ΧΡΟΝΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ι ΤΥΠΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜ. ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Α.Π.Θ. ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Π. ΚΑΤΣΑΡΟΣ. 29 Ιουνίου 2007 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1
|
|
- Ἑστία Παυλόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΧΡΟΝΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ι ΗλογικήCTL* (Computation Tree Logic) χρησιμοποιείται από εργαλεία ελέγχου μοντέλων για την τυπική περιγραφή ιδιοτήτων καταστάσεων που αναφέρονται στις εκτελέσεις ενός συστήματος. Χρησιμοποιεί ατομικές προτάσεις για τη διατύπωση στοιχειωδών ισχυρισμών, που σε δεδομένη κατάσταση έχουν συγκεκριμένη τιμή αλήθειας (true ή false). ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1
2 ΧΡΟΝΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΙΙ q 2 error q 0 warm ok q 1 ok Οι καταστάσεις επιγράφονται με ατομικές προτάσεις που έστω ότι ανήκουν στο σύνολο Prop και παρακάτω έχουμε μερικές από τις πιθανές εκτελέσεις του αυτόματου. σ 1 : (q 0 : warm, ok) (q 1 : ok) (q 0 : warm, ok) (q 1 : ok) (q 0 : warm, ok)..... σ 2 : (q 0 : warm, ok) (q 1 : ok) (q 2 : error) (q 0 : warm, ok) (q 1 : ok)..... σ 3 : (q 0 : warm, ok) (q 1 : ok) (q 2 : error) (q 2 : error) (q 2 : error)..... σ 4 : ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 2
3 ΧΡΟΝΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΙΙΙ Αναφερόμαστε σε προτασιακό τύπο όταν χρησιμοποιούμε προτάσεις και λογικούς συνδέσμους (,,, ) π.χ. ο προτασιακός τύπος error warm είναι true σε όλες τις καταστάσεις του αυτομάτου του παραδείγματος Οι χρονικοί σύνδεσμοι επιτρέπουν να διατυπώσουμε εκφράσεις για τη χρονική αλληλουχία των καταστάσεων στην πορεία μιας εκτέλεσης: XP υπονοεί ότι η επόμενη κατάσταση ικανοποιεί την P FP υπονοεί ότι η P ικανοποιείται σε μία μελλοντική κατάσταση GP υπονοεί ότι η P θα ικανοποιείται πάντα Παράδειγμα: σε όλες τις εκτελέσεις, κάθε εμφάνιση κατάστασης warm ακολουθείται από κατάσταση non-warm G (warm X warm) ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 3
4 ΧΡΟΝΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΙV To G είναι το αντίθετο του F: για οποιοδήποτε τύπο ϕ αν ο τύπος ικανοποιείται πάντα, τότε δεν είναι αληθές ότι κάποια στιγμή θα ικανοποιείται ο τύπος ϕ. Αυτό το γράφουμε ως: Gϕ F ϕ Μπορούμε να εμφωλεύουμε τους διάφορους χρονικούς συνδέσμους τον ένα μέσα στον άλλο εκμεταλλευόμενοι κατ αυτό τον τρόπο την εκφραστική ισχύ της γλώσσας, π.χ. G(alert F halt). Ξεκινώντας από τους απλούστερους τύπους οι χρονικοί σύνδεσμοι δημιουργούν νέους τύπους που η σημασία τους καθορίζεται από τη σημασία των επιμέρους τμημάτων τους. ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 4
5 ΧΡΟΝΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ V Η τεχνική της εμφώλευσης του F μέσα στο G χρησιμοποιείται για να εκφράσουμε ιδιότητες επανάληψης. GFϕ σημαίνει ότι πάντα θα υπάρχει μία κατάσταση στην οποία θα ισχύει η ϕ δηλαδή η ικανοποιείται στην πορεία της εκτέλεσης άπειρα πολλές φορές. Το αντίθετο FGϕ σημαίνει ότι ικανοποιείται συνέχεια από κάποια κατάσταση μετά από πεπερασμένο αριθμό βημάτων. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΧΗΜΑΤΟΣ: GF warm FG error ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 5
6 ΧΡΟΝΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ VI Οχρονικόςσύνδεσμος «σημαίνει μέχρις ότου». ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: G (alert (alarm halt)) ΟσύνδεσμοςFείναι ειδική περίπτωση του με την έννοια ότι ισχύει ότι το true ϕ είναι ισοδύναμο του Fϕ. Υπάρχει και το «ασθενές μέχρις ότου» και συμβολίζεται με W. Οτύποςϕ 1 W ϕ 2 σημαίνει επίσης την ισχύ του τύπου ϕ 1 μέχρις ότου ισχύσει ο τύπος ϕ 2 χωρίς όμως να απαιτείται η δίχως άλλο ισχύς του ϕ 2 (αν ο δε γίνει ποτέ αληθής, τότε παραμένει αληθής ο ϕ 1 ). ϕ 1 W ϕ 2 (ϕ 1 ϕ 2 ) G ϕ 1 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 6
7 ΧΡΟΝΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ VII Οι σύνδεσμοι που περιγράψαμε επαρκούν για να διατυπώσουμε ισχυρισμούς για μία μόνο εκτέλεση. Θέλουμε με βάση δεδομένη κατάσταση να μπορούμε να διατυπώσουμε ισχυρισμούς για όλες τις πιθανές εκτελέσεις από την κατάσταση αυτή, δηλ. για όλες τις διακλαδώσεις πάνω στη δενδροειδή αναπαράσταση των πιθανών εκτελέσεων με ρίζα τη συγκεκριμένη κατάσταση. Οι σύνδεσμοι Α και Ε που χρησιμοποιούνται για το σκοπό αυτό ονομάζονται ποσοδείκτες διαδρομής (path quantifiers). ΟτύποςΑϕ αντιστοιχεί στον ισχυρισμό ότι όλες οι εκτελέσεις από την τρέχουσα κατάσταση ικανοποιούν τον τύπο ϕ. ΟτύποςΕϕ αντιστοιχεί στον ισχυρισμό ότι υπάρχει εκτέλεση από την τρέχουσα κατάσταση που ικανοποιεί τον τύπο ϕ. ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 7
8 ΧΡΟΝΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ VIIΙ Δεν πρέπει να συγχέεται ο τελεστής Α με τον τελεστή G: ο τύπος Αϕ αντιστοιχεί στον ισχυρισμό ότι όλες οι δυνατές εκτελέσεις από την τρέχουσα κατάσταση ικανοποιούν τον τύπο ϕ. Αντίθετα, ο τύποςgϕ αντιστοιχεί στον ισχυρισμό ότι ο τύπος ϕ ισχύει σε όλες τις καταστάσεις της υπό εξέταση εκτέλεσης. Οι σύνδεσμοι A και E χρησιμοποιούνται ως ποσοδείκτες διαδρομών πάνω σε ένα δέντρο με όλες τις πιθανές εκτελέσεις, ενώ οι F και G χρησιμοποιούνται ως ποσοδείκτες για τις καταστάσεις κατά μήκος μιας δεδομένης διαδρομής. ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 8
