Άσκηση 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 4 Έστω το σύνολο ατομικών προτάσεων ΑΡ = {red, yellow, green}. Με βάση τις ατομικές προτάσεις ΑΡ διατυπώστε τις πιο κάτω προτάσεις που αφορούν την κατάσταση των φώτων της τροχαίας στον χρονικό λογισμό LTL. (α) Το φανάρι τη χρονική στιγμή 4 είναι είτε κόκκινο, είτε κίτρινο είτε πράσινο. XXXX(red yellow green) (β) Ανά πάσα στιγμή το φανάρι μπορεί να είναι είτε κόκκινο, είτε κίτρινο είτε πράσινο. G(red yellow green) (γ) Ανά πάσα στιγμή, αν το φανάρι είναι κόκκινο, τότε την επόμενη χρονική στιγμή θα είναι κίτρινο. G(red X yellow) (δ) Από τη στιγμή που θα πάρει κόκκινο χρώμα, σε 2 μονάδες χρόνου το φανάρι θα είναι κίτρινο. G ((red X red) XXX yellow) (ε) Το φανάρι εναλλάσσεται ανάμεσα στα χρώματα κόκκινο κίτρινο πράσινο κόκκινο και διατηρεί κάθε ένα από τα χρώματα αυτά για 2 μονάδες χρόνου. G [(red yellow green) (red yellow green) (red yellow green)] G [ [( red X red) (X red XX red XXX yellow)] [(yellow X yellow) (X yellow XX yellow XXX green)] [( green X green) (X green XX green XXX red)] ] Άσκηση 2 Θεωρήστε την ακόλουθη δομή Kripke. 3 4 {b} 1 2 {a} {a,b} Για κάθε μια από τις πιο κάτω ιδιότητες να αποφασίσετε (1) κατά πόσο υπάρχει μονοπάτι που να ικανοποιεί την ιδιότητα και, αν ναι, να επιδείξετε ένα τέτοιο μονοπάτι, και (2) κατά πόσο η δομή ικανοποιεί την ιδιότητα. Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 4 Χειμερινό Εξάμηνο 2014 Σελίδα 1
(i) (ii) F G b 1. Μονοπάτι που ικανοποιεί την ιδιότητα: 1444444.. 2. Η δομή δεν ικανοποιεί την ιδιότητα αφού αυτή δεν ισχύει για κάθε μονοπάτι που ξεκινά από την αρχική κατάσταση, π.χ. 12121212. a U b 1. Μονοπάτι που ικανοποιεί την ιδιότητα: 12 2. Η δομή δεν ικανοποιεί την ιδιότητα αφού αυτή δεν ισχύει για κάθε μονοπάτι που ξεκινά από την αρχική κατάσταση, π.χ. 13 (iii) a U (X b) 1. Μονοπάτι που ικανοποιεί την ιδιότητα: 134.. 2. Η δομή ικανοποιεί την ιδιότητα. Το Χb ικανοποιείται για όλα τα μονοπάτια που ξεκινούν από την κατάσταση 1 και προχωρούν προς τις καταστάσεις 2 και 4. Τα μονοπάτια που ξεκινούν από την κατάσταση 1 και προχωρούν προς την κατάσταση 3 ικανοποιούν a, στην κατάσταση 1 και Χb στην κατάσταση 3. (iv) a U [ X a X b ] 1. Μονοπάτι που ικανοποιεί την ιδιότητα: 121212 2. Η δομή ικανοποιεί την ιδιότητα. Ισχύει, αφού ισχύει και η ιδιότητα (iii). Το στο δεξί μέλος του U δεν περιορίζει τα μονοπάτια στα οποία ικανοποιείται η ιδιότητα (iii), αλλά αντίθετα τα αυξάνει. (v) X a G (a b) 1. Μονοπάτι που ικανοποιεί την ιδιότητα: 121212 2. Η δομή ικανοποιεί την ιδιότητα. Για μονοπάτια που ξεκινούν από την αρχική και ακολουθούν οι καταστάσεις 2 ισχύει το X a. Για τα μονοπάτια που ξεκινούν από την αρχική και ακολουθεί η κατάσταση 3 ή 4 ισχύει το G (a b) αφού αυτό δεν ικανοποιείται μόνο στην κατάσταση 2 η οποία δεν είναι προσβάσιμη από κανένα