Μηχανική - Ρευστομηχανική

Μηχανική - Ρευστομηχανική Ενότητα 3: Κίνηση Υλικού σημείου σε τρείς διαστάσεις Διδάσκων: Πομόνη Αικατερίνη, Αναπλ. Καθηγήτρια Επιμέλεια: Γεωργακόπουλος Τηλέμαχος, Υπ. Διδάκτωρ Φυσικής 05 Θετικών Επιστημών Φυσικής

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας Κίνηση Υλικού σημείου Μέση ταχύτητα Στιγμιαία Ταχύτητα Μέση επιτάχυνση Στιγμιαία Επιτάχυνση Κυκλική κίνηση Βολές Σχετικές κινήσεις

Μέση ταχύτητα r m () μονάδες ταχύτητας r r r, t t t t s Προφανώς εξαρτάται από τις y t συντεταγμένες την Α και την Β κι όχι από Α r t την τροχιά που ακολουθεί το κινητό r Β Αν από το Α φθάσει στο B και επιστρέψει r πάλι στο Α, r 0, 0 Σχ. x Αν η κίνηση αυτή γίνεται μόνο κατά τον άξονα x, x x x A Δt Σχ. B Δx t t t και δίνεται από την κλίση της ΑΒ και εξαρτάται από τις t, t x x ˆ t

Στιγμιαία ταχύτητα Εξαρτάται μόνο από μια τιμή του χρόνου, δηλ. σε κάθε σημείο της τροχιάς έχει μόνο μια τιμή r dr lim () t 0 t dt y A(t ) r r B(t ) x Όσο το Β πλησιάζει στο Α το τείνει να γίνει εφαπτόμενο της τροχιάς στο Α. Δεδομένου ότι r t x t i y t j z t k Σχ. 3 dx( t) dy( t) dz( t) t i j k xi y j zk dt dt dt Γνωρίζοντας την () t μπορεί να προσδιοριστεί το διάνυσμα θέσης r t t dr dr dt dr t dt r r t dt (4) dt r t t (3) rt

Μέση επιτάχυνση Αυτή ορίζεται αντίστοιχα y A(t ) Β(t ) a (5) t, t t t Μονάδες επιτάχυνσης: m/s Η aεξαρτάται από τις και υ υ υ Σχ. 4 x B Δυ A Δt t t t Σχ. 5 Αν η κίνηση γίνεται μόνο κατά το άξονα x a t tt δίνεται από την κλίση της ΑΒ και εξαρτάται από τις t, t

Στιγμιαία επιτάχυνση a: Εξαρτάται μόνο από μια τιμή του χρόνου, δηλ. σε κάθε σημείο της τροχιάς έχει ορισμένη τιμή d a lim 6 t 0 t dt d d d d x y d z xi y j zk i j k ai ay j azk dt dt dt dt dt Με. : ομαλά επιταχυνόμενη ομόρροπα: επιταχυνόμενη αντίρροπα: επιβραδυνόμενη Γνωρίζοντας την () t μπορεί να προσδιοριστεί η () t t d t d dt d at dt dt t t o atdt atdt 8 t t t

Παράδειγμα. Το διάνυσμα της θέσης ενός σωματιδίου μεταβάλλεται με το 3 χρόνο σύμφωνα με την έκφραση: r 3t i 6t j tk () α) Ποιες οι μονάδες των συντελεστών 3, 6 και στη σχέση (); β) Βρείτε τις εκφράσεις της t και της a a t γ) Προσδιορίστε το διάνυσμα θέσης του σωματιδίου r(t) τη χρονική στιγμή t=s. α) β) γ) Λύση m m m 3 6 3 s s s dr () t d 3 d 3 d d t 3t i 6t j tk 3t i 6t j k dt dt dt dt dt t 9t i tj k d () t d d d d t 9t i tj k 9t i t j k 8ti j dt dt dt dt dt r t s 3i 6 j k

Παράδειγμα. Σωματίδιο κινείται με ταχύτητα 3ti 6sin tj ( m / s). Αν την χρονική στιγμή t=0 βρίσκεται στην αρχή των αξόνων α) Να δώσετε τις μονάδες των συντελεστών 3 και 6. β) Να υπολογίσετε την επιτάχυνσή του a a() t και γ) Να βρείτε το διάνυσμα θέσης του α) β) Λύση m m 3, 6 s s r r () t d () t d d d t 3ti 6sintj 3t i 6sint j 3i tcostj dt dt dt dt r t t dr t dr dt 3tdti 6sintdtj dr 3i tdt 6j sintdt γ) dt 0 0 0 t t t 3 t d( t) 3t 3t r t i 6j 3 ( ) sin t i j cos t i cos t j 0 0 0

