ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάσαµε την κίνηση ενός υλικού σηµείου υπό την επίδραση µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού σηµείου έχοµε ένα στερεό σώµα. Η µελέτη της κίνηση ενός στερεού σώµατος δεν είναι εύκολη υπόθεση και σίγουρα υπερβαίνει κατά πολύ το επίπεδο του παρόντος µαθήµατος. Για να εισαγάγοµε µε φυσικό τρόπο τις έννοιες της ροπής δύναµης και στροφορµής θα περιοριστούµε στην περιστροφή στερεού σώµατος περί σταθερό άξονα. 7. Ροπή δύναµης Ας θεωρήσοµε ένα στερεό σώµα που µπορεί να περιστρέφεται περί τον σταθερό άξονα, ο οποίος, ας δεχτούµε χωρίς να είναι απαραίτητο, διέρχεται από το σώµα. Επιλέγοµε το επίπεδο να τέµνει το στερεό σώµα και θεωρούµε ένα σηµείο P του σώµατος που να βρίσκεται στο επίπεδο. Έστω ότι οι συντεταγµένες του σηµείου P είναι (,,). Εποµένως η διανυσµατική ακτίνα του σηµείου P είναι ˆ, (7.) όπου + και ˆ cosθ ˆ + snθ ˆj είναι το µοναδιαίο ακτινικό διάνυσµα. Εδώ θεωρήσαµε ότι η γωνία που σχηµατίζει η διανυσµατική ακτίνα µε τον άξονα είναι θ, δηλαδή cosθ και snθ. Ας θεωρήσοµε τώρα ότι το σώµα περιστρέφεται κατά απειροστή γωνία d θ. Ας δούµε πόση είναι η µεταβολή d της διανυσµατικής ακτίνας. Κατά την περιστροφή το µέτρο του διανύσµατος, δηλαδή το, παραµένει σταθερό. Άρα, µε παραγώγιση της (6.) έχοµε d d dˆ d dθ ˆ + + (cosθ ˆ + snθ ˆ) j ( snθ ˆ + cosθ ˆj ). (7.) Αλλά, όπως είδαµε στο Παράδειγµα.5, το διάνυσµα στην παρένθεση είναι το µοναδιαίο (εφαπτόµενο στον κύκλο) διάνυσµα θˆ, ˆ θ snθ ˆ + cosθ ˆj. (7.) Έτσι, πολλαπλασιάζοντας µε το αµφότερα τα µέλη της (7.) παίρνοµε d dθ ˆ θ. (7.) Το αποτέλεσµα (7.) θα µπορούσαµε να το γράψοµε κατ ευθείαν, χωρίς να κάνοµε πράξεις, διότι το µέτρο της µεταβολής d είναι dθ, δηλαδή είναι το µήκος τόξου που διέγραψε το σηµείο P µετά από περιστροφή κατά γωνία d θ. Επίσης, η

κατεύθυνση της κίνησης του σηµείου P είναι αυτή του µοναδιαίου διανύσµατος θˆ. Άρα η (7.) είναι προφανής. Ας θεωρήσοµε τώρα ότι στο σηµείο P ασκείται δύναµη F F ˆ+ F ˆj και ότι λόγω αυτής της δύναµης το στερεό σώµα περιστρέφεται περί τον άξονα κατά γωνία d θ. Το έργο λοιπόν που έκανε η δύναµη είναι dw F d ( F ˆ + F ˆ) j dθ ˆ θ ( F ˆ + F ˆ) j dθ ( snθ ˆ + cosθ ˆ) j F sn θ dθ + F cosθ dθ F dθ + F dθ ( F F dθ, (7.5) ) που έχει κάπως περίεργη µορφή. Στη µονοδιάστατη κίνηση, ας πούµε στον άξονα, το έργο της δύναµης F για µετατόπιση κατά d είναι dw F d, από την οποία θα µπορούσε κα γράψει κανείς εξίσωση (7.5) έχοµε F dw / d. Αν κάνοµε κάτι παρόµοιο στην F F dw dθ. (7.6) / Βλέποµε λοιπόν ότι, για το ίδιο έργο dw, στην περιστροφή εµφανίζεται η ποσότητα F που θα τη λέµε ροπή της δύναµης F ως προς την αρχή των αξόνων. F Όπως θα δούµε αµέσως παρακάτω, η ροπή της δύναµης F ορίζεται ως διανυσµατικό µέγεθος και η ποσότητα που εµφανίζεται