Ακουστικό Ανάλογο Μελανών Οπών

Ακουστικό Ανάλογο Μελανών Οπών

ιάδοση ηχητικών κυµάτων σε ρευστά. Ηχητικά κύµατα σε ακίνητο ρευστό. Εξίσωση συνέχειας: ρ t + ~ (ρ~v) =0 Εξίσωση Euler: ~v t +(~v ~ )~v = 1 ρ ~ p ( ~ Φ +...) Μικρές διαταραχές: p = p 0 + p 1, ρ = ρ 0 + ρ 1,~v = ~v 0 + ~v 1 Έχουµε υποθέσει όµως ότι οι διαταραχές είναι µικρές και το ρευστό ακίνητο. Αυτό σηµαίνει ότι τα γινόµενα ανάµεσα σε όρους διαταραχών θα τα θεωρούµε µηδενικά και ότι: ~v 0 =0

Αν αντικαταστήσουµε τις διαταραγµένες ποσότητες µέσα στις εξισώσεις µας θα πάρουµε τις εξισώσεις για τις διαταραχές: ρ1 t + ρ 0 ~ ~v 1 =0 ~v 1 t + 1 ρ 0 ~ p1 =0 Χρειαζόµαστε ακόµα µία εξίσωση για να ολοκληρώσουµετοσύστηµα των εξισώσεων. Γενικά θα θεωρήσουµε ότι οι διαδικασίες στο ρευστό µας είναι αδιαβατικές και ότι το ρευστό µας είναι βαροτροπικό, δηλαδή ότι οι µεταβολές γίνονται υπό σταθερή εντροπία και η πίεση είναι συνάρτηση της πυκνότητας. Έτσιαπότοθεώρηµα Ta ylor µπορούµεναδείξουµεότιθα ισχύει: p 1 =( p ρ ) sρ 1

Εξίσωση συνέχειας p 1 t + ρ 0( p ρ ) s ~ ~v 1 =0 Εξίσωση Euler ~v 1 t + 1 ρ 0 ~ p1 =0 Γενικά θα υποθέσουµε ότι το ρευστό µας είναι αστρόβιλο. Αυτό σηµαίνει ότι µπορούµεναγράψουµε το πεδίο της ροής και τις διαταραχές του ως βαθµίδες κάποιου δυναµικού. ~ v 1 =0 ~v 1 = ~ ψ ΈτσιαπότηνεξίσωσητουEuler θα πάρουµε: p 1 = ρ 0 ψ t Και από την εξίσωση συνέχειας: όπου: ( p ρ ) s = c 2 2 ψ t 2 ( p ρ ) s 2 ψ =0

Η παραπάνω κυµατική εξίσωση περιγράφει το ανάλογο της διάδοσης Η/Μκυµάτων σε επίπεδο χώρο. Μία ειδική κατηγορία λύσεων αυτής της κυµατικής εξίσωσης είναι τα επίπεδα κύµατα. ψ = ae i(ωt ~ k ~r) όπου η ποσότητα ωt ~ k ~r = φ είναι η φάση του κύµατος. Το χαρακτηριστικό αυτών των κυµάτων εί ναι ότι οι επιφάνειες σταθερής φάσης στα διάφορα στιγµιότυπα είναι επίπεδα. Τα κύµατα αυτά διαδίδονται κάθετα στα επίπεδα σταθερής φάσης, δηλαδή πά νω σε ευθείες τροχιές (ακτίνες) στην διεύθυνση του κυµατανύσµατος. Αν εισάγουµε την εξίσωση του επίπεδου κύµατος στην κυµατική εξίσωση, τότε θα πάρουµετηνσχέση: ~k ~k ω2 c 2 =0 Που µπορείναθεωρηθείωςοορισµός του φωτοειδούς κυµατανύσµατος k a =( ω c, ~ k)

Γενικά ένα ακουστικό κύµα δεν θα είναι επίπεδο. Μπορούµε όµως να κάνουµετηνγεωµετρική προσέγγιση. ηλαδή να θεωρήσουµε ότι το κύµα τοπικά συµπεριφέρεται ως επίπεδο και δεν αλλάζει σηµαντικά η διεύθυνση διάδοσής του σε αποστάσεις της τάξης του µήκους κύµατος. Στα πλαίσια της γεωµετρικής προσέγγισης µπορούµεναθεωρήσουµε ότι η φάση µπορεί να περιγραφεί από το ανάπτυγµα: φ = φ 0 + ~r ~ φ + t φ t όπου ~k = ~ φ ω = φ και t Βλέπουµε πάλι λοιπόν ότι τα κύµαταθαδιαδίδονταικάθεταστις επιφάνειες σταθερής φάσης κατά µήκος του κυµατανύσµατος. Η περιγραφή αυτή είναι ανάλογη µε την κίνηση σωµατιδίων σε δυναµικό όπως περιγράφεται από την εξίσωση Hamilton-Jacobi όπου η φάση παίζει το ρόλο της δράσης, το κυµατάνυσµα τορόλοτηςορµής και το ω το ρόλο της Χαµηλτονιανής.

