Λύσεις 2 ης Σειράς Ασκήσεων
|
|
- Ζοροβάβελ Κοτζιάς
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Λύσεις 2 ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση 1 Στην άσκηση αυτή σας ζητείται να διατυπώσετε στον Κατηγορηματικό Λογισμό ένα σύνολο από απαιτήσεις/προτάσεις που σχετίζονται με ένα κοινωνικό δίκτυο χρησιμοποιώντας τα κατηγορήματα που ακολουθούν. User(u) : o κωδικός u είναι ένας ενεργός κωδικός χρήστη Friend(u,v) : οι χρήστες u και v είναι φίλοι Block(u,v) ο χρήστης u έχει τοποθετήσει τον χρήστη v σε λίστα αποκλεισμού Photo(p,u) : η p είναι φωτογραφία του χρήστη u Right_to_see(u, p): ο χρήστης u έχει το δικαίωμα να δει την φωτογραφία p Right_to_mail(u, v): ο χρήστης u έχει το δικαίωμα να στείλει ηλεκτρονικό μήνυμα στον χρήστη v. (i) Κάθε ενεργός χρήστης έχει τουλάχιστον κάποιο άλλο ενεργό χρήστη για φίλο. x ( User(x) [ y User(y) Friend(x,y) ] ) (ii) Κάθε χρήστης έχει το δικαίωμα να βλέπει τις δικές του φωτογραφίες. x p [ User(x) Photo(p,x) Right_to_see(x,p) ] (iii) Κάθε χρήστης έχει το δικαίωμα να βλέπει τις φωτογραφίες των φίλων του. x y p [ User(x) User(y) Friend(x,y) Photo(p,y) Right_to_see(x,p) ] (iv) Αν δύο άτομα δεν είναι φίλοι τότε δεν έχουν το δικαίωμα να βλέπουν ο ένας τις φωτογραφίες του άλλου. Επιπρόσθετα αν κάποιος χρήστη βρίσκεται στη λίστα αποκλεισμού κάποιου άλλου χρήστη τότε δεν μπορεί να επικοινωνήσει μαζί του με ηλεκτρονικό μήνυμα x y [ User(x) User(y) Friend(x,y) ( Photo(p,x) Right_to_see(y,p) Photo(p,y) Right_to_see(x,p) Block(x,y) Right_to_ (y,x))] (v) Υπάρχει ακριβώς ένας χρήστης που μπορεί να δει όλες τις διαθέσιμες φωτογραφίες στο δίκτυο. x [ User(x) y p (Photo(p,y) Right_to_see(x,p)) z [ User(z) y p (Photo(p,y) Right_to_see(z,p)) x = z] ] (vi) Κάθε χρήστης συνδέεται με οποιοδήποτε άλλο χρήστη από μια αλυσίδα φίλων που έχει το πολύ μήκος 5. x y [User(x) User(y) [Friend(x,y) z (Friend(x,z) Friend(z,y)) z 1 z 2 (Friend(x,z 1 ) Friend(z 1,z 2 ) Friend(z 2,y)) z 1 z 2 z 3 (Friend(x,z 1 ) Friend(z 1,z 2 ) Friend(z 2,z 3 ) Friend(z 3,y))]] (vii) Δεν είναι δυνατό κάποιος χρήστης να μπορεί να δει τις φωτογραφίες κάποιου άλλου χρήστη και να μην μπορεί να του στείλει ηλεκτρονικό μήνυμα. x y p ( User(x) User(y) Photo(p,y) Right_to_see(x,p) Right_to_mail(x,y)) Λύσεις 2 ης Σειράς Προβλημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Σελίδα 1 από 8
2 Άσκηση 2 (α) x P(x), x (P(x) P(f(x))), x (P(x) P(g(x))) x P(f(g(x))) 1. x P(x) προϋπόθεση 2. x (P(x) P(f(x))) προϋπόθεση 3. x (P(x) P(g(x))) προϋπόθεση 4. x 0 P(x 0 ) προσωρινή υπόθεση 5. P(x 0 ) P(f(x 0 )) x e 2 6. P(f(x 0 )) MP 5, 4 7. P(f(x 0 )) P(g(f(x 0 ))) x e 3 8. P(g(f(x 0 ))) MP 6, 7 9. x P(f(g(x))) x i x P(f(g(x))) x e 1, 2 9 (β) (x = 3), (y = 5), (y = z) (x = z) 1. (x = 3) προϋπόθεση 2. (y = 5) προϋπόθεση 3. (y = z) προϋπόθεση 4. x = z προσωρινή υπόθεση 5. 3 = z =e από 1 και 4 στην πρόταση w = z 6. 3 = y =e από 3 και 5 στην πρόταση 3 = w 7. 3 = 5 =e από 2 και 6 στην πρόταση 3 = w 8. 3 = 3 = i 9. (3 = 3) από e 9,8 11. (x = z) i 4 10 (γ) x[p(x) (Q(x) R(x) S(x))], x [(Q(x) y N(x,y)) R(x)] x (P(x) y N(x,y)) 1. x[p(x) (Q(x) R(x) S(x))] προϋπόθεση 2. x [(Q(x) y N(x,y)) R(x)] προϋπόθεση 3. x 0 4. P(x 0 ) προσωρινή υπόθεση 5. P(x 0 ) (Q(x 0 ) R(x 0 ) S(x 0 )) x e 1 6. Q(x 0 ) R(x 0 ) S(x 0 ) MP 4, 5 7. Q(x 0 ) e 6 8. R(x 0 ) e 6 9. y N(x 0,y) προσωρινή υπόθεση 10. (Q(x 0 ) y N(x 0,y)) R(x 0 ) x e Q(x 0 ) y N(x 0,y) i 7, R(x 0 ) MP 10, i 8, y N(x 0,y) RAA P(x 0 ) y N(x 0,y) i x (P(x) y N(x,y)) x i 4 15 Λύσεις 2 ης Σειράς Προβλημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Σελίδα 2 από 8
3 (δ) x (P(x) Q(x)), x (R(x) Q(x)), x ( S(x) P(x)) x (R(x) S(x)) 1. x (P(x) Q(x)) προϋπόθεση 2. x (R(x) Q(x)) προϋπόθεση 3. x ( S(x) P(x)) προϋπόθεση 4. x 0 R(x 0 ) Q(x 0 ) προσωρινή υπόθεση 5. R(x 0 ) e Q(x 0 ) e S(x 0 ) P(x 0 ) x e 3 8. S(x 0 ) προσωρινή υπόθεση P(x 0 ) προσωρινή υπόθεση 9. P(x 0 ) Q(x 0 ) x e Q(x 0 ) MP e 6, S(x 0 ) e S(x 0 ) e 7, R(x 0 ) S(x 0 ) i 5, x (R(x) S(x)) x i x (R(x) S(x)) x e 2, 3 15 (ε) x P(x) x Q(x) x y (P(x) Q(y)) 1. x P(x) x Q(x) προϋπόθεση 2. x P(x) x P(x) LEM 3. x P(x) προσωρινή υπόθεση x P(x) προσωρινή υπόθεση 4. x Q(x) MP 1, 3 x y (P(x) Q(y)) πρ. υπ. 5. x 0 Q(x 0 ) προσωρινή υπόθεση x 0 