στην εξίσωση (7.6) είναι η -συνιστώσα της ροπής. Γι αυτό εµφανίζεται ως βαθµωτό µέγεθος. Ορισµός: Αν είναι η διανυσµατική ακτίνα ενός σηµείου στο οποίο δρα η δύναµη F, τότε η ροπή της δύναµης F ως προς την αρχή των αξόνων ορίζεται ως τ F, (7.7) όπου το συµβολίζει το λεγόµενο εξωτερικό γινόµενο δυο διανυσµάτων (βλ. Κεφάλαιο 6). Στην ειδική περίπτωση που εξετάσαµε παραπάνω, δηλαδή την περιστροφή στερεού σώµατος περί τον σταθερό άξονα, όπου τα διανύσµατα και F είχαν µόνο και συνιστώσες, γράφοµε τ F ˆ ˆj kˆ ( ˆ + ˆ) j ( F ˆ + F ˆ) j ( F F ) kˆ. (7.8) F F Το εξωτερικό γινόµενο δυο διανυσµάτων είναι µια ορίζουσα µε πρώτη γραµµή τα µοναδιαία διανύσµατα ˆ, ˆ, j kˆ, µε δεύτερη γραµµή τις συνιστώσες του πρώτου

διανύσµατος και µε τρίτη γραµµή τις συνιστώσες του δεύτερου διανύσµατος. Το ανάπτυγµα της ορίζουσας αυτής γίνεται πάντοτε κατά µήκος της πρώτης γραµµής. Αυτό σηµαίνει ότι το εξωτερικό γινόµενο δυο διανυσµάτων είναι διάνυσµα. Είναι προφανές από τα παραπάνω ότι η υπο-ορίζουσα του î είναι µηδέν και οµοίως για την υπο-ορίζουσα του ĵ. Μόνο η υπο-ορίζουσα του kˆ είναι διάφορη του µηδενός και ίση µε την ποσότητα (7.6), δηλαδή τ F F. 7. Στροφορµή υλικού σηµείου Θα δούµε τώρα πως εµφανίζεται µε φυσική τρόπο η στροφορµή. Ας ξεχάσοµε προς το παρόν το στερεό σώµα που εξετάσαµε παραπάνω και ας θεωρήσοµε ότι στο σηµείο P υπάρχει ένα υλικό σηµείο µάζας m, πάνω στο οποίο ασκείται δύναµη F F ˆ+ F ˆj. Όπως είδαµε παραπάνω, η -συνιστώσα της ροπής της δύναµης F είναι τ F F. (7.9) Από τον εύτερο Νόµο του Νεύτωνα για το υλικό σηµείο µάζας m έχοµε ότι d Αντικαθιστώντας στην (7.9) έχοµε F m και m d F. (7.) Αλλά, d m d d m d d τ m m. (7.) d d d d d d m + m m m Έτσι, η (7.) γράφεται d d m m. (7.) d ( mu mu ) ( p p ) d d d d τ m m, (7.) όπου u και u είναι οι συνιστώσες της ταχύτητας του υλικού σηµείου και είναι οι αντίστοιχες συνιστώσες της ορµής. Η ποσότητα ( p ) p, που εµφανίζεται στην (7.) µας θυµίζει τη -συνιστώσα εξωτερικού γινοµένου διανυσµάτων. p, p

Ορισµός: Αν είναι η διανυσµατική ακτίνα ενός υλικού σηµείου µάζας m στο οποίο δρα η δύναµη F, τότε η στροφορµή του υλικού σηµείου ως προς την αρχή των αξόνων ορίζεται ως l p, (7.) όπου το συµβολίζει το λεγόµενο εξωτερικό γινόµενο δυο διανυσµάτων (βλ. Κεφάλαιο 6). Στην ειδική περίπτωση που εξετάσαµε εδώ, δηλαδή την κίνηση υλικού σηµείου στο επίπεδο, γράφοµε ˆ ˆj kˆ l p ( ˆ + ˆ) j ( p ˆ + p ˆ) j ( p p ) kˆ (7.5) p p και η στροφορµή l έχει µόνο -συνιστώσα. Έτσι, η εξίσωση (7.) γράφεται ως όπου d l τ, (7.6) l p p είναι η -συνιστώσα της στροφορµής του υλικού σηµείου. Η εξίσωση (7.6) δεν είναι τίποτε άλλο παρά ο εύτερος Νόµος του Νεύτωνα γραµµένος µε τη χρήση της ροπής δύναµης και της στροφορµής. Παρατήρηση: Στην ειδική περίπτωση που το υλικό σηµείο κάνει κύκλο ακτίνας, η διανυσµατική ακτίνα του και η ορµή του p είναι κάθετα διανύσµατα και η στροφορµή του υλικού σηµείου µπορεί να γραφεί ως l p ˆ p ˆ θ pkˆ, (7.7) διότι ˆ θ ˆ kˆ, κατ αναλογία προς τις σχέσεις (6.5). 