9 ΧΡΟΝΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΙΧ Συχνά οι A και E συνδυάζονται με τους G και F. ΟτύποςEFP π.χ. αντιστοιχεί στον ισχυρισμό ότι «είναι πιθανό (για κάποια εκτέλεση) να υπάρχει κατάσταση στην οποία ικανοποιείται η P». ΟτύποςΑFP από την άλλη αντιστοιχεί στον ισχυρισμό ότι «είναι σίγουρο (για όλες τις πιθανές εκτελέσεις) ότι υπάρχει κατάσταση στην οποία ικανοποιείται η P». EF P P EG P E F P P P P ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 9
10 ΧΡΟΝΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Χ AF P E F P P P P Στο παράδειγμα της διαφάνειας 2, κάθε εκτέλεση που αρχίζει από την q 0 ικανοποιεί τον ισχυρισμό F ΕΧ error. Εδώ είναι σημαντικό να μην ξεχάσουμε τον ποσοδείκτη Ε και ο λόγος είναι ότι υπάρχει μία εκτέλεση που δεν ικανοποιεί τον ισχυρισμό F Χ error ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 10
11 ΧΡΟΝΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΧΙ ΑGF P Για κάθε πιθανή εκτέλεση (Α) και για όλες τους τις καταστάσεις (G) είναι σίγουρο ότι θα υπάρξει μία μελλοντική κατάσταση (F) που θα ικανοποιεί την P. Δηλαδή η P ικανοποιείται απείρως συχνά (infinitely often). ΑG EF P Για κάθε πιθανή εκτέλεση (Α) και για όλες τους τις καταστάσεις (G) θα ήταν πιθανό να προσεγγιστεί κατάσταση που θα ικανοποιεί την P. Δηλαδή είναι πάντα δυνητικά προσεγγίσιμη (potentially reachable) μια κατάσταση που ικανοποιεί την P. Αυτό ισχύει ακόμη και όταν υπάρχει εκτέλεση στην οποία η P δεν ικανοποιείται ποτέ. Αρκεί να υπάρχει μία εκτέλεση (E) που να εκπληρώνει το παραπάνω αναφερόμενο γεγονός. ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 11
12 ΤΥΠΙΚΗ ΣΥΝΤΑΞΗ ΧΡΟΝΙΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ϕ, ψ ::= P 1 P (ατομικές προτάσεις) ϕ ϕ ψ ϕ ψ... (λογικοί σύνδεσμοι) Χ ϕ F ϕ G ϕ ϕ ψ... (χρονικοί σύνδεσμοι) Ε ϕ Α ϕ (ποσοδείκτες διαδρομών) Γενικά κάθε εργαλείο υιοθετεί μια συγκεκριμένη σύνταξη που μπορεί π.χ. να χρησιμοποιεί παρενθέσεις και συμβάσεις προτεραιότητας μεταξύ των συνδέσμων, όπως και ένα ιδιαίτερο σύνολο ατομικών προτάσεων και λογικών συνδέσμων. Επίσης, όλα τα εργαλεία ελέγχου μοντέλων μπορούν συνήθως να εκτελέσουν έλεγχο σε ένα υποσύνολο της CTL*, που τις περισσότερες φορές είναι η CTL ήηpltl. ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 12
13 ΣΗΜΑΣΙΑ ΧΡΟΝΙΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Ι ΈστωότιδίνεταιένασύνολοProp={P 1,...} στοιχειωδών προτάσεων. Ένα αυτόματο είναι μία πεντάδα A=(Q, E, T, q 0, l) όπου Q είναι ένα πεπερασμένο σύνολο καταστάσεων Ε είναι ένα πεπερασμένο σύνολο επιγραφών μεταβάσεων Τ Q E Q είναι ένα σύνολο μεταβάσεων q 0 είναι η αρχική κατάσταση του αυτόματου l είναι μία απεικόνιση που αντιστοιχεί σε κάθε κατάσταση του Q το πεπερασμένο σύνολο των προτάσεων που είναι αληθείς στην κατάσταση αυτή Θα γράφουμε A, σ, i φ και θα το διαβάζουμε ως «τη στιγμή i της εκτέλεσης σ οτύποςφ είναι αληθής». Συχνά το περιβάλλον Α εννοείται και δεν το γράφουμε. ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 13
14 ΣΗΜΑΣΙΑ ΧΡΟΝΙΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΙΙ Θα γράφουμε σ, i φ όταν θα θέλουμε να δείξουμε ότι τη στιγμή i της εκτέλεσης σ ο τύπος φ δεν είναι αληθής. Ο ορισμός της σχέσης σ, i φ γίνεται με επαγωγή ως προς τη δομή του τύπου φ, δηλαδή η τιμή αληθείας του σύνθετου τύπου δίνεται ως συνάρτηση των τιμών αληθείας των «υποτύπων». σ, i P ανν P l(σ(i)) σ, i φ ανν δεν είναι αληθές ότι σ, i φ σ, i φ ψ ανν και σ, i φ και σ, i ψ σ, i Χφ ανν και i < σ και σ, i + 1 φ σ, i Fφ ανν υπάρχει j τέτοιο ώστε i j σ και σ, j φ σ, i Gφ ανν για όλα τα j τέτοια ώστε i j σ και σ, j φ σ, i φ ψ ανν υπάρχει j τέτοιο ώστε i j σ και σ, j ψ και για όλα τα k τέτοια ώστε i k < j ισχύει σ, k φ σ, i Εφ ανν υπάρχει μία εκτέλεση σ τέτοια ώστε σ(0)... σ(i) = σ (0)... σ (i) και σ, i φ σ, i Αφ ανν για όλες τις σ τέτοιες ώστε σ(0)... σ(i) = σ (0)... σ (i) έχουμε σ, i φ ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 14
15 ΣΗΜΑΣΙΑ ΧΡΟΝΙΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΙΙΙ Τι σημαίνει ο ισχυρισμός ότι το αυτόματο Α ικανοποιεί τον τύπο φ, που γράφεται Α φ: Α φ ανν σ, 0 φ για κάθε εκτέλεση σ του Α ΠΡΟΣΟΧΗ: ΗσχέσηΑ φ δεν σημαίνει απαραίτητα ότι Α φ ενώ η σ, i φ είναι ισοδύναμη με την σ, i φ. Ο λόγος είναι ότι στη δεύτερη περίπτωση αναφερόμαστε σε μία μόνο εκτέλεση ενώ στην πρώτη περίπτωση εξετάζουμε ομαδικά την ορθότητα όλων των εκτελέσεων ενός μοντέλου από την αρχική κατάσταση q 0 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 15
16 ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΧΡ. ΛΟΓΙΚΗ (PLTL) I Η προτασιακή γραμμική χρονική λογική (Propositional Linear Temporal Logic) αποτελεί μέρος της CTL* που προκύπτει από τη μη χρήση των συνδέσμων A και E. Ένας τύπος φ στην PLTL για μία δεδομένη εκτέλεση δεν μπορεί να αναφέρεται σε εναλλακτικές εκτελέσεις που διαχωρίζονται από την τρέχουσα εκτέλεση σε καταστάσεις όπου είναι δυνατό να έχουμε μη ντεντερμινιστικές επιλογές. Η PLTL αναφέρεται αποκλειστικά σε ένα σύνολο εκτελέσεων και όχι στον τρόπο με τον οποίο αυτές είναι οργανωμένες σε ένα δέντρο εκτελέσεων. Αυτοίοιτύπολέγονταιτύποι διαδρομών (path formulas). Ένα παράδειγμα τύπου που δεν μπορεί να εκφραστεί στην PLTL είναι το ότι ο P είναι «πάντα δυνητικά προσεγγίσιμη», δηλαδή o τύπος AGEFP. ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 16