6. P(x 0 ) προσωρινή υπόθεση P(x 0 ) πρ. υπ. 7. Q(x 0 ) copy 5 P(x 0 ) πρ. υπ. 8. P(x 0 ) Q(x 0 ) i, 6 7 6, 7 9. y (P(x 0 ) Q(y)) y i 8 Q(y 0 ) e x y (P(x) Q(y)) x i 9 P(x 0 ) Q(y 0 ) i x y (P(x) Q(y)) x e 4, 5 10 y (P(x 0 ) Q(y)) y i x y (P(x) Q(y)) x i e 4, P(x 0 ) RAA x P(x) x i e 3, x y (P(x) Q(y)) RAA x y (P(x) Q(y)) e 2, 3 17 Άσκηση 3 Θεωρήστε μια κατηγορηματική γλώσσα με 6 σταθερές, τις A, B, C, D, E, και F, δύο κατηγορηματικά σύμβολα δύο θέσεων, το On και το Above, και τρία κατηγορηματικά σύμβολα μίας θέσης, το Free, το Blue και το Green. Λύσεις 2 ης Σειράς Προβλημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Σελίδα 3 από 8
4 Θεωρήστε επίσης μοντέλο Μ με σύμπαν αντικειμένων το Α = {b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, table} και όπου A M = b 1, B M = b 2, C M = b 3, D M = b 4, E M = b 5, F M = table b1 On Μ = { (b 1, b 4 ), (b 4, b 3 ), (b 3, table), (b 5, b 2 ), (b 2, table) } Above Μ b4 = { (b 1, b 4 ), (b 4, b 3 ), (b 3, table), (b 1, b 3 ), (b 4, table), b5 (b 1, table), (b 5, b 2 ), (b 2, table), (b 5, table) } b3 Free Μ = { b 1, b 5 } b2 Green Μ = { b 4 } Red Μ = { b 1, b 5 } Να μεταφράσετε τις πιο κάτω προτάσεις στον Κατηγορηματικό Λογισμό και να αποφασίσετε για ποιες από αυτές ισχύει ότι Μ φ; Αιτιολογήστε τις απαντήσεις σας με σαφήνεια χρησιμοποιώντας τη σημασιολογία του Κατηγορηματικού Λογισμού (Αλήθεια του Tarski). Το ωραίο σχήμα πιο πάνω προέρχεται από τις λύσεις του συμφοιτητή σας Κυριάκου Ιακώβου. (α) Το Α είναι ψηλότερα από το C (κατηγόρημα Αbove) και το D είναι πάνω στο Ε (κατηγόρημα On) και ψηλότερα από το F (Αbove). Η πρόταση: φ 1 = Above(A,C) Λ On(D,E) Λ Above (D,F) Με βάση την αλήθεια του Τάρσκι ισχύει ότι M s φ 1 εφόσον M s Above(A,C) και M s On(D,E) και M s Above (D,F) Αυτό είναι ισοδύναμο με M s Above Μ (b 1, b 3 ) και M s On Μ (b 4, b 5 ) και M s Above Μ (b 4, table) M s Above Μ (b 1, b 3 ) και M s On Μ (b 4, b 5 ) και M s Above Μ (b 4, table) True και False και True False Επομένως η πρόταση δεν ικανοποιείται στο μοντέλο. (β) Κάθε αντικείμενο βρίσκεται πάνω (On) σε κάποιο άλλο αντικείμενο. Η πρόταση: φ 2 = xǝy On(x,y) Με βάση την αλήθεια του Τάρσκι ισχύει ότι M s φ 2 εφόσον M s xǝy On(x,y),, για κάθε x και τουλάχιστον ένα b False, αφού για x = table δεν υπάρχει b τέτοιο ώστε On(table,b). Επομένως η πρόταση δεν ικανοποιείται στο μοντέλο. (γ) Κάθε αντικείμενο που είναι ελεύθερο (Free) βρίσκεται ψηλότερα (Above) από όλα τα υπόλοιπα αντικείμενα. Η πρόταση: φ 3 = x (Free(x) y ( x = y Above(x,y)) Με βάση την αλήθεια του Τάρσκι M s φ 3 εφόσον M s x (Free(x) y ( x = y Above(x,y)) Free x, για κάθε a Free x, για κάθε a Λύσεις 2 ης Σειράς Προβλημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Σελίδα 4 από 8
5 Free,, για κάθε a και b False, αφού για x = b 1 και y = b 3 ισχύει ότι αλλά δεν ισχύει ότι,. Επομένως η πρόταση δεν ικανοποιείται στο μοντέλο. (δ) Κάθε αντικείμενο που είναι ελεύθερο (Free) δεν έχει πάνω του (On) κάποιο άλλο αντικείμενο. Η πρόταση: φ 4 = x [ Free(x) Ǝy On(x,y) ] Με βάση την αλήθεια του Τάρσκι ισχύει ότι M s φ 4 εφόσον M s x [ Free(x) Ǝy On(x,y) ], για κάθε a ή, για κάθε a True, αφού 1. για x = table ισχύει και επομένως, 2. για x = b 1 ισχύει, και επομένως, 3. για x = b 2 ισχύει και επομένως, 4. για x = b 3 ισχύει και επομένως, 5. για x = b 4 ισχύει και επομένως, 6. για x = b 5 ισχύει, και επομένως, Επομένως η πρόταση ικανοποιείται στο μοντέλο. (ε) Οτιδήποτε βρίσκεται ψηλότερα από το Β και δεν είναι πράσινο είναι κόκκινο. Η πρόταση: φ 5 = x [Above(x,B) ( Green(x) Red(x))] Με βάση την αλήθεια του Τάρσκι ισχύει ότι M s φ 5 εφόσον M s x [Above(x,B) ( Green(x) Red(x))], για κάθε a, για κάθε a False, αφού για x = b 5 ισχύει ότι Above(b 5, b 2 ) και Red(b 5 ). Επομένως η πρόταση δεν ικανοποιείται στο μοντέλο. Άσκηση 4 Να αποφασίσετε κατά πόσο οι πιο κάτω προτάσεις είναι έγκυρες, ικανοποιήσιμες, ή κανένα από τα δύο, αποδεικνύοντας τις απαντήσεις σας. (Αν μία πρόταση είναι έγκυρη να το αποδείξετε χρησιμοποιώντας την Αλήθεια του Tarski. Αν μια πρόταση είναι ικανοποιήσιμη αλλά όχι έγκυρη να δείξετε ότι υπάρχει ερμηνεία στην οποία ικανοποιείται και ερμηνεία στην οποία δεν ικανοποιείται. Αν δεν ισχύει κανένα από τα δύο να αιτιολογήσετε ότι δεν υπάρχει ερμηνεία στην οποία η πρόταση να ικανοποιείται.) (α) [ x (P(x) Q(x)) x P(x) ] x Q(x) H πρόταση αυτή είναι ικανοποιήσιμη αλλά όχι έγκυρη. Ικανοποιησιμότητα: Ας θεωρήσουμε το μοντέλο: Σύμπαν = το σύνολο των ακεραίων Λύσεις 2 ης Σειράς Προβλημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Σελίδα 5 από 8