Κυκλική κίνηση Σωματίδιο εκτελεί κυκλική κίνηση. Έστω a η επιτάχυνσή του την στιγμή t, με συνιστώσες α x και α y στους άξονες x και y αντίστοιχα ενός σταθερού συστήματος αναφοράς με αρχή το Ο y a α x α y A(t) O x ˆ α ε α κ A(t) ˆr Σχ. 6 Σχ. 7 Πολλές φορές διευκολύνει η χρησιμοποίηση ενός συστήματος αναφοράς που θα ταξιδεύει μαζί με το κινητό. Στην προκειμένη περίπτωση, ένα σύστημα αναφοράς με άξονες την εφαπτομενική στο Α διεύθυνση με μοναδιαίο διάνυσμα ˆ και την ακτινική διεύθυνση με μοναδιαίο διάνυσμα ˆr κρίνεται κατάλληλο. Σε ένα τέτοιο σύστημα η ταχύτητα ως εφαπτομενική της τροχιάς βρίσκεται αποκλειστικά στον άξονα ˆ, ˆ, ˆ ˆr ( 9)

Κυκλική κίνηση Οι α ε και α κ συνιστώσες καλούνται επιτρόχια και κεντρομόλος επιτάχυνση αντίστοιχα. ˆ ˆ d d ˆ d ˆ d dt dt dt dt α όρος β όρος d α όρος: είναι η εφαπτομενική της τροχιάς συνιστώσα α ε και dt οφείλεται στη μεταβολή του μέτρου της ταχύτητας. β όρος: οφείλεται στη μεταβολή της διεύθυνσης της ταχύτητας.

Ο dφ ˆ t A dˆ dφ A φορά προς το Ο, δηλ. ˆr Κυκλική κίνηση 3 ˆ ˆ t ˆr t = t +dt d ˆ ˆ d d Επειδή μεταξύ Α και Α μεσολαβεί χρόνος dt το dˆ τείνει να πάρει την αξονική διεύθυνση ˆr με ˆ ˆ d d d rd ˆ, rˆ rˆ dt dt Η γωνία dφ μεταξύ ˆ και ˆ είναι ίση με την γωνία μεταξύ και ˆr ˆr λόγω των καθέτων πλευρών τους. Η εξίσωση (0) γράφεται: d a ˆ d rˆ. Λαμβάνοντας υπόψη ότι υ=ωr, ˆ a rˆ dt d dt R Επομένως a και a dt R d Αν η κίνηση είναι ομαλή κυκλική (υ=σταθ.), a 0 και a r ˆ dt R

Παράδειγμα σε κυκλική κίνηση Σωματίδιο εκτελεί κυκλική κίνηση σύμφωνα με το νόμο 3 s t 3ts όπου το s σε m και ο χρόνος t σε s. Αν η επιτάχυνση του σωματιδίου 5 m όταν t=s, να υπολογίσετε την ακτίνα του κύκλου. s Λύση ds d 3 d t 3t 6t 3 t dt dt dt Την t=s: υ=9m/s και α ε =m/s a 4 m / s 9 m / s R 3.375m R 4 m / s

Κίνηση στο επίπεδο με σταθερή επιτάχυνση Αναζητείται η εξίσωση κίνησης r r () t. Από την t κι επομένως t t o () Επειδή συνεπάγεται t d adt dt t t dt dr dt o t t o r t t o tt r t t o dr dt dr t t dt dr dt t t dt t o o o o r r dt t t d t t t t t t to 0 r r o t to t to ( 3) o o o o o o

Κίνηση στο επίπεδο με σταθερή Αν t o =0 και ro 0 επιτάχυνση r t t (4) Επειδή r xi yj zk i j k και xi y j zk, x y z η (4) γράφεται xi yj zk i j k t i j k t Επομένως: x xt xt x y z x y z, y yt yt, z zt zt