7. Στροφορµή στερεού σώµατος Τώρα που ξέροµε τι είναι η στροφορµή υλικού σηµείου, µπορούµε νε εξετάσοµε τη στροφορµή στερεού σώµατος, αφού τα στερεά σώµατα αποτελούνται από άτοµα, που µπορούµε να τα θεωρήσοµε σαν υλικά σηµεία. Ας θεωρήσοµε ξανά ένα στερεό σώµα, που µπορεί να περιστρέφεται περί τον σταθερό άξονα. Έστω ότι το στερεό σώµα αποτελείται από άτοµα. Το τυχόν άτοµο έχει µάζα m και απόσταση από τον άξονα. Αν το στερεό σώµα είναι κράµα πολλών στοιχείων, οι µάζες m δεν είναι όλες ίδιες. Όλες οι µάζες εκτελούν κύκλους κατά την περιστροφή του στερεού σώµατος.

Για το τυχόν άτοµο γράφοµε για τη στροφορµή του, σύµφωνα µε την (7.7), l p m u mω ω m, (7.8) όπου ω είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του στερεού σώµατος περί τον σταθερό άξονα. Έτσι, η ολική στροφορµή του στερεού σώµατος είναι l ω m ω, (7.9) όπου ορίσαµε το τον άξονα. m ως τη ροπή αδράνειας του στερεού σώµατος ως προς Από τον ορισµό της ροπής αδράνειας στερεού σώµατος ως προς τον άξονα, που είναι το άθροισµα των γινοµένων των µαζών του επί το τετράγωνο των αποστάσεών τους από τον άξονα, µπορούµε να γενικεύσοµε τον ορισµό για συνεχείς κατανοµές µάζας. Έτσι, όπως στο Κεφάλαιο, θεωρούµε στερεό σώµα µάζας M µε πυκνότητα ρ και θεωρούµε επίσης έναν απειροστό όγκο του σώµατος dv που απέχει από τον άξονα απόσταση. Σ αυτόν τον όγκο υπάρχει η απειροστή µάζα dm ρ dv. Κατ αναλογία λοιπόν προς τη ροπή αδράνειας για διακριτά υλικά σηµεία γράφοµε dm ( V ) ( V ) ρ dv, (7.) όπου το σύµβολο (V ) στο ολοκλήρωµα σηµαίνει ότι πρέπει να ολοκληρώσοµε ως προς όλον τον όγκο V του στερεού σώµατος. Αν το στερεό σώµα έχει αµελητέο πάχος, τότε το ολοκλήρωµα γίνεται ως προς την επιφάνεια του σώµατος. Αν το στερεό σώµα είναι λεπτό σύρµα, τότε το ολοκλήρωµα γίνεται ως προς την γραµµή που διατρέχει το σώµα. 7. Κινητική ενέργεια στερεού σώµατος Ας θεωρήσοµε ξανά ένα στερεό σώµα, που µπορεί να περιστρέφεται περί τον σταθερό άξονα. Έστω ότι το στερεό σώµα αποτελείται από άτοµα. Το τυχόν άτοµο έχει µάζα m και απόσταση από τον άξονα. Αν το στερεό σώµα είναι κράµα πολλών στοιχείων, οι µάζες m δεν είναι όλες ίδιες. Όλες οι µάζες εκτελούν κύκλους κατά την περιστροφή του στερεού σώµατος. Για το τυχόν άτοµο γράφοµε για την κινητική ενέργειά του m u mω m ω, (7.) όπου ω είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του στερεού σώµατος περί τον σταθερό άξονα. Έτσι, η ολική κινητική ενέργεια του στερεού σώµατος είναι