6 P(x) = o x είναι περιττός ακέραιος Q(x) = o x είναι πρώτος ακέραιος Τότε η πρόταση είναι αληθής αφού τόσο η συνθήκη όσο και το συμπέρασμα της συνεπαγωγής είναι ορθά. Συγκεκριμένα, στο μοντέλο μας Ισχύει ότι x (P(x) Q(x)) αφού υπάρχει ακέραιος (π.χ. το 7) που είναι και περιττός και πρώτος Ισχύει ότι x P(x) αφού υπάρχουν περιττοί ακέραιοι, και Ισχύει ότι x Q(x) αφού υπάρχουν πρώτοι ακέραιοι. Μη ικανοποιησιμότητα: Αν θέσουμε, Σύμπαν = {a,b,c} P = {a,b} Q = {} η πρόταση γίνεται ψευδής ως εξής: Στο μοντέλο ισχύει ότι x (P(x) Q(x)). Για παράδειγμα, για x = c έχουμε ότι P(c) Q(c) (αφού F F μας δίνει Τ). Στο μοντέλο ισχύει επίσης ότι x P(x), π.χ. το a. Στο μοντέλο δεν ισχύει ότι x Q(x) αφού κανένα στοιχείο δεν ικανοποιεί το κατηγόρημα Q στο μοντέλο μας. (β) [ x R(x,x) x y [(R(x, y) R(y, y)) x = y ]] [ x y (R(y,y) x = y) ] Η πρόταση είναι ικανοποιήσιμη αλλά δεν είναι έγκυρη. Ικανοποιησιμότητα: Ας θεωρήσουμε το μοντέλο: Σύμπαν = {a,b,c} R = {(a,a)} Τότε η πρόταση είναι αληθής αφού τόσο η συνθήκη όσο και το συμπέρασμα της συνεπαγωγής είναι ορθά. Συγκεκριμένα, στο μοντέλο μας Ισχύει ότι x R(x,x) αφού R(a,a) Ισχύει ότι x y [(R(x, y) R(y, y)) x = y] αφού κάθε φορά που έχουμε R(x,y) και R(y,y), ισχύει ότι x = y = a. Τέλος, ισχύει ότι x y (R(y,y) x = y) για x = a. Μη ικανοποιησιμότητα: Αν θέσουμε, Σύμπαν = {a,b,c} R = {(a,a),(b,b),(c,c)} τότε η πρόταση γίνεται ψευδής ως εξής: Ισχύει ότι x R(x,x) αφού R(a,a). Ισχύει ότι x y [(R(x, y) R(y, y)) x = y] αφού κάθε φορά που έχουμε R(x,y) και R(y,y), ισχύει ότι x = y. Λύσεις 2 ης Σειράς Προβλημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Σελίδα 6 από 8
7 Εντούτοις, δεν ισχύει ότι x y (R(y,y) x = y). Αν επιλέξουμε x = a, τότε η πρόταση γίνεται ψευδής αφού για y = b ισχύει R(b,b) αλλά b a, και όμοια γίνεται ψευδής για x = b ή x = c. (γ) x y w v [P(x,w) P(y,v)] H πρόταση αυτή είναι μη ικανοποιήσιμη. Ας υποθέσουμε ότι η πρόταση είναι ικανοποίησιμη. Τότε υπάρχει μοντέλο Μ και αποτίμηση s τέτοια ώστε,, Επομένως, για κάθε a, υπάρχει b τέτοιο ώστε για κάθε c υπάρχει d τέτοιο ώστε,,,,, Δηλαδή,,,,, και,,,, Αυτό συνεπάγεται ότι για κάθε a και c ισχύει ότι,,,, (1) και υπάρχουν b και d τέτοια ώστε, (2) Από το (1) και θέτοντας x = b kai w = d παίρνουμε ότι, Αυτό όμως έρχεται σε αντίφαση με το (2) και καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η πρόταση είναι μη ικανοποιήσιμη. Άσκηση 5 Να γράψετε τις πιο κάτω προτάσεις στον Κατηγορηματικό Λογισμό και να αποδείξετε την εγκυρότητα του συλλογισμού. 1. Η θεία Άγκαθα δολοφονήθηκε είτε από τον Μανώλη είτε από τον εαυτό της. 2. Ένας δολοφόνος πάντα αντιπαθεί το θύμα του. 3. Ο Μανώλης δεν αντιπαθεί κανένα από όσους αντιπαθεί η θεία Αγκαθα. 4. Η θεία Άγκαθα αντιπαθεί όλους εκτός από τον Μανώλη (συμπεριλαμβανομένου και του εαυτού της). Συμπέρασμα: Η θεία Άγκαθα αυτοκτόνησε. Σημείωση: Κατά τη διατύπωση των προτάσεων στον Κατηγορηματικό Λογισμό μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τα πιο κάτω κατηγορήματα. Δ(x,y): Ο x είναι ο δολοφόνος του y Α(x,y): Ο x αντιπαθεί τον y Κατ αρχή, μεταφράζουμε τις προτάσεις στον Κατηγορηματικό Λογισμό: Η θεία Άγκαθα δολοφονήθηκε είτε από τον Μανώλη, είτε από τον εαυτό της. Δ(Άγκαθα,Άγκαθα) Δ(Μανώλης, Άγκαθα) Ένας δολοφόνος πάντα αντιπαθεί το θύμα του. x y [Δ(x,y) A(x,y)] Ο Μανώλης δεν αντιπαθεί κανένα από όσους αντιπαθεί η θεία Αγκαθα. Λύσεις 2 ης Σειράς Προβλημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Σελίδα 7 από 8