μονοπάτι που περνά από την κατάσταση 3. (vi) G b X (a b) 1. Μονοπάτι που ικανοποιεί την ιδιότητα: 134 2. Η δομή ικανοποιεί την ιδιότητα αφού σε κανένα μονοπάτι δεν ικανοποιείται το G b. Άσκηση 3 Για κάθε μια από τις πιο κάτω προτάσεις να αποφασίσετε αν υπάρχει δομή Kripke στην οποία να ικανοποιείται, αιτιολογώντας τις απαντήσεις σας. (i) [q U (p q)] G p {p} { } Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 4 Χειμερινό Εξάμηνο 2014 Σελίδα 2
Θα δείξουμε ότι η πρόταση είναι ταυτολογία. Έστω δομή Μ με αρχική κατάσταση s και w μονοπάτι που ξεκινά από την κατάσταση αυτή. Τότε έχουμε τα εξής: w [q U (p q)] G p αν και μόνο αν εφόσον w [q U (p q)] τότε w G p αν και μόνο αν εφόσον k τ.ω. w k p q και j τ.ω. 0 j <k w j q τότε όχι [ i w i p ] αν και μόνο αν εφόσον k τ.ω. w k p και w k q και j τ.ω. 0 j<k,w j q τότε I, i=k και w i p αν και μόνο αν true (ii) F (p U q) (F p F q) Υπάρχει δομή που ικανοποιεί την πρόταση, αλλά η πρόταση δεν ικανοποιείται σε όλες τις δομές. {p} {q} Δομή που δεν ικανοποιεί την πρόταση: {q} { } (iii) G F p [G (p F p)] {p} { } Θα δείξουμε ότι η πρόταση είναι ταυτολογία Έστω δομή Μ με αρχική κατάσταση s και w μονοπάτι που ξεκινά από την κατάσταση αυτή. Τότε έχουμε τα εξής: w G F p [G (p F p)] αν και μόνο αν εφόσον w G F p τότε w G (p F p) αν και μόνο αν εφόσον k ισχύει ότι w k F p τότε k ισχύει ότι αν w k p τότε w k F p αν και μόνο αν true (iv) φ G (φ Χ φ) (φ U Χ φ) Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 4 Χειμερινό Εξάμηνο 2014 Σελίδα 3
Υπάρχει δομή που ικανοποιεί την πρόταση, αλλά η πρόταση δεν ικανοποιείται σε όλες τις δομές. Δομή που δεν ικανοποιεί την πρόταση: {ψ} Άσκηση 4 Δύο ιδιότητες φ και ψ είναι ισοδύναμες μεταξύ τους, φ ψ, αν, για κάθε δομή Kripke M, M φ αν και μόνο αν M ψ. Να αποφασίσετε ποια από τα πιο κάτω ζεύγη προτάσεων περιέχουν ισοδύναμες προτάσεις. Αν δύο προτάσεις είναι ισοδύναμες να δώσετε απόδειξη χρησιμοποιώντας τη σημασιολογία, διαφορετικά να παρουσιάσετε δομή Kripke στην οποία να ικανοποιείται η μία ιδιότητα αλλά όχι η άλλη. (α) Α(φ U ψ) Ε(φ U ψ) Οι ιδιότητες δεν είναι ισοδύναμες. Στο πιο κάτω αντιπαράδειγμα ικανοποιείται το δεξί μέλος αλλά όχι το αριστερό. {ψ} (β) Α (φ U ψ) (ψ ΑG φ) E (ψ U φ) ΕF φ Οι ιδιότητες δεν είναι ισοδύναμες. Στο πιο κάτω αντιπαράδειγμα ικανοποιείται το αριστερό μέλος αλλά όχι το δεξί. {ψ} (γ) A(φ U (ψ AG φ)) AF ψ EF φ Οι ιδιότητες είναι ισοδύναμες. Θα δείξουμε ότι για κάθε δομή Kripke M με αρχική κατάσταση s, M,s A(φ U (ψ AG φ)) αν και μόνο αν M,s AF ψ EF φ M,s A(φ U (ψ AG φ)) για κάθε μονοπάτι w που ξεκινά από την s, ισχύει ότι M,w φ U (ψ AG φ) Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 4 Χειμερινό Εξάμηνο 2014 Σελίδα 4
για κάθε μονοπάτι w που ξεκινά από την s, ισχύει ότι k τέτοιο ώστε M,w k ψ AG φ και i, 0 i k έχουμε ότι M,w i φ για κάθε μονοπάτι w που ξεκινά από την s, ισχύει ότι k τέτοιο ώστε M,w k ψ και M,w k AG φ και i, 0 i k έχουμε ότι M,w i φ για κάθε μονοπάτι w που ξεκινά από την s, ισχύει ότι k τέτοιο ώστε M,w k ψ και για κάθε μονοπάτι w που ξεκινά από την s, ισχύει ότι k τέτοιο ώστε M,w k AG φ και i, 0 i k έχουμε ότι M,w i φ για κάθε μονοπάτι w που ξεκινά από την s, ισχύει ότι k τέτοιο ώστε για κάθε μονοπάτι w που ξεκινά από την w k έχουμε ότι M, w G φ και i, 0 i k έχουμε ότι M,w i φ για κάθε μονοπάτι w που ξεκινά από την s, ισχύει ότι k τέτοιο ώστε για κάθε μονοπάτι w που ξεκινά από την w k και για κάθε κατάσταση s του μονοπατιού έχουμε ότι M, s φ και i, 0 i k έχουμε ότι M,w i φ για κάθε μονοπάτι w που ξεκινά από την s και για κάθε κατάσταση s του μονοπατιού έχουμε ότι M, s φ δεν υπάρχει μονοπάτι w που ξεκινά από την s και κατάσταση s του μονοπατιού τέτοια ώστε M, s φ M,s EF φ Άσκηση 5 Θεωρήστε την ακόλουθη δομή Kripke και αποφασίστε σε ποιες από τις καταστάσεις της δομής ικανοποιείται κάθε μια από τις CTL ιδιότητες που ακολουθούν. Να εξηγήσετε τις απαντήσεις σας χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο μοντελοελέγχου της CTL. 2 {b,d} {a,b} 1 3 {a} 4 {a,} (i) AG EF Ε(b U d) Αρχικά μετατρέπουμε την πρόταση σε μια ισοδύναμη η οποία αποτελείται μόνο από τελεστές του επαρκούς συνόλου. Στη συνέχεια δημιουργούμε το δέντρο που αντιστοιχεί Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 4 Χειμερινό Εξάμηνο 2014 Σελίδα 5
στην πρόταση και ξεκινώντας από τα φύλλα υπολογίζουμε τις καταστάσεις που ικανοποιούν κάθε υπο ιδιότητα μέχρι να φτάσουμε στη ρίζα του δέντρου. AG EF Ε(b U d) AG Ε (true U E(b U d)) EF Ε (true U E(b U d)) E (true U Ε (true U E(b U d))) {1,2,3,4} EU {} true {1,2,3,4} {} EU {1,2,3,4} true {1,2,3,4} EU {1,2} b {1,2} d {2} Επομένως η ιδιότητα ικανοποιείται σε όλες τις καταστάσεις. (ii) EX [ E(b U a) EF ] [Α(a U ) AX EG b] Αρχικά μετατρέπουμε την πρόταση σε μια ισοδύναμη η οποία αποτελείται μόνο από τελεστές του επαρκούς συνόλου. Στη συνέχεια δημιουργούμε το δέντρο που αντιστοιχεί στην πρόταση και ξεκινώντας από τα φύλλα υπολογίζουμε τις καταστάσεις που ικανοποιούν κάθε υπο ιδιότητα μέχρι να φτάσουμε στη ρίζα του δέντρου. EX [E(b U a) EF ] [A(a U ) AX EG b] EX [E(b U a) EF ] [A(a U ) AX EG b] EX [E(b U a) E(true U )] [A(a U ) AX (AF b)] EX [E(b U a) E(true U )] [A(a U ) EX (AF b)] EX [E(b U a) E(true U )] [ (E[ U (a )] EG) EX AF b] EX [E(b U a) E(true U )] [ (E[ U (a )] AF ) EX AF b] Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 4 Χειμερινό Εξάμηνο 2014 Σελίδα 6
{2,4} {1,2,3,4} EX {2,4} {2} {1,2,3,4} {1,3,4} EU 4 {1,2,3} {2} EX {1,3,4} {1,3,4} EU b a true {1,2,3,4} EU {1,2,3} {1,2,3} ΑF AF {3,4} {1,2} {1,3,4} {1,2,3} {2} {2} {1,2,3} {3,4} b {1,2} a {1,3,4} Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 4 Χειμερινό Εξάμηνο 2014 Σελίδα 7