T ω m ω, (7.) όπου ορίσαµε το τον άξονα. m ως τη ροπή αδράνειας του στερεού σώµατος ως προς Παράδειγµα 7.: ίνεται συρµάτινο πλαίσιο, σχήµατος ρόµβου, στο επίπεδο, γραµµικής πυκνότητας λ (οι µονάδες είναι kg/m), µε κορυφές στα σηµεία (,),(,),(,),(, ). Το πλαίσιο µετά περιστρέφεται περί τον σταθερό άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής του πλαισίου. Λύση: Πρώτα πρέπει να βρούµε τη ροπή αδράνειας του πλαισίου. Ας θεωρήσοµε την πλευρά µεταξύ των κορυφών (,) και (,). Αν βρούµε τη ροπή αδράνειας αυτής της πλευράς, την πολλαπλασιάζοµε µε το για να βρούµε την ολική ροπή αδράνειας. Η εξίσωση της ευθείας που ενώνει τις κορυφές (,) και (,) είναι. Στον θετικό ηµιάξονα και στα σηµεία και + d (όπου < < ) φέροµε ευθείες παράλληλες προς τον άξονα. Αυτές «κόβουν» από το σύρµα που έχει εξίσωση ένα κοµµάτι µήκους ds d + d d + ( d / d) d + ( ) d. Το κοµµάτι αυτό του σύρµατος έχει µάζα dm λ ds λd και απέχει από το άξονα κατά, διότι εµείς το επιλέξαµε έτσι. Άρα, η ροπή αδράνειας του κοµµατιού ως προς τον άξονα είναι d dm και η ροπή αδράνειας του σύρµατος που έχει >, > είναι. d λ dλ Η συνολική ροπή αδράνειας είναι πλαισίου είναι λ και η συνιστώσα της στροφορµής του λω. Παρατήρηση : Στο αποτέλεσµα δεν είναι εµφανές ότι η ροπή αδράνειας έχει διαστάσεις µάζας µήκος. Αυτό οφείλεται στο ότι η εξίσωση είναι µαθηµατική και όχι φυσική. Για να είναι φυσική πρέπει να γραφεί ως α, µε α m. Επίσης, το όριο είναι µαθηµατική και όχι φυσική σχέση. Για να είναι φυσική πρέπει να γραφεί ως β, µε β m. Όποιος κάνει τις πράξεις µε το α και το β µέσα στο τελικό αποτέλεσµα, θα δει ότι όντως η ροπή αδράνειας έχει διαστάσεις µάζας µήκος. Να το κάνετε. Εγώ το έκανα!!!

Παρατήρηση : Λόγω του ότι ο άξονας περιστροφής είναι άξονας συµµετρίας του σύρµατος, η στροφορµή του σύρµατος είναι k. ˆ Παράδειγµα 7.: Στo προηγούµενο παράδειγµα, θεωρείστε την επιφάνεια του επιπέδου, που περικλείεται από το συρµάτινο πλαίσιο. Η επιφάνεια αυτή έχει µάζα M και η επιφανειακή πυκνότητά της σ (διαστάσεις kg/m ) είναι οµογενής. Αν η επιφάνεια περιστρέφεται περί τον σταθερό άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω, να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής της επιφάνειας. Λύση: Ας θεωρήσοµε το / της επιφάνειας που βρίσκεται στο τεταρτηµόριο >, >. Στον θετικό ηµιάξονα και στα σηµεία και + d (όπου < < ) φέροµε ευθείες παράλληλες προς τον άξονα. Αυτές «κόβουν» από το τεταρτηµόριο που είναι κάτω από την ευθεία µια λωρίδα πλάτους d και ύψους, δηλαδή εµβαδού ds ( ) d. Η λωρίδα έχει µάζα dm σ ds σ ( ) d και απέχει από τον άξονα περιστροφής απόσταση ίση µε, διότι εµείς την επιλέξαµε έτσι. Άρα, η ροπή αδράνειας της λωρίδας ως προς τον άξονα είναι d dm, η ροπή αδράνειας του τεταρτηµορίου είναι d σ ( ) d σ σ και η ολική ροπή αδράνειας είναι M σ M 6, διότι το κάθε τεταρτηµόριο έχει εµβαδόν / και ο ρόµβος έχει εµβαδόν. Όπως και στο προηγούµενο παράδειγµα, το