17 ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΧΡ. ΛΟΓΙΚΗ (PLTL) II Τα δύο αυτόματα του σχήματος για την PLTL αντιστοιχούν σε ένα και το αυτό σύνολο διαδρομών: A 1 P, Q P Q εκτέλεση 1: {P, Q}. {P}. { _ }... εκτέλεση 2: {P, Q}. {P}. {Q}... και άρα αν ένας οποιοσδήποτε τύπος φ ισχύει για το ένα αυτόματο τότε ισχύει και για το άλλο. Αντίθετα στη CTL αυτό δεν είναι απαραίτητο. ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 17
18 Computation Tree Logic (CTL) Ι Η CTL αποτελεί μέρος της CTL* που προκύπτει από τον περιορισμό κάθε χρήση χρονικού συνδέσμου (X, F,, κ.α.) να βρίσκεται στην άμεση εμβέλεια ενός ποσοδείκτη Α ή E. Οι συνδυασμοί λοιπόν που είναι διαθέσιμοι στη CTL για χρήση είναι οι EX, AX, E_ _, A_ _ καιοιπαραγόμενοιόπωςπ.χ. ο EF κ.λ.π. Το κριτήριο του αν ένας τύπος είναι τύπος της CTL είναι η σύνταξη. Παραδείγματα: EP A(P 2 P 3 ) είναι CTL EP E(P 2 P 3 ) είναι CTL EP (P 2 P 3 ) δεν είναι CTL αλλά μπορεί ισοδύναμα να γραφεί ως EP Ε(P 2 P 3 ) που είναι CTL Η απαίτηση να χρησιμοποιούμε πάντα ποσοδείκτη για όλα τις πιθανές μελλοντικές εκτελέσεις περιορίζει την εκφραστικότητα της CTL. Η βασική συνέπεια είναι ότι οι τύποι της CTL είναι τύποι καταστάσεων (state formulas), που σημαίνει ότι η αλήθεια τους εξαρτάται μόνο από την τρέχουσα κατάσταση και όχι από την τρέχουσα εκτέλεση. ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 18
19 Computation Tree Logic (CTL) ΙΙ A 1 P, Q P Q Είναι δυνατό να διακρίνουμε το A 1 από το Α 2 γιατί ισχύει Α 1, q 0 AX(EXQ EX Q) ενώ Α 2, q 0 AX(EXQ EX Q) ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 19
20 Computation Tree Logic (CTL) ΙΙΙ H CTL μας επιτρέπει να εκφράσουμε δυνητική προσεγγισιμότητα AGEFP αλλά δεν μας επιτρέπει να εκφράσουμε πιο περίπλοκες ιδιότητες, όπως π.χ. η ύπαρξη διαδρομής που ικανοποιεί την P απείρως συχνά. Αυτό στην CTL* θα το γράφαμε ως ΕGFP. Στη CTL ο πιο κοντινός σημασιολογικά ισχυρισμός είναι ο AF EFP που διαβάζεται ως «δεν είναι αλήθεια ότι θα προσεγγιστεί απαραιτήτως κατάσταση από δεν θα ξανασυμβεί σε καμία περίπτωση η P να είναι ξανά αληθής». Αυτή η τελευταία ιδιότητα είναι σαφώς ασθενέστερη από την ΕGFP της CTL*. Για να γίνει αυτό κατανοητό φανταστείτε ένα σύστημα στο οποίο ένα selfloop επιτρέπει την παραμονή στην αρχική κατάσταση όσο θέλουμε πριν δυνητικά επιλέξουμε έναν υπολογισμό στον οποίο η P γίνεται αληθής μόνο μια φορά. Ένα τέτοιο σύστημα ικανοποιεί την AF EFP, αλλά δεν ικανοποιεί την ΕGFP. ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 20
21 Computation Tree Logic (CTL) ΙV Γενικά τα μειονεκτήματα της PLTL σε ότι αφορά την εκφραστική ισχύ γίνονται πιο εύκολα ανεκτά από τα μειονεκτήματα της CTL παρόλο που ο έλεγχος μοντέλων με τη CTL είναι πιο γρήγορος. Η επιλογή είναι ένας συμβιβασμός που έχει να κάνει με διάφορους παράγοντες: Αν θέλουμε απλά να ελέγξουμε κάποιες ιδιότητες προτιμάμε την PLTL Αν θέλουμε να κάνουμε εξαντλητική επαλήθευση του συστήματος, τότε προτιμάμε την CTL. Αν επιθυμούμε να κάνουμε on-the-fly επαλήθευση για τον εντοπισμό πιθανών λαθών αλλά δεν επιδιώκουμε την εξαντλητική επαλήθευση, τότε επιλέγουμε PLTL. Τέλος, η επιλογή μας βασικά εξαρτάται από το τι προσφέρει το εργαλείο που χρησιμοποιούμε. ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 21
22 ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΜΕ CTL Ι Ο αλγόριθμος ελέγχου μοντέλων με CTL κατασκευάστηκε από τους Queille, Sifakis, Clarke, Emerson και Sistla το 1982 και βελτιώθηκε αργότερα το 1986 και το Οαλγόριθμοςείναιγραμμικήςπολυπλοκότηταςωςπροςτομέγεθος του αυτόματου και του τύπου CTL που εξετάζεται. Η λειτουργία του αλγορίθμου στηρίζεται στο ότι η CTL εκφράζει αποκλειστικά τύπους καταστάσεων, δηλ. τύπους που η αλήθεια τους εξαρτάται μόνο από την τρέχουσα κατάσταση και όχι από την τρέχουσα εκτέλεση. Αυτό σημαίνει ότι αρκεί ο έλεγχος να περιορίζεται στο ποιες καταστάσεις ικανοποιούν τον ζητούμενο τύπο αγνοώντας την απάντηση στο ερώτημα για ποιες εκτελέσεις ο τύπος είναι αληθής. ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 22
23 ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΜΕ CTL ΙΙ ΒΑΣΙΚΗ ΑΡΧΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΤΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Η θεμελιώδης διαδικασία για τη λειτουργία του αλγορίθμου είναι η marking που επιδρά πάνω σε ένα αυτόματο Α για τον τύπο ϕ σημειώνοντας για κάθε κατάσταση q του αυτόματου και για κάθε υπο-τύπο ψ του ϕ το αν ο ψ ικανοποιείται στην κατάσταση q. Στο τέλος, για κάθε κατάσταση και κάθε υπο-τύπο, η q.psi έχει την τιμή true αν q ψ, διαφορετικά παίρνει την τιμή false. Οόροςmarking τονίζει το ότι η τιμή q.psi πρώτα υπολογίζεται και στη συνέχεια καταγράφεται στη μνήμη. Αυτό είναι σημαντικό γιατί η καταγραφή q.phi χρησιμοποιεί τις τιμές q.psi για τους υπο-τύπους psi του phi και τις καταστάσεις q που είναι προσεγγίσιμες από την q. Όταν τελικά ολοκληρωθεί η καταγραφή για τον τύπο phi μπορούμε να βρούμε αν Α ϕ ελέγχοντας την τιμή q0.phi για την αρχική κατάσταση q 0 του Α. ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 23