8 x (A(Aγκαθα, x) A(Μανώλης,x)) Η θεία Άγκαθα αντιπαθεί όλους εκτός από τον Μανώλη (συμπεριλαμβανομένου και του εαυτού της). x [ x=μανώλης Α(Άγκαθα,x) ] A(Άγκαθα, Μανώλης) Συμπέρασμα: Η θεία Άγκαθα αυτοκτόνησε. Δ(Άγκαθα,Άγκαθα) Θέλουμε να αποδείξουμε οι 4 προτάσεις/υποθέσεις έχουν ως λογικό τους επακόλουθο το συμπέρασμα του πιο πάνω συλλογισμού. Θα το αποδείξουμε μέσω των κανόνων του λογικού συμπερασμού. Για συντομία, χρησιμοποιούμε τα σύμβολα Α και Μ για τις σταθερές Άγκαθα και Μανώλης. Θα χρησιμοποιήσουμε ως επιπρόσθετη προϋπόθεση ότι η Άγκαθα και ο Μανώλης είναι διαφορετικά άτομα, δηλαδή ότι (Α = Μ) 1. Δ(Α,Α) Δ(Μ, Α) προϋπόθεση 2. x y [Δ(x,y) A(x,y)] προϋπόθεση 3. x (A(Α, x) A(Μ,x)) προϋπόθεση 4. x [ x=μ Α(Α,x) ] A(Α, Μ) προϋπόθεση 5. Α = Μ προϋπόθεση 6. Δ(Α,Α) προσωρινή υπόθεση Δ(Μ,Α) προσωρινή υπόθεση 7. y Δ(M,y) A(M,y) x e 2 8. Δ(M,A) A(M,A) y e 7 9. A(M,A) MP 6, x ( x=μ Α(Α,x)) e A=Μ Α(Α,A) x e Α(Α,Α) MP 5, A(Α, A) A(Μ,A) x e Α(Μ,Α) MP 12, e 14, Δ(Α,Α) e Δ(Α,Α) e 1, 6 16 Λύσεις 2 ης Σειράς Προβλημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Σελίδα 8 από 8
Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2
Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2 Άσκηση 1 N φιλόσοφοι κάθονται γύρω από ένα τραπέζι με N καρέκλες, N πιάτα και N πιρούνια. Όταν κάποιος φιλόσοφος πεινάσει παίρνει τα δύο πιρούνια που βρίσκονται δίπλα από το πιάτο
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Σειράς Ασκήσεων 2
Άσκηση 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2 Ακολουθεί η διατύπωση των προτάσεων στον Κατηγορηματικό Λογισμό. (α) Δεν υπάρχουν δύο διαφορετικές πτήσεις με τον ίδιο αριθμό. x 1, d 1, a 1, s 1, t 1, x 2, d 2, a 2,
Διαβάστε περισσότεραΚατ οίκον Εργασία 2 Λύσεις
Κατ οίκον Εργασία 2 Λύσεις Άσκηση 1 Ακολουθεί η διατύπωση των προτάσεων στον προτασιακό λογισμό. (α) Κάθε ενεργός χρήστης είναι είτε διαχειριστής είτε κανονικός χρήστης του συστήματος. x [Ενεργός (x) Διαχειριστής(x)
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις
Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Άσκηση 1 Να διατυπώσετε τον πιο κάτω συλλογισμό στον Προτασιακό Λογισμό και να τον αποδείξετε χρησιμοποιώντας τη Μέθοδο της Επίλυσης. Δηλαδή, να δείξετε ότι αν ισχύουν οι πέντε
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Ενδιάμεση Εξέταση Σκελετοί Λύσεων Ημερομηνία : Σάββατο, 27 Οκτωβρίου 2012 Διάρκεια : 11:00 13:00 Διδάσκουσα : Άννα Φιλίππου Άσκηση
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις
Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις Άσκηση 1 Χρησιμοποιώντας τα πιο κάτω κατηγορήματα και σταθερές και υποθέτωντας ως σύμπαν το σύνολο όλων των ανθρώπων, να διατυπώσετε τις προτάσεις που ακολουθούν στον Κατηγορηματικό
Διαβάστε περισσότεραΚατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)
Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Δείγμα Ενδιάμεσης Εξέτασης Λύσεις Άσκηση 1 [30 μονάδες] Να αποδείξετε τα πιο κάτω λογικά επακόλουθα χρησιμοποιώντας τα συστήματα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Ενδιάμεση Εξέταση Ημερομηνία : Τετάρτη 24 Οκτωβρίου, 2018 Διάρκεια : 12:00 13:30 Διδάσκουσα : Άννα Φιλίππου Ονοματεπώνυμο: ΠΡΟΧΕΙΡΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Ενδιάμεση Εξέταση Ημερομηνία : Πέμπτη, 30 Οκτωβρίου 2014 Διάρκεια : 10:30 12.00 Διδάσκουσα : Άννα Φιλίππου ΠΡΟΤΥΠΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Οδηγίες:
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 1 ης Σειράς Ασκήσεων
Λύσεις 1 ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση 1 Έστω οι ατομικές προτάσεις A 1 = H Αντιγόνη κέρδισε τον αγώνα, A 3 = H Αντιγόνη πήρε την τρίτη θέση, Β 2 = Ο Βίκτορας πήρε την δεύτερη θέση, Γ 3 = Ο Γιάννης πήρε την
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Σειράς Ασκήσεων 1
Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 1 Άσκηση 1 Έστω οι προτάσεις / προϋπόθεσεις: Π1. Σε όσους αρέσει η τέχνη αρέσουν και τα λουλούδια. Π2. Σε όσους αρέσει το τρέξιμο αρέσει και η μουσική. Π3. Σε όσους δεν αρέσει η
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Σειράς Ασκήσεων 3
Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 3 Άσκηση 1 Να υπολογίσετε την προτασιακή μορφή των πιο κάτω προτάσεων. (α) xyz [(P(x,y) Q(y,z)) Q(x,y)] x P(x,f(x)) Βήμα 1: Μετατροπή σε Κανονική Μορφή Prenex: xyz [(P(x,y) Q(y,z))
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Επανάληψης Λύσεις
Άσκηση 1 Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις (α) Το επακόλουθο (A (B C)) ((A C) (A B)) είναι ψευδές. Αυτό φαίνεται στην ανάθεση τιμών [Α] = Τ, [Β] = F, [C] = T. (β) Ακολουθεί η απόδειξη του επακόλουθου. 1. x(p(x)
