ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 5 3 α) f γ) f 9 β) f 3 δ) f log 1 4 α) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί (1) Έχουμε: (1) ( 3+), και 1, και. Επομένως το πεδίο ορισμού της f είναι β) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί Έχουμε: 1 και 1. Τότε f A,,1 1,, (1) και 3 3 () 1 3, 1 1, 3, και τελικά το πεδίο ορισμού της f είναι A, 1 1, 3, γ) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί f. ή ισοδύναμα έχουμε: και και 9 και δηλαδή το πεδίο ορισμού της f είναι: Αf = (,3) δ) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί 4 > και + 1 > και Έχουμε επομένως: 4 ή 1 1, 1 1 οπότε το πεδίο ορισμού της f είναι: Αf = (,+ )

2 . Δίνονται οι συναρτήσεις: f α) f g β) f g και g 4. Να βρεθούν οι συναρτήσεις: Το πεδίο ορισμού της f είναι: Α f = {,1} και της g είναι: Αg = {, } α) Το πεδίο ορισμού της h() = f()g() είναι: = {,, 1, } και h Ah Af Αg β) Το πεδίο ορισμού της φ() = f g είναι: Αφ = {Αh / g() } = {, 1,, 1, } και φ Για ποιες τιμές των πραγματικών αριθμών η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g, όταν: α. 3 f() = και 3 g() = - 3 β. f() = ln( - 3) και g() = - α. Το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων είναι το. Ζητάμε τις τιμές του πραγματικού αριθμού για τις οποίες είναι f ( ) g( ) Έχουμε f() - g() > > 3 ( ) β. Για να ορίζεται η συνάρτηση f πρέπει και αρκεί 3 ( 3)( 3) (, 3) ( 3, ) (1) Επειδή η συνάρτηση g είναι πολυωνυμική το πεδίο ορισμού της είναι το.

3 Ζητάμε τις τιμές του πραγματικού αριθμού για τις οποίες είναι: f ( ) g( ) f ( ) g( ) 3 ( 3 )( 1) (, 3) ( 1, ) () Οι (1),() συναληθεύουν για (, 3) ( 3, ) 4. Θεωρούμε τη συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει f( y) = y f() (1) για κάθε, yr. Υποθέτουμε ακόμα ότι υπάρχει R τέτοιο ώστε f(). α) Να δειχθεί ότι η Cf έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. β) Να δειχθεί ότι ώστε. γ) Να δειχθεί ότι f() = α, με αr * α) Για να δείξουμε ότι η Cf έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων αρκεί να δείξουμε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή. Για κάθε R, το R. Η (1) για y = 1 γίνεται f 1f () f( ) = f(). Άρα η f είναι περιττή. β) Η (1) για y = δίνει f() =. Αν είναι =, τότε από την f() παίρνουμε f(). Άτοπο. Συνεπώς. γ) Η σχέση (1) θέτοντας στο το και στο y το f f ή f() = α, με f α δίνει f f 5. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f () Και οι δύο συναρτήσεις ορίζονται στο σύνολο A [, ) 1 και g() 1 1 είναι ίσες Έχουμε:

4 1 ( 1)( 1) ( 1) ( 1) f () 1 g() 1 ( 1)( 1) 1 Επομένως οι συναρτήσεις είναι ίσες στο σύνολο [,1) (1, ) αφού η απλοποίηση του παράγονται 1 απαιτεί 1 Επιπλέον είναι f (1) g(1) άρα οι συναρτήσεις είναι ίσες στο Α. 6. Έστω η συνάρτηση: g: Â Â, με g(1) = 3, g() = 4 και συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Â με [1,] g(â). Αν (g o g)() = 4 για κάθε Â τότε να δείξετε ότι η g αντιστρέφεται και g 1 () = g() + 4, για κάθε g(â) α) Αφού η g είναι γνησίως αύξουσα τότε είναι και 1 1 στο Â, οπότε αντιστρέφεται. Είναι (gοg)() = 4 δηλαδή g(g()) = για κάθε Â. Αν yg(â) τότε υπάρχει Â ώστε g() = y, οπότε g(g()) = g(y) 4 = g(y) = g(y) + 4 g 1 (y) = g(y) + 4, για κάθε yg(â), δηλαδή g 1 () = g() + 4, για κάθε g(â) 7. Αν η σύνθεση της g με την f, δηλαδή η fog είναι 1-1 τότε: α) Η g είναι απαραιτήτως 1-1. β) Η f δεν είναι απαραιτήτως 1-1. α) Έστω 1, A g με g( 1)=g( ). Επειδή η f είναι συνάρτηση και ορίζεται η fog, έπεται ότι: f(g( 1)) = f(g( )) και επειδή η f o g είναι 1-1 προκύπτει 1 =. Άρα η g είναι 1-1. β) Έστω 1, A f με f( 1) = f( ). Αν υπάρχουν ω 1, ω Α g τέτοια ώστε g(ω 1) = 1 και g(ω ) =, προκύπτει f(g(ω 1)) = f(g(ω )) και επειδή η f o g είναι 1-1 προκύπτει ω 1 = ω. Άρα g -1 ( 1) = g -1 ( ) και επειδή η g -1 είναι 1-1 προκύπτει 1 = δηλαδή η f είναι 1-1. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η f είναι 1-1 Αν υπάρχουν ω 1, ω Α g τέτοια ώστε g(ω 1) = 1 και g(ω ) = (δηλαδή εξαρτάται από το σύνολο τιμών της g). Θεωρείστε ως αντιπαράδειγμα, τις συναρτήσεις f()= και g() = Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f() = + κ + 5κ α) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ, ώστε το σημείο Α (-1,4) να είναι σημείο της

5 γραφικής παράστασης της συνάρτησης. β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση δεν μπορεί να διέρχεται από το σημείο Β(-5, 1) γ) Να δείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου κ, η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από ένα συγκεκριμένο (σταθερό) σημείο, το οποίο και να προσδιορίσετε. δ) Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου κ ώστε όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης να βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. Ποια είναι η εξίσωση αυτής της ευθείας; α) Για να διέρχεται η γραφική παράσταση της f από το Α ( 1, 4) πρέπει: f( 1) = κ = 8 κ = 3 β) Έστω ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το Β(-5, 1). Θα πρέπει f( 5) = = ( άτοπο) γ) το σταθερό σημείο είναι το (-5, ) αφού τότε καταλήγουμε από την σχέση f( 5) = 44 = 44 που ισχύει για ανεξάρτητα την τιμή του κ. +y 9. Aν για μια συνάρτηση: f  Â, ισχύει e f() f(y) f( + y) για κάθε, y Â, τότε α) Να αποδείξετε ότι f() = 1 β) Να αποδείξετε ότι για κάθε Â, ισχύουν: f() και 1 f(-) = f() α) Για y έχουμε: 1 () () f f f () 1 f () 1 f () 1 ή f () 1 f () 1 f () f () f () f () f () 1 β) Θέτοντας στην αρχική σχέση y λαμβάνουμε Άρα f ( ), e f ( ) f ( ), f ( ) e

6 Για y η δοθείσα γράφεται 1 f ( ) f ( ) f () 1 f ( ) f ( ) 1 f ( ) 1 f ( ) 1. Δίνεται η συνάρτηση f : και για κάθε ισχύει ( )( ) 1 f o f. α) Να αποδείξετε ότι f ( 1) f ( ) f ( ) 1. β) Να προσδιορίσετε την τιμή f (1). γ) Nα εξετάσετε αν η συνάρτηση g : για την οποία ισχύει g f ( ) ( ) 1 είναι 1 1. α. Η δοσμένη σχέση για f ( ) δίνει: f f ( f ( ) ) f ( ) f ( ) 1 f ( 1) f ( ) f ( ) 1 β. Η δοσμένη σχέση για δίνει: f (1) f ( f ()) f ( f ()) 1 1. f f () 1 και για f ( f ()) δίνει γ) Έχουμε τότε g() 1, g (1) 1 άρα για 1 είναι g() g (1) οπότε η g δεν είναι 1 1. Β τρόπος Τέτοια συνάρτηση δεν υπάρχει, αφού η 1 δεν είναι 1 1 στο.