αποτέλεσµα «φαίνεται» να µην έχει σωστές διαστάσεις. Βεβαιωθείτε ότι όντως έχει σωστές διαστάσεις. Η συνιστώσα της στροφορµής του πλαισίου είναι ω Mω. 6 Όπως και στο προηγούµενο παράδειγµα, k ˆ διότι ο άξονας περιστροφής είναι άξονας συµµετρίας. Παράδειγµα 7.: Θεωρείστε έναν οµογενή κύλινδρο µάζας M, ακτίνας R και ύψους h ο οποίος περιστρέφεται περί τον σταθερό άξονα, που είναι ο άξονας συµµετρίας του, µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής του κυλίνδρου. Λύση: Θεωρούµε οµοαξονικό κυλινδρικό φλοιό ύψους h µεταξύ των ακτίνων και + d, όπου < < R. Αν ρ M /( π R h) είναι η πυκνότητα του κυλίνδρου, τότε η µάζα του κυλινδρικού φλοιού είναι dm ρ dv ( dv είναι ο όγκος του) και η ροπή αδράνειάς του είναι d dm κυλινδρικού φλοιού κάνοµε το εξής:. Για να υπολογίσοµε τη µάζα dm του

Ο όγκος dv του κυλινδρικού φλοιού µεταξύ των ακτίνων και + d είναι dv h [ π ( + d) π ] h π d διότι ο όρος (d) είναι διαφορικό δευτέρας τάξεως, που είναι αµελητέο σε σχέση µε το διαφορικό πρώτης τάξεως d. Η µάζα του κυλινδρικού φλοιού είναι dm ρ π d h και η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου είναι M R πρhr d dm πρ h d MR. Έτσι, η συνιστώσα της στροφορµής του πλαισίου είναι ω MR ω. Όπως και στο προηγούµενο παράδειγµα, άξονας συµµετρίας. k ˆ διότι ο άξονας περιστροφής είναι Παράδειγµα 7.: ίνεται σύρµα, σχήµατος U στο επίπεδο, γραµµικής πυκνότητας λ, που περιγράφεται από την εξίσωση και εκτείνεται από µέχρι. Το σύρµα µετά περιστρέφεται περί τον σταθερό άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής του σύρµατος. Λύση: Στον θετικό ηµιάξονα και στα σηµεία και + d (όπου < < ) φέροµε ευθείες παράλληλες προς τον άξονα. Αυτές «κόβουν» από το σύρµα ένα κοµµάτι µήκους ds + d + d d + ( d / d) d + () d. Το κοµµάτι αυτό του σύρµατος έχει µάζα dm λ ds λd + και απέχει από το άξονα κατά, διότι εµείς το επιλέξαµε έτσι. Άρα, η ροπή αδράνειας του κοµµατιού ως προς τον άξονα είναι d dm και η ροπή αδράνειας του σύρµατος είναι d λ + d λ + d λ + d. Χρησιµοποιώντας Πίνακες Ολοκληρωµάτων βλέποµε ότι ) / + + + d ln( + + 8 8 ( όπου /. Έτσι το αποτέλεσµα του ολοκληρώµατος πρέπει να το υπολογίσοµε στο και στο. ),

Στο τελικό αποτέλεσµα δεν είναι εµφανές ότι η ροπή αδράνειας έχει διαστάσεις µάζας µήκος. Αυτό οφείλεται στο ότι η εξίσωση είναι µαθηµατική και όχι φυσική. Για να είναι φυσική πρέπει να γραφεί ως β, µε β m. Επίσης, το είναι µαθηµατική και όχι φυσική σχέση. Για να είναι φυσική πρέπει να γραφεί ως γ µε γ m. Όποιος κάνει τις πράξεις µε το β και το γ µέσα στο τελικό αποτέλεσµα, θα δει ότι όντως η ροπή αδράνειας έχει διαστάσεις µάζας µήκος. Να το κάνετε. Εγώ το έκανα! Έτσι, η συνιστώσα της στροφορµής του πλαισίου έιναι ω. Λόγω του ότι ο άξονας περιστροφής είναι άξονας συµµετρίας του σύρµατος, η στροφορµή