Βολές Αν α g δηλαδή η μόνη δύναμη που δρα στο σώμα είναι η δύναμη της βαρύτητας, οι εξισώσεις () και (3) γράφονται: υ υ0 gt t o 5 r ro t to gt to (6) Αν ro 0 y gt 7 g υ ο r t gt (8) Με r xi yj i j υ οy θ ο υ οx και t o =0 από τις εξισώσεις (5) και (6) προκύπτει: με ανάλυση στους άξονες x, y γράφονται: xi y j oxi oy j gtj xi yj oxi oy j t gt j x, x y και gj οι εξισώσεις (7), (8)

Βολές κι επομένως x ox cos o (9) y oy gt sin gt (0) x xt cos t () y t gt sin t gt () Από τις εξισώσεις (), () προκύπτει η εξίσωση της τροχιάς y=f(x) g y tan x x cos (3) (παραβολική τροχιά)

Βολές 3 Ως βεληνεκές R ορίζεται η οριζόντια απόσταση μεταξύ του σημείου εκκίνησης και του σημείου επιστροφής στο αρχικό ύψος. y 0 R x Στην περίπτωση που βάλλεται από την αρχή των αξόνων, όταν επιστρέψει σε χρόνο t στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο από το οποίο εβλήθη, y=0 και η εξίσωση () γράφεται: y Α 0 yt gt t gt y 0 h max υ 0 Β xb y t 0 t (4) R x g υ yb υ ο

Βολές 4 o sino o o 0 R = ox t = o cos o = sin o = sin80 - o g g g o 0 sin90 - (5) o g Από την (5) προκύπτει ότι αν το βλήμα έχει το ίδιο, υπάρχουν δυο γωνίες βολής η θ ο και η 90 ο θ ο που θα δώσουν το ίδιο R. Προφανώς το μέγιστο βεληνεκές προκύπτει για sin 4 Στο σημείο Β το βλήμα έχει σύμφωνα με τις εξισώσεις (9), (0) y Επισκηπτική τροχιά y y oy gt oy g oy υ ο Ευθύφορη και g xb υ x ο τροχιά Επομένως θ 90-θ ο ο 0 δηλαδή το μέτρο της ταχύτητας R x στο Β είναι ίσο με το μέτρο της ταχύτητας xb yb ox oy

Βολές 5 Στο μέγιστο ύψος, δηλαδή στο σημείο Α, ya 0 και xa x επομένως oy ya oy gtm 0 tm t g και y y y hmax ytm gtm y g g g g h max sin g

Βολές 6 Οριζόντια Βολή Στην περίπτωση αυτή y υ o y o g r ro υοt gt r o o y j o o g gj (6) Ο A x και η (6) γράφεται: xi yj yoj t gt j x t, y yo gt Όταν φτάσει στο Α: yo yo ya 0 yo gta 0 ta ta (7) g g

Παράδειγμα Παίκτης που βρίσκεται σε αίθουσα με ύψος H=5m πετά μπάλα με ταχύτητα υ ο =7m/s προς τοίχο που βρίσκεται σε απόσταση S=6m απ αυτόν. Αν ο παίκτης ρίχνει την μπάλα από θέση που απέχει.5m από το δάπεδο της αίθουσας και η μπάλα αφού πρώτα πάρει το μέγιστο ύψος της κτυπήσει στο τοίχο, ποιο το υψηλότερο σημείο του τοίχου στο οποίο μπορεί να κτυπήσει η μπάλα. g 0 m / s Λύση Προφανώς το υψηλότερο σημείο του τοίχου είναι εκείνο στο οποίο θα φθάσει η μπάλα αφού χτυπήσει πρώτα στην οροφή της αίθουσας. h max =H-h =(5-.5)m=3.5m, h yt gt () Απαιτείται η γνώση των υ οy, t. h max h H h h S

Παράδειγμα (συνέχεια) y hmax y ghmax 70 m / s 8.37 m / s g Δίνεται S=6m S=υ οx t x y x y 4.8 m/ s t S 6m.08s 4.8 m/ s x Από την () h =3.m κι επομένως h =h +h =3.m+.5m=4.7m

Σχετικές κινήσεις Δυο παρατηρητές που κινούνται ο ένας ως προς τον άλλον, γενικά βρίσκουν διαφορετικά αποτελέσματα στη μέτρηση κάποιων μεγεθών για την κίνηση ενός σώματος (π.χ. διάνυσμα θέσης, ταχύτητα). Υπάρχουν όμως κάποια μεγέθη στα οποία συμφωνούν τα οποία καλούνται αναλλοίωτα. Ο Einstein έδειξε ότι ένας αριθμός μεγεθών που θεωρούνται αναλλοίωτα, στην πραγματικότητα είναι σχετικά, δηλαδή εξαρτώνται από το σύστημα αναφοράς που χρησιμοποιείται. Π.χ. ο χρόνος, που στην Κλασική Φυσική δεν εξαρτάται από το σύστημα αναφοράς, στη Θεωρία της Σχετικότητας παύει να είναι αναλλοίωτο μέγεθος. Επίσης διατύπωσε ότι οι νόμοι που διέπουν τα φαινόμενα πρέπει να είναι αναλλοίωτοι.