24 ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΜΕ CTL ΙΙΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΜΕ CTL (α) ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 24
25 ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΜΕ CTL ΙV Στις τρεις πρώτες περιπτώσεις η καταγραφή για την φ απαιτεί ένα μόνο πέρασμα από το χώρο καταστάσεων Q που μπορεί να γίνει σε Ο( Q ) συν το χρόνο που απαιτείται για την καταγραφή των υπο-τύπων του φ. Όταν ο φ έχει τη μορφή EX ψ η καταγραφή απαιτεί ένα πέρασμα από το σύνολο T τωνμεταβάσεωντου αυτόματου. Άρα στην περίπτωση αυτή το υπολογιστικό κόστος είναι Ο( Τ ) συν το κόστος αρχικοποίησης και το κόστος για την καταγραφή του ψ. Η περίπτωση ΑX ψ είναι ισοδύναμη με την EX ψ. ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 25
26 ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΜΕ CTL V ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΜΕ CTL (β) ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 26
27 ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΜΕ CTL VΙ Όταν ο τύπος φ έχει τη μορφή Eψ 1 ψ 2 τότε η καταγραφή για τον τύπο φ γίνεται με έναν τυπικό αλγόριθμο ελεγχόμενης προσεγγισιμότητας στο γράφο, ξεκινώντας από τις καταγραφές των ψ 1 και ψ 2. Το υπολογιστικό κόστος είναι Ο( Q + Τ ). ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 27
28 ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΜΕ CTL VΙΙ Για τον αλγόριθμο ελέγχου μοντέλων με CTL αποδεικνύεται ότι: τερματίζει επιτυγχάνει το επιθυμητό αποτέλεσμα δηλ. είναι ορθός ο έλεγχος μοντέλων του «ικανοποιείται η Α, q 0 φ ;;» για έναν τύπο CTL έστω φ μπορεί να επιλυθεί σε χρόνο Ο ( Α φ ) Το τελευταίο ισχύει γιατί πρέπει να γίνει μία καταγραφή για κάθε υπο-τύπο του τύπου φ. ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 28
29 ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΜΕ PLTL Ι Ο αλγόριθμος ελέγχου μοντέλων με PLTL κατασκευάστηκε από τους Lichtenstein, Pnueli, Vardi και Wolper το 1985, Στην περίπτωση της PLTL δεν έχουμε να κάνουμε με τύπους καταστάσεων και άρα δεν μπορούμε να βασίζουμε την τεχνική ελέγχου σε μία καταγραφή που θα αναφέρεται στις καταστάσεις του αυτομάτου. Οι τύποι της PLTL είναι γενικά τύποι διαδρομών και πρέπει να έχουμε υπόψη μας ότι ένα αυτόματο στη γενική περίπτωση αποδίδει άπειρα πολλές διαφορετικές εκτελέσεις που συχνά έχουν άπειρο μήκος. Η προσέγγιση που ταιριάζει σε ένα τέτοιο πρόβλημα είναι αυτή της Θεωρίας Γλωσσών. ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 29
30 ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΜΕ PLTL ΙΙ Ας θεωρήσουμε για παράδειγμα τον τελεστή φ: GF P, δηλ. πάντα (σε μία εκτέλεση) θα υπάρχει μία κατάσταση στο μέλλον για την οποία θα ισχύει η P. Μία εκτέλεση q 0, q 1,... που ικανοποιεί την φ πρέπει να περιέχει άπειρα πολλές θέσεις q n1, q n2,... στις οποίες θα ισχύει ο τύπος P. Ενδιάμεσα από αυτές τις καταστάσεις θα υπάρχει πάντα ένας πεπερασμένος αριθμός καταστάσεων που θα ικανοποιεί την P. Θα λέμε ότι η εκτέλεση είναι της μορφής (( P)*.(P)) ω Ο παραπάνω συμβολισμός είναι μία ω-κανονική έκφραση, όπου + αντιπροσωπεύει τη διάζευξη, * αντιπροσωπεύει έναν τυχαίο αλλά πεπερασμένο αριθμό επαναλήψεων, ενώ ω αντιπροσωπεύει έναν άπειρο αριθμό επαναλήψεων. Μία εκτέλεση που από ένα σημείο και πέρα δεν ικανοποιεί τον τύπο φ από το σημείο εκείνο και μετά θα ικανοποιεί τον τύπο P (P + P)*.( P) ω ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 30
31 ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΜΕ PLTL ΙΙI ΒΑΣΙΚΗ ΑΡΧΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΤΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Ο έλεγχος μοντέλου με την PLTL βασίζεται στην αντιστοίχιση κάθε τύπου φ μία ω-κανονική έκφραση Ε φ που περιγράφει τη μορφή που θα έχει μία εκτέλεση που ικανοποιεί τον τύπο φ. Το ερώτημα «ικανοποιείται η Α φ ;;» τελικά παίρνει τη μορφή «είναι όλες οι εκτελέσεις του Α της μορφής που περιγράφεται από την Ε φ ;». Ένα εργαλείο ελέγχου PLTL δοθείσης ενός τύπου φ κατασκευάζει το αυτόματο Β φ που θα αναγνωρίζει όλες τις εκτελέσεις που δεν ικανοποιούν τον τύπο φ. Στη χειρότερη περίπτωση ο το μέγεθος ενός τέτοιου αυτόματου θα είναι Ο(2 φ ). Θεωρούμε τον ισχυρό συγχρονισμό των αυτομάτων Α και Β φ δηλ. το αυτόματο A B φ στο οποίο κάθε μετάβαση στο Α γίνεται ταυτόχρονα με μία μετάβαση στο Β φ. ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 31
32 ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΜΕ PLTL ΙV Το συγκεκριμένο αυτόματο θα αναγνωρίζει τις συμπεριφορές του A που γίνονται δεκτές από το αυτόματο Β φ αυτές δηλαδή τις συμπεριφορές του Α που δεν ικανοποιούν τον τύπο φ. Άρα το πρόβλημα του ελέγχου «ικανοποιείται η Α φ ;;» μετασχηματίζεται στο «είναι η γλώσσα του A B φ κενή;». ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 32
33 ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΜΕ PLTL V ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 33
34 ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΜΕ PLTL VΙ ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 34
35 ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΜΕ PLTL VΙΙ Το αυτόματο Β φ έχει στη χειρότερη περίπτωση μέγεθος Ο(2 φ ) A B φ A B φ Το αυτόματο έχει μέγεθος Ο( Α Β φ ) Αν το αυτόματο χωράει στη μνήμη μπορούμε να καθορίσουμε αν αυτό δέχεται μία μη κενή γλώσσα σε χρόνο Ο( Α Β φ ) Ο έλεγχος μοντέλου «ικανοποιείται η Α, q 0 φ ;;» για έναν τύπο φ της PLTL μπορεί να γίνει σε χρόνο Ο( Α 2 φ ) ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 35
36 ΕΚΡΗΞΗ ΧΩΡΟΥ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Στην πράξη, το αυτόματο Α εύκολα γίνεται ιδιαίτερα μεγάλο (έκρηξη χώρου καταστάσεων). Η έκρηξη χώρου καταστάσεων είναι ακόμη πιο πιθανή όταν π.χ. χρησιμοποιούμε μεταβλητές καταστάσεων. Στην περίπτωση που οι καθολικές καταστάσεις σχετίζονται με τιμές που δεν είναι εκτων προτέρων φραγμένες (π.χ. ακέραιες μεταβλητές, ουρές αναμονής κ.λ.π.) προκύπτει αυτόματο με άπειρο αριθμό καταστάσεων και τότε δεν εφαρμόζεται καμία από τις τεχνικές που παρουσιάστηκαν. ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 36
37 ΠΡΟΣΕΧΩΣ Έλεγχος Μοντέλων με Χρονική Λογική Έκρηξη χώρου καταστάσεων Συμβολικός Έλεγχος Μοντέλων Ιδιότητες Προσεγγισιμότητας (Reachability) Ιδιότητες Ασφάλειας (Safety Properties) Ιδιότητες Βιωσιμότητας (Liveness Properties) Απουσία Αδιεξόδου (Deadlock-freeness) Ιδιότητες Δικαιότητας (Fairness Properties) Μέθοδοι Αφαίρεσης ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 37
ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΗ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΧΡΟΝΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ι
ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΗ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΧΡΟΝΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ι Ιδιότητες προσεγγισιμότητας (reachability properties): αναφέρονται στο ενδεχόμενο προσέγγισης μιας συγκεκριμένης κατάστασης. Ιδιότητες ασφαλείας (safety properties):
Διαβάστε περισσότεραCTL - Λογική Δένδρου Υπολογισμού (ΗR Κεφάλαιο 3.4)
CTL - Λογική Δένδρου Υπολογισμού (ΗR Κεφάλαιο 3.4) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Διακλαδωμένες Χρονικές λογικές CTL σύνταξη και ερμηνεία Έλεγχος μοντέλου για τη CTL Σύγκριση των PLTL
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Σειράς Ασκήσεων 4
Άσκηση 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 4 Θεωρήστε το σύνολο των ατομικών προτάσεων ΑΡ = {α, π, ε} που αντιστοιχούν στις ενέργειες αποστολής μηνύματος, παραλαβής μηνύματος και επιστροφής αποτελέσματος που εκτελούνται
Διαβάστε περισσότεραCTL - Λογική Δένδρου Υπολογισμού
CTL - Λογική Δένδρου Υπολογισμού Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Διακλαδωμένες Χρονικές λογικές CTL σύνταξη και ερμηνεία Έλεγχος μοντέλου για τη CTL Σύγκριση των PLTL και CTL Δικαιοσύνη
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική και διακλαδωμένη χρονική λογική
CTL - Λογική Δένδρου Υπολογισμού Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Διακλαδωμένες Χρονικές λογικές CTL σύνταξη και ερμηνεία Έλεγχος μοντέλου για τη CTL Σύγκριση των PLTL και CTL Δικαιοσύνη
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ Ι
ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ Ι Η τυπική επαλήθευση βάση μοντέλου είναι κατάλληλη για συστήματα επικοινωνούντων διεργασιών (π.χ. κατανεμημένα συστήματα) όπου το βασικό πρόβλημα είναι ο έλεγχος αλλά γενικά δεν
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Σειράς Ασκήσεων 4
Άσκηση 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 4 i. FG φ GF ψ G (φ U (ψ φ)) Έστω δομή Μ και w κάποιο μονοπάτι της δομής. Θα δείξουμε ότι w FG φ GF ψ αν και μόνο αν w G (φ U (ψ φ)) Ξεκινώντας με το αριστερό σκέλος έχουμε:
Διαβάστε περισσότεραCTL Έλεγχος Μοντέλου (ΗR Κεφάλαιο 3.5 και 3.6.1)
CTL Έλεγχος Μοντέλου (ΗR Κεφάλαιο 3.5 και 3.6.1) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Έλεγχος μοντέλου για τη CTL CTL* ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 8-1 Αλγόριθμος Μοντελο-ελέγχου Πως μπορούμε
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις
Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Θεωρήστε την ακόλουθη δομή Kripke. {entry} 0 1 {active} 2 {active, request} 3 {active, response} Να διατυπώσετε τις πιο κάτω προτάσεις στην LTL (αν αυτό είναι εφικτό)
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 4 Ημερομηνία Παράδοσης: 13/11/13
Σειρά Προβλημάτων 4 Ημερομηνία Παράδοσης: 13/11/13 Άσκηση 1 (20 μονάδες) Οι ιδιότητες διατυπώνοντας στην PLTL ως εξής: (α) Αν ο καταχωρητής Κ 1 κάποια στιγμή πάρει την τιμή 1 θα διατηρήσει την τιμή αυτή
Διαβάστε περισσότεραΑΥΤΟΜΑΤΑ Ι ΤΥΠΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜ. ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Α.Π.Θ. ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Π. ΚΑΤΣΑΡΟΣ. 29 Ιουνίου 2007 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1
ΑΥΤΟΜΑΤΑ Ι Αυτόματο ελέγχου πρόσβασης με πληκτρολόγηση συνδυασμού ψηφίων για το άνοιγμα πόρτας: ηπόρταανοίγειμετην πληκτρολόγηση του συνδυασμού ΑΒΑ ανεξάρτητα με το τι έχει πληκτρολογηθεί πριν από αυτό
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι
ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι Για τον προτασιακό λογισμό παρουσιάσαμε την αποδεικτική θεωρία (natural deduction/λογικό συμπέρασμα) τη σύνταξη (ορίζεται με γραμματική χωρίς συμφραζόμενα και εκφράζεται με συντακτικά
Διαβάστε περισσότεραΚατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)
Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην
Διαβάστε περισσότερα4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος.
Κεφάλαιο 10 Μαθηματική Λογική 10.1 Προτασιακή Λογική Η γλώσσα της μαθηματικής λογικής στηρίζεται βασικά στις εργασίες του Boole και του Frege. Ο Προτασιακός Λογισμός περιλαμβάνει στο αλφάβητό του, εκτός
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ CTL/LTL
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ CTL/LTL ΑΣΚΗΣΗ 1 Θεωρήστε το μοντέλο Μ ενός συστήματος που δίνεται από το αυτόματο του σχήματος p, q s 0 s 1 s 2 q, και το (άπειρο) δέντρο του σχήματος s0 p, q s1 q, s0 p, q
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1)
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες () Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Πεπερασμένα Αυτόματα (Κεφάλαιο., Sipser) Ορισμός πεπερασμένων αυτομάτων και ορισμός του
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΠρόβλημα 29 / σελίδα 28
Πρόβλημα 29 / σελίδα 28 Πρόβλημα 30 / σελίδα 28 Αντιμετάθεση / σελίδα 10 Να γράψετε αλγόριθμο, οποίος θα διαβάζει τα περιεχόμενα δύο μεταβλητών Α και Β, στη συνέχεια να αντιμεταθέτει τα περιεχόμενά τους
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 2ο μέρος σημειώσεων: Συστήματα Αποδείξεων για τον ΠΛ, Μορφολογική Παραγωγή, Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο 2 Λύσεις
Φροντιστήριο 2 Λύσεις Άσκηση 1 1. p ( p r) προϋπόθεση 2. r προϋπόθεση 3. q προσωρινή υπόθεση 4. p προσωρινή υπόθεση 5. p r ΜP 6. p προσωρινή υπόθεση r προσωρινή υπόθεση 7. i 4, 6 8. r e 9. r e 5, 8, 6
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Αντώνιος Δ. Γουγλίδης
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ Γραμμική και μη-γραμμική λογική: Σύγκριση και πρακτικές εφαρμογές
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2017 18 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης 8.1. (i) Έστω ότι α και β είναι δύο τύποι της προτασιακής
Διαβάστε περισσότεραK15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων
K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις
Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Άσκηση 1 Να διατυπώσετε τον πιο κάτω συλλογισμό στον Προτασιακό Λογισμό και να τον αποδείξετε χρησιμοποιώντας τη Μέθοδο της Επίλυσης. Δηλαδή, να δείξετε ότι αν ισχύουν οι πέντε
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4)
Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Η διαδικαστική γλώσσα προγραμματισμού WHILE Τριάδες Hoare Μερική και Ολική Ορθότητα Προγραμμάτων Κανόνες
Διαβάστε περισσότεραΆλγεβρες ιεργασιών και Τροπικές Λογικές
Άλγεβρες ιεργασιών και Τροπικές Λογικές Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Οι λογικές HML και WHML Ο λογικός χαρακτηρισµός των ~ και Η λογική CTL- ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστηµάτων
Διαβάστε περισσότεραΔώστε έναν επαγωγικό ορισμό για το παραπάνω σύνολο παραστάσεων.
Εισαγωγή στη Λογική Α Τάξης Σ. Κοσμαδάκης Συντακτικό τύπων Α τάξης Α Θεωρούμε δεδομένο ένα λεξιλόγιο Λ, αποτελούμενο από (1) ένα σύνολο συμβόλων για σχέσεις, { R, S,... } (2) ένα σύνολο συμβόλων για συναρτήσεις,
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 3ο μέρος σημειώσεων: Μέθοδος της Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις
ΕΠΛ664: Ανάλυση και Επαλθευση Συστημάτων Τμμα Πληροφορικς Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις (α) Χρησιμοποιούμε τις επιπλέον μεταβλητές PC0, PC1, (program counters) οι οποίες παίρνουν ως τιμές ονόματα
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Σειράς Ασκήσεων 4
Άσκηση 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 4 Έστω το σύνολο ατομικών προτάσεων ΑΡ = {red, yellow, green}. Με βάση τις ατομικές προτάσεις ΑΡ διατυπώστε τις πιο κάτω προτάσεις που αφορούν την κατάσταση των φώτων της
Διαβάστε περισσότεραm + s + q r + n + q p + s + n, P Q R P Q P R Q R F G
Λύσεις Θεμάτων Θεμελίων των Μαθηματικών 1. Εστω A, B, C τυχόντα σύνολα. Να δειχθεί ότι A (B C) (A B) (A C). Απόδειξη. Εστω x τυχαίο στοιχείο του A (B C). Εξ ορισμού, το x ανήκει σε ακριβώς ένα από τα A,
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2)
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Κανονικές Εκφράσεις (1.3) Τυπικός Ορισμός Ισοδυναμία με κανονικές γλώσσες Μη Κανονικές
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης
Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................
Διαβάστε περισσότεραK15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων
K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 3 Ημερομηνία Παράδοσης: 04/04/16
ΜΕΡΟΣ Α Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 3 Ημερομηνία Παράδοσης: 04/04/16 Δύο ιδιότητες φ και ψ είναι ισοδύναμες μεταξύ τους, φ ψ, αν, για κάθε δομή Kripke M, M φ αν και μόνο αν M ψ. Να αποφασίσετε ποια από
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (1)
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (1) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ασυμφραστικές Γραμματικές (2.1) Τυπικός Ορισμός Σχεδιασμός Ασυμφραστικών Γραμματικών
Διαβάστε περισσότεραΟι τυπικές μέθοδοι παρέχουν ένα πλαίσιο μέσα στο οποίο μπορούμε να προδιαγράψουμε και να εγκυροποιήσουμε ένα σύστημα με συστηματικό τρόπο.
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΤΥΠΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Οι τυπικές μέθοδοι παρέχουν ένα πλαίσιο μέσα στο οποίο μπορούμε να προδιαγράψουμε και να εγκυροποιήσουμε ένα σύστημα με συστηματικό τρόπο. Όταν γράφουμε
Διαβάστε περισσότερα2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ
ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός
Διαβάστε περισσότεραΦυσικές και τεχνητές γλώσσες. Το αλφάβητο της ΓΛΩΣΣΑΣ, Τύποι Δεδομένων. Σταθερές, Μεταβλητές, Τελεστές, Συναρτήσεις, Δομή Προγράμματος
Φυσικές και τεχνητές γλώσσες. Το αλφάβητο της ΓΛΩΣΣΑΣ, Τύποι Δεδομένων. Σταθερές, Μεταβλητές, Τελεστές, Συναρτήσεις, Δομή Προγράμματος Ενότητες βιβλίου: 6.3, 7.1-7.6, 7.10, 8.1 Ώρες διδασκαλίας: 2 Φυσικές
Διαβάστε περισσότεραΒασικοί τύποι δεδομένων (Pascal) ΕΠΑ.Λ Αλίμου Γ Πληροφορική Δομημένος Προγραμματισμός (Ε) Σχολ. Ετος Κων/νος Φλώρος
Βασικοί τύποι δεδομένων (Pascal) ΕΠΑ.Λ Αλίμου Γ Πληροφορική Δομημένος Προγραμματισμός (Ε) Σχολ. Ετος 2012-13 Κων/νος Φλώρος Απλοί τύποι δεδομένων Οι τύποι δεδομένων προσδιορίζουν τον τρόπο παράστασης των
Διαβάστε περισσότεραΗ δυαδική σχέση M ( «παράγει σε ένα βήμα» ) ορίζεται ως εξής: (q, w) M (q, w ), αν και μόνο αν w = σw, για κάποιο σ Σ
Πεπερασμένα Αυτόματα (ΠΑ) Τα πεπερασμένα αυτόματα είναι οι απλούστερες «υπολογιστικές μηχανές». Δεν έχουν μνήμη, μόνο μία εσωτερική μονάδα με πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων. Διαβάζουν τη συμβολοσειρά εισόδου
Διαβάστε περισσότερα4.3 Ορθότητα και Πληρότητα
4.3 Ορθότητα και Πληρότητα Συστήματα αποδείξεων όπως η μορφολογική παραγωγή και η κατασκευή μοντέλων χρησιμοποιούνται για να δείξουμε την εγκυρότητα εξαγωγών συμπερασμάτων. Ένα σύστημα αποδείξεων μπορεί
Διαβάστε περισσότεραΤεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.
Τεχνητή Νοημοσύνη 8η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των S. Russel
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 15/02/2018 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 15-Feb-18
Διαβάστε περισσότεραΜη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας
Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτεμβρίου 2015 Σελ. 1 από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα Ορισμός και λειτουργία των μηχανών Turing Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 20: Μηχανές Turing: Σύνθεση και Υπολογισμοί Επ. Καθ. Π. Κατσαρός Τμήμ
Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 20: Μηχανές Turing: Σύνθεση και Υπολογισμοί Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης. ), για οποιοδήποτε μονοπάτι n 1
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2016 17 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης 4.1. (α) Αποδείξτε ότι αν η h είναι συνεπής, τότε h(n
Διαβάστε περισσότεραΠερί της Ταξινόμησης των Ειδών
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Ταξινόμησης
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 08/02/2018 Το υλικό των Αντώνης διαφανειών Α. Αργυρός έχει βασιστεί σε διαφάνειες του e-mail: Kees argyros@csd.uoc.gr van Deemter, από το University of Aberdeen 08-Feb-18
Διαβάστε περισσότεραΕλληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 8 : Αυτόματα NFA - DFA. Αλέξανδρος Τζάλλας
Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 8 : Αυτόματα NFA - DFA Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής
Διαβάστε περισσότεραΒασικές έννοιες προγραμματισμού
Βασικές έννοιες προγραμματισμού Αλφάβητο Γράμματα Κεφαλαία Ελληνικά ( Α Ω ) Πεζά Ελληνικά ( α ω ) Κεφαλαία Λατινικά ( A Z ) Πεζά Ελληνικά ( a z) Ψηφία 0-9 Ειδικοί χαρακτήρες ( +, -, *,/, =,.,,!, κενό )
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 16/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 17-Feb-18
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 24: Μη Ντεντερμινιστικές Μηχανές Turing Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Η ΓΛΩΣΣΑ PASCAL
8.1. Εισαγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Η ΓΛΩΣΣΑ PACAL Πως προέκυψε η γλώσσα προγραμματισμού Pascal και ποια είναι τα γενικά της χαρακτηριστικά; Σχεδιάστηκε από τον Ελβετό επιστήμονα της Πληροφορικής Nicklaus Wirth to
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Γραμμικοί Μετασχηματισμοί
Παραδείγματα Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Παράδειγμα Να εξετασθεί αν είναι γραμμικές οι ακόλουθες συναρτήσεις: a) f : R R με f + 4 4+ b) f : R R με f + a+ b ac c) f : P M με f ( a + b + c + d ) d b d f :
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 664: Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : Πέμπτη, 21 Μαρτίου 2013 ΔΙΑΡΚΕΙΑ : 14:00 16:00 ΔΙΔΑΣΚΟΥΣΑ : Άννα Φιλίππου Ονοματεπώνυμο:
Διαβάστε περισσότεραΜη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας
Μαθηματική Λογική Τελική εξέταση Ιούλιος 2014 α Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΑυτοματοποιημένη Επαλήθευση
Αυτοματοποιημένη Επαλήθευση Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Έλεγχος Μοντέλου Αλγόριθμοι γράφων Αλγόριθμοι αυτομάτων Αυτόματα ως προδιαγραφές ΕΠΛ 664 Ανάλυση και Επαλήθευση Συστημάτων 4-1
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής
Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική
Διαβάστε περισσότεραf(t) = (1 t)a + tb. f(n) =
Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία
Διαβάστε περισσότεραΤεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/
Τεχνητή Νοημοσύνη 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία: Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας
Διαβάστε περισσότεραHEAD INPUT. q0 q1 CONTROL UNIT
Πεπερασμένα Αυτόματα (ΠΑ) Τα πεπερασμένα αυτόματα είναι οι απλούστερες «υπολογιστικές μηχανές». Δεν έχουν μνήμη, μόνο μία εσωτερική μονάδα με πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων. Διαβάζουν τη συμβολοσειρά εισόδου
Διαβάστε περισσότεραΜη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας
Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτέμβριος 2014 α Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραp p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q
Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Λογική και Απόδειξη
Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά. Προτασιακός Λογισμός. Προηγούμενη φορά. Βάσεις της Μαθηματικής Λογικής. 02 Προτασιακός Λογισμός
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 08/02/2018 Το υλικό των Αντώνης διαφανειών Α. Αργυρός έχει βασιστεί σε διαφάνειες του e-mail: Kees argyros@csd.uoc.gr van Deemter, από το University of Aberdeen Προηγούμενη
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις
ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Να βρείτε το σφάλμα στην πιο κάτω απόδειξη. Ισχυρισμός: Όλα τα βιβλία που έχουν γραφτεί στη Θεωρία Υπολογισμού έχουν τον ίδιο
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1
ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της συνάρτησης είναι θεμελιώδης στο λογισμό και διαπερνά όλους τους μαθηματικούς κλάδους. Για το φοιτητή είναι σημαντικό να κατανοήσει πλήρως αυτή
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις (α) Χρησιμοποιούμε τις επιπλέον μεταβλητές PC i, (program counters) οι οποίες παίρνουν ως τιμές ονόματα των γραμμών του κώδικα όπως φαίνεται πιο κάτω. Process P i :
Διαβάστε περισσότεραΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας
ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1 1. Τα δεδομένα μπορούν να παρέχουν πληροφορίες όταν υποβάλλονται σε 2. Το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών μιας επιχείρησης είναι πρόβλημα 3. Για την επίλυση ενός προβλήματος
Διαβάστε περισσότερα12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 8: Πεπερασμένα Αυτόματα Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότερα2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ
ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΟΜΗ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ Σημειώστε αν είναι
Διαβάστε περισσότεραΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014
ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις
Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Ορίζουμε τη συναρμογή δύο γλωσσών Α και Β ως ΑΒ = { uv u A, v B }. (α) Έστω Α = {α,β,γ} και Β =. Να περιγράψετε τη γλώσσα ΑΒ. (β) Θεωρήστε τις γλώσσες L, M και N. Να δείξετε
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΑς θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», «
.1 Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση μαθηματικών εννοιών, προτάσεων
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος
Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr
Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Επανάληψης Λύσεις
Άσκηση 1 Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις (α) Το επακόλουθο (A (B C)) ((A C) (A B)) είναι ψευδές. Αυτό φαίνεται στην ανάθεση τιμών [Α] = Τ, [Β] = F, [C] = T. (β) Ακολουθεί η απόδειξη του επακόλουθου. 1. x(p(x)
Διαβάστε περισσότεραΔιαδικασιακός Προγραμματισμός
Τμήμα ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Διαδικασιακός Προγραμματισμός Διάλεξη 7 η Πίνακες Οι διαλέξεις βασίζονται στο βιβλίο των Τσελίκη και Τσελίκα C: Από τη Θεωρία στην Εφαρμογή Σωτήρης Χριστοδούλου
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου
Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΠληρότητα της μεθόδου επίλυσης
Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Λήμμα: Αν κάθε μέλος ενός συνόλου όρων περιέχει ένα αρνητικό γράμμα, τότε το σύνολο είναι ικανοποιήσιμο. Άρα για να είναι μη-ικανοποιήσιμο, θα πρέπει να περιέχει τουλάχιστον
Διαβάστε περισσότεραΛογικός Προγραμματισμός
Λογικός Προγραμματισμός Αναπαράσταση γνώσης: Λογικό Σύστημα. Μηχανισμός επεξεργασίας γνώσης: εξαγωγή συμπεράσματος. Υπολογισμός: Απόδειξη θεωρήματος (το συμπέρασμα ενδιαφέροντος) από αξιώματα (γνώση).
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Σειράς Ασκήσεων 1
Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 1 Άσκηση 1 Έστω οι προτάσεις / προϋπόθεσεις: Π1. Σε όσους αρέσει η τέχνη αρέσουν και τα λουλούδια. Π2. Σε όσους αρέσει το τρέξιμο αρέσει και η μουσική. Π3. Σε όσους δεν αρέσει η
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων
Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Η διαδικαστική γλώσσα προγραμματισμού WHILE Τριάδες Hoare Μερική και Ολική Ορθότητα Προγραμμάτων ΚανόνεςΑπόδειξηςΜερικήςΟρθότητας
Διαβάστε περισσότεραΠεπερασμένα Αυτόματα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Πεπερασμένα Αυτόματα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πεπερασμένα Αυτόματα είναι απλούστερες
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Λογική (προπτυχιακό) Εξέταση Ιανουαρίου 2018 Σελ. 1 από 5
Μαθηματική Λογική (προπτυχιακό) Εξέταση Ιανουαρίου 2018 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις
Διαβάστε περισσότεραΑ Ν Α Λ Τ Η Α Λ Γ Ο Ρ Ι Θ Μ Ω Ν Κ Ε Υ Α Λ Α Ι Ο 5. Πως υπολογίζεται ο χρόνος εκτέλεσης ενός αλγορίθμου;
5.1 Επίδοση αλγορίθμων Μέχρι τώρα έχουμε γνωρίσει διάφορους αλγόριθμους (αναζήτησης, ταξινόμησης, κ.α.). Στο σημείο αυτό θα παρουσιάσουμε ένα τρόπο εκτίμησης της επίδοσης (performance) η της αποδοτικότητας
Διαβάστε περισσότερα, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα.
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Διδάσκοντες: Δ.Φωτάκης Θ. Σούλιου η Γραπτή Εργασία Ημ/νια παράδοσης 5/4/8 Θέμα (Διαδικασίες Απαρίθμησης.
Διαβάστε περισσότεραΙσοδυναμία Αιτ. Και μη Αιτ. Π.Α.
Ισοδυναμία Αιτ. Και μη Αιτ. Π.Α. Δύο Π.Α. Μ 1 και Μ 2 είναι ισοδύναμα ανν L(M 1 ) = L(M 2 ). Έστω Μ = (Q, Σ, q 0, Δ, F) μη Αιτ. Π.Α. Για κάθε κατάσταση q Q, ορίζουμε ως Ε(q) Q το σύνολο των καταστάσεων
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ Ως γνωστό δείγμα είναι ένα σύνολο παρατηρήσεων από ένα πληθυσμό. Αν ο πληθυσμός αυτός θεωρηθεί μονοδιάστατος τότε μπορεί να εκφρασθεί με τη συνάρτηση
Διαβάστε περισσότερα