του σύρµατος είναι k. ˆ Παράδειγµα 7.5: Στο προηγούµενο παράδειγµα, θεωρείστε την επιφάνεια του επιπέδου, που περικλείεται από τις γραµµές, και. Η επιφάνεια αυτή έχει µάζα και η επιφανειακή πυκνότητά της είναι σ. Αν η επιφάνεια περιστρέφεται περί τον σταθερό άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω, να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής της επιφάνειας. Λύση: Στον θετικό ηµιάξονα και στα σηµεία και + d (όπου < < ) φέροµε ευθείες παράλληλες προς τον άξονα. Αυτές «κόβουν» από την επιφάνεια που είναι κάτω από την καµπύλη µια λωρίδα πλάτους d και ύψους, δηλαδή εµβαδού ds d. Η λωρίδα έχει µάζα dm σ ds σ d και απέχει από τον άξονα περιστροφής απόσταση ίση µε, διότι εµείς την επιλέξαµε έτσι. Άρα, η ροπή αδράνειας της λωρίδας ως προς τον άξονα είναι d dm και η ροπή αδράνειας της επιφάνειας κάτω από την καµπύλη d σ d σ είναι. 5 d σ 5 86 σ 5 Όπως και στο προηγούµενο παράδειγµα, το αποτέλεσµα «φαίνεται» να µην έχει σωστές διαστάσεις. Βεβαιωθείτε ότι όντως έχει σωστές διαστάσεις. Η συνιστώσα της στροφορµής του πλαισίου είναι 86 ω σω. 5 Όπως και στο προηγούµενο παράδειγµα, k ˆ διότι ο άξονας περιστροφής είναι άξονας συµµετρίας.

Παράδειγµα 7.6: Θεωρείστε στο επίπεδο µια οµογενή πλάκα µάζας M, σχήµατος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, απειροστού πάχους, µε πλευρές και b, παράλληλες προς τους άξονες και. Το κέντρο της πλάκας είναι στην αρχή των αξόνων. Η πλάκα περιστρέφεται περί τον σταθερό άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Α) Να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής της πλάκας. Β) Να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής της πλάκας, αν η πλάκα έχει πάχος c και στον άξονα εκτείνεται από c µέχρι c. Η µάζα της παραµένει M. Λύση: Α) Πρώτα θα βρούµε τη ροπή αδράνειας της πλάκας ως προς τον άξονα. Το εµβαδόν της πλάκας είναι b και η επιφανειακή πυκνότητά της είναι σ M /( b). Θεωρούµε µια απειροστή λωρίδα παράλληλη προς τον άξονα, µεταξύ και + d, εύρους d. Σ αυτή τη λωρίδα θεωρούµε το απειροστό κοµµάτι µεταξύ και + d, εµβαδού d d. Το απειροστό αυτό κοµµάτι απέχει από τον άξονα κατά + και έχει απειροστή ροπή αδράνειας d σ d d. Έτσι η συνολική ροπή αδράνειας της πλάκας είναι d b b dσ σ d b b d ( + ) σ d + b b σ b b d b+ b σ + b σ b+ σ b( + b ) M ( + b ) και η συνιστώσα της στροφορµής της πλάκας είναι M ( + b )ω. Β) Αν η µάζα έχει πεπερασµένο πάχος και µάζα M το δεν αλλάζει! Αυτό το καταλαβαίνοµε ποιοτικά διότι η πεπερασµένου πάχους πλάκα µπορεί να θεωρηθεί σαν υπέρθεση πλακών µε απειροστό πάχος η κάθε µια και συνολική µάζα M. Αλλά και ποσοτικά έχοµε c c ρ d d d ( + ) ρ d b ( + b ) M ( + b ), c b b c διότι η πυκνότητα ρ ισούται µε M /( 8bc) και η απόσταση του απειροστού όγκου d d d από τον άξονα είναι +.

7.5 Θεώρηµα παραλλήλων αξόνων Αν γνωρίζοµε τη ροπή αδράνειας σώµατος ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας του, τότε µπορούµε εύκολα να υπολογίσοµε τη ροπή αδράνειας του σώµατος ως προς άξονα παράλληλο προς τον πρώτο. Ας θεωρήσοµε ένα στερεό σώµα ( σωµάτια) µάζας M και τρεις άξονες,,, που η αρχή τους είναι στο κέντρο µάζας του σώµατος. Ας υποθέσοµε ότι έχοµε υπολογίσει τη ροπή αδράνειας του σώµατος ως προς τον άξονα και θέλοµε να υπολογίσοµε τη ροπή αδράνειας του σώµατος ως προς άξονα, που είναι παράλληλος προς τον. Έχοµε m m ( + ). (7.) Επιλέγοντας τους άξονες, να είναι παράλληλοι προς τους, αντιστοίχως, γράφοµε ότι X + και Y +, όπου X, Y είναι οι - και - συντεταγµένες του κέντρου µάζας στο σύστηµα,,. Όλες οι ποσότητες είναι αλγεβρικές. Με αντικατάσταση στην (7.) έχοµε X m Η ποσότητα ( X + X + + Y + Y + ) m + X m + m + Y m + m + Y m. (7.) M m είναι ίση µε µηδέν, διότι είναι εξ ορισµού η -συντεταγµένη του κέντρου µάζας ως προς το κέντρο µάζας. Με άλλα λόγια, αφού το κέντρο µάζας είναι στην αρχή των αξόνων,,, οι συντεταγµένες του είναι µηδέν. Έτσι, ο δεύτερος και ο πέµπτος όρος στη σχέση (7.) είναι µηδέν. Έτσι, η (7.) γράφεται ως M X + Y + MD +, (7.5) όπου D + ( ) X Y είναι η απόσταση του άξονα από τον άξονα ( + ) m m. Έτσι αποδείξαµε το ακόλουθο θεώρηµα. και Θεώρηµα παραλλήλων αξόνων: Η ροπή αδράνειας σώµατος ως προς έναν άξονα ισούται µε τη ροπή αδράνειας του σώµατος ως προς άξονα παράλληλο προς αυτόν και διερχόµενο από το κέντρο µάζας του σώµατος, συν τη µάζα του σώµατος επί το τετράγωνο της απόστασης µεταξύ των δυο αξόνων. Παράδειγµα 7.7: Να βρεθεί η ροπή αδράνεια της πλάκας του Παραδείγµατος 7.6 ως προς ακµή της που είναι παράλληλη στον άξονα.

Λύση: Η απόσταση µιας τέτοιας ακµής από τον άξονα είναι D + b. Συνεπώς, η ζητούµενη ροπή αδράνειας είναι 7 M ( + b ) + M ( + b ) M ( + b ). Άσκηση 7.: ίνεται συρµάτινο πλαίσιο σχήµατος τετραγώνου πλευράς, συνολικής µάζας m, µε τη διαγώνιό του στον άξονα. Το πλαίσιο περιστρέφεται περί τον σταθερό άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής του πλαισίου. Απάντηση: ω m ω. Άσκηση 7.: ίνεται τετράγωνη επιφάνεια πλευράς, συνολικής µάζας m, µε τη διαγώνιό της στον άξονα. Η επιφάνεια περιστρέφεται περί τον σταθερό άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής της επιφάνειας. Απάντηση: ω m ω. Άσκηση 7.: ίνεται συρµάτινο πλαίσιο σχήµατος τετραγώνου πλευράς, συνολικής µάζας m, µε τη µία πλευρά του στον άξονα. Το πλαίσιο περιστρέφεται περί τον άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής του πλαισίου. Απάντηση: 5 m ω Άσκηση 7.: ίνεται τετράγωνη επιφάνεια πλευράς, συνολικής µάζας m, µε τη µία πλευρά της στον άξονα. Η επιφάνεια περιστρέφεται περί τον άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής της επιφάνειας. Απάντηση: m ω Άσκηση 7.5: ίνεται συρµάτινο πλαίσιο σχήµατος ορθωγωνίου τριγώνου καθέτου πλευράς, συνολικής µάζας m, µε τη µία κάθετο πλευρά του στον άξονα. Το πλαίσιο περιστρέφεται περί τον άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής του πλαισίου.

Απάντηση: + m ω. (+ ) Άσκηση 7.6: ίνεται τριγωνική επιφάνεια καθέτου πλευράς, συνολικής µάζας m, µε τη µία κάθετο πλευρά της στον άξονα. Η επιφάνεια περιστρέφεται περί τον άξονα µε γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί η συνιστώσα της στροφορµής της επιφάνειας. Απάντηση: m ω 6.