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Επανάληψης Λύσεις
Άσκηση 1 Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις (α) Το επακόλουθο (A (B C)) ((A C) (A B)) είναι ψευδές. Αυτό φαίνεται στην ανάθεση τιμών [Α] = Τ, [Β] = F, [C] = T. (β) Ακολουθεί η απόδειξη του επακόλουθου. 1. x(p(x)
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Ενδιάμεση Εξέταση Ημερομηνία : Δευτέρα 2 Νοεμβρίου 2015 Διάρκεια : 10:30 12:00 Διδάσκουσα : Άννα Φιλίππου Ονοματεπώνυμο: Αριθμός
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις
Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Άσκηση 1 O πιο κάτω συλλογισμός (αποτελεί μικρή παραλλαγή συλλογισμού που) αποδίδεται στον Samuel Clarke και προέρχεται από την εργασία του Demonstration of the Being and Attributes
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ : Λογική στην Πληροφορική Δείγμα Ενδιάμεσης Εξέτασης Σκελετοί Λύσεων Άσκηση [0 μονάδες] α Να αναφέρετε τρεις μεθόδους μέσω των οποίων μπορούμε να αποφασίσουμε
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 15/02/2018 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 15-Feb-18
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Να αποφασίσετε κατά πόσο οι πιο κάτω προδιαγραφές είναι ορθές σύμφωνα με την έννοια της μερικής ορθότητας και την έννοια της ολικής ορθότητας. Να αιτιολογήσετε σύντομα
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Σειράς Ασκήσεων 1
Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 1 Άσκηση 1 p q r p (q r) (p q) p q r ( r p q) T T T T F T T T T F F F F T T F T T T T T T F F T T T T F T T T F T T F T F T F T T F F T T F T F F F F T F T T Ο πιο πάνω πίνακας παρουσιάζει
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής
Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις
Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Άσκηση 1 Σκοπεύετε να διοργανώσετε ένα πάρτι για τους συμφοιτητές σας κάτω από τους πιο κάτω περιορισμούς. Π1. Η Μαίρη δεν μπορεί να έρθει. Π2. Ο Ηλίας και η Αντιγόνη είτε θα
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής
Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής
Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)
ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά καλή βαθμολογική εικόνα (
Διαβάστε περισσότεραΗΥ118 - Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο 2013
ΗΥ118 - Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2013 2 η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Άσκηση 2.1 [2 μονάδες] Έστω μεταβλητές και σταθερές στο σύνολο των ανθρώπων και η προτασιακή μορφή Ρ(x, y) με το νόημα "o x αγαπά
Διαβάστε περισσότεραΚατηγορηµατική Λογική
Προβλήµατα της Προτασιακής Λογικής Γιατί δεν µας αρκεί η Προτασιακή Λογική; Εστω ότι ισχύουν τα P και Q: P : «Ο Σωκράτης είναι άνθρωπος» Q : «Κάθε άνθρωπος είναι ϑνητός» R : «Ο Σωκράτης είναι ϑνητός» Μπορούµε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ME ΠΟΛΛΕΣ ΚΑΙ ΕΓΚΑΡΔΙΕΣ ΕΥΧΕΣ ΓΙΑ ΚΑΛΕΣ ΓΙΟΡΤΕΣ, ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΡΟΟΔΟ ΣΕ ΕΣΑΣ ΚΑΙ ΤΙΣ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΕΣ ΣΑΣ Φυλλάδιο 2: Σχεσιακή Λογική ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2006 ΠΑΡΑΔΟΣΗ: 12/11/2006
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Σειράς Ασκήσεων 4
Άσκηση 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 4 Έστω το σύνολο ατομικών προτάσεων ΑΡ = {red, yellow, green}. Με βάση τις ατομικές προτάσεις ΑΡ διατυπώστε τις πιο κάτω προτάσεις που αφορούν την κατάσταση των φώτων της
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Σειράς Ασκήσεων 4
Άσκηση 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 4 Θεωρήστε το σύνολο των ατομικών προτάσεων ΑΡ = {α, π, ε} που αντιστοιχούν στις ενέργειες αποστολής μηνύματος, παραλαβής μηνύματος και επιστροφής αποτελέσματος που εκτελούνται
Διαβάστε περισσότεραΚατηγορηµατική Λογική Προτασιακή Λογική: πλαίσιο διατύπωσης και µελέτης επιχειρηµάτων για πεπερασµένο πλήθος «λογικών αντικειµένων». «Λογικό αντικείµε
Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηµατική
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)
ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική βαθμολογική εικόνα
Διαβάστε περισσότεραHY 180 Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5