Ηχητικά κύµατα σε κινούµενο ρευστό. ~v 0 6=0 Εξίσωση συνέχειας: ρ t + ~ (ρ~v) =0 Εξίσωση Euler: ~v t +(~v ~ )~v = 1 ρ ~ p ~ Φ Με τη βοήθεια της ταυτότητας ~ (a ~b) =(~a ~ )~b +(~b ~ )~a + ~a ( ~ ~b)+~b (~ ~a) η εξίσωση του Euler παίρνει τη µορφή: ~v t = ~v (~ ~v) 1 ρ ~ p ~ ( 1 2 v 2 + Φ)

Επειδή το ρευστό µας είναι αστρόβιλο και βαροτροπικό µπορούµε να ορίσουµετιςποσότητες: ~v = ~ ψ και ~ h = ~ p ρ όπου h είναι η ειδική ενθαλπία. ΗεξίσωσηςτουEuler µετά την εισαγωγή των παραπάνω ποσοτήτων θα πάρει τελικά την µορφή: ψ t = 1 2 ( ~ ψ) 2 + h + Φ Θεωρούµετώραδιαταραχέςτηςµορφής: p = p 0 + p 1, ρ = ρ 0 + ρ 1, ψ = ψ 0 + ψ 1,~v = ~v 0 + ~v 1 Από τον ορισµό της η ενθαλπία θα είναι συνάρτηση της πίεσης και άρα για τη διαταραχή της θα έχουµε: h(p 0 + p 1 )=h 0 +( h p ) p 0 p 1 όπου ( h ) p p 0 = 1 ρ 0 αφού dh = dp ρ

Έτσι οι εξισώσεις για τις διαταραχές θα είναι: Εξίσωση συνέχειας ρ 1 t + ~ (ρ 0 ~v 1 + ρ 1 ~v 0 )=0 Εξίσωση Euler ψ 1 t = p 1 ρ 0 ~v 0 ~ ψ 1 Επειδή το ρευστό είναι βαροτροπικό µπορούµεναεκφράσουµετην πυκνότητα ως συνάρτηση της πίεσης ρ 1 =(( p ρ ) s) 1 p 1 = c 2 p 1 Και από τον συνδυασµό των δύο τελευταίων εξισώσεων θα πάρουµε ρ 1 = c 2 ρ 0 ( ψ 1 t + ~v 0 ~ ψ 1 )

Τελικ ά εισάγο ντας την εξίσωση που προέκυψε από την εξίσωση του Euler στην εξίσωση που προέκυψε από την εξίσωση συνέχειας θα πάρουµε t (c 2 ρ 0 ( ψ 1 t + ~v 0 ~ ψ 1 )) + ~ (ρ 0 ~ ψ 1 c 2 ρ 0 ~v 0 ( ψ 1 t + ~v 0 ~ ψ 1 )) = 0 Αυτή η εξίσωση απλοποιείται δραµατικά αν ορίσουµε τον πίνακα µ f µν ρ 0 1 u j 0 c 2 u i 0 (c 2 δ ij u i 0u j 0) και παίρνει τηνµορφή µ (f µν ν ψ 1 )=0 όπου x µ (t, x i ) Σε ένα καµπύλο χώρο, η κυµατική εξίσωση για ένα βαθµωτό πεδίο έχει τη µορφή µ ( gg µν ν ψ)=0

Ησύγκρισητωνδύοεξισώσεωνµας υποδεικνύει να ορίσουµετηνµετρική του χώρου στον οποίο θα διαδίδονται τα κύµατα από την εξίσωση gg µν = f µν Τελικά η µετρική του γεωµετρικού ανάλο γου θα έχει τη µορφή µ (c g µν ρ 2 v 2 ) u j c u i δ ij ds 2 = g µν dx µ dx ν = ρ c ( (c 2 v 2 )dt 2 2u i dx i dt + δ ij dx i dx j ) και ηκίνηση του ηχητικού κύµατος θα γίνεται πάνω στις φωτοειδείς γεωδαισιακές αυτού το χωρόχρονου.

Αυτό σηµαίνει ότι οι τροχιές των ηχητικών κυµάτων θα ικανοποιούν τη σχέση (c 2 v 2 )dt 2 2u i dx i dt + δ ij dx i dx j =0 που πρακτικά είναι ισοδύναµο µετο ναπούµε πως η ταχύτητα της διαταραχής θα έχει την ταχύτητα του ήχου στο σύστηµα αναφοράς της ροής του ρευστού d~x dt = c~n + ~v ~n ~n 2 =1 όπου το διάνυσµα είναι ένα µοναδιαίο διάνυσµα, στη διεύθυνση διάδοσης της διαταραχής.

Παραδείγµατα ανάλογων ροών. Ροή από δυναµικό ψ = Aln(r) Το πεδίο της ροής όπως προκύπτει από το παραπάνω δυναµικό θα είναι ~v = ~ ψ = A r ˆr που όπως βλέπουµε είναι ακτινικό και άρα οι γραµµές ροής θα είναι ευθείες µε ακτινική διεύθυνση. Αν επι λέξουµε γιατησταθεράα την τιµή 1 και θεωρήσουµεκαι ότι η ταχύτητα του ήχου είναι ίση µετηµονάδα, τότε βλέπουµεότιυπάρχει µία περιοχή για την οποία η ταχύτητα της ροής είναι u 2 >c 2

Η περιοχή αυτή βρίσκεται µέσα από την κόκκινη καµπύλη και πρακτικά είναι το ανάλογο της εσωτερικής από τον ορίζοντα περιοχής µίας µελανής οπής. Στο διπλανό σχήµα βλέπουµετιςγραµµές ροής, τον ορίζοντα και τις καµπύλες σταθερής ταχύτητας. Τα διανύσµατα δείχνουν τις διευθύνσεις προς τις οποίες θα κινηθεί µια διαταραχή από τα διάφορα σηµεία της ροής. Βλέπουµεότιαπότον ορίζοντα και µέσα οι διαταραχές δεν µπορούν να διαδοθούν προς τα έξω.

Στα πλαίσια της υδροδυναµικής, στο εσωτερικό του ορίζοντα, οι τροχιές των διαταραχών περιγράφονται από τις χαρακτηριστικές καµπύλες. Υπάρχου ν δύο οικογένειες χαρακτηριστικώνπου περιγράφουν τις διαταραχές που κινούνται προς τα έξω και προς τα µέσα. Τα σηµεία τοµής των χαρακτηριστικώνορίζουν τους κώνους Mach που είναι το ανάλογο των κώνωνφωτός. Όπως βλέπουµε στο σχήµα όλοιοικώνοιmach δείχνουν προς τα µέσα.

Στη γεωµετρική περιγραφή µπορούµε να ορίσουµε τις φωτοειδείς διευθύνσεις και να κ ατασκευάσουµεχωροχρονικάδιαγράµµατα που να δείχνουν τις τροχιές των ηχητικών κυµάτων. Συγκεκριµένα µπορούµε να ορίσουµετιςκαµπύλες du = dt dw = dt + dr c+υ(r) dr c υ(r) οι οποίες έχουν ως εφαπτόµενα φωτοειδή διανύσµατα. Αυτές οι καµπύλες ορίζουν το σύστηµα τωνφωτοειδών συντεταγµένων. Στο σχήµαβλέπουµετις εξερχόµενες και τις εισερχόµενες φωτοειδείς τροχιές και τον ορίζοντα. Οι τοµές των τροχιών ορίζουν κώνους φωτός.

Το ενδιαφέρον µε τα υδροδυναµικά ανάλο γα εί ναι ότι µπορούν να χρησιµοποιηθούν για την κατασκευή και δυναµικών χωροχρονικών µοντέλων. Στο σχήµα φαίνεται ένα µοντέλο δηµιουργίας µίας µελανής οπής. Εδώ παρουσιάζονται εκτός από τον ορίζοντα γεγο νότων και ένας φαινόµενος ορίζοντας.

Ροή από δυναµικό ψ = Aln(r)+Bθ Το πεδίο της ροής όπως προκύπτει από το παραπάνω δυναµικό θα είναι Aˆr+B ˆθ ~v = ~ ψ = r Τοπεδίοαυτόείναιτοπεδίοενόςστροβίλου. Αν επιλέξουµε γιατησταθεράα την τιµή 1 και για τη σταθερά Β την τιµή -1, τότε βλέπουµεότιυπάρχειµία περιοχή για την οποία η ταχύτητα της ροής είναι υ 2 >c 2 και µίαπεριοχήγιατηνοποίαηακτινικήσυνιστώσατηςταχύτηταςτης ροής είναι υ r >c

Η περιοχή όπου το µέτρο της ταχύτητας ροής είναι µεγαλύτερο από την ταχύτητα του ήχου ορίζει την εργόσφαιρα κατ αναλογία µετηνγεωµετρία τύπου Kerr. Ηπεριοχήόπουη ακτινική συνιστώσα εί ναι µεγαλύτερη από την ταχύτητα του ήχου ορίζει τον ορίζοντα γεγο νότων.

Χαρακτηριστικές της ροής στροβίλου.