και { } είαι οι επικόιες τιές τω ετατοπίσεω της αίδας τω ετατοπίσεω τω επιφαειακώ τάσεω και τω διπλώ επιφαειακώ τάσεω ατίστοιχα γωστές και άγωστες. Τα ητώα H K G και W πειέχου όλα τα ατίστοιχα υποητώα που δίοται από τα ολοκληώατα... Οι κάτω δείκτες στις εισώσεις. και. δηλώου τις διαστάσεις τω ητώω και τω διαυσάτω.

ΜΕΘΟ ΟΣ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Με εφαογή τω συοιακώ συηκώ.-. και.-. για τη στατική και δυαική αοελαστικότητα ατίστοιχα για κάε κόο της συοιακής επιφάειας οι εισώσεις.7 και.8 οδηγού στο ακόλουο γαικό αλγεικό σύστηα εισώσεω [ ] { X } { }.9 Το σύστηα αυτό λαάεται έσω της εταφοάς τω γωστώ επικόιω τιώ αζί ε τις ατίστοιχες τιές τω ολοκληωάτω στο δεί έλος τω εισώσεω.7 και.8 και της ταυτόχοης εταφοάς τω άγωστω επικόιω τιώ ε τις τιές τω ατίστοιχω ολοκληωάτω στο αιστεό έλος. Εποέως [Α] είαι το ητώο συτελεστώ το οποίο πειέχει στοιχεία τω [ H ] [ K ] [ G ] [ ] [ ] [ ] [ ] και [ W ] {} είαι το διάυσα τω συοιακώ αγώστω και {Β} είαι το διάυσα τω γωστώ τιώ το οποίο πειέχει γιόεα στοιχείω τω [ H ] [ K ] [ G ] [ ] [ ] και W ε τις ποκαοισέες συοιακές τιές... Συετία και ατισυετία ως πος τα επίπεδα του κατεσιαού συστήατος συτεταγέω Η αιητική επίλυση εός πολήατος συοιακώ τιώ κάοτας χήση της εωίας αοελαστικότητας ποεί α καταστεί σύτοη και ε τη λιγότεο δυατή υπολογιστική ισχύ εφόσο ληφεί υπόψη η συετία ή ατισυετία που τυχό υπάχει ως πος κάποιο ή κάποια από τα επίπεδα του κατεσιαού συστήατος συτεταγέω. Σε έα πόληα η συετία ή ατισυετία αυτή ααφέεται στη γεωετία και στις συοιακές συήκες του πολήατος που οδηγού σε συετικά ή ατισυετικά πεδία. Εφαόζοτας τη συετία ή ατισυετία γίεται διακιτοποίηση όο εός τήατος της επιφάειας του συόου εώ η υπόλοιπη δηιουγείται ε φαταστικές ποολές ως πος τα επίπεδα συετίας. Αυτό έχει ως αποτέλεσα οι ολοκληώσεις τω. και. α γίοται ε πάω σε όλη τη επιφάεια αλλά οι αοί ελευείας τω φαταστικώ τηάτω αάγοται στους αούς ελευείας όο του διακιτοποιηέου τήατος έσω τω παακάτω σχέσεω συετίας και ατισυετίας: Ότα τα πεδία παουσιάζου συετία ως πος το επίπεδο κάετο στο X i άοα οι συιστώσες τω πεδίω σε έα κόο k συδέοται ε τις ατίστοιχες στο συετικό s του κόου k ε το εής τόπο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ j j j j s j s j s j s j s j j s j j j i και j i s. j j s j j Όοια ότα τα πεδία είαι ατισυετικά οι ατίστοιχες συιστώσες τους στους s κόους k και k συδέοται ε τις παακάτω σχέσεις j j j j ti j ti j ti j ti j ti j j ti j j j i και j i ti. j j ti j j Εδεικτικά η συετία και ατισυετία για το πεδίο τω διπλώ επιφαειακώ τάσεω ως πος το επίπεδο X X απεικοίζοται στο σχήα.. k s k s s s k s k ti ti ti X X X α Σχήα.: α Συετία πεδίω Ατισυετία πεδίω. Αιητικός υπολογισός ολοκληωάτω Στο υποκεφάλαιο.. πειγάφεται ο τόπος ε το οποίο γίεται η διαόφωση του τελικού συστήατος αλγεικώ εισώσεω. Είαι φαεό όως πως ποέχει ο υπολογισός τω ολοκληωάτω.. και άλιστα ε τη απαίτηση α είαι ακιής και ταχύς. Με το τόπο αυτό εασφαλίζεται η αποτελεσατικότητα της εόδου τω συοιακώ στοιχείω. Το είδος τω ολοκληωάτω καοίζεται από τη συπειφοά τω εελιωδώ λύσεω της αοελαστικότητας αφού οι υπόλοιπες ποσότητες είαι πολυωυικές.