HY 180 Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5 Α) ΘΕΩΡΙΑ Η Μορφολογική Παραγωγή ανήκει στα συστήματα παραγωγής, δηλαδή σε αυτά που παράγουν το συμπέρασμα με χρήση συντακτικών κανόνων λογισμού. Η
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/02/2017 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 2/21/2017
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/02/2017 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 2/21/2017
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 1 ης Σειράς Ασκήσεων
Λύσεις 1 ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση 1 α) p q r (p s) ((s t) t) 1. p q r προϋπόθεση 2. p s προσωρινή υπόθεση 3. s t προσωρινή υπόθεση 4. p e 1 5. s ΜP 2,4 6. t ΜP 3,5 7. (s t) t i 3, 6 8. (p s) ((s t) t)
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα άμεσης απόδειξης. HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της μορφής εάν-τότε
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 27/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 27-Feb-18
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 16/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 17-Feb-18
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 27/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 27-Feb-18
Διαβάστε περισσότερα\5. Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus)
\5 Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus) 51 Αντικείμενα Ιδιότητες και Σχέσεις Θεωρείστε την παρακάτω εξαγωγή συμπεράσματος: Κανένας ακέραιος δεν είναι μεγαλύτερος από το τετράγωνό του Το 1 2 είναι
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Προτασιακής Λογικής
Μαθηματικές Προτάσεις Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Διαβάστε περισσότεραΛογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Ασκήσεις στον Κατηγορηματικό Λογισμό Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Ασκήσεις στον Κατηγορηματικό Λογισμό Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons και ειδικότερα Αναφορά
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Ημερομηνία Παράδοσης: 13/11/13
Σειρά Προβλημάτων 4 Ημερομηνία Παράδοσης: 13/11/13 Άσκηση 1 (20 μονάδες) Οι ιδιότητες διατυπώνοντας στην PLTL ως εξής: (α) Αν ο καταχωρητής Κ 1 κάποια στιγμή πάρει την τιμή 1 θα διατηρήσει την τιμή αυτή
Διαβάστε περισσότερα, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα.
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Διδάσκοντες: Δ.Φωτάκης Θ. Σούλιου η Γραπτή Εργασία Ημ/νια παράδοσης 5/4/8 Θέμα (Διαδικασίες Απαρίθμησης.
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις (α) Χρησιμοποιούμε τις επιπλέον μεταβλητές PC 1, PC 2, (program counters) οι οποίες παίρνουν ως τιμές ονόματα των γραμμών του κώδικα όπως φαίνεται πιο κάτω. bool y 1
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 20/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 20-Feb-18
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 23/02/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 2/23/2017
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις (α) Χρησιμοποιούμε τις επιπλέον μεταβλητές PC i, (program counters) οι οποίες παίρνουν ως τιμές ονόματα των γραμμών του κώδικα όπως φαίνεται πιο κάτω. Process P i :
Διαβάστε περισσότεραΛογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5: Προτασιακός Λογισμός: Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5: Προτασιακός Λογισμός: Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης 1. Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons
Διαβάστε περισσότεραΕπανάληψη. ΗΥ-180 Spring 2019
Επανάληψη Έχουμε δει μέχρι τώρα 3 μεθόδους αποδείξεων του Προτασιακού Λογισμού: Μέσω πίνακα αληθείας για τις υποθέσεις και το συμπέρασμα, όπου ελέγχουμε αν υπάρχουν ερμηνείες που ικανοποιούν τις υποθέσεις
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 (15 μονάδες) Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δώσετε προδιαγραφές (τριάδες Hoare) για τα πιο κάτω προγράμματα: (α) Ένα πρόγραμμα το οποίο παίρνει ως δεδομένο εισόδου δύο πίνακες Α και Β και ελέγχει
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότερα4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος.