Σχετικές κινήσεις Δεν υπάρχει κάποιο προτιμητέο σύστημα αναφοράς. Όλα τα συστήματα αναφοράς είναι ισοδύναμα. Συνήθως, χρησιμοποιείται εκείνο που διευκολύνει τη μελέτη του κάθε προβλήματος. Η ταχύτητα του επιβάτη v ο ως προς παρατηρητή στο έδαφος εξαρτάται από τις ταχύτητες (μέτρο, διεύθυνση και φορά) του τρένου και του επιβάτη στο τρένο. v ο = 6. m/s v ο = 3.8 m/s Σχετικές κινήσεις Σχετικές κινήσεις

Σχετικές κινήσεις 3 Εύρεση σχέσης μεταξύ των ταχυτήτων ενός σωματιδίου όπως μετριούνται από δυο παρατηρητές Α και Β. z A y A Α r P / A r B / A y B z B x A Β P r P / B B / A / x Β r / r / r / dr dr dr / / / dt dt dt Άρα ΠΡΟΣΟΧΗ! Η ΣΧΕΣΗ ΕΙΝΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ Στο παραπάνω σχήμα, έστω Α ο παρατηρητής στο έδαφος, Β ο παρατηρητής σε βαγόνι τρένου που έστω ότι κινείται με ταχύτητα / ως προς τον Α, Ρ ο επιβάτης του βαγονιού που το διασχίζει κάθετα με ταχύτητα ως προς τον παρατηρητή Β. PB / / Επομένως / / / / / / P A B A P B BA / P / A

z A Σχετικές κινήσεις 4 Το διάνυσμα θέσης καθώς και η ταχύτητα ενός σωματιδίου εξαρτώνται από το σύστημα αναφοράς. Η σχέση μεταξύ των διανυσμάτων θέσης του σωματιδίου Ρ και των ταχυτήτων του ως προς τους παρατηρητές Α και Β είναι: y A A r P/A r B/A y B z B x A Β P r P/B x Β / r r r / / / / / / και η αντίστοιχη σχέση μεταξύ των επιταχύνσεων του Ρ: d / d B/ d / / / / dt dt dt Αν ο παρατηρητής Β κινείται με σταθερή ταχύτητα ως προς τον Α ( 0) / / / Προκύπτει επομένως ένα σημαντικό συμπέρασμα: Οι δυο παρατηρητές όσο κινούνται με σταθερή ταχύτητα ο ένας ως προς τον άλλο, μετρούν την ίδια επιτάχυνση

Σχετικές κινήσεις 5 Επειδή οι νόμοι της Φυσικής αναφέρονται σε επιταχύνσεις, θα παραμένουν οι ίδιοι και για τους δυο παρατηρητές όσο αυτοί θα κινούνται με σταθερή ταχύτητα ο ένας ως προς τον άλλο (αναλλοίωτo των νόμων της Φυσικής). Y Σχετική ταχύτητα Αν τα σωματίδια Κ και Ρ y υ κινούνται με ταχύτητες, y υ Κ ως προς σύστημα αναφοράς Ρ K X Ο, μπορούμε να θεωρήσουμε O x υ Ο P X υ ένα νέο σύστημα αναφοράς με αρχή το Κ κινούμενο με ταχύτητα Τότε / / / ή / Η σχέση / δίνει την ταχύτητα του σωματιδίου Ρ ως προς το σωματίδιο Κ (σχετική ταχύτητα). Προφανώς η ταχύτητα του Κ ως προς το Ρ είναι / /

