Έλεγχος ύπαρξης στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ δύο εξαρτημένων δειγμάτων, που δεν ακολουθούν την κανονική κατανομή (Wilcoxon test) Σε ορισμένες περιπτώσεις απαιτείται ο έλεγχος της ύπαρξης στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ «ζευγαρωτών» παρατηρήσεων ή όπως αλλιώς λέγεται μεταξύ δύο εξαρτημένων δειγμάτων. Οι «ζευγαρωτές» αυτές παρατηρήσεις (ή τα εξαρτημένα δείγματα) μπορεί να αναφέρονται στην μέτρηση κάποιας εξαρτημένης μεταβλητής στα ίδια άτομα: κάτω από διαφορετικές συνθήκες μέτρησης (π.χ. μέτρηση της μέγιστης πρόσληψης οξυγόνου στο επίπεδο της θάλασσας ή σε υψόμετρο) ή σε διαφορετικά χρονικά διαστήματα (π.χ. πριν και μετά την εφαρμογή κάποιας μεθόδου προπόνησης). Όταν οι επιδόσεις των ατόμων, που ανήκουν στα δύο προαναφερόμενα εξαρτημένα δείγματα, δεν ακολουθούν την κανονική κατανομή θα πρέπει να εφαρμοστεί κάποιο μηπαραμετρικό τεστ. Ένα τέτοιο μη-παραμετρικό τεστ, κατάλληλο για δύο εξαρτημένα δείγματα τα οποία δεν ακολουθούν κανονική κατανομή είναι το test Wilcoxon. Στις περιπτώσεις όπου τα δεδομένα ακολουθούν κανονική κατανομή μπορεί να εφαρμοστεί το Paired Samples t test για εξαρτημένα δείγματα. Παράδειγμα: Ένας προπονητής εφαρμόζει μια μέθοδο προπόνησης για τη βελτίωση της αλτικής ικανότητας των αθλητών του, οι οποίοι αποτελούν ένα πάρα πολύ ανομοιογενές δείγμα. Για να διαπιστωθεί η επίδραση της μεθόδου προπόνησης στη βελτίωση της αλτικής ικανότητας καταγράφεται η επίδοση των αθλητών στο κατακόρυφο άλμα «πριν» την εφαρμογή της μεθόδου προπόνησης (εξαρτημένη μεταβλητή: jump1) και «μετά» την εφαρμογή της μεθόδου προπόνησης (εξαρτημένη μεταβλητή: jump2). Οι δύο αυτές μεταβλητές αποτελούν «ζευγαρωτές» παρατηρήσεις, εφόσον τα ίδια άτομα μετρήθηκαν σε δύο διαφορετικές χρονικές στιγμές στο ίδιο τεστ (κατακόρυφο άλμα). Για τον έλεγχο της ύπαρξης στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ των δύο μετρήσεων (πριν και μετά) στην επίδοση στο κατακόρυφο άλμα, θα πρέπει αρχικά να ελεγχθεί αν τα δεδομένα ακολουθούν κανονική κατανομή. Αν δεν ακολουθούν κανονική κατανομή θα πρέπει να εφαρμοστεί το μη-παραμετρικό τεστ Wilcoxon. 1
Έλεγχος κανονικής κατανομής (Kolmogorov Smirnov) Ο έλεγχος της ύπαρξης ή όχι κανονικής κατανομής των δεδομένων (επιδόσεων) στα δύο εξαρτημένα δείγματα μπορεί να πραγματοποιηθεί μέσω του μη-παραμετρικού τεστ Kolmogorov Smirnov. Διεξαγωγή ελέγχου της κανονικής κατανομή μέσω του τεστ Kolmogorov Smirnov Από το μενού «Analyze» επιλέγουμε «Nonparametric Tests» και στη συνέχεια «1-Sample K-S» (Εικ. 1). Εικ. 1 Κάνοντας αριστερό κλικ με το ποντίκι στην επιλογή «1-Sample K-S» εμφανίζεται το πλαίσιο διαλόγου «One-Sample Kolmogorov-Smirnov» (Εικ. 2). 2
Εικ. 2 Στο αριστερό πεδίο του πλαισίου διαλόγου «One-Sample Kolmogorov-Smirnov» (Εικ. 2) εμφανίζονται οι μεταβλητές του αρχείου. Μαρκάρουμε με το ποντίκι τη μεταβλητή για την οποία θέλουμε να πραγματοποιηθεί ο έλεγχος κανονικής κατανομής και κάνοντας κλικ με το ποντίκι στο βελάκι ( 4 ) εισάγουμε την εξαρτημένη μεταβλητή στο πεδίο «Test Variable List». Πραγματοποιούμε την ίδια διαδικασία και για τις δύο μεταβλητές που θέλουμε να ελέγξουμε (Εικ. 3). Εικ. 3 3
Στο κάτω αριστερό μέρος του πλαισίου διαλόγου «One-Sample Kolmogorov- Smirnov Test» υπάρχει το πεδίο Test Distribution. Για να πραγματοποιηθεί ο έλεγχος της ύπαρξης κανονικής κατανομής στα δεδομένα των μεταβλητών που έχουν εισαχθεί στο πεδίο Test Variable List θα πρέπει να επιλεγεί η επιλογή Normal (κανονική κατανομή), κάνοντας αριστερό κλικ με το ποντίκι στο τετραγωνάκι που βρίσκεται αριστερά της (Εικ. 4) Εικ. 4 Για να πραγματοποιηθεί ο έλεγχος της ύπαρξης κανονικής κατανομής κάνουμε αριστερό κλικ στον διακόπτη «OK». 4
Στο φύλλο των αποτελεσμάτων εμφανίζεται ο πίνακας One-Sample Kolmogorov- Smirnov Test One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test JUMP1 JUMP2 N 20 20 Normal Parameters Mean 37.1500 38.7500 Std. Deviation 21.3967 21.7519 Most Extreme Differences Absolute.348.336 Positive.300.291 Negative -.348 -.336 Kolmogorov-Smirnov Z 1.556 1.503 Asymp. Sig. (2-tailed).016.022 a Test distribution is Normal. b Calculated from data. Η θεωρητική κατανομή με την οποία συγκρίνονται τα αρχικά δεδομένα είναι η κανονική κατανομή (Normal distribution). Με βάση τα αρχικά δεδομένα υπολογίζονται οι παράμετροι της κανονικής κατανομής για κάθε μεταβλητή ξεχωριστά (μέσοι όροι: Mean και τυπικές αποκλίσεις: Std. Deviation) και υπολογίζεται το στατιστικό Kolmogorov-Smirnov Z, καθώς και το επίπεδο σημαντικότητάς του. Αν το επίπεδο σημαντικότητας του Kolmogorov-Smirnov test (Asymp.Sig (2-tailed) είναι μεγαλύτερο από 0.05 τότε γίνεται αποδεκτή η μηδενική υπόθεση σύμφωνα με την οποία «τα δεδομένα ακολουθούν κανονική κατανομή». Αν το επίπεδο σημαντικότητας του Kolmogorov-Smirnov test (Asymp.Sig (2-tailed) είναι μικρότερο από 0.05, όπως συμβαίνει στο συγκεκριμένο παράδειγμα, τότε απορρίπτεται η μηδενική υπόθεση σύμφωνα με την οποία «τα δεδομένα ακολουθούν κανονική κατανομή» και γίνεται αποδεκτή η εναλλακτική υπόθεση σύμφωνα με την οποία «τα δεδομένα δεν ακολουθούν κανονική κατανομή», οπότε θα πρέπει να πραγματοποιηθεί μη-παραμετρικός έλεγχος για την ύπαρξη στατιστικά σημαντικών διαφορών. 5
Διεξαγωγή του μη-παραμετρικού τεστ Wilcoxon Από το μενού «Analyze» επιλέγουμε «Nonparametric Tests» και στη συνέχεια «2 Related Samples» (Εικ. 5). Εικ. 5 Κάνοντας αριστερό κλικ με το ποντίκι στην επιλογή «2 Related Samples» εμφανίζεται το πλαίσιο διαλόγου «Two-Related-Samples Tests» (Εικ. 6). Εικ. 6 6
Στο αριστερό πεδίο του πλαισίου διαλόγου «Two-Related-Samples Tests» (Εικ.2) εμφανίζονται οι μεταβλητές του αρχείου (jump1 και jump2). Μαρκάροντας με το ποντίκι την πρώτη εξαρτημένη μεταβλητή (jump1) (κάνοντας αριστερό κλικ πάνω σ αυτή) η μεταβλητή εισάγεται ως Variable 1: στο πεδίο Current Selections (Εικ. 7) Εικ. 7 Μαρκάροντας με το ποντίκι τη δεύτερη εξαρτημένη μεταβλητή (jump2) (κάνοντας αριστερό κλικ πάνω σ αυτή) η μεταβλητή εισάγεται ως Variable 2: στο πεδίο Current Selections (Εικ. 8) Εικ. 8 7
Κάνοντας αριστερό κλικ με το ποντίκι πάνω στο βελάκι ( Z ) οι δύο μεταβλητές εισάγονται στο πεδίο «Test Pair(s) List:» (Εικ. 9). Εικ. 9 Για την διεξαγωγή του Wilcoxon τεστ θα πρέπει στο πεδίο «Test Type» να επιλεγεί η επιλογή Wilcoxon, κάνοντας αριστερό κλικ με το ποντίκι στο τετραγωνάκι που βρίσκεται αριστερά της (Εικ. 10). Εικ. 10 Για την διεξαγωγή της ανάλυσης κάνουμε αριστερό κλικ πάνω στον διακόπτη OK. 8
Στο φύλλο αποτελεσμάτων αρχικά εμφανίζεται ο πίνακας Ranks (Τάξη). Ranks N Mean Rank Sum of Ranks JUMP2 - JUMP1 Negative 2 10.75 21.50 Ranks Positive 18 10.47 188.50 Ranks Ties 0 Total 20 a JUMP2 < JUMP1 b JUMP2 > JUMP1 c JUMP1 = JUMP2 Στον πίνακα Ranks εμφανίζονται τα αθροίσματα της τάξης διαφοράς (Sum of Ranks) για τις αρνητικές τιμές τάξης διαφοράς μεταξύ των δύο μεταβλητών (Negative Ranks = 21.50) και τις θετικές τιμές τάξης διαφοράς μεταξύ των δύο μεταβλητών (Positive Ranks = 188.50). Στον επόμενο πίνακα Test Statistics παρουσιάζεται η τιμή του στατιστικού Ζ και το επίπεδο σημαντικότητάς του (Asymp.Sig. (2-tailed). Test Statistics JUMP2 - JUMP1 Z -3.130 Asymp..002 Sig. (2- tailed) a Based on negative ranks. b Wilcoxon Signed Ranks Test Αν το επίπεδο σημαντικότητας του στατιστικού Ζ είναι μεγαλύτερο από 0.05, τότε γίνεται αποδεκτή η μηδενική υπόθεση, σύμφωνα με την οποία «δεν υπάρχει στατιστικά σημαντική διαφορά μεταξύ των ζευγαρωτών παρατηρήσεων». Αν το επίπεδο σημαντικότητας του στατιστικού Ζ είναι μικρότερο από 0.05 (όπως στο συγκεκριμένο παράδειγμα), τότε απορρίπτεται η μηδενική υπόθεση και γίνεται αποδεκτή η εναλλακτική της υπόθεση, σύμφωνα με την οποία «υπάρχει στατιστικά σημαντική διαφορά μεταξύ των ζευγαρωτών παρατηρήσεων». Κατά συνέπεια, στο συγκεκριμένο παράδειγμα, η μέθοδος προπόνησης έχει επίδραση στην βελτίωση της αλτικής ικανότητας των αθλητών. 9