Κεφάλαιο 10 Μαθηματική Λογική 10.1 Προτασιακή Λογική Η γλώσσα της μαθηματικής λογικής στηρίζεται βασικά στις εργασίες του Boole και του Frege. Ο Προτασιακός Λογισμός περιλαμβάνει στο αλφάβητό του, εκτός
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις
ΕΠΛ664: Ανάλυση και Επαλθευση Συστημάτων Τμμα Πληροφορικς Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις (α) Χρησιμοποιούμε τις επιπλέον μεταβλητές PC0, PC1, (program counters) οι οποίες παίρνουν ως τιμές ονόματα
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Σειράς Ασκήσεων 3
Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 3 Άσκηση 1 Να εφαρμόσετε τη διαδικασία της επίλυσης στα πιο κάτω προτασιακά σύνολα. (α) { P(a,f(f(x))) }, { P(y,z), P(y, f(f(z))) }, {P(x,b), Q(x)}, {P(x,b),Q(x)} Η Μέθοδος της Επίλυσης
Διαβάστε περισσότεραΑπειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις τέταρτου φυλλαδίου ασκήσεων. ( n(n+1) e 1 (
. Αποδείξτε ότι: Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο 08-9. Λύσεις τέταρτου φυλλαδίου ασκήσεων. +) 7 +) +), 5 +7 5 5, +log ) 7 log 4, +, ++ + + ) +4+4 + +4, + si +, +) +), + [ ], + + 0, + +, ) +,,
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις
ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Να βρείτε το σφάλμα στην πιο κάτω απόδειξη. Ισχυρισμός: Όλα τα βιβλία που έχουν γραφτεί στη Θεωρία Υπολογισμού έχουν τον ίδιο
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Σειράς Ασκήσεων 4
Άσκηση 0 (25 μονάδες) Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 4 (α) Θεωρήστε το πιο κάτω πρόγραμμα λογικού προγραμματισμού και χρησιμοποιήστε τη μέθοδο της SLD επίλυσης για να φθάσετε σε διάψευση του στόχου. concat([],
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8 Σημασιολογία λογικών προγραμμάτων
Κεφάλαιο 8 Σημασιολογία λογικών προγραμμάτων Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η μοντελοθεωρητική σημασιολογία του λογικού προγραμματισμού, δηλαδή αυτή που βασίζεται σε ερμηνείες και μοντέλα, με τελικό
Διαβάστε περισσότεραΜορφολογική Παραγωγή. 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 08/03/2018 Ζωγραφιστού Δήμητρα
Μορφολογική Παραγωγή 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 08/03/2018 Ζωγραφιστού Δήμητρα Συστήματα Αποδείξεων στον ΠΛ(1/2) Συχνά μας ενδιαφέρει να μπορούμε να διαπιστώσουμε αν μία εξαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 2 (996) A = x 1 + y 3, με x, y πραγματικούς αριθμούς, για τους οποίους. Δίνεται η παράσταση:
ΘΕΜΑ 2 (996) Δίνεται η παράσταση: A = x 1 + y 3, με x, y πραγματικούς αριθμούς, για τους οποίους ισχύει: 1 < x < 4 και 2 < y < 3. Να αποδείξετε ότι: α) A = x y +2. (Μονάδες 12) β) 0 < A < 4. (Μονάδες 13)
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 2ο μέρος σημειώσεων: Συστήματα Αποδείξεων για τον ΠΛ, Μορφολογική Παραγωγή, Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αξιόλογη προσπάθεια,
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Κρήτης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών. Σχεσιακός Λογισμός
Σχεσιακός Λογισμός Γλώσσα βασισμένη στον Κατηγορηματικό Λογισμό 1 ης Τάξης (First Order Predicate Calculus) Οι περισσότερες γλώσσες επερώτησης σχεσιακών βάσεων δεδομένων βασίζονται στον Σχεσιακό Λογισμό
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών
Διαβάστε περισσότεραΠροτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1)
Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνταξη Λογικός Συμπερασμός Σημασιολογία Ορθότητα και Πληρότητα Κανονικές Μορφές Προτάσεις Horn ΕΠΛ 412 Λογική
Διαβάστε περισσότεραΜορφολογική Παραγωγή. 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 28/02/2019 Ζωγραφιστού Δήμητρα
Μορφολογική Παραγωγή 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 28/02/2019 Ζωγραφιστού Δήμητρα Συστήματα Αποδείξεων στον ΠΛ(1/2) Συχνά μας ενδιαφέρει να μπορούμε να διαπιστώσουμε αν μία εξαγωγή
Διαβάστε περισσότεραMαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός
ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΤΗΜΑΤΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2004 Θέμα 1 ο : Αποδείξτε με τον κανόνα της επίλυσης τα ακόλουθα Α. Η πρόταση (Α (Β C)) & (A B) & (A C) είναι μη επαληθεύσιμη Β. Η Β είναι αποδείξιμη από το Δ={ (Β
Διαβάστε περισσότεραΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2017 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 14/06/2017 ΛΥΣΕΙΣ
ΗΥ8: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 07 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 4/06/07 ΛΥΣΕΙΣ Σημείωση: Οι παρακάτω λύσεις είναι ενδεικτικές. Ενδεχομένως, υπάρχουν και άλλοι σωστοί τρόποι επίλυσης. Θέμα
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών
Διαβάστε περισσότεραΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2019 Λύσεις ασκήσεων προόδου
ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2019 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: a. Δείξτε κατά πόσον η πρόταση ((p q) r) ((p q) (q r)) αποτελεί ή όχι ταυτολογία. Κάποιος ιδιόρρυθμος δικαστής ρωτήθηκε κατά
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Προτασιακής Λογικής
Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις (Μαθηματική)
Διαβάστε περισσότεραΑρχεία και Βάσεις Δεδομένων
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Αρχεία και Βάσεις Δεδομένων Διάλεξη 7η: Σχεσιακός Λογισμός Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Σχεσιακός Λογισμός Γλώσσα βασισμένη στον Κατηγορηματικό
Διαβάστε περισσότεραΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση μεγιστοποιήσει την πιθανότητά
ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση: Έστω ότι έχουμε τους παίκτες Χ και Υ. Ο κάθε παίκτης, σε κάθε κίνηση που κάνει, προσπαθεί να μεγιστοποιήσει την πιθανότητά του να κερδίσει. Ο Χ σε κάθε κίνηση που κάνει
Διαβάστε περισσότεραΥποδ: Χρησιμοποιήστε τον ορισμό της λογικής συνεπαγωγής (λογικής κάλυψης).