Παράδειγμα Φοιτητής βάλλει μια μπάλα με ταχύτητα υ ο =m/s υπό γωνία 63 ο με τον άξονα +Χ. Παρατηρητής σε ποδήλατο κινείται με σταθερή ταχύτητα 0m/s προς τον άξονα +Χ. Ποια η τροχιά της μπάλας γι αυτόν τον παρατηρητή; Λύση Για τον φοιτητή θα ισχύει ότι V xi y j xi y j Vi x x V o και y y sin63 9.6 m/ s 0 x cos63 V 0 m / s 0 m / s 0, Άρα για τον ποδηλάτη η μπάλα κάνει κατακόρυφη κίνηση προς τα επάνω με αρχική ταχύτητα 9.6m/s

Παράδειγμα α) Μια βάρκα διασχίζει ένα ποτάμι κινούμενη κάθετα στο ρεύμα του με ταχύτητα υ =5Km/h ως προς αυτό. Το ρεύμα του ποταμιού έχει ταχύτητα =3Km/h. Ποια η ταχύτητα της βάρκας ως προς παρατηρητή στη όχθη του ποταμιού; V Ο V V 5Km 3Km V h h 5 9 Km / h 5.83 Km / h 5 Km / h tan.66 59 V 3 Km / h β) Αν στο ίδιο πρόβλημα ο παρατηρητής στην όχθη βλέπει τη βάρκα να διασχίζει κάθετα το ποτάμι ποια η ταχύτητα της βάρκας ως προς αυτόν; V δηλαδή η είναι η συνισταμένη V και. Επομένως η θα πρέπει να είναι V όπως στο σχήμα V V θ V 5 9 / 4 / V Km h Km h

Παράδειγμα 3 Αν στο προηγούμενο παράδειγμα, στην όχθη βρίσκονται δύο βάρκες Α και Β που πρέπει να μεταβούν στην απέναντι όχθη η Α κατά τον συντομότερο δρόμο και η Β κατά το συντομότερο χρόνο, να υπολογιστεί η διαφορά χρόνου για τις δύο αφίξεις. Δίνεται το πλάτος του ποταμού d=500m. A A Ο V O A B Κατά το συντομότερο δρόμο: Η βάρκα Α πρέπει να διασχίσει κάθετα το ποτάμι Η ταχύτητα της βάρκας Α ως προς τον παρατηρητή Ο πρέπει να είναι η συνισταμένη της ταχύτητας της βάρκας ως προς τον Ο και της ταχύτητας του ρεύματος του ποταμού V

Παράδειγμα 3 συνέχεια A A Κατά το συντομότερο δρόμο η βάρκα Α πρέπει να διασχίσει κάθετα το ποτάμι V Η ταχύτητα της βάρκας Α ως προς τον παρατηρητή Ο πρέπει να είναι η συνισταμένη της ταχύτητας της βάρκας ως προς τον Ο και της ταχύτητας του ρεύματος του ποταμού V, V A A A A A V 5( Km) / h 9( Km) / h 4 Km / h t A A A A d 0.5Km 7.5min 4 Km / h A

Παράδειγμα 3 συνέχεια Κατά το συντομότερο χρόνο: Η ταχύτητα της βάρκα B ως προς τον παρατηρητή Ο πρέπει να είναι κάθετη στο ποτάμι ώστε να μην υπάρχει συνιστώσα της κατά τη διεύθυνση ροής του ποταμού και επομένως η βάρκα να φτάσει στο συντομότερο χρόνο στην απέναντι όχθη. d t και για να είναι t=min πρέπει η υ = max. Αναλυτικότερα: d y V V xi y j xi y j Vj V και x x y y d t t t y y V d V y για να είναι t=min πρέπει x min 0 άρα πρέπει η y max, δηλαδή να είναι κατά τον άξονα y d 0.5Km tmin 0.h 6min 5 Km / h

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Φυσική Halliday-Resnick-Krane 4 η έκδοση Τόμος Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς Serway: απόδοση στα ελληνικά Λεωνίδα Κ. Ρεσβάνη, τόμος I Μηχανική 3 η έκδοση Θεμελιώδης Πανεπιστημιακή Φυσική, Μηχανική και Θερμοδυναμική, Alonso/Finn η έκδοση Τόμος Πανεπιστημιακή Φυσική, Μηχανική- Θερμοδυναμική, H. D. Young Τόμος Α Physics, Foundations and Applications" Robert M. Eisberg, Lawrence S. Lerner, combined volume, McGraw-Hill, Inc. Φυσική τόμος Μηχανική, Berkeley

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Αικατερίνη Πομόνη. «Μηχανική- Ρευστομηχανική. Ενότητα 3». Έκδοση:.0. Πάτρα 05. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/courses/phy90/

Τέλος Ενότητας