ΜΕΘΟ ΟΣ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Τα ολοκληώατα.. έσω της ατιστοιχίας γάφοται ισοδύαα k k H. k k K. k k U G. k k Q. k k. k k Q.7 k k U.8 k k Q W.9 Στη πείπτωση που ο κόος k για το οποίο γάφοται οι ολοκληωτικές εισώσεις δε συπίπτει ε το κόο τότε τα ολοκληώατα χαακτηίζοται ως οαλά osi. Στη πείπτωση που οι δύο κόοι ταυτίζοται τα ολοκληώατα χαακτηίζοται ως ιδιόοφα si. Πιο συγκεκιέα ότα οι κόοι και k ταυτίζοται τα ολοκληώατα. και.9 παουσιάζου ια ασεή ιδιοοφία wk siit της τάης του O τα ολοκληώατα. και.7 παουσιάζου ισχυή ιδιοοφία sto siit της τάης του O και υπάχου ε τη έοια της πωτεύουσας τιής κατά h εώ το ολοκλήωα της είσωσης. είαι υπέ-ιδιόοφο της τάης του O hp-si it. Ότα οι κόοι και k δε ταυτίζοται αλλά η απόσταση από το υπό ολοκλήωση στοιχείο είαι πολύ ικότεη σε σχέση ε τη διάσταση του στοιχείου τότε τα ολοκληώατα χαακτηίζοται ως σχεδό ιδιόοφα si.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Στη παούσα διατιή τα οαλά και τα σχεδό ιδιόοφα ολοκληώατα ατιετωπίζοται ε τη έοδο Gss- και τα σηεία ολοκλήωσης ποσδιοίζοται αυτόατα και ε έλτιστο τόπο ε τη τεχική ποσαογής τω σηείω ολοκλήωσης του 997. Στα ασεώς ιδιόοφα ολοκληώατα η ιδιοοφία αίεται ε ετασχηατισό και ολοκλήωση σε πολικές συτεταγέες. Τα ισχυώς ιδιόοφα και υπέ-ιδιόοφα ολοκληώατα ατιετωπίζοται ε τη έοδο του Giii 99 και H t. 99 ατίστοιχα. Επίσης λεπτοέειες σχετικά ε τη αιητική ατιετώπιση τω ιδιόοφω και υπε-ιδιόοφω ολοκληωάτω ποεί καείς α ει στις εγασίες τω Giii sii 987 Giii Git 99 και Giii 998... Οαλά και σχεδό ιδιόοφα ολοκληώατα Στη πείπτωση που οι κόοι και k δε ταυτίζοται η εταύ τους απόσταση είαι διάφοη του ηδεός και εποέως οι ολοκληωτέες ποσότητες συπειφέοται ως οαλές συατήσεις. Τα οαλά αυτά ολοκληώατα υπολογίζοται ε εγάλη ακίεια ε τη αιητική έοδο Gss-. Λεπτοέειες για τη έοδο Gss- κίεται σκόπιο α η δοού στο σηείο αυτό αφού αυτές ποού α εού οπουδήποτε αλλού όπως για παάδειγα στο ιλίο τω ss t. 99. Ε συτοία σύφωα ε τη έοδο αυτή το ολοκλήωα ιας οαλής συάτησης στο διάστηα [ ] ισούται ε το άοισα τω τιώ της συάτησης σε ποκαοισέα σηεία πολλαπλασιασέες ε ατίστοιχα ποκαοισέα άη. Ότα χησιοποιούται τεταγωικά συοιακά στοιχεία τότε η εφαογή της εόδου Gss- ποεί α γίει άεσα γιατί ικαοποιείται η απαίτηση της εόδου σχετικά ε το διάστηα ολοκλήωσης. Για τιγωικά συοιακά στοιχεία απαιτείται έας επιπλέο ετασχηατισός ώστε τα διαστήατα ολοκλήωσης α συπέσου ε το και α εφαοστεί έτσι η έοδος Gss-. διάστηα Τελικά σύφωα ε τη έοδο Gss- τα διπλά ολοκληώατα.-.9 γάφοται H. k ww k ww k s s s s s s k s s s s s s K. k wwu k ww Q k s s s s s s G. k s s s s s s.