Κανόνας Ανάλυσης 1 Μυθικός Αθάνατος 3 Μυθικός Θηλαστικό ------------------------------ 7 Αθάνατος Θηλαστικό 4 Αθάνατος έχεικέρας -------------------------------- 8 Θηλαστικό έχεικέρας 5 Θηλαστικό έχεικέρας
Διαβάστε περισσότεραΛογική. Προτασιακή Λογική. Λογική Πρώτης Τάξης
Λογική Προτασιακή Λογική Λογική Πρώτης Τάξης Λογική (Logic) Αναλογίες διαδικασίας επίλυσης προβλημάτων υπολογισμού και προβλημάτων νοημοσύνης: Πρόβλημα υπολογισμού 1. Επινόηση του αλγορίθμου 2. Επιλογή
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Ένα παράδειγµα... Έχουµε δει. Κατηγορηµατικός Λογισµός. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο Πέµπτη, 23/02/2017
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 23/02/2017 Κατηγορηµατικός Λογισµός Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University
Διαβάστε περισσότεραΜορφολογική Παραγωγή. 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 15/03/2017 Ζωγραφιστού Δήμητρα
Μορφολογική Παραγωγή 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 15/03/2017 Ζωγραφιστού Δήμητρα Συστήματα Αποδείξεων στον ΠΛ(1/2) Συχνά μας ενδιαφέρει να μπορούμε να διαπιστώσουμε αν μία εξαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΠροτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1)
Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνταξη Λογικός Συμπερασμός Σημασιολογία Ορθότητα και Πληρότητα Κανονικές Μορφές Προτάσεις Horn ΕΠΛ 412 Λογική
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Νόµοι ισοδυναµίας. Κατηγορηµατικός Λογισµός. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο Παρασκευή, 24/02/2017
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 24/02/2017 Κατηγορηµατικός Λογισµός Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University
Διαβάστε περισσότεραΤεχνητή Νοημοσύνη Ι. Ενότητα 7:Προτασιακή Λογική. Πέππας Παύλος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών
Τεχνητή Νοημοσύνη Ι Ενότητα 7:Προτασιακή Λογική Πέππας Παύλος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Προτασιακή Λογική Σκοποί ενότητας 2 Περιεχόμενα ενότητας Προτασιακή
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Προτασιακής Λογικής
Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις
Διαβάστε περισσότεραLÔseic Ask sewn sta Jemèlia twn Majhmatik n I
LÔseic Ask sewn sta Jemèlia twn Majhmatik n I Rwmanìc-Diogènhc Maliki shc Tetˆrth, 6 OktwbrÐou 2010 Άσκηση 1. Για τυχόντα σύνολα A, B, C, D, να δειχθεί ότι (α ) A (B \ C) = ((A B) \ C) (A C). (β ) (A \
Διαβάστε περισσότεραΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο 2018
ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2018 2 η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Άσκηση 2.1 [1.5 μονάδα] Έστω Τ(x): O x έχει σταθερό υπολογιστή, L(x): O x έχει laptop, S(x): O x έχει smartphone, με τη μεταβλητή
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Θεωρήστε την ακόλουθη δομή Kripke. {entry} 0 1 {active} 2 {active, request} 3 {active, response} Να διατυπώσετε τις πιο κάτω προτάσεις στην LTL (αν αυτό είναι εφικτό)
Διαβάστε περισσότεραx < A y f(x) < B f(y).
Χειμερινό Εξάμηνο 2016 2017 Ασκήσεις στα Κεφάλαια 5 & 6 1. Αυτή είναι ουσιαστικά η Άσκηση 5.2 (σελ. 119), από τις σημειώσεις του Σκανδάλη. Εστω A, < καλά διατεταγμένο σύνολο και έστω στοιχείο a A. Αποδείξτε
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-1
Επίλυση Resolution Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: H Μέθοδος της Επίλυσης στον Προτασιακό Λογισμό στον Κατηγορηματικό Λογισμό ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-1 Το όνειρο του
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { R η R είναι μια κανονική έκφραση η οποία παράγει μια μη πεπερασμένη γλώσσα} (β) { G η G είναι μια CFG η οποία
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2017 18 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης 8.1. (i) Έστω ότι α και β είναι δύο τύποι της προτασιακής
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ 4
7.0 ΘΕΜΑ 4 Δίνονται τα σημεία Α, Β και Μ που παριστάνουν στον άξονα των πραγματικών αριθμών τους αριθμούς -, 7 και x αντίστοιχα, με - < x < 7. α) Να διατυπώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία των παραστάσεων.
Διαβάστε περισσότεραΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2018 Λύσεις ασκήσεων προόδου
ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 018 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: a. Δείξτε κατά πόσον η πρόταση ((p q) r) ((p q) (q r)) αποτελεί ή όχι ταυτολογία. b. Κάποιος ιδιόρρυθμος δικαστής ρωτήθηκε
Διαβάστε περισσότεραΠρόταση. Αληθείς Προτάσεις
Βασικές έννοιες της Λογικής 1 Πρόταση Στην καθημερινή μας ομιλία χρησιμοποιούμε εκφράσεις όπως: P1: «Καλή σταδιοδρομία» P2: «Ο Όλυμπος είναι το ψηλότερο βουνό της Ελλάδας» P3: «Η Θάσος είναι το μεγαλύτερο
Διαβάστε περισσότεραψ φ2 = k χ φ2 = 4k χ φ1 = χ φ1 + χ φ2 + 3 = 4(k 1 + k 2 + 1) + 1 ψ φ1 = ψ φ1 + χ φ2 = k k = (k 1 + k 2 + 1) + 1
Ασκήσεις στο μάθημα της Λογικής 15 Οκτωβρίου 2015 Άσκηση 1. Να δειχτεί ότι δεν υπάρχουν τύποι μήκους 2,3,6 αλλά κάθε άλλο (θετικό ακέραιο) μήκος είναι δυνατό (άσκηση 2, σελίδα 39) Απόδειξη. Δείχνουμε πρώτα
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ
ΧΛΤΖΙΝ ΠΥΛΟΣ ΒΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ύο προτάσεις που έχουν την ίδια σηµασία λέγονται ταυτόσηµες. 2. Μια αποφαντική πρόταση χαρακτηρίζεται αληθής όταν περιγράφει µια πραγµατική κατάσταση του κόσµου µας.
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Σειράς Ασκήσεων 5
Άσκηση 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 5 Να υπολογίσετε τις ασθενέστερες προσυνθήκες έτσι ώστε οι πιο κάτω προδιαγραφές να είναι ορθές σύμφωνα (i) με την έννοια της μερικής ορθότητας και (ii) με την έννοια της
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης. 5ο μέρος σημειώσεων: Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus)
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 5ο μέρος σημειώσεων: Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus) Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότερα